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高等数学极限习题500道

．

求证：存在，且，＝时，设当βα

=β+βα+αβ

β=βαα→→→→000

lim lim lim )()(1

1110x x x x x x o o x x

答（）

．．　．　．　．是等价无穷小，则与时，若当2

32123211cos )(1)

1()(03

2--=

-=β-+=α→D C B A a x x ax x x

（）

答阶的是时，下述无穷小中最高当x

x D x C x B x A x sin 11cos 1022----→

[]之值．求)12ln()12ln(lim --+∞

→n n n n ．求极限)2sin()1(lim 2

+π-+∞

→n n n n ．求极限)11ln()21(lim n n n ++∞→

_____________sin 1lim 32

=--→的值x

x x e x x

．

及求证：，，设有数列n n n n n n n n

n n a a a y a a a a b b a a a ∞

→+∞

→∞

→++-=+=≠==lim )(lim lim 2)( 11221

．

及，求记：，

　．，设n n n n n

n n n n n n n x y x x y x x x x x a b b x a x ∞→∞→++++-=

+=>>==lim lim 112)0(1

221

求极限之值．lim ()cos sin x x x x

x →+-02

设，；且试证明：．

lim ()lim ()lim ()()x x x x x x v x B u x A A v x B

u x A →→→=>==0

[] 答（）

．．．．2

ln 01)1ln(lim 2)1(1

D C B A x x x ∞=

+-→

答（）

．．．．2

21(lim 2sin 0

D e C e B A x x

x x =

+→

[]的结果．

之值，并讨论及求：设1

)(1)(lim )(lim 11)(lim )( .1

sin

1)(0012----=+=→→→x u x u f x u u u f u u f x

x x u x x u

_____________6

9lim 223的值等于---→x x x x

．不存在．．．D C B A e e e e x

x x

x x 123

234lim =++--∞→

答：（）

lim ()()()....x x x x A B C D →∞-+-=-?236111

358

不存在

答：（）

____________)61()31()21(lim 15220

10=+++∞→x x x x ____________lim 0的值等于x

x x e e x -→- ．求极限123lim 2331+--+-→x x x x x x 求之值．lim ()

x x x x x →+--+03

416125

已知：，问？为什么？

lim ()lim ()()lim ()x x x x x x u x u x v x A v x →→→=∞=≠=0

关于极限结论是：

不存在答（）

lim

x x

A B C D →+0

535305

答（），则极限式成立的是

，设 )(lim .)()(lim .)

()(lim .0

)

()

(lim

.)(lim )(lim )(0

000

∞

=∞=∞==∞==→→→→→→x g x x x x x x x x x x x x x f D x g x f C x f x g B x g x f A x g A x f

是不是无穷大量．时，，问当)(cos )(x f x x e x f x +∞→=

答（）不存在 2

.2.

..0.1

arctan

tan lim 0

π-π=?→D C B A x

x x

答（）

1..0.)arctan(lim 2π

∞=∞→D C B A x

x x

___________)0(23

)(1

=-+=f e x f x

，则设

答（）不存在 2

...0.1cot

arc lim 0

π=→D C B A x

lim cos ln ....x a x x

a A B C D →--==0100123

，则其中

答（）π

____________cos 13lim 20的值等于x

x e e x x x ----→

lim

(cos )

.....x x x

A B C D →-=

-0212220

不存在答：（

）

设，其中、为常数．

问：、各取何值时，；

、各取何值时，；

、各取何值时，．

f x px qx x p q p q f x p q f x p q f x x x x ()()lim ()()lim ()()lim ()=++-===→∞

→∞

→25

112031

求极限．lim ()()()()x n n n n x x x x →∞+--++-2222222211 求极限．lim ()()x x x →∞++322323

[]

之值．

、、试确定已知C B A x x c x B A x x 0)

1()1()1(3lim

=--+-+-+→

之值．

，，，试确定常数．，，满足已知d c b a x f x f x x d

cx bx ax x f x x 0)(lim )2(1)(lim )1(2

)(1223==-++++=→∞→ 之值．，，试确定已知b a x x b

x b a x 43

13)(lim 1

=+-+++→

为什么？

＂上述说法是否正确？，则＂若∞=α=α→→)

lim 0)(lim 00x x x x x x

当时，是无穷大，且，

证明：当时，也为无穷大．

x x f x g x A x x f x g x x x →=→+→000

()lim ()()()

．用无穷大定义证明：+∞=-+→11

2lim 1x x x ．

用无穷大定义证明：-∞=+

→x x ln lim 0 +∞=-π

→x x tan lim 02

用无穷大定义证明：．用无穷大定义证明：+∞=-+→11lim 01x x ．

用无穷大定义证明：+∞=-+∞→)4(lim 3x x x ．

其中用无穷大定义证明：)10( log lim <<-∞=+∞

→a x a x

[]

若当时，、都是无穷小，

则当时，下列表示式哪一个不一定是无穷小

答（）

x x x x x x A x x B x x C x x D x x →→+++?002221αβαβαβαβαβ()().()()()()()()()ln ()()()()()

＂当，是无穷小量＂是＂当时，是无穷小量＂的充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件

既非充分条件，亦非必要条件答（）

x x x x x x A B C D →→00αα()()()()()()

＂当时，是无穷小＂是＂＂的：

充分但非必要条件必要但非充分条件充分必要条件

既非充分条件，亦非必要条件答（）

x x f x A f x A A B C D x x →-=→00

()lim ()()()()()

若，，但．

证明：的充分必要条件是

．

lim ()lim ()()lim

()

lim ()()

()x x x x x x x x f x g x g x f x g x b f x b g x g x →→→→==≠=-?=0

000000

．

其中，：用数列极限的定义证明)10(0lim <<=∞

→a a n n ．

：用数列极限的定义证明)10(1lim 1

<<=∞

→a a

n ．：用数列极限的定义证明21

2)2(lim

=++∞

→n n n n ___________)1ln(2)cos(sin 1lim 20的值等于x x x +-→ []

之值．求极限3

sin 01)(cos lim x x x x -→

[]求极限之值．lim

(sin )x x

x x x

→+-0311

____________1

)sin (cos lim

220=-+→x x x x x _____________1)21(lim 2

30=-+→x x x x __________1)sin 1(lim 0=-+→x x x x ______________1)(cos lim 3sin 20=-→x

x x x 求极限之值．lim ()x x

x x x →∞+--??????21

111

．

时　试证明：当．时，，且当的某去心邻域内设在)(~)()(~)()()()(0000x u x x x x x x x x x u x x α→βα→β≤≤α<

[]．

求证：存在．，，时，设当A x u x x A x u x x x x x o x x x x x x x x =β-α≠=β-αααα=β→α→→→)()

()(lim )0()()

()(lim

)(~)()()(0)(11000

求之值．lim ()()()x x x x →+-+--057

21312211

[]

设当，，，，均为无穷小，且；，如果试证明：．

x x x x x x x x x x x x A x x x x x x x x x x →=+=+→→→011111

110

111ααββααββαβααββ()()()()()~()()~()lim ()

()

lim ()lim ()()

()

[]

设当，，都是无穷小，且，试证明：．

x x x x x x x x x x →≠≠+0001αβαβααββ()()()()()~()()()

[][])

()

(1)(1lim

)

)(1lim

)

()

(lim )(~)()()(11100

是正常数式中．

试证明：；如果均为无穷小，且与时，设当a x x x x A x x x x x x x x a x x a x x x x β-α+=β-α+=βααααα→→→→

．用数列极限的定义证明0!

lim

=∞

→n n

成立．

时恒有　存在，使当试证必有正整数．

，且设2

2lim C

A x A

B N n N

C A B A x n n n +<<+><<=∞

→

{}{}设有两个数列，满足

；

为定数．试证明：．

x y x y M M x y n n n n n n n n ()lim ()()lim()1020→∞

→∞

=≤?=

设，求证：．lim ()lim ()x x x x f x A f x A →→==00 求极限lim sin

sin x x x x →021

[]求极限lim cosln()cosln x x x →+∞

+-1 求极限．lim sin x x x

→+011

求极限．lim

arctan x x

x →∞+2112 求极限lim ()x x x e →∞+11 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 求极限．lim x x x →-+0121

