发展中国家税制改革的约束条件与优化路径
谷成
2012-10-12 17:55:59 来源：《财经问题研究》(大连)2012年5期
【内容提要】税制改革的推进既要考虑降低征收成本和效率损失等经济问题，也不能忽视社会成员对公平的关注等政治需求。发展中国家的税制改革面临着非正式经济规模较大、国际投资竞争加剧、税收管理薄弱以及支出分散化等制约因素。因此，在税制结构优化过程中，发展中国家应保持税收收入与支出水平之间的联系、拓宽税基、发挥商品税在调节收入分配中的作用并完善税收管理，以实现减少财政赤字或缩小收支缺口、降低税收成本和促进社会公平等政策目标。
【关键词】发展中国家/税制改革/约束条件/优化路径
一、引言
作为政府弥补公共产品成本、鼓励或抑制某些类型的行为以及矫正市场缺陷的重要手段，税收的必要性不仅体现为以非通胀方式为政府支出筹集资金，还应尽可能保证这些支出负担在纳税人之间的分配是公平的。实践表明，任何国家的税制改革都不可避免地受到社会观念、既得利益和财政体制的影响。税收政策的选择不仅取决于经济发展水平、增加公共产品与公共服务的需求和意愿以及征管能力等因素，还取决于非税收入(如自然资源租金和外国援助等)的可获得性以及政府对公平收入分配和提高经济增长率等公共政策目标的偏好。因此，税制改革不仅是一个经济学问题，还反映了对公平的关注以及维护社会稳定等政治诉求。本文分析了发展中国家的税制改革目标，考察了实现这些目标的政治经济环境和
约束条件，在此基础上提出进一步优化税制的政策建议。
二、发展中国家税制改革的主要目标
1.增加财政收入
好的税制必须能够为政府支出筹集足够的资金。为了维持既定的政府规模，税收收入的增长应当与经济增长幅度大体相当。税制的收入弹性被定义为税收收入变化的百分比除以GDP变化的百分比，用以衡量相对于经济增长而言税收收入的增长速度。①税收弹性取决于税收结构、税收管理质量以及经济增长的幅度和结构性特征。
从税收结构上看，最富有弹性的是个人所得税，累进税率和按照平均收入水平确定的免征额使得个人所得税的收入增长幅度可能超过经济的增长幅度。相反，采用比例税率课征的税种，税收收入的增长幅度将与经济增长幅度持平。由于税制的总体弹性是各税种弹性的收入加权平均值，因此相对于单一的收入来源而言，多样化的税收工具有助于降低税收收入的不稳定性。经济增长的幅度和结构性特征表明，主要依靠自然资源(如石油或矿产)取得税收的国家更易受到经济周期的影响。此外，在采用从价征收而不是从量课税的情况下，如果商品税的征收范围包含着经济总量中增长更快的产品和服务而不仅局限于传统产品，就会使商品税更富有弹性。值得注意的是，经济增长只是提供了可供征税的税源——对这些税源是否课税、哪些应当课税、如何课税、课什么税和课多少税由税收制度决定——至于最终能实现多少税收收入入库，则要受到税收征管水平的制约。②
2.降低税收成本
税收减少了可用于实现社会福利的资源，从而导致了经济成本。③税收成本主要产生于如下方面：首先，税收的征收需要成本。目前，发达国家仅将1％的税收收入用于弥补征税的成本。相比之下，发展中国家的征税成本则普遍偏高，④其中所得税的成本又远远高于商品税。从收入上看，在商品税体系中(包括增值税和消费税和关税等)投入管理成本取得的边际收益明显高于个人所得税的征管支出，尤其是用于工资薪金扣缴所得税之外的部分。其次，除了实际支付的税收外，纳税人在履行纳税义务的过程中还会发生遵从成本。⑤遵从成本主要由负有申报或扣缴义务的经济活动主体承担。遵从成本包括因纳税而导致的资金和时间成本，例如按要求建立会计账簿，获取必要的税收知识和信息，取得并传送为完成扣缴或申报税款所需的数据，以及向中介机构支付的费用等。尽管对这些成本的衡量并未引起过多关注，但对发达国家的估计表明，遵从成本可能要比政府的直接管理成本高4—5倍[4]。与发达国家相比，发展中国家的遵从成本要高得多。⑥最后，税收还会导致效率成本。大多数税收通过改变征税对象的相对价格对企业和个人的决策产生潜在影响。⑦由此而导致的结果是，经济活动主体的行为变化通常会减少资源的使用效率，进而降低一国的产出和福利水平。例如，对工资课税(包括个人所得税、工薪税和社会保障税等)降低了对工作的激励——正式部门的工资税率越高，相对于在不课税(或不直接课税)的非正式部门而言，在正式部门工作的吸引力就越差。⑧商品税同样对工作具有抑制作用。一方面，对消费的课税使个人必须在工作上花费更多的时间，以购买市场上的产品和服务。由于对闲暇并不课税，因此所有税收都在边际上对工作产生抑制效应。另一方面，由于税收减少了个人收入，因此人们也可能选择更多地工作，以补偿失去的收入。税收变化对工作产生的净效应表现为收入效应和替代效应综合作用的结果[6]。
3.促进社会公平
税制的公平性很大程度上影响纳税人的内在遵从意愿。因此，要想使纳税成为一种被社会成员普遍接受的价值观，合理的税制是一个非常关键的要素。行为经济学家的研究结果表明，对公平的认知和感受在纳税人的逃税行为中影响显著[7－8－9]。税收制度能否存续下去，一方面取决于政府能否负责而有效地提供公共产品和公共服务，另一方面则取决于税制公平的可观察性和可接受性。如果可感知的税收负担分配不公被认为是导致财富和收入差距的原因之一，就将导致纳税人对税制信任程度的降低并增加逃税和避税。在一些发展中国家，逃税更多地被视为一种荣耀，而不是犯罪。水平较低的税收道德和不完善的税收管理导致了负面的“税收文化”[10]。
实践表明，通过完善个人所得税调节收入分配的传统思路并未取得明显的效果，近年来个人所得税占税收总额或GDP的比重几乎没有什么变化。很多发展中国家个人所得税在税收收入总额中所占的比重仅为5％—10％，还不到GDP的2％。这与大多数发达国家个人所得税在税收结构中占比最高的情况大相径庭[11]。由于个人所得税在税收结构中所占的比例相对于商品税而言小得多，因此即使累进程度很高的所得税对财富和收入分配结果的影响也十分有限。尽管大多数发展中国家试图通过征税进行再分配的努力往往事倍功半，但是，对从经济发展中获益最多的群体课税在政治上不仅是必要的，也是理想的⑨——必须使税制的公平性得到纳税人的接受。
三、发展中国家税制改革的约束条件
1.非正式经济规模较大
近来很多有关发展中国家税收的讨论都对所谓的“非正式经济”(又称地下经济、影子经济)十分关注。⑩发达国家和发展中国家之间非正式部门的规模和结构存在着很大差异，平均而言，非正式经济活动在发展中国家大约占GDP的40％，差不多是发达国家的二倍[14]。
在评价税收政策的效应时，对一个规模较大且不缴纳所得税的经济部门的考察是无法回避的。无法对非正式经济课征所得税不仅会左右资源在正式部门和非正式部门间的分布，而且削弱了个人所得税的收入调节职能，不利于再分配效应的发挥。再者，非正式经济规模的扩大还将导致税收收入总量的降低，从而减少政府可以用于再分配支出计划的财政资金。非正式经济规模较大的现实环境要求发展中国家采用更为合理的方式实现税制改革的目标。
2.国际环境约束
贸易自由化和WTO规则成为发展中国家税制改革的新制约因素。随着经济全球化和WTO的推广以及国外投资竞争的加剧，税制结构中国际贸易税收收入大幅度减少，各国对税制引起的国际结果非常关注。从税收方面看，没有哪个国家可以完全脱离当前的国际经济环境。例如，几乎所有国家都会关注美国和欧盟的税制变化，并进行效仿或者以某种制衡的方式予以应对[15]。
与30年前相比，现在大多数发展中国家吸引外国直接投资的目的是促进技术进步和经济增长。经济全球化和资本流动使税收结构不再依赖于公司所得税，因为资本会因为利息率和税率的微小变化自由地在各国之间流动。既有文献表明，东道国的税率非常重要。Echavarria和Zodrow估计，外国直接投资的税率弹性为－0.6[16]。实际上，近年来全球个人和公司所得税税率都大幅度下降。
世界各国的个人所得税和公司所得税几乎普遍保持在20％—30％的范围内[17]。这些数据比经济学家的探讨更加充分地反映了近几十年来国际环境的竞争性。
3.薄弱的税收管理
