二元一次方程组复习课教学设计1
1、了解二元一次方程(组)的相关概念，会解简单的二元一次方程组。
2、了解解二元一次方程组的“消元”思想，体会“化归思想”。
3、体会一次函数与二元一次方程（组）的关系。
4、能列出二元一次方程组解决简单的问题，并能检验解得合理性。
5、体会方程的“模型思想”，养成良好的数学应用意识。
教学过程：
一、目标解读,知识梳理
师：同学们，今天这节课，我们一起来复习研究二元一次方程组及其解法这一章的内容。昨天我请大家把二元一次方程组这部分知识进行归类、整理。同学们完成的都很认真，各具特色，尤其是嘉兰和王赛同学的梳理很有代表性。首先请这两位同学从不同角度出发展示一下她们的成果。
两位同学从不同的角度对本章知识进行了归类整理，都很不错。但比较而言，王赛同学的梳理把握住了这章知识的整体结构，她对每一种情况还举例给予了说明，理解得更加深刻。两位同学的都不错!大家以后再进行整理总结时要向她们学习。这里，我也对这一章的知识进行了归纳整理，现在大家可以看一看。（用多媒体展示）
二、错例辨析，反思内化
三、合作探究，形成技能
师：现在我们来看下面的一个例子：
解方程组：
大家先自己求解，要求尽量用多种解法，得出解答后先在学习小组内交流，比较那种解法好，然后各组推出最好的解法在全班交流。
评：利用小组学习的形式，给每个学生提供更多合作交流的机会，使面向全体得到了真正的落实。
（学生解题，小组内交流、讨论，教师巡视、指导）
师：我看大家都已得出了该题的解答，有些组还得出了老师都还未想到得好解法，现在请各组展示你们的优秀成果。在展示时要求要与别人的解法不相同。
生3（一组）：我们是先用去分母把方程组化简整理后用加减消元法求得解答的。
生4（三组）：我们把化简整理后用的是代入消元法求得解答的；
生5（四组）：我们用的是换元法。令x+y=m, x-y=n, 然后求解；
生6（二组）：我们没有直接换元，而是把和看成一个整体，通过心算就可得到，=2。由此得，再通过心算即得方程组的解为。（全班自发地鼓掌）
师：太棒了！还有没有其他解法？
（学生都积极进入思考）
生7（三组）：把原方程组化简后用图像法解。
生8（四组）：换元后用图像法解。
评：生8的发言显然是受到了生7的启发。学生之间的相互交流、讨论，进行思维的相互碰闯，可进一步激发思维的灵感、创造的火花，不断产生“好念头”。因此，开展交流讨论是培养学生创新思维能力的一条有效策略。
师：同学的发言很好，把老师想要讲的都说了。现在大家对四个组得出的四种不同解法进行一个评价，看那个组的解法最好。
评：把评价纳入学生的学习过程之中，用评价来激发学生的学习兴趣，从而使评价成为促进学生主动学习的一部分。同时通过对几种不同解法优劣的比较和鉴
别，可培养学生思维的批判性和养成解题后反思的良好习惯。
生8（五组）：我认为，一组和三组的解法很好，因为，这是解二元一次方程组的常用方法。我们组也都是用的这两种解法。
生9（六组）：我认为，四组的解法更好。虽然一组和三组的解法是常用的解法，但计算较繁。四组的解法通过换元，使形式更简单了，便于计算，且不易出错。
生10（一组）：虽然换元后形式要简单一些，但要解两次方程组，增加了解方程组的次数，并不一定就简单！
生6：我认为，我们组的解法最简单、最好。我们在解该题时，根据该题的特点，利用了换元的想法但没有换元，而是把和看成一个整体进行求解，整个解的过程基本上没有动笔就得出了答案，并且不易出错。
生5：我也认为二组的解法比我们组的好。
生11:我赞同生6的意见。我还想说一点。本题除了最好的解法以外，我认为，本题用图像法解是最不好的解法。因为，当你画好图像时，我已经解出答案了。用图像法解不但费时而且由于画的图像如果不准确得出的解还只是一个近似解而不是准确值。
师：同学们分析得很好。通过比较、分析，大家是否都认为第二组的解法最好？生众: 第二组的解法最好！
师：我赞同大家的意见。其实，各组的解法有各自的特点，他们分别是从不同的角度思考进行的。第二组同学的解法是在认真审题、仔细观察题目特征的基础上，运用了两种数学思想方法从而快速、准确地得出了问题的解答。这两种数学思想方法是“换元的思想”和“整体的思想”。第二组同学的解答给我们一个很好的启示：在解题时，一定要认真审题，仔细观察题目的特征，灵活选用解题的方法，并恰当的运用数学思想方法来指导解题，可提高我们的解题效率。若长期这样进行下去，可形成良好的数学思维策略，迅速提高解题能力。
四、思维碰撞，应用反馈
评：教师是学生学习、探究活动的组织者和引导者。此处教师从培养学生探索
创新能力和促进学生发展的角度出发又从反面提出问题，引导学生又积极的投入到探索、研究之中。
（学生进行积极的思考、探究，教师在学生之间巡回指导。时儿作为顾问回答学生提出的问题；时儿给予学生必要的指导；时儿参与学生的讨论、交流）。
生12; 何老师，我认为解为的方程组除例1外还有:
师：是否只有这两个方程组？
生12：不是，还有很多个？
生13：我也有新题：
师：她是利用非负数的性质以填空题的形式编制的习题，很好！（把题写在黑板上）还有其它形式的吗？
生14：有！我编了一道求值题：
师：好！这位同学是把同类项的概念与解方程组融为一体编制的，很有新意。（把题写在黑板上）
生15：我编制了一道选择题：
师：很好！与众不同。（把题写在黑板上）
生16：我还有一道题：
是否存在整数m、n 同时使关于x,y的方程组和的解都为。如果有，请求出的m、n值，如果没有请说明理由。
师：他出的是一道探索性问题，很有创意。（掌声）这种题型是近几年中考试题中经常遇到的一种题型，它对考察同学们的探究能力十分有利，因此，大家要注意这种题型的解法和作用。（把题写在黑板上）
以上大家都是着眼于解为而编制的习题，有没有利用例1 的方程组来解决编制的习题呢？可以上黑板板书和讲解。
生6：有！我编了一道文字题。（上黑板板书习题）
有一个两位数，它十位上的数字与个位上的数字和的一半加上十位上的数字与个位上的数字差的等于7；它十位上的数字与个位上的数字和的一半减去十位上的数字与个位上的数字差的等于3；求这个两位数。
