学案11 函数与方程
导学目标： 1.结合二次函数的图象，了解函数的零点与方程根的联系，会判断一元二次方程根的存在性及根的个数.2.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似值．
自主梳理
1．函数零点的定义
(1)对于函数y ＝f (x ) (x ∈D )，把使________成立的实数x 叫做函数y ＝f (x ) (x ∈D )的零点． (2)方程f (x )＝0有实根?函数y ＝f (x )的图象与____有交点?函数y ＝f (x )有________． 2．函数零点的判定
如果函数y ＝f (x )在区间[a ，b ]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有____________，那么函数y ＝f (x )在区间________内有零点，即存在c ∈(a ，b )，使得________，这个____也就是f (x )＝0的根．我们不妨把这一结论称为零点存在性定理．
2
第一步，确定区间[a ，b ]，验证________________，给定精确度ε； 第二步，求区间(a ，b )的中点c ； 第三步，计算______：
①若________，则c 就是函数的零点；
②若________，则令b ＝c [此时零点x 0∈(a ，c )]； ③若________，则令a ＝c [此时零点x 0∈(c ，b )]；
第四步，判断是否达到精确度ε：即若|a －b |<ε，则得到零点近似值a (或b )；否则重复第二、三、四步．
自我检测
1．(2010·福建)f (x )＝?
????
x 2＋2x －3，x ≤0
－2＋ln x x >0的零点个数为 ( )
A ．0
B ．1
C ．2
D ．3 2．若函数y ＝f (x )在R 上递增，则函数y ＝f (x )的零点 ( ) A ．至少有一个 B ．至多有一个 C ．有且只有一个 D ．可能有无数个 3．如图所示的函数图象与x 轴均有交点，其中不能用二分法求图中交点横坐标的是( )
A ．①②
B ．①③
C ．①④
D ．③④
4．设f (x )＝3x
＋3x －8，用二分法求方程3x ＋3x －8＝0在x ∈(1,2)内近似解的过程中得f (1)<0，f (1.5)>0，f (1.25)<0，则方程的根所在的区间是 ( )
A ．(1,1.25)
B ．(1.25,1.5)
C ．(1.5,2)
D ．不能确定 5．(2011·福州模拟)若函数f (x )的零点与g (x )＝4x ＋2x －2的零点之差的绝对值不超过0.25，则f (x )可以是 ( )
A ．f (x )＝4x －1
B ．f (x )＝(x －1)2
C ．f (x )＝e x －1
D ．f (x )＝ln(x －0.5)
探究点一 函数零点的判断
例1 判断函数y ＝ln x ＋2x －6的零点个数．
变式迁移1 (2011·烟台模拟)若定义在R 上的偶函数f (x )满足f (x ＋2)＝f (x )，且当x ∈[0,1]时，f (x )＝x ，则函数y ＝f (x )－log 3|x |的零点个数是 ( )
A ．多于4个
B ．4个
C ．3个
D ．2个 探究点二 用二分法求方程的近似解
例2 求方程2x 3＋3x －3＝0的一个近似解(精确度0.1)．
变式迁移2 (2011·淮北模拟)用二分法研究函数f (x )＝x 3＋ln ????x ＋1
2的零点时，第一次经计算f (0)<0，??
?
??21f >0，可得其中一个零点x 0∈________，第二次应计算________．以上横线上应填的内容为
( )
A.????0，12 ??? ??21f B ．(0,1) f ????
12 C.????12，1 ??
? ??4
3f
D.???0，12 ??
? ??41f 探究点三 利用函数的零点确定参数
例3 已知a 是实数，函数f (x )＝2ax 2＋2x －3－a ，如果函数y ＝f (x )在区间[－1,1]上有零点，求a 的取值范围．
变式迁移3 若函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，求实数a 的取值范围．
1．全面认识深刻理解函数零点：
(1)从“数”的角度看：即是使f (x )＝0的实数x ；
(2)从“形”的角度看：即是函数f (x )的图象与x 轴交点的横坐标；
(3)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相切，则零点x 0通常称为不变号零点； (4)若函数f (x )的图象在x ＝x 0处与x 轴相交，则零点x 0通常称为变号零点． 2．求函数y ＝f (x )的零点的方法：
(1)(代数法)求方程f (x )＝0的实数根(常用公式法、因式分解法、直接求解法等)； (2)(几何法)对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数y ＝f (x )的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点；
(3)(二分法)主要用于求函数零点的近似值，二分法的条件f (a )·f (b )<0表明：用二分法求函数的近似零点都是指变号零点．
3．有关函数零点的重要结论：
(1)若连续不间断的函数f (x )是定义域上的单调函数，则f (x )至多有一个零点； (2)连续不间断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号； (3)连续不间断的函数图象通过零点时，函数值符号可能不变．
(满分：75分)
一、选择题(每小题5分，共25分) 1．(2010·天津)函数f (x )＝2x ＋3x 的零点所在的一个区间是 ( ) A ．(－2，－1) B ．(－1,0) C ．(0,1) D ．(1,2)
2．(2011·福州质检)已知函数f (x )＝log 2x －????13x
，若实数x 0是方程f (x )＝0的解，且0 A ．恒为负 B ．等于零 C ．恒为正 D ．不小于零 3．下列函数图象与x 轴均有公共点，其中能用二分法求零点的是 ( ) 4．函数f (x )＝(x －2)(x －5)－1有两个零点x 1、x 2，且x 1 5．(2011·厦门月考)设函数f (x )＝? ???? 4x －4， x ≤1 x 2－4x ＋3，x >1，g (x )＝log 2x ，则函数h (x )＝f (x )－g (x ) 的零点个数是 ( ) 6．定义在R 上的奇函数f (x )满足：当x >0时，f (x )＝2 006x ＋log 2 006x ，则在R 上，函数f (x )零点的个数为________． 7．(2011·深圳模拟)已知函数f (x )＝x ＋2x ，g (x )＝x ＋ln x ，h (x )＝x －x －1的零点分别为x 1，x 2，x 3，则x 1，x 2，x 3的大小关系是______________． 8．(2009·山东)若函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，则实数a 的取值范围是________． 三、解答题(共38分) 9．(12分)已知函数f (x )＝x 3－x 2＋x 2＋1 4 . 证明：存在x 0∈(0，1 2 )，使f (x 0)＝x 0. 10．