22 )sin 1(sin lim n n n -+∞→求数列的极限

[]A

x f A

u f u x u x x x u u x x =?=≠?=?→→→)(lim )(lim )()(lim 0

00试证：，又，且设

设试确定实数，之值，使得：当时，为无穷小；

当时，为无穷大。

f x x x

a b x a f x x b f x ()ln ()()=

-→→1

设，问：当趋于何值时，为无穷小。f x x

x x f x ()tan ()=2

．

该邻域内　的某去心邻域，使得在证明：存在点，且，若)()()(lim )(lim 00

x f x g x A

B B x g A x f x x x x >>==→→

设，试证明：

对任意给定的，必存在正数，使得对适含不等式；的一切、，都有成立。lim ()()()x x f x A x x x x x x f x f x →=><-<<-<-<0

00010201221εδδδε

．，试用极限定义证明：已知：A x f A x f x x x x =>=→→)(lim

0)(lim 0

{}{}{}是否也必发散？同发散，试问数列与若数列n n n n y x y x +

求的表达式f x x x

x n n n ()lim =-+→∞+2121

设　其中、为常数，，求的表达式；

确定，之值，使，．

f x x x a bx x a b a f x a b f x f f x f n n n x x ()lim

sin

cos()

()()()()lim ()()lim ()()=+++<<==-→∞-→→-2121

021211π

求的表达式f x x n n ()lim (ln )=+→∞+11221 的表达式．求n n n n n x

x x x x f ---+∞→++=12lim )( ．

，求，设)(lim )()()()(1)(33)(22x f x f x x x x f x x x n n n n ∞

→=?++?+?+=+-=? 求的表达式．f x x x x x x x

x n n ()lim ()()=+++++++?????

?→∞-11122221 求的表达式．f x x x n n

n ()lim =+→∞1 ．，求，其中设n n k n

k k n

S k b b k S ∞→=+==∑lim )!1(1

求的表达式。f x x x x x x x n n n n ()lim ()()()=+-+-++-????

?→∞1121212222 ．

的表达式，其中求01

)1(1)1(lim

)(≥+++++=∞

→x x x x x x f n

n n ．其中．求数列的极限)0( )(23)(23lim 1

1>>-+-+++∞→b a b a b a n n n n n

求数列的极限．lim ()n n n n →∞?+?-53323 求数列的极限．lim()n n

n →?++++-12345321

．

，其中求数列的极限1)321(lim 12<++++-∞

→q nq q q n n

求数列的极限

其中．

lim ()()()()()()()()n a a a a a a a n a n a n a →∞+++++++++-+++????

??>11211231110 ??

????+-++?+?∞→)12)(12(1

531311lim n n n 求数列的极限．求数列的极限??

????+++?+?+?∞→)1(1

431321211lim n n n []

)0( )1(321lim 2222

32>-++++∞→a n n

a n 其中求数列的极限

．求数列的极限??

???--+++++∞→2)1(321(21lim 2n n n n 求数列的极限．lim ()n n n n →∞

+-+21

[]

求数列的极限．lim ()n n n n →∞

++--2451

．求数列的极限n

n n n n n )

1)(1(63lim 34+---+∞→

．

其中．求数列的极限)1( 2lim ≠+∞→a a a n

n ．求数列的极限)1

1()311)(211(lim 222n

n ---∞→ 求数列的极限．lim n n n →∞+1000012

求数列的极限．lim n n n n n →∞++-+2243

351 求数列的极限．lim()n n n →∞

+-1

求数列的极限．lim n n n n →∞

++123

)200( 2

22lim

≠>>+-+--+∞

→b b a n b n n a n n 且，．求数列的极限

求数列的极限．lim ()n n n n →∞--1212 求数列的极限．　lim ()n n n n →∞-+-1

213

求极限．lim n n n

n n →∞--?-??+?2103103102102121

．

，，且的某邻域内若在B x g A x f x g x f x x x x x ==>→→)(lim )(lim )()(0

0．试判定是否可得：B A >

是否成立？为什么？

，则，若0)()(lim 0)(1

lim 0)(lim 0

00=βα≠=β=α→→→x x b x x x x x x x x

[

]

[

]

确定，之值，使，

并在确定好，后求极限a b x x ax b a b x x x ax b x x lim

()lim ()

→+∞

++-+=++-+347034722

求极限．lim()x x

x x x →∞+--11

求极限．lim cos sin x x x

x x →∞+-23

求极限lim ()()()()()()

x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222

[

]

求极限．lim ()x x

x x x →+∞

++-+2251 求极限．lim ()x x x x →-∞

-+++485212

讨论极限．lim x x x

x x e e e e

→∞---+2343232 求极限．lim ()()()()()()()x x x x x x x x →∞-----++121314151233232 求极限．lim ()()()()()

()x x x x x x x →∞+++++-?121314151532

22222222335 求极限．lim ()()()

x x x x →∞--+43326723425 求极限　，．lim ()x x x a a a a →+∞+>≠1012 求极限．lim tan tan(

)x x x →

?-π

为无穷小．时，之值，使当，确定)(54)(2b ax x x x f x b a +-+-=-∞→

求极限．lim x x x x x →-+-+1343243 求极限．lim x x x x →-+-222564 求极限．lim x x x →+--23

322

求极限．lim x x x x →--+-2251254

求极限．lim x x x →+-0255 求极限lim ()()()()x x x x x →---++--0352312114132 求极限．lim ()()x x x x →+--023242

11 ．为自然数，求极限)( )2(lim n m a

x a a x n n m

m a x ---→ 求极限lim ()()x x x x →+-+0531214 求极限．lim ()x x x

→+-04131

设f x ax a x ax a x a

()()()=------221

1222

问：当为何值时，；

当为何值时，；当为何值时，，并求出此极限值。()lim ()()lim ()()lim ()1212

301

112

a f x a f x a f x x x x →→→

=∞=

求极限．lim

csc cot x x x x →-0 求极限．lim cos x ax

→-021 求极限．lim tan sin x x x x

→+-+0311 )20(tan tan lim π<α<α-α-α→　求极限x x x 求极限　为常数，．lim sin cos sin cos ()x x x

px px p p →+-+-≠0110 讨论极限．lim cos x x x

→-022

．求极限x

x x x x x tan cos sin 1lim 0-+→

求极限．lim ln()x x x →+013

．求数列的极限1)4

1(arctan lim 2

+π-+∞→n n n n 求数列的极限．lim sin n n e n →∞ ．求数列的极限12sin 2lim -∞→πn n n 求数列的极限．lim (cos )n n n →∞-2

1π

[]　答（）

存在

不一定存在

都存在，而，不一定存在

存在，但不一定存在存在，但，则

，上的单调增函数，，是定义在设)(lim )()(lim )0()0()()0()0()()0()0()()()(0

0000000x f D x f x f x f C x f x f B x f x f A b a x b a x f x x x x →→+--++-∈

．

存在，并求出此极限值，证明：，且设n n n n x ax x a x ∞

→+=

>>lim 011 。

存在，并求出此极限值，证明，且设n n n n x x x x ∞

→++==lim 2211

设，且其中，证明极限存在，并求出此极限值．

x x x a

x a x n n n n n 110120>=

+>+→∞

()()lim

设，，，．证明极限存在，并求出此极限值。x x x x x x x x n n

n n 010*******==+

+=+++→∞

lim

存在．求证：为正整数，设n n n x n n x ∞→++++

=lim )(131211222 .lim 131

1311311112存在，求证：设n n n n x x ∞→++++++++=

设，，，，证明：；求极限．x x x n n x n x n n n n 1212132413521246211

=??=??-??<+→∞

()

()()lim

求极限．lim ...x x x x x x →∞+++++100101

010010001

232 {}．为定数）证明：适合设数列0lim ( ,11=<≤∞→+n n n

n n x r r x x

求极限．lim

tan tan cos()x x x

x →

-+π

336

求数列的极限．lim !n n n →∞2 ．则＂证明数列的极限用极限存在的＂夹逼准02

lim =∞→n n n

．

求数列的极限)1

2111(lim 222n

n n n n +++++∞

→ ．求数列的极限1

sin lim

2+∞

→n n n n

．求数列的极限??

???

++++∞→222)2(1

)2(1)1(1lim n n n n 求极限．lim ln()ln()x x x e e →+∞++233223 求极限．lim ln()ln()x x x x x →∞++-+6325734 求极限．lim x x x x x

→+∞+++

[]设，，当，当讨论及．

f x x

g x x x x x g x f g x x x ()sin ()lim ()lim ()==-≤+>??