如果分别设十位上的数字为x，个位上的数字为y，得到的方程组就是例1的方程组。所以，这个两位数是82 。
生17：我编了一道应用题（上黑板板书习题）:
一个笼子里有一些鸡和鸭。已知鸡的总数和鸭的总数的和的与鸡的总数和鸭的
总数的差的相差3只；鸡的总数和鸭的总数的和的与鸡的总数和鸭的总数的差的一共刚好7只，问：这个笼子里的鸡和鸭各有多少只？
生18：我所编得题不是利用例1的方程组来解，但仍然是用二元一次方程组来解的。（上黑板板书习题）:
有一个运输队承包了一家公司运送货物的业务。第一次运送18吨时派了一辆大卡车和5辆小卡车，第二次运送30吨时派了一辆大卡车和11辆小卡车，并且两次所派的车都刚好装满。问：两种车型的载重量各是多少？
师：这位同学没有局限于我们提出的问题，而是作了进一步的拓展。思路开阔，并且所编的问题，语言表述清楚，思维严谨，很不错！（掌声）
师：同学们今天思路开阔，思维活跃，充分发挥和展示了你们的聪明才智。你们编制的许多问题，老师课前都没有想到，很了不起！我今后还要向同学们学习。
由于时间关系，有许多同学的成果还没有得到展示，因此，今天的作业就是每个同学自己编五道形式不同而要用到二元一次方程组来解的习题，编好后写出它的解答过程，看谁编的好。同时总结这一章的主要题型和解题规律，自己在学习这一章时的心得体会或者自己的新发现。
评：时时反思总结，是提高学生数学学习效率，增强自律学习的有效策略。而且数学的学习并不是仅仅做几道数学题，而是要通过数学的学习提高学生的各种能力，促进学生的发展。这里教师的作业布置，不是随便点几道习题让学生做，而是通过让学生编题、解答和总结，既注重了知识与技能的训练，又注重了的学生发散思维能力、创造思维能力和反思总结能力的培养。良好的数学学习习惯和方法的养成以及数学情感、态度和价值观的形成是在学生数学习的过程中逐渐完成的！
五、归纳总结，达标检测
回顾本节知识，畅谈收获体会。
含参数的二元一次方程组的解法攻略 教学目标：①会解含参数的二元一次方程组②能利用换元法解决一些复杂的二元一次方程。 教学重点：含参数的二元一次方程组的解法 教学难点：换元法 教学过程： 一．基础练习引入 课本中的联系，复习二元一次方程组的两种解法。 二．例题讲解 例1：已知方程组 3 2342-=-+=-x y m y x 解x 、y 互为相反数，求m 的值。 思路分析： 方程组是含参数m 的方程组。如果把m 理解成未知数，那么相当于方程组中含有三个未知数，那基本思路是消元，有两种种方法：消x ，消y 。如果观察方程组中两条式子，可以发现两条式子一加，就可会出现y x +。如果把方程组中的m 理解成是常数，可以先求出含参数的解x 、y ，最后再寻找x 与y 之间的关系。 解法一：消x 解法二：消y 解法三：观察法 （此题中可直接用两式子相加） 解法四：组合法 （x 与y 互为相反数?y x +=0，再将y x +=0与32-=-x y 组成方程组求解） 解法五：直接求解法。 （用含m 的代数式表示x 与y ，再利用“x 与y 互为相反数?y x +=0”，求出m ） 练习配备： ①已知方程组 3 2342-=-+=-x y m y mx 解x 、y 互为相反数，求m 的值。 思路分析：选用哪种解法最简便？解法四：组合法。 ②若关于x 、y 的二元一次方程组 k y x k y x 95=-=+的解也是二元一次方程632=+y x 的解， 求k 的值。 思路分析：此题中方程具有的特点，选用解法五：直接求解法，会比较简单。 小结：对于不同类型的含参数方程，根据方程特点，选择最优解法。 三．例题拓展
二元一次方程组 知识点整理 一、本章知识点梳理： 知识点1：二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义 知识点3：二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组） 知识点5：实际问题与二元一次方程组 二、各知识点分类讲解 知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念 含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1. (3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程） 2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。 即若ax m +by n =c 是二元一次方程，则a ≠0，b ≠0且m=1,n=1 例1：已知（a －2）x －by |a|－1 ＝5是关于x 、y 的二元一次方程，则a ＝______，b ＝_____． 例2：下列方程为二元一次方程的有_________ ①y x =-52，②14=-x ，③2=xy ，④3=+y x ，⑤22 =-y x ，⑥22=-+y x xy ，⑦71 =+y x ⑧y x 23+，⑨1=++c b a 【巩固练习】 下列方程中是二元一次方程的是（ ） A ．3x-y 2=0 B ． 2x +1y =1 C ．3x -5 2 y=6 D ．4xy=3 2、二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组 注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。 例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（ ） A 、2284 23119 (237) 54624 x y x y a b x B C D x y b c y x x y +=+=-=??=??? ? ? ?+=-==-=????
