论解直角三角形,解法

初三《解直角三角形》教案

成都 雷银光

说明：初三数学课《解直角三角形》这一章，共12个课时，其中10节新课，1节复习，1节考试。每个课时2小时，稍作删减可作为上新课的一个课时（45分钟）使用。课前的重点、难点、情感、目标等备课内容都没有写上，需要写出这些内容的老师，不难写出来。此文仅供参考。

1、 正弦函数

（1）问题的引入

为了绿化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，?在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m ，那么需要准备多长的水管？如果要使出水口的高度是40米、45米、50米、......，呢？这些高度与相应的水管长的比值有什么关系？

这个问题可以归纳为，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m ，?求AB 的

长．

C

B

A

根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即

A BC A

B ∠=的对边斜边＝1

2

可得AB=2BC=70m ，也就是说，需要准备70m 长的水管．

300

C

B

A

类似的，可得出其他各个高度所需水管的长.

由此可得出这样的结论：在上面求AB （所需水管的长度）的过程中，虽然问题的条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，?如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于1

2

．也是说，只要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．

既然直角三角形中，30°角的对边与斜边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？?我们再换一个，试一试．?如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，∠A=45°，∠A 对边与斜边的比值是一个定值吗？?如果是，是多少？——请你算一算：

在Rt △ABC 中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt △ABC 是等腰直角三角形，由勾股定理得AB 2=AC 2+BC 2=2BC 2，AB=2BC ．

因此

2B C B C

AB BC

= =22，

如果把∠A 换成600呢？由此你可以得出什么结论？

显然，有 3

2

233

BC BC AB BC ==

这就是说，在直角三角形中，当一个锐角等于45°、600时，不管直角三角形的大小如何，?这个角的对边与斜边的比都分别等于

22和32

． 从上面这两个问题的结论中可知，?在一个Rt △ABC 中，∠C=90°，当∠A=30°、450、600时，∠A 的对边与斜边的比都等于

12

、22和32，都分别是一个固定值. 就是说，这

个比值随着锐角A 的变化而变化；?这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A 取其他一定度数的锐角时，?它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？ 这个问题的回答是肯定的！．

即，在直角三角形中，当锐角A 的度数一定时，不管三角形的大小如何，?∠A 的对边与斜边的比都是一个固定值，这个值随着锐

角的

600

A

B

C

(1)

3

4C

B A

P(a,b)α

y

x

https://www.doczj.com/doc/16346522.html,

O

斜边c 对边a

b

C

B

A

变化而发生变化．

在日常生活和数学活动中，上面所得出的结论是非常有用的．为引用此结论时叙述方便，我们规定：

直角三角形中，锐角A 的对边与斜边的比叫做∠A 的正弦，记作sinA ，即sinA= =a

c

；锐角B 的对边与斜边的比叫做∠B 的正弦，记作sinB ，即sinB= =

b

c

.如图所示 通常情况下，我们把∠A 的对边记作a ，∠B 的对边记作b ，∠C 的对边记作c ．

例如，当∠A=30°、450、600时，我们有 sinA=sin30°=

1

2

； sanA=sin450=22, sinA=sin600=32

例1、 如图，在Rt △ABC 中，∠C=90°，求sinA 和sinB 的值 解：如图（1），在Rt △ABC 中， AB=

222243AC BC +=+=5． 因此 sinA=

BC AB =35，sinB=AC AB =4

5

． 练习：1、根据下列图中条件，分别写出图中∠A 和∠B 的正弦： 2、如图1，已知点P （a ，b ），求sin α 例2、△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，求sinB 、sinA 的值

练习：1、Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=5

13

，求sinB 的值

2、Rt △ABC 中，∠C=90°，a=1，c=4，求b 、sinB 的值

3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，（1）AB=10，sinB=2

5

，求BC 的值；

（2）a=5，c=10，则sinB= （3）AB=26，sinB=5

13

，

BC= ．

B

B

A A

C

C

C

C

8

5 B 10

6 5 12

A A 5

B 3

4、△ABC中，BC=2，AC=2，AB=6求,sinB和sinA的值

5．如图，∠ACB =900，CD⊥AB于D,AD=2，CD=3.求DB、BC、sinA、sinB、sin∠ACD、sin∠BCD、.

