数学模型在生物学中的应用
摘要
数学模型是研究生命发展规律，发现和分析生命现状的工具。建立可靠的本文从生物数学的发展、分支了解生物数学的历史，紧接着又在数学模型在生物数学的地位中了解数学模型的地位，最后在数学模型的应用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及稳定性模型.这将有助于在生物数学的研究中，依据数学模型的基础，建立符合规律的数学模型，在生命进程中验证新的规律、新的发现，使在研究生物学时更清晰、更明了.
关键词：数学模型；生物学；应用
Application of mathematical model in Biology
Abstract: Mathematical models in biology such as a microscope can be found in biological mysteries, biological research through with the establishment of the mathematical rules of the law of development of life, which launched a new discovery, new rules and in biology established reliable model of the biological status of classified analysis and forecasting. The from the history of mathematical biology development, the branch of the understanding of mathematical biology, followed by another in the mathematical model in Mathematical Biology status in understanding the status of mathematical model. Finally, in the application of mathematical model know differential equation model, the differential equation model and the stability of the model. This will help in mathematical biology research, on the basis of the mathematical model, established in accordance with the law of the mathematical model, in the process of life to verify new rules, new found in biological research clearer, more clear.
Keywords: mathematical mode;biology;application
目录
1 引言 (1)
2 文献综述 (1)
2.1 国内外研究现状 (1)
2.3 提出问题 (2)
3 生物数学的发展 (2)
3.1 生物数学发展历史 (3)
3.2 生物数学的分支 (4)
3.2.1 生物信息学 (5)
3.2.2 生物统计 (5)
3.2.3 数量遗传学 (5)
3.2.4 数学生态学 (5)
3.2.5 数理医药学 (6)
3.3 数学模型在生物数学中的地位 (6)
4 数学模型在生物学中应用 (6)
4.1 微分方程模型 (6)
4.2 差分方程模型 (11)
4.3 稳定性模型 (13)
5 结论 (17)
5.1 主要发现 (17)
5.2 启示 (18)
5.3 局限性 (18)
5.4 努力方向 (18)
参考文献 (19)
1 引言
数学是所有自然学科的基础，生物却是偏文科性质的自然学科，把两者有机的的结合在一起就构成了生物数学.但在生物学中应用数学最多的还是数学模型的应用，解决生物中各种种群增长问题，种群扩散问题，环境污染问题等.虽然有生物数学这样的学科产生，但真正让数学与应用数学的学生了解数学在生物中的应用，仍需要很大的努力.同时，许多人会觉得数学的知识只能应用在生物中，而生物知识却不能应用在数学问题解决中，但是有些实际问题却不得不提醒我们，在解决一部分实际问题时，我必须得先了解生物上的一些知识，才能解决.但同时我们也得先了解生物数学这门学科，以及生物数学的的分支，我们才能知道生物与数学的联系，方便我们在解决一些实际问题时，全面的考虑问题，分析问题.
生物数学是数学的边沿学科，使数学模型得以更好的建立的根本，不仅是一个学科的分支，更是学习应用数学的一个工具.了解生物数学的发展，知道生物数学的产生，并知道生物数学的分支，方便更好的学习数学模型，然后才能把数学模型更好应用在生物学中，数学模型是应用数学中最直观应用于数学的东西，但数学模型中很大一部分模型和生物相关联，所以才会出现生物数学.特别地，生物数学在整个数学建模中起了很重要的作用.
2 文献综述
2.1 国内外研究现状
现查阅到的参考文献中，分别就数学模型做了介绍，并且对模型的应用也做了介绍.在文献[1-4]中详细的讲解了生物数学的起源、发展、分支等方面，还阐述了生物数学在其他方面的应用，其中穿插的讲解了数学模型在生物数学中地位以及生物数学的未来发展趋势.在文献[5]中主要是利用数学模型在生物序列结构比较中的研究及其应用进行了介绍，且主要研究了数学模型在DNA、蛋白质结构分析中的应用.在文献[6]中主要综述了生物数学这一门学科的大概，介绍了生物数学各分支的具体内容，还讲解了生物数学模型的实例.在文献[7]中强调了数学在生物学中的地位，从不同的角度诠释数学在生物学中的应用，以及数学模型的方法.在文献[8]中从建立数学模型的步骤、初等模型、优化模型、微分方程模型、差分方程模型等方面进行了介绍，详细的讲解了数学模型在
不同方面的应用.在文献[9]中运用马尔萨斯模型、logistic模型、人口统计模型三种方法对江苏省人口总数进行了预测，并且对三种模型的精确度作了分析.在文献[10]中依据文献[8]中的课后习题进行了解答，更好理解了数学模型的应用.在文献[11]中对人口增长的原因进行了分析，并且运用不同的方法对人口增长过快的控制进行了描述，还运用偏微分方程、差分方程分别描述了人口状态的连续模型和离散模型.在文献[12]中介绍了差分方程在经济领域、动力系统和生态系统等多方面的应用，强调了运用差分方程模型建立数学模型解决实际问题的重要性.在文献[13]中通过化学、物理、生物、交通、经济管理和工程技术中众多数学模型的实例，建立了各种现实问题数学模型的主要方法和基本规律.在文献[14]中找到了种群生长的数学模型，依据差分方程理论，建立了描述种群生长的非线性差分方程模型，并分析了该模型的可靠性和稳定性.在文献[15]中主要从两个方面阐述了植物昆虫种群模型的分类、通用表达式的表达，并针对各类型的植物种群动态模型进行了特殊说明.
2.2 国内外研究现状评价
文献[1-15]中分别就生物数学的起源、发展、分支分别进行了阐述以及差分方程模型在生物学中的应用等方面作了说明.但文献中没有对生物数学深入进行研究，以及没有对与差分方程模型相关的的微分方程模型以及稳定性模型在生物学中应用进行研究.
2.3 提出问题
现有文献中只是对生物数学发展、起源、分支的各方面单独的进行了研究，以及数学模型在生物学中的应用只是进行了一方面的介绍.因此本文就以上问题把生物数学的发展、起源、分支的各方面综合进行了分析，并且对数学模型在生物学中的应用中的差分方程模型进行了全方面的研究.
3 生物数学的发展
生物数学顾名思义便是生物与数学的结合，是生物与数学的边沿学科，运用数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物有关的数学方法进行理论研究的学科.粗略地说，它包括生物数学与数学生物学两部分内容，前者看重数学，后者看重生物学[1].如果把生物学的分支领域看作一个集合，数学的分支范围看作另一个集合，生物数学便是两个集合导出的乘积空间.因而生物数学的分支内容十分丰富，从研究使用的数学方法区分，
生物数学可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等的分支.另外，由于生命现象极为复杂，从生物学中提出的数学问题往往也十分复杂，需要进行大量计算工作，因此计算机是解决生物数学问题的重要工具[2].
3.1生物数学发展历史
生物数学的最早起源于中国北宋科学家沈括，于1088年推出的“胎育之理”的数学模型，并说明了出生婴儿性别大致相等的规律，建立了种群动态模型.
到1202年，意大利数学家斐波那契在《计算书》第12章的第七节中，关于家兔繁殖的问题，建立了家兔增长的动态模型.
12+++=n n n F F F ，2≥n ；110==F F .
后来，法国数学家棣莫弗于1730年的《分析集锦》中第一次给出了斐波那契数列
的通项公式???
????????? ??--????
??+=++1
125125151n n n S . 1963年，一些美国数学家成立了斐波那契协会，并且发行了一份专门研究他的季刊---《斐波那契季刊》，这标志着对斐波那契家兔增长的动态模型的性质及应用进入了一个新的发展阶段.
1604年，中国明朝的著名科学家徐光启在其著作《农政全书》中用数学的概率方法估计过和平时期人口的增长，说“头三十年为一世”这是最早的人口增长模型.
1662年，英国经济学家、人口统计学家格朗特，在他的专著《生命表的自然和政治观察》中，研究了伦敦市人口的出生率、死亡率等指数与人口增长的关系，并且通过计算得出伦敦的人口大概每64年将增加一倍.且发现人口的出生率与死亡率相对稳定，提出“大数恒静定律”.
1693年，英国数学家、天文学家哈雷按年龄分类，以德国布雷斯劳市1687-1691年间市民的死亡统计数据为基础，精确地表示了每年的死亡率.从而改进了格朗特的生命表，并定义了死亡率的含义，制订了世界上第一份最完整、最科学的生命表.
1748年，欧拉在其出版的《无穷分析引论》的第六章“指数与对数”中，所举的例子中：假设人口数量n p 关于年份n 满足方程()n n p x p +=+11（其中n 为整数，增长率x 为正实数），若初值为0p ，则n p 关于n 的表达式可以改写为()01p x p n
n +=，此模型被称为
人口几何增长动态数学模型.
1760年，瑞士数学家、医学家、物理学家丹尼尔·伯努利对天花病毒进行了分析，且建立了天花病毒动态数学模型()()qx
pe p x p x p -+-=
1'，其中，x 为人口的年龄，p 为人口因感染上天花而死亡的概率，()x p '表示感染天花病毒后痊愈的年龄为x 的人口数量，q 为每人每年感染上天花的概率.伯努利在天花病毒动态数学模型中所作感染上天花的概率与因感染上天花的概率，关于x 相互独立的理想假设存在一定的局限性.
