一次函数的性质课后练习
题一:对于一次函数y=x+6,下列结论错误的是( )
A.函数值随自变量增大而增大
B.函数图象与x轴正方向成45°角
C.函数图象不经过第四象限
D.函数图象与x轴交点坐标是(0,6)
题二:对于一次函数y=x-+4,下列结论错误的是( )
A.函数值随自变量的增大而减小
B.点(4a
-,a)在该函数的图象上
C.函数的图象与直线y=x+2垂直
D.函数的图象与坐标轴围城的三角形的周长是4+42
题三:已知实数a、b满足ab>0,a+b<0,则一次函数y=ax b的图象可能是( )
A.B.C.D.
题四:两条直线y=ax+b与y=bx+a在同一直角坐标系中的图象位置可能是( )
A.B.C.D.
题五:一次函数y=(4a5)x(2b4),当a,b为何值时,
①y随x的增大而减小;
②图象经过第一第二第三象限;
③图象与y轴的交点在x轴的下方;
④图象经过原点.
题六:已知:一次函数y=(m3)x+(2m),
(1)函数值y随自变量x的增大而减小,求m的取值范围;
(2)函数图象与y轴的交点于x下方,求m的取值范围;
(3)函数图象经过二、三、四象限,求m的取值范围;
(4)当m= 4时,求该直线与两坐标轴所围成的面积.
题七:已知y与x+2成正比例,且x=1时,y=6 .
(1)求y与x之间的函数关系式,并建立平面直角坐标系,画出函数图象;
(2)结合图象求,当1<y≤0时x的取值范围.
题八:已知2y3与3x+1成正比例,且x=2时,y=5,
(1)求y与x之间的函数关系式,并指出它是什么函数;
(2)点(3,2)在这个函数的图象上吗?
题九:如图①所示,直线L:y=mx+5m与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.(1)当OA=OB时,试确定直线L解析式;
(2)在(1)的条件下,如图②所示,设Q为AB延长线上一点,连接OQ,过A、B两点分别作AM⊥OQ于M,BN⊥OQ于N,若AM=4,MN=7,求BN的长.
题十:如图①,直线AB与x轴负半轴、y轴正半轴分别交于A、B两点.OA、OB的长度分别为a和b,且满足a2 2ab+b2 =0.
(1)判断△AOB的形状;
(2)如图②,正比例函数y=kx(k<0)的图象与直线AB交于点Q,过A、B两点分别作AM⊥OQ 于M,BN⊥OQ于N,若AM=9,BN=4,求MN的长;
(3)如图③,E为AB上一动点,以AE为斜边作等腰直角△ADE,P为BE的中点,连接PD、PO,试问:线段PD、PO是否存在某种确定的数量关系和位置关系?写出你的结论并证明.
题十一:不论实数k为何值,直线(k+1)x+(1k)y+5k=0恒经过的定点坐标是________.
题十二:不论k取什么样的实数,直线y=kx+(20092010k)总经过一定点,则这个定点的坐标为________.
一次函数的性质
课后练习参考答案
题一:D.
详解:A.∵一次函数y=x+6中k=1>0,
∴函数值随自变量增大而增大,故本选项正确;
B.∵一次函数y=x+6与x、y轴的交点坐标分别为(6,0),(0,6),
∴函数图象与x轴正方向成45°角,故本选项正确;
C.∵一次函数y=x+6中k=1>0,b=6>0,
∴函数图象经过一、二、三象限,故本选项正确;
D.∵令y=0,则x=6-,
∴一次函数y=x+6与x、y轴的交点坐标分别为(6,0),(0,6),故本选项错误.
故选D.
题二:D.
详解:A.由于k=1-<0,则y随x的增大而减小,所以A选项的说法正确;
B.当x=4a
--+4=a,所以B选项的说法正确;
-时,y=(4)a
C.函数y=x-+4的图象与第二、四象限的角平分线平行,而y=x+2与第一
分线平行,则它们垂直,所以C选项的说法正确;
D.y=x-+4与坐标轴的交点坐标为(0,4),(4,0),则函数的图象与坐标轴围城的三角形的周长为4+4+42=8+42,所以D选项的说法错误.
