283
7 弹性物质
(一) 概念、理论和公式提要
7-1 Cauchy 弹性物质
弹性是一个重要的流变模型，很多物质在一定的条件下都呈现弹性性质。弹性物质的显著特征是相对于参考构形0K ，现时构形t K 上的应力唯一确定于变形，与从t K K 到0的变形过程无关，与从t K K 到0所经历的时间无关(应力所作的功或应变能则不一定与过程无关)。这样的弹性物质称为Cauchy 弹性物质。 (1) Cauchy 弹性物质的本构方程
弹性物质的应力与变形史无关，所以Noll 简单物质的本构方程为
)(F T T = (7-1-1)
)(F T 是相对于给定参考构形0K 对应于Cauchy 应力的响应函数。上式表明，现
时构形t K 上的Cauchy 应力唯一确定于变形的现时值。参考构形改变，响应函数要改变；应力形式改变，响应函数也改变。因此响应函数必定是相对于某参考构形，对应于某种应力的。
客观性原理要求式(7-1-1)具有如下几种形式
T R U RT T )(= (7-1-2) T R C RT T )(= (7-1-3) T R E RT T )(= (7-1-4)
T f R E RT T )(= (7-1-5)
此处为简单计，对于不同的应变或变形采用了同一的函数记号。 由上列本构方程可以导出对应于其他应力的本构方程
1
)()(det )()(-U U T U U U R ==∏∏∏， (7-1-6)
)()]()([2
1
)1()1()1(E T U U T =+=T ∏∏ (7-1-7)
)()()(det )2(1
1E T U U T U U ==--∑ (7-1-8)
式中)2()2(E E T ==，∑
284
)()()()(m m m E T T = (7-1-9)
)(f f f E T T = (7-1-10)
(2) Cauchy 弹性物质的对称性 各向同性弹性 Cauchy 弹性物质的本构方程一般地为
)(F T T =
如果物质对对称Q ，则有
)()(FQ T F T T == (7-1-11)
所以满足上式的Q (可限制为正常正交张量)构成弹性物质的对称群。
对于各向同性弹性物质，式(7-1-11)中的Q 可以是任意的正常正交张量。取
T R Q =，则式(7-1-11)变为
)()(V T F T T == (7-1-12)
上式还应满足客观性原理，即
)()(T T QVQ T Q V QT = (7-1-13)
式中Q 是任意的正常正交张量，这正说明，响应函数)(V T 应是各向同性张量函数(参阅式2-6-14)，即有
2210)(V V I V T T ααα++== (7-1-14)
式中V 都是、、210ααα的主不变量的标量函数。
如果在式(7-1-13)中取U VR R R Q ==T T ，注意到，则得到
)(U T TR R =T
式中TR R T 为Lagrang 型张量。将式(7-1-14)代入上式左侧，就得到
2210)(U U I U T TR R ααα++==T (7-1-16)
(3) 弹性张量 线性弹性
已知Cauchy 弹性本构方程(式7-1-8)
)(E ∑∑= (7-1-17)
则有
=∑d ∶C E d (7-1-18)
E
E C ??=)(∑ (7-1-19)
285
C 是四阶张量，称为弹性张量。其分量式为
??
??
?
??=???=LM JK JKLM M L K J JKLM C E e e e e C ∑C (7-1-20)
且有
JKML KJLM JKLM C C C == (7-1-21)
所以C 的81个分量中只有36个是独立的。C 的分量称为弹性系数。 如果JKLM C 都是常数，称为弹性常数；这样的弹性物质称为线弹性物质。于是积分式(7-1-18)，注意到C 是常数张量，得到
?
??
==LM JKLM JK E C ∑∑E C ∶ (7-1-22)
此处假定参考构形是自然构形，在其上O E =，O =∑。
大多数物质在小变形条件下呈现为线性弹性，此时εε，，==E T ∑为小应变条件下的应变张量。于是上式可近似写成
?
??
==kl ijkl ij C εσε∶C T (7-1-23)
可以证明，对于线性弹性，恒有
klij ijkl C C =
上式表明，线性弹性物质只有21个独立的弹性常数。
对于各向同性线弹性物质，C 应是四阶各向同性张量，即有
jk il jl ik kl ij ijkl C δδνδδμδδλ++= (7-1-25)
式中νμλ、、为任意标量。将上式代入(7-1-23)，得到
?
??
+=+=ε
μελεμδελσ2)tr (2)tr (I T ij ij ij (7-1-26)
上式就是小变形条件下的广义Hooke 定律的一种形式，μλ、为Lame 常数。
7-2 Green 弹性物质
286
(1) 弹性势函 已知在参考构形0K 上单位体积的应变能率为(式4-5-7)
f
f w E T D T E F ∶∶∶∶====?0 ∑∏ρ (7-2-1) 式中)(?F F T T W J 的标量值数。如果存在一个=，使得 F F F F F d d )
()(d ∶∶∏=??=W W
则有
F
F ??=
)
(W ∏ (7-2-2) )(F W 称为弹性势函或应变能函数；具有弹性势函的弹性物质称为Green 弹性
物质或超弹性物质。
由式(7-2-1)，弹性势函W 可以写作
)()()()2(f f W W W W E E F ===
为简单计，经常将上式直接写成
)()()(f W W W W E E F === (7-2-3)
对应于式(7-2-1)、(7-2-3)，有
)()
W(E E
E ∑∑=??= (7-2-4) )(f f f
f W
E T E T =??=
(7-2-5) 式(7-2-5)是用应变能函数表示的最一般的本构方程，它包括了Seth 类应变。可以看出同轴同轴从而与与U U F E T )(=f f 。 由式(7-2-4)可得
?
?
???
???==E E C E C W 2
d d ∶∑ (7-2-6) JK
LM LM JK JKLM
E E W
E E W ???=
???=22C (7-2-7) 上式表明，超弹性物质的独立的弹性系数只有21个，所以，①存在一个弹性势函，或者②只有21独立的弹性系数是Green 弹性与Cauchy 弹性的主要区别；
287
或者说，Cauchy 弹性要求现时应力唯一确定于现时变形，与变形过程无关，而Green 弹性则不只现时应力而且应力作功(应变能)都与变形过程无关。显然，线性弹性总是超弹性的。
(2) Green 弹性物质的客观性和对称性 由式(7-2-1)可见，弹性应变能是
客观的标量值张量函数，且有W W w W ~
d d 0==。于是有ρ。其中
)
~
()
()~
(~)
()(系系φφQF F F W W W W W ===
因此符合客观性要求的弹性势函必需满足
)()(QF F W W = (7-2-8)
令T R Q =，上式变为
)()(U F W W = (7-2-9)
上式表明，弹性势函的客观性等价于物质单元在纯变形之后叠加任何转动，不影响其应变能函数的值。
前已说明，如果Cauchy 弹性物质对Q 对称，则有
FQ F F T F T =='')()(，
为此对应，Green 弹性物质如果对Q 对称，则应有
FQ F F F =='')()(，W W (7-2-10)
相应地有
)()('E E W W = (7-2-11)
???????=-=-=
EQ Q I F F E I F F E T T T )(21
)(2
1''' (7-2-12)
于是Green 弹性物质如果对Q 对称，则弹性势函应满足
)()(EQ Q E T W W =
由于如果Q 是物质的对称元，则T Q Q =-1
也是它的对称元，所以上式又可写成
)()(T W W QEQ E = (7-2-13)
上式是物质的对称性对弹性势函的限制。
288
对于线性弹性(用E 近似代ε)，则有
]][][[][2
1)(21
)(''
''T kl ij ijkl kl ij ijkl W W Q Q C C εεεεεεεε===
将)()()('''
εεεεεW W W ij ij =，并令表示，再代入用就可得到对于弹性常数的附
加条件，这将使独立的弹性常数的数目减少。
还可导出，如果Green 弹性物质对Q 对称，则本构方程)(E ∑∑=应满足
?
??
