广东汕头中学2011年普通高中高三教学质量测评数学文试题
本试卷共21小题，满分150分。考试用时120分钟。 注意事项： 1．答卷前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自己的姓名和考生号、试室号、座位
号填写在答题卡上。
2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑，
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑色字迹钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内
相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。
4．作答选做题时。请先用2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点，再作答。漏涂、错
涂、多涂的，答案无效。
5．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
参考公式：锥体的体积公式V =
1
3
Sh ，其中S 是锥体的底面积，h 是锥体的高。 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，满分50分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的．
1．设全集{}4,3,2,1,0=U ，{}4,3,0=A ，{}3,1=B ，则B A C U ?）（=
（ ）
A ．{2}
B ．{1，2，3}
C ．{1，3}
D ．{0，1，2，3，4} 2．在复平面内，复数i
i
+-1对应的点位于
（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限 3．已知等差数列{}n a 的前n 项和为n S ，且满足32132S S
-=，则数列{}n a 的公差是 （ ）
A ．
1
2
B ．1
C ．2
D ．3 4．命题“0>?x ，都有02
≤-x x ”的否定是
（ ）
A ． 0>?x ，使得02
≤-x x B ． 0>?x ，使得02
>-x x
C ． 0>?x ，都有02
>-x x D ． 0≤?x ，都有02
>-x x
5．已知曲线x x y ln 34
2
-=
的一条切线的斜率为21，则切点的横坐标为 （ ）
A ．3
B ．2
C ．1
D ．
2
1
6．一个学校高三年级共有学生200人，其中男生有120人，女生有80人，为了调查高三复
习状况，用分层抽样的方法从全体高三学生中抽取一个容量为25的样本，应抽取女生的人数为 （ ） A ．20 B ． 15 C ．12 D ． 10 7．根据表格中的数据，可以判定函数 2)(--=x e x f x
的一个零点所在的区间为
)
)(
1
,
(Z
k
k
k∈
+，则k的值为（）A．–1 B．0
C．1 D．2
8．已知双曲线
22
22
1
x y
a b
-=的一个焦点与抛物线24
y x
=的焦点重合，
且双曲线的离心率等于
（）A．
2
2
4
51
5
y
x-=B．
22
1
54
x y
-=
C．
22
1
54
y x
-=D．
2
2
5
51
4
y
x-=
9．若函数sin()
y A x
ω?
=+（0
A>，0
ω>，||
2
π
?<）在
一个周期内的图象如图所示，,
M N分别是这段图象的最高
点和最低点，且0
OM ON
?=
（O为坐标原点），则=
A（）
A．
6
π
B
C
D
10．如右图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，
容器中水面的高度h随时间t变化的图象可能是（）
二、填空题：本大题共5小题，考生作答4小题，每小题5分，满分20分．
（一）必做题（11～13题）
11．运行如图所示程序框图后，输出的结果为
．
第9小题图
正视图侧视图
俯视图
第10小题图A B
12．已知实数,x y 满足不等式组001x y x y ≥??
≥??+≤?
，则y x -的
最大值为 ．
13．在ABC ?中，角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ，
已知A=
3
π
，a=3，b=1，则c 等于 ． （二）选做题（14、15题，考生只能从中选做一题） 14．（坐标系与参数方程选做题）若直线)2(:-=x k y l
与曲线?
?
