imagesc画两色图，0值为白色
imagesc画图的原理：
1.imagesc(x,y,z)，x为x轴的坐标，左小右大，y为y轴的坐标，上小下大，z为坐标点（x,y）
对应的值，即z是一个维度为[length(x),length(y)]的矩阵。
axis xy y轴的坐标为上小下大，将其转向成上大下小
2.imagesc(z)，x轴的坐标从左到右为1：size(z,2)，y轴的坐标从上到下为1：size(z,1)
set(gca,’XTicklabel’,x);
set(gca,’YTicklabel’,y);
3.2比1更好：若x中有断点，如：10，12，14，18，20，imagesc(x,y,z)会自动在x轴坐
标中添加16，导致x轴坐标点与格子数目不匹配，而2中先做图，再改坐标标签，则可以避免这个问题。
4.colorbar的颜色与z值的对应关系：z的最小值对应colormap矩阵的第一行，对应colorbar
颜色条的最下面的颜色；z的最大值对应colormap矩阵的最后一行，对应colorbar颜色条的最上面的颜色；中间的值为线性对应关系。
5.colormap矩阵的原理：
[0，1，0]绿色
[a，1，a]浅绿，a越接近0，颜色越深，x越接近1，颜色越浅
[1，1，1]白色
[1，a，a]浅红，a越接近0，颜色越深，x越接近1，颜色越浅
[1，0，0]红色
colormap的格式：第一行为最小值的颜色，最后一行为最大值的颜色
cc=[0,1,0;
0.5,1,0.5;
1,1,1;
1,0.5,0.5;
1,0,0]
colormap(cc)
函数及示例：
data=[ 10 40 79502.04
10 45 71288.45
10 30 134527.85
10 55 -30919.16
10 50 -13256.87
10 35 166600.83
10 60 -151863.17
12 40 139078.6
12 60 12054.21
12 55 4778.22
12 45 130865.01
12 50 30180.33
12 30 164103.21
14 40 182454.17
14 50 52258.16
14 60 -163383.83
14 55 -151589.02
14 45 184441.57
14 30 241319.58
18 60 -170088.44
18 50 126843.98
18 40 253500.14
18 55 47865.07
20 60 -2874.38
20 55 32803.76
20 45 192548.14
20 40 190560.74
20 30 262927.38
20 50 111782.67
22 50 39181.63
22 55 -39797.28
22 60 -166690.08
22 45 118027.18
22 35 227859.65
22 40 133560.48
22 30 205927.12
24 30 215106.42
24 55 -51124.79
24 40 156719.22
24 45 141185.92
24 60 -170709.91
24 50 30961.96
26 50 30961.96
26 40 139198.52
26 45 141185.92
26 30 188045.96
26 55 -51124.79
26 60 -170709.91
26 35 217838.17
28 45 149411.59
28 55 24946.48
28 35 220303.62
28 30 190511.4
28 40 147424.19
28 60 -163146.94
28 50 92225.51
30 30 139031.88
30 40 93964.74
30 60 -163500.49
30 45 102492.4
30 35 166844.16
30 50 55865.9
30 55 -48434.02]; redgreendraw(data,'画图');
保存为函数redgreendraw:
%data为源数据，第一列为变量1（参数1），第二列为变量2（参数2），第三列为变量3（指标值：净收益、成功率等）
%drawname为图片保存名称，如drawname='我的图片'
function result=redgreendraw(data,drawname)
x=data(:,1);
y=data(:,2);
z=data(:,3);
%image画图
[xx,yy,zz]=meshgriddata(x,y,z); %用列向量数据构建画图用的矩阵
rgcolor=redgreencolormap(z); %构建红绿色的色图
imagesc(zz) %画图
colormap(rgcolor) %运用红绿色的色图
colorbar %显示出颜色条的示例
set(gca,'XTicklabel',xx);
set(gca,'YTicklabel',yy);
%axis xy %将纵坐标倒置，即x、y轴的方向变为常用的方向
saveas(gcf,[drawname '.jpg'])
result=[drawname '.jpg' '已保存在当前文件夹'];
end
保存为函数meshgriddata
%x,y,z分别均为1*N的列向量，为了用image画图，需要将z转换为类似meshgrid的结果的矩阵
%横坐标为x中的所有不同取值，纵坐标为y中的所有不同取值
function [xx,yy,zz]=meshgriddata(x,y,z)
N=length(x);
xy=x*100+y;
xx=unique(x);
yy=sort(unique(y),'descend');
zz=zeros(length(yy),length(xx));
for i=1:length(yy)
for j=1:length(xx)
zzz=find(xy==xx(j)*100+yy(i));
if ~isempty(zzz)
zz(i,j)=z(zzz);
end
end
end
end
保存为函数redgreencolormap
%输入值z为需要画图的第三维数据
%函数将根据z的值构造红绿色图，0值为白色；正值为红色，正得越多，颜色越红；负值为绿色，负得越多，颜色越绿
function mycolormap=redgreencolormap(z)
N=length(z);
mycolormap=ones(N,3);