(12分)已知二次函数f (x )＝4x 2－2(p －2)x －2p 2－p ＋1在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0，求实数p 的取值范围． 11．(14分)(2011·杭州调研)设函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，且f (1)＝－a 2 ，3a >2c >2b ，求证： (1)a >0且－3 4 ； (2)函数f (x )在区间(0,2)内至少有一个零点； (3)设x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则2≤|x 1－x 2|<57 4 . 答案 自主梳理 1．(1)f (x )＝0 (2)x 轴 零点 2.f (a )·f (b )<0 (a ，b ) f (c )＝0 c 3.(x 1,0) (x 2,0) (x 1,0) 两个 一个 无 4.f (a )·f (b )<0 f (c ) ①f (c )＝0 ②f (a )·f (c )<0 ③f (c )·f (b )<0 自我检测 1．C [当x ≤0时，令x 2＋2x －3＝0， 解得x ＝－3； 当x >0时，令－2＋ln x ＝0，解得x ＝e 2， 所以已知函数有两个零点．] 2．B 3.B 4.B 5.A 课堂活动区 例1 解题导引 判断函数零点个数最常用的方法是令f (x )＝0，转化为方程根的个数，解出方程有几个根，函数y ＝f (x )就有几个零点，如果方程的根解不出，还有两种方法判断：方法一是基本方法，是利用零点的存在性原理，要注意参考单调性可判定零点的唯一性；方法二是数形结合法，要注意作图技巧． 解 方法一 设f (x )＝ln x ＋2x －6， ∵y ＝ln x 和y ＝2x －6均为增函数， ∴f (x )也是增函数． 又∵f (1)＝0＋2－6＝－4<0，f (3)＝ln 3>0， ∴f (x )在(1,3)上存在零点．又f (x )为增函数， ∴函数在(1,3)上存在唯一零点． 方法二 在同一坐标系画出y ＝ln x 与y ＝6－2x 的图象，由图可知两图象只有一个交点，故函数y ＝ln x ＋2x －6只有一个零点． 变式迁移1 B [由题意知f (x )是偶函数并且周期为2.由f (x )－log 3|x |＝0，得f (x )＝log 3|x |，令y ＝f (x )，y ＝log 3|x |，这两个函数都是偶函数，画两函数y 轴右 边的图象如图，两函数有两个交点，因此零点个数在x ≠0，x ∈R 的范围内共4个．] 例2 解题导引 ①用二分法求函数的零点时，最好是利用表格，将计算过程所得的各个区间、中点坐标、区间中点的函数值等置于表格中，可清楚地表示出逐步缩小零点所在区间的过程，有时也可利用数轴来表示这一过程； ②在确定方程近似解所在的区间时，转化为求方程对应函数的零点所在的区间，找出的区间[a ，b ]长度尽可能小，且满足f (a )·f (b )<0； ③求方程的近似解，所要求的精确度不同得到的结果也不同，精确度ε，是指在计算过程中得到某个区间(a ，b )后，直到|a －b |<ε时，可停止计算，其结果可以是满足精确度的最后小区间的端点或区间内的任一实数，结果不唯一． 解 设f (x )＝2x 3＋3x －3. 经计算，f (0)＝－3<0，f (1)＝2>0， 所以函数在(0,1)内存在零点， 即方程2x 3＋3x －3＝0在(0,1)内有解． 取(0,1)的中点0.5，经计算f (0.5)<0， 又f (1)>0，所以方程2x 3＋3x －3＝0在(0.5,1)内有解， (a ，b ) (a ，b ) 的中点 f ???? a ＋ b 2 (0,1) 0.5 f (0.5)<0 (0.5,1) 0.75 f (0.75)>0 (0.5,0.75) 0.625 f (0.625)<0 (0.625,0.75) 0.687 5 f (0.687 5)<0 (0.687 5,0.75) |0.687 5－0.75|＝0.062 5<0.1 0.687 5作为函数f (x )零点的近似值．因此0.687 5是方程2x 3＋3x －3＝0精确度0.1的一个近似解． 变式迁移2 D [由于f (0)<0，f ????12>0，而f (x )＝x 3＋ln ????x ＋12中的x 3及ln ??? ?x ＋12在????－12，＋∞上是增函数，故f (x )在??? ?－12，＋∞上也是增函数， 故f (x )在????0，12上存在零点，所以x 0∈??? ?0，12， 第二次计算应计算0和1 2 在数轴上对应的中点 x 1＝0＋122＝1 4 .] 例3 解 若a ＝0，f (x )＝2x －3，显然在[－1，1]上没有零点，所以a ≠0. 令Δ＝4＋8a (3＋a )＝8a 2＋24a ＋4＝0， 解得a ＝－3±7 2. ①当a ＝－3－72时，f (x )＝0的重根x ＝3－7 2∈[－1,1]， 当a ＝－3＋72时，f (x )＝0的重根x ＝3＋72 ?[－1,1]， ∴y ＝f (x )恰有一个零点在[－1,1]上； ②当f (－1)·f (1)＝(a －1)(a －5)<0， 即1 ????? a >0 Δ＝8a 2 ＋24a ＋4>0－1<－12a <1f (1)≥0f (－1)≥0 ，或????? a <0 Δ＝8a 2 ＋24a ＋4>0 －1<－12a <1 f (1)≤0f (－1)≤0 ， 解得a ≥5或a <－3－7 2 . 综上所述实数a 的取值范围是a >1或a ≤－3－7 2 . 变式迁移3 解 方法一 (换元) 设2x ＝t ，则函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1化为g (t )＝t 2＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))． 函数f (x )＝4x ＋a ·2x ＋a ＋1在(－∞，＋∞)上存在零点，等价于方程t 2＋at ＋a ＋1＝0，①有正实数根． (1)当方程①有两个正实根时， a 应满足???? ? Δ＝a 2 －4(a ＋1)≥0t 1＋t 2＝－a >0 t 1· t 2＝a ＋1>0， 解得：－1 (2)当方程①有一正根一负根时，只需t 1·t 2＝a ＋1<0， 即a <－1； (3)当方程①有一根为0时，a ＝－1，此时方程①的另一根为1. 综上可知a ≤2－2 2. 方法二 令g (t )＝t ＋at ＋a ＋1 (t ∈(0，＋∞))． (1)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在两个零点时， 实数a 应满足????? Δ＝a 2－4(a ＋1)≥0 －a 2>0 g (0)＝a ＋1>0 ， 解得－1 (2)当函数g (t )在(0，＋∞)上存在一个零点，另一个零点在(－∞，0)时，实数a 应满足g (0)＝a ＋1<0， 解得a <－1； (3)当函数g (t )的一个零点是0时，g (0)＝a ＋1＝0，a ＝－1，此时可以求得函数g (t )的另一个零点是1. 综上(1)(2)(3)知a ≤2－2 2. 课后练习区 1．B [因为f (－1)＝1 2 －3<0，f (0)＝1>0， 所以f (x )在区间(－1,0)上存在零点．] 2．A 3．C [能用二分法求零点的函数必须在给定区间[a ，b ]上连续不断，并且有f (a )·f (b )<0.A 、B 中不存在f (x )<0，D 中函数不连续．] 4．C 5．