应用知识例题
一年级数学培训参考资料
1.一个梨的重量等于两个苹果的重量，一个苹果的重量等于两个柿子的重
量，那么一个梨等于（）个柿子的重量。
解：4个。
2.找规律填空：3，8，13，18，（）。
解：23。后面的数总比前面的数大5。
3.找规律填数：1，3，7，15，（），63，（）。
解：31，127。规律：1+2=3，3+4=7，7+8=15，15+16=31，31+32=63，63+64=127。
4.按规律填空：10 （）20 （）（）35 （）45 （）；
解：15，25，30，40，50。
5.1，2，4，7，11，16，( )，（）。
解：22，29。
6.某一个两位数，个位上的数总比十位上的数多2，那么这个两位数是什么?
解：答案不唯一：13，24，35，46，57，68，79。
7.某一个两位数的个位数是0，去掉这个0之后所得的数比原来的数少45，
这个数是（）。
解：50。用列举法，50去掉0是5，50-5=45。
8.某一个两位数，十位上的数是个位上的两倍，那么这个两位数可能是？
解：答案不唯一：21，42，63，84。
9.动物园里有只长颈鹿，它的年龄数是用最大的两位数减去最小的两位数，
再减去最大的一位数后所得的数。这只长颈鹿有多少岁？
解：99—10—9=80（岁）。
10.小红比小明小两岁，小刚比小红大四岁，那么小明和小刚相比谁大？大几
岁？
解：小刚大，大两岁。
11.马路边挂了一排灯笼，灯笼的颜色分别是红、黄、蓝，红、黄、蓝……,
那么第十三个灯笼是什么颜色的?
解：红色的。三个为一组循环，3+3+3+3=12，那么第十三个就是下一组的开头了，所以就是红色的。
12.两点之间直线最短。
解：正确。
13.两个点可以形成一条直线。
解：正确。
14.两条线段没有交点，那么这两条线段所在的直线是平行的。
解：错误。
15.两条线段之和一定大于第三条线段。
解：错误。这句话在三角形内是正确的。
16.四个角都是直角的四边形是长方形。
解：正确。
17.四条边长度相等的四边形是正方形。
解：错误。还需要加一个条件是有一个角是直角。
18.对角线相等的平行四边形是正方形。
解：错误。对角线相等且互相垂直的平行四边形是正方形或对角线相等的平
行四边形是长方形。
19. ◇ 在上面的◇里写2，左边的◇里写 6；
◇ ◇ 在右边的◇里写4，下面的◇里写3。
◇
解：略。
20. 在○里填上“+”或“—”。
36○6=30 15○5=10 7○2=9 32○15=17
解：—， —， +， —。
21. 填一填：△—5=11 ○+△=18 △=( ) ○=( )
解：16，2。
22. ○+○=6，○=（ ），△+△+△=15， △=（ ），○+△=（ ）。
解：3，5，8.
23. 用8和5可以组成两个数，最大的是（ ），最小的是（ ），两个数
相差（ ）。
解：85，58，27。
24. 把空的格子填上数，使得横、竖行的三个数相加都等于10。
竖行10—2—4=4，横行10—1—2=7.
25. （ ）—4 = 6—（ ）； 8—（ ）=5+（ ）
解：5，5；2，1。（答案不唯一）
26. 妈妈带露露到人民公园玩，妈妈准备了20元钱，有下面几种可以玩的，
那么露露可以玩什么呢？你给设计一下。
A 、过山车 每人5元；
B 、旋转木马 每人3元；
C 、碰碰车 每人5元；
D 、蹦蹦床 每人10元。
露露有几种玩法？（至少设计四种）：
解：A+C+D; A+B+D; A+B+C; B+C+D;
27. 天平上有8个球，左边4个，右边4个，如果从8个球中拿走一个球，那
么天平上还剩几个球？
○○○○ ○○○○
△
解：0个，天平倒了，全掉了。
28. 10。
29.数一数，下面的图形中有几个正方形？
解：8
30.一只大象可以活79年，一只长颈鹿可以活30年，大象比长颈鹿可以多活
多少年？
解：79—30=49（岁）。
31.学校有26个篮球，58个足球，再买就、多少个篮球就可以和足球一样多？
解：58—26=32（个）。
32.2个女同学从图书馆借走了5本书，3个男同学借走了6本书，他们一共
借走了多少本书？
解：5+6=11（本）
33.学校被损坏的课桌椅已经修好了32张，还有45张没有修，学校一共有
多少张被损坏的课桌椅？
解：32+45=77（张）
34.小花期末数学考了100分，妈妈奖励5元钱买糖果吃，小花买了5个棒棒
糖，每个5角钱，又买了一个一元钱的泡泡糖，那么你算算看小花现在还剩下多少钱？
解：一元五角钱。
35.18个同学排成一队上体育课，小明的前面有7个同学，小明的后面有几个
同学？
解：18—（7+1）=10（个）。
36.操场上站着一排男同学，一共有6个，在每两个男同学之间站2个女同学，
一共站了多少个女同学？
解：10个。6个男同学之间共有5个空可以站女同学，所以2+2+2+2+2=10。
37.一根木头被锯成两段需要2分钟，锯成五段需要几分钟？
解：8分钟。钜五段需要锯4下，2+2+2+2=8。
38.一只猫吃一只老鼠用５分钟吃完，５只猫同时吃５只同样大小的老鼠，需
要几分钟才能吃完？
解：5分钟。
39.小明要在门前长10米的路边种树，每两棵树之间间隔2米，小明种一棵
树需要15分钟，那么小明要种几棵树？种完一共需要多长时间？
解：要种6棵树，需要90分钟也即一个半小时。
40.星期天，小花想要帮妈妈分担家务，就自己洗自己的衣服，小花一共有六
件衣服要洗，洗一件衣服需要10分钟，现在已经10点10分了，小花能
不能在11点的时候把衣服洗完然后帮妈妈做饭呢？
解：不能。洗衣共用时60分钟，小花洗完的时候已经11点10分了。
41.有8个皮球，如果男生每人发一个，就多2个，如果女生每人发一个，就
少2个，男生有多少人，女生有多少人？
解：男生有8—2=6（人），女生有8+2=10（个）。
42.小敏到商店买文具用品。她用所带钱的一半买了1支铅笔，剩下的，一半
买了1支圆珠笔，还剩下1元钱。小敏原来有多少钱？
解：小敏原来有四块钱。一支圆珠笔等于一元钱，一支铅笔等于一支圆珠笔加上一元钱等于两元钱，所以一共有2+2=4元钱。
43.把10个球分成三堆，每堆个数都是奇数，怎么分？
解：不能分。
44.小强和小明打了三个小时的乒乓球，小强和小明各打了几个小时的球？解：3个小时。
45.把一根绳子对折在一起，再在对折好的绳子中间剪一刀，那么现在有几段
绳子？
解：3段。
46.明明比梦梦大三岁，那么3年后，明明比梦梦大几岁？
解：3岁。