1761年，法国物理学家、数学家达兰贝尔改进了伯努利的模型，得到了更符合实际情况的动态数学模型：()()()??? ??=?dy y x p x p x 0'
exp ν，其中()y ν为因感染天花而死亡的人数.
1798年，英国统计学家马尔萨斯在《人口原理》中，根据百余年的人口统计显示，针对人口增长规律，提出人口种群模型的基本假设：在人口自然增长的过程中，净相对增长率的常数r ，从对人口增长和食品过去增长的分析中导出了微分方程模型：已知初始时刻0t 时种群数量为()00N t N =,设t 时刻的种群数量为()t N N =.经过t ?后，在t t ?+时刻，种群的数量变为()t t N ?+.由上述基本假设，在t ?时间内，种群数量的增加量与当时的种群数量()t N 成比例，比例系数为r ，则在t ?内，种群的增量可写为
()()()t t rN t N t t N ?=-?+.再将上式两边同时除以t ?，得到
()()()t rN t
t N t t N =?-?+，当
0→?t 时，()t N 满足：
rN dt dN =或r dt
dN
=.上述微分方程模型为马尔萨斯模型[3]. 3.2 生物数学的分支
伴随着生物数学的快速发展，生物数学研究的内容已经形成一个巨大的体系，总 共包含了14个分支学科 [4].这些学科是按下列两种分类方法来划分的.
第一种是按所涉及的数学方法来分类，分为生物统计、生物动力系统和生物控制 论、统计医药学、人口统计学等；生物动力系统又分为种群动力学，细胞动力学、人口动力学等.
第二种是按研究生命科学中的分支学科的不同分类，有数学生态、数量生理、数 量分类、数量遗传、传染病动力学、数量生物经济学、数理医药学、神经科学的数学 模型、分子动力学、细胞动力学、人口动力学等分支学科.其中数学生态学又可分为种
群生态学、统计生态学、系统生态学等分支学科.
3.2.1 生物信息学
从生物信息学研究的具体内容上说，主要有3个部分：新算法与统计学方法研究、各类数据的分析和解释以及管理数据和研制有效利用的新工具.生物信息学是由分子生物学与信息技术的组成，它的研究材料和结果是由各种生物学与信息技术的组成，它的研究材料和结果是各种生物学数据，研究的方法主要有对生物学数据的搜索、收集、筛选、处理（编辑、整理、管理和显示）以及利用（计算和模拟）.生物信息学是现在生命科学和自然科学的重大前沿领域之一，并且也将是21世纪自然科学的核心领域之一.随着基因组测序计划的展开和分子结构测定技术的突破以及网络的普及，生物学数据库逐渐成熟起来.伴随着生物研究中数学模型和算法的不断完善，拥有许多强有力的生物信息分析工具，如进化分析、聚类分析等的产生.部分有效的分析工具极大地依赖于生物序列和结构的比较.序列和结构的比较是最重要和最常用的原始操作，是许多其它复杂操作的基础 [5].
3.2.2 生物统计
生物统计是生物数学的一个重要分支，在生物界一直受到普遍重视.它在医学界成为了卫生统计的主要内容，目前主要从事统计检验的应用和改进有关logistic回归模型方面的研究和应用生存分析以及研究人的寿命表的人口统计等方面.其中运用多元统计分析来研究生物现象，成为生物统计发展的一个方向.
3.2.3 数量遗传学
数量遗传学的分析方法，在动物遗传育种方面，提供有价值的育种参数；在作物育种方面，对主要作物的一些基本数量性状的遗传规律进行分析，现在趋向于分析一些地区性作物的一些特定的性状；在试验设计上更加接近于信息量较大的双列杂交设计，并且也是林木遗传育种的一个分析手段.
3.2.4 数学生态学
数学生态学不仅是生物数学的分支，也是生态学的一部分.从使用的数学工具来分有理论生态学, 统计生态学与系统生态学. 理论生态学主要是使用随机微分方程,差分方程, 线性代数，常微分方程和随机过程等数学工具来设计与实际相近的数学模型；系统生态学是采用运筹学与系统分析理论等数学工具来研究生态系统；统计生态学主要是数理生态学与统计学的相结合,其中包括空间分布型,抽样技术与多元分析等；如果就研
究的对象来分,分为动物数学生态学, 昆虫数学生态学与植物数学生态学. 3.2.5 数理医药学
数理医药学是研究生物细胞的化学作用建立数学模型来研究，是生命科学的围观研究，例如：在毒理生态学中利用宏观和微观数学模型来研究环境污染对生物种群的影响.数理医药学主要利用数学模型研究传染病的方式、发展和传染过程，已成为生物数学的分支.例如：对现有的传染病模型作改进，使其更随机化，更符合实际，并且建立了带有年龄结构的种群的长期和非长期免疫型的传染病模型.
3.3 数学模型在生物数学中的地位
在数学的发展史中，数学一直都有着自己的理论体系.第一是基础数学，第二是应用数学，第三是计算数学.生命是数字的游戏，随着近代生物学的高速发展，数学在生命科学的作用愈发突出，无论是微观方向的发展，还是宏观方向的研究，都必须有精密的数学计算作为推动其前进的不懈动力[6].数学模型：为了研究的目的而建立并能够表现和描述真实世界某些现象、特征和状况的数学问题.数学模型能定量地描述生命物质运动的过程，一个复杂的生物学问题借助数学模型能转变成一个数学问题，通过对数学模型的逻辑推理、求解和运算，就能够获得客观事物的有关结论，达到对生命现象进行研究的目的[7].
4 数学模型在生物学中的应用
数学模型中有初等模型、简单优化模型、数学规划模型、微分方程模型、差分方程模型、稳定性模型等，在生物学中应用较广泛的是微分方程模型、差分方程模型、稳定性模型，并应用于种群增长、疾病预测与控制、种群竞争、种群依存等方面.
4.1 微分方程模型
微分方程是描述未知函数与自变量之间的关系的方程，形如
x dx
dy
.在数学模型中需要描述实际对象的某些特性随时间或空间的演变的过程，分析它的变化规律、预测它的未来形态、研究它的控制手段时，就需要建立的对象的动态模型[8].
微分方程模型应用于经济、战争、医学等方面，在生物学中的应用十分广泛，可以用于传染病的控制与防范，人口的控制和预测，种群增长的预测，细胞增长速率等方面.下面介绍人口的预测和控制：
指数增长模型由英国人口学家马尔萨斯提出的，记时刻t 的人口为()t x ，且视()t x 为连续，可微的函数，并令初始时刻的人口为0x ，人口增长率为常数r ，即单位时间内()t x 的增量
dt
dx
，得微分方程 dt
dx
=rx ，()00x x = （1）
则得：()rt e x t x 0= （2） 阻滞增长模型---Logistic 模型：
人口增长到一定数量后会下降，主要是受到环境条件、自然资源等因素的影响的阻滞作用，并且随着人口的增长，阻滞作用越大，阻滞作用主要体现在对人口增长率r 的影响上，使得r 随着人口数量x 的增加而下降.将r 表示为x 的函数()x r ，方程写作
()()00,x x x x r dt
dx
== （3） 假设()x r 为x 的线性函数，即
()sx r x r -=()0,>s r （4） 其中m
x r
s =，m x 为为自然资源和环境条件所容纳的最大人口数量，将（4）式代入（3）得
()???
?
??-=m x x x r dt dx 1 （5） 其中等式右边rx 体现人口自身的增长趋势，???? ?
?-m x x 1体现环境和资源对人口增长的阻滞
作用.
例1 江苏省是全国主要的经济发展中心，其发展变化将带动整个国民经济的发展变化，土地面积仅占全国的1.06%，人口却占全国的5.72%，依据江苏省1978-2004年的总人口表，分析江苏省1978-2000年的数据及预测江苏省规划期内的总人口数[9].
表1 江苏省1978-2004年历年人口表
模型分析：江苏省总人口从1978年的5834.33万人到2004年的7432.5万人，增加了1598.17万人，平均年增长率为9.4%.江苏省1978年至2004年主要表现为：总人口数逐年增长；各年之间的人口增长相对平稳.1978年-1989年，年平均增长率9.4%；1990年，年平均增长率为35.4%；1991-2003年，年平均增长率为6.7%；2..1-2..4年人口年增长率为3.8%、3.5%、3.4%、3.6%，四年平均增长率为3.6%. 马尔萨斯人口模型建立： 模型假设：1.人口增长率是常数；
2.随着时间的增加，人口按指数规律无线增长.
模型构成：把1978年-2000年作为统计数据，2001-2004年的数据作为验证.江苏省1978-2000年的年平均人口增长率为7.65%，2004-2010年人口增长率为 5.00%，2010-2020年人口增长率为2.35%.则代入马尔萨斯人口模型（2）
()rt e x t x 0=
（2） 则 ()533.747713.72132001036.0==e x
()629.7751533.74772002
036.0==e x ()771.8035629.77512003
036.0==e x ()525.778582.74052004
05.0==e x
()38.1329363.1298420200235.0==e x
江苏省1978-2004年历年总人口表（万人）
年份 总人口数 年份 总人口数 年份 总人口数 1978
5834.33 1987 6348.00 1996 7110.16 1979
5892.55 1988 6438.27 1997 7147.86 1980 5938.19 1989 6535.85 1998 7182.46 1981
6010.24 1990 6766.90 1999 7213.13 1982
6088.94 1991 6843.70 2000 7327.24 1983 6134.99 1992 6911.20 2001 7354.92 1984
6171.43 1993 6967.27 2002 7382.97 1985 6213.48 1994 7020.54 2003 7405.82 1986 6269.90 1995 7066.02 2004 7432.50
表2 马尔萨斯模型对江苏省2001-2020年人口预测值
图1马尔萨斯模型对江苏省2001-2020年人口预测值
由马尔萨斯模型算出的江苏省2001-2020年各年的人口数在上表和图表中显示出来.