B [当x ≤1时，函数f (x )＝4x －4与g (x )＝log 2x 的图象有两个交点，可得h (x )有两个零点，当x >1时，函数f (x )＝x 2－4x ＋3与g (x )＝log 2x 的图象有1个交点，可得函数h (x )有1个零点，∴函数h (x )共有3个零点．] 6．3 解析 函数f (x )为R 上的奇函数，因此f (0)＝0，当x >0时，f (x )＝2 006x ＋log 2 006x 在区间(0，12 006 )内存在一个零点，又f (x )为增函数，因此在(0，＋∞)内有且仅有一个零点．根据对 称性可知函数在(－∞，0)内有且仅有一解，从而函数在R 上的零点的个数为3. 7．x 1 解析 令x ＋2x ＝0，即2x ＝－x ，设y ＝2x ，y ＝－x ； 令x ＋ln x ＝0，即ln x ＝－x ， 设y ＝ln x ，y ＝－x . 在同一坐标系内画出y ＝2x ，y ＝ln x ，y ＝－x ，如图：x 1<0 －x －1＝0， ∴x ＝1＋5 2， 即x 3＝3＋5 2 >1，所以x 1 8．a >1 解析 设函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)和函数y ＝x ＋a ，则函数f (x )＝a x －x －a (a >0，且a ≠1)有两个零点，就是函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)与函数y ＝x ＋a 有两个交点，由图象可知当01时，因为函数y ＝a x (a >1)的图象过点(0,1)，而直线y ＝x ＋a 所过的点一定在点(0,1)的上方，所以一定有两个交点，所以实数a 的取值范围是a >1. 9．证明 令g (x )＝f (x )－x .………………………………………………………………(2分) ∵g (0)＝14，g (12)＝f (12)－12＝－1 8， ∴g (0)·g (1 2 )<0.……………………………………………………………………………(8分) 又函数g (x )在(0，1 2 )上连续，…………………………………………………………(10分) 所以存在x 0∈(0，1 2 )，使g (x 0)＝0. 即f (x 0)＝x 0.………………………………………………………………………………(12分) 10．解 二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ， 使f (c )>0的否定是：对于区间[－1,1]内的任意一个x 都有f (x )≤0.……………………(4分) 此时????? f (1)≤0f (－1)≤0，即????? 2p 2＋3p －9≥02p 2－p －1≥0，解得： p ≥3 2 或p ≤－3.…………………………………………………………………………(10分) ∴二次函数f (x )在区间[－1,1]内至少存在一个实数c ，使f (c )>0的实数p 的取值范围是 －3 2 .…………………………………………………………………………………(12分) 11．证明 (1)∵f (1)＝a ＋b ＋c ＝－a 2 ， ∴3a ＋2b ＋2c ＝0. 又3a >2c >2b ，∴3a >0,2b <0， ∴a >0，b <0. 又2c ＝－3a －2b ，由3a >2c >2b ， ∴3a >－3a －2b >2b . ∵a >0，∴－3 4 .……………………………………………………………………(4分) (2)∵f (0)＝c ，f (2)＝4a ＋2b ＋c ＝a －c . ①当c >0时，∵a >0， ∴f (0)＝c >0且f (1)＝－a 2 <0， ∴函数f (x )在区间(0,1)内至少有一个零点．……………………………………………(7分) ②当c ≤0时， ∵a >0， ∴f (1)＝－a 2 <0且f (2)＝a －c >0， ∴函数f (x )在区间(1,2)内至少有一个零点． 综合①②得f (x )在(0,2)内至少有一个零点．……………………………………………(10分) (3)∵x 1，x 2是函数f (x )的两个零点，则x 1，x 2是方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根． ∴x 1＋x 2＝－b a ，x 1x 2＝c a ＝－32－b a . ∴|x 1－x 2|＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 ＝(－b a )2－4(－32－b a ) ＝(b a ＋2)2＋2.(12分) ∵－3 4 ， ∴2≤|x 1－x 2|<57 4 .……………………………………………………………………(14分) 3. 函数值域的求法： ①配方法：转化为二次函数，利用二次函数的特征来求值；常转化为型),(,)(2n m x c bx ax x f ∈++=的形式； ②逆求法（反求法）：通过反解，用y 来表示x ，再由x 的取值范围，通过解不等式，得出y 的取值范围；常用来解，型 如： ),(,n m x d cx b ax y ∈++= ； ④换元法：通过变量代换转化为能求值域的函数，化归思想； 常针对根号，举例： 令 ，原式转化为： ，再利用配方法。 ⑤利用函数有界法：转化为只含正弦、余弦的函数，运用三角函数有界性来求值域； ⑥基本不等式法：转化成型如： )0(>+ =k x k x y ，利用平均值不等式公式来求值域； ⑦单调性法：函数为单调函数，可根据函数的单调性求值域。 ⑧数形结合：根据函数的几何图形，利用数型结合的方法来求值域。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数y=f(x)的定义域为I ，如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 必修一第一章 集合与函数概念 二、函数 知识点8：函数的概念以及区间 1》函数概念 设A 、B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个数x ，在集合B 中都有唯一确定的数y 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =()f x 注意：①x A ∈．其中，x 叫自变量，x 的取值范围A 叫作定义域 ②与x 的值对应的y 值叫函数值，函数值的集合{()|}f x x A ∈叫值域. 2》区间和无穷大 ①设a 、b 是两个实数，且a=+∞，{|}[,)x x a a ≥=+∞，{|}(,)x x b b <=-∞，{|}(,]x x b b ≤=-∞，(,)R =-∞+∞. 3》决定函数的三个要素是定义域、值域和对应法则. 当且仅当函数定义域、对应法则分别相同时，函数才是同一函数. 典例分析 题型1：函数定义的考察 例1：集合A=}{40≤≤x x ，B=}{20≤≤y y ，下列不表示从A 到B 的函数是（ ） A 、x y x f 21)(= → B 、x y x f 31 )(=→ C 、 x y x f 32 )(=→ D 、x y x f =→)( 例2：下列对应关系是否是从A 到B 的函数： ① }{;:,0,x x f x x B R A →>== ②,:,,B A f N B Z A →==求平方； ③B A f Z B Z A →==:,,，求算术平方根； ④B A f Z B N A →==:,,，求平方； ⑤A=[-2,2],B=[-3,3],B A f →:,求立方。 