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课时提升作业(十六)
一、选择题
1.(2013·崇左模拟)若数列{a n}满足:a1=19,a n+1=a n-3(n∈N*),则数列{a n}的前n项和数值最大时,n的值是( )
(A)6 (B)7 (C)8 (D)9
2.数列{a n}的前n项和为S n,若a n=错误！未找到引用源。,则S10等于( )
(A)错误！未找到引用源。(B)错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。(D)错误！未找到引用源。
3.(2013·长春模拟)在等差数列{a n}中,a9=错误！未找到引用源。a12+6,则数列{a n}的前11项和S11等于( )
(A)24 (B)48 (C)66 (D)132
4.已知数列{a n}的通项公式是a n=2n-3(错误！未找到引用源。)n,则其
前20项和为( )
(A)380-错误！未找到引用源。(1-错误！未找到引用源。)
(B)400-错误！未找到引用源。(1-错误！未找到引用源。)
(C)420-错误！未找到引用源。(1-错误！未找到引用源。)
(D)440-错误！未找到引用源。(1-错误！未找到引用源。)
5.(2013·太原模拟)已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a1,a3,a9成等比
数列,则错误！未找到引用源。=( )
(A)错误！未找到引用源。(B)错误！未找到引用源。
(C)错误！未找到引用源。(D)错误！未找到引用源。
6.数列{a n}的前n项和S n=3n+b(b是常数),若这个数列是等比数列,那么b
为( )
(A)3 (B)0 (C)-1 (D)1
7.等差数列{a n}的前n项和为S n,已知a m-1+a m+1-错误！未找到引用源。=0,S2m-1=38,则m=( )
(A)38 (B)20 (C)10 (D)9
8.(能力挑战题)数列{a n}的前n项和S n=2n-1,则错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。等于( )
(A)(2n-1)2(B)错误！未找到引用源。(2n-1)2
(C)4n-1 (D)错误！未找到引用源。(4n-1)
二、填空题
9.已知等差数列{a n}的前n项和为S n.若a3=20-a6,则S8等于.
10.数列{1+2n-1}的前n项和为.
11.(2013·南宁模拟)已知数列{a n}(n∈N*),其前n项和为S n,给出下列四个命题:
①若{a n}是等差数列,则三点(10,错误！未找到引用源。),(100,错误！未找到引用源。),(110,错误！未找到引用源。)共线;
②若{a n}是等差数列,且a1=-11,a3+a7=-6,则S1,S2,…,S n这n个数中必然存在一个最大值;
③若{a n}是等比数列,则S m,S2m-S m,S3m-S2m(m∈N*)也是等比数列;
④若S n+1=a1+qS n(其中常数a1,q≠0),则{a n}是等比数列.
其中正确命题的序号是(将你认为的正确命题的序号都填上).
12.(2013·哈尔滨模拟)在数列{a n}中,若对任意的n均有a n+a n+1+a n+2为定值(n∈N*),且a7=2,a9=3,a98=4,则此数列{a n}的前100项的和S100= .
三、解答题
13.已知数列{log2(a n-1)}(n∈N*)为等差数列,且a1=3,a3=9.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)求和:
S n=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。.
14.等差数列{a n}中,2a1+3a2=11,2a3=a2+a6-4,其前n项和为S n.
(1)求数列{a n}的通项公式.
(2)设数列{b n}满足b n=错误！未找到引用源。,其前n项和为T n,求证:T n<错误！未找到引用源。(n∈N*).
15.(2013·百色模拟)已知等差数列{a n}中,a3+a5=10,{a n}的前n项和为S n,S5=15.
(1)求数列{a n}的通项公式a n.
(2)设b n=(错误！未找到引用源。)n·a n,求数列{b n}的前n项和T n. 16.(能力挑战题)已知数列{a n}的通项公式是a n=n·2n-1,b n=错误！未找到引用源。,求数列{b n}的前n项和.
答案解析
1.【解析】选B.由已知a1=19,a n+1-a n=-3可得
数列{a n}是以19为首项,以-3为公差的等差数列.
方法一:故S n=19n+错误！未找到引用源。×(-3)=-错误！未找到引用源。n2+错误！未找到引用源。n
=-错误！未找到引用源。(n-错误！未找到引用源。)2+错误！未找到引用源。.
所以当n=7时,S n最大.
方法二:故a n=19+(n-1)×(-3)=-3n+22.
令a n≥0得-3n+22≥0,n≤错误！未找到引用源。.
又∵n∈N*,故n=7.
2.【解析】选D.a n=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。),
所以S10=a1+a2+…+a10
=错误！未找到引用源。(1-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用
源。-错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)
=错误！未找到引用源。(1+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)=错误！未找到引用源。,故选D.
3.【解析】选D.设公差为d,则a1+8d=错误！未找到引用源。a1+错误！未找到引用源。d+6,即a1+5d=12,即a6=12,所以S11=11a6=132.
4.【解析】选C.由a n=2n-3(错误！未找到引用源。)n,
得S20=2(1+2+…+20)-3(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。)
=2×错误！未找到引用源。-3×错误！未找到引用源。=420-错误！未找到引用源。(1-错误！未找到引用源。),故选C.