Logistic 人口阻滞模型： 模型构成：将微分方程模型（5）
()???? ?
?-=m x x x r dt dx 1 化为：
()bx
a m
e x t x ++=
1 （6）
将江苏省人口数据代入得出a 、b 两参数，则得如下方程
江苏省2001-2020年人口预测值 年份 人口总数 年份 人口总数
2001 7477.533 2011 10759.25 2002 7751.628 2012 11015.09 2003 8035.771 2013 11277.01 2004 7785.525 2014 11545.16 2005 8184.697 2015 11819.68 2006 8604.335 2016 12100.73 2007 9045.489 2017 12388.47 2008 9509.261 2018 12683.05 2009 9996.811 2019 12984.63 2010 10509.36 2020
13293.38
()()x e t x 05.073.018400
+-+= （7）
代入值：
()30.733518400
2001)
2405.073.0(=+=
?+-e x
()()
92.738018400
20022505.073.0=+=?+-e x
()()
85.742418400
20032605.073.0=+=?+-e
x
经过计算得表3和图2的结果
表3 logistic 模型对江苏省2001-2020年人口预测
图2 logistic 模型对江苏省2001-2020年人口预测值
由此可以看出Logistic 阻滞模型精确点，所以江苏省2020年预测人口为7953.53
江苏省2001-2020年人口预测值
年份 人口总数 年份 人口总数 2001 7335.30 2011 7720.33 2002
7380.92 2012 7750.91 2003
7424.85 2013 7780.23 2004 7467.13 2014 7808. 2005
7507.79 2015 7835.25 2006
7546.89 2016 7861.02 2007 7584.46 2017 7885.70 2008
7620.54 2018 7909.32 2009
7618.36 2019 7931.92 2010 7688.43 2020 7953.53
万人（数学模型在人口预测中的应用---以江苏省为例）.
4.2 差分方程模型
差分方程又称递推关系式，是含有位置函数及其差分，但不含有导数的方程，且满足该方程的函数称为差分方程，差分方程是微分方程的离散化.在实际问题中，遇到变量是离散的，就得考虑差分方程模型，在种群的控制与预测中，用到的就是差分方程模型，因为其中的时间和年龄均为离散量[10].
差分方程模型应用于医学CT 、市场经济分析、产品的投入与产出等方面，同微分方程模型一样在生物学中的应用十分广泛，可以用于按年龄分组的人口模型、种群的增长变化等方面[11].
下面介绍差分方程模型当中比较典型的按年龄分组的种群模型---leslie 模型： 将种群按年龄大小等间隔分成n 个年龄组，记时段k 第i 个年龄组的种群数量为
()k x i ， ,2,1=k ，n i ,,2,1,0 =.
模型假设：1.假设种群的繁殖率和死亡率不随时段k 变化，只与年龄组有关；
2.第i 年龄组的繁殖率为i b ，即每个个体在1个时段内繁殖的数量；
3.第i 年龄组的死亡率为i d ，即1个时段内死亡数量的比例；
4.记i i d s -=1为存活率.
模型构成：时段1+k 第1+i 年龄组（1,,2,1-=n i ）的数量是时段k 第i 年龄组存活下来
的数量.得：
()()∑==+n
i i i k x b k x 111， ,2,1,0=k （1）
()()k x s k x i i i =++11， ,2,1,0=k ，
1,,2,1-=n i （2） 记种群数量在时段k 按年龄组的分布向量为：
()()()()[] ,2,1,0,,,,21==k k x k x k x k x T
n （3）
由繁殖率i b 和存活率i s 构成的矩阵
???????
?
???
?????=--00000000012
1
121n n n s s s b b b b L （4）
则将（1），（2），（4）综合为
()()k Lx k x =+1， ,2,1,0=k （5） 当L 和()0x 已知是，可以预测种群数量在k 时段按年龄组的分布为
()() ,2,1,0,0==k x L k x k （6） Leslie 模型的稳定状态分析：
（1）L 矩阵存在正单特征根λ，n k k ,,3,2,1 =≤λλ
特征向量T
n n s s s s s s x ??
?
???=--11121212111*,,,,1λλλ
（2）若L 矩阵存在0,1>+i i b b 则n k k ,,3,2,1 =≤λλ，且()
*1
lim
cx k x k
k =→λ
，c 是由i b ，i s ，
)(o x 决定的常数.因为()()0x L k x k =，L 对角化，[]121),,,(-=p diag p L n λλλ ，则
()
()()*11
0,,0,1lim
cx x p pdiag k x k k ==-∞
→ λ.
当k 充分大使，种群的年龄结构和数量()k x 做如下分析：
1）()*x c k x k λ≈，种群按年龄组的分布趋向稳定，*x 称稳定分布，与初始分布无关. 2）()()k x k x λ≈+1，()()k x k x i i λ≈+1，各年龄组种群数量按同一倍数增减，λ称固有增长率.
3）1=λ时，()()*1cx k x k x ≈≈+，[]T
n s s s s s s x 121211*,,,,1-= ,各年龄组种群数量不变.
4）()*x c k x k λ≈，[]T
n s s s s s s x 121211*,,,,1-= ，()()1,,2,1,1-=≈+n i k x s k x i i i ，存活率i
s 是同一时段的1+i x 与i x 之比.
例2 设一群动物最高年龄为15岁，每5岁一组，分成3个年龄组，各组的繁殖率
为01=b ，42=b ，33=b ，存活率为2
1
1=
s ，412=s ，开始时3组各有1000只，求15
年后各组分别有多少只，以及时间充分长以后种群的增长率和按年龄组的分布.
解：先求L 矩阵
???
??
??
?????
???
?
=04
1
00021340L ()[]1000,1000,1000
0=X 3515==K 则()()[]T x L x 875,1375,1437510001000100083210083
16883
10001000100004
100021340033
3
=????????????????
?
???
????
?
?=?????????????????
?????
???
?
== 则固有增长率
2
3
08
323=
?=--λλλ 按年龄组的分布为:
T T
T s s s x ??????=?
???
???????
????
???=??????=181,31,1234121,2321,1,,122211*λλ 各组15年后分别有14735只、1375只、875只.固有增长率为1.5，稳定的按年龄组的
分布为??
?
??181,31,1.
4.3 稳定性模型
用微分方程建立的动态模型来描述动态过程的变化规律，但是对于某些问题，并不需要研究动态过程的每个瞬时的动态，而仅仅是要求研究某种状态下的特征，特别是足够长的时间内动态过程的变化趋势.
稳定性方程模型应用于捕鱼业、军事竞争、经济增长稳定等方面，在生物学中的应用于种群的相互竞争、种群的相互依存、食饵与捕食者等方面[12].
在建模的开始先了解二阶微分方程的平衡点和稳定点的求解过程.
()()211,x x f t x =?
()02,1=x x f
()()212,x x g t x =?
()0,21=x x g
的实根011x x =，022x x =为方程的平衡点，记作()
2010,x x p .
如果存在某个领域，使方程的解为()t x 1，()t x 2.从这个领域内的某点()()()0,021x x 出发，
满足()011lim x t x t =∞
→，()022lim x t x t =∞
→则称平衡点0p 是稳定的，否则是不稳定的.
用直接法求平衡点的稳定性
()22111x a x a t x +=?
()22112x b x b t x +=?
系数矩阵为
??
?
?
??=21
21b b a a A 在平衡点()0,00p 的稳定性，假定A 的行列式 0det ≠A 的根λ决定，则可以写成
02=++q p λλ
()21b a p +-=
A q det =
若0,0>>q p ，则平衡点稳定；若0
两个种群见存在着相互竞争、依存、捕食关系，当两个种群为了争夺优先的资源而进行生产斗争，其结局是竞争力较弱的种群灭绝，竞争力较强的种群达到环境容许的最大数量[15].
模型假设：1.两个种群独自生存在一个自然环境中；
2.两个种群的数量演变遵循Logistic 规律.
模型构成：记()t x 1，()t x 2分别为两个种群的数量，1r ，2r 是他们的固有增长率，1N ,2N
是他们的最大容量，则种群一
()????
?
?-=?
111111N x x r t x (1)
(1)式表示种群一在原有资源下，无种群二的种群数量.当种群二出现时，要考虑种群二消耗同一种有限资源对甲的增长产生的影响.于是得种群二的增长方程
()????
?
?--=?
221111111N x N x x r t x σ (2) 其中1σ的意义是：单位数量的种群二（相对2N ）消耗的供给种群一的食物量为单位数量(相对1N )消耗的供给种群一的食物量的1σ.则种群二的方程为
()???? ?
?--=?