是函数的是_________________。 题型2：区间的表示 例1：用区间表示下列集合 （1） }{1≥x x =_____________。 （2）}{42≤ 高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理：周俞江 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正 确答案的代号填在题后的括号内（本大题共12个小题, 每小题5分，共60分）. 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ，则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<，则A Y B=( ) A ． {}|0x x ≤ B ．{}|2x x ≥ C ．{0x ≤≤ D ．{}|02x x << 3 .在下列四组函数中，f （x ）与g （x ）表示同一函数的是（ ） A.x x y y ==,1 B ．1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D ．2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是（ ） 5.0≤f 不是映射的是A ．1:3f x y x ?? →= B ．1 :2 f x y x ??→= C ．1:4f x y x ??→= D ．1:6f x y x ??→= 6.函数y ＝f (x )的图象与直线x ＝1的公共点数目是( )． A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数，则k 的范围是（ ） A ．2-≥k B ．2-≤k C ．2->k D ．2- 9.有下面四个命题： ①偶函数的图象一定与y 轴相交； ②奇函数的图象一定通过原点； ③偶函数的图象关于y 轴对称； ④既是奇函数，又是偶函数的函数一定是f (x )＝0(x ∈R )． 其中正确命题的个数是( )． A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 10.图中阴影部分所表示的集合是（ ） A.B ∩［C U (A ∪C)］ B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.［C U (A ∩C)］∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数，则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-，则函数)(x f 的解析式可以是（ ） A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y ＝x 2＋bx ＋c 的图象的对称轴是x ＝2，则有( )． A ．f (1)＜f (2)＜f (4) B ．f (2)＜f (1)＜f (4) C ．f (2)＜f (4)＜f (1) D ．f (4)＜f (2)＜f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是（ ） A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ，且对其内任意实数12,x x 均有：1212()[()()]0x x f x f x --<，则()f x 在),(b a 上是 A ．增函数 B ．减函数 指数函数、对数函数习题精讲 一、指数及对数运算 ［例1］（1）已知x 21 +x 21-=3,求3 2222323++++--x x x x 的值 （2）已知lg(x +y )+lg(2x +3y )－lg3=lg4+lg x +lg y ,求y x 值. （1）【分析】 由分数指数幂运算性质可求得x 23+x 23 -和x 2+x －2的值. 【解】 ∵x 21+x 21-=3 ∴x 23 +x 23 -=(x 21+x 21 -)3－3(x 21+x 21-)=33－3×3=18 x 2+x －2=(x +x －1)2－2=［(x 21+x 21 -)2－2］2－2 =(32－2)2－2=47 ∴原式= 347218++=5 2 （2）【分析】 注意x 、y 取值范围，去掉对数符号，找到x 、y 关系式. 【解】 由题意可得x >0,y >0,由对数运算法则得 lg(x +y )(2x +3y )=lg(12xy ) 则(x +y )(2x +3y )=12xy (2x －y )(x －3y )=0 即2x =y 或x =3y 故y x =21或y x =3 二、指数函数、对数函数的性质应用 ［例2］已知函数y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)(2≤x ≤4)的最大值为0，最小值为－81，求a 的值. 【解】 y =log a 1(a 2x )·log 2a ( ax 1)=－log a (a 2x )［－21log a (ax )］ = 21(2+log a x )(1+log a x )=21(log a x +23)2－8 1 ∵2≤x ≤4且－8 1≤y ≤0 ∴log a x +23=0,即x =a 23-时，y min =－81 1.2.1 函数的概念 班级:__________姓名:__________设计人__________日期__________ 课后练习 【基础过关】 1．下列函数中,值域为(0,+∞)的是( ) A.y= B.y= C.y= D.y=x2+1 2．下列式子中不能表示函数的是 A. B. C. D. 3．函数y=+的定义域是( ) A.(-1,1) B.(-∞,-1)∪(1,+∞) C.(0,1) D.{-1,1} 4．若满足，且，，则等于 A. B. C. D. 5．若为一确定区间，则的取值范围是 . 6．函数的图象是曲线，其中点，，的坐标分别为(0，0)，(1，2)，(3，1)，则的值等于 . 7．求下列函数的定义域. (1)； (2). 8．已知. (1)求，的值； (2)求的值. 【能力提升】 已知函数f(x)对任意实数a,b,都有f(ab)=f(a)+f(b)成立. (1)求f(0),f(1)的值; (2)若f(2)=p,f(3)=q(p,q为常数),求f(36)的值. 答案 【基础过关】 1．B 【解析】y=的值域为[0,+∞),y=的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),y=x2+1的值域为[1,+∞).故选B. 2．A 【解析】一个x对应的y值不唯一. 3．D 【解析】要使函数式有意义,需满足,解得x=±1,故选D. 4．B 【解析】f(72)＝f(8×9)＝f(8)＋f(9)＝3f(2)＋2f(3)＝3p＋2q. 5． 【解析】由题意3a－1＞a，则. 【备注】误区警示：本题易忽略区间概念而得出，则的错误. 6．2 【解析】由图可知f(3)＝1，∴f[f(3)]＝f(1)＝2. 【备注】误区警示：本题在求解过程中会因不理解f[f(3)]的含义而出错. 7．(1)由已知得 高中数学必修1函数的基本性质 1．奇偶性 （1）定义：如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=－f (x )，则称f (x )为奇函数；如果对于函数f (x )定义域内的任意x 都有f (－x )=f (x )，则称f (x )为偶函数。 