47.小明和小红同岁，但他们两个年龄之和是爸爸年龄的一半，妈妈今年45
岁，爸爸比妈妈大，但不超过5岁。那么爸爸和小明分别多大？
解：爸爸48岁，小明12岁。（根据：爸爸年龄的一半一定是偶数。）
48.小红每天早上、中午、晚上各吃2支香蕉。一天中，小红共吃了多少支香
蕉？
解：6支。2+2+2=6。
49.有15辆汽车组成一列车队向前进，从前往后数，红色的汽车是第8辆。
那么，从后往前数是第几辆？
解：第8辆。
50.明明看一本80页的书，第一天从第一页看起，看了16页，第二天看了13
页，第三次是从第几页看起？
解：30页。16+13=29。
51.有一伙小朋友在玩捉迷藏游戏，其中有9人已被找到，还有5人没有被找
到，那么共有几个小朋友在玩游戏？
解：15个。9+5+1=15。
52.鸭妈妈领着自己的孩子在学游泳，她总担心孩子游丢了，总是数着，从前
往后数自己是第六个，从后往前数自己是第七个，那么鸭妈妈一共有（）个孩子。
解：11个。（6—1）+（7—1）+11。
53.1+2+3+4+5+6+7+8+9=（）
解：45。找规律：（1+9）+（2+8）+（3+7）+（4+6）+5=10+10+10+10+5=45。
54.1+3+5+7+9+11+13+15+17+19=（）
解：100。找规律：（1+19）+（3+17）+（5+16）+（7+13）+（9+11）=20+20+20+20+20=100。
55.2+4+6+8+10+12+14+16+18=（）
解：90。找规律：（2+18）+（4+16）+（6+14）+（8+12）
+10=20+20+20+20+10=90。
56.时钟在一点钟敲了1下，两点钟敲了2下，三点钟敲了3下……照这样下
去，从一点到十二点这12个小时，时钟共敲了（）下，如果每半个小时，时钟敲一下，那这12个小时内共敲了（）下。
解：1+2+3+……+12=78，78+12=90（下）。
57.6个小朋友分一袋苹果，分来分去多2个，问这袋苹果至少有几个？
解：至少有6+2=8（个）。若每个小朋友分到一个苹果，就有8个；若每个小朋友分到两个苹果，一共就有6+6+2=14（个）；若每个小朋友分到三个苹果，一共就有6+6+6+2=20（个）；以此类推……
58.小鹏家门口有三棵树，树的年龄分别有1、2、3、4、5、6这6个数字中
的两个组成，其中一棵的年龄是另两棵年龄和的一半，问这三棵树的年龄分别是多少？
解：12、34、56。
59.小明今年10岁,妈妈今年38岁,当小明15岁时,妈妈多少岁？
解：43岁。38+（15—5）=43。
60.下面是某校今年种植杨树、柳树、松树的棵树。
数种杨树柳树松树
棵树50 47 36
1.最少的是（）树，最多的是（）树。
2.松树比柳树少( )棵;
3.杨树比松树多（）棵；
4.今年学校一共种植了（）棵树。
解：1.松树、杨树。
2.11棵。47—36=11。
3.14棵。50—36=14。
4.133棵。50+47+36=100。
61.李老师带有60元钱，正好买一个足球和两个排球。如果只买两个排球，
还剩28元。一个足球多少钱？一个排球多少钱？
解：一个足球的价格是28元；
一个排球的价格是（60—28）=32的一半，也就是16元。
62.下面各图是什么图形？
解：图（1）是直线；图（2）是曲线；图（3）是线段；图（4）是射线；
图（5）是角；图（6）是三个点。
63.数一数，下面每个图形中，点、线段和角的个数。
解：上面图（1）、图（2）中各有三个点，三条线段，三个角；图（3）、（4）中各有四个点，四条线段，四个角；图（5）中有五个点，五条线段，五个角；图（6）中有六个点，六条线段，六个角。
64.计算1+2+3+4+5+6+7+8+9+10=
解：对于这道题，可以从左往右逐步相加：
1+2=3 3+3=6 6+4=10 10+5=15 15+6=21 21+7=28 28+8=36 36+9=45 45+10=55；
也可以头尾相加：
（1+10）+（2+9）+（3+8）+（4+7）+（5+6）=11+11+11+11+11=55。
65.计算10-9+8-7+6-5+4-3+2-1=
解：两项相结合运算：（10-9）+（8-7）+（6-5）+（4-3）+（2-1）=1+1+1+1+1=5。
66.哥哥和妹妹分糖。哥哥拿1块，妹妹拿2块；哥哥拿3块，妹妹拿4块；
接着哥哥拿5块、7块、9块、11块、13块、15块，妹妹拿6块、8块、10块、12块、14块、16块。你说谁拿得多，多几块？
解：先计算每次妹妹比哥哥多拿几块，再算共多拿了多少块。
(2-1)+(4-3)+(6-5)+(8-7)+(10-9)+(12-11)+(14-13)+(16-15)
=1+1+1+1+1+1+1+1
=8（块）
67.下图所示的“塔”由4层没有缝隙的小立方块垒成，求塔中共有多少小立
方块？
解：从顶层开始数，各层小立方块数是：
第一层：1块；第二层：3块；第三层：6块；第四层：10块；
总块数 1+3+6+10=20（块）。
从上往下数，各层小立方块数是：
第一层：1块；
第二层：第一层的1块加第二层“看得见”的2块等于第二层的块数：1+2=3块；
第三层：第二层的3块加第三层“看得见”的3块等于第三层的块数：3+3=6块；
第四层：第三层的6块加第四层“看得见”的4块等于第四层的块数：6+4=10块。
总块数1+3+6+10=20（块）
68.数一数，下面的立体图形的面数、棱数和顶点数各是多少？
解：图（1）是六棱柱；面数8，棱数18，顶点数12。
图（2）是由两个四面体组成；面数6，棱数9，顶点数5。
图（3）是五棱柱；面数7，棱数15，顶点数10。
图（4）是由两个四棱锥和一个四棱柱组成；面数12，棱数20，顶点数10。
69.把下图所示的一块土地分给5户人家，每户人家分得的土地的形状和大小
要相同，怎样分？
解：先计算一下，图中共有25个小正方形，题目要求把它分成大小相等的五块，每块就应含有5个小正方形。再考虑到每块形状相同的要求，经尝试可按下图所示的方法来进行划分。
70.某校四年级一班有学生45人，订阅《中国青少年报》的有29人，订阅《英
语周报》的有28人，其中两种都订阅的有16人，问两种刊物都没有订阅的人有多少？
解：至少订1份刊物的人：28+29-16=41（人）。
两种刊物都没有订的人：45-41=4（人）。
71.三点钟的时候时，挂钟响三下，用了12秒，八点钟时，挂钟响八下，要
用多少时间？