含参数的二元一次方程组 1．在等式y kx b =+中，当6x =时，2y =；当3x =时，3y =．求当3x =-时，y 的值． 2．已知关于x 、y 的方程组37x y ax b y -=??+=?和28 x by a x y +=??+=?的解相同，求a 、b 的值． 3．若关于x ，y 的二元一次方程组38x y mx ny +=??+=?与方程组14x y mx ny -=??-=? 有相同的解． (1)求这个相同的解； (2)求m n -的值． 4．已知关于x ，y 的方程组431(1)3x y mx m y -=??+-=? 的解满足43x y +=，求m 的值．
5．已知关于x，y的二元一次方程组 32820 26 x y m x y m +=+ ? ? += ? ① ② 的解满足x y =，求m的值． 6．已知关于x，y的二元一次方程组 53 3221 x y n x y n += ? ? -=+ ? 的解适合方程6 x y +=，求n的值． 7．若方程组 4 32 ax by x y += ? ? -= ? 与方程组 21 2 x y ax by += ? ? -=- ? 有相同的解，求a，b的值． 8．关于x，y的方程组 2 231 x y m x y m += ? ? +=+ ? 满足5 x y +=，求m的值．
9．解方程组：33522 435 m n m n m n ++++ == - ． 10．甲、乙两人同时解方程组 5 213 mx y x ny += ? ? -= ? ① ② 甲解题看错了①中的m，解得 7 2 2 x y ? = ? ? ?=- ? ，乙解题时看错②中的 n，解得 3 7 x y = ? ? =- ? ，试求原方程组的解．
第七章二元一次方程组 、选择题（每小题3分，共24分） 下列方程中，不是二元一次方程的是（ A 2x+y=3 方程 2 3y 8 中, 用含x 代数式表示 y ， 正确的是（ ) A y 4 X B 、 y X 16 3 3 c 、y X 16 D 、 16 X 6 y 6 方程3x 4y 16与 下面哪个方程所组成的方程组的解是 ｛x y 4 1 ( A 、lx 2 3 y 7 B 、3x 5y 7 C 、^x 4 7y 8 D 、2(x y) 3y 已知｛ y 4和｛ x 4 y 1 都是方程y ax b 的解，则a 和b 的值是 2、 3 、 4、 1、 B 、3a-2=4b C 、2 x 6 D 、2b=3a 3 Z a 丄 、｛b 12 a 、 ｛b
1 a 、 ｛b 5、 如果关于 3ax y 的方程组｛ 5ax 2by 3by 0 19 的解为｛ 的值为 6、 7、 ｛a 、 ｛： 3 D 、 ｛a 32 儿一次方程组 y y 8的解的情况是（ A 、一个解 B 、无数解 某年级学生共有246人，男生人数为女生人数的2倍少2人, C 、有两个解 D 、无解 问男生女生各多少
、解下列方程组（每小题 6分，共36分） 1、 {J 2x 3 x 5 y 11 { 3 x 2 y 4 3、 ｛5： 21 5 m n 2 4 { 4 I m 4 n 2 人？若设女生人数为x 人，男生人数为y 人，问下列方程组中正确的是（ x y 246 A 、{ 2y x 2 二、填空题（每小题2分，共14分） 1、 若 x 2m 1 5 y 3n 2m 7 是二元一次方程，贝卩 mn= ___________________ 。 2、 请写出一组x 、y 的值，使它满足方程x 2y 6 : ______________________________ 2 m 1 n b 3n 1 2 m 1 3、 已知a b 与3a b 是同类项，贝U m= _____ ， n= _______ 4、 x 的2倍与y 的1的和是6,可以列出方程 _____________________________ 。 3 5、 已知两数之和是25,两数之差是3,则这两个数是 _______________________ 6、 |3a+2b+7|+（5a-2b+1） 2=0,则 a+b= _________ 。 7、 二元一次方程 2 x y 3 的非负整数解为 ____________________________ 。 x y 246 、{ 2x y 2 x y 246 C 、{ y 2x 2 D x y 246 { x 2 y 2 若方程组 ｛叢 3y 1 (k 1)y 3的解x 和y 的值相等，贝U k=（ B 、10 C 、11 D 、12 6 3
解二元一次方程组教案 Prepared on 24 November 2020
教案格式样例（一节课） 教师XXX学科/班级XXXX 单元（可以不写）授课日期 课题消元——二元一次方程组解法 一、教学目标 （一）知识与技能目标 1.能说出二元一次方程、二元一次方程组和二元一次方程组的解的概念； 2.会将一个二元一次方程写成用含一个未知数的代数式表示另一个未知数的形式； 3.会检验一对数值是不是某个二元一次方程组的解。 （二）过程与方法目标 1.提高对实际问题观察、分析、归纳、猜想，养成良好的思维习惯； 2.通过将二元一次方程与二元一次方程（组）有关知识的对比学习，渗透类比的思想方法； 3.通过多个相似例题的练习，提高自身观察、归纳、猜想的能力。 （三）情感与价值观目标 1.解决生活实际问题，感受加减消元法的应用价值，激发学生的学习兴趣。 2.通过对比观察、研究探讨解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神。 二、教学重点和难点（教材分析、学情分析）