???

??→→22

0200

ππ [])()(lim , )()(lim )(lim 0000

u f x f u f u f u x x x u u x x =?==?→→→证明：，设。

求极限　、为正整数．lim ()x m n m n x x x x m n →-+-12

　）

答（　无限接近等于小于不确定的值无限循环小数1)(1

)(1)()(9.0D C B A

{}．求证：适合若数列r

ra a a r a a r a a a n n n n n n n --=

<<-=-∞

→-+1lim )10()(1

211

n n n n

n n x x n a n n a x 1lim , 0!

＋求极限为正整数是常数，　其中设∞→>?=

求数列的极限．lim(sec )n n n

→∞π2

设时，与是等价无穷小且证明：x x x x x f x A

x f x A

x x x x →?=?=→→00

αβαβ()()lim ()()lim ()()

设，且，

试证明必有的某个去心邻域存在，使得在该邻域内有界lim ()()

x x

f x A A x f x →=≠001

[][]下述结论：

＂若当时，与是等价无穷小，则当时，与也是等价无穷小＂是否正确？为什么？

x x x x x x x x →→++0011αβαβ()()ln ()ln ()

．求极限应用等阶无穷小性质，x

x x x )

1arctan()1arctan(lim

--+→

求极限．lim

x x x

x x

→+--+0

215132

求极限．lim ()()x x x x →--+012

1416 求极限　为自然数．．lim

()()x n

ax x n a →+-≠01

110 求极限．lim ()x x x x →-+--313

522

设当时，与是等价无穷小，

且，，证明：．

x x x x f x x a f x x g x A f x x g x A x x x x x x →=≠-=-=→→→00001αβααβ()()lim ()()lim ()()

()

lim ()()

()

设当时，，是无穷小且证明：．

x x x x x x e e x x x x →-≠--00

αβαβαβαβ()()()()~()()()()

若当时，与是等价无穷小，

是比高阶的无穷小．

则当时，与是否也是等价无穷小？为什么？

x x x x x x x x x x x x →→--0101ααβααβαβ()()()()()()()()

[][]设当时，、是无穷小，且证明：与是等价无穷小．

x x x x x x x x x x →-≠+-+-0011αβαβαβαβ()()()().

ln ()ln ()()()

设当时，是比高阶的无穷小．证明：当时，与是等价无穷小．

x x f x g x x x f x g x g x →→+00()()()()()

吗？为什么？

也是等价无穷小

与无穷小。试判定：等价是同阶无穷小，但不是与是等价无穷小，与时，若)()()()()()()()(110x x x x x x x x x x β-αβ-αβααα→

确定及，使当时，

与，是等价无穷小．

A n x f x x x g x Ax n →=++=0122()ln()()

．

时，，使当及求，，　设)(~)(0)(5sin 3sin 2sin )(x g x f x n A Ax x g x x x x f n →=+-=

设，为常数求及，使当时，f x e e e a g x Ax A n x f x g x a x a x a n

()()()()~().

()()=+-=→+-222

设，　，

确定及，使当时，．

f x x x x

g x A

k A x f x g x k ()()()~()=

+-++=→+∞221

设，　，

确定及，使当时，αβαβ()()()()~()

x x x x c x c n x x x n =-+=-→33211

证明不等式：．其中为正整数ln()()111

求极限，，为正的常数lim()()x bx

ax e a b →+01

求极限，，lim()()x x x x

a b a b →+>>01

00 求极限，为任意实数．lim ()x n x x n →--111

求极限　lim ln ln ()x x x x x x x →-->00000 )10(lim ≠>--→a a a x a a a

x a x ，，求极限求极限　，．lim ()x x

a x a a →->≠03101 求极限．lim sin tan x x x e e x →-03 求极限．lim x x x e e x

→-+-022 求极限．lim x x e x →-051

求极限　，且，，lim()()x x x

x xa xb a b a b a b →++>>≠≠≠01

1100112

求极限　，．lim ()()x x x x a a a a →+∞+->≠211

101 求极限．lim ln(sec tan )sin x x x x

→+0 求极限　，为常数，且lim ln()ln()().x ax e b

a b a →+∞++>110

．求极限)0(ln 2)ln()ln(lim 020

000>--++→x x

x x x x x x 求极限　，．lim(cos cos )()x x x k k z →-≠+∈ααααππ1

求极限．lim cos x x x →+∞π

求极限lim()x x

x →-01

12 求极限．lim()x x

x x →∞+-21213 求极限．lim()x x x x x x →∞-++-2121

22 求极限lim(sin )tan x x x →π2

求极限．lim(sin cos )x x x x →+01 求极限．lim tan()cot x x

x →-??????04π

求极限．lim(cos )x x x →+0

求极限．lim()x x

x x →++0

211

[]求极限lim ()ln()()ln()ln x x x x x x x x →+∞

++-+++22211 求极限．lim lncos x x

→0

[]．求极限x x x x )1ln()1ln(lim --++∞

→ 求极限．－lim ln x x x →-121

[]求数列的极限．lim ln()ln n n n n →∞+-1 求数列的极限lim().n n

n e →∞

为正整数．

，，其中求数列的极限b a e e

n n

a n )(lim -∞

→ 是常数其中求数列的极限0 ; ln 2)1ln()1ln(lim 2>??

????--++∞→a a n a n a n n

求数列的极限．lim()n n

n n →∞++211 求数列的极限，其中．lim ()n n n a a →∞

->1

．求数列的极限??????-+-+∞

→2)1

2()

12(22lim e e e n n n n

求数列的极限，其中，．lim()n n

n n

a b a b →∞+>>2

00 求数列的极限．lim(

)n n n n →∞+-2121 )

1(224323lim +∞→?

??+-n n n n n 求数列的极限计算极限：．lim sin()n n a →∞

+?22π

设，，，则有

，，，，答（）

f x x x x

x f x a f x b A a b B a b C a b D a b x x ()sin sin lim ()lim ()()()()()=+==========→→∞11

111221220 计算极限lim ln x x x nx x e e e n →+++021 计算极限lim ln()ln()sec cos x x x x x x x

→+++-+-02211

求极限　，为非零常数lim tan sin ()x mx

nx m n →0 计算极限lim x x x x →+-++-021111 计算极限　lim ()x a x a x a x a a →+-+--≥0220 计算极限．lim cos cos x x x

→--0211 计算极限在　lim ln()ln()ln ()x a x a x a x a →++-->0220

计算极限lim (sin tan )x x x x →-0111

计算极限lim ()(cos )ln()

sin x x e x x x →-?+-+042

21111

lim

sin ()()()()x x

A B C D →∞=

∞10 不存在但不是无穷大答（）

lim sin ()()()()x x x

A B C D →∞===∞1

10之值不存在但不是无穷大答（）

已知　其中、、、是非常数则它们之间的关系为

答（）

lim

tan (cos )ln()()

()

()()()()x x A x B x C x D e

A B C D A B D B B D C A C C A C →-+--+-===-==-0

11211022222

)1()1)(1)(1(lim 1242n

x x x x x n ++++<∞

→ 计算极限设

设及存在，试证明：．lim lim

n n n n n

x x x a a →∞→∞+==≤011

求lim(sin cos )x x x x →∞+2212

计算极限　lim ()()x a x a x a x a a →-++-≠322210 计算极限lim x x x x x x →-+---2322332

计算极限lim ln()cos x x x x e e x x →-?+021 ??

????∞→→)2cos 2cos 2(cos lim lim 20n n x x x x 计算极限 {}．，试证明及满足设有数列0lim )10( lim 01

=<≤=>∞

→+∞→n n n n n n n a r r a a a a

{}，试按极限定义证明：

，且满足设有数列)10( lim 0<≤=>∞

→r r a a a n n n n n ．0lim =∞

→n n a

．语言证明，试用　设A x f A A x f x x x x =δ-ε>=→→)(lim

"")0()(lim 0

试问：当时，，是不是无穷小？x x x x

→=

2α()sin

的某去心邻域，使得

试证明：必存在，且，设0,)(lim )(lim 0

x B A B x g A x f x x x x >==→→．在该邻域为)()(x g x f >

设，试研究极限f x x x

f x x ()sin lim ()=→110 计算极限．lim ln()arcsin()x x x x →+---232312344

[]

　答（）

大无界变量，但不是无穷小有界变量，但不是无穷无穷小量

无穷大量是时，则当，

设数列的通项为)()()()()1(12

D C B A x n n

n n x n n n ∞→--+=

以下极限式正确的是

答（）

()lim()()lim()()lim()()lim()A x e B x

e C x e D x

x x x x x x x x →+→+-→∞-→∞-+=-=-=+=001

11111

1111

设，　，，，求．x x x n x n n n n 1110612==+=+→∞

()lim

b A a D a A b a C b A b a B A b a A A b a A

x f x b x x e x f x ax ======???