解：“当—当—当”钟响了三下，三响之间的间隔是两次，两个时间间隔用12秒，一个时间间隔就是12÷2=6（秒）；如果钟响八下，八响之间的间隔是7次，因而钟打六下要6×7=40（秒）。
72.如图所示。把1、2、3、4、5、6、7七个数填在下图中的七个方块中，每
个数只能用一次，使每条线上的三个数相加之和都等于12。
解：见图。中间圆圈里的数是关键数，应该如何确定它呢？
假设已经按题目要求把数全部填入了圆圈，那么每条线上的三个圆圈中的数相加应该都得12。我们如果进一步把三条直线上的数都加起来，得数应为：12+12+12=36。
不难看出，这样就把中间圆圈里那个数加了三次。因而它比七个圆圈中的数相加之和：1+2+3+4+5+6+7=28多了 36-28=8，
也就是8应是中间圆圈里的数的2倍所以中间圆圈里的数应是8的一半，
即 8÷2=4
下面再确定每条线上另外的两个圆圈里的数，方法如下：12-4=8
将8拆分：8=1+7=2+6=3+5，把这六个数适当的填入六个圆圈中。
73.把1、2、3、4、5、6、7、8、9这九个数字分成两部分并组成两个数，填
入下面的两个方框里，使两个数的和等于99999
解：把九个数字分成两部分，组成两个数，要求相加之和由五个9组成，可见一个数应是五位数，且9应在最高位，另一个是四位数。把除9之外的其余八个数字分成四对，每对的和是9，它们应是1和8，2和7，3和6，4和5。
它们可以组成以下算式，如：
可见分组方法是多种多样的。
74.在1、2、3、4、5、6、7之间放几个“+”号，能使它们的和等于100。
解：对这类题目一是要大胆尝试，边想边写，千万不要只想不写！二是可以先考虑与目标值（此题是100）较接近的大数，再考虑用较小的数进行调整、修正，使式子的得数逐渐接近目标值，也就是使之转化为较简单的情况。
（1）对此题可考虑先在67前面放一个“+”号，这样比100还小33，也就是说，转化成了较简单的情况：1 2 3 4 5=33
再考虑在23前放个“+”号，它比33还小10，这样问题又转化为：
1 4 5=10
这就很容易看出来了：1+4+5=10
所以最后可以确定组成的算式是：1+23+4+5+67=100
（2）此题还可以有另外的解法，边看边想可得出：34+56=90
剩下的三个数：1+2+7=10
所以最后可以组成如下的算式：1+2+34+56+7=100。
75.有一天鹏鹏家不小心把家里的钟表摔碎了，摔成了三块，鹏鹏仔细观察了
一下，虽然摔碎的三块形状大小不一，但上面的数相加之后结果是一样的，你知道钟表被摔成什么样子了么？每块上面数相加之和是多少？
解：钟面上的12个数是1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12。不难看出这些数有个特点：最小的1和最大的12相加得13，次小的2和次大的11相加得13……中间的6和7相加得13，即
可见，三块钟面上的数若按下面的方式组合，它们的和将会相等：（1，2，11，12），（3，4，9，10），（5，6，7，8）。每块钟面上的数之和是：1+2+11+12
=3+4+9+10=5+6+7+8=26。
76.如果全体自然数如下表排列，请问
①数20在哪个字母下面？
②数27在哪个字母下面？
③数70在哪个字母下面？
④数71在哪个字母下面？
解：仔细观察可以发现排列的规律：开头的七个数1，2，3，4，5，6，7分别排在A，B，C，D，E，F，G的下面以后每加七个数就又从头排起，如1+7=8，1+7+7=15，则8和15都和1那样，排在字母A的下面利用这个规律，就能求出哪个数在哪个字母下面。
①20=6+7+7，
可见20和6排在同一个字母下，即在字母F下面；
②27=20+7=6+7+7+7，
可见27也是排在字母F的下面；
可见70排在字母G下面；
④71=1+70，可见71和1都排在字母A的下面。
77.把1至16这十六个自然数巧妙地填入正方形的十六空格里，可以做成有
趣的幻方。右图是个未完成的幻方，当它被填满时，它的每行、每列和每条对角线上四个数字的和都相等。请你继续把这个幻方完成。
解：见图，仔细观察可看出有一条对角线上的四个数都给出来了。这四个数相加之和是12+9+5+8=34由此可求第3行第一列空格中的数是10；即
5+16+3=24，34-24=10。第4行第三列上空格中的数是2，即7+9+16=32，34-32=2。接着可继续求出其他空格中数。
78.有的电影院的座位号码是单号与单号相邻，双号与双号相邻。
①一个人拿了三张单号的电影票，这三个号码相加之和等于9，问这三个座
位分别是几号？
②若三张号码相加之和等于15呢，三个座位各是几号？
③若三张号码相加之和等于21呢，三个座位各是几号？
解：采用猜与凑的方法：
①因三个号码之和才等于9，可见这三个数都比较小，不妨猜它们是
1，3，5。检验一下，1+3+5=9，正好。
②因为三个号码之和等于15，比9大，所以往大些的方向猜。不妨
猜3，5，7。检验一下，3+5+7=15，正好。
③因为三个号码之和等于21，比15大，所以再往大些的方向猜。不
妨猜三个号码是5，7，9。检验一下，5+7+9=21，正好。
*总结对于数比较小的问题，请与凑有效，同学们喜欢猜答案，这是很好的，以后还应继续练习。
但是对于较大的数，就不容易猜出来。这就需要从简单的情况中找出规律来，然后用找到的规律去解决问题。仔细观察上面的解答发现：
9+3=3 15÷3=5 21÷3=7
也就是说“和数除以3=中间数”，说得更确切些就是：
三个连续单数的和除以个数3就等于中间数。还可以进一步想一想：如果三个双号相加之和等于12能不能用这个式子算呢？先试试看
12÷3=4
如果4是中间数，那么这三个连续双数就应该是2，4，6。
检验一下：2+4+6=12对。
再看如果三个连续双号之和是18，求这连续的双号各是几？
18÷3=6
如果6是中间数，那么这三个连续双数就应该是4，6，8。
检验一下：4+6+8=18对了。
这样就可以进一步总结出来下面的算法：
如果已知三个连续自然数的和，那么它们的中间数就是和÷3=中间数从而可求出
79.54.①如果小明、小华的年龄一样大，无论小英年龄多大必定有小明和小
英的年龄之和等于小华和小英的年龄之和。对吗？为什么？
②如果小明的年龄比小华大，无论小英的年龄多大，必定有小明和小英的年
龄之和大于小华和小英的年龄之和。对吗？为什么？
解：①对。根据a=b，a+c>b+c。
②对。根据如果a＞b那么（a+c）-（b+c）=a-b>0.