（一）教材分析：本节的内容就是用几种消元法解二元一次方程组，在此之前已学习了解二元一次方程组的概念和已经学习了二元一次方程组的解的概念，本节是对二元一次方程组的解法的进一步探究。 （二）学情分析：七年级的学生，知识上已经学过了一元一次方程的解法，掌握根据实际问题列出相关的方程和方程组，能力上他们已经具备了一定的探索能力，也初步养成了合作交流的习惯，但独立分析问题的能力和灵活应用的能力还有待提高。 三、准备导入新课（时间：5分钟） 提问同学二元一次方程组的定义。随后叫同学举几个二元一次方程的例子。 例1.小亮和小樱练习赛跑。如果小亮让小樱先跑10米，那么小亮跑5秒就追上小莹；如果小亮让小樱先跑4秒，那么小亮跑4秒就追上小樱。问两人每秒各跑多少米然后我们设小亮的速度为x,小樱的速度为y,根据题意我们很容 易得出下面一个方程组? ??=-=-x x y 44410x 5y 5 现在同学们开始从x=1,y=1依次代入上面的式子，看看当x,y 分别等于什么的时候这两个方程组成立了，比比哪位同学先找到。 大家是不是很快得出x=2,y=1的时候就能够成立了。 那么同学们肯定会想如果x,y 的值太大了还要一个个试吗，比如???=+=-53 10x y 2x y ①我们该怎么办呢 所以这就需要我们学习二元一次方程组的解法. 四、授新课（教学过程）（时间：20-25分钟）（回忆型提问、理解型提问、运用型提问、分析型提问、评价型提问、综合型提问）
二元一次方程组 学情分析： 本课在设计时对教材也进行了适当改动。例题方面考虑到数码时代，学生对胶卷已渐失兴趣，所以改为学生比较熟悉的乒乓球为体裁。另一方面，充分挖掘练习的作用，为知识的落实打下轧实的基础，为学生今后的进一步学习做好铺垫。 教学目标： 1．认知目标：1）了解二元一次方程组的概念。 2）理解二元一次方程组的解的概念。 3）会用列表尝试的方法找二元一次方程组的解。 2．能力目标：1）渗透把实际问题抽象成数学模型的思想。 2）通过尝试求解，培养学生的探索能力。 3．情感目标：1）培养学生细致，认真的学习习惯。 2）在积极的教学评价中，促进师生的情感交流。 教学重难点 重点：二元一次方程组及其解的概念 难点：用列表尝试的方法求出方程组的解。 教学方法：启发式 教学过程 (一)创设情景，引入课题 1.本班共有40人，请问能确定男女生各几人吗？为什么？ （1）如果设本班男生x人，女生y人，用方程如何表示？(x+y=40) （2）这是什么方程？根据什么？ 2.男生比女生多了2人。设男生x人,女生y人.方程如何表示？ x，y的值是多少？ 3.本班男生比女生多2人且男女生共40人.设该班男生x人,女生y人。方程如何表示? 两个方程中的x表示什么？类似的两个方程中的y都表示？ 象这样，同一个未知数表示相同的量，我们就应用大括号把它们连起来组成一个方程组。 4.点明课题:二元一次方程组。 [设计意图：从学生身边取数据,让他们感受到生活中处处有数学] （二）探究新知，练习巩固 1．二元一次方程组的概念 （1）请同学们看课本,了解二元一次方程组的的概念，并找出关键词由教师板书。 [让学生看书,引起他们对教材重视。找关键词，加深他们对概念的了解.] （2）练习：判断下列是不是二元一次方程组: x+y=3, x+y=200, 2x-3=7, 3x+4y=3 y+z=5, x=y+10, 2y+1=5, 4x-y2=2 学生作出判断并要说明理由。 2．二元一次方程组的解的概念 （1）由学生给出引例的答案，教师指出这就是此方程组的解。 （2）练习：把下列各组数的题序填入图中适当的位置：
七年级数学第七章二元一次方程组测试题 (时间120分钟，满分150分) 一、选择题（每小题4分，共48分） 1.在下列方程5x －1y =0，3x+2 y =0，2x+xy=1，3x+y －2x=0，x 2－x+1=0中，二元一次方程的个数是（ ） A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 2.下列说法中，正确的是（ ） A.二元一次方程3x-2y=5的解为有限个 B.方程3x+2y=7的解x ，y 为正整数的有无数对 C.方程组? ??=+=-00y x y x 的解为0 D.方程组中各个方程的公共解叫做这个方程组的解 3.已知???==1 2y x 是关于x ，y 的二元一次方程3=-y kx 的解，那么k 的值为（ ） A.2 B.-3 C.1 D.-1 4.如果方程组 ???=+=+162y x y x ★的解为???==※y x 6那么被“★”和“※”遮住的两个数分别为（ ） A.10和4 B.4和10 C.3和10 D.10和3 5.已知关于x 、y 的方程组???-=-=+a y x a y x 214522，且1023=-y x ，则a的值为（ ） A.﹣4 B.4 C.3 D.2 6.利用加减消元法解方程组，下列做法正确的是（ ） A.要消去y，可以将①×5+②×2 B.要消去x，可以将①×3+②×（﹣5） C.要消去y，可以将①×5+②×3 D.要消去x，可以将①×（﹣5）+②×2 7.若|3x ﹣2y ﹣1|+=0，则x ，y 的值为（ ） A ． B ． C ． D ． 8.陈老师打算购买气球装扮学校“六一”儿童节活动会场，气球的种类有笑脸和爱心两种，两种气球的价格不同，但同一种气球的价格相同，由于会场布置需要，购买时以一束（4个气球）为单位，已知第一、二束气球的价格如图1所示，则第三束气球的价格为（ ） A. １９ B. １８ C. １６ D. １５
第五章二元一次方程组 5.1 认识二元一次方程组 第一环节：情境引入 内容： （一）情境1 实物投影，并呈现问题：在一望无际的呼伦贝尔大草原上，一头老牛和一匹小马驮着包裹吃力地行走着，老牛喘着气吃力地说：“累死我了”，小马说：“你还累，这么大的个，才比我多驮2个.”老牛气不过地说：“哼，我从你背上拿来一个，我的包裹就是你的2倍！”，小马天真而不信地说：“真的？！”同学们，你们能否用数学知识帮助小马解决问题呢？ 请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言）.教师注意引导学生设两个未知数，从而得出二元一次方程. 这个问题由于涉及到老牛和小马的驮包裹的两个未知数，我们设老牛驮x个包裹，小马驮y个包裹，老牛的包裹数比小马多2个，由此得方程2 -=，若 x y 老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛的包裹是小马的2倍，得方程：() +=-. x y 121 （二）情境2 实物投影，并呈现问题：昨天，有8个人去红山公园玩，他们买门票共花了34元.每张成人票5元，每张儿童票3元.那么他们到底去了几个成人、几个儿童呢？同学们，你们能否用所学的方程知识解决呢？ 仍请每个学习小组讨论（讨论2分钟，然后发言），老师注意引导学生分析其中有几个未知量，如果分别设未知数，将得到什么样的关系式？ 这个问题由于涉及到有几个成年人和几个儿童两个未知数，我们设他们中有x个成年人，有y个儿童，在题目的条件中，我们可以找到的等量关系为：成人人数＋儿童人数＝8，成人票款＋儿童票款＝34.由此我们可以得到方程8 += x y 和5334 +=. x y 在这个问题中，可能会有学生认为用一元一次方程也可以解答，我们要肯定