maxz=max(z);
minz=min(z);
if (minz<0 && maxz>0) %若数据z有正有负，则把负数显示为绿色，负得越多，颜色越绿；正数显示为红色，正得越多，颜色越红
Nneg=round(abs(min(z))/(max(z)-min(z))*N);
mycolormap(1:Nneg,1)=(linspace(0,0.999,Nneg))';
mycolormap(1:Nneg,3)=mycolormap(1:Nneg,1);
mycolormap((Nneg+1):N,2)=(linspace(0.999,0,N-Nneg))';
mycolormap((Nneg+1):N,3)=mycolormap((Nneg+1):N,2);
elseif (minz>=0) %若数据z没有负数，则全部显示为红色，正得越多，颜色越红mycolormap(:,2)=(linspace(1,0,N))';
mycolormap(:,3)=mycolormap(:,2);
elseif (maxz<=0) %若数据z没有正数，则全部显示为绿色，负得越多，颜色越绿mycolormap(:,1)=(linspace(0,1,N))';
mycolormap(:,3)=mycolormap(:,1);
end
end
第八章 偏导数与全微分 一、选择题 1.若u=u(x, y)是可微函数，且,1),(2==x y y x u ,2x x u x y =??=则=??=2x y y u [A ] A. 2 1 - B. 21 C. -1 D. 1 2.函数62622++-+=y x y x z [ D ] A. 在点(-1, 3)处取极大值 B. 在点(-1, 3)处取极小值 C. 在点(3, -1)处取极大值 D. 在点(3, -1)处取极小值 3.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处的两个偏导数()()0000,,,x y f x y f x y 存在是函数f 在该点可微的 [ B ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 4. 设u=2 x +22y +32 z +xy+3x-2y-6z 在点O(0, 0, 0)指向点A(1, 1, 1)方向的导数 =??l u [ D ] A. 635 B.635- C.335 D. 3 3 5- 5. 函数xy y x z 333-+= [ B ] A. 在点(0, 0)处取极大值 B. 在点(1, 1)处取极小值 C. 在点(0, 0), (1, 1)处都取极大值 D . 在点(0, 0), (1, 1)处都取极小值 6.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处可微是(),f x y 在该点连续的[ A ] A. 充分而非必要条件 B.必要而非充分条件 C.充分必要条件 D.既非充分也非必要条件 7. 已知)10(0sin <<=--εεx y y , 则dx dy = [ B ] A. y cos 1ε+ B. y cos 11ε- C. y cos 1ε- D. y cos 11 ε+ 8. 函数y x xy z 2050++ = （x>0，y>0）[ D ] A. 在点(2, 5)处取极大值 B. 在点(2, 5)处取极小值 C.在点(5, 2)处取极大值 D. 在点(5, 2)处取极小值 9.二元函数(),f x y 在点()00,x y 处连续的是(),f x y 在点()00,x y 处可微的 [A ] A. 必要而非充分条件 B. 充分而非必要条件
学生做题前请先回答以下问题 问题1：确定函数图象，通常研究不同背景下两变量之间的函数关系，以函数图象的形式进行描述．常考查_________________________． 处理思路： ①____________________； ②____________________； ③结合表达式进行验证． 函数图象的分析与作图（一） 一、单选题(共6道，每道16分) 1.如图，在边长为4的正方形ABCD中，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿线段AB向点B运动，同时动点Q从点B出发，以每秒2个单位长度的速度沿折线BC-CD运动，当点P运动到点B时，P，Q两点同时停止运动．设点P运动的时间为t，△APQ的面积为S（记初始时刻的面积为0），则S关于t的函数图象为( ) A. B. C. D.
答案：D 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：确定函数图象 2.如图，已知等边三角形ABC的边长为2，动点P从点A出发，以每秒1个单位长度的速度沿A→B→C→A的方向运动，到达点A时停止．设运动的时间为x秒，，则y关于x的函数图象为( ) A. B.
C. D. 答案：A 解题思路： 试题难度：三颗星知识点：确定函数图象 3.如图，四边形ABCD是边长为1的正方形，四边形EFGH是边长为2的正方形，点D与点F重合，点B，D（F），H在同一条直线上．将正方形ABCD沿FH向右平移，当点B与点H 重合时停止．设点D，F之间的距离为x，正方形ABCD与正方形EFGH重叠部分的面积为y，则能大致反映y与x之间的函数关系的图象是( )
A. B. C. D. 答案：B 解题思路：
第九章 多元函数微分学 内容复习 一、基本概念 1、知道：多元函数的一些基本概念（n 维空间，n 元函数，二重极限，连续等）；理解：偏导数；全微分. 2、重要定理 （1）二元函数中，可导、连续、可微三者的关系 偏导数连续?可微???函数偏导数存在 ?连续 （2）（二元函数）极值的必要、充分条件 二、基本计算 （一） 偏导数的计算 1、 偏导数值的计算（计算),(00y x f x '） （1）先代后求法 ),(00y x f x '＝0),(0x x y x f dx d = （2）先求后代法（),(00y x f x '＝00),(y y x x x y x f =='） （3）定义法（),(00y x f x '＝x y x f y x x f x ?-?+→?),(),(lim 00000）（分段函数在分段点处的偏导数） 2、偏导函数的计算（计算(,)x f x y '） （1） 简单的多元初等函数——将其他自变量固定，转化为一元函数求导 （2） 复杂的多元初等函数——多元复合函数求导的链式法则（画树形图，写求导公式） （3） 隐函数求导 求方程0),,(=z y x F 确定的隐函数),(y x f z =的一阶导数,z z x y ???? ,,,(),,y x z z F F z z x y z x F y F x y x y z ''???=-=-?''????? 公式法：（地位平等）直接法：方程两边同时对或求导（地位不平等） 注：若求隐函数的二阶导数，在一阶导数的基础上，用直接法求。 3、高阶导数的计算 注意记号表示，以及求导顺序 （二） 全微分的计算 1、 叠加原理