如果无法有效实施，那么即使世界上最好的税收制度也毫无价值。因此，税收制度的设计必须考虑税收管理水平。历史经验告诉我们，征管成本较低的政府运行良好；反之，以高成本课税的政府则举步维艰[18]。现实的情况是，许多发展中国家存在着大规模不易课税的传统农业部门和大量游离于正式税收制度之外的非正式经济。此外，许多遵从率较低的小企业的经济活动在很大程度上与非正式部门交搭。对促进这些企业增长与财政收入需求之间的权衡使许多国家更倾向于对小企业采用推定(或简化的)税制。尽管采用推定课税方法估计纳税义务可以将小企业纳入税收网络，但税收的收益—管理成本比率较低[19]。同时也使很多具有纳税能力的企业被排除在一般税收网络之外[20]，税务机关面临着不良税基侵蚀一般税基的风险。可见，与发达国家相比，发展中国家可获得的潜在税基仅占经济活动总体的一小部分。非应税经济的规模在一定程度上是税收政策的函数。由此而导致的更少的税收收入通常会使政府提高税率，并进一步产生对逃税的激励。因此，对于发展中国家而言，改善税收管理对于税收结构的选择和征税而言非常重要。
遗憾的是，发展中国家的税收管理远未达到理想的水平。相关研究表明，目前发达国家用于弥补征税的管理成本仅为税收收入的1％。相反，发展中国家的税收管理成本则要高得多[3]。从税种上看，大多数发展中国家所得税和财产税的成本高于商品税。目前的情况表明，无论通过资本利得税还是财产税，对城市
和农村不动产的有效课税仍然处于大多数发展中国家税收管理的能力之外[21]。
4.财政分权
财政分权是发展中国家税制改革中的一项重要内容。许多发展中国家越来越重视中央以下各级政府在公共产品和服务提供中的作用。然而，迄今为止，发展中国家的财政分权大多数仍集中于支出的分散化。经验分析表明，支出分散化率随着经济发展和城市化而提高，在多种族大国中更高[22]。与支出的高度分散化相比，税收的分散化则明显滞后。实际上，在发达国家，向中央以下各级政府的分税并不鲜见。
然而，在大多数发展中国家，中央政府不愿赋予中央以下各级政府征税权。发展中国家中央以下各级政府收入在总收入中的份额仅为10％，而工业化国家为20％。(11)发展中国家通常将重要的支出责任转移给中央以下各级政府，却极少下放收入取得权，大多数中央以下各级政府支出通过转移支付筹资[23]。尽管通过转移支付向地方政府拨款有助于中央政府实现地区间财政均等的政策目标，但也无法回避税收与地方政府支出决策之间的联系被割裂的事实。经济理论表明，权衡公共支出的成本与收益是地方政府做出正确财政决策的前提和基础。只有将地方财政支出调整至边际收益等于边际成本的点上，才能取得有效率的结果。如果资金不是来源于地方政府辖区本身，公共支出的边际收益就会偏离其边际成本。在这种情况下，地方与更高级次政府间有关地方公共项目补贴规模和形式的谈判结果就成为决定地方公共服务范围和水平的关键因素[24]。因此，如何在分权环境下进一步优化税制仍然是值得发展中国家考虑和权衡的问题。
四、发展中国家税制改革的路径选择
1.保持税收收入与支出水平之间的联系
税收是公共产品和公共服务的成本补偿方式，用于满足政府提供公共产品和公共服务的需要。(12)可见，税收不仅是一种政府筹资手段，也是作为国家基石的一种最为显见的社会契约。公民遵守税法的一个关键原因是他们认为国家是合法的和可靠的。换言之，除非国家被认为是合法的，否则就无法取得足够的资源用以实施统治或进行发展。一国在某一时点上的税收水平和结构不可避免地反映了各种政治群体间的某种利益均衡。特定税收及其征收方式可能在一定时期内改变这种均衡，并且影响未来的税收水平和结构。因此，任何税制改革的成功在很大程度上都取决于不同政治群体看待改革的方式以及由此做出的反应。尽管迄今为止Wicksell将支出与收入相联系的主张对发展中国家税收政策的影响不大(13)，但对财政支出管理的更多关注最终可能改变公众在税收意愿上的态度。为保障纳税遵从和减少税制改革面临的政治阻力，必须使那些将要支付更多税收的人相信，他们缴纳的税收将会得到某些回报。相反，如果从纳税人的角度看，政府提供的公共服务与自身缴纳的税收之间距离遥远，那么潜在的税收遵从问题将使政府收入的长期可持续性面临相当大的约束。
目前的情况是，全球范围内都在讨论财政分权问题。为提供能够满足地方居民需要的公共服务，地方政府有必要掌握一定的收入来源，以满足支出分权的要求。然而，从很多方面看，发展中国家的政府间税收划分都是不理想的。各级政府的支出与收入之间都存在着明显的纵向不均衡是其中一个最为关键的问题，(14)这种不均衡影响着中央以下各级政府公共产品和公共服务提供的自主性、有效性和责任感。在支出分权化条件下，收入与支出责任失衡的政府间财政体系将导致高昂的管理成本、遵从成本和效率损失。为避免资源配置的无效性，划分给
中央以下各级政府的税收原则上应当满足如下条件：一是能为最富有的中央以下各级政府提供相对充足的收入，以使其大体上实现财政自主。二是使中央以下各级政府能够在边际上履行重要的财政职责。三是不会对资源的有效配置产生扭曲效应。从根本上说，分税实际上是采用特定的方法确定各级政府自身税收收入能力的过程。如果不能确定对什么征税，税基如何界定，税率是多少以及征税的紧迫性如何，那么中央以下各级政府实际上就无法对税收收入加以控制——即使在它们可能得到某些收入的情况下也是如此。(15)从这个意义上说，通过赋予中央以下各级政府制定税率的权力可能是实现上述目标最简单和最好的办法。
2.拓宽税基
对于政府而言，税基并不是“既定”的：它们可能会随着税收的课征模式而得以增长或者受到破坏。例如，税收可以抑制或促进经济的“正式化”，并对进口等“税收把柄”的增长产生促进或抑制作用，或者从多种角度、采用多种方法将经济增长引入特定的路径和轨道。正如Emran和Stiglitz指出的那样，从长期看，税收的征收模式不仅影响经济增长和分配，还会影响税基的规模和结构[27]。为使征税的非必要成本最小化，税基应尽可能广泛。尽管税基广泛的商品税也会对工作努力产生抑制，但是，对所有或绝大多数产品和服务都征税有助于实现征税对产品消费产生的扭曲效应最小化。(16)所得税的税基也应尽量宽泛，对所有来源相同的收入尽量同样对待。除减少效率损失外，宽税基还可以使政府以较低的税率取得既定的收入。税收的效率成本产生于由相对价格变化导致的替代效应，其大小与税率的平方成比例。(17)因此税率的提高会导致效率损失的增加，尤其是影响外国投资者在生产要素具有流动性的部门间的投资决策。从效率的角度看，通过对广泛的税基征收单一税率取得收入要优于将税基分为多个部分并对各部分采用差别税率征税。
在实践中，基于多种原因，大多数发展中国家经常采用成本高昂的税收激励计划。尽管受到经济活动主体欢迎，但现实表明，这些计划既减少了税收收入，又无法有效实现既定的目标。此外，税收激励的过度使用还会导致税收管理复杂化、逃税和腐败的发生。Bird指出，要想使税收激励的收益最大化并减少因设计和实施未尽合理的税收激励造成的损失，各国至少应坚守以下三项原则[28]：一是尽量简化。税收激励在数量上应尽可能减少，结构上尽可能简单。二是对受到激励的主体、激励的种类以及放弃的收入成本进行追踪。如果激励的意图是实现某种特定目标，则还须采用可度量的结果反映既定目标的实现情况。三是定期评价税收激励的结果与成本。如果二者不相匹配，则应取消。为保证税基的可获得性，合理的政策选择是对税收激励项目进行更好管理。
3.强化商品税在调节收入分配中的作用
相对于商品税而言，所得税具有更明显的可观察性，这也使得近年来发展中国家大部分有关税收分配职能的讨论主要集中于个人所得税。然而，与发达国家相比，发展中国家的个人所得税表现出如下特征：一是个人所得税在税收结构中所占比重较小。二是个人所得税纳税人在总人口中所占比重偏低。三是主要通过对工资进行源泉扣缴取得收入。四是能够有效征收个人所得税的税基范围相对狭窄[29]。此外，在发展中国家，累进税制对企业和个人行为的影响也比在发达国家中更为明显——纳税人对税收制度的信任程度因所得和财富分配的不公平而降低，逃税和避税行为的增加导致了发展中国家的税收管理成本和遵从成本偏高。实践表明，对于发展中国家而言，发达国家普遍采用的累进综合个人所得税可能不是实现收入分配职能的最优策略。(18)
