1.1.1 任意角
1．了解任意角的概念．
2．理解象限角的概念及终边相同的角的含义．(重点)
3．掌握判断象限角及表示终边相同的角的方法．(难点)
[基础·初探]
教材整理1 任意角的概念
阅读教材P5前五个自然段的有关内容，完成下列问题．
1．角的概念：一个角可以看做平面内一条射线绕着它的端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形．
2．角的分类：按旋转方向可将角分为如下三类：
如图1-1-1，则α＝________，β＝________.
图1-1-1
【解析】α是按逆时针方向旋转的，为240°，β是按顺时针方向旋转的，为－120°.
【答案】240°－120°
教材整理2 象限角与轴线角
阅读教材P5最后一自然段的有关内容，完成下列问题．
1．象限角：以角的顶点为坐标原点，角的始边为x轴正半轴建立平面直角坐标系．这样，角的终边(除端点外)在第几象限，就说这个角是第几象限角．
2．轴线角：终边在坐标轴上的角．
判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)180°是第二象限角．( )
(2)－45°是第一象限角．( )
(3)第一象限内的角都小于第二象限内的角．( )
【解析】(1)×.180°是轴线角．
(2)×.－45°是第四象限角．
(3)×.如375°＞120°，而375°和120°分别是第一、二象限内的角．
【答案】(1)×(2)×(3)×
教材整理3 终边相同的角
阅读教材P6“思考”及“例1”的有关内容，完成下列问题．
与角α终边相同的角的集合为{β|β＝k·360°＋α，k∈Z}．
1．与30°角终边相同的角的集合可表示为________．
【解析】由终边相同角的表示可知，满足题意的角的集合为{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}．
【答案】{β|β＝k·360°＋30°，k∈Z}
2．将－885°化成k·360°＋α(0°≤α<360°，k∈Z)的形式是________．
【解析】设－885°＝k·360°＋α，易得－885°＝(－3)×360°＋195°.
【答案】(－3)×360°＋195°
[质疑·手记]
预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：
疑问1：
解惑：
疑问2：
解惑：
疑问3：
解惑：
[小组合作型]
(1)
①第一象限角是锐角；②锐角是第一象限角；③第二象限角大于第一象限角；④钝角是第二象限角；⑤小于90°的角是锐角；⑥第一象限角一定不是负角．
其中正确的结论是________(填序号)．
(2)如图1-1-2所示，射线OA绕端点O逆时针旋转45°到OB的位置，再顺时针旋转90°到OC的位置，则∠AOC＝________.
图1-1-2
【精彩点拨】(1)根据任意角、象限角的概念进行判断，正确区分第一象限角、锐角和小于90°的角．
(2)图形→正负角的概念→∠AOC的大小
【自主解答】(1)①400°角是第一象限角，但不是锐角，故①不正确；②锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，故是第一象限角，②正确；③120°角是第二象限角，400°角是第一象限角，故第二象限角不一定大于第一象限角，③不正确；④钝角是大于90°且小于180°的角，终边落在第二象限，故是第二象限角，④正确；⑤0°角是小于90°的角，但不是锐角，故⑤不正确；⑥－300°角是第一象限角，但－300°角是负角，故⑥不正确．
(2)由角的定义可知∠AOC＝45°＋(－90°)＝－45°.
【答案】(1)②④(2)－45°
1．解决此类问题的关键在于正确理解象限角与锐角、直角、钝角、平角、周角等概念，严格辨析它们之间的联系与区别．
2．判断结论正确与否时，若结论正确，需要严格的推理论证，若要说明结论错误，只需举出反例即可．
[再练一题]
1．时钟走了3小时20分，则时针所转过的角的度数为________，分针转过的角的度数为________．
【解析】 时针每小时转30°，分针每小时转360°，由于旋转方向均为顺时针方向，
故转过的角度均为负值，又3小时20分等于313小时，故时针转过的角度为－313
×30°＝－100°；分针转过的角度为－313
×360°＝－1 200°. 【答案】 －100° －1 200°
已知α＝2 016°.
(1)把α改写成k ·360°＋β(k ∈Z,0°≤β＜360°)的形式，并指出它是第几象限角；
(2)求θ，使θ与α终边相同，且－360°≤θ＜720°.
【精彩点拨】 令2 016°＝k ·360°＋β―――→k ∈Z 0°≤β＜360°求k ，β―→ θ＝k ·360°＋β―――――――→－360°≤θ＜720°求k ―→求θ
【自主解答】 (1)用2 016°除以360°商为5，余数为216°，∴k ＝5，∴α＝5×360°＋216°(β＝216°)，
∴α为第三象限角．
(2)∵θ＝k ·360°＋216°，k ∈Z ，又－360°≤θ＜720°，∴k ＝－1,0,1，∴θ＝－144°，216°，576°.