电脑绘画班WINDOWS画图详细教程 目录 一.如何使用画图工具 二.《画图》工具系列-妙用曲线工具 三. 《画图》工具系列-巧用圆形工具 四. 《画图》工具系列妙用文字工具 五. 用“画图”进行屏幕拷贝 六. “画图”程序的放大修改功能 七. “画图”中的工具与颜色配置 八. 灵活使用编辑功能 九. Windows画图程序操作技巧 十. Windows画图程序操作技巧 十一. 用画图程序检测LCD的暗点
一.如何使用画图工具 想在电脑上画画吗？很简单，Windows 已经给你设计了一个简洁好用的画图工具，它在开始菜单的程序项里的附件中，名字就叫做“画图”。 启动它后，屏幕右边的这一大块白色就是你的画布了。左边是工具箱，下面是颜色板。 现在的画布已经超过了屏幕的可显示范围，如果你觉得它太大了，那么可以用鼠标拖曳角落的小方块，就可以改变大小了。 首先在工具箱中选中铅笔，然后在画布上拖曳鼠标，就可以画出线条了，还可以在颜色板上选择其它颜色画图，鼠标左键选择的是前景色，右键选择的是背景色，在画图的时候，左键拖曳画出的就是前景色，右键画的是背景色。 选择刷子工具，它不像铅笔只有一种粗细，而是可以选择笔尖的大小和形状，在这里单击任意一种笔尖，画出的线条就和原来不一样了。
图画错了就需要修改，这时可以使用橡皮工具。橡皮工具选定后，可以用左键或右键进行擦除，这两种擦除方法适用于不同的情况。左键擦除是把画面上的图像擦除，并用背景色填充经过的区域。试验一下就知道了，我们先用蓝色画上一些线条，再用红色画一些，然后选择橡皮，让前景色是黑色，背景色是白色，然后在线条上用左键拖曳，可以看见经过的区域变成了白色。现在把背景色变成绿色，再用左键擦除，可以看到擦过的区域变成绿色了。 现在我们看看右键擦除：将前景色变成蓝色，背景色还是绿色，在画面的蓝色线条和红色线条上用鼠标右键拖曳，可以看见蓝色的线条被替换成了绿色，而红色线条没有变化。这表示，右键擦除可以只擦除指定的颜色－－就是所选定的前景色，而对其它的颜色没有影响。这就是橡皮的分色擦除功能。 再来看看其它画图工具。 是“用颜料填充”，就是把一个封闭区域内都填上颜色。 是喷枪，它画出的是一些烟雾状的细点，可以用来画云或烟等。 是文字工具，在画面上拖曳出写字的范围，就可以输入文字了，而且还可以选择字体和字号。 是直线工具，用鼠标拖曳可以画出直线。 是曲线工具，它的用法是先拖曳画出一条线段，然后再在线段上拖曳，可以把线段上从拖曳的起点向一个方向弯曲，然后再拖曳另一处，可以反向弯曲，两次弯曲后曲线就确定了。 是矩形工具，是多边形工具，是椭圆工具，是圆角矩形，多边形工具的用法是先拖曳一条线段，然后就可以在画面任意处单击，画笔会自动将单击点连接
§5.3 多元函数微分法 一、复合函数微分法――链式法则 模型1. ()()()z f u v u u x y v v x y ==，，，，=， z z u z z z u z x u x x y u y y νννν??????????=?+?=?+???????????； 模型2. ()()u f x y z x y =，，，z=z ， x z y z u z f f x x u z f f y y ???''=+????? ???''=+???? 模型3. ()()()u f x y z y y x z x ===，，，，z ()()x y z du f f y x f z x dx '''''=++ 模型4. ()()()w f u v u u x y z v v x y z ===，，，，，，， u v u v u v w u v f f x x x w u v f f y y y w u v f f z z z ????''=+????? ????''=+? ????????''=+????? 还有其他模型可以类似处理。 【例1】 设()u f x y z =，，有连续的一阶偏导数，又函数()y y x =及()z z x =分别由 下列两式确定2xy e xy -=和0sin x z x t e dt t -= ?，求du dx 。 解 根据模型3. x y z du dy dz f f f dx dx dx '''=++
由2xy e xy -=两边对x 求导，得0xy dy dy e y x y x dx dx ???? +-+= ??????? 解出 dy y dx x =-（分子和分母消去公因子()1xy e -） 由0 sin x z x t e dt t -= ? 两边对x 求导，得()()sin 1x x z dz e x z dx -??=- ?-?? 解出 ()() 1sin x e x z dz dx x z -=- - 所以 ()()1sin x e x z du f y f f dx x x y x z z ??-???=-+-?? ??-??? 【98】设1 ()()z f xy y x y x ?=++，f ，?具有二阶连续导数，则 2________z x y ?=??。 答案：()()()yf xy x y y x y ??'''''++++ 注：①混合偏导数在连续的条件下与求导次序无关； ②此题中f 和?均为一元函数。 【05】设函数(,)()()()d x y x y u x y x y x y t t ??ψ+-=++-+? ，其中函数?具有二阶导数，ψ 具有一阶导数，则必有（ ） （A ）2222u u x y ??=-??；（B ）2222u u x y ??=??；（C ）222u u x y y ??=???；（D ）222 u u x y x ??=??? 答案：B 全微分形式不变性 例：利用全微分形式不变性求sin u z e v =，u xy =，v x y =+的偏导数。 【06】设函数()f u 在(0,)+∞内具有二阶导数，且z f =满足等式 2222 0z z x y ??+=??