如果函数f (x )不具有上述性质，则f (x )不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质，则f (x )既是奇函数，又是偶函数。 注意： ○ 1 函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性，函数的奇偶性是函数的整体性质； ○ 2 由函数的奇偶性定义可知，函数具有奇偶性的一个必要条件是，对于定义域内的任意一个x ，则－x 也一定是定义域内的一个自变量（即定义域关于原点对称）。 （2）利用定义判断函数奇偶性的格式步骤： ○ 1 首先确定函数的定义域，并判断其定义域是否关于原点对称； ○ 2 确定f (－x )与f (x )的关系； ○ 3 作出相应结论： 若f (－x ) = f (x ) 或 f (－x )－f (x ) = 0，则f (x )是偶函数； 若f (－x ) =－f (x ) 或 f (－x )＋f (x ) = 0，则f (x )是奇函数。 （3）简单性质： ①图象的对称性质：一个函数是奇函数的充要条件是它的图象关于原点对称；一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于y 轴对称； ②设()f x ，()g x 的定义域分别是12,D D ，那么在它们的公共定义域上： 奇+奇=奇，奇?奇=偶，偶+偶=偶，偶?偶=偶，奇?偶=奇 2．单调性 （1）定义：一般地，设函数y =f (x )的定义域为I ， 如果对于定义域I 内的某个区间D 内的任意两个自变量x 1，x 2，当x 1 高中数学必修一集合与函数知识点 高中数学必修一集合与函数知识点归纳 集合是具有某种特定性质的事物的总体。这里的事物可以是人，物品，也可以是数学元素。例如：1、分散的人或事物聚集到一起;使聚集：紧急～。2、数学名词。一组具有某种共同性质的数学元素：有理数的～。3、口号等等。集合在数学概念中有好多概念，如集合论：集合是现代数学的基本概念，专门研究集合的理论叫做集合论。康托(Cantor，G.F.P.，1845年1918年，德国数学家先驱，是集合论的创始者，目前集合论的基本思想已经渗透到现代数学的所有领域。 集合，在数学上是一个基础概念。什么叫基础概念?基础概念是不能用其他概念加以定义的概念。集合的概念，可通过直观、公理的方法来下定义。 集合是把人们的直观的或思维中的某些确定的能够区分的对象汇合在一起，使之成为一个整体(或称为单体)，这一整体就是集合。组成一集合的那些对象称为这一集合的元素(或简称为元)。 元素与集合的关系 元素与集合的关系有属于与不属于两种。 集合与集合之间的关系 某些指定的对象集在一起就成为一个集合集合符号，含有有限个元素叫有限集，含有无限个元素叫无限集，空集是不含任何元素的集，记做。空集是任何集合的子集，是任何非空集的真子集。任何集合是它本身的子集。子集，真子集都具有传递性。『说明一下：如果集合A的所有元素同时都是集合B的元素，则A称作是B的子集，写作A?B。若A是B的子集，且A不等于B，则A称作是B的真子集，一般写作A?B。中学教材课本里将?符号下加了一个符号(如右图)，不要混淆，考试时还是要以课本为准。所有男人的集合是所有人的集合的真子集。』 集合的几种运算法则 并集：以属于A或属于B的元素为元素的集合称为A与B 的并(集)，记作A B(或B A)，读作A并B (或B并A )，即A B={x|x A，或x B}交集：以属于A且属于B的元差集表示 素为元素的集合称为A与B的交(集)，记作A B(或B A)，读作A交B (或B交A )，即A B={x|x A，且x B}例如，全集U={1，2，3，4，5}A={1，3，5}B={1，2，5}。那么因为A和B中都有1，5，所以A B={1，5}。再来看看，他们两个中含有1，2，3，5这些个元素，不管多少，反正不是你有，就是我有。那么说A B={1，2，3，5}。图中的阴影部分就是A B。有趣的是;例如在1到105中不是3，5，7的整倍数的数有多少个。结果是3，5，7每项减集合 1再相乘。48个。对称差集：设A，B为集合，A与B的对称差集A?B定义为：A?B=(A-B) (B-A)例如：A={a，b，c}，B={b，d}，则A?B={a，c，d}对称差运算的另一种定义是：A?B=(A B)-(A B)无限集：定义：集合里含有无限个元素的集合叫做无限集有限集：令N*是正整数的全体，且N_n={1，2，3，，n}，如果存在一个正整数n，使得集合A与N_n一一对应，那么A 叫做有限集合。差：以属于A而不属于B的元素为元素的集合称为A与B的差(集)。记作：A\B={x│x A，x不属于B}。注：空集包含于任何集合，但不能说空集属于任何集合.补集：是从差集中引出的概念，指属于全集U不属于集合A的元素组成的集合称为集合A的补集，记作CuA，即CuA={x|x U，且x不属于A}空集也被认为是有限集合。例如，全集U={1，2，3，4，5}而A={1，2，5}那么全集有而A中没有的3，4就是CuA，是A的补集。CuA={3，4}。在信息技术当中，常常把CuA写成~A。 集合元素的性质 1.确定性：每一个对象都能确定是不是某一集合的元素，没有确定性就不能成为集合，例如个子高的同学很小的数都不能构成集合。这个性质主要用于判断一个集合是否能形成集合。 2.独立性：集合中的元素的个数、集合本身的个数必须为自然数。 3.互异性：集合中任意两个元素都是不同的对象。如写成 指数函数及其性质教案 一、教学目的 1、使学生掌握指数函数的概念、图象和性质；能初步简单应用。 2、使学生理解数形结合的基本数学思想方法，培养学生观察、联想、类 比、猜测、归纳的能力。 3、使学生体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相 互转化，培养学生用联系的观点看问题。 4、通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、 概括、分析、综合的能力。 二、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 三、教具、学具准备： 多媒体课件：使用多媒体教学手段，增大教学容量和直观性，提高教学效率与质量。 四、教学方法 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 五、学法指导 1.再现原有认知结构。在引入两个实例后，请学生回忆有关指数的概 念，帮助学生再现原有认知结构，为理解指数函数的概念做好准备。 2.领会常见数学思想方法。在借助图象研究指数函数的性质时会遇到 分类讨论、数形结合等基本数学思想方法，这些方法将会贯穿整个高中的数学学习。 3.在互相交流和自主探究中获得发展。在实例的课堂导入、指数函数 的性质研究、例题与训练、课内小结等教学环节中都安排了学生的讨论、分组、交流等活动，让学生变被动的接受和记忆知识为在合作学习的乐趣中主动地建构新知识的框架和体系，从而完成知识的内化过程。 4.注意学习过程的循序渐进。在概念、图象、性质、应用的过程中按 照先易后难的顺序层层递进，让学生感到有挑战、有收获，跳一跳，够得着，不同难度的题目设计将尽可能照顾到课堂学生的个体差异。 六、教学过程 1、复习回顾，以旧悟新 函数的三要素是什么？函数的单调性反映了函数哪方面的特征？ 答：函数的三要素包括：定义域、值域、对应法则。