数学与计算机的联系
曹干
（安徽大学数学科学学院）
摘要：数学与计算机在生活及学术等各个领域联系较多，在此文中，我谨以数学与计算机的逻辑关系和在学科上的应用联系作为分析线路，具体解析计算机与数学的联系。
关键字：逻辑关系、学科联系
一、数学与计算机的逻辑关系
想要学好计算机却是跟数学分不开的，数学与计算机是紧密相连的。没有数学功底，是很难在计算机这个行业里有所作为的。单纯依靠计算机做一些简单的应用开发，比如图片处理、小系统的开发，这还不是很大的问题，但是要完成更深层的开发，比如：系统集成、动画制作如3D游戏等，还是不行的，这要用到更复杂的数学知识，没有数学理论作为基础是很难完成这些工作的。数学知识也需要经过长期的积累，形成一定的理论后才能在这方面有所作为的。比较有名的谷歌搜索，这些搜索无不用到高深的复杂的算法，而这些都是以数学为基础的。所以说数学是计算机的基础，数学家未尽是计算机专家，而计算机专家却一定是数学家。这两者之间的关系也让我有时忙得手忙脚乱，但知道它们的关系后，却又让我以此来助彼，两者互相结合起来，使我的专业更见长了。对于数学的教学，还是有点感受的，下面收集起来说一下，以此共勉。
数学不是一门简单的学科，它是一门基础学科，任何一门学科都用到它，所以不能对它轻视。从教学中看出学生的基础是好还是差的，中学数学的要求不是很高而且深度也不是怎样，所以要求学生能学好数学，只将基础打好，打扎实了，才能发展数学，也才能学好数学。所以教学中，我常教学生要养成勤练勤，习期养成习惯，这样才能打好基础，而且要他们务必要虚心、认真，这样才能走得更远。这也是从计算机与数学的关系得出的一点体会吧。
二、数学与计算机的学科交融
计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。但不管怎么样，这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpinning of computer science(计算机科学的数学基础)-- 也就是理论计算机科学。
现代计算机科学和数学的另一个交叉是计算数学/数值分析/科学计算，传统上不包含在理论计算机科学以内。最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么？答：离散数学。这两者的关系是如此密切，以至于它们在不少场合下成为同义词。
传统上，数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析，然后是复变，实变，泛函等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工程上应用的，也以分析为主。随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的对象是连续的，因而微分，积分成为基本的运算；而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮，最后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。
离散数学经过几十年发展，基本上稳定下来。一般认为，离散数学包含以下学科：1) 集合论，数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。2) 图论，算法图论；组合数学，组合算法。计算机科学，尤其是理论计算机科学的核心是算法，而大量的算法建立在图和组合的基础上。
3) 抽象代数，代数是无所不在的，本来在数学中就非常重要。在计算机科学中，人们惊讶地发现代数
竟然有如此之多的应用。
但是，理论计算机科学仅仅就是在数学的上面加上“离散”的帽子这么简单吗？一直到大约十几年前，终于有一位大师告诉我们：不是。D.E.Knuth(他有多伟大，我想不用我废话了)在Stanford开设了一门全新的课程Concrete Mathematics。Concrete这个词在这里有两层含义：
第一，针对abstract而言。Knuth认为，传统数学研究的对象过于抽象，导致对具体的问题关心不够。他抱怨说，在研究中他需要的数学往往并不存在，所以他只能自己去创造一些数学。为了直接面向应用的需要，他要提倡“具体”的数学。在这里我做一点简单的解释。例如在集合论中，数学家关心的都是最根本的问题--公理系统的各种性质之类。而一些具体集合的性质，各种常见集合，关系，映射都是什么样的，数学家觉得并不重要。然而，在计算机科学中应用的，恰恰就是这些具体的东西。Knuth能够首先看到这一点，不愧为当世计算机第一人。第二，Concrete是Continuous(连续)加上discrete(离散)。不管连续数学还是离散数学，都是有用的数学！
前面主要是从数学角度来看的。从计算机角度来看，理论计算机科学目前主要的研究领域包括：可计算性理论，算法设计与复杂性分析，密码学与信息安全，分布式计算理论，并行计算理论，网络理论，生物信息计算，计算几何学，程序语言理论等等。这些领域互相交叉，而且新的课题在不断提出，所以很难理出一个头绪来。下面随便举一些例子。
由于应用需求的推动，密码学现在成为研究的热点。密码学建立在数论(尤其是计算数论)，代数，信息论，概率论和随机过程的基础上，有时也用到图论和组合学等。很多人以为密码学就是加密解密，而加密就是用一个函数把数据打乱。这就大错特错了。现代密码学至少包含以下层次的内容：第一，密码学的基础。例如，分解一个大数真的很困难吗？能否有一般的工具证明协议正确？
第二，密码学的基本课题。例如，比以前更好的单向函数，签名协议等。
第三，密码学的高级问题。例如，零知识证明的长度，秘密分享的方法。
第四，密码学的新应用。例如，数字现金，叛徒追踪等。
参考文献：
【1】东方市三家中学吉学勤博客
【2】吴剑杰徐亚萍《科技资讯》2010年15期