??=≠-=→可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，且，当，当设)()()(1)()(lim 0

)(0

答：( )

A A b a D A

b a a C b A b a B a A b a A A b a A x f x b x x

ax d x f x ln )()()()()(lim 0 0)

1ln()(0

======??

??=≠+=→仅取可取任意实数，而，可取任意实数且可取任意实数，，可取任意实数，，之间的关系为，，则，，且当，　，当设

答：（

）

答（）

可取任意实数可取任意实数可取任意实数，可取任意实数，间正确的关系是，，则，且当，

，当设2

)(2)(2)(2)()(lim 0 0cos 1)(2

a A

b a D a

A b a C a A b a

B a

A b a A A b a A x f x b x x ax x f x =

==???

??=≠-=→

[][]设有，，且在的某去心邻域

内复合函数有意义。试判定是否

成立。若判定成立请给出证明；若判定不成立，请举出例子，并指明应如何加强已知条件可使极限式成立。

lim ()lim ()()lim ()x x u a

x x x a f A x f x f x A →→→===0

0????

设，当，当　适合则以下结果正确的是仅当，，仅当，，可取任意实数，，可取任意实数，，都可能取任意实数

答（）

f x x x b

x x a x f x A

A a b A

B a A b

C b A a

D a b A x ()lim ()()()()()=++-≠=???

??===-====-=→21

21114344434

设　当当　且，则，，，可取任意实数，可取任意实数

答（）f x bx x x a x f x A b a B b a C b a D b a x ()lim ()()()()()=+-≠=???

??=======→11

0033363

360

值。，试求时，且当，设a x x x e e x ax x x )(~)(0)(1)

1()(cos 3

12βα→-=β-+=α

求．lim x x x x x e e e e →∞---+234 ．，则设____________8)2(lim ==-+∞→a a

x a x x

x ．

____________)

31(lim sin 2

=+→x

x x

当时，在下列无穷小中与不等价的是答（）

x x A x B x C x x D e e x x →-++--+--0121112

22()cos ()ln ()()

当时，下列无穷小量中，最高阶的无穷小是答（）

x A x x B x C x x D e e

x x

→++---+--01112

22()ln()()()tan sin ()

计算极限lim

cos x x x e x →---0

112

_____________________4sin 3

553lim 2

=?++∞→x x x x

lim 211--++++-→x n

x x x x n n x 计算极限

131)1()1()1)(1(lim -→----n n x x x x x 计算极限．计算极限x x x π

+→)(cos lim 0

讨论极限的存在性。limarctan x x →-11

1 的存在性。研究极限x

x 1cot arc lim 0→ 研究极限．lim x x x x →∞++-223

　）

答（穷大的是时，下列变量中，为无当x D x C x B x

x A x 1

cot

arc )(1arctan )(ln )(sin )

(0+→ ________________1

ln 1lim 1=-→x x 。时，恒有

，使当存在一正整数，试判定下述结论，且设N n N a a n n n >=>∞

→"0lim 0是否成立？"1n n a a <+

若试讨论是否存在？lim lim n n n n a A a →∞

→∞

{}存在的

极限，试判定能否由此得出满足设有数列n n n n n n a a a a ∞

→+∞

→=-lim 0)(lim 1结论。

{}0lim 1001

=<<≤>∞→+n n n

n n n a r r a a a a ，试证明，；满足设有数列

是否必存在？

存在，则存在，设)(lim )(lim )()

(lim

00x f x g x g x f x x x x x x →→→ ．

，则是否必有，若0)(lim 0)()

(lim 0)(lim 0

00=≠==→→→x g A x g x f x f x x x x x x

答（）

小量的是时，下列变量中为无穷当1

)

1)((ln 1)

()1ln()(1

sin 1)(012

2-+-+→x

x D x C x B x x A x

．

是常数），试证明，时，设0)()

(lim

()()(0

0=→∞→→→x f x g A A x g x f x x x x

若，且在的某去心邻域内，，则必等于，为什么？

lim ()()lim

()

()lim ()x x x x x x g x x g x f x g x A f x →→→=≠=0

0000

若，不存在，则是否必不存在？若肯定不存在，请予证明，若不能肯定，请举例说明，并指出为何加强假设条件，使可肯定的极限时必不存在。

lim ()lim ()lim ()()

()()()x x x x x x f x A g x f x g x f x g x x x →→→=??→0

是否为无穷大？，试判定，若)()(lim )(lim )(lim 0

x g x f A x g x f x x x x x x ?=∞=→→→ []．，试证明，，设∞=+→∞→→→)()(lim )()(0

0x g x f A x g x f x x x x

．，试证明，时，设当∞=≠→∞→→→)()(lim )0()()(0

0x g x f A A x g x f x x x x

设，，则当时　与是同阶无穷小，但不是等价无穷小是比高阶的无穷小与不全是无穷小

αβαβαβαβαβ=+=→+∞ln

()~()()()x x

arcctgx x A B C D 1

答：（）

高等数学求极限的常用方法附例题和详解

高等数学求极限的14种方法一、极限的定义 1.极限的保号性很重要：设 A x f x x =→)(lim 0 ，（i ）若A 0>，则有0>δ，使得当δ<-<||00x x 时，0)(>x f ；（ii ）若有,0>δ使得当δ<-<||00x x 时，0A ,0)(≥≥则x f 。 2.极限分为函数极限、数列极限，其中函数极限又分为∞→x 时函数的极限和 0x x →的极限。要特别注意判定极限是否存在在：（i ）数列{}的充要条件收敛于a n x 是它的所有子数列均收敛于a 。常用的是其推论，即“一个数列收敛于a 的充要条件是其奇子列和偶子列都收敛于a ” （ii ） A x x f x A x f x =+∞ →= -∞ →? =∞ →lim lim lim )()( (iii)A x x x x A x f x x =→=→?=→+ - lim lim lim 0 )( (iv)单调有界准则（v ）两边夹挤准则（夹逼定理/夹逼原理）（vi ）柯西收敛准则（不需要掌握）。极限)(lim 0 x f x x →存在的充分必要条件是： εδεδ<-∈>?>?|)()(|)(,0,021021x f x f x U x x o 时，恒有、使得当二．解决极限的方法如下： 1.等价无穷小代换。只能在乘除．．时候使用。例题略。 2.洛必达（L ’hospital ）法则（大题目有时候会有暗示要你使用这个方法）它的使用有严格的使用前提。首先必须是X 趋近，而不是N 趋近，所以面对数列极限时候先要转化成求x 趋近情况下的极限，数列极限的n 当然是趋近于正无穷的，不可能是负无穷。其次,必须是函数的导数要存在，假如告诉f

高等数学函数的极限与连续习题及答案

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴ ()12 ++=x x x f 与()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与() x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1) 1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2 x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点． 11、函数()x f x 1 =必在闭区间[]b a ,内取得最大值、最小值．

高等数学下册典型例题精选集合.doc

最新高等数学下册典型例题精选集合第八章多元函数及其微分法最大者泄义域,并在平面上画出泄义域的图形。 A - 77 Z[ = J4x_），的定义域是y 2 < 4x z 2二丿的定义域是从而z = :）-的定义域是Z]=』4x-护与z? = / 1 定义域的公共部分，即 V4x >y>0 x 2 > y>0 例 2 设 z 二 x+y + /(x 一 y),当 y = 0吋 z = ,求 z. 解：代入y = 0时Z = F,得〒=兀+ /（兀），即/（兀）=亍一匕所以 z = (x- y)2 +2y. 2 2 例3求lim —— >4o J ，+)" +1 _ [ lim(Jx 2 + y 2 +1 +1) = 2 XT O V 尸0 例1求函数z 解：此函数可以看成两个函数Z 严』4x-y2与Z2 =的乘积。兀-">0,即兀2 >y >0o y>0 lim (* + )(J 兀2 + y2 + ] 4- 1) 解: XT O 原式=厂0 (J 对 + )厂 +1 -1)( J 兀~ + + ] + 1)