===)()()
('T T QEQ Q E Q E ∑∑∑∑∑ (7-2-14) 这是对称性对Green 弹性物质的本构方程的限制。 (3) 各向同性Green 弹性物质的应变能函数
对于各向同性Green 弹性物质，对称群包含所有的正常正交张量，即在式(7-2-13)和(7-2-14)中，Q 可以是任意的正常正交张量。根据式(2-6-11)和(2-6-13)可见，应变能函数E E E 分别是和本构方程)()(∑∑=W 的各向同性标量函数和张量函数，即
)()(321I I I W W ，，=E (7-2-15)
2110)(E E I E 2ααα++==∑∑ (7-2-16)
上式分别是Green 弹性物质的应变能函数和对应于应力∑的本构方程；式中
E 是、、321I I I 的主不变量，E 是和、210ααα的主不变量的标量函数。 又从弹性势函)(
F W 既要满足对称性，又要满足客观性的要求，应有
)()()(FQ QF F W W W W ===
对于各向同性物质，Q 可取为任意的正常正交张量。于是分别将
T R Q VR F RU F ===代入，并取及，将分别得到
??
?
??==)()()()(VR R V RU U T
T W W R W W (7-2-17) 上式表明V U F V U 和都成立，特别地当，此式对任意的
)()(W W =给定时，对任
289
意的正常正交张量R 都成立。于是可将式(7-2-17)改写成
??
?
??==)()()()(T T W W W W QVQ V QUQ U (7-2-18) 由上式可见，各向同性弹性物质的应变能函数应是V U 或的各向同性标量值函数，亦即它是V U 或的主不变量的标量函数
)(321I I I W W 、、= (7-2-19)
或中
??
?
??
===++===++===3213331332212223
21111)()()()()()(λλλλλλλλλλλλV U V U V U I I I I I I I I I (7-2-20)
321λλλ、、是主伸长比。因为22V B U C ==，，所以W 也可以写作B C 或的主
不变量的函数，即在式(7-2-19)中，也可取
??
???
===++===++===2
3
22213332
123232222212222
3
2221111)()()()()()(λλλλλλλλλλλλB C B C B C I I I I I I I I I (7-2-21)
从式(7-2-20)和(7-2-21)可见，各向同性弹性物质的应变能函数也可写作
)(321λλλ，，W W = (7-2-22)
但必须是321λλλ、、的对称函数，即满足
)()()(213132321λλλλλλλλλ，，，，，，W W W === (7-2-23)
实际上321321λλλ，，都是和，I I I 的对称函数。 根据式(7-2-5)
)()(f f f
f f W E T E E T =??=
)()()(i f i f f E λ==的主值为U F E 。如果将321λλλ，，写作W 的对称函数，记f T 的主值为)(f i t ，则
321)
()()
(，，，=????=??=i f W f W t
i i i i f i
λλλλ (7-2-24) 例如，对于Seth 类应变，
290
)(1
)(I U E -=
m m m
(7-2-25) m E 的主值为
)1(1)()(-=
=m
i i m i m
f E λλ (7-2-26) 于是)()(m i m t 的主值T 为
i
m i m i i i m i W E W t λλλλ??=????=
--)1()()( (7-2-27) 当0=m 时，得到
i
i
i W
t λλ??=)0( (7-2-28) 结合式(7-2-27)和(7-2-28)，可得
)()0()()0(m m m i i i t t T U T ==或λ (7-2-29)
于是可用上式由)()()()()0()0(m m i i t t T T 或确定或。 已知)2(T 为
1
111)
2(?----===U R T
R U U TR R U T
T
T
J ∑ (7-2-30) 其中
i i i i i i i i T T Jt t t t =?=?=????)()()()(，u u R v v R R T
R (7-2-31) T 是i t 的主值。由式(7-2-30)和(7-2-31)，可得
)2(2
)2(??i i i i
i i t t
t t λλ==-或
(7-2-32) 在式(7-2-29)中取2=m ，得到
)2(2)0(i i i t t λ= (7-2-33)
由式(7-2-32)和(7-2-33)，并注意到式(7-2-28)，得到
i
i i i W
t
t λλ??==?)0( (7-2-34) 注意到)0(T 是Lagrange 型张量，T
?是Euler 型张量，它们的主值相同，因此式(7-2-34)的直接表述为
R T
R T ?)0(T = (7-2-35)
291
(4) 各向同性不可压缩Green 弹性物质的本构方程 由于物质不可压缩，
det det =F 1321==λλλU ，所以应变能函数为
1)(321==I I I W W ，， (7-2-36)
式中)(21B C V U 或或为、I I 的第一和第二主不变量。约束方程为
0tr ==D I D ∶ (7-2-37)
由式(7-2-1)及1=J ，有
D T ∶==W w
0ρ (7-2-38) 在式(7-2-36)中，取B 为、21I I 的主不变量，应用式(2-6-5)，可得
B B
B ∶)d d d d (2211I W I W W += 式中T I W W I W W BG GB B +=??=??=
，，2
211于是上式变为
D B B ∶])[(222
211W W I W W -+= 将上式代入式(7-2-38)，得到
0]2)(2[22211=++-D B B T ∶W W I W (7-2-39)
对于不可压缩物质，约束方程为式(7-2-37)；于是只要括号中的值为I q 或
I p (p q 、为任意标量)，都能满足上式，即有
222112)(2B B I T W W I W p -++-= (7-2-40)
或者(应用C-H 方程消去2B )
)(21
21--+-=B B I T W W p (7-2-41)
已知各向同性Cauchy 弹性物质的本构方程为(式7-1-14)
22V V I T 10ααα++=
应用C-H 方程，可将上式写成常用的形式
1
11--++=B B I T 0βββ (7-2-42)
对于不可压缩物质，上式应修改为(参阅式6-8-6或6-8-8)
1
11--++-=B B I T ββp (7-2-43)
此时B 是和11-ββ的第一和第二主不变量的标量函数。比较式(7-2-41)和(7-2-43)，
292
可得
2
1112
2
I W
I W ??-=??=-ββ， (7-2-44) 所以，只当式(7-2-43)中的11-ββ和满足下式时，物质才是超弹性的
01
1
21=??+??-I I ββ (7-2-45)
7-3 各向同性弹性物质的若干应变能函数的表达式 下面介绍几种常用的应变能函数
3212
32221321)()(2)(λλλλλλλλλ=-++=J J q a W ，，， (7-3-1)
∑∞
-∞==-++=
p p
p p p
J a
W 1)3(2)(321321，，，λλλλλλ (7-3-2)
1)3()(1
321321=-++=∑=J W p N
p p p p p ，，，αλλλμλλλα
αα (7-3-3)
N N p p 为实数，，，，)21( =α为有限的正整数。式(7-3-3)表示的应变能函数同橡胶类物质的实验数据有很成功的一致性。
以下是用)1(321=I I I 和的主不变量或C B 表示的应变能函数
)3()3()(20111021-+-=I C I C I I W ， (7-3-4)
上式称为Mooney 或Mooneg-Rivlin 应变能函数
)3()(11021-=I C I I W ， (7-3-5)
上式是Treloar 或Neo-Hooke 应变能函数，是适用于橡胶类物质的最简单的模型。
)]3()3[(2
1
)(12021-+-=
I g I I I W μ， (7-3-6) 0)0(0=g g 为单变量的函数，且有为常数，μ；这个应变能函数适用于生物软组
织。
)]3()3[(2
1
)(21021-+-=
I f I I I W μ， (7-3-7)
293
上式称为Rivlin-Saunders 应变能函数。式中0μ为常数，f 为一元函数，且有
0)0(=f 。对应于式(7-3-6)和(7-3-7)的本构方程分别为
])3([1'1
0B B I T -++-=-I g p μ (7-3-8)
])3([1
2'
0---+-=B B I T I f p μ (7-3-9)
对于式(7-3-1)的一个如下具体形式
22
3
2221321)1('21)ln 23(21)(-+--++=J J W μλλλμλλλ，， (7-3-10) 按式(7-2-34)
i
i i i W Jt t
λλ??==? 可以求出
??