离散数学在计算机科学中的应用 本学期我们开了一门新的课程——离散数学，这是一门艰深又充满挑战的课程，随着学习的深入，我逐步加深了对它的了解。 首先简单介绍一下离散数学的定义及其在各学科领域的重要作用。离散数学(Discrete mathe matics)是研究离散量的结构及其相互关系的数学学科，是现代数学的一个重要分支。它在各学科领域，特别在计算机科学与技术领域有着广泛的应用，同时离散数学也是计算机专业的许多专业课程，如程序设计语言、数据结构、操作系统、编译技术、人工智能、数据库、算法设计与分析、理论计算机科学基础等必不可少的先行课程。通过离散数学的学习，不但可以掌握处理离散结构的描述工具和方法，为后续课程的学习创造条件，而且可以提高抽象思维和严格的逻辑推理能力，为将来参与创新性的研究和开发工作打下坚实的基础。 随着信息时代的到来，工业革命时代以微积分为代表的连续数学占主流的地位已经发生了变化，离散数学的重要性逐渐被人们认识。离散数学课程所传授的思想和方法，广泛地体现在计算机科学技术及相关专业的诸领域，从科学计算到信息处理，从理论计算机科学到计算机应用技术，从计算机软件到计算机硬件，从人工智能到认知系统，无不与离散数学密切相关。 由于数字电子计算机是一个离散结构，它只能处理离散的或离散化了的数量关系，因此，无论计算机科学本身，还是与计算机科学及其应用密切相关的现代科学研究领域，都面临着如何对离散结构建立相应的数学模型；又如何将已用连续数量关系建立起来的数学模型离散化，从而可由计算机加以处理。 由此可见，离散数学在计算机科学中具有广泛的应用，下面我将一一陈述。 1 离散数学在关系数据库中的应用 关系数据库中的数据管理系统向用户提供使用的数据库语言称为数据子语言，它是以关系代数或谓词逻辑中的方法表示。由于用这种数学的方法去表示，使得对这些语言的研究成为对关系代数或逻辑谓词的研究，优化语言的表示变成为对关系代数与谓词逻辑的化简问题。由于引入了数学表示方法，使得关系数据库具有比其它几种数据库较为优越的条件。正因为如此关系数据库迅速发展成为一种很有前途、很有希望的数据库。另外，离散数学中的笛卡儿积是一个纯数学理论，是研究关系数据库的一种重要方法，显示出不可替代的作用。不仅为其提供理论和方法上的支持，更重要的是推动了数据库技术的研究和发展。关系数据模型建立在严格的集合代数的基础上，其数据的逻辑结构是一个由行和列组成的二维表来描述关系数据模型。在研究实体集中的域和域之间的可能关系、表结构的确定与设计、关系操作的数据查询和维护功能的实现、关系分解的无损连接性分析、连接依赖等问题都用到二元关系理论。 2 离散数学在数据结构中的应用 计算机要解决一个具体问题，必须运用数据结构知识。对于问题中所处理的数据，必须首先从具体问题中抽象出一个适当的数学模型，然后设计一个解此数学模型的算法，最后编出程序，进行测试、调整直至得到问题的最终解答。而寻求数学模型就是数据结构研究的内容。寻求数学模型的实质是分析问题，从中提取操作的对象，并找出这些操作对象之间含有的关系，然后用数学的语言加以描 述。数据结构中将操作对象间的关系分为四类：集合、线性结构、树形结构、图状结构或网状结构。
致力于打造高品质文档计算机科学中的数学理论 计算机科学中的数学理论 计算机科学中的数学理论 计算机科学中的数学理论 精品源自化学科 引言 随着计算机现代智能的高速发展,计算机已经完全融入我们的生活,甚至占据了重要领域,从国家核心科技到每个人生活的小细节,都离不开计算机的覆盖和使用。我们简单的在键盘上操作几个键,打出一系列符号命令,就能使计算机按照人类的要求,高速运行和进展,从而达到人力所不能达到的速度和正确率。 1 计算机中所需要的数学理论 计算机学科最初是来源于数学学科和电子学学科,计算机硬件制造的基础是电子科学和技术,计算机系统设计、算法设计的基础是数学,所以数学和电子学知识是计算机学科重要的基础知识。计算机学科在基本的定义、公理、定理和证明技巧等很多方面都要依赖数学知识和数学方法。计算机数学基础是计算机应用技术专业必修并且首先要学习的一门课程。它大概可分类为: 1.1 高等数学高等数学主要包含函数与极限、导数与微分、微分中值定理与导数的应用、不定积分、定积分及应用、空间解析几何与向量代数、多元函数微分法及其应用、重积分、曲线积分与曲面积分、无穷级数、微分方程等。各种微积分的运算正是计算机运算的基础。 1.3 概率论与数理统计概率统计与数理统计包含随机事件与概率、随机变量的分布和数学特征、随机向量、抽样分布、统计估计、假设检验、回归分析等。概率论与数理统计是研究随机现象客观规律并付诸应用的数学学科,通过学习概率论与数理统计,使我们掌握概率论与数理统计的基本概念和基本理论,初步学会处理随机现象的基本思想和方法,培养解决实际问题的能力。这些都是计算机编程过程中不可或缺的基础理论知识和技能。 2 计算机编程中数学理论的应用 计算机的主要专业知识包括计算机组成原理、操作系统、计算机网络、高级语言程序设计、数据结构、编译原理、数据库原理、软件工程等。计算机程序设计主要包括如:C语言、C++、JA V A、编译语言、汇编语言等编程语言的基本概念、顺序结构程序设计、分支结构程序设计、循环结构设计、函数、指针、数组、结构、联合以及枚举类型、编译预处理、位运算、文件等内容,掌握利用各种编程语言进行程序设计的基本方法,以及编程技巧。算法是编程的核心,算法的运用离不开数学,数学运算正是编程的基础。 计算机科学是对计算机体系,软件和应用进行探索性、理论性研究的技术科学。由于计算机与数学有其特殊的关系,故计算机科学一直在不断地从数学的概念、方法和理论中吸取营养;反过来,计算机科学的发展也为数学研究提供新的问题、领域、方法和工具。近年来不少人讨论过数学与计算机科学的关系问题,都强调其间的密切联系。同时,人们也都承认,计算机科学仍有其自己的特性,它并非数学的一个分支,而有自身的独立性。正确说法应该是:由于计算机及程序的特殊性,