?==θθ
sin cos :y x C （参数∈θR ）有唯一的公共点，
则实数k = ．
15．（几何证明选讲选做题）已知PA 是圆O （O 为圆心） 的切线，切点为A ，PO 交圆O 于B ，C 两点，
3=AC ，∠PAB=300，则圆O 的面积为 ．
三、解答题：本大题共6小题，满分80分。解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤。 16．（本小题满分12分） 已知)2cos 2 ,cos 2(),1 ,(sin x x b x a +==→
→
，函数→
→?=b a x f )(。
（Ⅰ） 求)(x f 的最小正周期；（Ⅱ）求函数()f x 的最大值及取得最大值的自变量x 的
集合． 17．（本小题满分12分） 某班t 名学生在2011年某次数学测试中，成绩全部介于80分与130分之间，将测试结果
按如下方式分成五组，第一组[80，90）；第二组[90，100）…第五组[120，130]，下表是按上述分组方法得到的频率分布表：
（Ⅰ） 求t 及分布表中x ，y ，z 的值；
（Ⅱ）设m,n 是从第一组或第五组中任意抽取的两名学生的数学测试成绩，求事件 “|m—n|≤10”的概率．
C
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18．（本小题满分14分）
直棱柱1
111A B C D A B C D -
中，底面ABCD 是直角梯形，∠BAD ＝∠ADC ＝90°，
222AB AD CD ===．
（Ⅰ） 求证：AC ⊥平面BB 1C 1C ； （Ⅱ）若P 为A 1B 1的中点，求证：DP ∥平面BCB 1，且DP ∥平面ACB 1．
19．（本小题满分14分）
给定椭圆C ：22
221x y a b += ()0a b >> ，称圆心在坐标原点O
是椭圆C 的“伴随圆”． 已知椭圆C
的两个焦点分别是(
))
12,00F F 、，椭圆
C 上一动点1M
满足1112M F M F +=
（Ⅰ）求椭圆C 及其“伴随圆”的方程；
（Ⅱ） 过点P ),0(m ()0 第18小题图 P 20．（本小题满分14分） 已知2=x 是函数???≤>-=0 ,0 ,)2()(2x bx x e ax x x f x 的极值点． （Ⅰ） 当1=b 时，求函数()f x 的单调区间； （Ⅱ）当b ∈R 时，函数y =()f x m -有两个零点，求实数m 的取值范围． 21．（本小题满分14分） 设数列{}n a 为等比数列，数列{}n b 满足121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++ ，n *∈N ，已知1b m =，232 m b = ，其中0m ≠． （Ⅰ）求数列{}n a 的首项和公比； （Ⅱ）当m=1时,求n b ； （Ⅲ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，若对于任意的正整数n ，都有[1,3]n S ∈，求实数m 的取值范围． 参考答案 一、选择题答案：本大题共10小题，每小题5分，满分50分 1． B ．∴==}31{}21 {，，B ，C A B A C U ?）（= {1，2，3}。 2． A ． i i i +=+11 对应的点位于第一象限。 3． B ． ?改成?，后面否定即可。 4． C ．2,12)2(21)33(31)23( 1123=∴==+-+=-d d d a d a S S 。 5． A ． 21 321/=-= x x y 解得3=x 。 6． D ．应抽取女生人数n= 1020080 25=? 。 7． C ．由表可知 1=k 时 0)2()1( 8． D ．抛物线焦点为（1，0）, 1=∴c ，12 2=+b a ，又51 === a a c e 51= ∴a 54 =∴b ，∴双曲线的方程为22 551 4y x -=。 9． B ．由图知π πππ 127 01447),,127(),,12(22=∴=-=?-==A A ON OM A ON A OM 10． B ．由三视图可知原图形是一个倒放的圆锥，h 的变化是先快后慢， 所以选B 二、填空题答案：本大题共5小题，每小题5分，满分20分．本大题分为必做题和选做题两 部分． ㈠必做题（11～13题） 11．4； 12．1 13．2 ㈡选做题（14~15题是选做题，考生只能从中选做一题） 14． 33 ± 15． π 11．4)4()2(020=------=S 。 12．由可行域知在（1，0）处 y x -取到最大值1。 13．由正弦定理知,2 ,6,21sin sin 13 sin 3πππ =∴=∴<=?= C B b a B B 又 222=+=∴b a c 14．曲线C ：122=+y x ，由相切知圆心到直线的距离d=r=1所以 3 3 11 22± =?=+k k k 。 15．连结OA ，由∠PAB=30°知∠OCA=∠OAC=30°由余弦定理得AC= 3OA ，所以OA=1，所以 圆O 的面积π=S 。 三、解答题答案：本大题6小题，满分80分．解答须写出文字说明、证明过程和演算步骤． 16．解：（Ⅰ）→ →?=b a x f )(=x x x 2cos 2cos sin 2++，……2分 即()2sin 2cos 2f x x x =+ +2) 4x π =+ ……4分 ππ == 22T 最小正周期……6分 （Ⅱ） ()f x 取得最大值为2+分 此时 224 2x k π π π+ =+ ，即 () 8 x k k Z π π=+ ∈时， 因此，()f x 取得最大值的自变量x 的集合是,8x x k k Z ππ?? =+∈??? ?．……6分 （注：第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问6分） 17．