课后作业：1、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=4,b=6,求cosB、cosA 的值

2、△ABC中，∠C=90°，a=6,c=10,求sinA值.

3、△ABC中，∠C=90°a=2，sinA=1

4

，

求sinB的值.

4、△ABC中，∠C=90°，a=3m,c=5m,求sinB的值

5、△ABC中，∠C=90°sinB=

5

13

,b=10,

求c、a的值

6、△ABC中，∠C=90°sinA=4

5

,a=12,求c、sinB的值7、△ABC中，∠C=90°，a=6k,b=4k,

求sinB和sinA

8、在Rt△ABC中，∠C=90°，a=5n,b=4n,求sinB和sinA的值

2、余弦、正切与余切函数重点：余弦、正切、余切函数的概念

难点：对余弦、正切、余切函数的概念概念的理解和应用引入新课

想一想，什么是正弦函数？

如图所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比a

c

就

C

B 3

D

A 2

6

C

B A

随之确定了，我们就把它叫做角A 的正弦，记作sinA=

A a

c

∠的对边斜边．

现在我们要问：其他边之间的比是否也随着角A 的变化而发生变化呢？

∠A的邻边b

∠A的对边a 斜边c C

B

A

探究新知

请分别以锐角30、45、60所在的直角三角形为例，分别考察它们的邻边与斜边、对边与邻边、邻边与对边的比会出现什么情况？

类似于正弦的情况，当锐角A 的大小确定时，∠A 的邻边与斜边的比、∠A 的对边与邻边的比也分别随之而确定，其大小是不变的．由此我们规定如下：

直角三角形中，锐角∠A 的邻边与斜边的比叫做∠A 的余弦，记作cosA ，即cosA=

A ∠的邻边

斜边

；

直角三角形中，锐角∠A 的对边与邻边的比叫做∠A 的正切，记作tanA ，即tanA=

A A ∠∠的对边

的邻边

．

直角三角形中，锐角∠A 的邻边与对边的比叫做∠A 的余切，记作cotA ，即cotA=

A A ∠∠的邻边

的对边

例1、在Rt △ABC 中，∠C=90°，BC=6，sinA=

3

5

，求cosA 、tanB 、cotA 的值． 分析：我们已经知道了直角三角形中一条边的值，要求余弦，正切和正切值，就需要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．

解：sinA=

BC

AB

， ∴AB=sin BC

A

=6×53=10，

又∵AC=2222106AB BC -=-=8，∴cosA=AC AB =4

5

，

tanB=AC BC =4

3

．cotA=AC BC =43

请你写出角B 的四个三角函数值：sinA= ,cosA= ,tanB= ,cotB=

练习：1、根据下图直角三角形中的条件，分别写出图中∠A 、∠B 的正弦、余弦、正切、余切函数的值：

1、ABC 中，∠C=90°，a=3,b=5，求cotB 、cosA 的值.

2、ABC 中，∠C=90°，sinA=5

13

，求cosB 、tanA 的值

3、△ABC 中，∠C=90°，a=1，c=4，求tanA cotB 的值

4、△ABC 中，∠C=90°，AB=10，cosB=2

5

，求BC 和tanA 的值

例2、在△ABC 中，AC=3，BC=4，AB=5，则(sinB)2+(cosB)2、cotB+tanB 的值.

练习：1、Rt △ABC 中，∠C=90,c=6,cosA=2

6

,求sinA+cosB 、tanA cotB 的值.

2、Rt △ABC 中，∠C=90°，c=26,sinA=

5

13

，求a 、b 、tanB cotB 、cotA sinA

3、△ABC 中，a=12，b=5,c=13.求sinB cosB 、tanB cotB 、(sinA)2+(cosA)2、sinA cotA 的值.