法2化为一元函数的极限计算。令衣+八］=(,则当 x —0, y —?0 吋，t ―> 1 o 『2 _1 原式=lim --------- = lim(r +1) = 2。 t —I / — ] i ―I 例 4 求 lim r 兀+厂，T() 丿解:法1用夹逼准则。因为2 | xy \< x 2 2 + y 2,所以 2 9 0<

而lim凶=0,从而lim| |=0 XT O 2 XT O厂 + \厂〉?T O 〉?T O兀十〉于是lim「1=0 牙-叮兀.+ y 尸0 丿法2利用无穷小与有界函数的乘积是无穷小的性质。因为2|xy|< x2 + y2所以—^― Q +y =lim( AT O 〉?T O 尢y ?x) = 0 例5研究lim^- :护+y 解：取路径y二二一x + kxSke R± ,则lim 小 = [由k是任意非零 F *+y k yTO 丿的常数，表明原极限不存在。a, 又limx = 0 XT O 〉T() 所以

最全大学高等数学函数、极限与连续

第一章函数、极限和连续 §1.1 函数一、主要容㈠函数的概念 1. 函数的定义: y=f(x), x ∈D 定义域: D(f), 值域: Z(f). 2.分段函数: ? ??∈∈=21)()(D x x g D x x f y 3.隐函数: F(x,y)= 0 4.反函数: y=f(x) → x=φ(y)=f -1 (y) y=f -1 (x) 定理:如果函数: y=f(x), D(f)=X, Z(f)=Y 是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数： y=f -1(x), D(f -1)=Y, Z(f -1 )=X 且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性 1.函数的单调性: y=f(x),x ∈D,x 1、x 2∈D 当x 1＜x 2时,若f(x 1)≤f(x 2), 则称f(x)在D 单调增加( )；若f(x 1)≥f(x 2), 则称f(x)在D 单调减少( )；若f(x 1)＜f(x 2), 则称f(x)在D 严格单调增加( )；若f(x 1)＞f(x 2), 则称f(x)在D 严格单调减少( )。 2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x) 奇函数：f(-x)=-f(x) 3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x), x ∈(-∞，+∞) 周期：T ——最小的正数 4.函数的有界性： |f(x)|≤M , x ∈(a,b) ㈢基本初等函数 1.常数函数： y=c ， (c 为常数) 2.幂函数： y=x n , (n 为实数) 3.指数函数： y=a x , (a ＞0、a ≠1) 4.对数函数： y=log a x ,(a ＞0、a ≠1) 5.三角函数： y=sin x , y=con x y=tan x , y=cot x

高数典型例题解析

第一章函数及其图形例1：（）. A. {x | x>3} B. {x | x<-2} C. {x |-2< x ≤1} D. {x | x≤1} 注意，单选题的解答，有其技巧和方法，可参考本课件“应试指南”中的文章《高等数学（一）单项选择题的解题策略与技巧》，这里为说明解题相关的知识点，都采用直接法。例2：函数的定义域为（）. 解：由于对数函数lnx的定义域为x>0，同时由分母不能为零知lnx≠0，即x≠1。由根式内要非负可知即要有x>0、x≠1与同时成立，从而其定义域为，即应选C。例3：下列各组函数中，表示相同函数的是（）解：A中的两个函数是不同的，因为两函数的对应关系不同，当|x|>1时，两函数取得不同的值。 B中的函数是相同的。因为对一切实数x都成立，故应选B。 C中的两个函数是不同的。因为的定义域为x≠-1，而y=x的定义域为（-∞，+∞）。 D中的两个函数也是不同的，因为它们的定义域依次为（-∞，0）∪（0，+∞）和（0，+∞）。例4：设

解：在令t=cosx-1，得又因为-1≤cosx≤1，所以有-2≤cosx-1≤0，即-2≤t≤0，从而有。 5：例 f(2)没有定义。注意，求分段函数的函数值，要把自变量代到相应区间的表达式中。例6：函数是（）。 A．偶函数 B．有界函数 C．单调函数 D ．周期函数解：由于，可知函数为一个奇函数而不是偶函数，即（A）不正确。由函数在x=0，1，2点处的值分别为0，1，4/5，可知函数也不是单调函数；该函数显然也不是一个周期函数，因此，只能考虑该函数为有界函数。事实上，对任意的x，由，可得，从而有。可见，对于任意的x，有。因此，所给函数是有界的，即应选择B。例7：若函数f(x)满足f(x+y)=f(x)+f(y),则f(x)是（）。 A．奇函数 B．偶函数 C．非奇非偶函数Ｄ．奇偶性不确定

高等数学基础极限与连续

第二章极限与连续一、教学要求 1.了解极限概念，了解无穷小量的定义与基本性质，掌握求极限的方法. 2.了解函数连续性的概念，掌握函数连续性的性质及运算. 重点：极限的计算，函数连续性的性质及运算。难点：极限、连续的概念。二、课程内容导读 1. 掌握求简单极限的常用方法。求极限的常用方法有 (1) 利用极限的四则运算法则； (2) 利用两个重要极限； (3) 利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）； (4) 利用连续函数的定义。例1 求下列极限：（1）x x x 33sin 9lim 0-+→ （2）1)1sin(lim 21--→x x x （3）x x x 1 0)21(lim -→ （4）2 22)sin (1cos lim x x x x x +-+∞→ （5）)1 1e (lim 0-+→x x x x 解（1）对分子进行有理化，然后消去零因子，再利用四则运算法则和第一重要极限计算，即 x x x 33sin 9lim 0-+→ =) 33sin 9()33sin 9)(33sin 9(lim 0++++-+→x x x x x =3 3sin 91lim 3sin lim 00++?→→x x x x x =21613=? （2）利用第一重要极限和函数的连续性计算，即 )1)(1()1sin(lim 1 )1sin(lim 121-+-=--→→x x x x x x x 11lim 1)1sin(lim 11+?--=→→x x x x x 2 11111=+?= （3）利用第二重要极限计算，即

x x x 10)21(lim -→＝2210])21[(lim --→-x x x 2e -=。（4）利用无穷小量的性质（无穷小量乘以有界变量还是无穷小量）计算，即 222222222)sin 1(lim ]1cos 1[lim )sin 1(1cos 1lim )sin (1cos lim x x x x x x x x x x x x x x x x +-+=+-+=+-+∞→∞→∞→∞→= 1 注：其中当∞→x 时，x x x x sin 1sin =，)1(cos 11cos 2222-=-x x x x 都是无穷小量乘以有界变量，即它们还是无穷小量。（5）利用函数的连续性计算，即 )11e (lim 0-+→x x x x ＝11 01e 00-=-+? 2. 知道一些与极限有关的概念 (1) 知道数列极限、函数极限、左右极限的概念，知道函数在某点极限存在的充分必要条件是该点左右极限都存在且相等； (2) 了解无穷小量的概念，了解无穷小量与无穷大量的关系，知道无穷小量的性质； (3) 了解函数在某点连续的概念，知道左连续和右连续的概念，了解“初等函数在定义区间内连续”的结论；会判断函数在某点的连续性，会求函数的间断点；例2 填空、选择题 (1) 下列变量中，是无穷小量的为（） A. )0(1ln +→x x B. )1(ln →x x C. )0(e 1 →-x x D. )2(422→--x x x 解选项A 中：因为 +→0x 时， +∞→x 1，故 +∞→x 1ln ，x 1ln 不是无穷小量；选项B 中：因为1→x 时，0ln →x ，故x ln 是无穷小量；选项C 中：因为 +→0x 时，-∞→-x 1，故0e 1 →-x ；但是-→0x 时，x 1- +∞→，故+∞→-x 1 e ，因此x 1 e -当0→x 时不是无穷小量。选项D 中：因为21422+=--x x x ，故当2→x 时，41422→--x x ，4 22--x x 不是无穷小量。因此正确的选项是B 。（2）下列极限计算正确的是（）。 A.=→x x x 1sin lim 001sin lim lim 00=→→x x x x

