第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4 独立作业 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解；
(C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组 （1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时，
3．设是矩阵，且，而，则 . 4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的 通解为 . 9．设，，
，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）. （A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把 的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）.
（A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）. （A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件 . 16．设方程组有无穷多个解，则 . 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解
2.3 初等变换与初等矩阵 授课题目 2.3 初等变换与初等矩阵 授课时数：4课时 教学目标：掌握初等变换的定义，初等矩阵与初等变换的关系，矩阵的等价标准形，阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学重点：用初等变换求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，和行简化阶梯形矩阵 教学难点：求矩阵的等价标准形、阶梯形矩阵，、行简化阶梯形矩阵 教学过程： 用初等变换化简矩阵A B B A 的性质来探讨通过为,的性质，这是研究矩阵的重要手段。为了把变换过程用运算的式子表示出来，我们要引入初等矩阵，研究初等矩阵与初等变换的关系。 一．初等变换与初等矩阵 1. 初等变换 （1）定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指下列三种变换： 1）换法变换：交换矩阵某两行（列）的位置； 2）倍法变换：用一个非零数乘矩阵的某一行（列）； 3）消法变换：把矩阵的某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上去，k 为任意数。 矩阵的初等行变换和初等列变换统称为初等变换。 （2）记法 分别用)]([)],([],,[k j i k i j i +表示三种行（列）变换，写在箭头上面表示行变换，写在箭头下面表示列变换。或者行变换用i j i i j R R ,kR ,R kR ?+， 列变换用i j i i j C C ,kC ,C kC ?+ 例1 [][] ???? ? ??--??→?????? ??---???→?????? ??--=+-+131123302001121123302101121121322101)1(13)2(12A . 2. 初等矩阵 （1）初等矩阵的定义
定义2 由单位矩阵I 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵 每个初等变换都有一个与之相应的初等矩阵 ij j i n P j i I =???? ? ?? ? ????? ??? ? ? ????→?行行 1101111011] ,[ [] )(1111)(,k D i k I i j i n =? ???????? ?? ????→?行 [] )(1111)(k T j i k I ij k itj n =? ???? ????? ? ????→?行行 列i 列j
矩阵初等变换及应用 王法辉 摘要：矩阵初等变换是高等代数的重要组成部分。本文对初等变换进行了研究探讨，详细介绍了与矩阵初等变换有关的基础知识。在阐述矩阵初等变换方法及应用原理的基础上，首先重点讨论该方法在解决高等代数相关计算问题上的应用，如求多项式的最大公因式、求逆矩阵解矩阵方程、求解线性方程组、判定向量的线性相关性、化二次型为标准型、求空间的基等。尤其是利用矩阵初等变换法求空间的基(解空间、特征子空间、核、值域等)的问题的计算,以具体实例生动的展示出问题的内在关系,最后给出了该方法在解决实际问题中的应用。本文理论分析与实际相结合，凸现了矩阵初等变换法直接、便利、有效的威力与作用。 关键词：矩阵初等变换；最大公因式；线性相关性；二次型；空间的基 1 导言 在线性方程组的讨论中我们看到，线性方程组的一些重要性质反映在它的系数矩阵和增广矩阵的性质上，并且解方程组的过程也表现为变换这些矩阵的过程。在数学的学习和应用中，矩阵理论是高等代数的重要组成部分，矩阵初等变换方法更是贯穿高等代数理论的始终。应用初等变换证明命题过程容易被接受，同时也是解决高等代数相关计算问题最直接、便利、有效的方法。此外，还有大量的各种各样的，表面上看完全没有联系的问题的解决,都可以通过相同的方法实现：矩阵的初等变换。 因此，对矩阵初等变换方法及应用进行探讨，无疑是十分必要和重要的。 目前，有许多文献涉及到对矩阵初等变换方法该的讨论，但比较零散。在研读文献的基础上，对矩阵初等变换的内涵进一步挖掘，使矩阵初等变换方法的威力作用得以充分展示是重要也是必要的。 2 矩阵及其初等变换
2.1 矩阵 由n m ?个数)j ,,,2,1(==m i a ij （i =1,2, ,j =1,2,n ， ）排成m 行n 列 的数表 ? ? ??? ???????=mn m m n n a a a a a a a a a A 2 1 22221 11211 称为m 行n 列的矩阵，简称n m ?矩阵。 2.2 矩阵的初等变换及初等矩阵 矩阵有行列之分，因此有如下定义 定义1 矩阵的初等行（列）变换是指如下三种变换 (1)交换矩阵某两行（列）的位置，记为j i r r ? )(j i c c ?； (2)把某一行（列）的k 倍加到另一行（列）上，记为j i kr r + )(j i kc c +； (3)用一个非零常数k 乘以某一行（列），记为i kr )(i kc ，k ≠0； 矩阵的初等行变换及初等列变换统称为矩阵的初等变换。 定义2 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。有以下3种形式 (1)互换矩阵E 的i 行和j 行的位置，得 ? ???? ? ??? ?? ? ????? ???????????????? ?=1101111011),( j i P ； (2)用数域P 种非零数c 乘E 的i 行，得