B

B

A

A

C

C

C

C

8

5 B 10

6 5 12

A A 5

B 3

4、如图，∠ACB =900，CD ⊥AB 于D,AD=2，CD=3.求DB 、BC 、sinB 、tanB 、con ∠BCD 、cot ∠BCD 、.

课后作业：

1、Rt △ABC 中，∠C=90°，a=4,b=6.则sinB= 、cosB= 、tanB= 、cotB=

2、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=6,c=10,则sinA= 、cosA= 、tanA= 、cotA=

3、在Rt △ABC 中，∠C=90°c=8，sinA=1

4

，求sinB+sinA 、tanB cotA 的值.

4、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=3k,c=5k,求tanB cotA 、cotA sinA 的值

5、在Rt △ABC 中，∠C=90°sinB=5

13

,b=10,求c 、a 、cosB+sinB 的值

6、在Rt △ABC 中，∠C=90°sinA=4

5

,a=12,求、tanB-cotA 和（sinA ）2 +（cosA ）2的值

7、在Rt △ABC 中，∠C=90°，a=6k,b=4k,求tanBcotB+cotAtanA 、(cosA)2+(sinA)2的值

8、△ABC 中，∠C=90°，a=5,b=4,求（cosA tanA ）2+（cotA sinA ）2的值

9、6、已知在直角梯形ABCD 中，上底CD=4，下底AB=10，非直角腰BC=43，则底角∠B= °.

C

B

3 D

A

2

A B

C

A

B

C

D 10、在△ABC 中，∠A=30°，tanB=3

2

，AC=23，则AB= .

11、如图，四边形ABCD 中，∠B=∠D=90°, ∠A=150°,AB=5,CD=15. 求AD 、BC 长.

3、 特殊角的三角函数值

复习引入

想一想：1、什么是正弦函数、余弦函数、正切函数和余切函数？

2、两块三角尺中有几个不同的锐角？分别是多少度？能不能分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值？

3、我们把锐角α的正弦、余弦、正切和余切叫做锐角α的三角函数.

探究新知

根据你的计算填空： Sin300= ；sin450= 、sin600= 、Cos300= 、cos450= 、cos600= tan300 = ；tan450= ；tan600= ； cot300= ； cot450= ； cot600= ；

由此我们可得特殊角300、450、600的正弦值、正切值、余弦值和余切值表：

请仔细观察上表，你能发现什么规律？

我们发现：1、 00 cot α>0 2、当角α由小到大逐渐增加（减小）时，正弦值和正切值也逐渐增大（减小）.

30° 45° 60° sin α 12

22

32

tan α

33

1

3

30°

45° 60°

cos α 32

22

12

cot α

3

1

33

3、 当角α由小到大逐渐增加（减小）时，余弦值和余切值也逐渐减小（增大）.

就是说：正弦值和正切值与角α“同增同减”；余弦值与余切值“一增一减”. 请注意上表的变化规律：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为1，2与3．对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为3，2与1．对于正切，60度的正切值为3，当角度递减时，分别将上一个正切值除以3，即是下一个角的正切值． 请务必记住上述特殊角的三角函数值．

注意：（sin60°）2用sin 260°表示，即（sin60°）2 =sin 260°．

一般地，（sin α）2 = sin 2α （ cos α）2= cos 2α ( tan α)2= tan 2α （ cot α）

2

=cot 2α

例题：计算（1）（cos 260°+sin 260°）sin300． （2）cos 45sin 45?

?