???-+-===-+-==I I T T J J V J i J J Jt t i i i )1(')(?321
)1(')1(?22μμμλμ，，， (7-3-11) 如果1=J (材料不可压缩)，则
??
???-==-=-??==I V T p i p p W t t i i i i i 22321
?μμλλλ，，， (7-3-12)
7-4 热弹性物质的本构方程
热弹性物质是经历热力学过程的弹性物质，在它的本构方程中要引入热力学变量。热弹性本构方程一般可写作
)(g F T T ，，θ= (7-4-1) )(g F ，，θs s = (7-4-2)
)(g F ，，θψψ= (7-4-3)
)(g F h h ，，θ= (7-4-4)
上式即式(6-6-1)对应于弹性物质的情况。热力学第二定律为(式5-3-10，但
D 改为ε
) 0)d ()d (≥--=+=θρψραα s q
Q D T D T ∶∶Λ
294
对于弹性物质，o T ==)d (0，αq
，上式变为 0=--=θρψ
ρ s D T ∶Λ (7-4-5) 由式(7-4-3)
g
g
F F ??+??+??=ψ
θθψψψ
∶ 于是式(7-4-5)可写成
0=-??-??-??-θρψρθθψρψρ
s g g
F F D T ∶∶ (7-4-6) 注意到
G GF F G T D T ，，∶
∶== 是速度梯度，上式又可写成 0)()(=??-+??-??-g g
G F F T ψρθθψρψρ
s T ∶ (7-4-7) 上式对任意的g G 和、θ
都成立，由此得到 T
F F T ??=ψρ (7-4-8)
θ
ψ??-=s (7-4-9)
o g
=??ψ
(7-4-10) 上式表明，θψ和都只是和、F T s 的函数。于是热弹性本构方程最后表示为
??????
???
==??-=??=)()(g F h h F F F
T ，，，θθψψθψψρ
s T (7-4-11) 由于0=Λ，所以热力学第二定律为
01
1≥-=-=hg hg θθδΛ (7-4-12)
可以证明，当物质的导热能力有限，即0)(=g g g F h 可微时，对，，θ必然导致0h =，即热流直接依赖于温度场的梯度。
295
还可证明，在均温)0()(===?=γθ，及绝热0h 0g 情况下，弹性变形都是纯力学的，εψ只是的函数(假设讨论小变形情况)，温度只作为参数出现在
)(θεψ，中。
(二) 习题和解答
7-1 设与)2()2(T E 功共轭的应力具有如下的弹性本构关系
1)2()(-=U U H T
已知函数)T (2)()()(T U U H U UH U H ，证明满足=是对称张量。
解 由U U H U UH U T U H U U H T )()()()()2(1)2(T ===-，于是，可得，导致
U UT U UT T )2()2(=
由上式可得)2()2()2(T T T ，即T =是对称张量。
提示：)2(E 是Green 应变张量，常简记为就是，)2(T E Kirchhoff 应力∑。
7-2 试举例说明，虽然Cauchy 应力T 独立于参考构形的选择，但功共轭应力张量却与参考构形的选择有关。
解 设有两个参考构形t K K K ，对于同一个现时构形和'00，其变形梯度
'F F 和之间有下列关系X P X FP F d 'd '1==-，此处。对于功共轭应力)2(T 和∏，
它们与T 有下列关系
)()det (01)2(1K T 相对于，∏
∏--==F T TF F
相对于参考构形'0K ，则有
T T T T
P P P TF F P TF F ∏∏)(det ))(det (det )'det (''1111----=== T
T P PT P P P PF F T )2(1111)'2()det ()det ('
'----===∏∏
296
上式表明)'2()2(T T ≠≠，∏∏。
7-3 设弹性物质的本构律为)(F G T =，这个物质对于K 对称，且有
1det =K 。证明ρρ。I T )(p -=是现时构形的质量密度。
解 弹性物质对K 对称，则有
)()(FK G F G = (a)
式中K 只要满足条件F F K 3
1**1det -==J 。设，其中J =F det ，则1d e t *=F ，
因此*F 是此物质的对称群的一个元素，令)1det (det 1*1*===--F K F K ，则响应函数)(F G 应满足下式(或式a 变为)
)()(3
1I G F G J
=
上列响应函数应该满足客观性原理，即有
)()()(3
1
3
1
3
1I G IQ Q G Q I QG J
J
J
T T == (b)
上式对所有的正常正交张量)(3
1I G Q J
成立，表明应是各向同性张量函数，即有
I I G T )()(3
1
J J
α== (c)
)()(00ραρρ
ρp J J -=
写作是固定的，于是可将
，，式(c)最后可写成 I T )(ρp -=
上式是非粘性可压缩流体的本构方程。本题结果表明，流体的对称群是正的单模群，即等容变形不影响流体的力学状态，在体积不变的条件下，无论参考构形如何变化(称为等容变换)，流体的响应函数不变。这正是流体区别于固体的特征之一。
7-4 如果上题的弹性物质对K 对称，但K 是正常正交张量，即Q K =，证明
2210)(V V I F G T ααα++==
解 令VR F R K ==及注意到T ，则由对称性
)()()()(V G FR G FK G F G ===T
上式应满足客观性原理，即满足下式
297
)()(T T QVQ G Q V QG =
式中Q 是任意正常正交张量，因此V V G 是)(的各向同性张量函数，即有
2210)(V V I V G T ααα++==
上式是各向同性固体物质的本构方程。
7-5 比较下列两式
4
22
102210V
V I T V V I T ψψψ???++=++=
应用Cayley-Hamilton 定理，用210210ψψψ???及、表示、、。 解 C-H 定理表示为
0I V V V =---32213I I I (a)
式中V 是、、321I I I 的不变量的标量函数。由式(a)可解出
I V V V 32213I I I +-= (b)
用V 遍乘上式，得到
V V V V 322314I I I +-= (c)
将式(b)代入式(c)，再将式(b)、(c)代入T 的第二个表达式，得到用2V V 、表示的式子。
2
22221
1212323120)()()(V
V I T ψψψψψψψI I I I I I I -++-++=
将上式与题给的第一式进行比较，得
??
?
??-+=-=+=)()
(2212122132123100I I I I I I I ψψ?ψ?ψψ? (d)
由式(d)可解出
?
?
?
??