80.只许移动一根火柴，使下式成立。
解：把第七、八根火柴组成的“+”中的横的那一根移到第一个加法的位置上组成“4”就可以了，141—111=30。
81.只移动一根火柴棍，使下面的等式成立。
解：因为14+7-4=17，要使等式右边等于11可以采用多减、少加的办法。通过改变运算符号就可以达到多减少加的目的。
82.只许移动一根火柴棍，使下式成立。
解：不难看出，等号左边数太大，要使大数变小。经尝试可得出办法如下：只移动了一根火柴棍，使算式发生了惊人的奇妙变化！
83.下图所示是用12棍火柴棍组成的四个同样大小的正方形，请你移动三根
火柴，使原图变成三个同样大小的正方形。
解：如下图所示：
要使12根火柴棍组成3个小正方形，就是说每个小正方形用4根火柴棍，这就意味着，3个小正方形没有公共的火柴棍，各自独立。
84.下图是用17根火柴棍组成的6个同样大小的正方形。
①请你拿去三根，使留下的火柴棍变成4个同样大小的正方形。
②请你拿去五根，使留下的火柴棍变成3个同样大小的正方形。
解：①17根火柴棍拿掉3根还剩17-3=14，要组成四个同样大小的
正方形，必是由7根组成二个正方形，即其中必有一根是公用的，也就
是说，这两个小正方形要有一个公共边。见图。
②17根火柴棍拿掉5根火柴棍之后，还剩下12根，这12根又要组
成三个同样大小的正方形，所以每一个正方形应用4根火柴棍组成。因
此，这三个小正方形应是彼此独立的，没有一根火柴做公用边。见图。
85.下图是用20根火柴棍组成的5个同样大小的正方形，请你移动三根火柴棍，使原图变为7个同样大小的小正方形。
解：每个小正方形用4根火柴棍，七个小正方形应该用28根。但题目中只有20根，所以应该有8根火柴棍被公用，也就是说图形应是很紧凑的如图所示。
86.老师发了上次的数学考卷，小王和小钱得的分数一样多，小赵比小李的分数多，但比小王的分数少；小乐没有小王、小赵的得的分数多，但比小李的分数多；小钱的分数比小顾的又要少一些。问他们谁的分数最多，谁的最少？
解：小顾最多，小李最少。
87.把1，2，3，4，5，……28，29，30这三十个数，从左往右依次排列起来，
成为一个数，你知道这个数共有多少个数字吗？
解：把这个数写出一部分来看看：123456789101112131415 (282930)
下面，分段计算这个数共包含有多少个数字：1至9共有9个数字；
10至19共有10个自然数，每个都由两个数字组成，这一段共有2×10=20个数字。20至29这一段也有10个自然数，共有20个数字。30这个数由两个数字组成。所以这个数所包含的数字总数是：
9+20+20+2=51（个）。
88.把1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11、12、13、14、15、16填入正方形的方格中，使每一横行竖行、斜行的四个数相加得数都是34。
解：（1）把这16个数依次排成如下四行
（2）把带箭头的线的两端的数互换
（3）互换后，把16个数填到正方形的空格里你会发现每一横行、竖行、斜行的四个数相加的和都等于34。
如果你仔细观察的话，还可以发现这个图中的奇妙的性质：不但每一横行、每一竖行和每一斜行的四个数相加之和都等于34，而且
①四个角上的四个小正方形里的四个数之和都是34；
②中间的一个小正方形里的四个数之和也是34；
③大正方形四个角上的四个数相加之和也是34。真是不可思议！人
们给它起了个有趣的名字——幻方。见图。
89.一个排版工人给一本1至50页的书排页码，如果书的页码的每一个数字
都用不同的铅字块，问他一共要用多少铅字块？
解：分段计算：
从1至9页，共9页，每页用一个铅字块共有1×9=9（块）；
从10至19页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20（块）；
从20至29页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20（块）；
从30至39页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20（块）；
从40至49页，共10页，每页用两个铅字块共用2×10=20（块）；
第50页，共1页（但为两位数）用两个铅字块，
所以：50页书共用9+20+20+20+20+2=91（块）（铅字）。
90.在右图中画一条直线，把图形分成形状相同、大小相等的两部分。
解：图中共有18个正方形小格，若分成大小相等的两部分时，每一部分应包含有9个正方形小格。还可以看出，此图中有一条“斜线”边缘。经尝试可做出如虚线所示的划分。
91.下图中的（1）、（2）、（3）号盒子剪开铺平后，展开图是哪一个，请你用
线连起来。
解：
92.如下图所示，一个长方形由28个小正方形组成。请把它划分成形状相同、
大小相等的四块，你能做出多少种划分方法？
解：划分方法很多，如下图：
93.3个同样大小的等边三角形组成一个等腰梯形（如图所示）。现在要将这
个梯形分成大小相等、形状相同的四块，怎样分？
解：把3个等边三角形组成的图形分成4块，就需要从每个等边三角形中划出一块，共划出3块，使其组成的图形和每个三角形剩下的部分形状相同，大小相等。经尝试，得到如下图所示的划分。
94.傍晚开电灯，小虎淘气，一连拉了7下开关。请你说说这时灯是亮了还是
没亮？我们还不妨接着问，拉8下呢？拉9下呢？拉10下呢？甚至拉100下呢？你都能知道灯是亮还是不亮吗？
解：见下表。为了回答上面这些问题，我们从简单情况考虑起，并作出下表，便可一目了然。
仔细观察，就可以找出规律：
拉奇数次，灯亮；拉偶数次，灯不亮。
对于大的数，比如说拉100下，可知灯不亮。因为100是个偶数。
95.如图所示，9个小方格中分别放上9枚硬币。
①若取出4枚硬币后，使每横行和每竖列中剩下奇数枚硬币，怎么取法？
②若取出3枚硬币后，使每横行与每竖列都剩下偶数枚硬币，怎么取法？
解：答案不唯一，如下图所示：
①把四个角上的4枚硬币取走后，剩下的硬币能满足要求。
②把一条对角线上的3枚拿走，剩下的硬币能满足要求。
96.小华买了一支铅笔、2块橡皮、2个练习本，付了1元钱，售货员找给他5
分钱。小华看了看1支铅笔的价钱是8分，就说：“叔叔，您把账算错啦。”
想一想，小华为什么这么快就知道账算错了？
解：利用数的奇偶性判断，不用计算就可知道这笔账算错了。因为1支铅笔的价钱8分是个偶数，另外，不论橡皮和练习本的价钱是多少，2块橡皮，以及2个练习本的钱也都是偶数，所以小华应付的总钱数应当是个偶数，他付了1元即100分，售货员找回的钱数也应是个偶数。但售货员叔叔实际找给他的5分是个奇数，所以小华说售货员把这笔账算错了，可见小华并不需要计算，只是根据奇偶性进行判断，就知道这笔账算错了。