函数的单调性反映了函数值随自变量变化而发生变化的一种趋势，例如：某个函数当自变量取值增大时对应的函数值也增大则表明此函数为增函数，图象上反应出来越往右图象 高一数学必修一函数必背知识点整理 高一数学必修一函数必背知识点 1、函数定义域、值域求法综合 2.、函数奇偶性与单调性问题的解题策略 3、恒成立问题的求解策略 4、反函数的几种题型及方法 5、二次函数根的问题——一题多解 &指数函数y=a^x a^a*a^b=a^a+ba>0,a、b属于Q a^a^b=a^aba>0,a、b属于Q ab^a=a^a*b^aa>0,a、b属于Q 指数函数对称规律： 1、函数y=a^x与y=a^-x关于y轴对称 2、函数y=a^x与y=-a^x关于x轴对称 3、函数y=a^x与y=-a^-x关于坐标原点对称 幂函数y=x^aa属于R 1、幂函数定义：一般地，形如的函数称为幂函数，其中为常数. 2、幂函数性质归纳. 1所有的幂函数在0，+∞都有定义并且图象都过点1，1; 2时，幂函数的图象通过原点，并且在区间上是增函数.特别地，当时，幂函数的图象下凸;当时，幂函数的图象上凸; 3时，幂函数的图象在区间上是减函数.在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴. 方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数，把使成立的实数叫做函数的零点。 2、函数零点的意义：函数的零点就是方程实数根，亦即函数的图象与轴交点的横坐标。 即：方程有实数根函数的图象与轴有交点函数有零点. 3、函数零点的求法： 1 代数法求方程的实数根; 2 几何法对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数的图象联系起来，并利用函数的性质找出零点. 4、二次函数的零点： 二次函数. 1△>0，方程有两不等实根，二次函数的图象与轴有两个交点，二次函数有两个零点. 2△=0，方程有两相等实根，二次函数的图象与轴有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点. 3△<0，方程无实根，二次函数的图象与轴无交点，二次函数无零点. 感谢您的阅读，祝您生活愉快。 高一数学必修1各章知识点总结 第一章集合与函数概念 一、集合有关概念 1.集合的含义 2.集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性如：世界上最高的山 (2)元素的互异性如：由HAPPY的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3)元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西 洋,印度洋,北冰洋} (1)用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1）列举法：{a,b,c……} 2）描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3）语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4）Venn图: 4、集合的分类： (1)有限集含有有限个元素的集合 (2)无限集含有无限个元素的集合 (3)空集不含任何元素的集合例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 A?有两种可能（1）A是B的一部分，；（2）A与B是注意：B 同一集合。 ?/B 反之: 集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作A ?/A 或B 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：①任何一个集合是它本身的子集。A?A ②真子集:如果A?B,且A≠ B那就说集合A是集合B的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A?B, B?C ,那么 A?C ④如果A?B 同时 B?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集，空集是任何非空集合的真子集。 ◆有n个元素的集合，含有2n个子集，2n-1个真子集 人教版数学必修一函数与方程练习题 重点：掌握零点定理的内容及应用 二次函数方程根的分布 学会利用图像进行零点分布的分析 1． 下列函数中，不能用二分法求零点的是（ ） 2． 如果二次函数 )3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） 3． A.()6,2- B.[]6,2- C.{}6,2- D.( )(),26,-∞-+∞ 4． 已知函数22)(m mx x x f --=，则)(x f （ ） A ．有一个零点 B ．有两个零点 C ．有一个或两个零点 D ．无零点 5． 已知函数)(x f 的图象是连续不间断的，有如下的)(,x f x 对应值表 x 1 2 3 4 5 6 函数)(x f 在区间]6,1[上的零点至少有（ ） A ．2个 B ．3个 C ．4个 D ．5个 6． 若方程0=--a x a x 有两个根，则a 的取值范围是（ ） A ．)1(∞+ B ．)1,0( C ．),0(+∞ D ．? 7． 设函数???>≤++=,0,3,0,)(2x x c bx x x f 若2)2(),0()4(-=-=-f f f ，则函数 x x f y -=)(的零点的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 8． 无论m 取哪个实数值，函数)2 3(232--+-=x m x x y 的零点个数都是（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．不确定 9． 已知函数).0(42)(2>++=a ax ax x f 若0,2121=+ 高一数学必修一集合与函数的概念 第一章集合与函数概念 一：集合的含义与表示 1、集合的含义：集合为一些确定的、不同的东西的全体，人们 能意识到这些东西，并且能判断一个给定的东西是否属于这个整体。 把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫集合，简称为集。 2、集合的中元素的三个特性： (1)元素的确定性：集合确定，则一元素是否属于这个集合是确 定的：属于或不属于。 (2)元素的互异性：一个给定集合中的元素是唯一的，不可重复的。 (3)元素的无序性:集合中元素的位置是可以改变的，并且改变位置不影响集合 3、集合的表示：{…} (1)用大写字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2)集合的表示方法：列举法与描述法。 a、列举法：将集合中的元素一一列举出来{a,b,c……} b、描述法： ①区间法：将集合中元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合。 {xR|x-3>2},{x|x-3>2} ②语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} ③Venn图:画出一条封闭的曲线，曲线里面表示集合。 