221122221N x N x x r t x σ (3) 2σ和1σ的意义相对应.
稳定性分析：将（2），（3）解代数方程组
()???? ?
?--≡2211111211,N x N x x r x x f σ ()
????
?
?--≡2211222211,N x N x x r x x g σ (5) 得4个平衡点
()()()()()0,0,11,11,,0,0,42122211132211p N N P N P N p ????
?
?----σσσσσσ
只有当平衡点位于第一象限时才有实际意义，因此对于3p 而言，只有1σ，2σ同时大于1，或者同时小于1才满足.
按照差分方程判断平衡点和稳定性的方法，计算
???????????
????? ?
?----???? ??--=??????=22112212
2221
11221111
212121
21
N x N x r N x r N x r N x N x r g g f f A x x x x
σσσσ
()
21x x g f p +-= A q det =
得下表4
表4 种群竞争模型的平衡点及稳定性
表格解释：
1. 11<σ意味着种群在竞争资源时，种群二的竞争弱于种群一；12>σ意味着种群在竞争资源时，种群一的竞争强于种群二，即()()t x t x 21,趋向于平衡点1p .
2. 11>σ意味着种群在竞争资源时，种群二的竞争强于种群一；12<σ意味着种群在竞争资源时，种群一的竞争弱于种群二，即()()t x t x 21,趋向于平衡点2p .
3. 1,121<<σσ，意味着在竞争中种群一和种群二相对于对方都比较弱，即()()t x t x 21,趋向于平衡点3p .
4.2,121>>σσ，意味着在竞争资源时，种群一和种群二相对于对方都比较强，但这时的平衡点4p 不稳定.
例3 一个岛屿上栖居着食肉动物和哺乳动物，又长着茂盛的植物.爬行动物以哺乳动物为食物，哺乳动物又依赖植物生存.在适当假设下建立三者之间关系的模型，求平衡点.
解：设()()()t x t x t x 321,,分别表示植物、哺乳动物、食肉动物在时刻t 的数量.假设不考虑植物、哺乳动物对自身的阻滞作用.
设2r 为植物的固有增长率，而哺乳动物的存在使植物的增长率减少，建立植物数量的模型：
()()21111x r x dt
t dx λ-= 1λ意味着哺乳动物消耗植物的能力.
哺乳动物依靠植物生存，离开植物无法生存，设植物的死亡率2r ，则哺乳独自存在时：
()222x r dt
t dx -= 植物存在为哺乳动物提供了食物，但是食肉动物使哺乳动物的数量减少，建立哺乳动物数量的模型：
()()312222x x r x dt
t dx μλ-+-= 其中2λ意味着植物对哺乳动物的供养能力，μ意味着食肉动物捕食哺乳动如的能力. 食肉动物离开哺乳动物无法生存，设哺乳动物的死亡率为3r ，则食肉动物独自存在时有：
()333x r dt
t dx -=
哺乳动物的存在时为食肉动物提供食物，于是建立食肉动物的数量模型：
()()23333x r x dt
t dx λ+-= 3λ意味着哺乳动物对食肉动物的供养能力.
综上所述，建立如下微分方程
()()21111x r x dt t dx λ-= ()()312222x x r x dt t dx μλ-+-= ()()23333x r x dt
t dx λ+-= 得微分方程的平衡点得：
()0,0,01p ???
?
??0,,11222λλr r p .
5 结论
5.1 主要发现
数学模型在生物学中的应用 摘要 数学模型是研究生命发展规律，发现和分析生命现状的工具。建立可靠的本文从生物数学的发展、分支了解生物数学的历史，紧接着又在数学模型在生物数学的地位中了解数学模型的地位，最后在数学模型的应用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及稳定性模型.这将有助于在生物数学的研究中，依据数学模型的基础，建立符合规律的数学模型，在生命进程中验证新的规律、新的发现，使在研究生物学时更清晰、更明了. 关键词：数学模型；生物学；应用
Application of mathematical model in Biology Abstract: Mathematical models in biology such as a microscope can be found in biological mysteries, biological research through with the establishment of the mathematical rules of the law of development of life, which launched a new discovery, new rules and in biology established reliable model of the biological status of classified analysis and forecasting. The from the history of mathematical biology development, the branch of the understanding of mathematical biology, followed by another in the mathematical model in Mathematical Biology status in understanding the status of mathematical model. Finally, in the application of mathematical model know differential equation model, the differential equation model and the stability of the model. This will help in mathematical biology research, on the basis of the mathematical model, established in accordance with the law of the mathematical model, in the process of life to verify new rules, new found in biological research clearer, more clear. Keywords: mathematical mode;biology;application
高中生物学中的数学模型 山东省嘉祥县第一中学孙国防 高中生物学中的数学模型是对高中生物知识的高度概括，也是培养学生分析推理能力的重要载体，本文通过归纳高中生物学中的数学模型以提高学生的分析推理能力。 1. 细胞的增殖 【经典模型】 1.1间期表示 1.2 有丝分裂中各时期DNA、染色体和染色单体变化 1.3 减数分裂中各时期DNA、染色体和染色单体变化 【考查考点】细胞增殖考点主要考察有丝分裂、减数分裂过程中DNA、染色体、染色单体的数量变化以及同源染色体的行为，并以此为载体解释遗传的分离定律和自由组合定律。 2. 生物膜系统 【经典模型】
【考查考点】 3物质跨膜运输 【经典模型】 【考查考点】 自由扩散、协助扩散和主动运输的影响因素和特点。 4. 影响酶活性的因素 【经典模型】 【考查考点】 影响酶活性的因素，主要原因在于对酶空间结构的影响。酶促反应是对酶催化的更高层次的分析。 5. 影响细胞呼吸及光合作用的因素 【经典模型1】 【考查考点】 真正光合速率= 净光合速率+呼吸速率 光合作用实际产O2量＝实测O2释放量＋呼吸作用耗O2 光合作用实际CO2消耗量＝实测CO2消耗量＋呼吸作用CO2释放 光合作用葡萄糖生产量＝光合作用葡萄糖积累量＋呼吸作用葡萄糖消耗量
【经典模型2】 【考查考点】氧气浓度对有氧呼吸和无氧呼吸的影响，以及在种子和蔬菜储存中的原因。 6 基因的分离和自由组合定律 【典型例题】男性并指、女性正常的一对夫妇，生了一个先天性聋哑的儿子，这对夫妇以后所生子女，（并指是常染色体显性遗传病，两种病均与性别无关） 正常的概率：_________同时患两种病的概率：_________患病的概率：_________ 只患聋哑的概率：_________只患并指的概率：_________只患一种病的概率：_________ 序号类型计算公式 1 患甲病的概率m 则非甲病概率为1-m 2 患乙病的概率n 则非乙病概率为1-n 3 只患甲病的概率m-mn 4 只患乙病的概率n-mn 5 同患两种病的概率mn 6 只患一种病的概率m+n-2mn或m(1-n)+n(1-m) 7 患病概率m+n-mn或1-不患病概率 8 不患病概率(1-m)(1-n) 7. 中心法则 【经典模型】 DNA分子的多样性：４Ｎ DNA的结构：Ａ＝Ｔ，Ｇ＝Ｃ，Ａ＋Ｇ＝Ｔ＋Ｃ，（Ａ１％＋Ａ２％）／２＝Ａ％， Ａ１％＋Ｔ１％＝Ａ２％＋Ｔ２％＝Ａ％＋Ｔ％ DNA的复制：某DNA分子复制Ｎ次所需要的游离的鸟嘌呤脱氧核苷酸：（２Ｎ－１）Ｇ １５Ｎ标记的DNA分子在１４Ｎ的原料中复制n次，含１５Ｎ的DNA分子占总数的比例：２／２n ＤＮＡ中的碱基数和其控制的蛋白质中的氨基酸数的比例关系：6:1 【考查考点】DNA的结构，碱基组成，半保留复制和基因的表达。 8. 现代生物进化理论 【典型例题】某人群中某常染色体显性遗传病的发病率为19%，一对夫妇中妻子患病，丈夫正常，他们所生的子女患该病的概率是 A．10/19 B．9/ 19 C．1/19 D．1/2 答案：A 【经典模型】 设A的基因频率为P，a的基因频率为q，因P+q=l，故(P+q)2 =I，将此二项式展开得：