1．把任意角化为k ·360°＋α(k ∈Z 且0°≤α＜360°)的形式，关键是确定k ，可以用观察法(α的绝对值较小)，也可用除法．
2．要求适合某种条件且与已知角终边相同的角时，其方法是先求出与已知角终边相同的角的一般形式，再依条件构建不等式求出k 的值．
3．终边相同的角常用的三个结论：
(1)终边相同的角之间相差360°的整数倍．
(2)终边在同一直线上的角之间相差180°的整数倍．
(3)终边在相互垂直的两直线上的角之间相差90°的整数倍．
[再练一题]
2．在0°～360°之间，求出与下列各角终边相同的角，并判断是第几象限角．
(1)－736°；(2)904°18′. 【导学号：06460000】
【解】(1)－736°＝－3×360°＋344°，344°是第四象限角，
∴344°与－736°是终边相同的角，且－736°为第四象限角．
(2)904°18′＝2×360°＋184°18′，184°18′是第三象限角，
∴184°18′与904°18′是终边相同的角，且904°18′为第三象限角．
[探究共研型]
探究1
【提示】不能，第一象限内的角未必是(0°，90°)的角，其可能是负角，也可能是大于360°的角，其表示为{α|k·360°＜α＜90°＋k·360°，k∈Z}．探究2 终边落在x轴上的角如何表示？
【提示】{α|α＝k·180°，k∈Z}．
探究3 若角α，β满足β＝α＋k·180°，k∈Z，则角α，β的终边存在怎样的关系？
【提示】角α，β的终边落在同一条直线上．
图1-1-3
写出终边落在阴影部分的角的集合．
【精彩点拨】法一：先写出30°及105°终边相同角的集合，再写出其对称区域内角的集合，最后合并便可．
法二：分别写出与30°及105°的终边在同一直线上的角的集合，合并求解便可．【自主解答】法一：设终边落在阴影部分的角为α，角α的集合由两部分组成：
①{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}．
②{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}，
∴角α的集合应当是集合①与②的并集：
{α|k·360°＋30°≤α＜k·360°＋105°，k∈Z}∪{α|k·360°＋210°≤α＜k·360°＋285°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°，k∈Z}∪{α|(2k＋1)180°＋30°≤α＜(2k＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|2k·180°＋30°≤α＜2k·180°＋105°或(2k＋1)·180°＋30°≤α＜(2k ＋1)180°＋105°，k∈Z}
＝{α|n·180°＋30°≤α＜n·180°＋105°，n∈Z}．
法二：与30°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋30°，k∈Z}．与180°－75°＝105°角终边在同一条直线上的角的集合为{α|α＝k·180°＋105°，k∈Z}，
结合图形可知，阴影部分的角的集合为{α|k·180°＋30°≤α＜k·180°＋105°，k ∈Z}．
1．本题的求解注意实线边界与虚线边界的差异．
2．解答此类问题应先在0°～360°上写出角的集合，再利用终边相同的角(或终边在同一条直线上的角)写出符合条件的所有角的集合，最后借助图形表示出区域角的范围．
[再练一题]
3．如图1-1-4所示：
图1-1-4
(1)分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；
(2)写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．
【解】(1)终边在OA的最小正角为150°，故终边在OA的角的集合为{α|α＝k·360°＋150°，k∈Z}．
同理，终边在OB上的最大负角为－45°，
故终边在OB的角的集合为{β|β＝k·360°＋－45°，k∈Z}．
(2)由题图知，阴影部分区域表示为
{x |k ·360°＋－45°≤x ≤k ·360°＋150°，k ∈Z }．
[构建·体系]
1．－210°为第________象限角．
【解析】 －210°＝(－1)×360°＋150°，150°是第二象限角．
【答案】 二
2．钟表经过4小时，时针转过的度数为________，分针转过的度数为________．
【解析】 分针和时针均按顺时针方向旋转，其中分针连续转过4周，时针转过13
周． 【答案】 －120° －1 440°
3．下列四个角中与30°角终边相同的角是________．
①－30°；②210°；③390°；④－360°.
【解析】 ∵390°＝360°＋30°，∴390°角与30°角的终边相同．
【答案】 ③
4．在0°≤α＜360°中与－120°角终边相同的角为________．
【解析】 ∵－120°＝－360°＋240°，
∴在0°～360°内与－120°终边相同的角为240°.
【答案】 240°
5．(2016·南通高一检测)已知角β的终边在直线3x －y ＝0上．
(1)写出角β的集合S ；
(2)写出S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素．
【导学号：06460001】
【解】 (1)如图，直线3x －y ＝0过原点，倾斜角为60°，
在0°～360°范围内，终边落在射线OA 上的角是60°，终边
落在射线OB 上的角是240°，所以以射线OA ，OB 为终边的角的
集合为：S 1＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }，S 2＝{β|β＝
k ·360°＋240°，k ∈Z }，
所以，角β的集合S ＝S 1∪S 2
＝{β|β＝k ·360°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝60°＋180°＋k ·360°，k ∈Z }＝{β|β＝2k ·180°＋60°，k ∈Z }∪{β|β＝(2k ＋1)·180°＋60°，k ∈Z }＝{β|β＝n ·180°＋60°，n ∈Z }．
(2)由于－360°≤β＜720°，即－360°≤60°＋n ·180°＜720°，n ∈Z ，解得－73
≤n ＜113
，n ∈Z ， 所以n ＝－2，－1,0,1,2,3.
所以S 中适合不等式－360°≤β＜720°的元素为：
2×180°－60°＝－300°；
1×180°－60°＝－120°；
0×180°－60°＝60°；
1×180°＋60°＝240°；
2×180°＋60°＝420°；
3×180°＋60°＝600°.
我还有这些不足：
(1)
(2)
我的课下提升方案：
(1)
(2)
学业分层测评(一) 任意角
(建议用时：45分钟)
[学业达标]
一、填空题
1．与405°终边相同的角的集合为________．
【解析】与405°角终边相同的角，可表示为k·360°＋45°，k∈Z.
【答案】{α|α＝k·360°＋45°，k∈Z}
2．(2016·如东高一检测)下面各组角中，终边相同的有________．(填序号)
①390°，690°；②－330°，750°；③480°，－420°；
④3 000°，－840°.
【解析】－330°＝－360°＋30°，750°＝2×360°＋30°，均与30°角终边相同．【答案】②
3．在－390°，－885°，1 351°，2 016°这四个角中，其中第四象限内的角有________. 【导学号：06460002】
【解析】－390°＝－360°－30°，显然终边落在第四象限；
－885°＝－720°－165°，其角的终边落在第三象限；
1 351°＝1 080°＋271°，其角的终边落在第四象限；
2 016°＝2 160°－144°，其角的终边落在第三象限，
故满足题意的角有－390°，1 351°.
【答案】－390°，1 351°
4．(2016·泰州高一检测)下列命题正确的是________(填序号)．
①三角形的内角必是第一、二象限角；
②始边相同而终边不同的角一定不相等；
③第四象限角一定是负角；
④钝角比第三象限角小．
【解析】只有②正确．对于①，如A＝90°不在任何象限；对于③，如330°在第四象限但不是负角；对于④，钝角不一定比第三象限角小．
【答案】②
5．(2016·南京高一检测)已知角α＝－3 000°，则与α终边相同的最小正角是________．
【解析】与α终边相同的角的集合为{θ|θ＝k·360°－3 000°，k∈Z}，与θ终边相同的最小正角是当k＝9时，θ＝9×360°－3 000°＝240°，所以与α终边相同的最小正角为240°.