从税收结构上看，发展中国家的商品税比个人所得税占有更高的比重，因而可能产生更为重要的收入分配效应。在税制改革的推进过程中，有必要对商品税的设计和实施予以更多关注。在非正式经济活动占比较高的情况下，尽管那些完全采用现金交易的企业和个人逃避了所得税和销售中的增值税，但仍在一定程度上购买正式部门提供的消费品和服务。由于无法抵扣投入品的增值税额，因此这些经济活动主体最终还是缴纳了增值税。从这个意义看，课征商品税是对非正式部门征税的理想方法。实现商品税的收入分配作用主要有两种途径：一是对机票、宾馆房间以及高价酒精饮料等富人消费比例更高的商品课税。二是规定对某些基本的食物免税。税收可能无法使穷人变得更富有，却能够使他们更贫困。因此，应当避免对构成贫困人口基本需要和占消费支出主要部分的项目课以重税。虽然贫困人口并不是这些基本食物产品的全部消费者，换言之，部分减免收益会被一些非贫困人口取得，但减免措施的设计仍将对收入分配产生积极影响——在低收入群体的开支中，生活必需品占有较大比重，因而对生活必需品的税收减免可以通过减少低收入阶层开支的方式达到相对提高其可支配收入的效果。(19)
4.完善税收管理
税收管理的有效实施包含三个要素：对税制进行有效管理的政治意愿、实现这一目标的战略措施以及完成该项任务的充分资源。其中，资源问题如需要训练有素的税收管理人员、充分的信息技术等通常最受关注。但是，离开有效的实施策略或者没有足够的政治支持，即使充分的资源也无法保证税收管理的有效实施。
极少有政治家愿意接受由税收政策和税收管理改革带来的经济和政治成本。在取得收入的同时，各国政府都尽力避免伤害政治上处于强势地位的群体的利
益。如果政治愿望存在，实施有效税收管理的目标和方案就相对明确。税收管理应采用适当的制度形式，配备经过充分培训的税务人员，进行合理的组织，建立基于职能或客户群的组织结构。在这一过程中，大规模的信息归集和整理通常要求税务机关从纳税人、相关第三方以及其他政府机构取得信息，并及时予以处理，因此计算机化以及现代信息技术的合理使用非常重要。但是，单纯依靠技术是远远不够的，必须将其与税收管理制度细致地加以整合。
值得注意的是，提高税收遵从并不等同于抑制不遵从。现代税收管理方法的基点是将纳税人假定为接受服务的顾客(尽管纳税人可能并不情愿)，而不是被抓捕的窃贼。对纳税人行为的研究结果表明，提供使纳税人更为便利的申报、填写和纳税等服务，或者教育并使纳税人了解有关自身依法履行纳税义务的信息在保障遵从方面通常要比直接用于治理不遵从的措施(稽查、惩罚)更有效[32]。从另一方面看，低遵从度可能是高遵从成本、税收与利润之间缺乏必要联系以及对税收公平的理解等基本问题的函数。税收管理的重要任务之一是防止不遵从趋势的蔓延。为实现这一目标，不仅要使不遵从的实现变得更加困难，还要使税收遵从更加易于实现[33]。因此，为纳税人简化纳税程序是非常重要的，例如去掉纳税申报表中要求填写的冗余信息。
由于纳税人并不都是诚实的，因此税收管理的另一项重要任务是进行税务稽查以使纳税人减少逃税。为实现这一目标，税务机关必须掌握潜在税基的范围和性质。如果对未申报税基及其决定因素缺乏了解，税务机关就不能将管理资源合理地用于税收征管，无法确保税制规定的纳税人及时缴纳税款和税收负担在纳税人间相对公平地分配。对于未能按时缴纳税款的纳税人，必须足额收取滞纳金，以保证欠缴税款不至于成为廉价的财政资源。此外，还要建立完善的处罚体系，以保证应当注册、申报却未注册、申报以及未足额申报税基的纳税人受到应有的
处罚，提高其逃税成本。
五、结论与启示
1970年代以来，发展中国家实施了以“宽税基、低税率、简税制”为主要内容的税制改革，旨在实现减少财政赤字或缩小短期收支缺口、降低税收成本和促进社会公平的政策目标。然而，发展中国家所处的政治经济环境和面临的约束条件制约了上述目标的实现。首先，规模较大的非正式经济不仅降低了税收收入总量，使政府可用于再分配支出计划的资金减少，而且削弱了个人所得税的再分配效应。其次，随着经济全球化和WTO的推广以及国外投资竞争的加剧，资本会因税率的微小变化自由地在各国之间流动，因此，近年来全球个人和公司所得税税率都大幅度下降。再次，由于大规模不易课税的传统农业部门和大量游离于正式税收制度之外的非正式经济的存在，发展中国家有效的潜在税基仅占经济活动总体的一小部分。无论通过资本利得税还是财产税，对城市和农村不动产的有效课税仍然处于大多数发展中国家税收管理的能力之外。最后，尽管发展中国家越来越重视中央以下各级政府在公共产品和服务提供中的作用，但迄今为止，财政分权仍集中于支出的分散化，税收的分散化则明显滞后。中央政府不愿下放征税权，中央以下各级政府支出主要依靠转移支付筹资。这种模式割裂了地方政府支出决策与税收之间的联系，使地方与更高级次政府间关于地方公共项目补贴规模和形式的谈判结果成为决定地方公共服务范围和水平的关键因素。
发展中国家税制改革的经验对我国税制优化具有一定的借鉴和参考价值。首先，为保障纳税遵从和减少税制改革面临的政治阻力，必须在一定程度上保持税收收入与政府支出水平之间的联系，使纳税人相信他们缴纳的税收得到了相应的回报。在我国“自上而下”、强调中央政府宏观调控和保证中央政府财力的分权
模式中，中央政府没有赋予地方政府更多的税收自主权，而是希望通过转移支付实现财政分权目标。因此，在支出分权化条件下，为提高中央以下各级政府在公共产品和公共服务提供过程中的自主性、有效性和责任感，改变现行的收入分成制，采用税率分享制，使中央以下各级政府能够与中央政府相对平等、规范地分享某些大型税基(如消费税、增值税和企业所得税)的课税权可能是更为可行的办法。其次，为使征税的非必要成本最小化，应尽可能减少税收优惠的数量，以保证税基的广泛性。建立税式支出预算，定期评价税收优惠的结果与成本，通过制定落日条款规定税收优惠继续实行下去的评估条件并按年度提供税收支出评估报告。再次，为改善税制的公平性，我国个人所得税在实现由分类制向综合制的转变之前，应进一步调整劳动所得和资本所得的税负水平。为体现生计扣除的科学性和家庭税负的公平性，应当按照纳税人家庭人口数量和就业状况对费用减除标准加以细分。在商品税改革中，可以考虑对农业生产资料以及低档服装、婴幼儿食品和用品以及普通药品等日常生活必需品免征增值税；调整营业税税率，对与低收入群体日常生活密切相关的服务项目实行低税率或予以免税；将更多奢侈品纳入消费税的征收范围，以扩大消费税的税基。最后，在税收管理上，一方面要为纳税人提供更为便利的申报、填写和纳税等服务，或者教育并使纳税人了解有关自身依法履行纳税义务的信息以保障纳税遵从；另一方面，建立完善的处罚体系，对于未能按时缴纳税款的纳税人，必须足额收取滞纳金，以增加逃税成本，保证欠缴税款不至于成为廉价的财政资源。
收稿日期：2012-01-10
注释：
①例如，弹性为1，意味着税收收入占GDP的份额保持固定的比例；弹性大于1，则表明税
收的增长快于收入的增长。
②改善税收管理短期内使税收显著增加的最典型事例是阿根廷1989—1992年间收入的迅速增长(从GDP的13％提高到23％)。Morisset和Izquierdo估计，大约2/3的增长源于征管努力的提高[1]。然而，另一些文献指出，阿根廷后来的情况表明，长期维持这种增长非常困难。在技术改良和征管努力提高使收入增加的情况下，政治压力往往很快阻碍甚至完全抵消税收水平的净增长[2]。
③从经济整体角度看，税收本身并不是一项成本，因为它们只是将资源从私人部门转移至公共部门。只有当社会可使用资源的数量(无论是由公共部门使用还是由私人使用)因征税而减少时，成本才会产生。
④例如，Cuatemala的研究估计，这些成本大约占税收收入的2.5％[3]。
⑤当遵从成本增加时，征收成本可能会降低。例如，当纳税人被要求提供更多的信息时，遵从成本就会增加，而使征管更为便利，成本降低。但征收成本和遵从成本之间的这种此消彼长关系并不总是存在。例如，在更为复杂的管理要求纳税人提供更多信息或接受更多稽查等情况下，遵从成本和征收成本可能都会增加。