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 讲授内容§3.1 矩阵的初等变换；§3.2 初等矩阵 教学目的和要求：（1）理解矩阵的初等变换，理解初等矩阵的性质和矩阵等价的概念． （2）掌握用初等变换求逆矩阵的方法． （3）理解齐次线性方程组有非零解的充分必要条件及非齐次线性方程组有解的充分必要条件. 教学重点：矩阵的初等变换和用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法 教学难点：矩阵的初等变换、初等矩阵的性质． 教学方法与手段：从解线性方程组的消元法的三种重要运算入手，引出矩阵的初等变换的定义；初等矩阵与矩阵的初等变换密切相关，三种初等变换对应着三种初等矩阵；从分析初等矩阵的性质出发，推理出用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法．传统教学,教练结合 课时安排：2课时 教学过程 §1 矩阵的初等变换 本节介绍矩阵的初等变换，它是求矩阵的逆和矩阵的秩的有利工具。 一、矩阵的初等变换 在利用行列式的性质计算行列式时，我们对其行（列）作过三种变换——“初等变换”. 定义1 对矩阵的行(列)施以下述三种变换，称为矩阵的行(列)初等变换. 初等变换 行变换 列变换 ① 对调 j i r r ? j i c c ? ② 数乘)0(≠k i r k i c k ③ 倍加 j i r k r + j i c k c + 矩阵的行初等变换与列初等变换统称为矩阵的初等变换. n m A ?经过初等变换得到n m B ?, 记作n m n m B A ??→． 定义2 等价矩阵：若n m n m B A ??→有限次 , 称n m A ?与n m B ?等价, 记作n m n m B A ???． 矩阵之间的等价关系有下列性质: (1) 自反性：A A ? (2) 对称性：n m n m B A ???n m n m A B ???? (3) 传递性：n m n m B A ???, n m n m C B ???n m n m C A ???? 定义3 在矩阵中可画出一条阶梯线,线的下方全为0，每个台阶只有一行，台阶数即 是非零行的行数，阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也就是非零行的第一个非零元.若非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0，则称矩阵为行最简形矩阵.
2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求 A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则 A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置变换为我们所要求的1A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?11121m R R R A E ---=111121m R R R A ----=()()122n n n n A E E A -???????→ 1*1A A A -=()()()1111A A E A A A E E A ----==111121m A R R R ----=()()111121m R R R A E E A ----=
习题 3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆(2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ????=--????-?? (2)11121212221 2n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ??????=??????01,2,,i i a b i n ≠????=?? 2.设12312323k A k k -????=--????-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3)()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()()1 d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111 a a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2 A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
用矩阵初等变换逆矩阵
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2007年11月16日至18日，有幸参加了由李尚志教授主讲的国家精品课程线性代数（非数学专业）培训班，使我受益匪浅，在培训中，我见识了一种全新的教学理念。李老师的“随风潜入夜，润物细无声”“化抽象为自然”“饿了再吃”等教学理念很值得我学习。作为刚参加工作的年轻教师，我应该在以后的教学中，慢慢向这种教学理念靠拢，使学生在不知不觉中掌握较为抽象的知识。下面这个教案是根据李老师的教学理念为“三本”学生写的，不知是否能达要求，请李老师指教。 用矩阵的初等变换求逆矩阵 一、问题提出 在前面我们以学习了用公式 求逆矩阵，但当矩阵A 的阶数较大时，求A*很繁琐，此方法不实用，因此必须找一种更简单的方法求逆矩阵，那么如何找到一种简单的方法呢？ （饿了再吃） 二、求逆矩阵方法的推导 （“润物细无声”“化抽象为自然”） 我们已学习了矩阵初等变换的性质，如 1.定理 2.4 对mxn 矩阵A ，施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵。 