【答案】240°
6．(2016·宿迁高一检测)若角α的终边与240°角的终边相同，则
α2的终边在第________象限．
【解析】 角α满足的集合为{α|α＝k ·360°＋240°，k ∈Z }，故有??????
????α2??? α2＝k ·180°＋120°，k ∈Z ， ∴α2
终边落在第二象限或第四象限． 【答案】 二或四
7．若α是第四象限角，则180°－α是第________象限角．
【解析】 如图所示，α是第四象限角，则－α是第一象限角，
∴180°－α是第三象限角．
【答案】 三
8．已知α是第二象限角，且7α与2α的终边相同，则α＝
________.
【解析】 7α＝k ·360°＋2α(k ∈Z )，∴α＝k ·72°，又α为第二象限角，∴在0°～360°内符合条件的角为144°，故α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )．
【答案】 α＝k ·360°＋144°(k ∈Z )
二、解答题
9．(2016·无锡高一检测)将下列各角表示为k ·360°＋α(k ∈Z,0°≤α＜360°)的形式，并指出是第几象限角．
(1)420°；(2)－510°；(3)1 020°.
【解】 (1)420°＝360°＋60°，
而60°角是第一象限角，故420°是第一象限角．
(2)－510°＝－2×360°＋210°，
而210°是第三象限角，故－510°是第三象限角．
(3)1 020°＝2×360°＋300°，
而300°是第四象限角，故1 020°是第四象限角．
10．写出终边在如图1-1-5所示阴影部分(包括边界)的角的集合．
图1-1-5
【解】先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，则
(1){α|k·360°＋30°≤α≤k·360°＋150°，k∈Z}．
(2){α|k·360°－210°≤α≤k·360°＋30°，k∈Z}．
[能力提升]
1．下列说法中正确的是________．(填序号)
①120°角与420°角的终边相同；
②若α是锐角，则2α是第二象限的角；
③－240°角与480°角都是第三象限的角；
④60°角与－420°角的终边关于x轴对称．
【解析】对于①，420°＝360°＋60°，所以60°角与420°角终边相同，所以①不正确；对于②，α＝30°角是锐角，而2α＝60°角也是锐角，所以②不正确；对于③，480°＝360°＋120°，所以480°角是第二象限角，所以③不正确；对于④，－420°＝－360°－60°，又60°角与－60°角终边关于x轴对称，故④正确．
【答案】④
2．集合{α|k·180°＋45°≤α≤k·180°＋90°，k∈Z}中，角所表示的范围(阴影部分)正确的是________．
图1-1-6
【解析】令k＝0得，45°≤α≤90°，排除②④，
令k＝－1得，－135°≤α≤－90°，排除①.
故填③.
【答案】③
3．已知集合M＝{第一象限角}，N＝{锐角}，P＝{小于90°的角}，则以下关系式你认为正确的是________(填序号)．
①M P；②M∩P＝N；③N∪P?P.
【解析】对于①：390°是第一象限角，但390°>90°.
对于②：－330°是第一象限角且－330°<90°，但－330°不是锐角．
对于③：锐角一定小于90°，所以N P ，
故N ∪P ?P .
【答案】 ③
4．若α是第一象限角，问－α，2α，α3
是第几象限角？ 【解】 ∵α是第一象限角，∴k ·360°＜α＜k ·360°＋90°(k ∈Z )．
(1)－k ·360°－90°＜－α＜－k ·360°(k ∈Z )，
∴－α所在区域与(－90°，0°)范围相同，故－α是第四象限角．
(2)2k ·360°＜2α＜2k ·360°＋180°(k ∈Z )，
∴2α所在区域与(0°，180°)范围相同，故2α是第一、二
象限角或终边在y 轴的非负半轴上．
(3)k ·120°＜α3
＜k ·120°＋30°(k ∈Z )． 法一：(分类讨论)当k ＝3n (n ∈Z )时，
n ·360°＜α3
＜n ·360°＋30°(n ∈Z )，
∴α3
是第一象限角； 当k ＝3n ＋1(n ∈Z )时，n ·360°＋120°＜α3＜n ·360°＋150°(n ∈Z )，∴α3
是第二象限角；
当k ＝3n ＋2(n ∈Z )时，n ·360°＋240°＜α3＜n ·360°＋270°(n ∈Z )，∴α3
是第三象限角．
综上可知：α3
是第一、二或第三象限角．
法二：(几何法)如图，先将各象限分成3等份，再从x 轴的非负
半轴的上方起，依次将各区域标上1,2,3,4，则标有1的区域即为α3
终边所落在的区域，故α3
为第一、二或第三象限角.