-tan45°．（3）

sin300+sin600-sin 2450cot 2450

练习：1、计算：

2sin45°-

2

1cos60°

(sin30°+tan45°)

2、计算：

2sin45°-3tan60°sin30°·cos45°

3、计算： (sin30°+tan45°)·cos60° （1-sin30°）

4、计算：

tan45°·sin45°-4sin30°·cos45°+6cot60°．

5、计算： tan 230°+2sin60°-tan45°-tan60°+cos 230°cot 260°．

6、已知：Rt △ABC 中，∠C=90°，cosA=

3

5

，AB=15，则AC 的长是（ ）．

A ．3

B ．6

C ．9

D ．12 7、下列各式中不正确的是（ ）．

A ．sin 260°+cos 260°=1

B ．sin30°+cos30°=1

C ．sin35°=cos55°

D ．tan45°>sin45°

例2、在△ABC 中，∠C=900：

（1）已知a=5， ∠B=60°°

．求sinA+sinB-sin 2Acot 2A ；（2）已知a=52，b=56，求

sin 2B-cosBtanB

练习：1、在△ABC 中，AD 是BC 边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC 、sin ∠CAD+cosB ．

2、在△ABC 中，∠C=900，a=3cm ，b=4cm ，求sin 2A+sin 2B 的值．

作业：一、计算： 1、

2sin60°-

2

1

cos30°sin 230°． 2、 2sin45°-6tan60°cot 260°cos450

3、 (sin30°+tan45°)·cos 260° cos450

4、 tan 245°·sin45°-4sin30°·cos45°+6cot 260°

5、 tan 230°+2sin30°-tan30°·sin60°-tan60°cot600+cos 260°-sin300cos450cot 260°cot600

二、选择题

1、下列各式成立的是( )

A．cos60°

C．sin45°

6．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（）A．2 B．3C．2D．1 7、在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：3：2，则sinA+tanA等于（）．

A．32313331

.3..

6222

B C D

++

+

三、计算下列各题：

1、2sin45°cos450-3tan30°cot300+4cos260°-6cot300tan30°

2、

2sin230°-2cos60°sin2600+tan45°cot300+cot45°·cot45°

3、tan30°·tan45°·tan30°·tan60°·tan45°·cot45°

4、sin45°·cos45°+cos60°;

5、2sin60°-2cos30°sin45°

6、

2cos60

2sin302

?

?-

（1-sin30°）7、tan45°·sin60°-4sin30°cos45°+6tan30°

cos30°

8、sin45cos30

32cos60

?+?

-?

-sin60°（1-sin30°）．9、

sin45

tan30tan60

?

?-?

+cos45°cos30°

4、同角的三角函数关系

C

B

A

上节课我们利用三角函数的定义推导出了特殊角的三角函数值，并且的出了下面的性质：

1、 0≤Sin α≤1 0≤cos α ≤1 tan α≥0 cot α≥0

2、sin α和tan α随着锐角α的增大而增大；con α和cot α随着锐角α的增大而减小.