2.初等矩阵都是可逆矩阵，其逆矩阵还是初等矩阵。 3.定理2.5的推论 A 可逆的充要条件为A 可表为若干初等矩阵之积。即 4.推论 A 可逆，则A 可由初等行变换化为单位矩阵。 （1） 由矩阵初等变换的这些性质可知，若A 可逆，构造分块矩阵(A ︱E )，其中E 为与A 同阶的单位矩阵，那么 （2） 由（1）式 代入（2）式左边， 上式说明分块矩阵(A ︱E )经过初等行变换，原来A 的位置变换为单位阵E ，原来E 的位置 变换为我们所要求的1 A -,即 21121111111112112112s t s s t t m P P P AQ Q Q E A P P P P EQ Q Q Q R R R ----------=?=?L L L L L 111 21m R R R A E ---=L 111121m R R R A ----=L () () 1 22n n n n A E E A -???????→ 1* 1A A A -=( )()() 1111A A E A A A E E A ----==1111 21m A R R R ----=L ( )() 1 111 21m R R R A E E A ----=L
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?= 存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?= 存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质
设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=:存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=:存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则 （1）对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵； ~;r A B m P PA B ?=即存在阶可逆矩阵，使 （2）对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵； 即~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)~P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 （4）方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等方阵1212,,,,l l P P P A PP P =L L 使。 （5）~r A A E 可逆的充分必要条件是。（课本P ？ ） 初等变换的应用 （1）求逆矩阵：()1(|)|A E E A -????→初等行变换或1A E E A -????????→ ? ????? 初等列变换。 （2）求A -1B ：A (,) ~ (,),r A B E P 即() 1(|)|A B E A B -??→行，则P =A -1B 。或1E A B BA -????????→ ? ????? 初等列变换. 第二节 矩阵的秩
第三章知识点总结矩阵的初等变换与线性方程组 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN
第三章 矩阵的初等变换与线性方程组 第一节 矩阵的初等变换 初等行变换 ()1()i j r r ?对调两行，记作。 ()20()i k r k ≠?以数乘以某一行的所有元素，记作。 ()3()i j k r kr +把某一行所有元素的倍加到另一行对应的元素上去，记作。 初等列变换：把初等行变换中的行变为列，即为初等列变换，所用记号是把“r ”换成“c ”。 扩展 矩阵的初等列变换与初等行变换统称为初等变换，初等变换的逆变换仍为初等变换, 且类型相同。 矩阵等价 A B A B 如果矩阵经有限次初等变换变成矩阵，就称矩阵与等价。 等价关系的性质 （1）反身性 A~A 2 A ~B , B ~A;（）对称性若则 3 A ~B,B ~C, A ~C （）传递性若则。（课本P59） 行阶梯形矩阵：可画出一条阶梯线，线的下方全为零，每个台阶只有一行，台阶数即是非零行的行数阶梯线的竖线（每段竖线的长度为一行）后面的第一个元素为非零元，也是非零行的第一个非零元。 行最简形矩阵：行阶梯矩阵中非零行的第一个非零元为1，且这些非零元所在的列的其他元素都为0. 标准型：对行最简形矩阵再施以初等列变换，可以变换为形如r m n E O F O O ???= ???的矩阵，称为标准型。标准形矩阵是所有与矩阵A 等价的矩阵中形状最简单的矩阵。 初等变换的性质 设A 与B 为m ×n 矩阵，那么 (1);r A B m P PA B ?=存在阶可逆矩阵，使 (2)~;c A B n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，使 (3)P ;A B m P n Q AQ B ?=存在阶可逆矩阵，及阶可逆矩阵，使 初等矩阵：由单位矩阵经过一次初等变换得到的方阵称为初等矩阵。 初等矩阵的性质 设A 是一个m ×n 矩阵，则
… 矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 ！ 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B —
矩阵之间的等价关系具有下列基本性质: (1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.\ 2.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 3.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) ：
这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。 设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 》 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法.