⑤Chattopadhyay和Das－Gupta有关印度个人所得税遵从成本的研究表明，该国遵从成本比发达国家高10倍[5]。
⑦也有一些例外，例如一次总付税。此外，对经济“租金”的课税(如对自然资源和土地的合理课税)可能不会导致经济扭曲。再者，在某些情况下，合理设计的税收不仅不会导致经济行为的扭曲，甚至还将引致理想的行为——某些环境税和受益税都具有这种效应。但是，政府筹资
所需的大部分税种将来源于其他方面，并产生效率成本。
⑧随着非正式部门劳动力供给的增加，(相对于正式部门而言)非正式部门的工资将下降，因此在非正式部门工作的劳动者也间接地负担了一部分税收。
⑨Webber和Wildawsky将所得税视为“民主的镜子”，意为主张人人平等的标志和对社会公正的崇尚与追求。此外，Cavanaugh指出，税收是政治体制用以实现分配公平的最重要手段。在民主社会中，朝这一方向的努力(尽管并不一定产生明显的效应)在政治上是非常重要的[12－13]。
⑩非正式经济可以分为两类：一类是非法行为，例如毒品、卖淫和走私；另一类是合法行为，主要包括来源于未申报的个体经营收入、非正式就业工资和易货交易。
(11)近30年来，这些数字几乎没有发生变化[22]。
(12)例如，Bastable指出，所谓税收，就是个人或群体为取得公共权力机构提供的服务而在财富方面做出的强制性贡献[25]。
(13)对于目前大多数发展中国家(和发达国家)而言，税收政策的制定仍在很大程度上与政府的预算支出完全脱离[26]。
(14)通常的情况是，即使是最富有的中间或中央以下各级政府(比如联邦制国家中的“州”)也需要通过转移支付为其支出筹集部分资金，尽管筹资比例在各州之间可能存在差异。
(15)Breton将“分配”定义为“制定和执行政策的权力”。他明确指出，如果一个政府指
定了一个代理人——比如另一个政府——执行它(第一个政府)制定的政策，那么这不是分配权力，也未将政治责任转移给执行政策的政府[26]。
(16)理论上说，为使效率损失最小化，应当对不同商品采用不同的税率，对于行为变化较小的产品和服务采用更高的税率。然而，这种方法对税收如何改变行为的信息要求比大多数国家能够得到的信息高得多。此外，这种模式也没有考虑管理和公平问题。因此，在实践中，一般的建议是在可能的情况下对产品和服务征收单一税。
(17)例如，税率提高为原来的2倍意味着其效率成本增加为原来的4倍。
(18)实践表明，对于大多数发展中国家而言，无论从财政收入、经济增长还是收入分配角度看，实施该策略的成本和风险相对于成功的机会而言都显得过高。那些试图在发展中国家完成这项工作的人最后都放弃了传统教科书中的观点，即将综合累进个人所得税作为税制支柱的建议[30]。
(19)一项对牙买加税制的研究表明，仅对一些主要的食物项目免税将在很大程度上降低低收入家庭的税收，并使增值税具有轻微的累进性[31]。
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无约束优化方法---鲍威尔方法 本实验用鲍威尔方法求函数f(x)=(x1-5)2+(x2-6)2 的最优解。 一、简述鲍威尔法的基本原理 从任选的初始点x⑴o出发，先按坐标轮换法的搜索方向依次沿e1.e2.e3进行一维搜索，得各自方向的一维极小点x⑴ x⑵ x⑶.连接初始点xo⑴和最末一个一维极小点x3⑴,产生一个新的矢量 S1=x3⑴-xo⑴ 再沿此方向作一维搜索，得该方向上的一维极小点x⑴. 从xo⑴出发知道获得x⑴点的搜索过程称为一环。S1是该环中产生的一个新方向，称为新生方向。 接着，以第一环迭代的终点x⑴作为第二环迭代的起点xo⑵,即 Xo⑵←x⑴ 弃去第一环方向组中的第一个方向e1，将第一环新生方向S1补在最后，构成第二环的基本搜索方向组e2,e3,S1，依次沿这些方向求得一维极小点x1⑵,x2⑵,x3⑵.连接 Xo⑵与x3⑵,又得第二环的新生方向 S2=x3⑵-xo⑵ 沿S2作一维搜索所得的极小点x⑵即为第二环的最终迭代点 二、鲍威尔法的程序 #include "stdafx.h" /* 文件包含*/ #include
#include
行域 φ 内，选择一个初始点 X 然后确定一个可行 得一个目标函数有所改善的可行的新点 X 即完成了 第四章 约束优化设计 ● 概述 ● 约束坐标轮换法 ● 随机方向法 ● 罚函数法 概述 结构优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题，其数学模型为： s .t . min f (x ) g u (x ) ≤ 0 h v (x ) = 0 x ∈ R n u = 1, 2,..., m v = 1, 2,..., p < n 根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法两类。 直接解法是在仅满足不等式约束的可行设计区域内直接求出问题的约束最优解。属于 这类方法的有：随机实验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。其基本思路： 在由 m 个不等式约束条件 gu(x )≤0 所确定的可 0 搜索方向 S ，且以适当的步长沿 S 方向进行搜索，取 1 一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程，每次 均按如下的基本迭代格式进行计算： X k+1=X k +α k S k (k=0,1,2,..) 逐步趋向最优解， 直到满足终止准则才停止迭代。 直接解法的原理简单，方法实用，其特点是： 1） 由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算 不论何时终止，都可以获得比初始点好的设计点。 2） 若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域最优解，否则，可能存在多个局 部最优解，当选择的初始点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3） 要求可行域有界的非空集
φ(X,μ1,μ2)=F(X)+∑μ 1 G??g j X)??+∑μ2H??h k(X)?? a)可行域是凸集；b)可行域是非凸 集 间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法，并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数 结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优 化问题。 m l j=1k=1 新目标函数 然后对新目标函数进行无约束极小化计算。 加权因子 间接法是结构优化设计中广泛使用的有效方法，其特点： 1）由于无约束优化方法的研究日趋成熟，为间接法提供可靠基础。这类算法的计算效率和数值计算的稳定性大有提高； 2）可以有效处理具有等式约束的约束优化问题； 3）目前存在的主要问题，选取加权因子较为困难，选取不当，不仅影响收敛速度和计算精度，甚至导致计算失败。
项目三 常用无约束最优化方法（一） [实验目的] 编写最速下降法、Newton 法（修正Newton 法）的程序。 [实验学时] 2学时 [实验准备] 1．掌握最速下降法的思想及迭代步骤。 2．掌握Newton 法的思想及迭代步骤； 3．掌握修正Newton 法的思想及迭代步骤。 [实验内容及步骤] 编程解决以下问题：【选作一个】 1．用最速下降法求 22120min ()25[22]0.01T f X x x X ε=+==，，，． 2．用Newton 法求 22121212min ()60104f X x x x x x x =--++-， 初始点 0[00]0.01T X ε==，，． 最速下降法 Matlab 程序： clc;clear; syms x1 x2; X=[x1,x2]; fx=X(1)^2+X(2)^2-4*X(1)-6*X(2)+17; fxd1=[diff(fx,x1) diff(fx,x2)]; x=[2 3]; g=0; e=0.0005; a=1; fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); step=0; while g>e step=step+1; dk=-fan; %点x(k)处的搜索步长