想一想：特殊角00和900的三角函数值是什么？

Sin00= ；Sin900= ；Cos00= 、Cos900= 、

tan00 = ；tan900 ；cot00= ；cot900 ；

由此，我们可得完整的特殊角的三角函数值表：

请计算：1、Sin 2300+Cos 2300= ， sin 2600+Cos 2600 = ，sin 2450+cos 2450=

2、tan300

= ；tan450

= ；tan600

= ；00sin30cos30= ；00

sin 45sin 45= ；

sin 60cos 60= ；

3、tan300cot300= ；tan450cot450= ；tan600cot600= ；

由此可知：对于任意锐角α，下列关系式是成立的： Sin

2

α+cos 2α=1 tan α=

sin cos a a

cot α

=

cos sin a

a

tan αcot α=1 下面我们来证明这四个公式：

如图，△ABC 中，∠C=900，不妨设锐角∠A=α，那么，c 2=a 2+b 2 （1）、证明： Sin 2α+cos 2α=1

由三角函数定义可得 Sin α=a c cos α=b

c

∴ Sin 2

α=222()a a c c = cos 2

α=222()b b c c

=

00 30° 45° 60° 900 sin α 0 12

22 32 1 cos α tan α 33

1 3 cot α 900 60° 45° 30° 00 a

b

c

∴Sin2α+cos2α=

222

222

a b c

c c c

+=∴Sin2α+cos2α=1

(2)证明：tan=sin cos

a

a

由三角函数定义可得tanα=a

b

sin

cos

a

a

=

a

c

b

c

=

a

b

∴tanα

=sin

cos

a

a

(3) 证明：cotα=

cos

sin

a

a

由三角函数定义可得cot

b

a

a

=

cos

sin

b

a b

c

a

a a

c

==∴cotα

=cos sin

a

a

（4）证明：tanαcotα=1

tanαcot

a b

a

b a

=∴tanαcotα=1

请记住这些公式，对求三角函数值、化简三角函数关系式是很有帮助的.

例1：已知sina=

1

2

,求cosa、tana、cota的值.

练习：1、已知cosα=

4

5

,求sina、tana、cota . 2、已知tana=2,求cota、sina、cosa

3、12cos sin-cos+cos1

a a aα

+-cot45°tan45°4、sin2400cot450-tan350tan550+tan450cos2400

例2、1、计算1

2(2cos45sin90)(44)(2sin)a

π-

?-?+-?+-2、(sina-2cosa)(sina+cosa)

练习：1、Rt △ABC 中，∠C=900，则下列式子成立的是（ ）

A 、sinA=sin

B B 、sinA=cosB

C 、tanA=tanB

D 、cosA=tanB

2、已知Rt △ABC 中，∠C=90°，AC=2，BC=3，那么下列各式中，正确的是（ ）

A ．sinB=23

B ．cosB=23

C ．tanB=2

3

D ．tanB=3

2

例3、计算

cos30000000sin 30tan 65cos60tan 25tan10t 20tan 30tan 70tan80an ?+?-??

练习：1、点（-sin60°，cos60°）关于y 轴对称的点的坐标是（ ）

A ．（

32，12） B ．（-32，12） C ．（-3

2

，-12） D ．（-12，-32

） 2、下列各式成立的是( ) A ． cos60°

B ． sin45°

3、求值：sin 260°+sin 230°=___________．

4、tana.cotana-(sin 2a+cos 2a)

作业：1、在直角三角形中，各边都扩大2倍，则锐角A 的正弦值与余弦值都（ ）

A 、缩小2倍

B 、扩大2倍

C 、不变

D 、不能确定 2、Rt △ABC 中，∠C=900

，BC=4，sinA=4

5

，则AC=（ ）A 、3 B 、4 C 、5 D 、6 3、若∠A 是锐角，且sinA=13

，则（ ）A 、00<∠A<300 B 、300<∠A<450 C 、450<∠A<600

D 、600

<∠A<900

4、若cosA=13，则3sin tan 4sin 2tan A A A A

-+=（ ） A 、47 B 、13 C 、12 D 、0

5、在△ABC 中，∠A ：∠B ：∠C=1：1：2，则a ：b ：c=（ ）

A 、1：1：2

B 、1：1：2

C 、1：1：3

D 、1：1：

2

2

6、计算：2sin45°cos450-3tan30°cot600+4tan600cos60°-6cot90°

7、计算：2cos300sin30°-2sin600cos60°+cot500tan50°+cot44°·tan44°

8、计算：tan10°·tan20°·tan40°·tcot40°·cot10°cot20°

9、(tana+2cota)(tana-2cota)+5cot 2a-tan 2a

10、在△ABC 中，∠C 为直角，已知AB=23，BC=3，求∠B 和AC ．

11、在△ABC 中，∠C 为直角，直角边a=3cm ，b=4cm ，求sinA+sinB+sinC 的值．

12、计算下列各式的值.