. 计算机数学基础(2) 作业3选解 一、单项选择题 1. 求积公式)1()1(f f I n +-=在[－1,1]上是( )次代数精度的． A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 答案：A ． 解答：详细判断过程同“四、证明题：1”． 2. 对于( )次的代数多项式,求积公式∑?=≈ n k k k b a x f A x x f 0 )(d )( 精确成立,称具有m 次代数精度的. A ． m B ． 不超过m C ． 小于m D ． 大于m 答案：B ． 解答：见教材第12章12.1节关于m 次代数精度的定义1． 3. 当n =4时,复化抛物线求积公式≈?b a x x f d )(( )． A ．3 a b -[f (x 0)+ f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)+ f (x 4)] B ． 12a b -[f (x 0)+4( f (x 1)+ f (x 3))+2f (x 2)+ f (x 4)] C ． 6a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 2)+ f (x 3)]+ f (x 4)] D ． 3 a b -[f (x 0)+2(f (x 1)+ f (x 3))+4f (x 2)+ f (x 4)] 答案：B ． 解答：牛顿－科茨求积公式的所有系数之和等于积分的区间长度．以此检查各个选项，只有选项B 正确． 4. 已知x =0,1处的函数值f (0)和f (1),那么f '(1)≈( )． A ．f (0)－f (1) B ． )0()1(f f - C ． f (0) D ．)]1()0([21 f f + 答案：B ． 解答：见教材第12章12.4节等距节点两点求导公式(4.4)． 二、填空题 1.科茨系数) (n k C 具有性质 和 ． 答案：∑=n k n k C 0 )(＝1；) () (n k n n k C C -=． 解答：见教材关于科茨系数的两条性质，∑=n k n k C 0 )(＝1称为归一性．) (n k C 与a ，b 无关， )()(n k n n k C C -=(称为对称性)． 4. 已知f (x 0)=y 0, f (x 1)=y 1, f (x 2)=y 2,用三点求导公式,有 f '(x 0)= , f '(x 1)= , f '(x 2)= , 答案：)34(21)();(21)();43(21)(21022012100y y y h x f y y h x f y y y h x f +-≈ '+-≈ '-+-≈ ' 解答：见教材第12章12.4节等距节点三点求导公式(4.6)． 三、计算题 1. 分别用梯形公式、抛物线公式和科茨公式计算积分? = 1 d e x I x 的近似值．
北大计算机考研 高等数学真题解答 2008年（5题60分） 1 （12分）)(x f 有连续的二阶导数，0)(≠a f ，求) (1 )()(1lim a f a f a x f a x '---→。 2 （12分）)(x f 在[]b a ,上连续且0)()(==b f a f ，0)()(>''b f a f ，证明：在()b a ,上必有一点u 使得0)(=u f 。 3 （12分）求不定积分? --dx x x x 2 ) ln (ln 1。 4 （12分）0)0(=f 且0)0(='f ，)(x f 有连续的导数，求dx x t x tf x x ? -→0 4 220) (lim 。 5 （12分）)(x f 在0附近可导且导数大于0，证明无穷级数)1 (n f 发散，无穷级 数)1 ()1(n f n -收敛。 2007年（5题60分） 1 （12分）求不定积分?+dx x e x 22)1(tan 。 解：=+?dx x e x 22)1(tan +?xdx e x 22sec =?xdx e x tan 22 +?x d e x tan 2-x e x tan 2=? x d e x tan 2C x e x +tan 2。 2 （12分）求连续函数)(x f ，使它满足0)0(,sin )()(1 0=+=?f x x x f dt tx f 。 解：令,tx u =则0=t 时，0=u ，1=t 时，x u =，xdt du =； ? =1 )(dt tx f ?=x du u f x 0 )(1? +x x x f sin )(? =x du u f 0 )(?+x x x xf sin )(2 ?++'+=x x x x x f x x f x f cos sin 2)()()(2?--='x x x x f cos sin 2)(
数学在计算机中的应用 摘要：结合自身的学习经历和所接触的数学与计算机知识，来谈一下自己对计算机应用的理解和认识，在文章中针对不同的课程可能会谈到一些具体的应用，但重点想突出数学方法与思维对计算机应用的影响。 关键字：离散数学C语言数字逻辑算法设计与分析 上了是十几年学，数学可以说是我的老朋友了。从幼儿园的识数开始，到如今的高等数学，数学学习始终贯穿这我的学习历程，中我们也不难发现数学在教育中的地位。数学作为一门基础课程，它的身影可以说是无处不在的。作为一名计算机系的学生，本来以为可以摆脱数学的”噩梦”的，但是接下来的学习让我再一次失望了。原来学计算机，除了学习高数，线性代数，数理统计外，还要学习一科专门为计算机开设的《离散数学》。 记得在一节课上，一位老师说过：“一位从本科就是计算机专业的博士说：‘研究计算机就是研究数学’。”虽然我现在无法体会到这句话，也不论这就话是否完全正确，但它总能说明了一点：数学在计算机中必然会发挥巨大的作用。 作为一个大三的本科生也许我的知识不够全面，理解也不是那么透彻，我在此只想根据自己的学习经历来谈一下个人的见解—数学在计算机中的应用。 也许我们小的时候，只知道学习数学有趣。等我们慢慢长大，随着学习的深入，我们总是喜欢问这样一个问题：学数学有什么用呢？我们总是告诉自己，学会加减乘除就足以应付生活了，再学深入那些抽象的知识一点用处也没了。其实数学作为一门基础课程也许在现实中确实没有什么用处，但数学作为一种工具，它很好地锻炼了我们的思维，让我们的思维变得活起来。而在计算机中，大家也都有一个共识：学不好数学的人也很难学好计算机。虽然这个也有点片面，但我们不否认这其中总有一定道理的。