高中数学公式：三角函数公式大全三角函数看似很多，很复杂，但只要掌握了三角函数的本质及内部规律就会发现三角函数各个公式之间有强大的联系。而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全： 锐角三角函数公式 sin α=∠α的对边 / 斜边 cos α=∠α的邻边 / 斜边 tan α=∠α的对边 / ∠α的邻边 cot α=∠α的邻边 / ∠α的对边 倍角公式 Sin2A=2SinA?CosA Cos2A=CosA^2-SinA^2=1-2SinA^2=2CosA^2-1 tan2A=（2tanA）/（1-tanA^2） （注：SinA^2 是sinA的平方 sin2（A）） 三倍角公式 sin3α=4sinα·sin(π/3+α)sin(π/3-α) cos3α=4cosα·cos(π/3+α)cos(π/3-α) tan3a = tan a · tan(π/3+a)· tan(π/3-a) 三倍角公式推导 sin3a
=sin(2a+a) 页 1 第 =sin2acosa+cos2asina 辅助角公式 Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)sin(α+t)，其中 sint=B/(A^2+B^2)^(1/2) cost=A/(A^2+B^2)^(1/2) tant=B/A Asinα+Bcosα=(A^2+B^2)^(1/2)cos(α-t)，tant=A/B 降幂公式 cos(2α))/2=versin(2α)/2sin^2(α)=(1- cos^2(α)=(1+cos(2α))/2=covers(2α)/2 -cos(2α))/(1+cos(2α))tan^2(α)=(1 推导公式 tanα+cotα=2/sin2α 2cot2α-cotα=-tanα s2α=2cos^2α1+co 1-cos2α=2sin^2α 1+sinα=(sinα/2+cosα /2)^2=2sina(1-sin2a)+(1-2sin2a)sina =3sina-4sin3a cos3a =cos(2a+a) =cos2acosa-sin2asina 页 2 第 =(2cos2a-1)cosa-2(1-sin2a)cosa =4cos3a-3cosa
第2课时三角函数线 学习目标 1.掌握正弦、余弦、正切函数的定义域. 2.了解三角函数线的意义，能用三角函数线表示一个角的正弦、余弦和正切. 3.能利用三角函数线解决一些简单的三角函数问题．
知识点一有向线段 思考1比如你从学校走到家和你从家走到学校，效果一样吗？ 思考2如果你觉得效果不同，怎样直观的表示更好？ 梳理有向线段 (1)有向线段：规定了________(即规定了起点和终点)的线段称为有向线段． (2)有向直线：规定了正方向的直线称为有向直线． (3)有向线段的数量：根据有向线段AB与有向直线l的方向相同或相反，分别把它的长度添上______或______，这样所得的数，叫做有向线段的数量，记为AB. (4)单位圆：圆心在________，半径等于____________的圆． 知识点二三角函数线 思考1在平面直角坐标系中，任意角α的终边与单位圆交于点P，过点P作PM⊥x轴，过点A(1,0)作单位圆的切线，交α的终边或其反向延长线于点T，如图所示，结合三角函数的定义，你能得到sin α，cos α，tan α与MP，OM，AT的关系吗？
思考2三角函数线的方向是如何规定的？ 思考3三角函数线的长度和方向各表示什么？梳理
知识点三正弦、余弦、正切函数的定义域 思考对于任意角α，sin α，cos α，tan α都有意义吗？梳理三角函数的定义域
类型一 三角函数线 例1 作出－5π 8的正弦线、余弦线和正切线． 反思与感悟 (1)作正弦线、余弦线时，首先找到角的终边与单位圆的交点，然后过此交点作x 轴的垂线，得到垂足，从而得到正弦线和余弦线． (2)作正切线时，应从点A (1,0)引单位圆的切线交角的终边或终边的反向延长线于一点T ，即可得到正切线AT . 跟踪训练1 在单位圆中画出满足sin α＝1 2的角α的终边，并求角α的取值集合．
三角函数知识点复习 §1.1.1、任意角 1、正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角终边相同的角的集合： . §1.1.2、弧度制 1、把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 . 3、弧长公式：. 4、扇形面积公式：. §1.2.1、任意角的三角函数 1、设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，那么： 2、 设点为角终边上任意一点，那么：（设），，， 3、 ，，在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、特殊角0°，30°，45°，60°， 1、平方关系：. 2、商数关系：. 3、倒数关系： §1.3、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”） 1、 诱导公式一： （其中：）
2、 诱导公式二： 3、诱导公式三： 4、诱导公式四： 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： §1.4.1、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大 最小值、对称轴、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. 在上的五个关键点为：
§1.4.3、正切函数的图象与性质 图表归纳：正弦、余弦、正切函数的图像及其性质
图象
定 义 域 值 域 [-1,1][-1,1] 最 值 周 期 性 奇 偶 性 奇偶 单调性在上单调递增 在上单调递减 在上单调递增 在上单调递减 对称性对称轴方程： 对称中心 对称轴方程： 对称中心
1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象：
三角函数公式 1.正弦定理： A a sin = B b sin =C c sin = 2R （R 为三角形外接圆半径） 2.余弦定理：a 2=b 2+c 2-2bc A cos b 2=a 2+c 2-2ac B cos c 2=a 2+b 2-2ab C cos bc a c b A 2cos 2 22-+= 3.S ⊿= 21a a h ?=21ab C sin =21bc A sin =21ac B sin =R abc 4=2R 2A sin B sin C sin =A C B a sin 2sin sin 2=B C A b sin 2sin sin 2=C B A c sin 2sin sin 2=pr=))()((c p b p a p p --- (其中)(2 1 c b a p ++=, r 为三角形内切圆半径) 4.诱导公试 注：奇变偶不变，符号看象限。 注：三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号；即：函数名不变，符号看象限 注：三角函数值等于α的 异名三角函数值，前面加上一个把α看作锐角时，原三角函数值的符号;即：