ak=((2*x(1)-4)*dk(1)+(2*x(2)-6)*dk(2))/(dk(1)*dk(2)-2*dk(1)^2-2*dk(2)^2); xu=x+ak*dk; x=xu; %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf(' x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); %计算目标函数点x(k+1)处一阶导数值 fan=subs(fxd1,[x1 x2],[x(1) x(2)]); g=0; for i=1:length(fan) g=g+fan(i)^2; end g=sqrt(g); end %输出结果 optim_fx=subs(fx,[x1 x2],[x(1) x(2)]); fprintf('\n最速下降法\n结果：\n x=[ %d %d ] optim_fx=%d\n',x(1),x(2),optim_fx); c++程序 #include
实验八 无约束优化问题 一.实验目的 掌握应用matlab 求解无约束最优化问题的方法 二.实验原理及方法 1：标准形式： 元函数 为其中n R R f X f n R x n →∈:) (min 2．无约束优化问题的基本算法一．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤：⑴ 给定初始点 n E X ∈0，允许误差0>ε,令k=0； ⑵ 计算() k X f ?； ⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则： () ε≤?k X f ， 若满足，则停止迭代，得点k X X ≈*，否则进行⑷； ⑷ 令() k k X f S -?=，从k X 出发，沿k S 进行一维搜索， 即求k λ使得： ()() k k k k k S X f S X f λλλ+=+≥0 min ； ⑸ 令k k k k S X X λ+=+1，k=k+1返回⑵. 最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢，最速下降法适用于寻优过程的前期迭代或作为间插步骤，当接近极值点时，宜选用别种收敛快的算法.．牛顿法算法步骤： (1) 选定初始点n E X ∈0，给定允许误差0>ε，令k=0； (2) 求()k X f ?,()() 1 2-?k X f ,检验：若() ε
无约束最优化问题及其Matlab 求解 一、教学目标 1. 了解悟约束规划的基本算法最速下降法（共轭梯度法）的基本步骤 2. 掌握用Matlab 求解五约束的一元规划问题、多元规划问题、以及Matlab 求解过程中参数的设置。 3. 针对实际问题能列出其无约束规划方程并用Matlab 求解。 二、 教学手段 1. 用Flashmx 2004制作课件，并用数学软件Matlab 作辅助教学。 2. 采用教学手法上采取讲授为主、讲练结合的方法。 3. 上机实践操作。 三、 教学内容 （一）、求解无约束最优化问题的基本思想 标准形式： ★（借助课件说明过程） （二）、无约束优化问题的基本算法 1．最速下降法（共轭梯度法）算法步骤： ⑴ 给定初始点n E X ∈0，允许误差0>ε,令k=0； ⑵ 计算()k X f ?； ⑶ 检验是否满足收敛性的判别准则： ()ε≤?k X f ， 若满足，则停止迭代，得点k X X ≈*，否则进行⑷； ⑷ 令()k k X f S -?=，从k X 出发，沿k S 进行一维搜索， 即求k λ使得： ()() k k k k k S X f S X f λλλ+=+≥0min ； ⑸ 令k k k k S X X λ+=+1，k=k+1返回⑵. 最速下降法是一种最基本的算法，它在最优化方法中占有重要地位.最速下降法的优点是工作量小，存储变量较少,初始点要求不高；缺点是收敛慢。 ★（借助课件说明过程,由于 算法 在实际中用推导过程比较枯燥，用课件显示搜索过程比较直观） 2. 采用Matlab 软件，利用最速下降法求解无约束优化问题 常用格式如下： （1）x= fminbnd (fun,x1,x2) （2）x= fminbnd (fun,x1,x2 ，options) （3）[x ，fval]= fminbnd （...） （4）[x ，fval ，exitflag]= fminbnd （...） （5）[x ，fval ，exitflag ，output]= fminbnd （...） 其中（3）、（4）、（5）的等式右边可选用（1）或（2）的等式右边。函数fminbnd ()X f n E X ∈min 其中 1:E E f n →
第四章 约束优化设计 ● 概述 ● 约束坐标轮换法 ● 随机方向法 ● 罚函数法 概述 结构优化设计的问题，大多属于约束优化设计问题，其数学模型为： 根据求解方式的不同，可分为直接解法和间接解法两类。 直接解法是在仅满足不等式约束的可行设计区域内直接求出问题的约束最优解。属于这类方法的有：随机实验法、随机方向搜索法、复合形法、可行方向法等。其基本思路： 在由m 个不等式约束条件g u (x )≤0所确定的可行域φ内，选择一个初始点0 X 然后确定一个可行搜索方向S ，且以适当的步长沿S 方向进行搜索，取得一个目标函数有所改善的可行的新点1 X 即完成了一次迭代。以新点为起始点重复上述搜索过程，每次均按如下的基本迭代格式进行计算： k+1k k k =+S (k=0,1,2,..)X X α逐步趋向最优解， 直到满足终止准则才停止迭代。 直接解法的原理简单，方法实用，其特点是： 1） 由于整个过程在可行域内进行，因此，迭代计算不论何时终止，都可以获得比初始点好 的设计点。 2） 若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可获得全域最优解，否则，可能存在多个局部 最优解，当选择的初始点不同，而搜索到不同的局部最优解。 3） 要求可行域有界的非空集 1,2,...,1,2,...,u m v p n == 间接解法 间接解法是将约束优化问题转化为一系列无约束优化问题来解的一种方法。由于间接解法可以选用已研究比较成熟的无约束优化方法，并且容易处理同时具有不等式约束和等式约束的问题。因而在机械优化设计得到广泛的应用。 间接解法中具有代表性的是惩罚函数法。将约束函数进行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转化为一个或一系列的无约束优化问题。 然后对新目标函数进行无约束极小化计算。 间接法是结构优化设计中广泛使用的有效方法，其特点： 1） 由于无约束优化方法的研究日趋成熟，为间接法提供可靠基础。这类算法的计算效率和 数值计算的稳定性大有提高； 2） 可以有效处理具有等式约束的约束优化问题； 3） 目前存在的主要问题，选取加权因子较为困难，选取不当，不仅影响收敛速度和计算精 度，甚至导致计算失败。 a) 可行域是凸集；b)可行域是非凸集 () ()()()121211 ,,m l j k j k X F X G g X H h X φμμμμ==??=++? ?????∑∑ 新目标函数 加权因子 分数: ___________任课教师签字：___________ 课程作业 学年学期：2017——2018学年第二学期 课程名称：优化理论 作业名称：作业三 学生姓名： 学号： 提交时间： 一、问题重述 形如的min (x),x R n f ∈问题称为无约束优化问题，常用下降算法来解决这类问题。