故选D.
题三:B.
详解:∵实数a、b满足ab>0,a+b<0,∴a<0,b<0,∴b>0,∴一次函数y=ax b 的图象经过第一、二、四象限.故选B.
题四:A.
详解:分四种情况:①当a>0,b>0时,y=ax+b和y=bx+a的图象均经过第一、二、三象限,不存在此选项;②当a>0,b<0时,y=ax+b的图象经过第一、三、四象限,y=bx+a 的图象经过第一、二、四象限,选项A符合此条件;③当a<0,b>0时,y=ax+b的图象经
过第一、二、四象限,y=bx+a的图象经过第一、三、四象限,选项A符合此条件;④当a <0,b<0时,y=ax+b的图象经过第二、三、四象限,y=bx+a的图象经过第二、三、四象限,不存在此选项.故选A.
题五:见详解.
详解:由题意得:①4a5<0,解得a<5
4
;
②
450
(24)0
a
b
->
?
?
-->
?
,解得a>
5
4
,b<2;
③4a5≠0且(2b4)<0,解得a≠5
4
,b>2;
④4a5≠0且(2b4)=0,解得a≠5
4
,b=2.
题六:见详解.
详解:(1)∵函数值y随自变量x的增大而减小,∴m3<0,解得m<3;
(2)∵函数图象与y轴的交点于x下方,∴2m<0,m0,解得m>2,m≠3;
(3)∵函数图象经过二、三、四象限,∴
30
20
m
m
-<
?
?
-<
?
,解得2<m<3;
(4)当m= 4时,该函数解析式为y=x2.当x=0时,y= 2;当y=0时,x=2,
则该直线与两坐标轴所围成的面积是:1
2
×|2|×2=2.
题七:见详解.
详解:(1)设y=k(x+2),∵x=1时,y=6-,∴6-=k(1+2),解得k=2-.∴y=2-(x+2)=2-x4.图象过(0,4)和(2,0)点.
(2)从图上可以知道,当1<y≤0时x的取值范围2≤x<
3
2 -.
题八:(1)y=1.5x+2,一次函数;(2)不在.
详解:(1)设2y3=k(3x+1),∵x=2时,y=5,∴2×53=k(3×2+1),∴k=1,∴2y3=3x+1,即y=1.5x+2,故y是x的一次函数;
(2)∵y=1.5x+2,∴当x =3时,y=1.5×3+2=6.5≠2,
∴点(3,2)不在这个函数的图象上.
题九:(1)y=x+5;(2)3.
详解:(1)∵直线L:y=mx+5m,∴A(5,0),B(0,5m),
由OA=OB得5m=5,m=1,∴直线L的解析式为:y=x+5;
(2)在△AMO和△OBN中,OA=OB,∠OAM=∠BON,∠AMO=∠BNO,
∴△AMO≌△ONB.∴AM=ON=4,∴BN=OM=MN ON=3.
题十:(1)等腰直角三角形;(2)5;(3)PO=PD且PO⊥PD.
详解:(1)等腰直角三角形,
理由:∵a22ab+b2=0,∴(a b)2=0,∴a=b,
∵∠AOB=90°,∴△AOB为等腰直角三角形;
(2)∵∠MOA+∠MAO=90°,∠MOA+∠MOB=90°,∴∠MAO=∠MOB,
∵AM⊥OQ,BN⊥OQ,∴∠AMO=∠BNO=90°,
在△MAO和△BON中,∠MAO=∠MOB,∠AMO=∠BNO,OA=OB,
∴△MAO≌△NOB,∴OM=BN,AM=ON,OM=BN,∴MN=ON OM=AM BN=5;
(3)PO=PD且PO⊥PD,
理由:如图,延长DP到点C,使DP=PC,连接CP、OD、OC、BC,
在△DEP和△CBP,DP=PC,∠DPE=∠CPB,PE=PB,∴△DEP≌△CBP,
∴CB=DE=DA,∠DEP=∠CBP=135°,则∠CBO=∠CBP∠ABO=135°45°=90°,又∵∠BAO= 45°,∠DAE= 45°,∴∠DAO=90°,
在△OAD和△OBC,DA=CB,∠DAO=∠CBO,OA=OB,∴△OAD≌△OBC,
∴OD=OC,∠AOD=∠COB,∴△DOC为等腰直角三角形,∴PO=PD,且PO⊥PD.