高等数学试题库

高等数学试题库第二章导数和微分一．判断题 2-1-1 设物体的运动方程为S=S(t),则该物体在时刻t 0的瞬时速度 v=lim lim ()()??????t t s t s t t s t t →→=+-0000与 ?t 有关. ( ) 2-1-2 连续函数在连续点都有切线. ( ) 2-1-3 函数y=|x|在x=0处的导数为0. ( ) 2-1-4 可导的偶函数的导数为非奇非偶函数. ( ) 2-1-5 函数f(x)在点x 0处的导数f '(x 0)=∞ ,说明函数f(x)的曲线在x 0点处的切线与x 轴垂直. ( ) 2-1-6 周期函数的导数仍是周期函数. ( ) 2-1-7 函数f(x)在点x 0处可导,则该函数在x 0点的微分一定存在. ( ) 2-1-8 若对任意x ∈(a,b),都有f '(x)=0,则在(a,b)内f(x)恒为常数. ( ) 2-1-9 设f(x)=lnx.因为f(e)=1,所以f '(e)=0. ( ) 2-1-10(ln )ln (ln )'ln x x x x x x x x x 2224 3 21 '=-=- ( ) 2-1-11 已知y= 3x 3 +3x 2 +x+1,求x=2时的二阶导数: y '=9x 2 +6x+1 , y '|x=2=49 所以 y"=(y ')'=(49)'=0. ( ) 二．填空题 2-2-1 若函数y=lnx 的x 从1变到100,则自变量x 的增量 ?x=_______,函数增量 ?y=________. 2-2-2 设物体运动方程为s(t)=at 2 +bt+c,(a,b,c 为常数且a 不为0),当t=-b/2a 时, 物体的速度为____________,加速度为________________. 2-2-3 反函数的导数,等于原来函数___________. 2-2-4 若曲线方程为y=f(x),并且该曲线在p(x 0,y 0)有切线,则该曲线在 p(x 0,y 0) 点的切线方程为____________. 2-2-5 若 lim ()() x a f x f a x a →-- 存在,则lim ()x a f x →=______________. 2-2-6 若y=f(x)在点x 0处的导数f '(x)=0,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 __________的切线.若f '(x)= ∞ ,则曲线y=f(x)在[x 0,f(x 0)]处有 _____________的切线. 2-2-7 曲线y=f(x)由方程y=x+lny 所确定,则在任意点(x,y)的切线斜率为 ___________在点(e-1,e)处的切线方程为_____________. 2-2-8 函数

高数-极限求解方法与技巧总结

第一章极限论极限可以说是整个高等数学的核心，贯穿高等数学学习的始终。因为有关函数的可积、连续。可导等性质都是用极限来定义的。毫不夸张地说，所谓高数，就是极限。衡量一个人高等数学的水平只需看他对极限的认识水平，对极限认识深刻，有利于高等数学的学习，本章将介绍数列的极限、函数的极限以及极限的求解。重点是求极限。 ??????? ?? ?? ?? 极限的定义数列极限极限的性质函数极限的定义函数极限函数极限的性质一、求极限的方法 1.利用单调有界原理单调有界原理：若数列具有单调性、且有有界性，也即单调递增有上界、单调递减有下界，则该数列的极限一定存在。可以说，整个高等数学是从该结论出发来建立体系的。利用该定理一般分两步：1、证明极限存在。2、求极限。说明：对于这类问题，题中均给出了数列的第n 项和第1n +项的关系式，首先用归纳法或作差法或作商法等证明单调性，再证明其有界性（或先证有界、再证单调性），由单调有界得出极限的存在性，在最终取极限。例1设0110,0,()0,1,2n n n a a x x x n x +>>=+=，…证{}n x 的极限存在，并求其极限。分析：本题给出的是数列前后两项的关系，所以应该用单调有界原理求解。解：由基本不等式，11()2n n n a x x x +=+≥n x 有下界；下面证单调性，可知当2n ≥时，有2 111 ()()22n n n n n n n x a x x x x x x +=+≤+=，则n x 单调递减。综合可得，则n x 单调递减有下界，所以lim n n x →∞ 存在；令lim n n x A →∞ = ，带入等式解得 A 评注：对于该题，再证明有界性的过程中用到基本不等式；特别是在证明单调性

高等数学题库第01章(函数,极限,连续).

第一章函数、极限、连续习题一一．选择题 1．下列各组中的函数f(x)与g(x)表示同一个函数的是（） A.f(x)=x,g(x)=x2 B.f(x)=2lgx,g(x)=lgx2 x,g(x)=x2 C.f(x)=x D.f(x)=x,g(x)=-x 2.函数y=4-x+sinx的定义域是( ) A.[0,1] B.[0,1)(1,4] C.[0,+∞) D.[0,4] 3.下列函数中,定义域为(-∞,+∞)的有( ) A.y=x-132 3 B.y=x2 C. y=x3 D.y=x-2 4.函数y=x2-1单调增且有界的区间是( ) A. [-1,1] B. [0,+∞) C. [1,+∞) D. [1,2] 5.设y=f(x)=1+logx+3 2,则y=f-(x)=( ) A.2x+3 B. 2x-1-3 C. 2x+1-3 D. 2x-1+3 6.设f(x)=ax7+bx3+cx-1,其中a,b,c是常数,若f(-2)=2，则f(2)=( A.-4 B.-2 C.-3 D.6 二．填空题 1．f(x)=3-x x+2的定义域是 2．设f(x)的定义域是[0,3]，则f(lnx)的定义域是。 3．设f(2x)=x+1，且f(a)=4，则a= 。 4．设f(x+11 x)=x2+x2，则f(x) 5．y=arcsin1-x 2的反函数是。 6．函数y=cos2πx-sin2πx的周期T。 ) ?π?sinx,x<17．设f(x)=?则f(-)=。 4??0,x≥1 2??1,x≤12-x,x≤1??8．设f(x)=?，g(x)=?，当x>1时，g[f(x)]= 。 x>1x>1???0?29．设f(x)=ax3-bsinx，若f(-3)=3，则f(3)=。 10．设f(x)=2x，g(x)=x2，则f[g(x)]=。三.求下列极限 x3-1x2-91.lim2 2.lim x→1x-1x→3x-3 3.limx→52x-1-3+2x2-1 4. lim x→0xx-5 x2-3x+2x+2-35.lim 6. lim3x→1x→1x-xx+1-2 7.limx→1x+4-2-x-+x 8. lim2x→0sin3xx-1

关于高等数学经典方法与典型例题归纳

2014年山东省普通高等教育专升本考试 2014年山东专升本暑期精讲班核心讲义高职高专类高等数学经典方法及典型例题归纳 —经管类专业：会计学、工商管理、国际经济与贸易、电子商务 —理工类专业：电气工程及其自动化、电子信息工程、机械设计制造及其自动化、交通运输、计算机科学与技术、土木工程 2013年5月17日星期五曲天尧编写一、求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方；

(2) ???? ???=<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1ΛΛ 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22 +- ++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】 1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2+++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】x x x x x x x x x x sin 1tan 1sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 +-+-=+-+→→ 【注】本题除了使用分子有理化方法外，及时分离极限式中的非零因子．．．．．．．．．．．是解题的关键 4．应用两个重要极限求极限两个重要极限是1sin lim 0=→x x x 和e x n x x x n n x x =+=+=+→∞→∞→1 0)1(lim )11(lim )11(lim ，第一个重要极限过于简单且可通过等价无穷小来实现。主要考第二个重要极限。例5：求极限x x x x ?? ? ??-++∞→11lim 【说明】第二个重要极限主要搞清楚凑的步骤：先凑出１，再凑X 1 + ，最后凑指数部分。【解】22 21212112111lim 121lim 11lim e x x x x x x x x x x x =???? ????????? ??-+???? ??+=??? ??-+=??? ??-+--+∞→+∞→+∞→ 例6：(1)x x x ??? ??-+∞→211lim ；(2)已知82lim =?? ? ??-++∞ →x x a x a x ，求a 。 5．用等价无穷小量代换求极限【说明】 (1)常见等价无穷小有：

高等数学函数极限与连续习题及答案

高等数学函数极限与连续习题及答案文件排版存档编号：[UYTR-OUPT28-KBNTL98-UYNN208]