§8 函数图像的渐近线及其应用 秒杀知识点①② 知识点1：（渐近线的定义与类型） 1．若曲线C 上的动点P 沿着曲线无限地远离原点时，点P 与某一固定直线l 的距离趋于零，则称直线l 为曲线C 的渐近线． 2．渐近线分类：共分三类：水平渐近线（0α=），垂直渐近线π2α??= ??? 和斜渐近线（0πα<<），其中α为渐近线的倾斜角． 知识点2：（渐近线的求法） 设曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+．如图所示，曲线上动点P 到渐近线的距离 ()() cos PN PM f x kx b α==-+．① 根据渐近线定义，当x →+∞（对x →-∞的情形也有相应结果）时，0PN →，从而应有 ()()lim 0x f x kx b →+∞ -+=????，②或()lim x f x kx b →+∞-???=? ，③ 又由()()()1lim lim 00x x f x k f x kx b x x →+∞ →+∞?? -=-=?= ???． 得()lim x f x k x →+∞ =．④ 于是，若曲线()y f x =有斜渐近线y kx b =+，则k ，b 可由③，④确定，反之，若由④和③式求得k ，b ，再由②和①式得0PN →，从而直线y kx b =+为曲线()y f x =的渐近线．即斜渐近线问题就是③和④的极限问题． 若曲线()y f x =存在水平渐近线y b =，则有()lim x f x b →+∞ =或()lim x f x b →-∞ =，反之，则y b =是曲线() y f x =的水平渐近线． 若曲线()y f x =存在垂直渐近线0x x =，则有()0 lim x x f x →=∞或()0 lim x x f x +→=∞，()0 lim x x f x -→=∞，反之，则说
E X C E L中的绘图工具 使用技巧 Document serial number【LGGKGB-LGG98YT-LGGT8CB-LGUT-
EXCEL中的绘图工具使用技巧 2009-04-17 11:59:37 阅读5396 评论1 字号：大中小订阅 基础班选修课讲义 1、从绘图工具栏直接绘制直线、单边带箭头直线、椭圆、矩形； 2、从绘图工具栏“自选图形”中选择：线条、基本形状、箭头汇总、流程图、星与旗帜、标注、其它自选图形…… 3、添加和编辑绘制图形中的文字内容（右键－添加文字）； 4、工具栏中直接选择“文本框”、“竖排文本框”； 5、图形右键菜单的其它功能（超链接、宏等）。 二、绘制单位正方形、单位圆、单位正xx…… 1、从绘图工具栏及其“自选图形”中选择矩形、椭圆、菱形、平行四边形等图标……到单元格内点击一下，就可生成单位正方形、单位圆、单位正xx……（对线条不起作用）； 2、在绘图工具栏的“自选图形”中双击选择的图形，可直接生成单位圆、单位正方形、单位正菱形、单位正平行四边形等图案（单位边长）。 三、连续绘图 1、双击绘图工具栏中需要绘制的图形，比如椭圆、长方形、直线，以后可以连续绘制出椭圆/圆、长方形/正方形以及直线；按ESC键取消连续画图； 2、对绘图工具栏“自选图形”中的图形使用双击，只能产生“单位正xx”图形，不能连续绘图（其作用见“二、2”条）。 3、右键绘图工具栏－自定义－命令－自选图形－选择命令－拖到工具栏中，今后就可以双击这些图形连续绘图。 四、改变图形 1、改变绘制图形的线条、箭头、边框、色彩设置（右键或者双击图形，设置自选图形格式；工具栏中选择）； 2、点击和转动相关图形中的绿色圆点转动图形； 3、使用绘图工具栏“翻转”按钮； 4、点击和拖动相关图形中的黄色圆点改变图形； 5、右键已经画好的图形，点击绘图工具栏的“绘图”，选择“改变自选图形”，再选择你想得到的图形； 6、绘图默认效果的设置； 7、（重要应用之一）改变单元格批注图形：单元格批注显示后，右键“批示”框，点击绘图工具栏的“绘图”，选择“改变自选图形”，再选择你要得到的图形；
物理实验数据记录、作图规范及Excel使用方法简单介绍 一、数据记录规范 物理实验要求采用表格记录数据，其中记录数据必须包括“表头”、“物理量”、“单位”、“数据”四部分，缺一不可。 以单摆测量重力加速度为例： 表一：摆长为70cm时不同测量次数n测得的周期T 注意：1、表头，即表格的名字，要放在表格的正上方！ 2、数据记录时请仔细检查有效数字位数是否正确！ 二、常见作图规范 物理实验很多时候要求依据记录的数据作出相应的图形，在作图时，图中应包括“图的名称”、“纵、横坐标物理量和单位”、“纵、横坐标轴标度值”、“数据点和拟合的趋势线”、“拟合趋势线的方程表达式和R值”和“图例”六部分，缺一不可。 以电阻应变式传感器实验作图为例说明：
Excel （以2010版本为例）在物理实验中的应用： 1、 利用Excel 作图并求出拟合曲线 操作方法： (1)、将所测数据输入到Excel 表格中，最好保证第一列为自变量，即x 轴数据：如图所示： 图的名称 物理量和 单位 图例 拟合曲线表达式及R 2 因子 合适的坐标标度 数据点及拟合的曲线
(2)、选中需要作图的数据，如图所示：选中x和y1列 (3)、在选中数据的基础上，点击菜单栏的“插入”，找到“散点图”，点击如图所示的散点图。 可以得到如下所示的结果：
(4)、选中上一步得到的图形，在菜单栏找到“布局”选项，可以看到在布局选项卡下边有“图表标题”、“坐标轴标题”、“图例”、“数据标签”、“坐标轴”等选项。每一个选项均可以设置相应的内容 其中“图标标题”请选用图标上方，然后单击图上生成的标题，拖到图的下方，同时将