题十一:(2,3).
详解:原式可化为k(x y1) +x+y+5=0,令
10
50
x y
x y
--=
?
?
++=
?
,解得
2
3
x
y
=-
?
?
=-
?
,
可见,无论k为何值,直线恒过定点(2,3).
题十二:(2010,2009).
详解:由直线y=kx+(20092010k),得(2010)2009
y k x
=-+,
∴
20100
(2010)2009
x
y k x
-=
?
?
=-+
?
,解得
2010
2009
x
y
=
?
?
=
?
,
∴无论k取何值,该直线都会经过点(2010,2009).
二次函数专项复习经典试题集锦(含答案) 一、选择题: 1. 抛物线3)2(2+-=x y 的对称轴是( ) A. 直线3-=x B. 直线3=x C. 直线2-=x D. 直线2=x 2. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如右图,则点 ),(a c b M 在( ) A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知二次函数c bx ax y ++=2,且0+-c b a ,则一定有( ) A. 042>-ac b B. 042=-ac b C. 042<-ac b D. ac b 42-≤0 4. 把抛物线c bx x y ++=2向右平移3个单位,再向下平移2个单位,所得图象的解析式 是532+-=x x y ,则有( ) A. 3=b ,7=c B. 9-=b ,15-=c C. 3=b ,3=c D. 9-=b ,21=c 5. 下面所示各图是在同一直角坐标系,二次函数c x c a ax y +++=)(2与一次函数 c ax y +=的大致图象,有且只有一个是正确的,正确的是( ) B D 6. 抛物线322+-=x x y 的对称轴是直线( ) A. 2-=x B. 2=x C. 1-=x D. 1=x
7. 二次函数2)1(2+-=x y 的最小值是( ) A. 2- B. 2 C. 1- D. 1 8. 二次函数c bx ax y ++=2的图象如图所示,若 c b a M ++=24c b a N +-=,b a P -=4,则( ) A. 0>M ,0>N ,0>P B. 0 x 时,求使y ≥2的x 的取值围. 函数图象变换 1、平移变换(左加右减上加下减): y=f(x)h 左移→y=f(x+h); y=f(x)h 右移→y=f(x -h); y=f(x)h 上移→y=f(x)+h; y=f(x)h 下移→y=f(x)-h. 2、对称变换: y=f(x) 轴x →y= -f(x); y=f(x) 轴y →y=f(-x); y=f(x) 原点 →y= -f(-x). y=f(x) a x =→直线y=f(2a -x); y=f(x) x y =→直线y=f -1(x); 3、翻折变换: (1)函数|()|y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像的x 轴下方部分沿x 轴翻折到x 轴上方, 去掉原x 轴下方部分,并保留()y f x =的x 轴上方部分即可得到; (2)函数(||)y f x =的图像可以将函数()y f x =的图像右边沿y 轴翻折到y 轴左边替代原y 轴左 边部分并保留()y f x =在y 轴右边部分即可得到. 4、伸缩变换: y=f(x)ω?→x y=f(ωx ); y=f(x)ω ?→y y=ωf(x). 经典题型:作已知函数的图像、知式选图或知图选式、图像应用 例1.函数1 11--=x y 的图象是( ) 答案B 例2.如图所示,)(),(),(),(4321x f x f x f x f 是定义在]1,0[上的四个函数,其中满足性质:“对]1,0[中任意的1x 和2x ,)]()([2 1)2(2121x f x f x x f +≤+恒成立”的只有( ) 答案A 例3、利用函数x x f 2)(=的图象,作出下列各函数的图象: (1))1(-x f ;(2)|)(|x f ;(3)1)(-x f ;(4))(x f -;(5).