-=---=--=---1
2131212131221211
21313100)()()()(I I I I I I I I I I I I I ?ψ??ψ??ψ (e)
或者由式(b)、(c)，解出
298
121331222214))((---+-=I I I I I I I I V V V V
再代入题给第一式，并与第二式进行比较，即得式(e)。
7-6 证明受到内部约束0)(=F C 的弹性固体物质用Cauchy 应力T 表示的本构方程可写成
T
C p ))((
)(F
F F F T T ??+= 如果物质是不可压缩的，试导出其本构方程。 解 内部约束方程为0)(=F C ，则
0])(tr[)()(=??=??=F F F F F F T C C C
∶ 根据
)(tr )(tr )(111F T F F F T F F
T G T D T ---====∶∶∶ 可令0)(')(')('1=??=??=-F T F
F T F T F C C
p C p T T 便是对应于内部约束
，，或的不确定应力。于是总应力为
T C
p )()(F F F T T ??+= (a)
如果物质是不可压缩的，则内部约束方程为
)
1(det 01det )(1==??=??=-=-J C C T F F
F
F F F
代入式(a)，并按一般习惯，将p p -改为，得到
I F T T p -=)(
如果物质是各向同性的，则(参阅习题7-4)
)(02
21I I V V I T p p -++-=已并入ααα
7-7 已知)(2
1)2(I F F E -=
T
，于是约束方程0)(=F C 可等价地写成0)()2(=E C 。此处)2(E 是Green 应变，记作E 。写出弹性固体材料的本构方程。
解 已知应力功率为0)()2(=E E T C ，由约束方程∶ ，可得
299
)tr()(E E
E F E ??=??=C C C
∶ 记不确定应力为
)(
')2(E
T ??=C
q 式中q 为任意标量，则有0')2(=E T ∶
，从而 )(
)()2()2(E
E T T ??+=C q )2()2()(T E T 是应力的响应函数。
7-8 如果有N 个独立的内部约束
N C r ，，，， 21r 0)(==F
试推导
∑=??+=N
r T
r r C q 1
)(
)(F
F ∏∏ 式中)(F ∏是没有内部约束的物质的响应函数。
证明，如果材料在参考构形内有两个不可伸缩的方向21L L 和，Cauchy 应力
T 可表示成
222111)(FL FL FL FL F T T ?+?+=q q
指出可实现非零变形的内部约束的最大个数是多少。 解 由题给的约束方程，可得
N r C C T r r ，，，，∶ 210])tr[(==??=??F F
F F 令'r ∏为对应于0)(=F r C 的不确定应力，则有
N r C q T r r
T r ，，，， 210])(tr[)tr('==??=F F
F ∏
于是
T
r N
r r C q )(
)(1
F
F ??+=∑=∏∏
300
设材料在21L L 和两个方向上不可伸缩，则约束方程为：
1))((1))((22221121====FL FL FL FL λλ，
或
1,201))(()(==-=r C r r r ，FL FL F
于是
21)(2，，=?=??r C T r r r
FL L F
∏的非确定应力为
)(2)(2''222111FL L FL L ?+?=q q ∏
Cauchy 应力T 的表达式为(参阅习题7-6)
∑=?+?+=??+=2
122211122)()(
)(r T
r r q q C q FL FL FL FL F T F
F F T T 已知V U VR RU F 或，其中变形张量
==各有6个独立的分量；因此，当材料的独立的内部约束大于或等于6个时，就不能实现实际的变形。所以可实现非零变形的独立约束不能多于5个。
7-9 证明不可压缩弹性固体要实现非零的平面变形，至多只能存在一个(面内的)可伸缩的方向。并证明，如果存在这样一个不可伸缩的方向时，变形必然是简单剪切。如果材料是各向同性的，面内的Cauchy 应力分量可写作
)
2()1()31()1('22112221224222111γγψγψγψψγγψγψ++=+++-=++++++-=T p T p p T
解 (1) 平面变形只有三个独立的变形分量，要实现非零平面变形至多只能有2个内部约束；不可压缩是1个内部约束，于是至多只能有1个(面内的)不可伸缩方向。
(2) 平面变形、等容变形及在一个方向不可伸缩是简单剪切的三特点或三要素。设不可伸缩方向(即剪切方向)是1e ，变形平面是)(21e e ，平面，则简单剪切的变形梯度的分量矩阵为
301
110001001][311==??
??
?
?????=λγ，，e Fe F γ为剪切量。
(3) 本题给出的内部约束有两个，其约束方程分别为
1))(()(01det )(1121=-==-=Fe Fe F F F C C
于是，Cauchy 应力表述的本构方程为(参阅上题并参照习题7-6)
4
22
111114221')()('V
V e e I Fe Fe V V I T ψψψψ++?+-=?+++-=p p p p (a)
式中
???
??
???
?
?+==-1000101]][[][2
12γ
γ
γF F V (b) ???
?
?
???
?
?+++++++==10
001)1(0)1()1(]][[][2
22222224γγ
γγγ
γγγγV V V (c) 以上都是相对于基)(i e 的分量矩阵。将式(a)写成分量矩阵，并将式(b)、(c)代入，可以得到(只写出面内的应力分量)
??
????++++++???
???++??????+????
?
?????-=??????22
2422212212121112231110001'100010001γγγγγγγψγγγψp p T T T T
证毕。
7-10 )()()(3
1
i i i i i i u u u U U 是主伸长比，，可表示成λλ?=∑=是Lagrange 主
302
轴。证明 (1)
i i i i
，对)()(u u U
?=??λ不求和； (2) 设U 是、、321I I I 的主不变量，则有
133121-=??-=??=??U U
U I U I U I I I I
I ，， 解 (1) U 是i λ的主值，因此有
)()
()(不求和，下同。对i i i i Uu u =λ
取基，)(L E 则上式可写成
L i i L i M LM i L i u u U u E u )()
()()(==，λ
LM i U 对λ的导数为
JK i i K i J i M MK LJ i L JK i u u u u U )()()()()(U
??===??λδδλ 于是
)()()
()(i i K J i K i J i u u u u E E U
?=?=??λ 注意)()
(i L i L u u =E (参见习题2-39)。
(2) 先计算321tr tr tr U U
U U U U ??
????，，，由于ii U =U tr ，于是 I U
U U U =??==??=??)
tr ())tr ((
或者，jk ik ij jk ii jk U U δδδ 注意到ki jk ij ji ij U U U U U ==32tr tr U U ，，可类似地求出
223233)tr (22)tr (U U U
U U U U U ==??==??T T
， 又已知
U U tr )(1=I