函数名改变，符号看象限 5.和差角公式 ①βαβαβαsin cos cos sin )sin(±=± ②βαβαβαsin sin cos cos )cos( =± ③β αβ αβαtg tg tg tg tg ?±= ± 1)( ④)1)((βαβαβαtg tg tg tg tg ?±=± 6.二倍角公式：(含万能公式) ①θ θ θθθ2 12cos sin 22sin tg tg += = ②θ θ θθθθθ2 22 2 2 2 11sin 211cos 2sin cos 2cos tg tg +-=-=-=-= ③θθθ2122tg tg tg -= ④22cos 11sin 222θθθθ-=+=tg tg ⑤22cos 1cos 2 θθ+= 7.半角公式：（符号的选择由 2 θ 所在的象限确定） ①2cos 12 sin θθ -± = ②2 cos 12sin 2θ θ-= ③2cos 12cos θθ+±= ④2cos 12 cos 2 θθ += ⑤2sin 2cos 12θθ=- ⑥2 cos 2cos 12θθ=+ ⑦2 sin 2 cos )2 sin 2 (cos sin 12θ θθθθ±=±=± ⑧θ θ θθθθθ sin cos 1cos 1sin cos 1cos 12 -=+=+-± =tg 8.积化和差公式： [])sin()sin(21cos sin βαβαβα-++=[] )sin()sin(21 sin cos βαβαβα--+=[])cos()cos(21cos cos βαβαβα-++= ()[]βαβαβα--+-=cos )cos(2 1 sin sin 9.和差化积公式：
《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα< ,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号 5.2.1 三角函数的概念 1.借助单位圆理解任意角三角函数的定义； 2.根据定义认识函数值的符号。理解诱导公式一； 3.能初步运用定义分析和解决与三角函数值有关的一些简单问题。 1.教学重点：任意角的三角函数（正弦函数、余弦函数、正切函数）的定义； 2.教学难点：任意角的三角函数概念的建构过程，解决与三角函数值有关的一些简单问题。 一、设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 二、三角函数的定义域。 三角函数 定义域 αsin =y αcos =y αtan =y 三、诱导公式 =+)2sin(παk ；=+)2(cos παk ； =+)2(tan παk 。Z k ∈ 一、探索新知 探究一.角α的始边在x 轴非负半轴，终边与单位圆交于点P 。当πα=时，点P 的坐标是什么？当 322ππα或= 时，点P 的坐标又是什么？它们唯一确定吗？ 探究二 ：一般地，任意给定一个角α，它的终边OP 与单位圆交点P 的坐标能唯一确定吗？ 1.任意角的三角函数定义 设角， 是一个任意角，R ∈αα它的终边与单位圆交于点),(P y x 。 那么（1） 的正弦函数。叫做α记作 ，;sin α=y 即 （2） 的余弦函数。 叫做α记作 ，;cos α=x 即 （3） 的正切。叫做α记作 ;tan α=x y 即 )0(tan ≠=x x y α是 以角为自变量，以单位圆上点的纵坐标与横坐标的比值为函数值的函数，称为 （tangent function)。 正弦函数，余弦函数，正切函数都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，我们将他们称为三角函数. 通常将它们记为：正弦函数 R x x y ∈=,sin 余弦函数 R x x y ∈=,cos 正切函数 )(2,tan Z k k x x y ∈+≠=ππ 探究三：在初中我们学了锐角三角函数，知道它们都是以锐角为自变量。以比值为函数值的函数，设)2 ,0(π ∈x ，把按锐角三角函数定义求得的锐角x 的正弦记为1z ，并把按本节三角函数定义求得的 x 的正弦记为1y 。1z 与1y 相等吗？对于余弦、正切也有相同的结论吗？ 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化：,23600π= ,1800π= 1rad ＝π 180°≈°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 弧长公式：r l .α= 扇形面积公式:S=r l .2 1 α----是圆心角且为弧度制。 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： x y + O — — + # x y O — + + — + y O ) | — + + — sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1。（2）商数关系：αα cos sin =tan α （z k k ∈+≠ ,2 ππ α） 6.诱导公式：记忆口诀：2 k παα±把的三角函数化为的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号 看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ' ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． 7正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质 三角函数公式大全关系： 倒数 tanα·cotα=1 sinα·cscα=1 cosα·secα=1 商的关系： sinα/cosα=tanα=secα/cscα cosα/sinα=cotα=cscα/secα 平方关系： sin^2(α)+cos^2(α)=1 1+tan^2(α)=sec^2(α) 1+cot^2(α)=csc^2(α) 平常针对不同条件的常用的两个公式 sin^2(α)+cos^2(α)=1 tan α *cot α=1 一个特殊公式 （sina+sinθ）*（sina-sinθ）=sin（a+θ）*sin（a-θ） 证明：（sina+sinθ）*（sina-sinθ）=2 sin[(θ+a)/2] cos[(a-θ)/2] *2 cos[(θ+a)/2] sin[(a-θ)/2] =sin（a+θ）*sin（a-θ） 坡度公式 我们通常半坡面的铅直高度h与水平高度l的比叫做坡度（也叫坡比），用字母i表示，即 i=h / l, 坡度的一般形式写成 l : m 形式，如i=1:5.如果把坡面与水平面的夹角记作 a(叫做坡角），那么 i=h/l=tan a. 锐角三角函数公式 正弦： sin α=∠α的对边/∠α的斜边 余弦：cos α=∠α的邻边/∠α的斜边 正切：tan α=∠α的对边/∠α的邻边 余切：cot α=∠α的邻边/∠α的对边 二倍角公式 正弦 sin2A=2sinA·cosA 余弦 1.Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a) 2.Cos2a=1-2Sin^2(a) 3.Cos2a=2Cos^2(a)-1 即Cos2a=Cos^2(a)-Sin^2(a)=2Cos^2(a)-1=1-2Sin^2(a) 高中数学三角函数公式大全 三角函数看似很多，很复杂，而掌握三角函数的内部规律及本质也是学好三角函数的关键所在，下面是三角函数公式大全：操作方法 01 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) = (tanA+tanB)/(1-tanAtanB) tan(A-B) = (tanA-tanB)/(1+tanAtanB) cot(A+B) = (cotAcotB-1)/(cotB+cotA) cot(A-B) = (cotAcotB+1)/(cotB-cotA) 02 倍角公式 tan2A = 2tanA/(1-tan^2 A) Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos^2 A--Sin^2 A =2Cos^2 A—1 =1—2sin^2 A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)^3; cos3A = 4(cosA)^3 -3cosA -a) tan3a = tan a ? tan(π/3+a)? tan(π/3 半角公式 --cosA)/2} sin(A/2) = √{(1 cos(A/2) = √{(1+cosA)/2} --cosA)/(1+cosA)} tan(A/2) = √{(1 cot(A/2) = √{(1+cosA)/(1 -cosA)} tan(A/2) = (1--cosA)/sinA=sinA/(1+cosA) §1.6三角函数模型的简单应用 【学习目标 细解考纲】 1、会用三角函数解决一些简单的问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. 