矩阵初等变换的一些性质及应用 摘要：矩阵的初等变换是线性代数中应用十分广泛的重要工具。文章证 明了矩阵初等变换的两个性质, 以此为基础, 归纳说明了矩阵的初等变 换在线性代数课程中的应用, 并给出了一些实例。 关键词：矩阵初等变换性质应用 Abstract: The elementary alternate of matrix is an important tool broadly used in linear algebra. The paper discusses its properties and application. Key w o rd: matrix, elementary alternate, properties, application 0 引言 矩阵是数域P上的m行n列矩阵,矩阵的行(列)初等变换是指对矩阵施行如下的变换: (1)交换矩阵的两行(列),对调i,j两行,记作←（记作←）； (2)以非零数 k 乘矩阵某一行( 列) 的所有元素,第i行（列）乘k,记作×k(记作×k)； (3)把某一行(列)所有元素的 k 倍加到另一行(列)对应元素上去，如第j 行（列）的k 倍加到第i行（列）上, 记作+（记作+）。 矩阵的初等变换在高等代数课程中有着十分广泛的应用, 也是本课程的基本工具之一。矩阵的初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用, 只是在使用过程中有所区别。本文首先证明初等行变换和初等列变换具有同等的地位和作用，再以具体实例说明矩阵初等变换在求极大无关组和秩的应用。 一、初等变换的性质证明 定理1 第一种初等变换可以由第二、三种初等变换实施得到。 证明: 设是为数域P上的m×n 矩阵(i= 1，2，…，m； j=1，2，…，n) 对矩阵A 施行第二、三种初等行变换:
习题3-1 矩阵的初等变换及初等矩阵 1.用初等行变换化矩阵 1021 2031 3043 A - ?? ?? =?? ?? ?? 为行最简形. 2.用初等变换求方阵 321 315 323 A ?? ?? =?? ?? ?? 的逆矩阵. 3.设 412 221 311 A - ?? ?? =?? ?? - ?? , 3 22 31 - ?? ?? ?? ?? - ?? 1 B=,求X使AX B =. 4.设A是n阶可逆矩阵,将A的第i行与第j行对换后得矩阵B. (1) 证明B可逆 (2)求1 AB-.
习题 3-2 矩阵的秩 1.求矩阵的秩: (1)310211211344A ?? ??=--?? ??-?? (2)111212122212n n n n n n a b a b a b a b a b a b B a b a b a b ?? ?? ??=???? ?? L L L L L L L 01,2,,i i a b i n ≠? ? ??=?? L 2.设12312323k A k k -?? ??=--?? ??-?? 问k 为何值,可使 (1)()1R A =; (2)()2R A =; (3) ()3R A =.
3. 从矩阵A 中划去一行,得矩阵B ,则)(A R 与)(B R 的关系是 . .()()a R A R B = .()()b R A R B <； .()()1c R B R A >-； .()()() 1.d R A R B R A ≥≥- 4. 矩阵???? ??????-------815073*********的秩R= . a.1; b . 2; c . 3; d . 4. 5. 设n (n ≥3)阶方阵????? ???????=111ΛΛΛΛΛΛΛΛa a a a a a a a a A 的秩R (A )=n -1,则a = . a . 1; b . n -11; c . –1; d . 1 1-n . 6.设A 为n 阶方阵,且2A A =,试证: ()()R A R A E n +-=