数学模型在生物学中的 应用 公司标准化编码 [QQX96QT-XQQB89Q8-NQQJ6Q8-MQM9N]
数学模型在生物学中的应用 摘要 数学模型是研究生命发展规律，发现和分析生命现状的工具。建立可靠的本文从生物数学的发展、分支了解生物数学的历史，紧接着又在数学模型在生物数学的地位中了解数学模型的地位，最后在数学模型的应用中知道了微分方程模型、差分方程模型以及稳定性模型.这将有助于在生物数学的研究中，依据数学模型的基础，建立符合规律的数学模型，在生命进程中验证新的规律、新的发现，使在研究生物学时更清晰、更明了. 关键词：数学模型；生物学；应用
Application of mathematical model in Biology Abstract: Mathematical models in biology such as a microscope can be found in biological mysteries, biological research through with the establishment of the mathematical rules of the law of development of life, which launched a new discovery, new rules and in biology established reliable model of the biological status of classified analysis and forecasting.The from the history of mathematical biology development, the branch of the understanding of mathematical biology, followed by another in the mathematical model in Mathematical Biology status in understanding the status of mathematical model. Finally, in the application of mathematical model know differential equation model, the differential equation model and the stability of the model.This will help in mathematical biology research, on the basis of the mathematical model, established in accordance with the law of the mathematical model, in the process of life to verify new rules, new found in biological research clearer, more clear. Keywords: mathematical mode;biology;application
生物学和人类的关系 [摘要]生物学是研究生命的科学，它既研究各种生命活动的现象及其本质，又研究生命与环境之间的相互关系。近30多年来，生物学的理论成就给自然科学的发展作出了巨大贡献，并最大限度地造福了人类。生物技术又为人类利用、改造和保护自然，造福人类提供了实践方法。生命科学要为人类造福转化为生产力，必然与技术相结合，才能在生产上发挥巨大作用。然而。事物的两面性又提醒我们，科学对文明的发展既有正面的推动作用，又可能引起不利于人类生存的副作用。那么，我们只有把握生命科学在人类社会中的各方面作用，才能把人类文明推进到更高的阶段。 [关键字]生物学生命科学生物技术人类文明 1引言 20世纪是生物科学发展史上最为辉煌的时代，特别是20世纪50年代以来，随着数理科学的广泛而深刻地渗入到生物科学领域以及一些先进的仪器设备和研究技术的问世，生物科学已进入从分子水平研究生命活动过程及其规律，以及生命体与环境相互作用规律的生命科学的新时代。由于应
用先进技术，生命科学在微观和宏观两方面都取得了丰硕的成果：特别是生命科学的理论成就为自然科学的发展作出了巨大的贡献。遗传物质DNA双螺旋结构的阐明被认为是20 世纪自然科学的重大突破之一。由于生命科学的进步向数学、物理学、化学以及技术科学提出了许多新问题、新概念和新的研究领域，生命科学已成为21世纪的主流科学之一。 进入21世纪，人类面临着人口、食品、健康、环境、 资源等与生命科学有关的重大问题，“人类基因组计划”的 实施和深入发展，将有可能从更深层次上了解人体生长、发育、正常生理活动以及各种疾病的病因和发病机理，并为医学提供防治策略、途径和方法。“水稻基因组计划”的顺利 开展，对21世纪农业的发展，解决粮食问题，将产生巨大 的影响。 由此看出，当今发展科学的目的在于认识世界，而发展技术的目的在于利用、改造和保护自然，造福人类。生命科学要为人类造福转化为生产力，必然与技术相结合，才能在生产上发挥巨大作用。于是在20世纪70年代，随着生命科学理论的不断发展，与工程技术相结合，开辟了生物技术(也叫生物工程)新领域。例如，通过基因重组技术，PCR技术、DNA和蛋白质序列分析技术、分子杂交技术、细胞和组织培养技术、细胞融合技术、核移植技术等等，促进了基因工程、蛋白质工程、细胞工程、发酵工程、酶工程、染色体工程、
生物数学 生物数学是生物与数学之间的边缘学科。它是用数学方法研究和解决生物学问题,并对与生物有关的数学方法进行理论研究的学科。如果把生物学的分支领域看作一个集合,数学的分支领域看作另一个集合,生物数学就是这两个集合导出的乘积空间。因而生物数学的分支内容非常丰富,从研究使用的数学方法划分,生物数学可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。此外,由于生命现象极为复杂,从生物学中提出的数学问题往往也十分复杂,需要进行大量计算工作,因此计算机是解决生物数学问题的重要工具。 一、生物数学的发展 生物数学产生和发展的历史，要追溯到16世纪。中国明朝的著名科学家徐光启(1562 - 1633)曾用数学的方法估算过人口的增长，他说:“头三十年为一世”, 即人口大致每30年增加一倍。这是把数学应用于生态问题的最早史例。1662年, J. Graunt研究了伦敦人口的出生和死亡率,通过计算后认为:如果略去移民，伦敦的人口每64年将增加一倍。1789年英国神父在他的著作中提出了人口按几何级数增长的理论等。这些都是早期的生物数学的零碎工作。1900年,意大利著名数学家V olterra在罗马大学的一次题为“应用数学于生物和社会科学的尝试”的演讲, 1901 年英国统计学家Pearson创办了《生物统计杂志》(Biometri2k a) ,标志了生物数学发展的一个里程碑。人们根据生命现象的普遍特点:多次重复、大量出现、随机性等,以生物统计学为基础解决生命现象所面临的问题。这一阶段的工作局限于对生命现象作静止的、定量的简单描述, 研究的数学手段也仅仅是统计学、几何学和一些初等的解析方法。DA.W. Thompson对这一阶段的研究成果作了总结,写出一部巨著《论生长与形式》, 作为生物数学萌芽阶段的代表作。在这本著作中提出了许多古典的生物数学问题, 直到今天仍然引起某些学者的关注，进行讨论和研究。20世纪20年代开始, 数学在生物中的应用不再局限于静止、孤立的描述生命现象, 开始分析生命现象复杂的过程, 并探索其规律性。人们开始使用各种数学工具, 建立起各种各样的数学模型模拟各种生命过程。数学物理方法把许多微分方程模型带进了生物学领域, 生物数学的发展进入第二阶段。美国生态学家Lotka在1921年研究化学反应和意大利数学家Volterra在1923年研究鱼类竞争时分别提出了现在已经成为生物数学研究中的经典模型之一的Lotka - Volterra 系统。同时代的另外代表人物还有: Kostitzyn、Kolmogorov、Rashevsky等。20世纪40年代末电子计算机的发明和普及应用, 使生物数学的发展进入又一个新的时期。由于生命现象的复杂性, 给生物数学带来大量运算, 只有利用电子计算机,一些生物数学问题的求解才成为可能, 因而计算机成为发展生物数学的基础。在此基础上许多生物数学的分支学科, 如数量分类学、生物控制论、生物信息论等在20世纪50年代以后如雨后春笋般相继产生, 并得到了发展。20世纪70年代随着电子计算机的发展和进一步的普及, 以此为后盾的生物数学如虎添翼飞速发展。从古典的初等数学到近代数学, 从抽象数学到应用数学, 生物数学已经把数学学科的绝大部分内容置于自己的基础之中, 具有了完整的数学理论基础。特别是70年代中期, 微分方程及动力系统的新理论和新方法大量的应用于种群生态学、种群遗传学、神经生物学、流行病学、免疫学、生理学以及环境污染等问题的研究中。生物数学在利用数学工具解决问题的同时, 又提出了更为现实的问题。20