第十章 多元函数微分学 一、学习要点 1.关于二元函数 会求二元函数的定义域和相应的函数值。求二元函数定义域及函数值的方法与一元函数的方法相似。 2.关于二元函数微分 (1)熟练掌握一阶、二阶偏导数的计算方法和复合函数、隐函数一阶偏导数的计算方法，尤其是形如z=f (x 2－y 2 ，e xy )等的复合函数的偏导数。能熟练地求全微分。 偏导数的定义、计算公式基本与一元函数导数公式相同。求偏导数时，对一个变量求导时，将另一变量视为常数。如求函数32ln z y x u ++=的偏导数 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) 复合函数求偏导数是难点。一般用链式法则，即z=f (u ，v)，u=u(x ，y)，v=v(x ，y)，有 y v v z y u u z y z x v v z x u u z x z ????????????????????+=+= 具体情况有两种： （一）全部函数关系都给出：这时可按前边方法求偏导数，如求二元函数 )ln(2v u z +=，xy e v y x u =+=,22. 的偏导数y z x z ????,，可以把u ，v 代入z 中，再求偏导数，即 z=ln(x 2+y 2+e 2xy )，求偏导数有 xy xy e y x ye x x z 222222+++=?? xy xy e y x xe y y z 222222+++=?? （二）部分函数关系没有给出：此时只有用链式法则。如求函数z=f(xy ，x 2+y 3)，
的一阶偏导数，则不能用如上方法求解.正确求法是记u=xy ，v=x 2+y 3，用链式法则 x v f y u f x v v z x u u z x z 2??????????????+=+=，23y v f x u f y z ??????+= 上例也可以用链式法则，有 xy xy xe v u v y v u y z ye v u v x v u x z 2222221,221+++=+++=???? 求隐函数的偏导数，是复合函数求偏导数的应用，方法仍然同一元隐函数的求导. 如求函数32ln z y x u ++=的偏导数. 32121z y x x u ++=??(y ，z 为常数)，32221z y x y y u ++=??(x ，z 为常数) (2)知道函数连续、可微、偏导数存在的关系。 3.关于偏导数的几何应用 掌握求曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线的方法. (1)设空间曲线方程为x =x (t)，y =y (t)，z = z (t)，在t=t 0处的切线方向为 ))(),(),((000t z t y t x l '''=ρ，则在t 0处曲线的 切线方程为 )()()()()()(000000t z t z z t y t y y t x t x x '-='-='- 法平面方程为 )())(()())(()())((000000t z t z z t y t y y t x t x x '-+'-+'-=0 (2)曲面F (x ，y ，z)=0(或z=f (x ，y))，在曲面上的点P(x 0，y 0，z 0)处的法方向为)}1,,{(},,{),,(),,(000000z y x y x z y x z y x f f F F F n -'''''=或ρ，则在点(x 0，y 0，z 0)处的 切平面方程为 0)()()(000=-'+-'+-'z z F y y F x x F z y x 法线方程为 z y x F z z F y y F x x ' -='-='-000
常用机械制图手工绘图工具及使用 技巧 熟练掌握常用的绘图工具使用技巧,对于提高手工绘图的质量和速率有重要意义。 —、常用绘图工具 （1）（图板）画图时，需将图纸平铺在图纸上，所以，图板的表面必须平整、光洁、且富有弹性。图板 的左侧边称为导边，必须平直。常用的图板规格有0号、1号和二号三种。 （2）丁字尺丁字尺主要用于画水平线，它由尺头和尺身组成。尺头和尺身的连接处必须牢固，尺头的 内侧边与尺身的上边（称为工作边）必须垂直。使用时，用左手扶住尺头，将尺头的内侧边紧贴图板的 导边，上下移动丁字尺，自左向右可画出一系列不同位置的水平线，如图1–18a所示。 （3）三角板三角板有45°-90°角和30°-60°-90°角的各一块。将一块三角板与丁字尺配合使用，自下而上 可画出一系列不同位置的直线，如图1-18b所示；还可画与水平线成特殊角度如30°、45°、60°的倾斜线，如图1-18c所示将两快三角板与丁字尺配合使用，可画出与水平线成15°、75°的倾斜线，如图2所示。两块三角板互相配合使用，可任画已知直线的水平线或垂直线，如图3所示。 图1用丁字尺和三角板画线 图2画15度75度斜线 图3画已知直线平行线和垂直线 二、分规、比例尺 (1)分规分规是用来量取尺寸、截取线段、等分线段的工具。分规的两腿端部有钢针，当两腿合龙时， 两针尖应重合于一点，如图4所示。图5所示为用分规在比例尺上量取尺寸（图5a），然后在线上连续截取等长线段（图5b）的方法若欲将图5c所示的AB线段四等分，可先任凭自测估计，将分规的两针 尖开到约为AB/4进行试分，如有剩余（或不足）时，再将针尖间的距离张大（或缩小）e/4，e为剩余或不足量，再进行试分，直到满意为止。用试分法也可等分圆或圆弧。 (2)比例尺比例尺的三个棱面上有六种不同比例的刻度，如1：100、1：200等，可用于量取不同比例的 尺寸。 图5分规画法 三、圆规圆规是用来画圆或圆弧的工具。圆规固定腿上的钢针具有两种不同形状的尖端：带台阶的尖端是画圆货圆弧时定心用的；带锥形的尖端可作分规使用。活动腿上有肘形关节，可随时装换铅芯插脚、 鸭嘴脚及作分规用的锥形钢针插脚，如图6所示。 图6圆规及附件 画圆或圆弧时，要注意调整钢针在固定腿上的位置，使两腿在合龙时针尖比铅芯稍长些，以便将针尖全部扎入内，如图7a所示；按顺时针方向转动圆规，并稍向前倾斜，此时，要保证针尖和笔尖均垂直纸 面，如图7b所示；画大圆时，可接上延长杆后使用，如图7c所示。 图7圆规用法 四、曲线板曲线板是绘制非圆曲线的常用工具。画线时，先徒手将各点轻轻地连成曲线，如图8a所示；然后在曲线板上选取曲率相当的部分，分几段逐次将各点连成曲线，但每段都不要全部描完，至少留出后两点间的一小段，使之与下段吻合，以保证曲线的光滑连接，如图8b所示。 图8非圆曲线的描绘 五、铅笔(1)铅笔的型号及应用绘图铅笔分软与硬两种型号，字母“B”表示软铅笔，字母“H”表示硬铅芯。“B” 之前的数值越大，表示铅芯越硬。 之前的数值越大，表示铅芯越软；“H” 字母“HB”表示软硬适中的铅芯。 图9修磨铅笔的方法