矩阵的初等变换及应用 内容摘要： 矩阵是线性代数的重要研究对象。矩阵初等变换是线性代数中一种重要的计算工具，利用矩阵初等变换，可以求行列式的值，求解线性方程组，求矩阵的秩，确定向量组向量间的线性关系。 一矩阵的概念 定义：由于m×n个数aij（i=1，2，….，m；j=1，2，….，n）排成的m行n列的数表，称为m行n列，简称m×n矩阵 二矩阵初等变换的概念 定义：矩阵的初等行变换与初等列变换，统称为初等变换 1.初等行变换 矩阵的下列三种变换称为矩阵的初等行变换: (1) 交换矩阵的两行(交换两行,记作); (2) 以一个非零的数乘矩阵的某一行(第行乘数,记作 ); (3) 把矩阵的某一行的倍加到另一行(第行乘加到行,记为). 1.初等列变换 把上述中“行”变为“列”即得矩阵的初等列变换 3 ,如果矩阵A经过有限次初等变换变成矩阵B,就称矩阵A 与矩阵B等价，记作A~B 矩阵之间的等价关系具有下列基本性质:
(1) 反身性; (2) 对称性若,则; (3) 传递性若,,则. 三矩阵初等变换的应用 1.利用初等变换化矩阵为标准形 定理：任意一个m× n矩阵A，总可以经过初等变换把它化为标准形 2.利用初等变换求逆矩阵 求n阶方阵的逆矩阵：即对n×2n矩阵（A|E）施行初等行变换，当把左边的方阵A变成单位矩阵E的同时，右边的单位矩阵也就变成了方阵A的逆矩阵A^(-1) 即(A|E)经过初等变换得到(E|A^(-1)) 这种计算格式也可以用来判断A是否可逆，当我们将A化为行阶梯形矩阵时， 若其中的非零行的个数等于n时，则A可逆，否则A不可逆。
设矩阵可逆，则求解矩阵方程等价于求矩阵 ， 为此，可采用类似初等行变换求矩阵的逆的方法，构造矩 阵，对其施以初等行变换将矩阵化为单位矩阵，则上述初等行变换同时也将其中的单位矩阵化为，即 . 这样就给出了用初等行变换求解矩阵方程的方法. 同理, 求解矩阵方程等价于计算矩阵亦可利用初等列变换求矩阵. 即 . 3．利用矩阵初等变换求矩阵的秩 矩阵的秩的概念是讨论向量组的线性相关性、深入研究线性方程组等问题的重要工具. 从上节已看到，矩阵可经初等行变换化为行阶梯形矩阵，且行阶梯形矩阵所含非零行的行数是唯一确定的, 这个数实质上就是矩阵的“秩”,鉴于这个数的唯一性尚未证明，在本节中，我们首先利用行列式来定义矩阵的秩，然后给出利用初等变换求矩阵的秩的方法. 定理：矩阵的初等变换不改变矩阵的秩，即若A~B则R（A）=R(B) 为求矩阵的秩，只要把矩阵用初等行变换变成阶梯矩阵
第四章 线性方程组 一 综述 线性方程组是线性代数的主要内容之一.本章完满解决了关于线性方程组的三方面的问题,即何时有解、有解时如何求解、有解时解的个数,这在理论上是完美的. 作为本章的核心问题是线性方程组有解判定定理（相容性定理）,为解决这个问题,从中学熟知的消元法入手,分析了解线性方程组的过程的实质是利用同解变换,即将方程的增广矩阵作行变换和列的换法变换化为阶梯形（相应得同解方程组）,由此相应的简化形式可得出有无解及求其解.为表述由此得到的结果,引入了矩阵的秩的概念,用它来表述相容性定理.其中实质上也看到了一般线性方程组有解时,也可用克莱姆法则来求解（由此得所谓的公式解——用原方程组的系数及常数项表示解）.内容紧凑,方法具体.其中矩阵的秩的概念及求法也比较重要,也体现了线性代数的重要思想（标准化方法）. 线性方程组内容的处理方式很多,由于有至少五种表示形式,其中重要的是矩阵形式和线性形式,因而解线性方程组的问题与矩阵及所谓线性相关性关系密切；本教材用前者（矩阵）的有关问题讨论了有解判定定理,用后者讨论了（有无穷解时）解的结构.实际上线性相关性问题是线性代数非常重要的问题,在以后各章都与此有关.另外,从教材内容处理上来讲,不如先讲矩阵及线性相关性,这样关于线性方程组的四个问题便可同时讨论. 二 要求 掌握消元法、矩阵的初等变换、秩、线性方程组有解判定定理、齐次线性方程组的有关理论. 重点：线性方程组有解判别法,矩阵的秩的概念及求法. 4.1 消元法 一 教学思考 本节通过具体例子分析解线性方程组的方法——消元法,实质是作方程组的允许变换（同解变换）化为标准形,由此得有无解及有解时的所有解.其理论基础是线性方程组的允许变换（换法、倍法、消法）是方程组的同解变换.而从形式上看,施行变换的过程仅有方程组的系数与常数项参与,因而可用矩阵（线性方程组的增广矩阵）表述,也就是对（增广）矩阵作矩阵的行（或列换法）初等变换化为阶梯形,进而化为标准阶梯形,其体现了线性代数的一种重要的思想方法——标准化的方法. 二 内容要求 主要分析消元法解线性方程组的过程与实质,以及由同解方程组讨论解的情况（存在性与个数）,为下节作准备,同时指出引入矩阵的有关问题（初等变换等）的必要性,矩阵的初等变换和方程组的同解变换间的关系. 