下降算法的关键在于步长和搜索方向的选取。步长的求取可以借助前面作业中提到的一维搜索等方法求取，而搜索方向算法可以分为两大类，解析法和直接法。 解析法借助了目标函数的导数进行搜索，这类算法搜索速度快、效率高，但是对目标函数的要求更为严格。常用的方法有最速下降法、Newton 法、共轭梯度法、拟Newton 法等。 直接法不使用导数，也不需要得到目标函数的明确解析式，只需要能够得到某些函数上的点即可。因此直接法的适用范围更广，但相应的收敛速度会较慢，计算量也会随着问题维数的增加而迅速增大。常用的方法有单纯形法、Powell 方向加速法以及Powell 改进算法。 本作业以直接法的Powell 法为例，解决具体的无约束优化问题，并对将Powell 方向加速法和Powell 改进算法解决结果进行对比。 二、算法原理 对于n 维正定二次函数(x)0.5T T f x Gx b x c =++，设011,,...(k n)k p p p -<关于G 共轭，0x 与1x 为任意不同点。分别从0x 与1x 出发，依次沿011,,...k p p p -作一维搜索。如果最后找到两个互不相同的极小点x a 与x b ，则x b a x -与011,,...k p p p -关于G 共轭。 Powell 方向加速法正是基于这一原理，每次迭代过程作n+1次一维搜索。第一次沿给定的n 个线性无关的方向011,,...n p p p -依次作一维搜索，之后沿由这一阶段的起点到第n 次搜索所得到的点的方向P 再做一次一维搜索，并把这次所得点作为下一阶段的起点，下一阶段的n 个搜索方向为011,,...,n p p p p -。以此直到找到最优解。 此算法是在迭代中逐次生成共轭方向，而共轭方向又是较好的搜索方向，所以称之为方向加速法。但是，此算法产生的n 个向量可能线性或近似线性相关，这时张不成n 维空间，可能得不到真正的极小点。因此，Powell 原始算法存在一定的缺陷。 Powell 改进算法虽然不再具有二次终止性，但克服了搜索方向的线性相关的不利情形，是解决无约束优化问题较有效的直接法之一。 本次作业一维搜索的过程是利用函数求导，求得最小值。经过试验发现，α是允许为负数的。否则最终寻优得到的极值点与实际结果存在很大的偏差， 多维无约束优化算法 多维无约束优化问题的一般数学表达式为： 求n 维设计变量 使目标函数 多维无约束优化算法就是求解这类问题的方法，它是优化技术中最重要最基础的内容之一。因为它不仅可以直接用来求解无约束优化问题，而且实际工程设计问题中的大量约束优化问题，有时也是通过对约束条件的适当处理，转化为无约束优化问题来求解的。所以，无约束优化方法在工程优化设计中有着十分重要的作用。 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 （1）间接法——要使用导数，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。 （2）直接法——不使用导数信息，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。用直接法寻找极小点时，不必求函数的导数，只要计算目标函数值。这类方法较适用于解决变量个数较少的（n ≤20）问题，一般情况下比间接法效率低。间接法除要计算目标函数值外，还要计算目标函数的梯度，有的还要计算其海赛矩阵。 各种优化方法之间的主要差异是在于构造的搜索方向，因此，搜索方向的构成问题乃是无约束优化方法的关键。 下面介绍几种经典的无约束优化方法。 1、梯度法 基本思想：函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n 维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最速下降法或梯度法。 搜索方向s 取该点的负梯度方向 (最速下降方向) ，使函数值在该点附近的范围内下降最快 。 为了使目标函数值沿搜索方向能够获得最大的下降值，其步长因子应取一维搜索的最佳步长。即有 12[]T n x x x = x ()min f →x ()k f -?x k αmin ()n f R ∈x x 1(0,1,2,)k k k k s k α+=+= x x 1(0,1,2,) k k k k s k α+=+= x x 1()(0,1,2,) k k k k a f k +=-?= x x x 1()[()]min [()]min ()k k k k k k k a a f f a f f a f ?α+=-?=-?=x x x x x 单纯形法 1. 算法原理 单纯形法的基本思想是： 设(0)(1)(),,...,n x x x 是n R 中的1n +个点，构成一个当前的单纯形，max min ,x x 定义如下： {}(0)(1)()max ()max (),(),...,()n f x f x f x f x = {}(0)(1)()min ()min (),(),...,()n f x f x f x f x = 记x 为这个单纯形除去max x 外的所有顶点的形心， ()max 01n i i x x x n =??=- ??? ∑ 取max x 关于x 的反射点(1)n x +，(1)max ()n x x x x +=+-构成新的单纯形，反复上述过程，直到达到停止条件。 2. 函数min f search 1） 函数语法 min (,0)x f search fun x = min (,0,) [,]min (...) [,,]min (...) [,,,]min (...) x f search fun x options x fval f search x fval exitflag f search x fval exitflag output f search ==== 函数输入： fun ：目标函数 0x ：迭代初始点 options ：函数参数设置 函数输出： x ：最优点 fval ：最优点对应的函数值 exitflag ：函数停止信息 1：函数收敛正常停止 0：迭代次数，目标函数计算次数达到最大数 -1：算法被输出函数停止 output ：函数运算信息 2）函数使用 BanaFun m （1）目标函数程序. function f BanaFun x =不含导数解析式 ()() f x x x =-+- 100*((2)(1)^2)^2(1(1))^2 -函数不需要导数信息。 Nelder Mead Simplex SimplexUnc m （2）算法参数设置：. ('arg','','','','',250,'','') = options optimset L eScale off gradobj off MaxFunEvals display iter SimplexUnc m （3）函数调用运算：. = ('arg','','','','',250,'','') options optimset L eScale off gradobj on MaxFunEvals display iter x=- [ 1.9,2] x fval exitflag output f search BanaFun x options = [,,,]min(@,,) 3）计算结果 Iteration Func-count min f(x) Procedure 0 1 267.62 1 3 236.4 2 initial simplex 2 5 67.2672 expand 3 7 12.2776 expand 4 8 12.2776 reflect 5 10 12.277 6 contract inside 6 12 6.76772 contract inside 7 13 6.76772 reflect 8 15 6.76772 contract inside 9 17 6.76772 contract outside 10 19 6.62983 contract inside 11 21 6.55249 contract inside 12 23 6.46084 contract inside 13 24 6.46084 reflect 14 26 6.46084 contract inside 15 28 6.45544 contract outside 16 30 6.42801 expand 17 32 6.40994 expand 18 34 6.32449 expand 19 36 6.28548 expand 20 38 6.00458 expand 21 39 6.00458 reflect 22 41 5.43287 expand 第四章无约束优化方法 ——最速下降法，牛顿型方法 概述 在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这种最优化问题为无约束优化问题。尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的，无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优化问题可以通过对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。 为什么要研究无约束优化问题 （1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 （2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 （3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。 所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。 一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度法、共轭梯度法等。 二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯形法等。 无约束优化问题的一般形式可描述为： 求n 维设计变量 []12T n n X x x x R =∈L 使目标函数 ()min f X ? 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 无约束优化问题的求解： 1、解析法 可以利用无约束优化问题的极值条 件求得。即将求目标函数的极值问题变成求方程 0)(min *=X f 的解。也就是 求Ｘ＊ 使其满足 解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值点。但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性的，很难用解析法求解，0)(0)(0)(*2*1*=??=??=??n x X f x X f x X f M 例4-1 MA TLAB实现，用M函数文件形式求解： syms s t; f=s^2+3*t^2-2*t*s+4*t+3*s; [x,minf]=minZBLH(f,[-2 6],[0.2 0.2],1.5,[t s],0.0001,0.0001) 坐标轮换minZBLH函数文件如下： function [x,minf] = minconPS2(f,x0,delta,u,var,eps1,eps2) %目标函数：f; %初始点：x0; %收缩系数：u; %自变量向量：var; %步长精度：eps1; %自变量精度：eps2； if nargin == 7 eps2 = 1.0e-6; end n = length(var); y = x0; bmainCon = 1; while bmainCon yf = subs(f,var,y); yk_1 = y; for i=1:n tmpy = zeros(size(y)); tmpy(i) = delta(i); tmpf = subs(f, var,y+tmpy); if tmpf < yf bcon = 1; while bcon tmpy(i) = 2*tmpy(i); tmpf_i = subs(f, var,y+tmpy); if tmpf_i 第三章无约束最优化方法 本章内容及教学安排 第一节概述 第二节迭代终止原则 第三节常用的一维搜索方法 第四节梯度法 第五节牛顿法 第六节共轭方向法 第七节变尺度法 第八节坐标轮换法 第九节鲍威尔方法 第一节概述 优化问题可分为 无约束优化问题 有约束优化问题 无约束最优化问题求解基于古典极值理论的一种数值迭代方法，主要用来求解非线性规划问题 迭代法的基本思想： 所以迭代法要解决三个问题 1、如何选择搜索方向 2、如何确定步长 3、如何确定最优点（终止迭代） 第二节 迭代终止准则 1）1K K X X ε+-≤ 111/2 21K K K K n i i i X X X X ε++=??-=-≤???? ∑（） 2） 11()()()() () K K K K K f X f X f X f X or f X ε ε ++-≤-≤ 3）(1)()K f X ε+?≤ 第三节 常用的一维搜索方法 本节主要解决的是如何确定最优步长的问题。 从初始点(0)X 出发，以一定的步长沿某一个方向，可以找到一个新的迭代点，其公式如下： (1)(0)00(2)(1)11(1)() K K k k X X S X X S X X S ααα+=+=+= + 现在假设K S 已经确定，需要确定的是步长k α，就把求多维目标函数的极小值这个多维算过程中，当起步点和方向问题，变成求一个变量即步长的最优值的一维问题了。即 (1)()min ()min ()min ()K K K k k f X f X S f αα+=+= 由此可见，最佳步长*K α由一维搜索方法来确定 求*k α，使得()()()()()()min K K K K f f X S αα=+→ 一、一维搜索区间的确定 区间[,]a b 应满足 ()(*)()f a f f b α>< 第四章 无约束优化方法 ——最速下降法，牛顿型方法 概述 在求解目标函数的极小值的过程中，若对设计变量的取值范围不加限制，则称这 种最优化问题为无约束优化问题。尽管对于机械的优化设计问题，多数是有约束的， 无约束最优化方法仍然是最优化设计的基本组成部分。因为约束最优化问题可以通过 对约束条件的处理，转化为无约束最优化问题来求解。 为什么要研究无约束优化问题? （1）有些实际问题，其数学模型本身就是一个无约束优化问题。 （2）通过熟悉它的解法可以为研究约束优化问题打下良好的基础。 （3）约束优化问题的求解可以通过一系列无约束优化方法来达到。 所以无约束优化问题的解法是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 根据构成搜索方向所使用的信息性质的不同，无约束优化方法可以分为两类。 一：间接法——要使用导数的无约束优化方法，如梯度法、（阻尼）牛顿法、变尺度 法、共轭梯度法等。 二：直接法——只利用目标函数值的无约束优化问题，如坐标轮换法、鲍威尔法单纯 形法等。 无约束优化问题的一般形式可描述为： 求n 维设计变量 []12T n n X x x x R =∈L 使目标函数 ()min f X ? 目前已研究出很多种无约束优化方法，它们的主要不同点在于构造搜索方向上的差别。 无约束优化问题的求解： 1、解析法 可以利用无约束优化问题的极值条件求得。即将求目标函数的极值问题变成求方 程 0)(min *=X f 的解。也就是求Ｘ＊使其满足 解上述方程组，求得驻点后，再根据极值点所需满足的充分条件来判定是否为极小值 点。但上式是一个含有ｎ个未知量，ｎ个方程的方程组，在实际问题中一般是非线性 的，很难用解析法求解，要用数值计算的方法。