专题：含参的二元一次方程组 分析：用两个不含参数的二元一次方程重组，求解得参数。 一、同解问题 例 1：已知关于 x,y 二元一次方程组 x y 1 4x ay 的解是二元一次方程 3 x y 3的解，求a 的值。 变式 1：已知方程组 2x 3y 3x 5y 的解适合 x 2 8 ，求 m 的值 . 例 2 ：已知二元一次方程组 4x y 5 mx ny 3 的解和 的解相同，求 3x 2y 1 mx ny 1 m,n 的值。 变式 2：已知二元一次方程组 4x y 5 的解和 mx ny 3 3x 2y mx ny 1 1 的解相同， m,n 的值。 、解的性质 例 3 ：已知关于 x,y 二元一次方程组 4x 3y 7 的解 x,y 的值互为相反数，求 k 的值。 kx (k 1)y 3
x 看错了方程②中的b ，得到方程组的解为 x ：.试计算a 2017 （和严的值. 变式4:若方程组 3x y k 1的解x,y 满足o x y 1，求k 的取值范围。 x 3y 3 分析：观察方程组和所求式子的结构共性，把二元一次方程组中的参数作整体化处理 三、错解问题 例4:甲乙两人同时解关于 x, y 的方程组 ax y 3 ,甲看错了 b ，求得的解为 2x by 1 的解为x 1 ，你能求出原题中的 a,b 的值吗？ y 3 分析：将解代入没看错的方程 变式5：甲、乙两人共同解方程组 ax 4x 5y by 1 5①，由于甲看错了方程①中的a ，得到方程组的解为 3；乙 变式3 :已知方程组 y 2k 3y 1 5k 的解x 与y 的和是负数，求 k 的取值范围。 1 ，乙看错了 1 a ,求得
二元一次方程组全章测试题 一、耐心填一填，一锤定音（每小题3分，共30分） 1、两个数的和是13，差是5，则这两个数分别为 . 2、方程组???==+8 3-732y x y x 的解是 . 3、若3x -y =3x +2y =6，则x =_________，y =_________. 4、若0)623(222=-+++-y x y x ，则________)(2=+y x . 5、在代数式by ax +中，当a =5，b=2时，它的值是7，当a =8，b=5时，它的值 是4，则x =____ ，y =_______. 6、如果???==2 1y x 是方程组???=-=+n y x m y x 32的解，那么m = , n = . 7、方程组???=-=+m y m x 236中x 与y 的和是9，则m = 8、根据右图中给出的信息，则每件T 恤衫和每瓶 矿泉水的价格分别为______________. 9、若132350m n m n x y +----+=是关于x 、y 的二元一次方程， 则m = , n = . 10、已知方程组???-=-=+2 4155by x y ax ，甲由于看错了方程组中的a 得到方程组的解是 ???-=-=23y x ，乙看错了方程组中的b 得到的方程组的解为???==2 5y x ，若按正确的a 、b 计算，则原方程组的解为 . 二、精心选一选，慧眼识金！（每小题3分，共30分） 1、若???==2 1y x 是方程3ax y -=的解，则a 的值是( ) A 5 B -5 C 2 D 1 2、二元一次方程420x y +=在正整数范围内的解有 ( ) A 2组 B 3组 C 4组 D 5组
二元一次方程（组）含参问题 二元一次方程（组）中经常会出现含有参数的题目，在解决这类问题之前，我们首先要搞清楚什么是未知数？什么是参数？ 二元一次方程（组）中的“元”就是未知数的意思，所谓的“二元”就是两个未知数，我们常用x 、y 、z 来表示。一般来说，初中阶段提及的整式方程或分式方程中，除了未知数以外的字母我们一般把它看作常数（即参数），我们常用m 、k 等表示。 在二元一次方程（组）中含参问题主要包括以下几种： 1.根据定义求参数 什么是一元二次方程？含两个未知数且未知项的最高次数是1的方程。即同时满足以下几个条件的方程就是二元一次方程：①含两个未知数；②未知项的最高次数是1；③等号的左边和右边都是整式。 例题1、若方程2 1 221=++-m n m y x 是二元一次方程，则mn=______. 例题2、已知关于x 、y 的二元一次方程()() ,6342232=++---n m y n m 则m=_______. 备注：除了要满足次数为1，还要满足系数不能为0. 2. 同解类问题 什么是同解？两个方程组一共含有四个一元二次方程，这四个方程的解相同。 例：已知x 、y 的方程组???-=+=-1332by ax y x 和方程组? ??=+=+3321123by ax y x 的解相同，求a 、b 值。 3.用参数表示方程组的解类问题
已知方程组?? ?=+=-k y x k y x 232的解满足x+y=2，则k=________. 4.错解类问题 遇到错解类问题怎么处理？不要讲解代入看错的方程里，代入另外一个方程中去。 例：小明和小红同解一个二元一次方程组???=+=+)2(1)1(16ay bx by ax ，小明把方程（1）抄错，求得解为???=-=3 1y x ，小红 把方程（2）抄错，求得解为? ??==23y x ，求a 、b 的值。 5. 整体思想类 在做一元二次方程组的题目前，先要观察方程组的特点，不要急于直接用参数表示未知数，看一下将两个方程相加或者相减能不能得到我们需要的结论。 例：已知方程组? ??+=++=+15252k y x k y x 的解互为相反数，求k 的值。