(1)2sin30°+2cos60°-4tan45°cos60° (2)cos30°sin60°+sin30°cos60°—

20tan 601-

(3)000

sin 601tan 602tan 45

-- cos300

tan30° (4)3cos30°+2sin45°+0012sin30sin60+

（5）000

tan 45cos60sin 30-·cos300tan30° (6)tan700cot70

00sin 60tan 60-—

20tan 601-

5、 互余的角的三角函数关系

上节课我们利用三角函数的定义，推到出了同角的三角函数关系，这些三角函数关系

C B

A

是什么？

平方关系： 。商的关系： 。倒数关系： 。请填空：sin300= ，cos600= ,tan450= ，cot450= ，tan300= ，cot600= 。 你发现了什么？你可以得出什么结论？

显然，等式sin300=cos600 tan450=cot450 tan300=cot600，

??????,，都成立

即sin300=sin （900-600）=cos600 cos300=cos(900-600)=cos600 tan300=tan(900-600)=cot600。。

，

??????

是否可以猜想：对于任意两个互余的角A 、B （即A+B=900），都有下列等式成立呢？

SinA=sin(900-B)=cosB, cosA=cos(900-B)=sinB,

tanA=tan(900-B)=cotB, cotA=cot(900-B)=tanB

这是为什么呢？下面我们就来证明。 如图，△ABC 中，∠C=900， 显然，A=900-B

由三角函数定义可得 sinA=a c

A=900-B ∴sin （900-B ）=a

c

又

cosB==

a

c

∴ sinA=sin （900-B ）=cosB 同理可证其他三个公式。

请你注意：当A 、B 为锐角时，若A ≠B ，则 sinA ≠sinB ，cosA ≠cosB ，tanA ≠tanB ．

例1、已知α+β=900，且tana=3,求cos β，sin β，cot β的值.

练习：1、已知α+β=900，cos β=1

5

，求sin α，cot α的值.

2、△ABC 中，∠C=9,0，b=6，sinA=

1

3

，求a 、c 、cotB 的值.

3、△ABC 中，∠C=9,0，cotB=4,求∠A 的其他四个三角函数的值

c

b

a

4、在Rt △ABC 中，∠C=900

，则下列式子成立的是（ ）

A 、sinA=sin

B B 、sinA=cosB

C 、tanA=tanB

D 、cosA=tanB

例2、（1）已知∠A 、∠B 、∠C 是△ABC 的内角. 求证：tan

=cot 22

A B C

∠∠+∠ （2）已知∠A 是△ABC 的内角，sinA 是方程2x-5x+2=0的一个根，求tanB 的值.

练习：

1、计算：tan10°·tan20°·tan40°·tan50°·tan600tan70°·tan80°

2、在锐角△ABC 中,若sinA=2

3

,∠B=75°,求cosC 的值.

3、在Rt △ABC 中，∠C=90°，sinA=5

13

，则sinB 等于（ ） A ．1213 B ．1312 C ．512

D ．

5

13

4、Rt △ABC 中，∠C=90°，AB=10，sinB=2

5

，BC 的长是

（ ）． A ．22121

.4

.21

.50

B C D 5、sin 272°+sin 218°的值是（ ）．A ．1 B ．0 C ．

1

2

D ．32

6、在Rt △ABC 中，∠C=90°，已知tanB=

5

2

，则cosA=________、cotB=________． 7、如图，边长为2的正方形ABCD 的顶点B 、C 在x 轴、y 轴上，?tan ∠DCY=33

. 分别求过点A 、D 反比例函数解析式．

7、已知sinA ，sinB 是方程4x 2

-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A ，∠B 是直角三角形的两个锐角.

y

x

30?

Q

P

https://www.doczj.com/doc/16346522.html,

O D

C

B

A

求：m 的值；

8、已知sinA ，sinB 是方程6x 2+（1-3m ）x+m-1=0的两个实根，且∠A ，∠B 是直角三角形的两个锐角.

求：m 的取值范围；

9、已知tanA 、cotB 是方程（3x-1）（x-3）=0的解. 求tanA 、cotB 的值

作业：1、计算下：.