由第二章的讲述我们知道，优化问题 的一般解法是数值迭代的方法。因此，与其用数值方法求解非线性方程组，还不如用 数值迭代的方法直接求解无约束极值问题。 2、数值方法 数值迭代法的基本思想是从一个初始点) 0(X 出发，按照一个可行的搜索方向)0(d ρ搜索，确定最佳的步长0α使函数值沿)0(d ρ方向下降最大，得到)1(X 点。依此一步一步地重复数值计算，最终达到最优点。优化计算所采用的基本迭代公式为 ),2,1,0()()()1(Λρ=+=+k d X X K K K K α （4.2） 在上式中， ()K d r 是第是 k+1 次搜索或迭代方向，称为搜索方向（迭代方向）。 由上面的迭代公式可以看出，采用数值法进行迭代求优时，需要确定初始点)(k X 、搜索方向)(k d ρ和迭代步长K α，称为优化方法迭代算法的三要素。第三章我们已经讨论了如何在搜索方向)(k d ρ上确定最优步长K α的方法，本章我们将讨论如何确定搜索方向)(k d ρ。 最常用的数值方法是搜索方法，其基本思想如下图所示： 0)(0)(0)(*2*1*=??=??=??n x X f x X f x X f M 无约束最优化直接方法和间接方法的异同 无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称 无约束最优化直接方法和间接方法的异同一、什么是无约束最优化 最优化方法（也称做运筹学方法）是近几十年形成的，它主要运用数学方法研究各种系统的优化途径及方案，为决策者提供科学决策的依据。最优化方法的主要研究对象是各种有组织系统的管理问题及其生产经营活动。其的目的在于针对所研究的系统，求得一个合理运用人力、物力和财力的最佳方案，发挥和提高系统的效能及效益，最终达到系统的最优目标。实践表明，随着科学技术的日益进步和生产经营的日益发展，最优化方法已成为现代管理科学的重要理论基础和不可缺少的方法，被人们广泛地应用到公共管理、经济管理、工程建设、国防等各个领域，发挥着越来越重要的作用。 最优化问题分为无约束最优化和约束最优化问题，约束最优化问题是具有辅助函数和形态约束条件的优化问题，而无约束优化问题则没有任何限制条件。无约束最优化问题实际上是一个多元函数无条件极值问题。 虽然在工程实践中，大多数问题都是具有约束的优化问题，但是优化问题的处理上可以将有约束的优化问题转化为无约束最优化问题，然后按无约束方法进行处理。或者是将约束优化问题部分转化为无约束优化问题，在远离极值点和约束边界处按无优化约束来处理，在接近极值点或者约束边界时按照约束最优化问题处理。所以无约束优化问题的解法不仅是优化设计方法的基本组成部分，也是优化方法的基础。 无约束最优化方法大致分为两类：一类是使用导数的间接方法，即在计算过程中要用到目标函数的导数；另一类是直接方法，即只要用到目标函数值，不需要计算导数。这里我们比较这两类方法的异同。 二、无约束最优化方法 1. 使用导数的间接方法 1.1 最速下降法 函数的负梯度方向是函数值在该点下降最快的方向。将n维问题转化为一系列沿负梯度方向用一维搜索方法寻优的问题，利用负梯度作为搜索方向，故称最 目录 1.多维有约束优化............................................. 错误!未定义书签。 题目.................................................... 错误!未定义书签。 已知条件................................................ 错误!未定义书签。 建立优化模型............................................ 错误!未定义书签。 问题分析及设计变量的确定............................. 错误!未定义书签。 目标函数的确定....................................... 错误!未定义书签。 约束条件的建立...................................... 错误!未定义书签。 优化方法的选择.......................................... 错误!未定义书签。 数学模型的求解.......................................... 错误!未定义书签。 确定数学优化模型.................................... 错误!未定义书签。 运用Matlab优化工具箱对数学模型求解.................. 错误!未定义书签。 1. 最优解以及结果分析................................ 错误!未定义书签。 2.多维无约束优化............................................. 错误!未定义书签。 题目.................................................... 错误!未定义书签。 确定优化设计模型........................................ 错误!未定义书签。 运用Matlab优化工具箱对数学模型求解...................... 错误!未定义书签。 编写目标函数........................................ 错误!未定义书签。 绘制该函数的平面和空间等值线........................ 错误!未定义书签。 利用matlab工具箱fminunc函数对该模型进行求解........ 错误!未定义书签。 求解结果............................................. 错误!未定义书签。 1、一维搜索 function f=myfun_yi(x) f=(x-2)^2-1 》》fminbnd(@myfun_yi,1,12) 2、无约束搜索 function f=myfun_wuyueshu(x) f=3*x(1)^2+2*x(1)*x(2)+x(2)^2 >> x0=[1,1] >> [x,fval]=fminunc(@myfun_wuyueshu,x0) 3、约束搜索 min f(x) x 设计变量 b Ax ≤ 线性不等式约束 eq b x A =eq 线性等式约束 ()0≤x C 非线性约束 0=eq C 非线性等式约束 b b u x l ≤≤ 上下限边界约束 例题: ()222 13)(min x x x f +-= ()042211≤-+=x x x g ()012≤-=x x g ()023≤-=x x g 目标函数： function f=myfun_constrain(x) f=(x(1)-3)^2+x(2)^2; 非线性约束函数定义 function [c,ceq]=mycon(x) c=x(1)^2+x(2)-4; ceq=[]; 初始条件及函数调用： %3初始条件 A=[-1,0;0,-1]； b=[0;0]； aeq=[]; beq=[]; lb=[]; ub=[]; x0=[9;9] %函数定义 [x,fval]=fmincon(@myfun_constrain,x0,A,b,aeq,beq, lb,ub,@mycon)%如果x0,A,b,aeq,beq,lb,ub,@mycon中没有某项，用[]代替单纯形法解决无约束优化问题
多维无约束优化算法
无约束优化算法：单纯形法
无约束优化方法
无约束优化方法与MATLAB实现
第三章 无约束最优化方法
无约束优化方法(最速下降法_牛顿法)
无约束最优化直接方法和间接方
无约束最优化直接方法和间接方法的异同
优化设计 有约束优化 无约束优化
约束优化、一维搜索、无约束优化MATLAB程序语句用法
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