-- -- 集 合 1．集合概念 元素:互异性、无序性、确定性 2.集合运算 全集Ｕ：如U ＝Ｒ 交集:}{B x A x x B A ∈∈=且 并集:}{B x A x x B A ∈∈=?或 补集:}{A x U x x A C U ?∈=且 ３.集合关系 空集A ?φ 子集B A ?：任意B x A x ∈?∈ B A B B A B A A B A ??=??= 注：数形结合-－-文氏图（即韦恩图、Ve ｎn 图）、数轴 典型例题 1. 集合(){}0,=+=y x y x A ,(){}2,=-=y x y x B ,则=B A ２. 已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2,那么Q P 等于 3. 设(){}R b b x b x x A ∈=++++=,0122,求A 中所有元素之和. 4. 已知集合{}24,3,22++=a a A ,{}a a a B --+=2,24,7,02，且{}7,3=B A ,求a 的值. 5. 已知(){}011=+-=x m x A ,{}0322=--=x x x B ，若B A ?，则m 的值为 6. 已知{}121-≤≤+=m x m x A ，{}52≤≤-=x x B ，若B A ?,求实数m 的取值范围． 7. 设全集{}32,3,22-+=a a S ，{}2,12-=a A ,{}5=A C S ，求a 的值. 8． 若{}Z n n x x A ∈==,2,{}Z n n x x B ∈-==,22，试问B A ,是否相等. 9. 已知(){}a x y y x M +==,,(){}2,22=+=y x y x N ,求使得φ=N M 成立的实数a 的取值范围. １0. 设集合{}R x x x x A ∈=+=,042,(){}R x R a a x a x x B ∈∈=-+++=,,011222,若A B ?，求实数a 的取值范围. １１． 设R U =,集合{}R x a ax x x A ∈=+-+=,03442，(){}R x a x a x x B ∈=+--=,0122，{}R x a ax x x C ∈=-+=,0222,若C B A ,,中至少一个不是空集，求实数a 的取值范围. 12. 设集合(){}01,2=--=x y y x A ,(){} 05224,2=+-+=y x x y x B ,(){==y y x C ,}b kx +，是否存在N b k ∈,,使得()φ=C B A ?若存在,请求出b k ,的值;若不存在,请说明理由.
下册 第三讲 运算定律 知识点一、加法的简便运算 加法的交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。记为a+b=b+a 。 加法的结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不 变。记为：(a+b)+c=a+(b+c) 备注：加法的结合律可以和加法的交换律一起使用 例1、李叔叔准备骑车旅行一个星期，今天上午骑了40千米，下午骑了56千米， (1)今天李叔叔一共骑了多少千米？ 40+56 □ 56+40 (2)李叔叔第一天骑了88千米，第二天骑了104千米，第三天骑了96千米，问：李叔叔这三天一共骑了多少千米？ ====== 课上练习 1、根据加法交换律填空 300+600=（ ）+（ ） （ ）+65=65+35 89+（ ）=23+（ ） a+12=12+（ ） 2根据加法结合律填空 （25+68）+32=25+（ ） 130+（70+4）=（ ）+4 能力提升 用简便方法计算 36+158+64 74+（68+26） 149+57+51 知识点二、减法的简便运算 减法性质①：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。 字母表示：b c a c b a --=-- 减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两 个数的和。字母表示：)(c b a c b a +-=-- 例2、昨天看到第66页，今天又看了34页。这本书一共有234页，还剩多少页没有看？ 课上练习 1 、在□里和横线上填写相应的运算符号和数。 868-52-48=868□（52+ ） 1500-28-272= -（28 □272）
415-74-26= □（□） 2、计算下面各题，怎么简便就怎么计算 528-53-47 545-167-145 487-187-139-61 456-（27+156）-73 当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整，1006=1000+6，… 当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个 然后利用加减法的运算定律进行简便 计算。例如：97=100-3，998=1000-2，… 注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合 起来就具有很大的简便了。 4996+3993+2992+1991+98 11+13+15+17+19+21+23+25+27+29 20-19+18-17+……4-3+2-1 2735-(735+29+486)71-514 知识点三、乘法简便运算 乘法交换律：交换两个因数的位置，积不变。字母表示：a ? = a? b b 乘法结合律：先乘前两个数，或者先乘后两个数，积不变。 字母表示：) ? a? ? ? b = ) ( c (c b a 备注：乘法结合律的应用基于要熟练掌握一些相乘后积为整十、整百、整千的数。乘法分配律:两个数的和与一个数相乘，可以先把它们与这个数分别相乘，再相加。 字母表示：c?(b+a)=c?b+c?a，或者是c?b+c?a=c?(b+a) 备注：简便计算中乘法分配律及其逆运算是运用最广泛的一个，一个要掌握它和 它的逆运算。 例如：25×4=100, 250×4=1000 125×8=1000，125×80=10000 例3、简便计算：（1）25×9×4 （2）25×12 （3）125×56 （4）24×25×125 （5）48×125×63 （6）25×15×16