|1)(|-x f 例4已知0>a ,且≠a 1,函数x a y =与)(log x y a -=的图象只能是图中的( ) 答案B 例5函数)(x f y =与函数)(x g y =的图象如右上,则函数)(x f y =·)(x g 的图象是( ) 答案A 例6 已知函数y =f (x )的周期为2,当x ∈[-1,1]时f (x )=x 2,那么函数y =f (x )的图象与函数y =|lg x |的图象的交点共有( ). A .10个 B .9个 C .8个 D .1个 解析:画出两个函数图象可看出交点有10个.答案 A 高中数学必修一第一章《集合与函数概念》综合测 试题试题整理:周俞江 一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的,请把正 确答案的代号填在题后的括号内(本大题共12个小题, 每小题5分,共60分). 1.已知全集}5,4,3,2{},3,2,1{==B A ,则=B A I ( ) A. }{5,4,3,2,1 B.{}3,2,1 C.{}3,2 D.{}7,6,3 2. 若{{}|0,|12A x x B x x =<<=≤<,则A Y B=( ) A . {}|0x x ≤ B .{}|2x x ≥ C .{0x ≤≤ D .{}|02x x << 3 .在下列四组函数中,f (x )与g (x )表示同一函数的是( ) A.x x y y ==,1 B .1,112-=+?-=x y x x y C.55 ,x y x y == D .2)(|,|x y x y == 4.函数x x x y +=的图象是( ) 5.0≤f 不是映射的是A .1:3f x y x ?? →= B .1 :2 f x y x ??→= C .1:4f x y x ??→= D .1:6f x y x ??→= 6.函数y =f (x )的图象与直线x =1的公共点数目是( ). A .1 B .0 C .0或1 D .1或2 7.函数1)2(++=x k y 在实数集上是增函数,则k 的范围是( ) A .2-≥k B .2-≤k C .2->k D .2- 9.有下面四个命题: ①偶函数的图象一定与y 轴相交; ②奇函数的图象一定通过原点; ③偶函数的图象关于y 轴对称; ④既是奇函数,又是偶函数的函数一定是f (x )=0(x ∈R ). 其中正确命题的个数是( ). A .1 B .2 C .3 D .4 10.图中阴影部分所表示的集合是( ) A.B ∩[C U (A ∪C)] B.(A ∪B) ∪(B ∪C) C.(A ∪C)∩(C U B) D.[C U (A ∩C)]∪B 11.若函数))(12()(a x x x x f -+= 为奇函数,则=a ( ) A.21 B.32 C.43 D.1 12.已知函数x x x x f 22 11)11(+-=+-,则函数)(x f 的解析式可以是( ) A.x x 21+ B.x x 212+- C.x x 212+ D.x x 21+- 13.二次函数y =x 2+bx +c 的图象的对称轴是x =2,则有( ). A .f (1)<f (2)<f (4) B .f (2)<f (1)<f (4) C .f (2)<f (4)<f (1) D .f (4)<f (2)<f (1) 14.已知函数[](]?????∈--∈-=5,2,32,13)(,2x x x x f x 则方程1)(=x f 的解是( ) A.2或2 B.2或3 C.2或4 D.±2或4 15.函数()f x 的定义域为),(b a ,且对其内任意实数12,x x 均有:1212()[()()]0x x f x f x --<,则()f x 在),(b a 上是 A .增函数 B .减函数 二次函数经典例题及答案 1.已知抛物线的顶点为P (- 4,—2),与x轴交于A B两点,与y轴交于点C,其中B点坐标为(1 , 0)。 (1) 求这条抛物线的函数关系式; (2) 若抛物线的对称轴交x轴于点D,则在线段AC上是否存在这样的点Q,使得△ ADQ 1 2 9 . 135 y=2 x +4x - 2;存在点Q (-1 , -4 ) , Q (2^5-9,-%'5 ) , Q (--^, -4) ?