计算机的知识也是相当抽象化的模型，需要我们具有良好的逻辑思维户外清晰地脉络，而数学好的人这种思维往往是比较突出的。因此，我们经常发现，现实中有非常多的搞计算机搞得比较好的，他们的前身是学数学专业的。从基础方面，数学思维为计算机的学习打下一个良好的基础，站在今天，我不再去抱怨以前的数学学习是多么的艰难，而是有一种风雨之后见彩虹的喜悦，我不能否认，数学确实对我在计算机中的学习产生了潜移默化的影响，而这种影响确实是那么的有益。 记得刚开始学习编程的时候，接触的《C语言程序设计》，程序里的许多样题都是一些小的数学案例。用计算机程序计算和1+2+…+100=，求1！+2！+…+10!=….等，我想大家都不会陌生。是的正是这些小的数学例题，把我们的计算机学习一步步的引向远方。这些样题虽然不难，但它却包含了许多的思想。编程确实是用一种计算机的语言来表达数学的思想。我们必须像往常一样有一个明确的条理性，找出其中的规律，然后一步步求解。不过不同的是，现在不再需要我们在纸上用笔一步步的演算，而是把我们的思维赋予计算机来演算。 接下来的学习，作为一名计算机的学生，总要接触一门《离散数学基础》。刚开始我们会产生一个疑问，我们学计算机的干嘛要学习那么多数学。但随着老师的介绍，我们只能默默接受计算机学子的命运，别抱怨了，埋头学吧！介绍说：离散数学是研究离散量的结构和相互关系的学科，它在计算复杂性理论，软件工程，算法和数据结构，数字逻辑电路等各领域都有广泛应用，同时也能适当培养学生的抽象思维和慎密逻辑推理能力。也许那时候还感觉软件工程，数据结构还很陌生，感觉到学习数学依旧痛苦，没有感到那些抽象的理论到底有什么用啊，不会是在吓唬我们吧？但接下来在以后的学习中，它的确得到了广泛应用。
用计算机编制数学游戏 作者：范新雨许家豪鲁贤欢李寒松指导老师：徐李林 摘要：“数和形的概念不是从其他任何地方，而是从现实世界上得来的。”数学来源于实践又反过来为实践服务。在科技日新月异的今天，数学广泛的应用性日愈显示出其特有的魅力。下面就让我们来用计算机探索编制数学游戏的奥秘。关键词：计算机编制数学游戏 计算机与数学 计算机科学和数学的关系有点奇怪。二三十年以前，计算机科学基本上还是数学的一个分支。而现在，计算机科学拥有广泛的研究领域和众多的研究人员，在很多方面反过来推动数学发展，从某种意义上可以说是孩子长得比妈妈还高了。 但不管怎么样，这个孩子身上始终流着母亲的血液。这血液是the mathematical underpinning of computer science(计算机科学的数学基础)，-- 也就是理论计算机科学。 现代计算机科学和数学的另一个交叉是计算数学/数值分析/科学计算，传统上不包含在理论计算机科学以内。所以本文对计算数学全部予以忽略。最常和理论计算机科学放在一起的一个词是什么?答：离散数学。这两者的关系是如此密切，以至于它们在不少场合下成为同义词。 传统上，数学是以分析为中心的。数学系的同学要学习三四个学期的数学分析，然后是复变，实变，泛函等等。实变和泛函被很多人认为是现代数学的入门。在物理，化学，工程上应用的，也以分析为主。 随着计算机科学的出现，一些以前不太受到重视的数学分支突然重要起来。人们发现，这些分支处理的数学对象与传统的分析有明显的区别：分析研究的对象是连续的，因而微分，积分成为基本的运算;而这些分支研究的对象是离散的，因而很少有机会进行此类的计算。人们从而称这些分支为“离散数学”。“离散数学”的名字越来越响亮，最后导致以分析为中心的传统数学分支被相对称为“连续数学”。 离散数学经过几十年发展，基本上稳定下来。一般认为，离散数学包含以下学科： 1) 集合论，数理逻辑与元数学。这是整个数学的基础，也是计算机科学的基础。 2) 图论，算法图论;组合数学，组合算法。计算机科学，尤其是理论计算机科学的核心是算法，而大量的算法建立在图和组合的基础上。 3) 抽象代数。代数是无所不在的，本来在数学中就非常重要。在计算机科学中，人们惊讶地发现代数学竟然有如此之多的应用。 当然，还远远不止是这些。 现代社会科学技术高速发展，数学学科的发展也已经到了非常抽象的地步，
计算机数学基础（2）作业1 一、单项选择题 1．数值x*的过似值x ，那么按定义x 的相对误差是（ ）。 A ． B ． C ． D ． 2．当一个数x 表成x=±0．a1a2 … an ×10 m 时，其中 是a1a2 ，…， an 是0～9之中的自然数，且a1≠0，e=|x - x*|≤ε=0.5×10 m -l ，1≤1≤n ，则称x 有（ ）位 有效数字。 A ．m B ．m - l C ．n D ．l 3．设 x=37.134678，取5位有效数字，x ≈（ ）。 A ．37.1347 B ．37.13468 C ．37.135 D ．37.13467 二、填空题 1．如果近似值 x 的误差限 是它某一个数位的 半个 单位，我们就说 x 准确到该位。 2 ．用mm 刻度的米尺测量一长度为x*的物体，测得近似值为x ，那么x 与x*之差的误差的误差限是 。 3．近似值作四则运算后的误差限公式ε（x 1 + x 2） =)()(21x x εε+，ε（x1 - x2） = )()(21x x εε+。 4．在运算过程中舍入误差不增加的算法称为数值稳定的算法。 5．数值计算中，普遍应注意的原则是 使用数值稳定的算法 ，防止两个相近数相减 ， 简化计算步骤，减少运算次数，避免除数的绝对值远小于被除数的绝对值 ，防止大数“吃掉”小数 。 三、计算题 1． 表中各 x 的值都是精确值 x* 进行四舍五入得到的近似值，试分别指出其绝对误差限、 相对误差限和有效数字位，并填入表中。 2 ．在下面 y 的计算中；那一个算得准，为什么？ （1）已知|x|<< 1，（A ） y= - （B ） y= （2） 已知|x|<< 1，（A ） y= （B ） y= x* - x x x - x* |x – x*| x | x* - x| | x*| x* 1 (1+2x)(1+x) 1 1+x 2x 2 1+ 2x x 2sin 2x x 1-cos2x