4、集合的分类： (1)有限集：含有有限个元素的集合 (2)无限集：含有无限个元素的集合 (3)空集：不含任何元素的集合 5、元素与集合的关系： (1)元素在集合里，则元素属于集合，即：aA (2)元素不在集合里，则元素不属于集合，即：a￠A 注意：常用数集及其记法： 非负整数集(即自然数集)记作：N 正整数集N*或N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 6、集合间的基本关系 (1).“包含”关系(1)—子集 定义：如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，我们说这两个集合有包含关系，称集合A是集合B的子集。记作：(或BA) 注意：有两种可能(1)A是B的一部分; (2)A与B是同一集合。 反之:集合A不包含于集合B,或集合B不包含集合A,记作AB或BA (2).“包含”关系(2)—真子集 基本初等函数 一．【要点精讲】 1．指数与对数运算 （1）根式的概念： ①定义：若一个数的n 次方等于),1(* ∈>N n n a 且，则这个数称a 的n 次方根。即若 a x n =，则x 称a 的n 次方根)1*∈>N n n 且， 1）当n 为奇数时，n a 的次方根记作n a ； 2）当n 为偶数时，负数a 没有n 次方根，而正数a 有两个n 次方根且互为相反数，记作 )0(>±a a n ②性质：1）a a n n =)(；2）当n 为奇数时，a a n n =； 3）当n 为偶数时，???<-≥==) 0() 0(||a a a a a a n 。 （2）．幂的有关概念 ①规定：1）∈???=n a a a a n (ΛN * ；2）)0(10 ≠=a a ； n 个 3）∈=-p a a p p (1 Q ，4）m a a a n m n m ,0(>=、∈n N * 且)1>n ②性质：1）r a a a a s r s r ,0(>=?+、∈s Q ）； 2）r a a a s r s r ,0()(>=?、∈s Q ）； 3）∈>>?=?r b a b a b a r r r ,0,0()( Q ）。 （注）上述性质对r 、∈s R 均适用。 （3）．对数的概念 ①定义：如果)1,0(≠>a a a 且的b 次幂等于N ，就是N a b =，那么数b 称以a 为底N 的对数，记作,log b N a =其中a 称对数的底，N 称真数 1）以10为底的对数称常用对数，N 10log 记作N lg ； 2）以无理数)71828.2(Λ=e e 为底的对数称自然对数，N e log ，记作N ln ； ②基本性质： 1）真数N 为正数（负数和零无对数）；2）01log =a ； 函数部分难题汇总 1．函数()y f x =的图象与直线1x =的公共点数目是（ ） A ．1 B ．0 C ．0或1 D ．1或2 2．为了得到函数(2)y f x =-的图象，可以把函数(12)y f x =-的图象适当平移， 这个平移是（ ） A ．沿x 轴向右平移1个单位 B ．沿x 轴向右平移 1 2个单位 C ．沿x 轴向左平移1个单位 D ．沿x 轴向左平移1 2 个单位 3．设? ??<+≥-=)10()],6([) 10(,2)(x x f f x x x f 则)5(f 的值为（ ） A ．10 B ．11 C ．12 D ．13 4．已知函数y f x =+()1定义域是[]-23，，则y f x =-()21的定义域是（ ） A ．[]052 ， B. []-14， C. []-55， D. []-37， 5．函数x x x y += 的图象是（ ） 6．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ） A ．)2()1()2 3(f f f <-<- B ．)2()2 3()1(f f f <-<- C ．)23()1()2(-<- 必修一数学第一章集合与函数概念知识点总结 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P ,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋,北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。 ◆ 注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集Z 有理数集Q 实数集R 1） 列举法：{a,b,c ……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合的方法。{x ∈R| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x 2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意：有两种可能（1）A 是B 的一部分，；（2）A 与B 是同一集合。 反之: 集合A 不包含于集合B,或集合B 不包含集合A,记作A B 或B A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且5≤5，则5=5) 实例：设 A={x|x 2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。A ?A ②真子集:如果A ?B,且A ≠ B 那就说集合A 是集合B 的真子集，记作A B(或B A) ③如果 A ?B, B ?C ,那么 A ?C ④ 如果A ?B 同时 B ?A 那么A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 ◆ 有n 个元素的集合，含有2n 个子集，2n-1个真子集 B A ?? /?/ 人教版高中数学必修一《指数函数及其性质》说课稿 各位评委，你们好，今天我说课的内容是普通高中课程标准实验教科书数学必修的第1个模块中第二章的2.1.2指数函数及其性质的第一节课。 下面我从教材分析；教学目标分析；教法、学法分析；教学过程分析；板书设计分析；评价分析等六个方面对本设计进行说明。 一、教材分析 1、教材的地位与作用 （1）本节内容既是函数内容的深化，又是今后学习对数函数、三角函数的基础，具有非常高的实用价值，在教材中起到了承上启下的关键作用。 （2）在指数函数的研究过程中蕴含了数形结合、分类讨论、归纳推理、演绎推理等数学思想方法，通过学习可以帮助学生进一步理解函数，培养学生的函数应用意识，增强学生对数学的兴趣。 2、教材处理 根据学生的认知规律，本节课从具体到抽象，从特殊到一般，由浅入深地进行教学，使学生顺利地掌握知识，发展能力。在教学过程中，运用多媒体辅助教学，提高教学效率。本节教材我分两节完成，第一课时为指数函数的定义，图像及性质；第二课时为指数函数的应用。本节课是第一课时。 3、教学重点、难点 教学重点：指数函数的定义、图象、性质. 教学难点：指数函数的定义理解，指数函数的图象特征及指数函数性质的归纳、概括。 4、教具、学具准备：多媒体课件。 二、教学目标分析 根据教材特点及教学大纲要求，我认为学生通过本节内容的学习要达到以下目标： 1、知识目标：①掌握指数函数的概念；②掌握指数函数的图象和性质；③能初步利用指数函数的概念解决实际问题； 2、能力目标：①渗透数形结合的基本数学思想方法②培养学生观察、联想、类比、猜测、归纳的能力； 3、品德目标：①体验从特殊到一般的学习规律，认识事物之间的普遍联系与相互转化，培养学生用联系的观点看问题②通过教学互动促进师生情感，激发学生的学习兴趣，提高学生抽象、概括、分析、综合的能力③领会数学科学的应用价值。 