析 一2 25 试题分析:(1)根据顶点坐标把抛物线设为顶点式形式y=a ( x+4) - 2,然后把点B的坐 标代入解析式求出a的值,即可得解; (2)先根据顶点坐标求出点D 的坐标,再根据抛物线解析式求出点A、C的坐标,从而得 到OA OC AD的长度,根据勾股定理列式求出AC的长度,然后根据锐角三角形函数求出/ OAC勺正弦值与余弦值,再分① AD=QD时,过Q作QE1丄x轴于点E,根据等腰三角形三线合一的性质求出AQ,再利用/ OAC勺正弦求出QE的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;②AD=AQ时,过Q作QE2丄x轴于点E>,利用/ OAC勺正弦求出QE2的长度,根据/ OAC勺余弦求出AE的长度,然后求出OE,从而得到点Q的坐标;③AQ=DQ时,过Q作QE3丄x轴于点已,根据等腰三角形三线合一的性质求出AE 的长度,然后求出OE,再由相似三角形对应边成比例列式求出QE3的长度,从而得到点Q 的坐标. 试题解析:(1 )???抛物线顶点坐标为( 25 -4 , - 2), ???设抛物线解析式为 2 25 y=a (x+4) - 2 为等腰三角形?若存在,请求出符合条件的点 例1(1)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两个实根,且一个大于1,一个小于1,求m 的取值范围; (2)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根都在)4,0[内,求m 的取值范围; ⑶关于x 的方程0142)3(22=++++m x m x 有两实根在[]3,1外,求m 的取值范围 (4)关于x 的方程0142)3(22=++++m x m mx 有两实根,且一个大于4,一个小于4,求m 的取值范围. 例3已知函数3)12()(2--+=x a ax x f 在区间]2,2 3[-上的最大值为1,求实数a 的值。 解(1)令142)3(2)(2++++=m x m x x f ,∵对应抛物线开口向上,∴方程有两个实根,且一个大于1,一个小于1等价于0)1( 1集合 题型1:集合的概念,集合的表示 1.下列各项中,不可以组成集合的是( ) A .所有的正数 B .等于2的数 C .接近于0的数 D .不等于0的偶数 2.下列四个集合中,是空集的是( ) A .}33|{=+x x B .},,|),{(2 2 R y x x y y x ∈-= C .}0|{2 ≤x x D .},01|{2 R x x x x ∈=+- 3.下列表示图形中的阴影部分的是( ) A .()()A C B C B .()()A B A C C .()()A B B C D .()A B C 4.下面有四个命题: (1)集合N 中最小的数是1; (2)若a -不属于N ,则a 属于N ; (3)若,,N b N a ∈∈则b a +的最小值为2; (4)x x 212 =+的解可表示为{ }1,1; 其中正确命题的个数为( ) A .0个 B .1个 C .2个 D .3个 题型2:集合的运算 例1.若集合}1,1{-=A ,}1|{==mx x B ,且A B A =?,则m 的值为( D ) A .1 B .1- C .1或1- D .1或1-或0 例2. 已知{25}A x x =-≤≤,{121}B x m x m =+≤≤-,B A ?,求m 的取值范围。 解:当121m m +>-,即2m <时,,B φ=满足B A ?,即2m <; 当121m m +=-,即2m =时,{}3,B =满足B A ?,即2m =; 当121m m +<-,即2m >时,由B A ?,得12 215m m +≥-??-≤? 即23m <≤; ∴3≤m 变式: 1.设2 2 2 {40},{2(1)10}A x x x B x x a x a =+==+++-=,其中x R ∈, 如果A B B =,求实数a 的取值范围。 A B C 二次函数的最值问题 【例题精讲】 题面:当1≤x ≤2时,函数y =2x 24ax +a 2+2a +2有最小值2, 求a 的所有可能取值. 