解：（Ⅰ）,18.006.034.038.004.01=----=y ……2分 ,5006.03 == t ……3分 1938.050 4,204.050=?==?=z x 分 …5分 （II ）第一组)90,80[中有2个学生，数学测试成绩设为y x , 第五组[120，130]中有3个学生，数学测试成绩设为A 、B 、C……1分 则n m ,可能结果为),,(),,(),,(),,(),,(),,(),,(C y B y A y C x B x A x y x , 第18小题图 P ),(),,(),,(C B C A B A 共10种 ………4分 使|m —n|≤10成立有),(),,(),,(),,(C B C A B A y x 4种…………6分 .52104)10|(|== ≤-∴n m P 即事件"10||"≤-n m 的概率为. 52 ………7分 （注：第（Ⅰ）问5分，第（Ⅱ）问7分） 18． 证明：（Ⅰ） 直棱柱1111ABCD A B C D -中，BB1⊥平面ABCD ，∴BB1⊥AC. ……2分 又 ∠BAD ＝∠ADC ＝90°，222AB AD CD ===， ∴AC =CAB ＝45° ，∴BC =∴ BC ⊥A C ． ………… 5分 又1BB BC B = ，1,BB BC ?平面BB1C1C ，∴ AC ⊥平面BB1C1 C ．………… 7分 （Ⅱ）证明：由P 为A1B1的中点，有PB1‖AB ，且 PB1＝12A B ．…………2分 又∵DC‖AB ，DC ＝1 2AB,∴DC ∥PB1,且DC ＝ PB1,…4分 ∴DC B1P 为平行四边形，从而CB1∥DP ． 又CB1?面ACB1，DP ?面ACB1，∴DP‖面ACB1…6分 同理，DP‖面BCB1． …………7分 （注：第（Ⅰ）问7分，第（Ⅱ）问7分） 19． 解： （Ⅰ）由题意得：2a = 得a c =．．．2分 则1b =椭圆C 的方程为2 21 3x y += ．．．．．．．．．4分 “伴随圆”的方程为22 4x y +=．．．．．．．．．6分 （Ⅱ）设过点()m P ,0，且与椭圆有一个交点的直线l 为 m kx y +=， 则 ?????=++=132 2y x m kx y 整理得()()0336312 2 2 =-+++m kmx x k ． ．．．．．．．．2分 所以 ()()()03331462 2 2=-+-=?m k km ，解2213m k =+ ①．．．．．．．．4分 又因为直线l 截椭圆C 的“伴随圆”所得的弦长为22， 则有 221222 2 2=???? ?? +-k m 化简得() 1222+=k m ② ．．．．6分 联立①②解得， 4,12 2==m k ，所以)0(2,1<-=±=m m k ……8分 （注：第（Ⅰ）问6分，第（Ⅱ）问8分） 20．解 （Ⅰ）20,()(2)x x f x x ax e >=-时, 22()(22)(2)[2(1)2]x x x f x x a e x ax e x a x a e '∴=-+-=+--．………………1分 由已知得，0,f =220,a ∴+-=解得a=1． ……………………3分 ∴x x e x x f e x x x f )2()(',)2()(22-=∴-=． 当x ∈时，()0f x '< ，当)x ∈+∞时，()0f x ' >．又(0)0f =，………6分 当1=b 时，()f x 在(,0)-∞ )+∞上单调递增， 在上单调递减． …………7分（Ⅱ） 由（1 ）知，当x ∈时，)(x f 单调递减，()((2f x ∈- 当)x ∈+∞时，)(x f 单调递增，()((2)f x ∈-+∞． ………………2分 要使函数y =()f x m -有两个零点，则函数)(x f y =的图象与直线m y =有两个不同的 交点．①当0>b 时，m=0 或(2m =………………4分 ②当b=0 时，((2m ∈-； ………………5分 ③ 当 0,((2)b m <∈-+∞时． ……………………7分 （注：第（Ⅰ）问7分，第（Ⅱ）问7分） 21．解（Ⅰ）由已知11b a =，所以1a m =；…………1分 2122b a a =+，所以12322a a m +=，解得22m a =- ； 所以数列{}n a 的公比 1 2q =- ；…………3分 （Ⅱ）当1m =时， 1 12n n a -??=- ? ??，…………1分 121(1)2n n n b na n a a a -=+-+++ ，………………………①， 2311 (1)22n n n b na n a a a +-=+-+++ ，……………………②， ②－①得231 3 2n n n b n a a a a +-=-+++++ ，………3分 所以111223*********n n n b n n ????---?? ??? ????????-=-+=----?? ?????????-- ? ??， 1222162(2)39929n n n n n b -++-??=+--= ???．…………5分 （Ⅲ）1[1]212113212n n n m m S ?? -- ???????==?--?? ?????????-- ? ??，…………1分 因为1102n ??--> ???，所以由[1,3]n S ∈得1 23 3 111122n n m ????---- ? ? ?? ??≤ ≤，………2分 注意到，当n 为奇数时，1311,22n ????--∈ ? ?????；当n 为偶数时，131, 124n ????--∈ ???????， 所以112n ??-- ? ??最大值为32，最小值为34．…………4分 对于任意的正整数n 都有1 233 111122n n m ????---- ? ??? ??≤ ≤， 所以42233m ≤≤，解得23m ≤≤，…………6分 （注：第（Ⅰ）问3分，第（Ⅱ）问5分，第（Ⅲ）问6分）
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