第七章《二元一次方程组》整章水平测试题（A ） 一、选择题（每题3分，共30分） 1．下列各方程是二元一次方程的是（ ） A 、8x+3y=y B 、2xy=3 C 、2239x y -= D 、 1 3x y =+ 2．如果单项式222 2m n n m a b +-+与57a b 是同类项，那么m n 的值是（ ） Ａ、－3 Ｂ、－１ Ｃ、 1 3 Ｄ、3 3．关于x 、y 的二元一次方程组59x y k x y k +=??-=?的解也是二元一次方程2x+3y=6的解， 则k 的值是（ ） Ａ、34k =- Ｂ、34k = Ｃ、43k = Ｄ、43 k =- 4．方程kx+3y=5有一组解2 1 x y =?? =?，则k 的值是（ ） Ａ、1 Ｂ、－１ Ｃ、0 Ｄ、2 5．如果4 (1)6x y x m y +=??--=? 中的解x 、y 相同，则m 的值是（ ） Ａ、1 Ｂ、－１ Ｃ、2 Ｄ、－2 6．足球比赛的记分为：胜一场得3分，平一场得1分，负一场得0分，一队打了14场比赛，负5场，共得19分，那么这个队胜了（ ） Ａ、3场 Ｂ、4场 Ｃ、5场 Ｄ、6场 7．方程组 的解为??? =y x 2 ，则被遮盖的两个数分别为（ ） Ａ、1，2 Ｂ、1，3 Ｃ、2，3 Ｄ、2，4 8．方程组1 3x y x y -=??+=? 的解是（ ） ???=++32y x y x
Ａ、21x y =?? =? Ｂ、12x y =-??=-? Ｃ、32x y =??=? Ｄ、1 2x y =??=? 9．方程组7 12 x y xy +=?? =?的一个解是（ ） A 、25x y =??=? B 、62x y =??=? C 、43x y =??=? D 、34x y =-??=-? 10．为了改善住房条件，小亮的父母考察了某小区的A B 、两套楼房，A 套楼房在第3层楼， B 套楼房在第5层楼，B 套楼房的面积比A 套楼房的面积大24平方米，两套楼房的房 价相同，第3层楼和第5层楼的房价分别是平均价的1.1倍和0.9倍．为了计算两套楼房的面积，小亮设A 套楼房的面积为x 平方米，B 套楼房的面积为y 平方米，根据以上信息列出了下列方程组．其中正确的是（ ）． A 、? ??=-=241.19.0x y y x B 、 1.10.924x y x y =??-=? C 、0.9 1.124x y x y =??-=? D 、 1.10.924x y y x =??-=? 二、填空题（每题3分，共30分） 11．2 1 x y =?? =-?是二元一次方程2x+by=－2的一个解，则b 的值等于 12．写出二元一次方程3x+y=9的所有正整数解是 13． 已知2 (234)37 0x y x y +-++-=，则x= ，y= 14．已知方程组11 2 35 mx ny mx ny ? +=???+=?的解是32x y =??=-?，则m= ，n= 15．若x+3y=3x+2y=7，则x= ，y= 16．若一个二元一次方程的一个解为???-==1 2 y x ，则这个方程可以是： ＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿（中要求写出一个）。 17．如图，正方形是由k 个相同的矩形组成， 上下各有2个水平放置的矩形，中间竖放若干个矩形，则k= .
解二元一次方程组——代入消元法（1） 教学目标 1、知识与技能目标 （1）会用代入法解二元一次方程组 （2）初步体会解二元一次方程组的基本思想“消元”。 （3）通过对方程组中的未知数特点的观察和分析，明确解二元一次方程组的主要思路是“消元”，从而促成由未知向已知转化，培养学生观察能力和体会化归思想： （4）通过用代入消元法解二元一次方程组的训练，及选用合理、简捷的方法解方程组，培养学生的运算能力。 2、情感目标： 通过对比观察、研究探讨解决问题的方法，培养学生合作交流意识与探究精神。 教学重点、难点 重点：用代入消元法解二元一次方程组。 难点：探索如何用代入消元法将“二元”转化为“一元”的过程。 教学过程 一、旧知复习 问题1：下列方程是二元一次方程吗？ 73)1(=+y x 022)2(=+y
532)3(=-x 93)4(=+y x 问题2：你能把上面的二元一次方程改写成用x 表示y （或用y 表示x ）的形式吗？ 问题3：把（1）（2）两个方程合在一起是二元一次方程组吗？那由（3）（4）组成的呢？ {73022)1(=+=+y x y ){2(53293=-=+x y x 二、情境引入 老师周末和朋友一起去逛街，我们各买了1双相同的鞋，两人一共消费了600元，我的朋友买了鞋之后又去买了2件T 恤，此次购物老师的朋友一共花了500元，你能帮老师计算一下鞋和T 恤的价格分别是多少吗？ 请说一说你的方法 还有不同的办法吗？ 三、技能试炼 你有办法求出这两个方程组的解吗？ {73022=+=+y x y ){2(53293=-=+x y x 这两个方程组你解出来了吗？ 谁能给大家说一说解上面两个方程组的方法和思路呢？ 四、例题解析： 你能想出办法求出这个方程组吗？
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含参数的二元一次方程组的解法 二元一次方程组是方程组的基础，是学习一次函数的基础，是中考和竞赛的常见的题目，所以这一部分知识非常重要。现选取几道题略作讲解，供同学们参考。 一、两个二元一次方程组有相同的解，求参数值。 例：已知方程 与 有相同的解， 则a 、b 的值为 。 略解：由（1）和（3）组成的方程组? ??=-=+5235y x y x 的解是 ? ??-=+=21y x 把它代入(2)得 a=14；把它代入（4）得b=2。 方法：是找每个方程组中都是已知数的方程组成新的方程组，得到的解，即是相同的解，再代入另一个方程，从而求出参数的解。 二、根据方程组解的性质，求参数的值。 例2：m 取什么整数时，方程组的解是正整数 略解：由②得x=3y 2×3y-my=6 y=m -66 因为y 是正整数，x 也是正整数所以6-m 的值为1、2、3、6；m 的值为0、3、4、5。 方法：是把参数当作已知数求出方程的解，再根据已知条件求出参数的值。 三、由方程组的错解问题，示参数的值。 例3：解方程组???=-=+872y cx by ax 时，本应解出???-==2 3y x 由于看错了系数c,从而得到解? ??=-=22y x 试求a+b+c 的值。 方法：是正确的解代入任何一个方程当中都对，再把看错的解代入没有看错的方程中去从而，求出参数的值。8273=-?-?）（c 2-=c 把???-==23y x 和???=-=2 2y x 代入到ax+by=2中，得到一个关于a 、b 的方程组。 （1） （2） ???=+=+4535y ax y x （3） （4） ???=+=-1552by x y x ① ② ???=-=-0362y x my x