第七章三角形 【知识要点】 一．认识三角形 1．关于三角形的概念及其按角的分类 定义：由不在同一直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 2．三角形的分类： ①三角形按内角的大小分为三类：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形。 ②三角形按边分为两类：等腰三角形和不等边三角形。 2．关于三角形三条边的关系（判断三条线段能否构成三角形的方法、比较线段的长短） 根据公理“两点之间，线段最短”可得： 三角形任意两边之和大于第三边。 三角形任意两边之差小于第三边。 3．与三角形有关的线段 ．．：三角形的角平分线、中线和高 三角形的角平分线：三角形的一个角的平分线与对边相交形成的线段； 三角形的中线：连接三角形的一个顶点与对边中点的线段，三角形任意一条中线将三角形分成面积相等的两个部分； 三角形的高：过三角形的一个顶点做对边的垂线，这条垂线段叫做三角形的高。 注意：①三角形的角平分线、中线和高都是线段，不是直线，也不是射线； ②任意一个三角形都有三条角平分线，三条中线和三条高； ③任意一个三角形的三条角平分线、三条中线都在三角形的内部。但三角形的高却有不同的位置：锐角三角形的三条高都在三角形的内部；直角三角形有一条高在三角形的内部，另两条高恰好是它两条直角边；钝角三角形一条高在三角形的内部，另两条高在三角形的外部。 ④一个三角形中，三条中线交于一点，三条角平分线交于一点，三条高所在的直线交于一点。（三角形的三条高（或三条高所在的直线）交与一点，锐角三角形高的交点在三角形的内部，直角三角形高的交点是直角顶点，钝角三角形高（所在的直线）的交点在三角形的外部。） 4．三角形的内角与外角 （1）三角形的内角和：180° 引申：①直角三角形的两个锐角互余； ②一个三角形中至多有一个直角或一个钝角； ③一个三角中至少有两个内角是锐角。 （2）三角形的外角和：360° （3）三角形外角的性质： ①三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和；——常用来求角度 ②三角形的一个外角大于任何一个与它不相邻的内角。——常用来比较角的大小 5.多边形的内角与外角 多边形的内角和与外角和（识记）
习题七 一、用适当内容填空 1. 数据库技术是【数据处理】的核心和基础；数据库以【文件】形式存储在计算机系统中，主要由【数据库表】构成，此外，还包含索引、【表之间关系】、数据有效性规则和【安全控制规则】等信息。数据库表必须是【二维】表，是一种【结构化】、【有数据类型】的表格。 2. 计算机数据管理技术主要有【人工管理】、【文件系统】、【数据库系统】和【分布式数据库系统】四个阶段，【人工管理】阶段数据不能共享，【分布式数据库系统】阶段并行访问数据效率最高，【人工管理】阶段处理数据量最小，集中式数据库管理是指【数据库系统】阶段。 3.数据库系统的英文简称为【 DBS 】，它由计算机硬件、软件和相关【人员】组成，计算机硬件搭建了系统运行和存储【数据库】的硬件环境；【软件】除用于管理、控制和分配计算机资源外，还用于建立、管理、维护和使用【数据库】。软件主要包括【数据库】、操作系统和【数据库管理系统】。 4.在DBMS中，通过【数据定义语言或DLL 】语言建立数据库中的表、视图和索引；用【数据操纵语言或DML】语言进行数据插入、修改和删除操作；用【数据查询语言或DQL】语言进行数据查询。 5.从用户角度来看，事务是完成某一任务的【操作】集合。多个事务并发更新数据容易引起数据【不一致性】问题。实现数据项互斥访问要求的常用方法是锁定数据项，常见的数据共享锁定方式是【共享型锁】和【排它型锁】。 6.在现实世界到数据世界的转化过程中，中间要经历【信息】世界；人们用【概念模型】描述信息世界中的对象及其关系，用【实体】表示事物，用【属性】表示事物的特征；用【数据模型】描述数据世界中的对象及其关系，用【一行数据或一条记录】表示事物，用【数据项、列或字段】表示事物的特征。 7.在数据安全性控制方面，DBMS所采取的措施有【用户标识和密码鉴定】、【用户分级授权】和【数据加密】。 8.在数据模型中，除了描述实体本身以外，还要对【实体间联系】进行描述；实体之间存在【一对一】、【一对多】和【多对多】三种联系；对于学生实体而言，―姓名‖是【属性】，―李明‖是【值】。 9.在数据模型中，常见的数据模型有【层次数据模型】、【网状数据模型】、【关系数据模型】和【面向对象数据模型】，基本层次数据模型用于描述【两个】实体（型），数据库管理系统的类型由它支持的【数据模型】决定。可能有多个根结点，每个非根结点可能有多个父结点，这是【网状】数据模型；有且仅有一个根结点，而每
四、计算题 1某虚拟存储器的用户编程空间共32个页面，每页为1KB,内存为16KBo假定某时刻一用户页表中已调入内存的页面的页号和物理块号的对照表如下： 则逻辑地址0A5C（H）所对应的物理地址是什么？要求：写出主要计算过程。 1. 解：页式存储管理的逻辑地址分为两部分：页号和页内地址。由已知条件用户编程空间共32个页面”可知页号部分占5位；由每页为1KB” 1K=210,可知内页地址占10位。由内存为16KB'，可知有16块，块号为4位。 逻辑地址0A5C（ H）所对应的二进制表示形式是：000 1010 0101 1100 ，根据上面的 分析，下划线部分为页内地址，编码000 10 ”为页号，表示该逻辑地址对应的页号为2o 查页表，得到物理块号是11（十进制），即物理块地址为：10 11,拼接块内地址10 0101 1100, 得10 1110 0101 1100 ，即2E5C（ H）o 2、对于如下的页面访问序列： 1, 2 , 3 , 4 , 1 , 2 , 5 , 1 , 2 , 3 , 4 , 5 当内存块数量为3时，试问：使用FIFO、LRU置换算法产生的缺页中断是多少？写出依次产生缺页中断后应淘汰的页。（所有内存开始时都是空的，凡第一次用到的页面都产生一 次缺页中断。要求写出计算步骤。） 2. 解： 采用先进先出（FIFO ）调度算法，页面调度过程如下： 共产生缺页中断9次。依次淘汰的页是1、2、3、4、1、2 共产生缺页中断10次。依次淘汰的页是1、2、3、4、5、1、2o 3、下表给出了某系统中的空闲分区表，系统采用可变式分区存储管理策略。现有以下作业序列：96K、 20K、200K o若用首次适应算法和最佳适应算法来处理这些作业序列，试问哪一种算法可以满足该作业序列的请求，为什么？ 空闲分区表
第7章 习题解答 7.1 (1),(2),(3),(5)都能构成无向图的度数列,其中除(5)外又都能构成无向简单图的度数列. 分析 1° 非负整数列n d d d ,,,21 能构成无向图的度数列当且仅当∑=n i di 1为 偶数,即n d d d ,,,21 中的奇数为偶数个.（1）,(2),(3),(5)中分别有4个,0个,4个,4个奇数,所以,它们都能构成无向图的度数列,当然,所对应的无向图很可能是非简单图.而(4)中有3个奇数,因而它不能构成无向图度数列.否则就违背了握手定理的推论. 2°(5) 虽然能构成无向图的度数列,但不能构成无向简单度数列.否则,若存在无向简单图G,以1,3,3,3为度数列,不妨设G 中顶点为4321,,,v v v v ,且 1)(=i v d ,于是.3)()()(432===v d v d v d 而1v 只能与432,,v v v 之一相邻,设1v 与2v 相邻,这样一来,除2v 能达到3度外, 43,v v 都达不到3度,这是矛盾的. 在图7.5所示的4个图中,(1) 以1为度数列,(2)以2为度数列,(3)以3为度数列,(4)以4为度数列(非简单图). 7.2 设有几简单图D 以2,2,3,3为度数列,对应的顶点分别为4321,,,v v v v ,由于),()()(_v d v d v d +=+所示,)()()(,202)()(22211v d v d v d v d v d -+-+-==-=- 033)()()(,123)()()(,202444333=-=-==-=-==-=-+-+v d v d v d v d v d v d
第五章 相交线与平行线 知识结构图： 1. 两直线相交所成的四个角中，有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为_____________. 2. 两直线相交所成的四个角中，有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为-__________.对顶角的性质：______ _________. 3. 两直线相交所成的四个角中，如果有一个角是直角，那么就称这两条直线相互_______.垂线的性质：⑴过一点______________一条直线与已知直线垂直.⑵连接直线外一点与直线上各点的所在线段中，_______________. 4. 直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做________________________. 5. 两条直线被第三条直线所截，构成八个角，在那些没有公共顶点的角中，⑴如果两个角分别在两条直线的同一方，并且都在第三条直线的同侧，具有这种关系的一对角叫做___________ ；⑵如果两个角都在两直线之间，并且分别在第三条直线的两侧，具有这种关系的一对角叫做____________ ；⑶如果两个角都在两直线之间，但它们在第三条直线的同一旁，具有这种关系的一对角叫做_______________. 6. 在同一平面内，不相交的两条直线互相___________.同一平面内的两条直线的位置关系只有________与_________两种. 7. 