2通过对三角函数的应用，发展数学应用意识，求对现实世界中蕴涵的一些数学模型进行思考和作出判断. 【知识梳理 双基再现】 1、三角函数可以作为描述现实世界中_________现象的一种数学模型. 2、|sin |y x =是以____________为周期的波浪型曲线. 3、如图所示，有一广告气球，直径为6m ，放在公司大楼上空，当行人仰望气球中心的仰角030BAC ∠=时，测得气球的视角01β=，若θ很小时，可取sin θθ≈，试估算该气球离地高度BC 的值约为（ ）. A ．72cm B ．86cm C ．102cm 【小试身手 轻松过关】 1、设()y f t =是某港口水的深度关于时间t (时)的函数，其中024t ≤≤,下表是该港口某一天从0至24时记录的时间与水深的关系. 经长期观察，函数()y f t =的图象可以近似地看成函数sin()y k A t ω?=++的图象. 根据上述数据，函数()y f t =的解析式为（ ） A ．123sin ,[0,24]6t y t π=+∈ B ．123sin(),[0,24]6 t y t ππ=++∈ C ．123sin ,[0,24]12t y t π=+∈ D ．123sin(),[0,24]122 t y t ππ=++∈ 2、如图，是一弹簧振子作简谐运动的图象，横轴表示振动的时间，纵轴表示振子的位移，则这个振子振动的函数解析式是____________. 3、如图是一向右传播的绳波在某一时刻绳子各点的位置图，经过 12 周期后，乙点的位置将移至（ ） A ．甲 B ．乙 C ．丙 D ．丁 高中数学必修4知识点总结 第一章 三角函数（初等函数二） ?? ?? ?正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角． 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<， 则sin y r α= ，cos x r α= ，()tan 0y x x α= ≠． 10、三角函数在各象限的符号：第一象限全为正，第二象限正弦为正，第三象限正切为正，第四象限余弦为正． 11、三角函数线：sin α=M P ，cos α=O M ，tan α=AT ． 12、同角三角函数的基本关系：()2 2 1sin cos 1αα+= 高中数学学案：三角函数的最值问题 1. 会通过三角恒等变形、利用三角函数的有界性、结合三角函数的图象,求三角函数的最值和值域． 2. 掌握求三角函数最值的常见方法,能运用三角函数最值解决一些实际问题. 1. 阅读：必修4第24～33页、第103～116页、第119～122页． 2. 解悟：①正弦、余弦、正切函数的图象和性质是什么？②三角函数y ＝A sin (ωx ＋φ)(A>0,ω>0)的最值及对应条件；③两角和与差的正弦、余弦、正切公式是什么？辅助角公式是否熟练？④二倍角公式是什么？由倍角公式得到的降幂扩角公式是什么？必修4第123页练习第4题怎么解？ 3. 践习：在教材空白处,完成必修4第131页复习题第9、10、16题. 基础诊断 1. 函数f(x)＝sin x,x ∈? ????π6，2π3的值域为? ?? ??12，1__． 2. 函数f(x)＝sin x －cos ? ?? ??x ＋π6的值域为3]__． 解析：因为f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin (x －π6), 所以函数f(x)＝sin x －cos (x ＋π6)的值域为[－3,3]． 3. 若函数f(x)＝(1＋3tan x)cos x,0≤x<π2,则f(x)的最大值为__2__． 解析：f(x)＝(1＋3tan x)cos x ＝cos x ＋3sin x ＝2sin ? ????x ＋π6.因为0≤x<π2,所以π6≤x ＋π6<2π3,所以sin ? ????x ＋π6∈???? ??12，1, 所以当sin ? ?? ??x ＋π6＝1时,f(x)有最大值2. 4. 函数y ＝2sin 2x －3sin 2x 范例导航 考向? 形如y ＝a sin 2x ＋b cos x ＋c 的三角函数的最值 高中数学三角函数知识点总结 1.特殊角的三角函数值： 2．角度制与弧度制的互化： ,23600π= ,1800 π= 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3.弧长及扇形面积公式 (1)弧长公式：r l .α= α----是圆心角且为弧度制 (2)扇形面积公式:S=r l .2 1 r-----是扇形半径 4.任意角的三角函数 设α是一个任意角，它的终边上一点p （x,y ）, r=22y x + (1)正弦sin α= r y 余弦cos α=r x 正切tan α=x y (2)各象限的符号： 记忆口诀：一全正，二正弦，三两切，四余弦 sin α cos α tan α 5.同角三角函数的基本关系： （1）平方关系：s in 2α+ cos 2α=1 （2）商数关系：ααcos sin =tan α（z k k ∈+≠,2 ππ α） 6.诱导公式： 记忆口诀：把2 k π α±的三角函数化为α的三角函数，概括为：奇变偶不变，符号看象限。 ()()1sin 2sin k παα+=，()cos 2cos k παα+=，()()tan 2tan k k παα+=∈Z ． ()()2sin sin παα+=-，()cos cos παα+=-，()tan tan παα+=． ()()3sin sin αα-=-，()cos cos αα-=，()tan tan αα-=-． ()()4sin sin παα-=，()cos cos παα-=-，()tan tan παα-=-． 口诀：函数名称不变，符号看象限． ()5sin cos 2π αα??-= ???，cos sin 2παα?? -= ??? ． ()6sin cos 2π αα??+= ???，cos sin 2παα?? +=- ??? ． 口诀：正弦与余弦互换，符号看象限． x y O — + + — + y O — + + — 1.2.1 任意角的三角函数(一) 学习目标 1.通过借助单位圆理解并掌握任意角的三角函数定义，了解三角函数是以实数为自变量的函数.2.借助任意角三角函数的定义理解并掌握正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号.3.通过对任意角的三角函数定义的理解，掌握终边相同的角的同一三角函数值相等. 知识点一 任意角的三角函数 使锐角α的顶点与原点O 重合，始边与x 轴的非负半轴重合，在终边上任取一点P ，作PM ⊥x 轴于M ，设P (x ，y )，|OP |＝r . 思考1 角α的正弦、余弦、正切分别等于什么？ 答案 sin α＝y r ，cos α＝x r ，tan α＝y x . 思考2 对确定的锐角α，sin α，cos α，tan α的值是否随P 点在终边上的位置的改变而改变？ 