数学、逻辑与计算机科学的关系数学、逻辑是与计算机科学密不可分的。数学是基础材料，逻辑是支柱，计算机科学是大厦。 首先，是数学与逻辑的关系。 数学基础的讨论主要在19世纪末20世纪初，当时对数学的看法有许多流派，其中一派是逻辑主义学派，认为数学可以完全由逻辑得到。但后来数理逻辑中的一些深刻结果则否定了这种观点。事实上，数学不能完全由逻辑得到，即，如果要求数学是无矛盾的，那么，它就不可能是完备的。 现在对数学看法的主流是源于Hilbert的形式主义数学的观点。粗略地说，就是公理化的观点。也就是说，人们可以从实际出发（也可以从空想出发），给出一组无矛盾、不多余的公理，这种公理系统下就形成一种数学。在建立公理以后的事情则属于逻辑。 所以，逻辑是数学的重要方法和基础，但不是数学的全部。反过来，数学也不包括逻辑的全部。逻辑学主要是（至少曾经是）哲学的一支，它不仅研究逻辑命题的推演关系，也研究这种关系为什么是对的，等等。逻辑学中影响数学的主要是形式逻辑和数理逻辑，但涉及哲学思辨的部分就不在数学的范畴之中了。 其次，是数学与计算机的关系。 因为计算机是一种进行数值计算、逻辑推理、符号处理等方面信息加工的机器，有人就称它为数学的机器;近年由于计算机应用的拓广，其系统软件与应用软件发展很大，吸引了甚为巨大的社会人力与财力，形成了一种新兴的工业，人们认为这是继土木工程，机械工程、电子工程之后的一种新的工程—软件工程。由于它具有数学的特征，即高度的精确性，广泛的应用性，与推理的严谨可靠性。因此，计算机科学被称程序为具有数学性质的学科。 计算机科学是对计算机体系，软件和应用进行探索性、理论性研究的技术科学。由于计算机与数学有其特殊的关系，故计算机科学一直在不断地从数学的概念、方法和理论中吸取营养;反过来，计算机科学的发展也为数学研究提供新的问题、领域、方法和工具。近年来不少人讨论过数学与计算机科学的关系问题，都强调其间的密切联系。同时，人们也都承认，计算机科学仍有其自己的特性，它并非数学的一个分支，而有自身的独立性。正确说法应该是:由于计算机及程
《计算机数学基础》试卷 一、填空题（每空2分，计１０?2=２0分） 1．设A 为3阶方阵，，且已知3=A ，则___________2=-A 。 ２、设矩阵 A=??? ? ??-102311,B=??? ? ??1002,则A T B=_______________________。 ３、设3元齐次线性方程组Ax=0的基础解系存在，并含有1个解向量，则秩________=A 。 ４、二人独立破译一份密码，已知各人能译出的概率分别为3 1 ,51，则二人至少有一人能译出密码的概率___________。 ５、设)1,0(~N X ，则_______}21{=≤<-X P 。 (查表得9772.0)2(,8413.0)1(=Φ=Φ) 6、设盒中有5个球，其中3个白球2个黑球，从中随机抽取两个球，设X 是抽得的白球数，则期望__________ )(_________;)(==X D X E 方差。 7、已知},,{c b a A =，则A 上的二元关系共有________个。 8、一个无向图有16条边，每个结点的度数为2，则该图的结点数是________。 9、设p ：532=+，q ： 中国的首都是北京，r ：3是有理数，则命题公式r q p →?)(的真值为______。 二、选择题（每题2分，计１０?2=２0分） 1、设行列式D=33 32 31 232221 131211 a a a a a a a a a =3，D 1=33 32 3131 23222121 13121111 252525a a a a a a a a a a a a +++，则D 1的值为（ ） A 、15- B 、6- C 、6 D 、15 2、已知A 是一个3×4矩阵，下列命题中正确的是（ ） A 、若矩阵A 中所有3阶子式都为0，则秩（A ）=2 B 、若A 中存在2阶子式不为0，则秩（A ）=2 C 、若秩（A ）=2，则A 中所有3阶子式都为0 D 、若秩（A ）=2，则A 中所有2阶子式都不为0 3、1α，2α是Ax=b 的解，η是对应齐次方程Ax=0的解，则（ ） A. η+1α是Ax =0的解 B. 1α-2α是Ax=0的解 C. 1α+2α是Ax=b 的解 D. 1α-2α是Ax=b 的解
离散数学在计算机方面的应用 计算机学科主要脱胎发源于数学学科，离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。计算机学科中普遍采用了离散数学的基本概念、基本思想和基本方法，并把离散数学作为自己的理论基础和重要的数学工具。 离散数学是现代数学的一个重要分支，是计算机科学中基础理论的核心课程。它是以研究离散性的结构和相互间的关系为主要目标，其研究对象一般地是有限个或可数个元素。由于计算机科学的迅速发展，与其有关的领域中，提出了许多有关离散量的理论问题，需要用某些数学的工具做出描述和深化。离散数学把计算机科学中所涉及到的研究离散量的数学综合在一起，进行较系统的、全面的论述，为研究计算机科学的相关问题提供了有力的工具。 数学课程所涉及的概念、方法和理论，大量地应用在数据结构、数据库系统、编译原理、人工智能、计算机体系结构、算法分析与设计、软件工程、多媒体技术、数字电路、计算机网络等专业课程以及信息管理、信号处理、模式识别、数据加密等相关课程中。它所提供的训练十分有益于学生概括抽象能力、逻辑思维能力、归纳构造能力的提高，十分有益于学生严谨、完整、规范的科学态度的培养。这些能力与态度是一切软、硬件计算机科学工作者所不可缺少的，为学习计算机科学的后续课程、从事科研或工程技术工作以及进一步提高科学技术水平奠定理论基础。离散数学提供的营养滋补了计算机科学的众多领域，学好了离散数学就等于掌握了一把开启计算机科学之门不可缺少的钥匙。从学科比较和联系的视角，对离散数学在计算机学科中的应用进行客观理智的分析，可以给予我们诸多启示，进而指导计算机专业学科教育教学的改革和发展。 一、离散数学在数据结构中的应用 计算机要解决一个具体问题，必须运用数据结构知识。对于问题中所处理的数据，必须首先从具体问题中抽象出一个适当的数学模型，然后设计一个解此数学模型的算法，最后编出程序，进行测试、调整直至得到问题的最终解答。