第7章“二元一次方程组”测试题 （测试时间：100分钟，总分100分） 一、选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分） 1．下列方程组中，是二元一次方程组的是…………………………………………( ) A.? ? ?=-+=6431 2z x y x B.???=-=+-431y x xy y x C.???=+=+552 2y x y x D.???????= =+x y y y x 3 222 2 2．如果5x 3m － 2n －2y n －m +11=0是二元一次方程，则………………………………（ ） A.m =1,n =2 B.m =2,n =1 C.m =－1,n =2 D.m =3,n =4 3．二元一次方程组?? ?=+-=+5 2 2y x y x 的解是………………………………………………( )． ???==???=-=???=-=? ??==2y 3x D. 2y 3x C. 4y 1x B. 6y 1x A. 4．方程组?? ?=--=8 235 2y x x y 消去y 后所得的方程是…………………………………………( ) A.3x －4x －10=8 B.3x －4x +5=8 C.3x －4x －5=8 D.3x －4x +10=8 5．已知? ??=-=+31y x y x ,则2xy 的值是…………………………………………………………( ) A.4 B.2 C.－2 D.－4 6．用加减法解方程组? ??=-=+8231 32y x y x 时，要使两个方程中同一未知数的系数相等或相反，有 以下四种变形的结果： ①?? ?=-=+846196y x y x ②???=-=+869164y x y x ③???-=+-=+1646396y x y x ④???=-=+24 69264y x y x 其中变形正确的是………………………………………………………………（ ） A.①② B.③④ C.①③ D.②④ 7．现用甲、乙两种运输车将46吨抗旱物资运往灾区，甲种运输车载重5吨，乙种运输车载重4吨，安排车辆不超过10辆，则甲种运输车至少应安排…………………………（ ） A ．4辆 B ．5辆 C ．6辆 D ．7辆 8．某足球联赛一个赛季共进行26轮比赛(即每队均需赛2 6场)．其中胜一场得3分,平一场得1分，负一场得O 分．某队在这个赛季中平局的场数比负的场数多7场，结果共得34分，则这个队在这一赛季中胜、平、负的场数依次是…………………………………………( ) (A)7，l 3，6． (B)6．13，7． (C)9，1 2，5． (D)5，12,9． 9．关于x 、y 的方程组???+=+=+2 5332k y x k y x 的解x 、y 的和为12，则k 的值为……（ ） A ．14 B ．10 C ．0 D ．－14
二元一次方程组的解法教案 课程名称：二元一次方程组的解法 教学目标：1、进一步理解解方程组的消元思想。 2、学会根据方程组的特点而采用不同的方法解方程组。 3、培养学生的创新意识，让孩子感受到做题简单。 教学重点：代入消元法和加减消元法的方法与选择 教学难点：换元法 教学手段：PPT 教学过程： 1、回顾旧知 概念：什么是二元一次方程？ 什么是二元一次方程组？ 什么是二元一次方程的解？ 什么是二元一次方程组的解？ 2、探索新知 新课导入：篮球联赛中，每场比赛都要分出胜负，每队胜一场得2分. 负一场得1分，我班为了争取较好的名次，想在全部22场 比赛中得到40分。 那么我班胜负场数分别是多少？ 师：同学们，要是只能假设一个未知数，那么这道题我们应该怎么做呢？ 生：老师，可以假设我班篮球队胜x场，则负（22-x）场。 列方程2x+（22-x）=40，然后就可以解出x的值了。 师：那么除了这个方法还有别的方法吗？ （由此导入二元一次方程组） 我们假设我班篮球队胜x场，负y场，则可以列方程组： 2x+y=40 x+y=22 （分别解出x，y也可以求出答案是多少） 师：同学们比较一下这两种方法中间有什么联系啊？（目的：让学生更加了解一元一次方程和二元一次方程的含义） 生：老师，第一种方法里面就是把y用22-x代替了 师：非常棒！（此处给孩子灌输换元的思想，即代入法） （由此引入代入法的定义和用法） 定义：从一个方程中求出某一个未知数的表达式，再把它“代入 另一个方程，进行求解。这种方法叫做代入消元法，简称代入法。 总结：代入法的解题步骤：1、变形2、代入3、求解4、写解 变式练习：用代入法解下列方程 3x-y=15① (1) 5x+3y-11=0② 解：由①得：y=3x-15③ 将③代入②得：5x+3(3x-15)-11=0
单元测试 班级：______________姓名：______________满分100分 得分：___________ 一、选择题（每小题3分，共24分） 1.已知下列各式：① x 1+y =2 ②2x －3y =5 ③21x +xy =2 ④x +y =z －1 ⑤21+x =3 12-x ,其中二元一次方程的个数是（ ） ** B.2 C.3 D.4 2.在方程组???=+=-1253by x y ax 中，如果??? ?? -==1 21y x 是它的一个解，那么a 、b 的值为（ ） **=1,b=2 B.不能惟一确定 **=4,b=0 D.a=,b=－1 3.用代入法解方程组 （a ）?? ?=+-=82332y x x y (b )???=-=5 2332t s t s (c )?? ?=--=-613873y x x x (d )? ??=--=13432y x x y 将各方程组中的方程①代入方程②中，所得的方程正确的是（ ） A.(a )3x +4x －3=8 B.(b )3t －2t =5 C.(c )40－3y =61 D.(d )4x －6x －9=1 4.用加减法解方程组?? ? ??=+-=++=+54628239 311z y x z y x z x ,较方便的是（ ） A.先消去x ,再解?? ?-=-=+33 386661 222z y z y B.先消去y ,再解? ? ?=+=+931129 711z x z x C.先消去z ，再解?? ?=+=+2714119 311y x z x D.先消去z ，再解?? ?=+-=-8 91915 62y x y x 5.若2a 2s b 3s － 2t 与－3a 3t b 5是同类项，则（ ） **=3,t=－2 B.s=－3,t=2 ①② ① ② ① ② ①②