答案 不会.因为三角函数值是比值，其大小与点P (x ，y )在终边上的位置无关，只与角α的终边位置有关，即三角函数值的大小只与角有关. 思考3 在思考1中，当取|OP |＝1时，sin α，cos α，tan α的值怎样表示？ 答案 sin α＝y ，cos α＝x ，tan α＝y x . 梳理 (1)单位圆 在直角坐标系中，我们称以原点O 为圆心，以单位长度为半径的圆为单位圆. (2)定义 在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，那么： ①y 叫做α的正弦，记作sin α， 即sin α＝y ； ②x 叫做α的余弦，记作cos α，即cos α＝x ； ③y x 叫做α的正切，记作tan α，即tan α＝y x (x ≠0). 对于确定的角α，上述三个值都是唯一确定的.故正弦、余弦、正切都是以角为自变量，以单位圆上点的坐标或坐标的比值为函数值的函数，统称为三角函数. 两角和公式 sin(A+B) = sinAcosB+cosAsinB sin(A-B) = sinAcosB-cosAsinB cos(A+B) = cosAcosB-sinAsinB cos(A-B) = cosAcosB+sinAsinB tan(A+B) =tanAtanB -1tanB tanA + tan(A-B) =tanAtanB 1tanB tanA +- cot(A+B) =cotA cotB 1-cotAcotB + cot(A-B) =cotA cotB 1cotAcotB -+ 倍角公式 tan2A =A tan 12tanA 2- Sin2A=2SinA?CosA Cos2A = Cos 2A-Sin 2A=2Cos 2A-1=1-2sin 2A 三倍角公式 sin3A = 3sinA-4(sinA)3 cos3A = 4(cosA)3-3cosA tan3a = tana ·tan(3π+a)·tan(3 π-a) 半角公式 sin( 2A )=2cos 1A -cos(2A )=2cos 1A + tan(2A )=A A cos 1cos 1+- cot(2A )=A A cos 1cos 1-+ tan(2 A )=A A sin cos 1-=A A cos 1sin + 和差化积 sina+sinb=2sin 2b a +cos 2b a - sina-sinb=2cos 2b a +sin 2 b a - cosa+cosb = 2cos 2b a +cos 2b a - cosa-cosb = -2sin 2b a +sin 2 b a - tana+tanb=b a b a cos cos )sin(+ 积化和差 sinasinb = -21[cos(a+b)-cos(a-b)] cosacosb = 2 1[cos(a+b)+cos(a-b)] sinacosb = 21[sin(a+b)+sin(a-b)] cosasinb = 2 1[sin(a+b)-sin(a-b)] 诱导公式 sin(-a) = -sina cos(-a) = cosa sin(2π-a) = cosa cos(2 π-a) = sina sin(2π+a) = cosa cos(2 π+a) = -sina sin(π-a) = sina cos(π-a) = -cosa sin(π+a) = -sina cos(π+a) = -cosa tgA=tanA =a a cos sin 万能公式：sina=2)2(tan 12tan 2a a + cosa=22)2(tan 1)2(tan 1a a +- tana=2 )2 (tan 12tan 2a a - 三角函数常见题 1、A，B，C为三角形内角，已知1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC，求角A 解：1+cos2A-cos2B-cos2C=2sinBsinC 2cos2A-1-2cos2B+1+2sin2C=2sinBsinC cos2A-cos2B+sin2(A+B)=sinBsinC cos2A-cos2B+sin2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC cos2A-cos2Acos2B+2sinAcosAsinBcosB+cos2Asin2B=sinBsinC 2cos2AsinB+2sinAcosAcosB=sin(180-A-B) 2cosA(cosAsinB+sinAcosB)-sin(A+B)=0 Sin(A+B)(2cosA-1)=0 cosA=1/2 A=60 2、证明：(1+sinα+cosα+2sinαcosα)/(1+sinα+cosα)=sinα+cosα <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+(sina+cosa)2 <===>1+sina+cosa+2sinacosa=sina+cosa+1+2sinacosa <===>0=0恒成立 以上各步可逆，原命题成立 证毕 3、在△ABC中,sinB*sinC=cos2(A/2),则△ABC的形状是? sinBsin(180-A-B)=(1+cosA)/2 2sinBsin(A+B)=1+cosA 2sinB(sinAcosB+cosAsinB)=1+cosA sin2BsinA+2cosAsin2B-cosA-1=0 sin2BsinA+cosA(2sin2B-1)=1 sin2BsinA-cosAcos2B=1 cos2BcosA-sin2BsinA=-1 cos(2B+A)=-1 因为A，B是三角形内角 2B+A=180 因为A+B+C=180 所以B=C 三角形ABC是等腰三角形 4、求函数y=2-cos(x/3)的最大值和最小值并分别写出使这个函数取得最大值和最小值的x的集合 -1≤cos(x/3)≤1 -1≤-cos(x/3)≤1 1≤2-cos(x/3)≤3 值域[1,3] 当cos(x/3)=1时即x/3=2kπ即x=6kπ时，y有最小值1此时{x｜x=6kπ,k∈Z} 当cos(x/3)=-1时即x/3=2kπ+π即x=6kπ+3π时，y有最小值1此时{x｜x=6k π+3π,k∈Z} 5、已知△ABC，若(2c-b)tanB=btanA，求角A [(2c-b)/b]sinB/cosB=sinA/cosA 正弦定理c/sinC=b/sinB=2R代入 高中数学第一章三角函数1.1.1任意角学案（含解析）新人教A 版必修4 考试标准 课标要点学考要求高考要求 任意角的概念 a a 终边相同的角的表示 b b 象限角的概念 b b 注：“a”表示“了解”，“b”表示“理解”，“c”表示“掌握”． 知识导图 学法指导 1.结合实例明确任意角的概念． 2．本节的重点是理解并掌握正角、负角、零角的概念，掌握用集合的形式表示终边相同的角，并会判断角的终边所在的象限. 1.角的概念 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形． 2．角的表示 顶点：用O表示； 始边：用OA表示，用语言可表示为起始位置； 终边：用OB表示，用语言可表示为终止位置． 状元随笔(1)在画图时，常用带箭头的弧来表示旋转的方向． (2)为了简单起见，在不引起混淆的前提下，“角α”或“∠α”可以简记成“α”． 3．角的分类 类型定义图示 正角按逆时针方向旋转形成的角 负角按顺时针方向旋转形成的角 零角一条射线没有作任何旋转，称它形成了一个零角 在直角坐标系中研究角时，当角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合时，角的终边在第几象限，就说这个角是第几象限角，如果角的终边在坐标轴上，就认为这个角不属于任何一个象限． 5．