平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线______. 推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么_____________________. 8. 平行线的判定：⑴两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.简单说成： ___________________________. 9. ⑵两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. ⑶两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.简单说成：___________________________. 10. 在同一平面内，如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线_______ . 11. 平行线的性质：⑴两条平行直线被第三条直线所截，同位角相等.简单说成： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿.⑵两条平行直 线被第三条直线所截，内错角相等.简单说成：__________________________________.⑶两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.简单说成：____________________________________ . 12. 判断一件事情的语句，叫做_______.命题由________和_________两部分组成.题设是已知事项，结论是______________________.命题 常可以写成“如果……那么……”的形式，这时“如果”后接的部分是＿＿＿＿＿，“那么”后接的部分是_________.如果题设成立，那么结论一定成立.像这样的命题叫做___________.如果题设成立时，不能保证结论一定成立，像这样的命题叫做___________.定理都4132 b a 3 2 1 同位角、内错角、同旁内角 点到直线的距离 垂线段及性质 垂线及性质 邻补角、对顶角及性质 平移的两个特征 平行公理、三个性质一个结论、三个判定方法平移 性质判定两条直线被第三条直线所截 两条直线相交 平行线 相交线 第五章
习题四 3、何谓静态链接？何谓装入时动态链接和运行时的动态链接？ 答：(1) 静态链接。在程序运行之前，先将各目标模块及它们所需的库函数，链接成一个完整的装配模块，以后不再拆开。我们把这种事先进行链接的方式称为静态链接方式。 (2) 装入时动态链接。这是指将用户源程序编译后所得到的一组目标模块，在装入内存时，采用边装入边链接的链接方式。 (3) 运行时动态链接。这是指对某些目标模块的链接，是在程序执行中需要该(目标)模块时，才对它进行的链接。 6、为什么要引入动态重定位？如何实现？ 答：（1）在连续分配方式中，必须把一个系统或用户程序装入一连续的内存空间。如果在系统中只有若干个小的分区，即使它们容量的总和大于要装入的程序，但由于这些分区不相邻接，也无法把该程序装入内存。这种不能被利用的小分区称为“零头”或“碎片”。为了消除零头所以要引入动态重定位。 （2）在动态运行时装入的方式中，作业装入内存后的所有地址都仍然是相对地址，将相对地址转换为物理地址的工作，被推迟到程序指令要真正执行时进行。为使地址的转换不会影响到指令的执行速度，必须有硬件地址变换机构的支持，即须在系统中增设一个重定位寄存器，用它来存放程序(数据)在内存中的起始地址。程序在执行时，真正访问的内存地址是相对地址与重定位寄存器中的地址相加而形成的。地址变换过程是在程序执行期间，随着对每条指令或数据的访问自动进行的，故称为动态重定位。 14、较详细地说明引入分段存储管理是为了满足用户哪几方面的需要。 答：1) 方便编程 通常，用户把自己的作业按照逻辑关系划分为若干个段，每个段都是从0 开始编址，并有自己的名字和长度。因此，希望要访问的逻辑地址是由段名(段号)和段内偏移量(段内地址)决定的。
第七章 微分方程 例7 有高为1米的半球形容器，水从它的底部小孔流出，小孔横截面积为1平方厘米. 开始时容器内盛满了水, 求水从小孔流出过程中容器里水面的高度h (水面与孔口中心间的距离)随时间t 的变化规律. 解 由力学知识得，水从孔口流出的流量为 62.0dt dV Q ?=＝ 孔口截面面积 重力加速度 ,12cm S = .262.0dt gh dV =∴ ① 设在微小的时间间隔],,[t t t ?+水面的高度由h 降至,h h ?+则,2dh r dV π-= ,200)100(100222h h h r -=--= .)200(2dh h h dV --=∴π ② 比较①和②得: ,262.0)200(2dt gh dh h h =--π 即为未知函数得微分方程. ,)200(262.03dh h h g dt --- =π ,1000==t h ,1015 14 262.05?? = ∴g C π 所求规律为 ).310107(265.45335h h g t +-?= π 例10 求解微分方程 .2222xy y dy y xy x dx -=+- 解 原方程变形为=+--=222 2y xy x xy y dx dy ,1222 ? ?? ??+--??? ??x y x y x y x y 令,x y u =则,dx du x u dx dy +=方程化为,1222u u u u dx du x u +--=+ 分离变量得? ? ????-+--??? ??--112212121u u u u ,x dx du = 两边积分得 ,ln ln ln 2 1 )2ln(23)1ln(C x u u u +=----
第7章继承 习题7 7.1 选择题 1．在c++中，类之间的继承关系具有( c )。 (a) 自反性 (b) 对称性 (c) 传递性 (d) 反对称性 2．下列关于类的继承描述中，( d )是正确的。 (a) 派生类公有继承基类时，可以访问基类的所有数据成员，调用所有成员函数 (b) 派生类也是基类，所以它们是等价的 (c) 派生类对象不会建立基类的私有数据成员，所以不能访问基类的私有数据成员 (d) 一个基类可以有多个派生类，一个派生类可以有多个基类 3．当一个派生类公有继承一个基类时，基类中的所有公有成员成为派生类的( a )。 (a) public成员(b)private成员(c) protected成员(d)友员 4．当一个派生类私有继承一个基类时，基类中的所有公有成员和保护成员成为派生类的( b )。 (a) public成员(b)private成员(c) protected成员(d)友员 5．当一个派生类保护继承一个基类时，基类中的所有公有成员和保护成员成为派生类的( c )。 (a) public成员(b)private成员(c) protected成员(d)友员 6．不论派生类以何种方式继承基类，都不能直接使用基类的( b )。 (a) public 成员(b)private成员 (c) protected成员(d)public 成员和protected成员 7．下面描述中，错误的是( d )。 (a) 在基类定义的public成员在公有继承的派生类中可见，也能在类外被访问 (b) 在基类定义的protected成员在私有继承的派生类中可见 (c) 在基类定义的静态成员在私有继承的派生类中可见 (d) 访问声明可以在公有继承派生类中把基类的public成员声明为private成员 8．在c++中，可以被派生类继承的函数是( a )。 (a) 成员函数(b)构造函数(c) 析构函数(d)友员函数 9．在创建派生类对象时，构造函数的执行顺序是( d )。 (a) 对象成员构造函数、基类构造函数、派生类本身的构造函数 (b) 派生类本身的构造函数、基类构造函数、对象成员构造函数 (c) 基类构造函数、派生类本身的构造函数、对象成员构造函数 (d) 基类构造函数、对象成员构造函数、派生类本身的构造函数 10．当不同的类具有相同的间接基类时，有特点( c )。 (a) 各派生类对无法按继承路线产生自己的基类版本 (b) 为了建立惟一的间接基类版本，应该声明间接基类为虚类 (c) 为了建立惟一的间接基类版本，应该声明派生类虚继承基类 (d) 一旦声明虚继承，基类的性质就改变了，不能再定义新的派生类 7.2 阅读下列程序，写出执行结果 1．#include