数列 一、数列的概念 （1）数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列； 数列中的每个数都叫这个数列的项。记作n a ，在数列第一个位置的项叫第1项（或首项），在第二个位 置的叫第2项，……，序号为n 的项叫第n 项（也叫通项）记作n a ； 数列的一般形式：1a ，2a ，3a ，……，n a ，……，简记作 {}n a 。 例：判断下列各组元素能否构成数列 （1）a, -3, -1, 1, b, 5, 7, 9; (2)2010年各省参加高考的考生人数。 （2）通项公式的定义：如果数列}{n a 的第n 项与n 之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。 例如：①：1 ，2 ，3 ，4， 5 ，… ②：5 14131211 ，，，，… 数列①的通项公式是n a = n （n ≤7，n N +∈）， 数列②的通项公式是n a = 1 n （n N +∈）。 说明： ① {}n a 表示数列，n a 表示数列中的第n 项，n a = ()f n 表示数列的通项公式； ② 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例如，n a = (1)n -=1,21 ()1,2n k k Z n k -=-?∈? +=?； ③不是每个数列都有通项公式。例如，1，1.4，1.41，1.414，…… （3）数列的函数特征与图象表示： 序号：1 2 3 4 5 6 项 ：4 5 6 7 8 9 上面每一项序号与这一项的对应关系可看成是一个序号集合到另一个数集的映射。从函数观点看，数列 实质上是定义域为正整数集N +（或它的有限子集）的函数()f n 当自变量n 从1开始依次取值时对应的一系列函数值 (1),(2),(3),f f f ……，()f n ，……．通常用n a 来代替()f n ，其图象是一群孤立点。 例：画出数列12+=n a n 的图像. （4）数列分类：①按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；②按数列项与项之间的大小关系分：单调数列（递增数列、递减数列）、常数列和摆动数列。 例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？ （1）1，2，3，4，5，6，… (2)10, 9, 8, 7, 6, 5, … (3) 1, 0, 1, 0, 1, 0, … (4)a, a, a, a, a,… （5）数列{n a }的前n 项和n S 与通项n a 的关系：1 1 (1)(2)n n n S n a S S n -=?=?-?≥ 例：已知数列}{n a 的前n 项和322+=n s n ，求数列}{n a 的通项公式
高一数学集合知识点归纳及典型例题 Revised on November 25, 2020
集合 一、知识点： 1、元素： （1）集合中的对象称为元素，若a 是集合A 的元素，记作A a ∈；若b 不是集合A 的元素，记作A b ?; （2）集合中对象元素的性质：确定性、互异性、无序性; （3）集合表示方法：列举法、描述法、图示法； （4）常用数集：R Q Z N N N ;;;;;*+ 2、集合的关系： 子集 相等 3、全集 交集 并集 补集 4、集合的性质： （1）;,,A B B A A A A A ?=?=?=?φφ (2) ;,A B B A A A ?=?=?φ (3) );()(B A B A ??? (4);B B A A B A B A =??=??? (5));()()(),()()(B C A C B A C B C A C B A C S S S S S S ?=??=? 二、典型例题 例1. 已知集合 }33,)1(,2{22++++=a a a a A ，若A ∈1，求a 。 例2. 已知集合M ＝{}012|2=++∈x ax R x 中只含有一个元素，求a 的值。 例3. 已知集合 },01|{},06|{2=+==-+=ax x B x x x A 且B A ，求a 的值。 \ 例4. 已知方程02=++c bx x 有两个不相等的实根x 1， x 2. 设C ＝{x 1， x 2}， A ＝{1，3，5，7，9}， B ＝{1，4，7，10}，若C B C C A =Φ= ,，试求b ， c 的值。 例5. 设集合}121|{},52|{-≤≤+=≤≤-=m x m x B x x A ， （1）若Φ=B A ， 求m 的范围； （2）若A B A = ， 求m 的范围。 例6. 已知A ＝{0，1}， B ＝{x|x ?A}，用列举法表示集合B ，并指出集合A 与B 的关系。 三、练习题 1. 设集合M ＝,24},17|{=≤a x x 则（ ） A. M a ∈ B. M a ? C. a ＝ M D. a > M
集合期末复习题12.26 姓名 班级________________ 一、选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=-的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2 |20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A=}{ 12x x <<，B=}{ x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{ 2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{ 2a a ≤ 9、 满足条件M U }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈， {}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 二、填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U={} 22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________. 15、已知集合A={x|20x x m ++=}, 若A ∩R=?，则实数m 的取值范围是 16、50名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有40人， 化学实验做得正确得有31人，两种实验都做错得有4人，则这两种实验都做对的有 人.