终边相同的角 所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．状元随笔(1)α为任意角，“k∈Z”这一条件不能漏． (2)k·360 °与α中间用“＋”连接，k·360 °－α可理解成k·360 °＋(－α)． (3)当角的始边相同时，相等的角的终边一定相同，而终边相同的角不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360 °的整数倍．终边不同则表示的角一定不同． [小试身手] 1．判断下列命题是否正确. (正确的打“√”，错误的打“×”) (1)角的始边、终边是确定的，角的大小是确定的．( ) (2)第一象限的角一定是锐角．( ) (3)终边相同的角是相等的角．( ) 答案：(1)×(2)×(3)× 2．下列各角：－60°，126°，－63°，0°，99°，其中正角的个数是( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析：结合正角、负角和零角的概念可知，126°，99°是正角，－60°，－63°是负角，0°是零角，故选B. 答案：B 高中数学必修三角函数知 识点与题型总结 Last updated on the afternoon of January 3, 2021 三角函数典型考题归类 1．根据解析式研究函数性质 例1（天津理）已知函数()2cos (sin cos )1f x x x x x =-+∈R ，． （Ⅰ）求函数()f x 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 在区间π3π84?? ????，上的最小值和最大值． 【相关高考1】（湖南文）已知函数2πππ()12sin 2sin cos 888f x x x x ????? ?=-++++ ? ? ?????? ?． 求：（I ）函数()f x 的最小正周期；（II ）函数()f x 的单调增区间． 【相关高考2】（湖南理）已知函数2π()cos 12f x x ? ?=+ ?? ?，1()1sin 22g x x =+． （I ）设0x x =是函数()y f x =图象的一条对称轴，求0()g x 的值．（II ）求函数()()()h x f x g x =+的单调递增区间． 2．根据函数性质确定函数解析式 例2（江西）如图，函数π 2cos()(00)2 y x x >ωθωθ=+∈R ，，≤≤的图象与y 轴相交于点(0，且 该函数的最小正周期为π． （1）求θ和ω的值； （2）已知点π02A ?? ??? ，，点P 是该函数图象上一点，点00()Q x y ，是PA 的中点，当0y = 0ππ2x ?? ∈???? ，时，求0x 的值． 【相关高考1】（辽宁）已知函数2 ππ()sin sin 2cos 662x f x x x x ωωω??? ?=++--∈ ? ???? ?R ，（其中0ω>），（I ）求函数()f x 的值域；（II ）（文）若函数()y f x =的图象与直线1y =-的两个相邻交 点间的距离为 π 2 ，求函数()y f x =的单调增区间． 三角函数 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）： {} Z k k ∈+?=,360 |αββο ②终边在x 轴上的角的集合： {} Z k k ∈?=,180|ο ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,90180|οοββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{} Z k k ∈?=,90|οββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{} Z k k ∈+?=,45180|οοββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{} Z k k ∈-?=,45180|οοββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k ο360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+=οο180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k ο180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系：οο90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：211||22 s lr r α==?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 =αsin r x =αcos ； x y =αtan ； y x =αcot ； x r =αsec ；. αcsc 5、三角函数在各象限的符号：正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. SIN \COS 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 高中数学第四章-三角函数知识点汇总 1. ①与α（0°≤α＜360°）终边相同的角的集合（角α与角β的终边重合）：{}Z k k ∈+?=,360|αββ ②终边在x 轴上的角的集合： {}Z k k ∈?=,180| ββ ③终边在y 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,90180| ββ ④终边在坐标轴上的角的集合：{}Z k k ∈?=,90| ββ ⑤终边在y =x 轴上的角的集合：{}Z k k ∈+?=,45180| ββ ⑥终边在x y -=轴上的角的集合：{}Z k k ∈-?=,45180| ββ ⑦若角α与角β的终边关于x 轴对称，则角α与角β的关系：βα-=k 360 ⑧若角α与角β的终边关于y 轴对称，则角α与角β的关系：βα-+= 180360k ⑨若角α与角β的终边在一条直线上，则角α与角β的关系：βα+=k 180 ⑩角α与角β的终边互相垂直，则角α与角β的关系： 90360±+=βαk 2. 角度与弧度的互换关系：360°=2π 180°=π 1°=0.01745 1=57.30°=57°18′ 注意：正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为零. 、弧度与角度互换公式： 1rad ＝π 180°≈57.30°=57°18ˊ． 1°＝ 180 π≈0.01745（rad ） 3、弧长公式：r l ?=||α. 扇形面积公式：2 11||2 2 s lr r α= = ?扇形 4、三角函数：设α是一个任意角，在α的终边上任取（异于原点的）一点P （x,y ）P 与原点的距离为r ，则 r y =α sin ； r x = αcos ； x y = α tan ； y x = α cot ； x r = α sec ；. y r = α csc . 5、三角函数在各象限的符号：（一全二正弦，三切四余弦） 正切、余切 余弦、正割 正弦、余割 6、三角函数线 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线： AT. 7. 三角函数的定义域： SIN \C O S 三角函数值大小关系图 1、2、3、4表示第一、二、三、四象限一半所在区域 (3) 若 o【2019A新教材高中数学必修第一册】5.2.1 三角函数的概念 导学案
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