§8.5多元复合函数微分法 复习：一元复合函数的求导法则 设)]([x f y ?=是由)(u f y =和)(x u ?=复合而成，则)()(x u f dx du du dy dx dy ?'?'=?=。 8.5.1全导数 定理1 若函数)(x u ?=及)(x v ψ=都在点x 可导，函数)v ,u (f z =在对应点)v ,u ( 处可微，则复合函数)](),([x x f z ψ?=在点x 可导，且 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=（全导数公式）。 ① 证明：给x 以增量x ?，则u 、v 得相应的增量u ?、v ?， 从而)v ,u (f z =有全增量) ,() ,(v u f v v u u f z -?+?+=?， ∵)v ,u (f z =在)v ,u (处可微， ∴)(ρ+???+???= ?o v v z u u z z ，其中22)()(v u ?+?=ρ。 ∵)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 可导， ∴)(x u ?=、)(x v ψ=都在点x 必连续， 即当0→?x 时，0→?u ，0→?v ，从而0lim 0 =ρ→?x 。 ∵ x o x v v z x u u z x z ?ρ+????+????=??)(， 而x o o x x ?ρ?ρρ=ρρ→?→?)(lim )(lim 00])()([lim )(lim 220 0x v x u o x x ??+??±?ρρ=→?→? 0])()([022=+±?=dx dv dx du ， ∴ x o x v v z x u u z x z x x x x ?ρ+????+????=??→?→?→?→?) (lim )(lim )(lim lim 0000， 即 x d v d v z x d u d u z dx z d ? ??+???=。
第八章 多元函数微分法及其应用 (A) 1．填空题 (1)若()y x f z ,=在区域D 上的两个混合偏导数y x z ???2，x y z ???2 ，则在D 上， x y z y x z ???=???22。 (2)函数()y x f z ,=在点()00,y x 处可微的 条件是()y x f z ,=在点()00,y x 处的偏导数存在。 (3)函数()y x f z ,=在点()00,y x 可微是()y x f z ,=在点()00,y x 处连续的 条件。 2．求下列函数的定义域 (1)y x z -=；(2)2 2 arccos y x z u += 3．求下列各极限 (1)x xy y x sin lim 00→→； (2)11lim 0 0-+→→xy xy y x ； (3)22222200)()cos(1lim y x y x y x y x ++-→→ 4．设()xy x z ln =，求y x z ???23及2 3y x z ???。 5．求下列函数的偏导数 (1)x y arctg z =；(2)()xy z ln =；(3)32z xy e u =。 6．设u t uv z cos 2+=，t e u =，t v ln =，求全导数 dt dz 。 7．设()z y e u x -=，t x =，t y sin =，t z cos =，求dt du 。 8．曲线?? ???=+= 4422y y x z ，在点(2,4,5)处的切线对于x 轴的倾角是多少？ 9．求方程122 2222=++c z b y a x 所确定的函数z 的偏导数。 10．设y x ye z x 2sin 2+=，求所有二阶偏导数。
第九章多元函数微分法及其应用 【教学目标与要求】 1、理解多元函数的概念和二元函数的几何意义。 2、了解二元函数的极限与连续性的概念，以及有界闭区域上的连续函数的性质。 3、理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件， 了解全微分形式的不变性。 4、理解方向导数与梯度的概念并掌握其计算方法。 5、掌握多元复合函数偏导数的求法。 6、会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数。 7、了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，会求它们的方程。 8、了解二元函数的二阶泰勒公式。 9、理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，了解二元函数极值存在的充分条件，会求二元函数的极值，会用拉格郎日乘数法求条件极值，会求简多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 【教学重点】 1、二元函数的极限与连续性； 2、函数的偏导数和全微分； 3、方向导数与梯度的概念及其计算； 4、多元复合函数偏导数； 5、隐函数的偏导数；多元函数极值和条件极值的求法； 6、曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线； 【教学难点】 1、二元函数的极限与连续性的概念； 2、全微分形式的不变性； 3、复合函数偏导数的求法； 4、二元函数的二阶泰勒公式； 5、隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数； 6、拉格郎日乘数法，多元函数的最大值和最小值。 【教学课时分配】 (18学时) 第1 次课§１第2 次课§2 第3 次课§3 第4 次课§4 第5次课§5 第6次课§6 第7次课§7 第8次课§8 第9次课习题课 【参考书】 [1]同济大学数学系.《高等数学（下）》，第五版.高等教育出版社. [2] 同济大学数学系.《高等数学学习辅导与习题选解》，第六版.高等教育出版社. [3] 同济大学数学系.《高等数学习题全解指南（下）》，第六版.高等教育出版社