高中生物数学模型问题分析 生命科学是自然科学中的一个重要的分支。在高中生物课程中，它要求学生具备理科的思维方式。因此在教学中，教师应注重理科思维的培养，树立理科意识，渗透数学建模思想。本文在此谈谈，在生物教学中的几个数学建模问题。 1 高中生物教学中的数学建模 数学是一门工具学科，在高中的物理与化学学科中广泛的应用。由于高中生物学科以描述性的语言为主，学生不善于运用数学工具来解决生物学上的一些问题。这些需要教师在平时的课堂教学中给予提炼总结，并进行数学建模。所谓数学建模(Mathematical Modelling)，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。在生物学科教学中，构建数学模型，对理科思维培养也起到一定的作用。 2 数学建模思想在生物学中的应用 2．1 数形结合思想的应用 生物图形与数学曲线相结合的试题是比较常见的一种题型。它能考查学生的分析、推理与综合能力。这类试题从数形结合的角度，考查学生用数学图形来表述生物学知识，体现理科思维的逻辑性。 例1：下图1表示某种生物细胞分裂的不同时期与每条染色体DNA含量变化的关系；图2表示处于细胞分裂不同时期的细胞图像。以下说法正确的是（） A、图2中甲细胞处于图1中的BC段，图2中丙细胞处于图1中的DE段 B、图1中CD段变化发生在减数Ⅱ后期或有丝分裂后期 C、就图2中的甲分析可知，该细胞含有2个染色体组，秋水仙素能阻止其进一步分裂 D、图2中的三个细胞不可能在同一种组织中出现 解析：这是一道比较典型的数形结合题型：从图2上的染色体形态不难辨别甲为有丝分裂后期、乙为减Ⅱ后期和丙为减Ⅱ中期；而图1中的AB段表示的是间期中的（S期）正在进
世界生物学发展史 生物学的发展经历了萌芽期、古代生物学时期、近代生物学时期和现代生物学时期。 生物学发展的萌芽时期是指人类产生（约300万年前）到阶级社会出现（约4000年）之间的一段时期。这时人类处于石器时代，原始人开始了栽培植物、饲养动物并有了原始的医术，这一切为生物学发展奠定了基础。 到了奴隶社会（约4000年前开始）和封建社会后期，人类进入了铁器时代。随着生产的发展，出现了原始的农业、牧业和医药业，有了生物知识的积累，植物学、动物学和解剖学还停留在搜集事实的阶段。但在搜集的同时也进行了整理，并被后人叫做所谓的古代生物学。古代的生物学在欧洲以古希腊为中心，著名的学者有亚里士多德研究（形态学和分类学）和古罗马的盖仑（研究解11剖学和生理学），他们的学说在生物学领域内整整统治了1000年。中国的古代生物学，则侧重研究农学和医药学。 从15世纪下半叶到18世纪末是近代生物学的第一阶段，这一时期，在生物学研究中，主要的有维萨里等人的解剖学，哈维的生理学，林耐的分类学以及从18世纪末并继续到19世纪初的拉马克等人的进化学说。 19世纪的自然科学，进入了全面繁荣的时代。近代生物学的主要领域在19世纪都获得重大进展。如细胞的发现，达尔文生物进化论的创立，孟德尔遗传学的提出。巴斯德和科赫等人奠定了微生物学的科学基础，并在工农业和医学上产生了巨大影响。17世纪建立起来的动物（包括人体）生理学到19世纪有了明显的进展，著名学者有弥勒、杜布瓦·雷蒙、谢切诺夫和巴甫洛夫等人。由于萨克斯、普费弗和季米里亚捷夫的努力，使植物生理学在理论上达到了系统化。 20世纪的生物学即属于现代生物学的范畴，始于1900年孟德尔学说的重新
高中生物数学模型问题有什么 生命科学是自然科学中的一个重要的分支。在高中生物课程中，它要求学生具备理科的思维方式。因此在教学中，教师应注重理科思维的培养，树立理科意识，渗透数学建模思想。本文在此谈谈，在生物教学中的几个数学建模问题。 1高中生物教学中的数学建模数学是一门工具学科，在高中的物理与化学 学科中广泛的应用。由于高中生物学科以描述性的语言为主，学生不善于运用数学工具来解决生物学上的一些问题。这些需要教师在平时的课堂教学中给予提炼总结，并进行数学建模。所谓数学建模(mathematicalmodelling)，就是把现实世界中的实际问题加以提炼，抽象为数学模型，求出模型的解，验证模型的合理性，并用该数学模型所提供的解答来解释现实问题，我们把数学知识的这一应用过程称为数学建模。在生物学科教学中，构建数学模型，对理科思维培养也起到一定的作用。2数学建模思想在生物学中的应用2.1数形结合思想的应用生物图形与数学曲线相结合的试题是比较常见的一种题型。它能考查学生的分析、推理与综合能力。这类试题从数形结合的角度，考查学生用数学图形来表述生物学知识，体现理科思维的逻辑性。例1：下图1 表示某种生物细胞分裂的不同时期与每条染色体dna含量变化的关系;图2表示处于细胞分裂不同时期的细胞图像。以下说法正确的是()a、图2中甲细胞处于图1中的bc段，图2中丙细胞处于图1中的de段b、图1中cd段变化发生在减数Ⅱ后期或有丝分裂后期c、就图2中的甲分析可知，该细胞含有 2个染色体组，秋水仙素能阻止其进一步分裂d、图2中的三个细胞不可能在同一种组织中出现解析：这是一道比较典型的数形结合题型：从图2上的染色体形态不难辨别甲为有丝分裂后期、乙为减Ⅱ后期和丙为减Ⅱ中期;而图1
热考培优(七)|概念模型、物理模型与数学模型 [热考解读] 模型方法是以研究模型来揭示原型的形态、特征和本质的方法，是逻辑方法的一种特有形式，模型一般可分为概念模型、物理模型和数学模型三大类。 1．概念模型 含义：指以图示、文字、符号等组成的流程图形式对事物的规律和机理进行描述、阐明。例如光合作用示意图、中心法则图解、免疫过程图解、过敏反应机理图解、达尔文的自然选择学说的解释模型、血糖平衡调节的模型等。概念模型的特点是图示比较直观化、模式化，由箭头等符号连接起来的文字、关键词比较简明、清楚，它们既能揭示事物的主要特征、本质，又直观形象、通俗易懂。 2．物理模型 含义：根据相似原理，把真实事物按比例放大或缩小制成的模型，其状态变化和原事物基本相同，可以模拟客观事物的某些功能和性质。如生物体结构的模式标本、细胞结构模式图、减数分裂图解、DNA分子双螺旋结构、生物膜流动镶嵌模型、食物链和食物网等。物理模型的特点是：实物或图画的形态结构与真实事物的特征、本质非常相像，大小一般是按比例放大或缩小的。 3．数学模型 含义：用来定性或定量表述生命活动规律的计算公式、函数式、曲线图以及由实验数据绘制成的柱形图、饼状图等。如组成细胞的化学元素饼状图，酶的活性受温度、酸碱度影响的曲线，光合作用中随光照强度、温度、CO2等条件变化时光合作用强度的变化曲线，有丝分裂和减数分裂过程中染色体、染色单体以及DNA数量的变化规律，碱基与氨基酸的对应关系，基因分离定律和自由组合定律的图表模型，用数学方法讨论种群基因频率的变化，探究自然选择对种群基因频率的影响，同一植物不同器官对生长素浓度的反应曲线，“J”型种群增长曲线的数学模型和公式N t＝N0λt，能量金字塔等。 [命题设计] 1．模型可以简化生物学问题，有助于问题的解决。下列关于模型建立的说法，正确的是() A．可用计算机软件制作真核细胞的三维实物模型 B．用公式N t＝N0λt表示单个种群的“S”型增长趋势 C．光合作用过程图解是描述光合作用主要反应过程的数学模型 D．“建立血糖调节模型”活动是用物理模型再构建出概念模型 解析：选D。用计算机软件制作出的真核细胞的三维模型不是实物模型，A错误。公式N t＝N0λt表示的是单个种群的“J”型增长趋势，B错误。光合作用过程图解是概念模型，C错误。“建立血糖调节模型”活动是把学生所做的模拟活动看作是构建动态的物理模型，再根据模拟活动的体验构建图解式概念模型，D正确。
（生物科技行业）浅谈生物学科与其他学科的联系
浅谈生物学科与其他学科的联系 龙海市海澄中学连艳虹 摘要：解决生物学的问题，往往要涉及到语文、数学、物理、化学、政治、地理等诸多方面的学科内容。这要求生物老师必须跟得上时代的步伐，不仅要具备有生物科学知识，还要具有其他学科的基础知识，并在平时教学中渗透相关学科的知识，有助于学生系统掌握生物学知识及知识的迁移，以提高教学质量。 关键词：生物学科、其他学科、联系、学生 生物学科本身是一门实验性学科，又是应用性很强的学科。解决生物学的问题，往往要涉及到语文、数学、物理、化学、政治、地理等诸多方面的学科内容。从历史上看，生物学科的发展也离不开这些学科的共同进步。随着培养学生全面综合素质要求的不断提高，随着高中综合科目考试中应用其他学科知识解决生物学问题的趋势将越来越明显，因此，就要求生物老师必须跟得上时代的步伐，不仅要具备有生物科学知识，还要具有其他学科的理论基础知识，并在平时教学中能有所贯穿，加强挖掘与其他学科的联系，解决教材中的重、难点，才能真正达到教学目的。 1注重生物与其他学科的联系以提高生物教学质量 众所周知，生物科学的发展在很大程序上是得益于数、理、化等学科的发展的。数、理、化等学科的研究成果，为生物学的发展提供了先进的理论、研究方法和研究工具。另一方面，从哲学上物质运动的形式看，生命物质的运动是复杂的、高级的物质运动形式，其中必然包含着较简单的、较低级的数学、物理、化学等方面的物质运动形式。因此，在生物学教学过程中，必须加强与数学、物理、化学、地理等相关学科知识的联系，促进知识的迁移，扩展和转化，这样才能使学生对于深奥的知识易于理解，即深入浅出，也能使学生对于较浅显的知识易于理解深刻，抓住本质，即浅入深出。 1.1相关学科知识，有助于学生系统掌握生物学知识