三 教学过程 1．引例：解方程组???? ?????=++=++=++2534233351 3121321321321x x x x x x x x x （1） 定义：我们把上述三种变换叫做方程组的初等变换,且依次叫换法变换、倍法变换、消法变换. 2．消元法的理论依据 3．转引 在上面的讨论中,我们看到在对方程组作初等变换时,只是对方程组的系数与常数项进行了运算,而未知数没有参加运算,也就是说线性方程组有没有解以及有什么样的解完全决定于它的系数和常数项,因此在讨论线性方程组时,主要是研究它的系数和常数项.因而消元法的过程即用初等变换把方程组化为阶梯形方程组,来解决求解问题,此可转用另一种形式表述.为此引入：
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.1 目的要求 1．掌握矩阵的初等变换及用矩阵的初等变换求逆矩阵的方法。了解矩阵等价的概念． 2．理解矩阵秩的概念并掌握其求法． 3．理解齐次线性方程组有非零解的充要条件及非齐次线性方程组有解的充要条件． 4．掌握用行初等变换求线性方程组通解的方法． 3.2 重要公式和结论 3.2.1 矩阵的秩 1．若，则. 2．对于任意矩阵，总可以通过初等行变换将其化为行阶梯形，的行阶梯形中非零 行的行数就等于矩阵的秩. 3．矩阵秩的性质： ①； ②； ③若，则； ④若、可逆，则； ⑤； ⑥；
⑦； ⑧若，则. 3.2.2 初等矩阵与矩阵求逆 1．三种初等变换对应着三种初等矩阵，且初等矩阵具有以下性质： ，，， ，， . 2．设是一个矩阵，对施行一次初等行变换，相当于在的左边乘以相应的阶初等矩阵；对施行一次初等列变换，相当于在的右边乘以相应的阶初等矩阵； 3．方阵可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵，使得 . 4．方阵可逆的充分必要条件是. 5．阵的充分必要条件是存在阶可逆矩阵及阶可逆矩阵，使． 6．对于方阵，若，则（1）可逆；（2）． 7．设有阶矩阵及阶矩阵，若，则（1）可逆；（2）． 3.2.3 线性方程组的解 1．元线性方程组， ① 无解的充分必要条件是；
② 有解的充分必要条件是； ③ 有唯一解的充分必要条件是； ④ 有无穷多解的充分必要条件是. 2．元齐次线性方程组有非零解的充分必要条件是. 3.3例题分析 例3.1 设，求． 分析对于一个具体的矩阵求秩问题，先对矩阵进行初等行变换化为行阶梯形，根据行阶梯形的非零行数判断矩阵的秩. 解，故. 例3.2设，则的秩( . (A 必为2 (B 必为3 (C 可能为2，也可能为3 (D 可能为3，也可能为4. 分析先将化成行阶梯形，再确定矩阵的秩. 解因为，可知，当时，，否则.
第三章矩阵的初等变换与线性方程组 3.4.1 基础练习 1．已知，求. 2．已知，求. 3．若矩阵满足，则（）. (A (B (C (D 4．设矩阵满足关系，其中，求. 5．设矩阵，求. 6．是矩阵，齐次线性方程组有非零解的充要条件是 . 7．若非齐次线性方程组中方程个数少于未知数个数，那么( . (A 必有无穷多解； (B 必有非零解； (C 仅有零解； (D 一定无解. 8．求解线性方程组
（1），（2） （3） 9．若方程组 有无穷多解，则 . 10．若都是线性方程组的解，则( . (A (B (C (D 3.4.2 提高练习 1．设为5阶方阵，且，则= . 2．设矩阵，以下结论正确的是( . (A时， (B 时， (C时， (D 时， 3．设是矩阵，且，而，则 .
4．设，为3阶非零矩阵，且，则 . 5．设, 问为何值，可使 （1）（2）（3）. 6．设矩阵，且，则 . 7．设，试将表示为初等矩阵的乘积. 8．设阶方阵的个行元素之和均为零，且，则线性方程组的通解为 . 9．设，， ，其中可逆，则 . 10．设阶矩阵与等价，则必有（）.
（A）当时，（B）当时， （C）当时，（D）当时， 11．设，若，则必有（）. （A）或（B）或 （C）或（D）或 12．齐次线性方程组的系数矩阵记为，若存在三阶矩阵，使得，则（）. （A）且（B）且 （C）且（D）且 13．设是三阶方阵，将的第一列与第二列交换得到，再把的第二列加到第三列得到，则满足的可逆矩阵为（）. （A）（B）（C）（D） 14．已知，为三阶非零矩阵，且，则（）.