画图工具的使用 韦忠丽 一、说教材 1 教材地位与作用 本节课内容选择贵州教育出版社出版的初中信息技术第一册第一单元第10课，属于基础新知识，在本学期的课程起到承上启下的作用。 2 三维目标 知识与技能： 会打开和关闭画图软件，会使用画图工具和保存文件，认识文件扩展名txt和bmp。 过程与方法： 体验绘画的过程，自主学习，合作交流，培养学生获取信息，处理信息的能力。 情感态度与价值观： 培养学生敢于探究发现知识的精神品质，通过自我展示，自我激励体验成功，在不断尝试中激发求知欲，在不断探索中陶冶情操。 3 教学重难点 重点： 掌握画图程序的工具箱中的几种基本工具的使用方法。（前景色和背景色的改变和椭圆，曲线，直线，矩形工具的使用） 难点： 椭圆，曲线，直线，矩形工具的使用。 二、说学情 七年级的学生对计算机的基本操作已经有一定的基础，对电脑应用软件也有了初步的认识。在这些现有知识的基础上，他们对新知识领域充满强大的好奇心，广泛的兴趣爱好让他们拥有一定的自主学习能力。当然，也会存在一些学习能力相对比较弱的同学，所以充分调动大家的学习积极性，有的放矢的看展教学是本节课的关键。 三、说教法 结合教学内容的特点和学生的认知规律，我采用“创设情景法”，“任务驱动法”，“协作学习法”这三种教学方法进行教学。 四、说学法 在教学过程中，让学生带着任务通过自主学习，合作探究的学习方式、逐步完成任务，使学生在完成任务的过程中实现知识的传递、迁移和融合。 五、说教学过程 1 创设情境，课堂导入
为了瞬间捕捉同学们的注意力，激起大家的好奇心，我选择展示《美少女》动漫画图作品，并播放该作品仅需不到两分钟的神奇制作过程视频给大家看，问： 大家想不想自己画出这么漂亮的作品呢？接下来我们就一起来学习如何制作这么好看的图画吧！ 设计意图：通过情景导入，激发学生的学习兴趣，让学生明白本节课大概内容，为新课学习做好准备。 2 任务驱动，自学讨论 在创设情境，学生明确了学习任务后，让学生大胆在事件中搜索，获取知识，让学生带着问题通过自己的学习和研究掌握本节课的学习内容，在学习过程中，学生遇到的难题，我主要采取以下方法突破: (1)、教学微视频（2）、同学间讨论（3）、教师巡回指导 设计意图：这样的设计充分体现了学生的自主性，让学生在不断尝试中获得新知，同学和老师只是自我学习的合作者和帮助者，让学生明白获取知识的多种途径，同时可以照顾学生之间的差异。 3 学生练习，成果展示 学生在明确了教学任务，掌握了一定的技能后，就想马上展示自己的能力，这时候把握时机让他们根据自己所学到的知识自由发挥创作一幅作品，没有思路的可以参考课后的“练一练”画鱼，学生练习的同时了事巡视指导，及时掌握学生的学习情况。 最后让完成较好的学生展示作品并演示操作过程，让学习能力比较弱的学生通过对比学习，不断努力，不断进步。 设计意图：通过学生自己创作及展示，教师巡视指导方式，可以让学生大胆创新，自由发挥，体现了新课改理念“学为主体，教为主导”。 4 学生总结，教师补充 在这一环节，可以用“这节课，我学会了……”，“通过这节课的学习，我会做……”这样的形式让学生自我总结，学生说完之后，教师再在学生总结的基础上进行补充，并把总结要点回放给学生看。 设计意图：通过这样的总结方式，可以检验和了解学生学习是否达到预期的目标，有利于发现教学中存在的问题，并及时反思，及时改善。 六、说板书设计 本节课采用的是提纲式板书结构，分别在导入和新授中能够帮助学生掌握学习重点。 设计意图：把本课重点知识写在黑板上，有助于加深学生印象，同时在他们遇到难题时具有指导性作用。 我的说课到此结束，谢谢大家！
多元函数微分学总结内部编号：（YUUT-TBBY-MMUT-URRUY-UOOY-DBUYI-0128）
`第八章多元函数微分学 基本知识点要求 1.理解多元函数的概念，理解二元函数的几何意义. 2.了解二元函数的极限与连续的概念以及有界闭区域上连续函数的性质。 3.理解多元函数偏导数和全微分的概念，会求全微分，了解全微分存在的必要条件和充分条件，了解全微分形式的不变性。 4.理解方向导数与梯度的概念，并掌握其计算方法. 5.熟练掌握多元复合函数一阶、二阶偏导数的求法. 6.了解隐函数存在定理，熟练掌握多元隐函数偏导数的求法. 7.了解空间曲线的切线和法平面及曲面的切平面和法线的概念，熟练掌握它们的方程的求法。 8.了解二元函数的二阶泰勒公式. 9.理解多元函数极值和条件极值的概念，掌握多元函数极值存在的必要条件，掌握二元函数极值存在的充分条件，并会求二元函数的极值，会用拉格朗日乘数法求条件极值，会求简单多元函数的最大值和最小值，并会解决一些简单的应用问题。 基本题型及解题思路分析 题型1 与多元函数极限、连续、偏导数和可微的概念及其之间的关系有关的题 1.二元函数的极限与连续的概念及二元函数极限的计算。 （1）基本概念
①二元函数极限的定义：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 是D 的聚点.若?常数A ，对于?0ε>，总?0δ>，使得当0(,)(,)P x y D U P δ∈时，都有 ()(,)f P A f x y A ε-=-<成立，则称A 为函数(,)f x y 当00(,)(,)x y x y →时的极限，记 作 000 (,)(,) lim (,)lim ()x y x y P P f x y A f P A →→==或。 ②二元函数的连续：设()(,)f P f x y =的定义域为D ,000(,)P x y 为D 的聚点，且 0P D ∈.若 0000(,)(,) lim (,)(,)x y x y f x y f x y →=，则称(,)f x y 在点000(,)P x y 连续。 （2）关于二元函数极限的解题思路 注意：在二元函数0 lim ()P P f P A →=存在的定义中，0P P →方式任意，正是由于这 一点致使二元函数有与一元函数不一样的性态，在学习过程中注意比较、总结和体会二者之间的不同。 ① 证明二元函数的极限不存在：若0P P 以两种不同的方式趋于时，()f P 的极 限不同，则0 lim ()P P f P →一定不存在（见例1）。 ②求二元函数的极限：可以应用一元函数求极限方法中的适用部分求二元 函数的极限，比如：极限的局部有界性、局部保号性、四则运算法则、夹逼准则、两个重要的极限、变量代换法则、等价无穷小代换、分子分母有理化、无穷小量与有界变量的乘积仍为无穷小量、连续性等（见例2） 例1证明：2 24(,)xy f x y x y =+在原点0,0（）的极限不存在。 【分析】观察分子、分母中变量,x y 的各次幂的特点，可考虑选择路径 2x ky =。 证明： 22 24242442000lim (,)lim lim 1y y y x ky x ky xy ky k f x y x y k y y k →→→=====+++， k ∴不同，极限值就不同，故 (,)(0,0) lim (,)x y f x y →不存在。