7.1 二元一次方程组和它的解 授课者：周培红 授课时间：2016年3月8日 地点：初一（4）班 知识技能目标 1.理解二元一次方程、二元一次方程组和它的解的含义； 2.会检验一对数是不是某个二元一次方程组的解. 过程性目标 1.在运用数据比较分析、作出推断的过程中，提高学生参与数学活动，乐于接触社会环境中数学信息的兴趣. 2.为学生创设学数学、用数学的情境，让学生体验用数学知识解决实际问题的方法． 教学过程设计 一、创设情境 问题的提出：某中学初一年级组织了“我们学姚明”篮球赛. 初一年（14）班在第一轮比赛中共赛9场, 得17分. 比赛规定胜一场得3分, 平一场得1分, 负一场得0分. 勇士队在这一轮中只负了2场, 那么这个队胜了几场? 又平了几场呢? 二、探索归纳 问 能否用我们已经学过的知识来解决这个问题? 答 可以用一元一次方程来求解. 设初一年（14）班胜了x 场, 因为它共赛了9场, 并且负了2场, 所以它平了(9-x -2) 场. 根据得分规则和它的得分, 我们可以列出一元一次方程: 17)29(3=--+x x . 解这个方程可得5=x . 所以初一年 （14）班胜了5场, 平了2场. 由上面解答可知, 这个问题可以用一元一次方程来求解, 而我们很自然地会提出这样一个问题: 既然要求胜的场数和负的场数，这其中有两个未知数，那么能不能同时设出这两个未知数呢? 师生共同探讨: 不妨就设初一年（14）班胜了x 场, 负了y 场. 在下表的空格中填入数字或式子. 根据填表的结果可知: 7=+y x ① 和 173=+y x ② 引导学生观察方程①、②的特点, 并与一元一次方程作比较, 可知: 这两个方程都含有两个未知数, 并且未知数的次数都是1. 我们把上面这样的方程, 即把含有两个未知数, 并且未知数的次数是1的方程叫做二元一次方程(linear equation with two unknowns ).
第五章二元一次方程组知识点整理 一、本章知识点梳理： 知识点1：二元一次方程（组）的定义 知识点2：二元一次方程组的解定义 知识点3：二元一次方程组的解法 知识点4：一次函数与二元一次方程（组） 知识点5：实际问题与二元一次方程组 二、各知识点分类讲解 知识点1：二元一次方程（组）的定义 1、二元一次方程的概念 含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程叫做二元一次方程 注意：1、(1)方程中的元指的是未知数，即二元一次方程有且只有两个未知数. (2)含有未知数的项的次数都是1. (3)二元一次方程的左右两边都必须是等式. （三个条件完全满足的就是二元一次方程） 2.含有未知数的项的系数不等于零，且两未知数的次数为1。即若是二元一次方程，则a≠0，b≠0且11 例1：已知（a－2）x－－1＝5是关于x、y 的二元一次方程，则a＝，b＝． 例2：下列方程为二元一次方程的有 ①，②，③，④，⑤，⑥，⑦ ⑧，⑨ 【巩固练习】 下列方程中是二元一次方程的是（） A．32=0 B． 1 C． 6 D．43
2、二元一次方程组的概念 由两个二元一次方程所组成的方程组叫二元一次方程组 注意：①方程组中有且只有两个未知数。②方程组中含有未知数的项的次数为1。③方程组中每个方程均为整式方程。 例：下列方程组中，是二元一次方程组的是（） A、 【巩固练习】 1、已知下列方程组：（1），（2），（3），（4）， 其中属于二元一次方程组的个数为（） A．1 B. 2 C．3D．4 2、若是关于x、y二元一次方程，则，。 知识点2：二元一次方程组的解定义 一般地，使二元一次方程组中两个方程左右两边的值都相等的两个未知数的值叫做二元一次方程组的解。 类型题1 根据定义判断 例：方程组的解是（） A．B．C．D． 【巩固练习】
第7章达标检测卷 (120分，90分钟) 一、选择题(每题3分，共30分) 1．已知2x －3y ＝1，用含x 的式子表示y 正确的是( ) A ．y ＝23x －1 B ．x ＝3y ＋12 C ．y ＝2x －13 D ．y ＝－13－2 3x 2．下列方程组中，是二元一次方程组的是( ) A .???x －y ＝0，3x －2y ＝7 B .???2x －y ＝3，3xy ＝8 C .???x ＋y ＝3， x －z ＝5 D .???12x ＋3 y ＝1，13x ＋12y ＝1 3．用加减法解方程组???3x －2y ＝10，① 4x －y ＝15② 时，最简捷的方法是( ) A ．①×4－②×3，消去x B ．①×4＋②×3，消去x C ．②×2＋①，消去y D ．②×2－①，消去y 4．若???x ＝2，y ＝－1是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为( ) A .???x ＋3y ＝5，x ＋y ＝1 B .???x ＝y －3，y ＋2x ＝5 C .???x ＝2y ，x ＝3y ＋1 D .???2x －y ＝5，x ＋y ＝1 5．若方程组???ax ＋y ＝0，x ＋by ＝1的解是???x ＝1， y ＝－1，那么a ，b 的值是( ) A .???a ＝1b ＝0 B .?????a ＝1b ＝12 C .???a ＝－1b ＝0 D .???a ＝0 b ＝0 (第6题) 6．如图，AB ⊥BC ，∠ABD 的度数比∠DBC 的度数的2倍少15°，设∠ABD 与∠DBC 的度数分别为x°，y°，根据题意，下列方程组正确的是( ) A .???x ＋y ＝90，x ＝y －15 B .???x ＋y ＝90， x ＝2y －15 C .???x ＋y ＝90，x ＝15－2y D .???x ＋y ＝90，x ＝2y ＋15 7．如果方程x ＋2y ＝－4，2x －y ＝7，y －kx ＋9＝0有公共解，则k 的解是( )