（A）时，（B）时， （C）时，（D）时， 15．若线性方程组有解，则常数应满足条件. 16．设方程组有无穷多个解，则. 17．设阶矩阵与维列向量，若，则线性方程组（）. （A）必有无穷多解（B）必有唯一解 （C）仅有零解（D）必有非零解. 18．设为矩阵，为矩阵，则线性方程组（）. （A）当时仅有零解（B）当时必有非零解 （C）当时仅有零解（D）当时必有非零解 19．求的值，使齐次线性方程组 有非零解，并求出通解.
线性代数教案 周次课题课时课型教具 8.2矩阵的初等变换与矩阵的秩（1） 2 新授教材 教学目的1、理解矩阵的初等变换定义 2、理解阶梯型矩阵的定义以及如何运用矩阵的初等行变换求阶梯型矩阵 教学重点矩阵的初等变换、阶梯型矩阵 教学方法例证法、启发诱导法、讲授法 教学过程 一、复习与导入 矩阵的相等、矩阵的和与差、数乘矩阵以及矩阵的乘法。 数有加减乘除四则运算，矩阵有没有矩阵的除法？ 3’ 二、讲授新课 例1 求下列线性方程组的解： 解用消元法求解，并采用分离系数法在右边写出求解过程中所相应的矩形数 表(矩阵)： 对换④、⑤的位置得 39’
对换④、⑤的位置得 (－4)×⑤+④得 ⑥得 最后，将 代入⑤，得 ；再将 代入①得 ．因此，这个方程组的解为
． 通过线性方程组与矩阵对比，总结出结论 一、矩阵的初等变换1 定义：①互换矩阵的某两行（列）的位置 ②用一个非零数k遍乘矩阵的某一行（列） ③将矩阵中某一行（列）遍乘一个常数k加到另一行（列）上 2 举例说明具体变化规律 例2 二、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵 1 定义 8.11 矩阵为阶梯型矩阵B满足：
（1）零行（元素全为0的行）在最下方； （2）首非零元素（即非零行的第一个不为零的元素）的列标号随行标号的增 加而严格递增。（每一个非零行的第一个非零元素正下方的元素必须全为零） 若阶梯形矩阵还满足非零行的首行非零元都是1，叫做行简化阶梯型矩阵。 2 例1回顾、总结——矩阵经过若干步初等行变换化成阶梯型矩阵 3 思考题：同一个矩阵的阶梯型矩阵是否唯一 4 例3 求矩阵的阶梯型矩阵 5 练习 p245 4 （1） 三、小结 1、矩阵的初等变换 2、阶梯型矩阵与行简化阶梯型矩阵 2’四、作业：习题2.4(2).5(2)(3)(4) 1’课后反思 1、教学方法： 2、教学效果： 3、问题： 4、解决措施：
§1.2 矩阵的初等变换 从消元法解线性方程组的过程中可看到，在对方程组作初等变换时，只是对方程组的系数和常数项进行运算，而未知量并没有参加运算，也就是说，线性方程组的解仅仅依赖于方程组中未知量的系数与常数项．因此，在用消元法解线性方程组时，为了书写简便起见，可以只写出方程组的系数和常数项．通常把方程组(I)的系数和常数项写成下列表格的形式 ? ?? ? ??? ??????????????????????????m mn m m n n b a a a b a a a b a a a 2 1222221111211 表中的第i 行代表方程组(I)的第i 个方程，第j 列表示x j 的系数，最后一列表示常数项．这个表称为线性方程组(I)的增广矩阵．去掉最后一列，得到另一个表 ? ???? ?? ???????????????????????mn m m n n a a a a a a a a a 2 12222111211 它称为线性方程组的系数矩阵． 定义1 由数域P 中m ×n 个数a ij (i =1，2，…，m ； j =1，2，…，n )排成m 行n 列的长方形表 ?????? ? ???????????????????????mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211 称为数域P 上的一个m ×n 矩阵．a ij 称为矩阵的元素，m ×n 矩阵记为A mn 或A m ×n ，有时还记作A =(a ij ) m ×n ． 1、矩阵的初等变换 已知用消元法解线性方程组就是对方程组反复地施行初等变换，反映在矩阵上，就是 1) 交换矩阵的某两行的位置； 2) 用一个非零的数去乘矩阵的某一行； 3) 用一个数乘某一行后加到另一行上．