四、第三单元运算定律知识点归纳及练习1/2 第三单元运算定律知识点归纳及练习 （一）加减法运算定律 1.加法交换律 定义：两个加数交换位置，和不变字母表示：a﹢b﹦b﹢a 例1：16+23=23+16 546+78=78+546 2.加法结合律 定义：先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。 字母表示：（a﹢b）+c﹦a+（b+c） 注意：加法结合律有着广泛的应用，如果其中有两个加数的和刚好是整十、整百、整千的话，那么就可以利用加法交换律将原式中的加数进行调换位置，再将这两个加数结合起来先运算。举一反三： （1）46+67+54 （2） 680+485+120 （3）155+657+245 3.减法的性质
注：这些都是由加法交换律和结合律衍生出来的。减法性质①：如果一个数连续减去两个数，那么后面两个减数的位置可以互换。 字母表示：a－b－c＝a－c－b 例2.简便计算：198-75-98 减法性质②：如果一个数连续减去两个数，那么相当于从这个数当中减去后面两个数的和。字母表示：a－b－c＝a－﹙b＋c﹚ 例3.简便计算：（1）369-45-155 （2） 896-580-120 4.拆分、凑整法简便计算 拆分法：当一个数比整百、整千稍微大一些的时候，我们可以把这个数拆分成整百、整千与一个较小数的和，然后利用加减法的交换、结合律进行简便计算。例如：103=100+3，1006=1000+6，… 凑整法：当一个数比整百、整千稍微小一些的时候，我们可以把这个数写成一个
整百、整千的数减去一个较小的数的形式，然后利用加减法的运算定律进行简便计算。例如：97=100-3，998=1000-2，… 注意：拆分凑整法在加、减法中的简便不是很明显，但和乘除法的运算定律结合起来就具有很大的简便了。 例4.计算下式，能简便的进行简便计算： （1）89+106 （2）56+98 （3）658+997 随堂练习：计算下式，怎么简便怎么计算 （1）730+895+170 （2） 820-456+280 （3）900-456-244 （7） 876-580+220 （8） 997+840+260 （9）956—197-56
第一章 集合与简易逻辑 第一节 集 合 ? 基础知识 1. 集合的有关概念 1.1.集合元素的三个特性：确定性、无序性、互异性． 1. 2.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法． 1.3.元素与集合的两种关系：属于，记为∈；不属于，记为?. 1.4.五个特定的集合及其关系图： N *或N ＋表示正整数集，N 表示自然数集，Z 表示整数集，Q 表示有理数集，R 表示实数集． 2. 集合间的基本关系 2.1.子集：一般地，对于两个集合A ，B ，如果集合A 中任意一个元素都是集合B 中的元素，则称A 是B 的子集，记作A ?B(或B ?A)． 2.2.真子集：如果集合A 是集合B 的子集，但集合B 中至少有一个元素不属于A ，则称A 是B 的真子集，记作AB 或B A. A B ?? ???? A ? B ，A≠B.既要说明A 中任何一个元素都属于B ，也要说明B 中存在一个元素不属于A. 2.3.集合相等：如果A ?B ，并且B ?A ，则A ＝B. 两集合相等：A ＝B ?? ??? ? A ? B ，A ?B.A 中任意一个元素都符合B 中元素的特性，B 中任意一个元素也符合A 中元素的特性． 2.4.空集：不含任何元素的集合．空集是任何集合A 的子集，是任何非空集合B 的真子集．记作?. ?∈{?}，??{?}，0??，0?{?},0∈{0}，??{0}．
3. 集合间的基本运算 (1)交集：一般地，由属于集合A 且属于集合B 的所有元素组成的集合，称为A 与B 的交集，记作A∩B ，即A∩B ＝{x|x ∈A ，且x ∈B}． (2)并集：一般地，由所有属于集合A 或属于集合B 的元素组成的集合，称为A 与B 的并集，记作A ∪B ，即A ∪B ＝{x|x ∈A ，或x ∈B}． (3)补集：对于一个集合A ，由全集U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U 的补集，简称为集合A 的补集，记作?U A ，即?U A ＝{x |x ∈U ，且x ?A }． 求集合A 的补集的前提是“A 是全集U 的子集”，集合A 其实是给定的条件.从全集U 中取出集合A 的全部元素，剩下的元素构成的集合即为?U A . ? 常用结论 (1)子集的性质：A ?A ，??A ，A ∩B ?A ，A ∩B ?B . (2)交集的性质：A ∩A ＝A ，A ∩?＝?，A ∩B ＝B ∩A . (3)并集的性质：A ∪B ＝B ∪A ，A ∪B ?A ，A ∪B ?B ，A ∪A ＝A ，A ∪?＝?∪A ＝A . (4)补集的性质：A ∪?U A ＝U ，A ∩?U A ＝?，?U (?U A )＝A ，?A A ＝?，?A ?＝A . (5)含有n 个元素的集合共有2n 个子集，其中有2n －1个真子集，2n －1个非空子集． (6)等价关系：A ∩B ＝A ?A ?B ；A ∪B ＝A ?A ?B . 考点一 集合的基本概念 [典例] 1. (2017·全国卷Ⅲ)已知集合A ＝{(x ，y )|x 2＋y 2＝1}，B ＝{(x ，y )|y ＝x }，则A ∩B 中元素的个数为( ) A ．3 B ．2 C ．1 D ．0 2. 已知a ，b ∈R ，若? ?? ? ??a ，b a ，1＝{a 2，a ＋b,0}，则a 2 019＋b 2 019的值为( ) A ．1 B ．0 C ．－1 D ．±1 [解析] (1)因为A 表示圆x 2＋y 2＝1上的点的集合，B 表示直线y ＝x 上的点的集合，直线y ＝x 与圆x 2＋y 2＝1有两个交点，所以A ∩B 中元素的个数为2. (2)由已知得a ≠0，则b a ＝0，所以 b ＝0，于是a 2＝1，即a ＝1或a ＝－1.又根据集合中元素的互异性可 知a ＝1应舍去，因此a ＝－1，故a 2 019＋b 2 019＝(－1)2 019＋02 019＝－1. [答案] (1)B (2)C [提醒] 集合中元素的互异性常常容易忽略，求解问题时要特别注意． [题组训练]
集合 一．【课标要求】 1．集合的含义与表示 （1）通过实例，了解集合的含义，体会元素与集合的“属于”关系； （2）能选择自然语言、图形语言、集合语言（列举法或描述法）描述不同的具体问题，感受集合语言的意义和作用； 2．集合间的基本关系 （1）理解集合之间包含与相等的含义，能识别给定集合的子集； （2）在具体情境中，了解全集与空集的含义； 3．集合的基本运算 （1）理解两个集合的并集与交集的含义，会求两个简单集合的并集与交集； （2）理解在给定集合中一个子集的补集的含义，会求给定子集的补集； （3）能使用Venn图表达集合的关系及运算，体会直观图示对理解抽象概念的作用二．【命题走向】 有关集合的高考试题，考查重点是集合与集合之间的关系，近年试题加强了对集合的计算化简的考查，并向无限集发展，考查抽象思维能力，在解决这些问题时，要注意利用几何的直观性，注意运用Venn图解题方法的训练，注意利用特殊值法解题，加强集合表示方法的转换和化简的训练。考试形式多以一道选择题为主。 预测高考将继续体现本章知识的工具作用，多以小题形式出现，也会渗透在解答题的表达之中，相对独立。具体 三．【要点精讲】 1．集合：某些指定的对象集在一起成为集合 a∈；若b不是集合A的元素，（1）集合中的对象称元素，若a是集合A的元素，记作A b?； 记作A （2）集合中的元素必须满足：确定性、互异性与无序性； 确定性：设A是一个给定的集合，x是某一个具体对象，则或者是A的元素，或 者不是A的元素，两种情况必有一种且只有一种成立；