三、教法、学法分析 1、教法分析 遵循“以学生为主体、教师是数学课堂活动的组织者、引导者和参与者”的现代教育原则。依据本节为概念学习的特点，探究发现式教学法、类比学习法，并利用多媒体辅助教学，以问题的提出、问题的解决为主线，始终在学生知识的“最近发展区”设置问题，倡导学生主动参与，通过不断探究、发现，在师生互动、生生互动中，让学习过程成为学生心灵愉悦的主动认知过程。 2、学法指导 本节课是在学习完“指数”的概念和运算后编排的，针对学生实际情况，我主要在以下几个方面做了尝试： 【考点训练】基本初等函数I-1 一、选择题（共10小题） 1．方程f（x）=x的根称为f（x）的不动点，若函数f（x）=有唯一不动点，且x1=2，x n+1=（n∈N+），则（x2014﹣1）=（） A ．2014 B ． 2013 C ． 1 D ． 2．（2012?泸州二模）设a，b为正实数，，（a﹣b）2=4（ab）3，则log a b=（） A ．1 B ． ﹣1 C ． ±1 D ． 3．（2014?天津二模）设a＞b＞0，a+b=1且x=（）b，y=log a，z=a，则x，y，z的大小关系是（） A ．y＜x＜z B ． z＜y＜x C ． y＜z＜x D ． x＜y＜z 4．（2010?广州模拟）若2＜x＜3，，Q=log2x，，则P，Q，R的大小关系是（） A ．Q＜P＜R B ． Q＜R＜P C ． P＜R＜Q D ． P＜Q＜R 5．设a，b，x∈N*，a≤b，已知关于x的不等式lgb﹣lga＜lgx＜lgb+lga的解集X的元素个数为50个，当ab取最大可能值时，=（） A ．B ． 6 C ． D ． 4 6．函数f（x）的定义域为D，满足：①f（x）在D内是单调函数；②存在[]?D，使得f（x）在[]上的 值域为[a，b]，那么就称函数y=f（x）为“优美函数”，若函数f（x）=log c（c x﹣t）（c＞0，c≠1）是“优美函数”，则t的取值范围为（） A ．（0，1）B ． （0，） C ． （﹣∞，） D ． （0，） 7．（2012?湖北模拟）已知定义域为（O，+∞）的单调函数f（x），若对任意x∈（0，+∞），都有f[f（x）+]=3”，则方程f（x）=2+的解的个数是（） A ．3 B ． 2 C ． 1 D ． O 2x 1.2函数及其表示 §1.2.1函数的概念 【教学目的】 1、使学生理解函数的概念，明确决定函数的定义域、值域和对应法则三个要素； 2、理解函数符号的含义，能根据函数表达式求出定义域、值域； 3、使学生能够正确使用“区间”、“无穷大”的记号； 4、使学生明白静与动的辩证关系，激发学生学习数学的兴趣和积极性。 【教学重点】 在对应的基础上理解函数的概念 【教学难点】 函数概念的理解 【教学过程】 一、复习引入 〖提问〗初中学习的（传统）的函数的定义是什么？初中学过哪些函数？ 〖回答〗设在一个变化过程中有两个变量x 和y ，如果对于x 的每一个值，y 都有唯一的值与它对应，那么就说x 是自变量，y 是x 的函数，并将自变量x 取值的集合叫做函数的定义域，和自变量x 的值对应的y 值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域，这种用变量叙述的函数定义我们称之为函 数的传统定义。 〖讲述〗初中已经学过：正比例函数、反比例函数、一次函数、二次函数等。 〖提问〗问题1：y =1（x ∈R ）是函数吗？ 问题2：y =x 与y = x x 2 是同一函数吗？ 〖投影〗观察对应： 〖分析〗观察分析集合A 与B 之间的元素有什么对应关系？ 二、讲授新课 函数的概念 （一）函数与映射 〖投影〗函数：设A ，B 是非空的数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个 数x ，在集合B 中都有唯一确定的数)(x f 和它对应，那么就称f ：A →B 为从集合A 到集合B 的一个函数，记作y =)(x f ，x ∈A 。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数y =)(x f 的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值，函数值的集合{)(x f |x ∈A}，叫做函数y =)(x f 的值域。 函数符号y =)(x f 表示“y 是x 的函数”，有时简记作函数)(x f 。 函数的三要素：对应法则f 、定义域A 、值域{)(x f |x ∈A} 注：只有当这三要素完全相同时，两个函数才能称为同一函数。 映射：设,A B 是两个非空的集合,如果按某一个确定的对应关系f ,使对于集合A 中的任意一个元素x ,在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应,那么就称对应:f A B →为从集合A 到集合B 的一个映射. 如果集合A 中的元素x 对应集合B 中元素y ,那么集合A 中的元素x 叫集合B 中元素y 的原象,集合B 中元素y 叫合A 中的元素x 的象. 映射概念的理解 (1)映射B A f →:包含三个要素:原像集合A ,像集合B(或B 的子集)以及从集合A 到集合B 的对应法则f .两个集合A,B 可以是数集,也可以是点集或其他集合.对应法则f 可用文字表述,也可以用符号表示.映射是一种特殊的对应关系,它具有: (1)方向性:映射是有次序的,一般地从A 到B 的映射与从B 到A 的映射是不同的; (2)任意性:集合A 中的任意一个元素都有像,但不要求B 中的每一个元素都有原像; (3)唯一性:集合A 中元素的像是唯一的,即不允许“一对多”,但可以“多对一”. 函数与映射的关系 函数是一种特殊的映射.映射与函数概念间的关系可由下表给出. 映射B A f →: 函数B y A x x f y ∈∈=,),( 集合A,B 可为任何集合,其元素可以是物,人,数等 函数的定义域和值域均为非空的数集 对于集合A 中任一元素a ,在集合B 中都有唯一确定的像 对函数的定义域中每一个x ,值域中都有唯一确定的值与之对应 对集合B 中任一元素b ,在集合A 中不一定有原像 对值域中每一个函数值,在定义域中都有确定的自变量的值与之对应 函数是特殊的映射,映射是函数的推广. 〖注意〗（1）函数实际上就是集合A 到集合B 的一个特殊对应f ：A →B 。这里A ，B 为非空的数集。 （2）A ：定义域，原象的集合；{)(x f |x ∈A}：值域，象的集合，其中{)(x f |x ∈A}?B ；f ：对应法则，x ∈A ，y ∈B （3）函数符号：y =)(x f ，y 是x 的函数，简记) (x f 〖回顾〗（二）已学函数的定义域和值域： 1、一次函数)(x f =ax ＋b (a ≠0)：定义域R ，值域R 2、反比例函数)(x f = x k (k ≠0)：定义域{x |x ≠0}，值域{y | y ≠0} 3、二次函数)(x f =ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)：定义域R ，值域：当a ＞0时，｛y |y ≥a b a c 442 -｝；高一数学必修一 函数知识点总结
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