1、函数 ()12 ++=x x x f 与函数()11 3--=x x x g 相同．错误 ∵当两个函数的定义域和函数关系相同时，则这两个函数是相同的。 ∴()12 ++=x x x f 与 ()113--=x x x g 函数关系相同，但定义域不同，所以()x f 与 ()x g 是不同的函数。 2、如果()M x f >（M 为一个常数），则()x f 为无穷大．错误根据无穷大的定义，此题是错误的。 3、如果数列有界，则极限存在．错误如：数列()n n x 1-=是有界数列，但极限不存在 4、a a n n =∞ →lim ，a a n n =∞ →lim ．错误如：数列()n n a 1-=，1)1(lim =-∞ →n n ，但n n )1(lim -∞ →不存在。 5、如果()A x f x =∞ →lim ，则()α+=A x f （当∞→x 时，α为无穷小）．正确根据函数、极限值、无穷小量的关系，此题是正确的。 6、如果α～β，则()α=β-αo ．正确 ∵1lim =α β ，是 ∴01lim lim =?? ? ??-=-αβαβα，即βα-是α的高阶无穷小量。 7、当0→x 时，x cos 1-与2x 是同阶无穷小．正确 ∵2122sin 412lim 2sin 2lim cos 1lim 2 02 2020=????? ? ????==-→→→x x x x x x x x x 8、 01 sin lim lim 1sin lim 000=?=→→→x x x x x x x ．错误 ∵x x 1 sin lim 0→不存在，∴不可利用两个函数乘积求极限的法则计算。 9、 e x x x =?? ? ??+→11lim 0 ．错误 ∵e x x x =?? ? ??+∞ →11lim 10、点0=x 是函数x x y =的无穷间断点．错误 =-→x x x 00lim 1lim 00-=--→x x x ，=+→x x x 00lim 1lim 00=+→x x x ∴点0=x 是函数x x y =的第一类间断点．

高等数学经典求极限方法

求极限的各种方法 1．约去零因子求极限例1：求极限1 1 lim 41--→x x x 【说明】1→x 表明1与x 无限接近，但1≠x ，所以1-x 这一零因子可以约去。【解】6)1)(1(lim 1 ) 1)(1)(1(lim 2121=++=-++-→→x x x x x x x x =4 2．分子分母同除求极限例2：求极限1 3lim 32 3+-∞→x x x x 【说明】 ∞ ∞ 型且分子分母都以多项式给出的极限,可通过分子分母同除来求。【解】3131lim 13lim 3 11323= +-=+-∞→∞→x x x x x x x 【注】(1) 一般分子分母同除x 的最高次方； (2) ???? ??? =<∞>=++++++----∞→n m b a n m n m b x b x b a x a x a n n m m m m n n n n x 0lim 01101 1 3．分子(母)有理化求极限例3：求极限)13(lim 22+-++∞ →x x x 【说明】分子或分母有理化求极限，是通过有理化化去无理式。【解】1 3) 13)(13(lim )13(lim 2 2 22222 2 +++++++-+=+-++∞ →+∞ →x x x x x x x x x x 01 32lim 2 2 =+++=+∞ →x x x 例4：求极限3 sin 1tan 1lim x x x x +-+→ 【解】) sin 1tan 1(sin tan lim sin 1tan 1lim 3030 x x x x x x x x x x +++-=+-+→→

高数极限习题

第二章导数与微分典型例题分析客观题例 1 设)(x f 在点0x 可导,b a ,为常数,则=??+-?+→?x x b x f x a x f x ) ()(lim 000 ( ) )(0x f ab A ' )()(0x f b a B '+ )()(0x f b a C '- )(0x f b a D ' 答案 C 解 =??+-?+→?x x b x f x a x f x )()(lim 000=?-?+--?+=→?x x f x b x f x f x a x f x )] ()([)]()([lim 00000 -?-?+=→?x a x f x a x f a x ) ()(lim 000x b x f x b x f b x ?-?+→?)()(lim 000 )()(0x f b a '-= 例2（89303）设)(x f 在a x =的某个邻域内有定义,则)(x f 在a x =处可导的一个充分条件是( ) ?? ????-??? ??++∞→)(1lim )(a f h a f h A h 存在 h h a f h a f B h ) ()2(lim )(0+-+→存在 h h a f h a f C h 2) ()(lim )(0 --+→存在 h h a f a f D h ) ()(lim )(0 --→存在答案 D 解题思路 (1) 对于答案)(A ，不妨设 x h ?=1，当+∞→h 时，+ →?0x ，则有 x a f x a f a f h a f h x h ?-?+=?? ? ???-??? ??++ →?+∞→)()(lim )(1lim 0存在，这只表明)(x f 在a x =处右导数存在,它并不是可导的充分条件,故)(A 不对. (2) 对于答案)(B 与),(C 因所给极限式子中不含点a 处的函数值)(a f ，因此与导数概念不相符和.例如，若取 ? ??≠==a x a x x f ,0,1)( 则)(B 与)(C 两个极限均存在，其值为零，但1)(0)(lim =≠=→a f x f a x ，从而)(x f 在 a x =处不连续，因而不可导，这就说明)(B 与)(C 成立并不能保证)(a f '存在，从而) (B 与)(C 也不对. (3) 记h x -=?,则0→?x 与0→h 是等价的,于是

微积分十大经典问题

这里入选原则是必须配得起“经典”二字。知识范围要求不超过大二数学系水平，尽量限制在实数范围内，避免与课本内容重复。排名不分先后。 1）开普勒定律与万有引力定律互推。绝对经典的问题，是数学在实际应用中的光辉典范，其对奠定数学科学女皇的地位起着重要作用。大家不妨试试，用不着太多的专业知识，不过很有挑战性。重温下牛顿当年曾经做过的事，找找当牛人的感觉吧，这个问题是锻炼数学能力的好题！ 2）最速降线问题。该问题是变分法中的经典问题，不少科普书上也有该问题。答案是摆线（又称悬轮线），关于摆线还有不少奇妙的性质，如等时性。其解答一般变分书上均有。本问题的数学模型不难建立，即寻找某个函数，它使得某个积分取最小值。这个问题往深层次发展将进入泛函领域，什么是泛函呢？不好说，一个通俗的解释是“函数的函数”，即“定义域”不是区间，而是“一堆”函数。最速降线问题通过引入光的折射定律可以直接化为常微分方程，大大简化了求解过程。不过变分法是对这类问题的一般方法，尤其在力学中应用甚广。 3）曲线长度和曲面面积问题。一条封闭曲线，所围面积是有限的，但其周长却可以是无限的，比如02年高中数学联赛第14题就是这样一条著名曲线-----雪花曲线。如果限制曲线是可微的，通过引入内折线并定义其上确界为曲线长度。但把这个方法搬到曲面上却出了问题，即不能用曲面的内折面的上确界来定义曲面面积。德国数学家H.A.Schwarz 举出一个反例，说明即使像直圆柱面这样的简单的曲面，也可以具有面积任意大的内接折面。 4）处处连续处处不可导的函数。长久以来，人们一直以为连续函数除了有限个或可数无穷个点外是可导的。但是，魏尔斯特拉斯给出了一个函数表达式，该函数处处连续却处处不可导。这个例子是用函数级数形式给出的，后来不少人仿照这种构造方式给出了许多连续不可导的函数。现在教材中举的一般是范德瓦尔登构造的比较简单的例子。至于魏尔斯特拉斯那个例子，可以在齐民友的《重温微积分》中找到证明。其实上面那个雪花曲线也是一条处处连续处处不可导的曲线。 5）填满正方形的连续曲线。数学总是充满神奇与不可思议，以前人们总是以为曲线是一维的，但是皮亚诺却发现了一条可以填满正方形的连续曲线。结果人们不得不重新审视以往对曲线的看法。 BTW：先写到这里，明天接着写另外5个。1345中的例子可以在《数学分析新讲》中找到。

期末高等数学(上)试题和答案解析

第一学期期末高等数学试卷一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计80分) 1、(本小题5分) 求极限　lim x x x x x x →-+-+-2332121629124 2、(本小题5分) .d )1(22x x x ?+求 3、(本小题5分) 求极限limarctan arcsin x x x →∞?1 4、(本小题5分) ? -.d 1x x x 求 5、(本小题5分) ．求dt t dx d x ?+2021 6、(本小题5分) ??. d csc cot 46x x x 求 7、(本小题5分) ．求? ππ2 1 21cos 1dx x x 8、(本小题5分) 设确定了函数求．x e t y e t y y x dy dx t t ==?????=cos sin (),22 9、(本小题5分) ．求dx x x ?+3 01 10、(本小题5分) 求函数　的单调区间y x x =+-422 11、(本小题5分) ．求? π +2 02sin 8sin dx x x 12、(本小题5分) ．，求设　dx t t e t x kt )sin 4cos 3()(ωω+=- 13、(本小题5分) 设函数由方程所确定求．y y x y y x dy dx =+=()ln ,226 14、(本小题5分) 求函数的极值y e e x x =+-2 15、(本小题5分) 求极限lim ()()()()()()x x x x x x x →∞++++++++--121311011011112222 16、(本小题5分)