5. 【解析】选C.等差数列{a n}中,a1=a1,a3=a1+2d,a9=a1+8d,因为a1,a3,a9恰好构成等比数列,所以有错误！未找到引用源。=a1a9,即(a1+2d)2=a1(a1+8d),解得d=a1,所以该等差数列的通项为a n=nd.则错误！未找到引用源。的值为错误！未找到引用源。.
6.【思路点拨】根据数列的前n项和减去前n-1项的和得到数列的第n 项的通项公式,即可得到此等比数列的首项与公比,根据首项和公比,利用等比数列的前n项和公式表示出前n项的和,与已知的S n=3n+b对比后,即可得到b的值.
【解析】选C.因为a n=S n-S n-1=(3n+b)-(3n-1+b)=3n-3n-1=2×3n-1(n≥2),所以此数列是首项为2,公比为3的等比数列,
则S n=错误！未找到引用源。=3n-1,
所以b=-1.
7.【解析】选C.因为{a n}是等差数列,所以a m-1+a m+1=2a m,由a m-1+a m+1-错误！未找到引用源。=0,得2a m-错误！未找到引用源。=0,所以a m=2(a m=0舍),又S2m-1=38,即错误！未找到引用源。=38,即(2m-1)×2=38,解得m=10,故选C.
8.【解析】选D.a n=S n-S n-1=2n-1(n>1),又a1=S1=1=20,适合上式,∴a n=2n-1(n ∈N*),
∴{错误！未找到引用源。}是错误！未找到引用源。=1,q=22的等比数列,由求和公式得错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。(4n-1).
9.【解析】因为a3=20-a6,
所以S8=4(a3+a6)=4×20=80.
答案:80
10.【解析】前n项和S n=(1+20)+(1+21)+(1+22)+…+(1+2n-1)
=n+错误！未找到引用源。=n+2n-1.
答案:n+2n-1
11.【解析】①中设数列{a n}的公差为d,因为A(10,错误！未找到引用源。),B(100,错误！未找到引用源。),C(110,错误！未找到引用源。). 则k AB=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
k BC=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,即k AB=k BC.
故三点共线,所以①正确.
②中由a3+a7=-6,a1=-11得,-22+8d=-6,
∴d=2>0,故{a n}是递增的等差数列,
故S n无最大值,②错.
③中,当{a n}是摆动数列时,如
{a n}为1,-1,1,-1,…时,m取偶数时
S m=0,故③错.
④中,n≥2时,由已知S n=a1+qS n-1,
∴S n+1-S n=q(S n-S n-1),
即a n+1=qa n,
∴错误！未找到引用源。=q.
当n=1时,a2+a1=a1+qa1,故错误！未找到引用源。=q,
故{a n}为等比数列.
答案:①④
12.【解析】设定值为M,则a n+a n+1+a n+2=M,进而a n+1+a n+2+a n+3=M,后式减去前式得a n+3=a n,即数列{a n}是以3为周期的数列.由a7=2,可知a1=a4=a7=…=a100=2,共34项,其和为68;由a9=3,可得a3=a6=…=a99=3,共33项,其和为99;由a98=4,可得a2=a5=…=a98=4,共33项,其和为132.故数列{a n}的前100项的和S100=68+99+132=299.
答案:299
13.【解析】(1)设等差数列{log2(a n-1)}的公差为d.
由a1=3,a3=9得2(log22+d)=log22+log28,
即d=1.
所以log2(a n-1)=1+(n-1)×1=n,即a n=2n+1.
(2)因为错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。,
所以S n=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。=1-错误！未找到引用源。.
14.【解析】(1)2a1+3a2=2a1+3(a1+d)=5a1+3d=11,
2a3=a2+a6-4,
即2(a1+2d)=a1+d+a1+5d-4,得d=2,
则a1=1,故a n=2n-1.
(2)由(1)得S n=n2,∴b n=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。), T n=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)
=错误！未找到引用源。(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)<错误！未找到引用源。(n∈N*).
15.【解析】(1)在等差数列{a n}中,a3+a5=10=2a4,
∴a4=5.
S5=15=5a3,∴a3=3,则等差数列{a n}的公差为2.
∴a n=2n-3.
(2)b n=(错误！未找到引用源。)n·a n=错误！未找到引用源。,
T n=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。,
错误！未找到引用源。T n=错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。,
错误！未找到引用源。T n=错误！未找到引用源。+2·(错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。)-错误！未找到引用源。
T n=-1+(1+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。)-错误！未找到引用源。
=1-错误！未找到引用源。.
16.【解析】错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。=错误！未找到引用源。
=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。,k=1,2,3,…,n
故错误！未找到引用源。+错误！未找到引用源。+…+错误！未找到引用源。
=(错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。)+(错误！未找到引
用源。-错误！未找到引用源。)+…+[错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。]=错误！未找到引用源。-错误！未找到引用源。
=4-错误！未找到引用源。.
【方法技巧】裂项相消法的应用技巧
裂项相消法的基本思想是把数列的通项a n分拆成a n=b n+1-b n或者a n=b n-b n+1或者a n=b n+2-b n等,从而达到在求和时逐项相消的目的,在解题中要善于根据这个基本思想变换数列a n的通项公式,使之符合裂项相消的条件.在裂项时一定要注意把数列的通项分拆成的两项一定是某个数列中的相邻的两项或者是等距离间隔的两项,只有这样才能实现逐项相消后剩下几项,达到求和的目的.
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