而寻求数学模型就是数据结构研究的内容。寻求数学模型的实质是分析问题，从中提取操作的对象，并找出这些操作对象之间含有的关系，然后用数学的语言加以描述。数据结构中将操作对象间的关系分为四类：集合、线性结构、树形结构、图状结构或网状结构。数据结构研究的主要内容是数据的逻辑结构，物理存储结构以及基本运算操作。其中逻辑结构和基本运算操作来源于离散数学中的离散结构和算法思考。离散数学中的集合论、关系、图论、树四个章节就反映了数据结构中四大结构的知识。如集合由元素组成，元素可理解为世上的客观事物。关系是集合的元素之间都存在某种关系。例如雇员与其工资之间的关系。图论是有许多现代应用的古老题目。伟大的瑞士数学家列昂哈德·欧拉在18世纪引进了图论的基本思想，他利用图解决了有名的哥尼斯堡七桥问题。还可以用边上带权值的图来解决诸如寻找交通网络里两城市之间最短通路的问题。而树反映对象之间的关系，如组织机构图、家族图、二进制编码都是以树作为模型来讨论 二、离散数学在数据库中的应用 数据库技术被广泛应用于社会各个领域，关系数据库已经成为数据库的主流，离散数学中的笛卡儿积是一个纯数学理论，是研究关系数据库的一种重要方法，显示出不可替代的作用。不仅为其提供理论和方法上的支持，更重要的是推动了数据库技术的研究和发展。关系数据模型建立在严格的集合代数的基础上，其数据的逻辑结构是一个由行和列组成的二维表来描述关系数据模型。在研究实体集中的域和域之间的可能关系、表结构的确定与设计、关系操作的数据查询和维护功能的实现、关系分解的无损连接性分析、连接依赖等问题都用到二元关系理论。 三、离散数学在编译原理中的应用
附录三关于数学在理科中应用的调查报告 我们对理科中物理、化学、计算机基础中数学知识的应用进行了相关的调查。调查过程中翻阅了大量的相关资料，并询问了不少相关的专家，现将结果公布如下： 一、物理学中的数学知识 数学是物理学的基础和工具。离开了数学，物理学几乎寸步难行。现行大学物理系的数学教材几乎囊括了所有高等数学的基础知识。理论物理和实验物理都必需具备相当高深的数学知识。 理论物理中所应用的数学知识有：空间及其拓朴、映射、实分析、群论、线性代数、方阵代数、微分流形和张量、黎曼流行、李导数、李群、矢量分析、积分变换（包括傅里叶变换和拉普拉斯变换）、偏微分方程、复变函数、球函数、柱函数、函数、格林函数、贝塞尔函数、勒让德多项式等。 实验物理中所应用的数学知识呈主要集中在概率统计学中。包括一维、多维随机变量及其分布、概率分布、大数定律、中心极限定理、参数估计、极大似然法等。其中概率分布包括伯努力分布、泊松分布、伽马分布、分布、t分布、F分布等。 从上可以看出，上述数学知识对物理专业来讲，必需了解，且有的需要深入了解。比如群论、空间及拓朴、积分变换、偏微分方程、概率分布、参数估计等。工科和理科、师范类和非师范类、物理专业和非物理专业、其物理学习中所应用的数学知识也有范围和程度上的变化。工科就没有理科要求高，物理专业中所涉及的数学知识也比非物理专业所学物理课本上的数学知识丰富的多。 二、化学中的数学知识 初等化学只是简单介绍物质的组成、结构、性质、变化及合成。除了相应的计算外，与数学的联系没有物理学那么紧密。高等化学需要更深入的研究物质，因此需要相应的高等数学知识为基础。下面我们就化学理论和化学实验两种课程来讨论。 化学理论中所应用的数学知识有：级数及其应用、幂级数与Taylor展开式、Fourier级数、Forbemus方法、Bessel方程、Euler-Maclaurh加法公式、String公式、有限差分、矩阵、一阶偏微分方程、二阶偏微分方程、常微分方程（包括一阶、二阶、线性、联立）、特殊函数（包括贝尔函数和勒让德多项式）积分变换、初步群论等。 化学实验中所应用的数学知识有：随机事件及其概率、随机变量的数字特征、随机分量及其分布、大数定理、中心极限定理、参数估计等。 从上面可以看出，化学中的数学知识主要应用于计算，因此大部分是一些数学公式和方程，并没有更深一步理论推导及逻辑思维、形象思维的要求。所以，化学专业中数学知识的要求不高，只限于了解并会套公式而已。
题目：数学在计算机编程中的应用学院：计算机与信息科学学院 专业年级：2009级计算机科学与技术（师范）
学生姓名：祝柱杰 学号：20090512160 指导教师：沈林 职称：讲师 2011年11 月30 日 数学在计算机编程中的应用 采用递归算法来解决该问题，因为递归算法有这样特征描述：为了求解出规模为n的问题的解，我们先设法将它分解成一些规模较小的问题，然后从这些较小问题的解能方便地构造出大问题的解，并且这些规模较小的问题也能采用同样的方法分解，分解成规模更小的问题。并能从这些更小的问题的结构造出规模稍大问题的解。现在，严格按照递归算法来解决问题。先定义递归方法hanio(int n,char A,char B,char C)，按如下步骤进行解题（设初始盘子个数为n）：若A塔上仅仅只有一个盘子（n=1），则直接从A移动到C，问题完全解决。若A塔上有一个以上的盘子（n>1），则需要考虑以下三个步骤。第一步：把（n-l价盘子从Ａ塔经过移动，叠放到B塔上。在不违反规则情况下，所有（n-l）个盘子不能作为一个整体一起移动，而是要符合要求地从一个塔移到另一个塔上。用