.d cos sin 12cos x x x x ? +求二、解答下列各题 (本大题共2小题，总计14分) 1、(本小题7分) ,,512沿一边可用原来的石条围平方米的矩形的晒谷场某农场需建一个面积为.,,才能使材料最省多少时问晒谷场的长和宽各为另三边需砌新石条围沿 2、(本小题7分) .823 2体积轴旋转所得的旋转体的所围成的平面图形绕和求由曲线ox x y x y == 三、解答下列各题 ( 本大题6分 ) 设证明有且仅有三个实根f x x x x x f x ()()()(),().=---'=1230 一学期期末高数考试(答案) 一、解答下列各题 (本大题共16小题，总计77分) 1、(本小题3分) 解原式:lim =--+→x x x x 22231261812 =-→lim x x x 261218 =2 2、(本小题3分) ?+x x x d )1(22 ?++=222)1()1d(21x x =-++12112x c . 3、(本小题3分) 因为arctan x <π2而limarcsin x x →∞ =10 故limarctan arcsin x x x →∞ ?=10 4、(本小题3分) ?-x x x d 1 x x x d 111?----= ??-+-=x x x 1d d =---+x x c ln .1 5、(本小题3分)

高数函数-极限和连续总结

第一章函数.极限和连续第一节函数 1. 决定函数的要素：对应法则和定义域 2. 基本初等函数：（六类）（1）常数函数（y=c ）；（2）幂函数（y=x a ）；（3）指数函数（y=a x ，a>0,a ≠1）;（4）对数函数（y=log a x ，a>0,a ≠1）（5）三角函数；（6）反三角函数。注:分段函数不是初等函数。特例：y =√x 2是初等函数《 3.构成复合函数的条件：内层函数的值域位于外层函数的定义域之内。 4.复合函数的分解技巧：对照基本初等函数的形式。 5.函数的几种简单性质：有界性，单调性，奇偶性，周期性。第二节极限 1.分析定义 ?&>0(任意小) ??>0 当|x |>e（或0<|x ?x 0| 称 lim x →∞f (x )=0 (或lim x →x0f (x )=A ) 2.极限存在的充要条件 lim x →x0f (x )=A ?lim x →x 0+f (x )=lim x →x 0 ?f (x )=A 3.极限存在的判定准则（1）夹逼定理 f 1（x ）≤f (x )?f 2(x ) ,且 lim x →x0f 1(x )=A = lim x →x0f 2(x ) 所以lim x →x0f (x )=A （2）单调有界准则 · 单调有界数列一定有极限。 4.无穷小量与无穷大量，则称时，f （x ）为无穷小量，则称时，f （x ）为无穷大量注：零是唯一的可作为无穷小的常数。性质1 有限多个无穷小的代数和或乘积还是无穷小。注：无限个无穷小量的代数和不一定是无穷小量性质2 有界变量或常数与无穷小的乘积还是无穷小。 ~ 5. 定义设是同一极限过程中的无穷小，则 ∞=→)(lim 0x f x x ）（或∞→→x x x 00)(lim 0=→x f x x ）（或∞→→x x x 0 )(,)(x x ββαα==, 0)(≠x β且, 0lim =βα

高等数学基础典型例题解析

高等数学基础典型例题解析例1 计算极限3 2)1sin(lim 21-+-→x x x x ．解利用重要极限1sin lim 0=→x x x ，及极限的运算法则得 )1)(3()1sin(lim 3 2)1sin(lim 121-+-=-+-→→x x x x x x x x )1()1sin()3(1lim 1--?+=→x x x x )1()1sin(lim )3(lim 111--?+= →→x x x x x 41141=?= 例2 计算极限12 76lim 223+---→x x x x x ．解利用极限的运算法则得 5)4(lim )2(lim )4)(3()2)(3(lim 1276lim 3 33223-=-+=--+-=+---→→→→x x x x x x x x x x x x x x 例3 设x y x ln e sin -=，求y '．解利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 )(ln )e (sin )ln e (sin '-'='-='x x y x x x x x 1e c o s e -= 例4 设2cos x x y =，求y '．解利用导数的运算法则和复合函数求导法则得 )(cos cos )cos (222'+='='x x x x x y )(s i n s i n 222'-=x x x x 2 22s i n 2s i n x x x -= 例5 计算?x x x d e 21．解利用换元积分法得 ???-=--=)1d(e d e 1d e 11221x x x x x x x x c u u u u x +-===?=e d e 1c x +-=1 e

《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答(或提示)

《高等数学》中部分典型习题、较难习题解答（或提示）（二）

167页第24题提示：根据罗尔定理容易知道()0f x '=至少有4个实根。同时注意到()f x 是5次多项式，则()0f x '=是4次方程，它最多有4个实根。 167页第26题证明：由于(())()0f x ax f x a ''-=-=，根据拉格朗日定理的推论1，()f x ax -为一常数，不妨设此常数为b,则有 (). f x a x b =+ 167页第27题（2）（3）（4）（2）证明：设()ln(1).f t t =+显然0,x ?> ()f t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，根据拉格朗日中值定理，()f t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 1ln(1)ln1(0)1x x x +-=-+ 即0 ln(1)1x x x +=+ 注意到00,x x <<所以， 11x x x x x <<++，即得到 ln(1).1x x x x <+<+ （3）证明：设(),().t f t e g t t ==显然0,x ?>()f t ，()g t 在[0，x]上连续，在（0，x ）内可导，且()0g t '≠. 根据柯西中值定理，()f t ,()g t 在（0，x ）内至少存在一点0,x 使得 00110x x x e e e e x x --==>-,所以, 1,x e x -> 即1.x e x >+ （当x<0时可以类似得证．）（4）提示：和上例类似，设(),t f t e = (),g t et =在区间[1，x]上用柯西定理。 168页第29题（6）（7）（10）解：（6） 2222222tan33sec 33cos lim lim lim tan sec cos 3x x x x x x x x x πππ→→→==

(完整)高等数学极限和连续习题

极限与连续习题一．填空题 1. 当0→x 时，x cos 1-是2x 的_______________无穷小量. 2. 0x =是函数x x x f sin )(= 的___________间断点. 3. =-→x x x 20)11(lim ___________。 4. 函数11arctan )(-=x x f 的间断点是x =___________。 5. =--→x x e x x x sin )1(lim 20___________. 6. 已知分段函数sin ,0(),0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 7. 由重要极限可知，()1 lim 1+2x x x →=___________. 8. 已知分段函数sin ,0()2,0 x x f x x x a x ?>?=??+≤?连续，则a =___________. 9. 由重要极限可知，1lim (1)2x x x →+∞+=___________. 10. 知分段函数()sin 1,1()1,1x x f x x x b x -?>?=-??-≤? 连续，则b =___________. 11. 由重要极限可知，1 0lim(12)x x x →+=___________. 12. 当x →1时，233+-x x 与2ln x x 相比，_______________是高阶无穷小量. 13. 251lim 12n n n -→∞??- ???=___________.

14. 函数2 2(1)()23x f x x x +=--的无穷间断点是x =___________. 15. 0tan2lim 3x x x →=___________. 16. 351lim 12n n n +→∞??- ???=___________. 17. 函数2 2(1)()23 x f x x x +=--的可去间断点是x =___________. 18. 2 01cos lim x x x →-=___________. 19. 253lim 12n n n +→∞??+ ???=___________. 20. 函数221()34 x f x x x -=+-的可去间断点是x =___________. 21. 当0x →时，sin x 与3x 相比，_______________是高阶无穷小量. 22. 计算极限22 1lim 1n n n +→∞??+ ???=___________. 23. 设函数()21,0,0x x f x x a x +>?=?-≤? ，在0x =处连续, 则a =__________ 24. 若当1x →时, ()f x 是1x -的等价无穷小, 则1()lim (1)(1) x f x x x →=-+_______ . 25. 计算极限1lim 1x x x →∞??- ???=__________. 26. 设e ,0,(),0.x x f x x a x ?≤=?+>? 要使()f x 在0x =处连续, 则 a = . 27. . 当x →0时，sin x x -与x 相比，是高阶无穷小量.