(1)3sin40°cot400-3cos50°tan500

-5tan45° (2)cot60°cot30°+sin60°cot60°

(4)00002020

sin 60cos3012tan 60tan 302cos 60cot 60

-- (4)cos70°sin200+sin700cos200

(5)

00000

sin 30tan 45cos 60cos30sin 60-·tan75° (6)cot300

cot45

°

-0003sin 60cos30tan 60-

(7)

000000sin 35sin 55cos35sin 55sin 55sin 35??

+? ?

??

(8)tan150

tan250

tan350

tan450

tan600

tan750

tan650

tan550

（8）cos50°tan500

（cot30°+sin60°）-000

3sin 45cos 452tan 60-

（9）cot300

cot45°+sin60°cot60°-

003tan 302sin 60-+02

cos30-1（）

2、若∠A 是锐角，且tanA=3

3

,则sinA=_____3、在Rt △ABC 中，∠C ＝900，若b a 32=则_____tan =A

4、Rt △ABC 中，已知a 和∠A ，则斜边为（ ）A 、a A sin B 、 A

a

sin C a A cos D

A

a

cos 5、Rt △ABC 中，∠C=90°，a 、b 分别为∠A 、∠B 的对边，sinA=1

3

,a=2，求b 与 cosA 的值.

6、已知:∠A 为锐角,并且cosA=

5

4

,求sinB,tanB 、cotB 的值.

7、在△ABC 中，∠C 为直角，b=2，a=6，求sinA 、cotB 、A cos ．

8、已知tan α、tan β是方程2

3430x x -+=的两个根，α、β是直角三角形的两个锐角.求α、β的值.

6、已知三角函数值求锐角与已知锐角求三角函数值

想一想：

1、什么是三角函数？

2、已知直角三角形的两条边，你可以求出任意一个锐角的四个三角函数值，那么，反过来，如果已知三角函数值，怎样求锐角呢？已知锐角，又怎样去求这个角的三角函数值呢？ 一、已知锐角，求三角函数值

1、通过《数学用表》中的《锐角三角函数表》，可以解决。现在基本不用了，这里也不赘述。

2、通过计算器，可以解决，按计算器《说明书》操作即可。简单方便。 简要说明其使用方法: 例如求sin18°，利用计算器的sin 键，并输入角度值18，得到结果sin18°

=0.309016994．

又如求tan30°36′，利用tan ?键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351． 利用计算器求锐角三角函数值，或已知锐角三角函数值求锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．

因为30°36′=30.6°，所以也可以利用tan 键，并输入角度值30.6，?同样得到答案0.591398351．

二、已知三角函数值，求锐角

1、通过《数学用表》中的《锐角三角函数表》，可以解决。现在基本不用了，这里也不赘述。

2、通过计算器，可以解决，按计算器《说明书》操作即可。简单方便。 简要说明使用方法： 举例说，例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A 可以按照下面方法操作：

依次按键2ndf sin ，然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A 精确到1°，则结果为30°）．

还可以利用2ndf °’”键进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A ?精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）． 三、利用特殊角的三角函数值表求特殊角

前面我们已经推导出了特殊角的三角函数值表：

00 30° 45° 60° 900 sin α 0 12

22

32

1 cos α tan α

33

1 3

cot α

900

60° 45°

30°

00

这个表告诉我们这样几个事实：

1、 0≤Sina ≤1 0≤cosa ≤1 tana ≥0 cota ≥0

2、正弦值和正切值随着锐角a 的增大（减少）而增大（减少），即正弦和正切是增函数；

3、余弦值和余切值随着锐角a 的增大（减少）而减少（增大），即余弦和余切是减函数；

4、锐角与相应的函数值是一一对应关系。如300所对应的正弦值是12，反之，正弦值1

2

所对应的锐角是300；其余，以此类推。 例题1、若sin α=

2

3

,则锐角α=________.若2cos β = 2 ,则锐角β =_________. 2、在Rt △ABC 中，已知

c

边及∠A ，则斜则

a

的值应为

（ ）