第七章平面直角坐标系的复习资料 一、本章的主要知识点 （一）有序数对：有顺序的两个数a与b组成的数对。 1、记作（a ，b）； 2、注意：a、b的先后顺序对位置的影响。 （二）平面直角坐标系 1、历史：法国数学家笛卡儿最早引入坐标系，用代数方法研究几何图形； 2、构成坐标系的各种名称； 3、各种特殊点的坐标特点。 （三）坐标方法的简单应用 ； 1、用坐标表示地理位置； 2、用坐标表示平移。 二、特殊位置点的特殊坐标：
六、用坐标表示平移：见下图 ~ 五、经典例题 知识一、坐标系的理解 例1、平面内点的坐标是（ ） A 一个点 B 一个图形 C 一个数 D 一个有序数对 { 坐标不同 同 y ＞0 y ＜0 ) P （x ，y －a ） P （x －a ，y ） P （x ＋a ，y ） P （x ，y ＋a ） 向上平移a 个单位 ~ 向左平移a 个单位
学生自测 1．在平面内要确定一个点的位置，一般需要________个数据； 在空间内要确定一个点的位置，一般需要________个数据． 2、在平面直角坐标系内，下列说法错误的是（ ） A 原点O 不在任何象限内 B 原点O 的坐标是0 C 原点O 既在X 轴上也在Y 轴上 D 原点O 在坐标平面内 知识二、已知坐标系中特殊位置上的点，求点的坐标 ( 点在x 轴上，坐标为（x,0）在x 轴的负半轴上时，x<0, 在x 轴的正半轴上时，x>0 点在y 轴上，坐标为（0,y ）在y 轴的负半轴上时，y<0, 在y 轴的正半轴上时，y>0 第一、三象限角平分线上的点的横纵坐标相同；坐标点（x ，y ）xy>0 第二、 四象限角平分线上的点的横纵坐标相反；坐标点（x ，y ）xy<0 例1 点P 在x 轴上对应的实数是3 ，则点P 的坐标是 ，若点Q 在y 轴上 对应的实数是 3 1 ，则点Q 的坐标是 ， 例2 点P （a -1，2a -9）在x 轴负半轴上，则P 点坐标是 。 学生自测 … 1、点P(m+2,m -1)在y 轴上,则点P 的坐标是 . 2、已知点A （m ，-2），点B （3，m -1），且直线AB ∥x 轴，则m 的值为 。
习题7及其解答 7.1 选择题 1．在下列运算符中，不能重载的是( b )。 (a) ! (b) sizeof (c) new (d) delete 2．下列关于运算符重载的描述中，( d )是正确的。 (a) 可以改变参与运算的操作数个数(b) 可以改变运算符原来的优先级 (c) 可以改变运算符原来的结合性(d) 不能改变原运算符的语义 3．下列函数中，不能重载运算符的函数是( b )。 (a) 成员函数(b) 构造函数(c) 普通函数 (d) 友员函数 4．要求用成员函数重载的运算符是( a )。 (a) = (b) == (c) <= (d) ++ 5．要求用友员函数重载的运算符是( c )。 (a) = (b) [] (c) << (d) () 6．下面关于类型转换的描述中，错误的是( a )。 (a) 任何形式的构造函数都可以实现数据类型转换。 (b) 带非默认参数的构造函数可以把基本类型数据转换成类类型对象。 (c) 类型转换函数可以把类类型对象转换为其他指定类型对象。 (d) 类型转换函数只能定义为一个类的成员函数，不能定义为类的友员函数。 7.2 阅读下列程序，写出执行结果 1． #include
?净现值法的优点是：此法考虑了货币的时间价值和投资风险的影响；能够反映各种投资方案的净收益，是一种较好的方法。 ?净现值法的缺点是：净现值法并不能揭示各个投资方案本身可能达到的实际报酬率是多少，而内含报酬率则弥补了这一缺陷。在互斥项目决策中，没有考虑互斥项目的投资规模差异。 决策规则： ?在评价独立项目时，只要内含报酬率大于或等于公司的资本成本或要求收益率时，投资项目可行，反之，则目不可行。 ?在评价互斥项目时，应选择内含报酬率较高的项目。 内含报酬率法的优点： ?内含报酬率是一种常用且重要的资本预算决策标准，它考虑了资金的时间价值，能正确反映投资项目本身实际能达到的真实报酬率。 内含报酬率法的缺点： ?内含报酬率法的计算比较复杂，特别是每年NCF不相等的投资项目，一般要经过多次测算才能求得，只能借助计算机的使用解决这一问题。 获利指数法的优点： ?考虑了货币的时间价值，能够真实地反映投资项目的盈亏程度； ?由于获利指数是用相对数来表示，所以可以对投资规模不同的互斥项目进行比较。获利指数的缺点： ?该方法无法反映投资项目本身的收益率水平。 ?净现值率法的优缺点： ?优点：可以从动态的角度反映项目投资的资金投入与净产出之间的关系； ?缺点：与净现值指标相似，同样无法直接反映投资项目的实际收益率，而且必须以已知净现值为前提。 年等额净回收额法该法适用于原始投资不相同、特别是项目计算期不同的多方案比较决策。 非折现现金流量方法 1、投资回收期法 回收期法是用投资回收期（ＰＰ）的长短作为评价长期投资项目优劣的一种决策分析方法。 回收期是指投资项目收回全部初始投资所需要的时间，一般以年为单位。回收年限越短，投资越有利。 ?决策原则： 静态投资回收期≤基准投资回收期→具有财务可行性 ?包括建设期的静态投资回收期PP≤n/2（即项目计算期的一半） ?不包括建设期的静态投资回收期PP’≤p/2（即运营期的一半） ?优点：投资回收期法的概念容易理解，计算也比较简便 ?缺点： （1）忽视了货币的时间价值 （2）不能正确反映投资方式的不同对项目的影响 （3）没有考虑回收期满后的现金流量状况。 补充例题：核力公司投资一项8年期的设备项目。购置一台新设备800万元，使用年限为8
操作系统复习题 一、单项选择题：在每小题列出的四个备选项中只有一个是最符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。 1．操作系统的主要功能是管理计算机系统中的（）。【D 】A．程序B．数据 C．文件D．资源 2．产生死锁的基本原因是（）和进程推进顺序非法。【 A 】A．资源分配不当B．系统资源不足 C．作业调度不当D．进程调度不当 3．动态重定位是在作业的（）中进行的。【D 】A．编译过程B．装入过程 C．连接过程D．执行过程 4．存放在磁盘上的文件，（）。【A 】A．既可随机访问又可顺序访问B．只能随机访问 C．只能顺序访问D．只能读写不能访问 5．对于硬盘上存放的信息，物理上读写的最小单位是一个（）。【C 】A．二进制（bit）B．字节(byte) C．物理块D．逻辑记录 6．操作系统中利用信号量和P、V操作，（）。【C 】A．只能实现进程的互斥B．只能实现进程的同步 C．可实现进程的互斥与同步D．可完成进程调度 7．SPOOLing技术可以实现设备的（）。【C 】A．独占B．共享 C．虚拟D．物理 8．在存储管理的各方案中，可扩充主存容量的方案是（）存储管理。【D 】A．固定分区B．可变分区 C．连续D．页式虚拟 9．磁盘是可共享的设备，每一时刻（）进程与它交换信息。【C 】A．允许有两个B．可以有任意多个 C．最多一个D．至少有一个 10．逻辑文件存放到存储介质上时，采用的组织形式是与（）有关。【B 】 ×××××试题答案及评分参考（×）第1页（共×页）
A．逻辑文件结构B．存储介质特性 C．主存管理方式D．分配外设方式 11．在操作系统中，（）是竞争和分配计算机系统资源的基本单位。【B 】A．程序B．进程 C．作业D．线程 12．作业调度的关键在于（）。【C 】A．选择恰当的进程管理程序B．用户作业准备充分 C．选择恰当的作业调度算法D．有一个较好的操作环境 13．文件的保密是指防止文件被（）。【C 】A．篡改B．破坏 C．窃取D．删除 14．系统抖动是指（）。【 D 】A．使用机器时，屏幕闪烁的现象 B．由于主存分配不当，偶然造成主存不够的现象 C．系统盘有问题，致使系统部稳定的现象 D．被调出的页面又立刻被调入所形成的频繁调入调出现象 15．避免死锁的一个著名的算法是（）。【C 】A．先入先出算法 B．优先级算法 C．银行家算法D．资源按序分配法 16．在多进程的并发系统中，肯定不会因竞争（）而产生死锁。【D 】A．打印机B．磁带机 C．磁盘D．CPU 17．用户程序中的输入、输出操作实际是由（）完成。【C 】A．程序设计语言B．编译系统 C．操作系统D．标准库程序 18．在分页存储管理系统中，从页号到物理块的地址映射是通过（）实现的。【B 】A．段表B．页表 C．PCB D．JCB 19．在操作系统中，进程的最基本特征是（）。【A 】A．动态性和并发性B．顺序性和可再现性 C．与程序的对应性D．执行过程的封闭性 20．一种既有利于短小作业又兼顾到长作业的作业调度算法是（）。【C 】A．先来先服务B．轮转 C．最高响应比优先D．均衡调度 ×××××试题答案及评分参考（×）第2页（共×页）