hanio(n-l,B,A,C)调用递归方法，注意：这里是借助于C塔，将（n-l价盘子从A 塔移动到B塔，A是源塔，B是目标塔。第二步：将剩下的第l个盘子（也就是最底下的一个）直接从A塔叠放到空着的c塔上。第二三步：用第一步的方法，再次将B塔七的所有盘子叠放到c塔上。同样，这一步实际上也是由一系列更小的符合规则的移动盘子的操作组成的。用hanio(n-l,B,A,C)调用递归方法。 数学是计算机的鼻祖, 计算机学科就是一门脱胎于数学学科的学科，在计算机专业中也普遍采用了数学的基本概念、基本思想以及相应的数学基本方法。数学理论是计算机的基础，而学习学计算机专业，编程又是必须学习的，而编程思想却又是数学思想在计算机应用中的最直接的体现。 在商业的开发环境,比如做游戏开发,就需要数学基础很深的人工智能了。很多公司也会找那些数学系的来做开发,对他们来说,由于他们的数学概念模型已经建立了起来了所以他们在计算机方面也会很快就上手,并且很不会比计算机专业的学生差。 随着计算机技术的快速发展，数学知识在计算机技术发展中，尤其是在计算机应用程序设计中处于极其重要的地位。同时，用数学思维解决各种程序设计方面的难题也是一个十分重要的步骤。在程序设计当中所解决的相当一部分问题都会涉及到各种各样的科学计算，这需要程序员将实际问题转换为程序，要经过对问题抽象的过程，建立起完善的数学模型，才能设计出好的软件。 数学在编程中的体验不光是算法过程的书写，还有逻辑思维方面的能力。而软件编程的思维定式决定了一个人编程的水平，在编程过程中，数学思维清晰，编写出来的程序让人耳目一新。结合教学，通过调查分析，了解到超过85%的学生，他们在编程时是根据语法而编写程序，完全脱离了软件编程的思维，这种思维定式使得他们编写的程序相当糟糕，没有一点逻辑。所以数学思维不够，在软件编程会有很多的疑虑，显的有点缩手缩尾，而且写的程序也不够健全，缺乏逻辑。
1、如果程序中要使用算法，高等数学可能用得上。不过一般的程序，还是很难用得上高等数学的。 2、高等数学只是基础，一旦你进入数据结构、数据库或其它比较专业的东西，它的基础作用就很明显了！ 3、其实关键是看你干什么，计算机编程也有很多方面，比如说你要搞图形图象处理建模，就肯定要线形代数方面的知识，但你如果是一般的编程，就不是那么明显。 4、思想,逻辑思维对一个程序员太重要了,多少时候,我们都需要在头脑里面把程序运行上几遍,这凭什么?因为程序员有出色的逻辑思维,而这种出色的逻辑思维从何处而来??数学数学还是数学.基础学科锻炼人的基础,没有地基何来高楼大厦,所以,我认为,不管是数学还是离散数学等等的相关东西都要好好学习 5、高数的作用：一是培养思维，二是算法分析，三是程序可能本身与高数有关。 6、如果你做图象处理的话高数很重要。 7、高等数学是一门基础学科，如果没有学过高数，那么看计算方法就可能象看天书似的了。如果你要做一名编程熟练工，可以不学它，否则好好学学吧！ 8、高数就象是武林高手的内功，虽然不能用来击败对手，但是可以让你的招式更有杀伤力。 当然必要的招式还是很重要的，至于象令狐冲那样的只用招式打天下的天才比较少。 9、思想,逻辑思维对一个程序员是很重要的,你不能只是学会click,click,click. 那样你是没有什么前途的。 10、说白了，高等数学是训练你的思维的。如果你是数学系的本科生，考研你可以考除了文学系和新闻系的任何一个科系，为什么？因为你的思维比较能跟得上拍。 11、高等数学在一些常用数值计算算法上能用的上，不过在一般的程序上是用不上的。 不过小弟我听说高数在解密方面有用，如果你想当黑客就要好好学了，呵呵~~~~~ 12、我希望你知道编程只是为了表现你的思维、你的创造力，仅仅是一种表达方式，而数学是你能不断创新的基石。 13、数学是所有学科的基础，数学不好，什么都不可能学好，我看过一个报道，有的软件公司根本不要计算机专业的程序员，而是到数学系去找，经过短期的培训他们的编程能力肯定比不注重数学基础的程序员强，现在知道它的利害性了吧，好好学数学吧！ 14、我认为那得看你是将来拿编程来干什么，如果用与科学计算，比如火箭发射那种计算，那数学和物理差一点都不行；如果你是一个应用程序开发者，那对数学的要求就不一定高。我在系里数学最差，但编程最好，这也是中国教育制度的缺陷。不能尽展所长，我学校里的计算机教学计划还是5年以前制定的，学的都是理论，没有实际的东西。 15、高等数学对编程有何作用？ 数学是计算机的鼻祖，等你到商业的开发环境，比如做游戏开发，就需要数学基础很深的人工智能了，很多公司就找那些数学系的来做开发，对他们来说，计算机很快就会上首，并且很牛彼得啊，哈哈，好好学吧，freshman 建议看《计算机编程艺术》。纯粹的基础算法恐怕是没有什么机会用高数了……但是只要是做到音频、视频之类的东西，高数是少不了的…… 16、作为理论功底，在图像/声音图像压缩算法/人工智能/CAD等领域广泛使用微积分作理论研究工具，所以如果你不想只是做做连中专，高中毕业就能做coder，那么请学好高等数学，为以后要走的路做准备
图1 为两相开关建立模型的有穷自动机 3.4 离散数学与编译原理 编译程序是计算机学科中比较高深的专业课，是计算机的一个十分复杂的系统程序。一个典型的编译程序而论，一般都含有八个部分：词法分析程序，语法分析程序，语义分析程序，中间代码生成程序，代码优化程序，目标代码生成程序，错误检查和处理程序，各种信息表格的管理程序。 离散数学里的计算模型章节里就讲了三种类型的计算模型：文法、有限状态机和图灵机。具知识有语言和文法，带输出的有限状态机，不带输出的有限状态机，语言的识别，图灵机等。短语结构文法根据产生式类型来分类：0型文法，1 型文法，2型文法，3 型文法。以上这些在离散数学里讲述到的知识点在编译原理的词法分析及语法分析中都会用到。 由于自然语言都极为复杂，对一个自然语言，看起来不大可能说出它的所有语法规则，因此，将一个语言自动翻译成另一个语言的研究，引出形式语言的概念。与自然语言不同，形式语言是由一组意义明确的语法规则定义的，语法规则不仅对于语言学和自然语言的研究十分重要，而且对于程序设计语言的研究也很重要。 形式语言的句子是用语法来描述的。在程序设计语言的应用中，经常出现两类问题：（1）怎么能够确定一组单词是否组合成了形式语言的一个有效句子？（2）怎么才能产生形式语言的一个有效句子。在考虑这两类问题时，文法的使用十分有益。 离散数学里定义了短语结构文法。G=（V,T,S,P）由下列四部分组成：词汇表V，由V 的所有终结符组成的V的子集合T,V的初始符S，和产生式集合P。集合V-T , 记为N，N中的元素称为非终结符。P中的每个产生式的左边必须至少包含一个非终结符。 编译原理中的词法分析运用了不确定的有穷自动机，确定的有穷自动机，从正规表达式到NFA。在语法分析中运用了上下文无关文法，非上下文无关文法，LL(1)文法，LR 文法。这些表达式与文法都在离散数学中有相关的描述。因此，离散数学也是编译原理的前期基础课程。 3.5 离散数学与人工智能 人工智能是以让机器完成那些如果由人来做则需要智能的事情的科学。虽然人工智