【拓展练习】 如图,在平面直角坐标系xOy 中,二次函数23y x bx c = ++的图象与x 轴交于A (1,0)、B (3,0)两点, 顶点为C . (1)求此二次函数解析式; (2)点D 为点C 关于x 轴的对称点,过点A 作直线l :3333 y x =+交BD 于点E ,过点B 作直线BK AD l K :在四边形ABKD 的内部是否存在点P ,使得它到四边形ABKD 四边的距离都相等,若存在,请求出点P 的坐标;若不存在,请说明理由; (3)在(2)的条件下,若M 、N 分别为直线AD 和直线l 上的两个动点,连结DN 、NM 、MK ,求DN NM MK ++和的最小值. 练习一 【例题精讲】 若函数y=4x24ax+a2+1(0≤x≤2)的最小值为3,求a的值. 【拓展练习】 题面:已知:y关于x的函数y=(k1)x22kx+k+2的图象与x轴有交点. (1)求k的取值范围; (2)若x1,x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标,且满足(k1)x12+2kx2+k+2= 4x1x2. ①求k的值;②当k≤x≤k+2时,请结合函数图象确定y的最大值和最小值. 练习二 金题精讲 题面:已知函数y=x2+2ax+a21在0≤x≤3范围内有最大值24,最小值3,求实数a的值. 【拓展练习】 题面:当k分别取1,1,2时,函数y=(k1)x2 4x+5k都有最大值吗请写出你的判断,并说明理由;若有,请求出最大值. 求分段函数的导数 例 求函数?????=≠=0 ,00 ,1sin )(2 x x x x x f 的导数 分析:当0=x 时因为)0(f '存在,所以应当用导数定义求)0(f ',当 0≠x 时,)(x f 的关系式是初等函数x x 1 sin 2,可以按各种求导法同求它的导数. 解:当0=x 时,01sin lim 1 sin lim ) 0()(lim )0(0200 ===-='→?→?→?x x x x x x f x f f x x x 当 ≠x 时, x x x x x x x x x x x x x x x f 1 cos 1sin 2)1cos 1(1sin 2)1(sin 1sin )()1sin ()(22222-=-+='+'='=' 说明:如果一个函数)(x g 在点0x 连续,则有)(lim )(0 0x g x g x x →=,但如 果我们不能断定)(x f 的导数)(x f '是否在点00=x 连续,不能认为 )(lim )0(0 x f f x →='. 指出函数的复合关系 例 指出下列函数的复合关系. 1.m n bx a y )(+=;2.32ln +=x e y ; 3.)32(log 322+-=x x y ;4.)1sin(x x y +=。 分析:由复合函数的定义可知,中间变量的选择应是基本函数的结构,解决这类问题的关键是正确分析函数的复合层次,一般是从最外层开始,由外及里,一层一层地分析,把复合函数分解成若干个常 见的基本函数,逐步确定复合过程. 解:函数的复合关系分别是 1.n m bx a u u y +==,; 2.2,3,ln +===x e v v u u y ; 3.32,log ,322+-===x x v v u y u ; 4..1,sin ,3x x v v u u y +=== 说明:分不清复合函数的复合关系,忽视最外层和中间变量都是基本函数的结构形式,而最内层可以是关于自变量x 的基本函数,也可以是关于自变量的基本函数经过有限次的四则运算而得到的函数,导致陷入解题误区,达不到预期的效果. 求函数的导数 例 求下列函数的导数. 1.43)12(x x x y +-=;2.2 211x y -= ; 3.)3 2(sin 2π +=x y ;4.21x x y +=。 分析:选择中间变量是复合函数求导的关键.必须正确分析复合函数是由哪些基本函数经过怎样的顺序复合而成的,分清其间的复合关系.要善于把一部分量、式子暂时当作一个整体,这个暂时的整体,就是中间变量.求导时需要记住中间变量,注意逐层求导,不遗漏,而其中特别要注意中间变量的系数.求导数后,要把中间变量转换成自变量的函数.(完整版)函数图象变换及经典例题练习
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