（二）数学与生物科学 在生物方面的动物捕食，我们可以利用数学模型建立捕食和被捕食间的竞争模型，就是数学在生物学方面的应用。 1.生物数学和DNA 生物学家告诉人们说，一个生物的全基因组序列蕴藏着这一生物的起源、进化、发育等所有与遗传性状有关的信息。所有这些重要信息都写在由4种碱基(A、T、G、C)组成的基因组DNA那条长长的双链上。大自然各种生灵的千变万化仅仅是由ATGC四个字母排列的变化导致。可见排列是最基本的，排列中包含着极为丰富的信息。而在排列决定构象、构象决定功能的过程中就有不少数学问题。现在知道构成基因的DNA序列中很大部分是非编码序列，即所谓的“垃圾DNA”，怎么区分编码和非编码序列？这就用到了数学，各种算法计算，通过比较，用已经认识的东西来比较还不认识的东西。在语言学角度看，这些所谓的“垃圾DNA”与人类语言有相似处，即语言的冗余度[4]。要认识这种语言可能涉及到很多数学问题，如数理语言、数理逻辑，甚至密码学。而且已经有人，如陈润生教授等提出用密码学方法来分析DNA。 再如从基因变化预测疾病。我们知道有些基因突变是正常和必需的，有些突变则会致病。研究基因突变需要用到概率论等，从基因突变预测疾病则涉及到概率统计。自然科学每一个主要学科领域的革命性进展都或多或少地从数学那里得到力量，随着数学越来越多地介入生命科学，给生命科学本身的发展带来意想不到的结果。 2.数学方法与医学诊断 X 射线计算机断层扫描仪（简称 CT ）被认为是放射医学领域的一次革命性突破。其原理是基于不同的物质有不同的 X 射线衰减系数。如果能够确定人体的衰减系数的分布，就能重建其断层或三维图像。但通过 x 射线透射，只能测量到人体的直线上的 x 射线衰减系数的平均值（是一积
高中生物中生物数学模型的应用【】数学模型的教学方法在现代科学的教育中非常受重视。数学模型，是把客观生物学现象与概念翻译成一套反映研究对象的数学关系，通过数学符号以及方程式来进行表达和运算。在现今高中的生物学教学中，引导学生们去构建数学模型，这种方式有利于培养学生通过现象去揭示本质的洞察力，从而更好地深化对于知识的理解。 【】数学生物模型高中生物学教学应用 《普通高中生物课程标准》里要求学生们能领悟数学模型建立的科学方法和其在科学研究中的应用。在高中生物教学中如果可以有效合理地去开展数学模型在生物教学中的应用，就可以在一定程度上培养学生们在解决实际的生物学问题时对建立数学模型的方法的应用。另外也有益于学生们对数学模型思想方法的理解，本文列举以下一些常见的例题来阐述高中生物学教学中对于数学模型的应用。 一、在高中生物教学中数学模型的归类 高中生物学中的数学模型主要分为两类，一类是确定性的数学模型，一类是随机性的数学模型。下面介绍这两类数学模型： 确定性的数学模型是用各种方程式、关系式、代数方程、微分方程和积分方程等来进行表示。这类数学模型是目前最为普遍的一种数学模型，即运用数学的方法来研究和描述必然
性的现象。对于复杂的生物学问题，我们可以借助确定性的数学模型来转换成相关的数学问题。生命物质的运动过程可以运用确定性的数学模型来进行定量的描述。我们可以对数学模型进行逻辑推理以及求解运算，从而获得从客观事物上总结出有关的结论，以此实现研究生命现象的目的。例如《分子与细胞中》中，细胞的无氧呼吸方程式，有氧呼吸方程式和光合作用方程式。 生物现象具有随机性和偶然性。随机性数学模型，即用过程论，概率论和数理统计得一些方法研究和描述一些随机的现象。不过，同一事件或随机事件重复多次的出现可以表明，其中的变化是有规律可循的。所以，目前在研究生物学时我们常用的方法就是运用过程论，概率论以及数理统计的方法来建立随机性的数学模型。各种各样的统计分析方法现在已经成为研究生物学的工作和生产实践的常用手段，而生物统计学是生物数学的模型发展较早的一个分支。 例如在《遗传与进化》中，在黄色圆粒豌豆和绿色皱粒豌豆的杂交实验中，果蝇的杂交实验图解。在《稳态与环境》中，HIV浓度和T细胞数量关系，某岛屿上环颈雉的种群数量增长，大草履虫的种群增长曲线和东亚飞蝗的种群数量波动等。 二、生物数学模型的建立步骤 我们建立生物数学模型的常用步骤是：建立数学模型前的准
生物与数学 人类在征服大自然的漫长过程中，不断地接触、认识各种生物。发现它们与数学之间联系密切，息息相关，奥妙莫测。正如著名科学家伽利略所说：“自然这本书，是用数学语言写成的。” 马克思说过：“蜜蜂建筑蜂房的本领使人间的许多建筑师感到惭愧。”人们赞美蜜蜂的蜂房结构，认为它是符合数学观点的最省材料的设计。其实，蜘蛛网的建造结构，又何尝不是数学家为之赞叹不已的高级几何图形。当你凝视着一张挂满晶莹露珠的蜘蛛网时，觉得它仿佛像一个圆，网的中心就是圆心，从圆心辐射出几条半径，它们的圆心角大致相等；倘若再仔细端详，又会觉得它不太像圆，因为连接相邻两条半径的蛛丝不是同心圆弧，而是平行直线。各平行线间的距离也不相等，越靠近中心越稠密。 一张蜘蛛网简直就是一幅精美的几何图形。人们就是用圆规、直尺也难以描绘得如此匀称、美观。尽管人们把蜘蛛看作是一种勤奋智慧的动物，但它毕竟不懂得什么高等几何。蜘蛛结网不过是它的本能而已。然而，蜘蛛的“数学头脑”，对科学家来说，无疑是一个有待揭示的谜。 生物的形态和生长，往往隐藏着各种数学规律。 如果仔细观察向日葵花盘上的葵花籽，可以发现它们竟是呈对数螺线排列的。假如从一些植物嫩枝的顶端往下看，植物叶子的排列也是对数螺线的形状。更令人吃惊的是，这些叶子在螺线上的距离竟然遵循着数学上的“黄金分割”规律。 几何学的知识告诉我们：在同样体积的物体中，球的表面积最小，扁平薄片的表面积最大。因而，在气候温暖、水分充足的主要农牧区，植物的叶子大多呈扁平结构。这是植物在长期进化过程中形成的，因为这是耗用最少的有机原料、制造出最大表面积的一种理想构造。 植物的叶子被人们比喻为植物的“绿色工厂”，这座工厂的动力就是太阳光。科学家发现：植物叶子“为了”更有效地进行光合作用，通过上述数学特征，采用了最佳“技术”方案。 人们还研究了一些植物的叶子和花瓣的图案，发现它们完全符合解析几何的一些曲线方程。如“笛卡儿叶线”、“玫瑰形线”方程等。其实，古时人们就发现数学上的某些封闭曲线和植物的叶和花瓣的形状非常相似。发现坐标法的大数学家笛卡尔，曾经用坐标法研究了一族曲线，鉴于这族曲线与植物有着密切的关系，因而人们给这族曲线取了一个富有诗意的名称——“茉莉花瓣”。
生物数学的起源与发展 《摘要》 20世纪是物理和化学的世纪，而21世纪是生物学的世纪，在生物学中，生物数学又占有十分重要的地位。何为生物数学？生物数学是生物学与数学之间的边缘学科。它以数学方法研究和解决生物学问题，并对与生物学有关的数学方法进行理论研究。 《关键词》 生物数学的起源与发展生物数学的研究方法生物数学的前景 《正文》 生物数学的分支学科较多，从生物学的应用去划分，有数量分类学、数量遗传学、数量生态学、数量生理学和生物力学等；从研究使用的数学方法划分，又可分为生物统计学、生物信息论、生物系统论、生物控制论和生物方程等分支。这些分支与前者不同，它们没有明确的生物学研究对象，只研究那些涉及生物学应用有关的数学方法和理论。 生物数学具有丰富的数学理论基础，包括集合论、概率论、统计数学、对策论、微积分、微分方程、线性代数、矩阵论和拓扑学，还包括一些近代数学分支，如信息论、图论、控制论、系统论和模糊数学等。 生物数学是非常重要的，因为由于基因学的发展，生物学家采集到的大量数据必须通过解析方法加以处理。数学理论，特别是混沌理论的发展，使人们对复杂性系统的认识更加深刻，从而提供了研究生物学中非线性动力过程的工具和方法。计算机科学的发展使大规模计算和模拟成为可能。基于人类与动物研究中的复杂性，人们对的兴趣与日俱增。 生物数学产生和发展的历史, 要追溯到16世纪。中国明朝的著名科学家徐光启(1562 - 1633)曾用数学的方法估算过人口的增长, 他说:“头三十年为一世”, 即人口大致每30年增加一倍[ 1 ]。这是把数学应用于生态问题的最早史例。1662年, J. Graunt研究了伦敦人口的出生和死亡率, 通过计算后认为: 如果略去移民, 伦敦的人口每64年将增加一倍[ 2 ]。1789年英国神父在他的著作中提出了人口按几何级数增长的理论[ 3 ]等。这些都是早期的生物数学的零碎工作。1900年,意大利著名数学家V olterra在罗马大学的一次题为“应用数学于生物和社会科学的尝试”的演讲[ 4 ] , 1901年英国统计学家Pearson创办了《生物统计杂志》(Biometri2ka) ,标志了生物数学发展的一个里程碑。人们根据生命现象的普遍特点: 多次重复、大量出现、随机性等, 以生物统计学为基础解决生命现象所面临的问题。这一阶段的工作局限于对生命现象作静止的、定量的简单描述, 研究的数学手段也仅仅是统计学、几何学和一些初等的解析方法。D ’A.W. Thomp son对这一阶段的研究成果作了总结[ 5 ] ,写出一部巨著《论生长与形式》, 作为生物数学萌芽阶段的代表作。在这本著作中提出了许多古典的生物数学问题, 直到今天仍然引起某些学者的关注, 进行讨论和研究[ 5 ]。 20世纪20年代开始, 数学在生物中的应用不再局限于静止、孤立的描述生命现象, 开始分析生命现象复杂的过程, 并探索其规律性。人们开始使用各种数