一元一次不等式 典型例题 相关练习 1．不等式基本性质的应用：（比较大小） 已知：b a < (1) 11+<+b a ； (2) c b c a -<-； (3) b a 22<； (4) b a 2 1 21->- ； (5)2323-<-b a ； (6) c b c a +->+-． 注：能说出具体理由． 2．求不等式32-x ≤5的正整数解． 解：求解集为 x ≤4， ∴正整数解为4,3,2,1=x ． 注：不等式的“特殊解”（正整数解、非负整数解…）． 3．如果010<<-
Windows 7练习题及参考答案 一、单项选择题 1.计算机系统中必不可少的软件是 A 。 A)操作系统 B) 语言处理程序 C) 工具软件 D) 数据库管理系统 2.下列说法中正确的是 B 。 A)操作系统是用户和控制对象的接口 B) 操作系统是用户和计算机的接口 C) 操作系统是计算机和控制对象的接口 D) 操作系统是控制对象、计算机和用户的接口 3.操作系统管理的计算机系统资源包括 A 。 A)中央处理器、主存储器、输入/输出设备 B)CPU、输入/输出 C)主机、数据、程序 D) 中央处理器、主存储器、外部设备、程序、数据 4.操作系统的主要功能包括 B 。 A)运算器管理、存储管理、设备管理、处理器管理 B) 文件管理、处理器管理、设备管理、存储管理 C) 文件管理、设备管理、系统管理、存储管理 D) 处理管理、设备管理、程序管理、存储管理 5.在计算机中，文件是存储在 A 。 A)磁盘上的一组相关信息的集合 B)内存中的信息集合 C) 存储介质上一组相关信息的集合 D) 打印纸上的一组相关数据 6.win7目前有几个版本 C 。 A) 3 B) 4 C) 5 D) 6 7.在Windows 7的各个版本中，支持的功能最少的是 A 。 A)家庭普通版 B) 家庭高级版 C) 专业版 D) 旗舰版 8.Windows 7是一种。 A)数据库软件 B) 应用软件 C) 系统软件 D) 中文字处理软件 9．在Windows 7操作系统中，将打开窗口拖动到屏幕顶端，窗口会 C 。 A)关闭 B)消失 C)最大化 D) 最小化 10.在Windows 7操作系统中，显示桌面的快捷键是 B 。 A)“Win”+“D” B) “Win”+“P” C) “Win”+“Tab” D) “Alt”+“Tab” 11.在Windows 7操作系统中，显示3D桌面效果的快捷键是 C 。 A)“Win”+“D” B)“Win”+“P”
第七章力 【考点一】力 1、力 （1）定义：力是物体对物体的作用。 （2）力产生的条件：①必须有两个或两个以上的物体。发生作用的两个物体，一个是施力物体，另一个是受力物体。 ②物体间必须有相互作用（可以不接触）。 理解：①力不能脱离物体而单独存在。发生力的作用时一定有两个或两个以上的物体，单独一个物体不能产生力的作用。 ②不接触的物体也能产生力的作用，比如重力、磁极间、电荷间的相互作用力等；若两个物体之间相互接触，但是没有相互推、拉、提、压等作用也不会产生力，如放在墙角、紧贴墙面的书桌与墙面之间虽然相互接触，却没有力的作用。 （3）力的单位：在物理学中，力用符号 F 表示。国际单位制中，力的单位是牛顿，简称牛，符号是 N 。 （4）常见力的估测：托起两个鸡蛋所用的力大约是1N.一瓶矿泉水的重力约为50N。一个中学生的重力大约500N。 2、力的作用效果： (1)力可以改变物体的形状，使物体发生形变。 (2)力可以改变物体的运动状态。 （注：1．从静止变为运动或从运动变为静止； 2. 运动快慢（速度大小）的变化； 3．运动方向的变化；以上三种情况都叫做物体的“运动状态”发生了变化。） 3、力的三要素和力的示意图 (1)力的三要素：力的大小、方向、作用点叫做力的三要素。改变其中的任意一个都会影响力的作用效果。 (2)用力的示意图可以把力的三要素表示出来。 (3)作力的示意图的要领： ①确定受力物体、力的作用点和力的方向； ②从力的作用点沿力的方向画力的作用线， 用箭头表示力的方向； ③力的作用点可用线段的起点，也可用线段 的终点来表示； ④表示力的方向的箭头，必须画在线段的末 端。 4、力的性质：物体间力的作用是相互的，（相 互作用力在任何情况下都是大小相等，方向 相反，作用在不同物体上）。两物体相互作用时，施力物体同时也是受力物体，反之，受力物体同时也是施力物体。比如甲、乙两个物体间产生了力的作用，那么甲对乙施加一个力的同时，乙也对甲施加了一个力。 由此我们认识到：①力总是成对出现的；
第3章（大本）习题解答 一、填空 1．将作业相对地址空间的相对地址转换成内存中的绝对地址的过程称为 地址重定位 。 2．使用覆盖与对换技术的主要目的是 提高内存的利用率 。 3．存储管理中，对存储空间的浪费是以 内部碎片 和 外部碎片 两种形式表现出来的。 4．地址重定位可分为 静态重定位 和 动态重定位 两种。 5．在可变分区存储管理中采用最佳适应算法时，最好按 尺寸 法来组织空闲分区链表。 6．在分页式存储管理的页表里，主要应该包含 页号 和 块号 两个信息。 7．静态重定位在程序 装入 时进行，动态重定位在程序 执行 时进行。 8．在分页式存储管理中，如果页面置换算法选择不当，则会使系统出现 抖动 现象。 9．在请求分页式存储管理中采用先进先出（FIFO ）页面淘汰算法时，增加分配给作业的块数时， 缺页中断 的次数有可能会增加。 10．在请求分页式存储管理中，页面淘汰是由于 缺页 引起的。 11．在段页式存储管理中，每个用户作业有一个 段 表，每段都有一个 页 表。 二、选择 1．虚拟存储器的最大容量是由 B 决定的。 A ．内、外存容量之和 B ．计算机系统的地址结构 C ．作业的相对地址空间 D ．作业的绝对地址空间 2．采用先进先出页面淘汰算法的系统中，一进程在内存占3块（开始为空），页面访问序列为1、2、3、4、1、2、5、1、2、3、4、5、6。运行时会产生 D 次缺页中断。 A ．7 B ．8 C ．9 D ．10 从图3-1中的“缺页计数”栏里可以看出应该选择D 。 1 2 3 4 1 2 5 1 2 3 4 5 6 页面走向→ 3个内存块→缺页计数→ 图3-1 选择题2配图 3．系统出现“抖动”现象的主要原因是由于 A 引起的。 A ．置换算法选择不当 B ．交换的信息量太大 C ．内存容量不足 D ．采用页式存储管理策略 4．实现虚拟存储器的目的是 D 。 A ．进行存储保护 B ．允许程序浮动 C ．允许程序移动 D ．扩充主存容量
习 题 7-1为什么一般矩形波导测量线的槽开在波导宽壁的中线上？ 答：因为矩形波导一般工作于10TE 模，由10TE 模的管壁电流知，在矩形波导宽壁中线处只有纵向电流，因此沿波导宽壁的中线开槽不会切断高频电流的通路，不会破坏波导内的场结构，也不会引起波导内的电磁波向外辐射能量。 7-2 推导矩形波导中mn TE 波的场量表达式。 7-3 已知空气填充的矩形波导截面尺寸为2 1023mm b a ?=?，求工作波长mm 20=λ时， 波导中能传输哪些模式？mm 30=λ时呢？ 解：矩形波导的截止波长2 2 c 2?? ? ??+??? ??= b n a m πππλ 当0,1==n m 时，mm a C 462==λ， 1,0==n m 时，mm b C 202==λ， 0,2==n m 时，mm a C 23==λ， 1,1==n m 时，mm b a 34.181******** 2 2 2 c =?? ? ??+??? ??= ?? ? ??+??? ??= πππλ 满足电磁波在波导中传播条件c λλ<的模式有10TE 、01TE ；当mm 30=λ时，只能传输10TE 模。 7-4 已知空气填充的矩形波导截面尺寸为248cm b a ?=?，当工作频率GHz 5=f 时，求波 导中能传输哪些模式？若波导中填充介质，传输模式有无变化？为什么？ 解： cm f C 610 5103910 =??==λ， 矩形波导的截止波长2 2 c 2?? ? ??+??? ??= b n a m πππλ， 当0,1==n m 时，cm a C 162==λ，
1,0==n m 时，cm b C 82==λ， 0,2==n m 时，cm a C 8==λ， 2,0==n m 时，cm b C 4==λ 1,1==n m 时，mm b a 15.74181222 2 2 2 c =?? ? ??+??? ??= ?? ? ??+??? ??= πππλ 满足电磁波在波导中传播条件c λλ<的模式有10TE 、01TE 、20TE 、11TE 、11TM ； 若波导中填充介质，工作波长变短，所以传输模式增多。 7-5 已知矩形波导的尺寸为 b a ?，若在0≥z 区域中填充相对介电常数为r ε的理想介质， 在0