如何使用画图工具 桦南县桦南镇幸福学校刘冰 想在电脑上画画吗？很简单，Windows 已经给你设计了一个简洁好用的画图工具，它在开始菜单的程序项里的附件中，名字就叫做“画图”。 启动它后，屏幕右边的这一大块白色就是你的画布了。左边是工具箱，下面是颜色板。 现在的画布已经超过了屏幕的可显示范围，如果你觉得它太大了，那么可以用鼠标拖曳角落的小方块，就可以改变大小了。 首先在工具箱中选中铅笔，然后在画布上拖曳鼠标，就可以画出线条了，还可以在颜色板上选择其它颜色画图，鼠标左键选择的是前景色，右键选择的是背景色，在画图的时候，左键拖曳画出的就是前景色，右键画的是背景色。 选择刷子工具，它不像铅笔只有一种粗细，而是可以选择笔尖的大小和形状，在这里单击任意一种笔尖，画出的线条就和原来不一样了。 图画错了就需要修改，这时可以使用橡皮工具。橡皮工具选定后，可以用左键或右键进行擦除，这两种擦除方法适用于不同的情况。左键擦除是把画面
上的图像擦除，并用背景色填充经过的区域。试验一下就知道了，我们先用蓝色画上一些线条，再用红色画一些，然后选择橡皮，让前景色是黑色，背景色是白色，然后在线条上用左键拖曳，可以看见经过的区域变成了白色。现在把背景色变成绿色，再用左键擦除，可以看到擦过的区域变成绿色了。 现在我们看看右键擦除：将前景色变成蓝色，背景色还是绿色，在画面的蓝色线条和红色线条上用鼠标右键拖曳，可以看见蓝色的线条被替换成了绿色，而红色线条没有变化。这表示，右键擦除可以只擦除指定的颜色－－就是所选定的前景色，而对其它的颜色没有影响。这就是橡皮的分色擦除功能。 再来看看其它画图工具。 是“用颜料填充”，就是把一个封闭区域内都填上颜色。 是喷枪，它画出的是一些烟雾状的细点，可以用来画云或烟等。 是文字工具，在画面上拖曳出写字的范围，就可以输入文字了，而且还可以选择字体和字号。 是直线工具，用鼠标拖曳可以画出直线。 是曲线工具，它的用法是先拖曳画出一条线段，然后再在线段上拖曳，可以把线段上从拖曳的起点向一个方向弯曲，然后再拖曳另一处，可以反向弯曲，两次弯曲后曲线就确定了。 是矩形工具，是多边形工具，是椭圆工具，是圆角矩形，多边形工具的用法是先拖曳一条线段，然后就可以在画面任意处单击，画笔会自动将单击点连接起来，直到你回到第一个点单击，就形成了一个封闭的多边形了。另外，这四种工具都有三种模式，就是线框、线框填色、和只有填色。 是选择工具，星型的是任意型选择，用法是按住鼠标左键拖曳，然后只要一松开鼠标，那么最后一个点和起点会自动连接形成一个选择范围。选定图形后，可以将图形移动到其它地方，也可以按住Ctrl键拖曳，将选择的区域复制一份移动到其它地方。 选择工具也有两种模式，如下图所示：
第九章多元函数微分法及其应用 一、基本要求及重点、难点 1. 基本要求 (1)理解二元函数的概念，了解多元函数的概念。 (2)了解二元函数的极限、连续性概念，有界闭域上连续函数的性质。 (3)理解偏导数和全微分的概念，熟练掌握偏导数的计算，了解全微分存在的必要条件 和充分条件。 (4)了解方向导数与梯度的概念及其计算方法。 (5)掌握复合函数一阶偏导数的求法，会求复合函数的二阶偏导数。 (6)会求隐函数（包括由方程组确定的隐函数）的偏导数（主要是一阶）。 (7)了解曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线、并会求出它们的方程。 (8)理解多元函数极值和条件极值的概念，会求二元函数的极值。了解求条件极值的拉 格朗日乘数法，会求解一些较简单的最大值和最小值的应用问题。 2. 重点及难点 （1）重点：多元函数概念，偏导数与全微分概念，偏导数计算，微分在几何上的应用，多元函数的极值的计算。 （2）难点：二重极限的定义与计算，多元函数连续；偏导数存在与可微之间的关系；复合函数的高阶偏导数；方向导数、偏导数、梯度之间的关系。。 二、内容概述 多元函数微分学是一元函数微分学的推广，因此两者之间有许多相似之处，但是要特别注意它们之间的一些本质差别。 1.多元函数的极限和连续 (1)基本概念 1)点集和区域。 2)多元函数的定义、定义域。 3)二元函数的极限、连续。 (2)基本定理 1)多元初等函数在其定义域内是连续的。 2)多元连续函数在有界闭区域上一定有最大值M、最小值m；且必取到最大值 M和最小值m之间的任何值。 2.多元函数微分法 (1)基本概念
偏导数、全微分、高阶偏导数的定义。 (2) 计算方法 1) 偏导数：),(y x f z =在),(00y x 处对x 的偏导数 x x x z =??，就是一元函数 ),(0y x f z = 在0x x =处的导数；对y 的偏导数 x x x z =??（同理）。 2) `全微分：),(y x f z =的全微分dy y z dx x z dz ??+??= 3) 复合函数求导法则：画出函数到自变量的路经，然后利用链式迭加法则：即同 条路经的偏导数相乘，不同路经的偏导数相加，求出所要的偏导数。 A. 设),(v u f z =，)(),(t v t u ψ?==，则全导数dt dv v z dt du u z dt dz ??+ ??=。 B. 设),(v u f z =，),(),,(y x v y x u ψ?== 则： x v v z x u u z x z ????+ ????=??，y v v z y u u z y z ????+????=??。 4) 隐函数求导法则： A. 设函数)(x f y =由隐函数0),(=y x F 确定，则 y x F F dx dy -=。 B. 设函数),(y x f z =由隐函数0),,(=z y x F 确定，则 z x F F dx dz -=，z y F F dy dz - =。 C. 设函数)(),(x g z x f y ==由隐函数方程组?? ?==0 ),,(0 ),,(z y x G z y x F 确定，从 ???? ?='+'+='+'+0)()(0 )()(x g G x f G G x g F x f F F z y x z y x ，求出导数)(),(x g x f ''。 (3) 多元函数连续、可导、可微的关系 (4) 基本定理