计算机应用数学01332 （考试时间2011-4-17下午） 1．关于函数|sin | ()cos x f x x xe -=()x -∞<<+∞的说法中，正确的是奇函数 3．当0x →时，与2 ()(1cos )ln(12)f x x x =-+为同阶无穷小的是 4x 。 4．曲线ln y x =上一点P 的切线经过原点(0,0)，则点P 的坐标为（( e ,1 ) ）。 5．下列关于函数f(x)=2x+1(x>0)的奇偶性的说法正确的是（ 非奇非偶函 ）。 6．极限 x x x 2sin lim ∞ → 的值为（ 0 ）。 7．函数f(x)= |x| 在 （0，0 ）点处 连续 。 8．方程3310x x -+=在区间(0,1)内（ 有唯一实根）。 9．求导正确的函数是 (e -x )/=-e -x 10．对于函数 ()3 32x x f -= ，在区间 []1,0上满足拉格朗日中值定理的点ξ是( 2 1 ) 。 11．直线L1: 1 1+x = y =21-z 和 直线L2: x= 31+y = 4 2-z 之间的最短距离为（ 3 3 ）。 12．定积分 ? 3 1 3d x x 的值为（ 20 ） 。 13．设 A,B,C 均为n 阶方阵，且 ABC=E ,其中E 为 n 阶单位阵。则必有（CBA=E ）。 14．设 A 为n 阶方阵, B 是 A 经过若干次初等变换得到的矩阵, 则有 若|A|=0,则一定有 |B|=0 15．下列各式中错误的是（ A ）。 A ．{x}∈{x} B ．{x}? {x} C ．{x}∈{x,{x}} D ．{x}?{x,{x}} 16．极限)2 -4(lim 2 2 x x x -→ 的值为（ 4 ）。 17 . f(x)=sin(x2-x)是（有界函数） 18.函数1--=x e y x 在[0,+∞)上的单调性是（单调增加 ）。 19．积分 ? x x d 12 的值为（ c x +-1）。 20. 非齐次线性方程组Ax=b 中未知量个数为n ，方程个数为m ，系数矩阵A 的秩为r ，则（r=m 时，方程组Ax=b 有解 21. 行列式 5 6 2 143312---的值为（ -33 ）。 22. 设A={a,b} ,则A 的幂集)(A ρ为（ {φ,{a},{b},{a,b} } ）。 23. 设321,,ααα均为3维列向量，记矩阵 ),,(321ααα=A ，) 93,42,(321321321ααααααααα++++++=B ， 如果1=A ，那么= B （ 2 ）。 25.当ｘ→0 时，xcosx 是（ 无穷小量）。 26.下列关于函数单调性的说法正确的是（函数f(x)= x+1 （- ∞ < x < + ∞）是单调递增函数）。 27.说法正确的是 设 ()y f x =在[,]a b 上连续，且无零点，则()f x 在[,]a b 上恒为正或恒为负 28．下列几对函数中，)(x f 与)(x g 相同的是f(x)=|x| 与2 )(x x g = 29. 设f ′ (x)存在，a 为常数，则h a h x f a h x f h )()(lim 0--+→等于（ )('2x f a ）。 30. 已知 x y 2tan =,则dy 等于（ xdx tgx 2sec 2 ）。 31. 方程sinx=x 的根的个数为（1个 ）。 32 函数2 11 21)(+-= x x f 的奇偶性是（偶函数 ）。 33. 函数 x y sin =的周期是（ π ）。 34. y=lnsinx 的导数为（ ctgx ）。 35. 以向量a=(8,4,1)，b=(2,-2,1)为邻边的平行四边形面积为（ 182 ） 36 过点（1，1，2）且以n=(1,2,1)为法向量的平面方程为（x+2y+z-5=0 ） 37. 设行向量组)1,1,1,2(，),,1,2(a a ，),1,2,3(a ，)1,2,3,4(线性相关，且1≠a ，则a 的值为（ 1/2 ）。 38. 设矩阵A m ×n 的秩为r(A)＝m 每个计算机系毕业的人，大都学过不少数学课，而且不少学校的计算机系的数学课，通常比一般的其他工科专业的数学要难一些，比如不上高等数学，而是学数学分析，不上线性代数而去上高等代数。但是，大部分毕业了后去做程序员的人，即使是所谓的名校计算机系毕业的，大都工作中也基本完全用不上学的那些数学，基本上，一半时间在，另一半时间在处理各类字符串、链表、表，知道在面试中回答各种排序的时间复杂度是他们需要的数学的上线了。 而在念书的时候，虽然上大学之前，有不少内行的外行的，年老的年轻的人告诉你，数学很重要啊。但是，通常来说，各个学校的计算机系的同学么，爱好学习的，可能重视的也是，之类的语言书，或者设计模式之类的架构书，抑或是算法与数据结构这些玩意儿；而像我这样天天偷懒放羊的，也不会把数学当作是什么重要的课程好好学习。所以，“数学真重要”，这句话，似乎对于大家来说，始终只是飘在天上的一句话，随风飘逝了。 于是，五年过去了，程序员们都有了不少的工作经验了，如果不是对工作毫无追求混吃等死的程序员的话，对于天天干活的语言，不论是还是应该都熟能生巧了，所谓的设计模式、重构、自动化测试等等也手到擒来了，大部分人的上都加上了了，牛一点的后面大概还跟上了一个，然而，大家都开始考虑一个新的问题——“岁以后怎么半？”，于是，转的转，考公务员的考公务员，像我这样仍然抱定——“你看人家美国都了还不是天天写程序，别人想请还请不到的”的单纯想法的人越来越少了。然后，就算这些人，时不时也会觉得，自己天天干的超越的，所谓写点的框架，不也是很无聊的体力活么，写程序的人干两年谁都会干。于是，又有不少人下海创业了，多年以后，这些人中的大部分都会和我一样悲催的没有挣到前继续回来给大大小小的公司写程序。 其实，杯具往往发生在一开始，其实，要是咱们当年好好学习，才会发现，也许数学对于你当个不错的程序员来说，没数学对于计算机专业有多重要
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