数学与其他学科的关系影响 数学的世界是缤纷多彩的，是高深莫测的，是斗争的，发展的，是面向未来的。当我们初次踏进数学王国之门时，便被其中每一个数字，每一种符号，每一样图形的魅力深深折服。在科学技术飞速发展，百家争鸣的今天，数学在其他各个领域发挥着越来越不可缺少的作用。因为有了数学这坚实的依靠，物理，化学，美术，天文学，生物学……得以高速进步，达到前所未有的高度。 物理学 1.《流数简论》中以速度的形式引进了流数（微高）的概念，其中提出的微积分的基本问题 如：已知物体的路程，求物体的速度问题。已知物质运动的速度，求物体路程的问题 2.牛顿的力学巨著《自然哲学的数学原理》运用微积分工具，严格地推导证明了包括开普勒行星运动三大定律、万有引力定律等在内的一系列结论，并且还将微积分应用于流体运动、声、光、潮汐、彗星乃至宇宙体系，充分显示了这一数学工具的威力。 3,椭圆、双曲线、抛物线这些圆锥曲线都有焦点，焦点也就是光线的聚集点，人们已经证明（可用导数方法证明）,抛物线有一条重要性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴 美术学 1.列奥纳多?达?芬奇有一句名言概括了他的艺术哲学思想：“欣赏我作品的人，没有一个不是数学家。”他认为绘画是一门科学，和其他科学一样，其基础是数学。米开朗琪罗、拉斐尔以及其他的许多艺术家都对数学有浓厚的兴趣，而且力图将数学应用于艺术。 2.画家们在发展聚焦透视体系的过程中，引入了新的几何思想，并促进了数学的一个全新方向的发展，这就是射影几何。丢勒认为：“创作一幅画不应该信手涂抹，而应该根据数学原理构图 3.射影几何集中表现了投影和截影的思想，这门”诞生于艺术的科学“，今天成了最美的数学分支之一 地理学 1. 里氏震级是由两位来自美国加州理工学院的地震学家里克特（Charles Francis Richter）和古登堡（Beno Gutenberg）于1935年提出的一种震级标度，是目前国际通用的地震震级标准。它是根据离震中一定距离所观测到的地震波幅度和周期，并且考虑从震源到观测点的地震波衰减，经过一定公式，计算出来的震源处地震的大小。 生物学 1.生物数学生物学的不同领域中应用数学工具对生命现象进行研究的学科。其一般方法是建立被研究对象的数学模型并对其进行定性和定量研究，主要应用的
中国生物学发展历史及前景 摘要：生命科学在20世纪的迅猛发展，特别是生物技术渗透到农业、医药、军事等社会生活各个层面的事实，不可置疑地验证了“21世纪是生物学世纪”的预言，其中基础生物学教育起着极大的推动作用。在21世纪已走过3年之时，我国开设中学生物课也历经了102周年的苍伤历程，整整一个多世纪的坎坷发展历程表明，中学生物学具有强大的生命力，它在过去、现在和未来都将为生命科学乃至自然科学的发展做出巨大的贡献。 关键词：中国生物学发展历史发展前景 引言： 中国古代关于生物学的学习及应用就已经开始。农业是应用生物学的最早形式之一，东西半球已经驯育出粮食作物。医学方面，甲骨文已有与疾病相关的文字，《山海经》也有了关于疾病的记载。畜牧业逐步出现了牛、羊等饲养牧群，当时的中国已知道养蚕的技术。奴隶社会（约4000年前），人类进入铁器时代，出现了原始的农业、牧业和医药业，对植物学、动物学和解剖学还停留在搜集事实和整理阶段，被后人称为古代生物学。而我国注重生物学知识的应用和发展却是在近一个多世纪，随着西方传教士带入中国的，才有了真正意义上的生物学。最近一个多世纪，我国生物学发生了翻天覆地的变化。而生物学作为一门基础学科，在我国建国以来就一直得到重视和发展。 一、我国中学生物教学的历史概况 在中学生物教学开设百余年的历史长河中，按其教材体系和学科内容大致可分为如下几个阶段。 1.1分科教学阶段，又称博物学课程阶段 此阶段把生物学知识按生物种类加以介绍，属于材料收集阶段。上个世纪的20年代前后，美国、英国、奥地利等国把生物课分为植物学、动物学分别开设，讲授内容突出动植物的种类、结构和进化证据等。生物学是近代从西方传入我国较早的一门学科，我国从1902年清朝制定的《奏定中学课堂章程》开始规定，中学设置博物课，讲授内容为植物学、动物学和生理卫生。植物学讲授形态、构造、生理、分类；动物学讲授外形构造、生理习性和分类；生理卫生讲授人体的构造、知觉运动的机理及卫生常识。1912年～1922年博物课还增开了矿物学。其间每周2～3学时，4年共计240学时。限于生物科学当时的发展水平，教学内容以形态构造、分类为主，强调了生理功能和有关知识的实际应用。 1.2知识初步综合为生物学教学阶段或一般理论阶段，又称近代生物学课程阶段 上个世纪30年代年有的国家开始试行把动物、植物综合为一门生物课，但当时教材还不十分成熟，未能将动植物中的许多内容很好地结合起来。直到上个世纪50年代中期，生物学仍保留有动植物学分科的痕迹，同时生物课中的大量内容，都是要求学生记忆的材料。旧中国的动植物课一直是分科开设的。1924年开始增设高中生物学，学习内容在初中水平上具有较高的综合性，特别是引入了遗传与进化的知识，并逐渐开设实验课。从1933年到1949年，大多数学校采用的是陈桢编著的复兴高级中学教科书《生物学》，这在当时是一本比较完善的
第三章生物分类的数学模型 本章开始将讨论生物分类，按照生物分类学家的理解就是指表征分类和分支分类，我们仅研究两种分类概念下的数学理论与方法。这里的分类也是多元统计关于聚类分析的延续，但是已远远超出统计数学的范围。表征分类除经典的系统分类以外还包括图论分类、信息分类、模糊分类；分支分类是以抽象代数为基础，研究生物演化规律的分支学科。因此生物数学中的分类数学模型不能再视作多元统计中的聚类分析，而应称为分类分析。本章专门讨论分类分析中的表征分类数学模型。 第一节分类的基本概念和原始数据的获得 何谓分类？有句俗话“物以类聚”，这句话的意思是说，许多事物依据其类别的特征，相似者归为同一种类。从这个意思去理解，分类有两个要素。第一个要素是被分类的对象，分类对象是由许多被分类的实体所组成，3个以上的实体构成一个基本分类对象。被分类的实体，就是被分类的基本单位，在数量分类学中称为运算分类单位(operational taxonomic unit)简写作分类单位(OTU)。全部被分类的分类单位构成的集合称为被分类群。分类的第二个要素是分类的依据，分类依据取决于被类群中分类单位的性状，所谓性状(character)是一个分类单位区分于其他分类单位的性质、特征或属性。一个分类单位对某个性状所呈现的状态，称为该性状的性状状态(character state)，简称状态(state)。 分类就是将被分类群中所有的分类单位，依据它们的性状状态，遵从一定的原则作出划分或聚合，得到一组新的分类单位集合。通过分类获得的这个分类单位集合称为分类群(taxon)。 世界上一切事物都存在分类的问题。专门研究生物物种的分类，也就是生物分类学中的分类，有表征与分支两个对立的概念。依据生物表现性状相似性全面比较而建立的系统分类称为表征分类(phenetic classification)；遵从生物演化的谱系关系而建立的系统分类称为分支分类(cladistic classification)。这两个概念在生物分类学和数量分类学中都很重要，相应的也有两种不同的数学方法，本章将要研究表征分类。 分类单位隶属于一个分类群产生分类单位与分类单位之间的联系。如果A是被考虑的一个分类群，又有分类单位x∈A，且分类单位y∈A，则认为x与y之间建立起同属于 ·71·
浅析数学与科学的关系 摘要：数学是一门有着广泛应用的基础科学，对生产和生活起到了重要的作用。本文浅显地分析了数学的特点、数学思想和数学工具在科学研究中所表现出的重要作用。 关键词：数学思想数学工具科学研究 数学是一门有着广泛应用的基础科学，数学的研究对于整个科学的发展都有着巨大的推动作用。 1.数学的定义和特点 毕达哥拉斯学派提出了“万物皆数”的观点，虽然这是一个错误的观点，因为数是个概念，不是物，是物的数量特征在人的头脑中反映为数，不是客观存在的物。但是这个错误的背后是一个人类认识上的大进步——认识到数量关系在宇宙中的重要性。 当前，数学被定义为是从量的侧面去探索和研究客观世界的一门学问。而客观世界中的任何事物或对象又是质与量的对立统一，因此没有量的侧面的事物或对象是不存在的。因此从数学的定义出发，就必然导致数学与客观世界中的一切事物的存在和发展密切相关。 恩格斯曾经说过，“纯数学的对象是现实世界的空间形式和数量关系，所以是非常现实的材料。这些材料以极度抽象的形式出现，这只能在表面上掩盖它起源于外部世界的事实。但是为了能够从纯粹的状态中研究这些形式的关系，必须使它完全脱离自己的内容，把内容作为无关重要的东西放在一边。”从这一论述出发，数学具有如下特点： 1.1抽象性 任何科学及人类思维都具有抽象性，但数学要比其他理论更抽象。一方面，它是对具体事物的抽象，比如从一块石头抽象出1的概念。另一方面，它还可以在抽象之上进行抽象，由概念引出概念。如1、2、3等概念无疑是建立在对真实事物的直接抽象上。至于像虚数这样的概念，则距离现实更远，以至被认为是“思维的自由想象和创造物”。总之，它只保留了事物的空间形式和数量关系；数学体系是由抽象的概念以及关系构成的，是被人们用高度形式化的符号来描述的；