互异性：一个给定集合中的元素，指属于这个集合的互不相同的个体（对象），因此，同一集合中不应重复出现同一元素； 无序性：集合中不同的元素之间没有地位差异，集合不同于元素的排列顺序无关； （3）表示一个集合可用列举法、描述法或图示法； 列举法：把集合中的元素一一列举出来，写在大括号内； 描述法：把集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号{}内。 具体方法：在大括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化）范围，再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征。 注意：列举法与描述法各有优点，应该根据具体问题确定采用哪种表示法，要注意，一般集合中元素较多或有无限个元素时，不宜采用列举法。 （4）常用数集及其记法： 非负整数集（或自然数集），记作N ； 正整数集，记作N *或N +； 整数集，记作Z ； 有理数集，记作Q ； 实数集，记作R 。 2．集合的包含关系： （1）集合A 的任何一个元素都是集合B 的元素，则称A 是B 的子集（或B 包含A ），记作A ?B （或B A ?）； 集合相等：构成两个集合的元素完全一样。若A ?B 且B ?A ，则称A 等于B ，记作A =B ；若A ?B 且A ≠B ，则称A 是B 的真子集，记作A B ； （2）简单性质：1）A ?A ；2）Φ?A ；3）若A ?B ，B ?C ，则A ?C ；4）若集合A 是n 个元素的集合，则集合A 有2n 个子集（其中2n －1个真子集）； 3．全集与补集： （1）包含了我们所要研究的各个集合的全部元素的集合称为全集，记作U ； （2）若S 是一个集合，A ?S ，则，S C =}|{A x S x x ?∈且称S 中子集A 的补集； （3）简单性质：1）S C (S C )=A ；2）S C S=Φ，ΦS C =S 4．交集与并集：
集合·典型例题 能力素质 例用符号∈或填空1 ? 1________N ， 0________N ， －3________N ， 0.5N N ，；2 1________Z ， 0________Z ， －3________Z ， 0.5Z Z ，；2 1________Q ， 0________Q ， －3________Q ， 0.5Q Q ，；2 1________R ， 0________R ， －3________R ， 0.5R R ，；2 分析元素在集合内用符号∈，而元素不在集合内时用符号． ? 解∈， ∈，－，，； 1N 0N 3N 0.5N N ???2 1Z 0Z 3Z 0.5Z Z 1Q 0Q 3Q ∈， ∈，－∈，，；∈，∈，－∈，??2 0.5Q Q 1R 0R 3R 0.5R R ∈，； ∈，∈，－∈，∈，； 22?? 说明：要注意符号的规范书写． 例2 (1)用列举法表示不超过10的非负偶数的集合，并用另一种方法表示出来； (2)设集合A ＝{(x ，y)|x ＋y ＝6，x ∈N ，y ∈N}，试用列举法表示集合A ； 分析 (1)中集合含的元素为0、2、4、6、8、10；(2)中集合所含的元素是点(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)． 解 (1){0，2，4，6，8，10｝；用描述法表示为{不超过10的非负偶数}，或|x|x ＝2n ，n ∈N ，n ＜6}． (2)A ＝{(0，6)，(1，5)，(2，4)，(3，3)，(4，2)，(5，1)，(6，0)}． 说明：注意(2)中集合A 的元素是点的坐标．
集合基础知识及题型归纳总结 1、集合概念与特征： 例：1．下列各项中，不可以组成集合的是（ ） A ．所有的正数 B ．等于2的数 C ．接近于0的数 D ．不等于0的偶数 例：下列命题正确的有（ ） （1）很小的实数可以构成集合； （2）集合{}1|2-=x y y 与集合(){} 1|,2-=x y y x 是同一个集合； （3）36 11,,,,0.5242 -这些数组成的集合有5个元素； （4）集合(){}R y x xy y x ∈≤,,0|,是指第二和第四象限内的点集。 A ．0个 B ．1个 C ．2个 D ．3个 2、元素与集合、集合与集合间的关系 元素集合的关系：∈?或 集合与集合的关系=?或 例：下列式子中，正确的是（ ） A ．R R ∈+ B ．{}Z x x x Z ∈≤?-,0| C ．空集是任何集合的真子集 D ．{}φφ∈ 3、集合的子集：（必须会写出一个集合的所有子集） 例：若集合}8,7,6{=A ，则满足A B A =?的集合B 的个数是 4、集合的运算:(交集、并集、补集) 例1：已知全集}{5,4,3,2,1,0=U ,集合}{5,3,0=M ,}{5,4,1=N ,则=N C M U I 例2：已知 {}{}=|3217,|2A x x B x x -<-≤=< （1）求A ∩B ； （2）求（C U A ）∪B 例3：已知{25}A x x =-≤≤，{121}B x m x m =+≤≤-，B A ?,求m 的取值范围 例4：某班有学生55人，其中体育爱好者43人，音乐爱好者34人，还有4人既不爱好体育也不爱好音乐，则该班既爱好体育又爱好音乐的人数为 人 例5：方程组? ??=-=+9122y x y x 的解集是（ ） A ．()5,4 B ．()4,5- C ．(){}4,5- D ．(){}4,5-
【半群】G非空，·为G上的二元代数运算，满足结合律。 【群】（非空，封闭，结合律，单位元，逆元）恰有一个元素1适合1·a=a·1=a,恰有一个元素a-1适合a·a-1=a-1·a=1。 【Abel群/交换群】·适合交换律。可能不只有两个元素适合x2=1 【置换】n元置换的全体作成的集合Sn对置换的乘法作成n 次对称群。 【子群】按照G中的乘法运算·,子集H仍是一个群。单位子群{1}和G称为平凡子群。 【循环群】G可以由它的某元素a生成,即G=（a）。a所有幂的集合an，n=0，±1，±2，…做成G的一个子群，由a生成的子群。若G的元数是一个质数，则G必是循环群。 n元循环群（a）中,元素ak是（a）的生成元的充要条件是（n，k）=1。共有?（n）个。【三次对称群】{I（12）（13）（23）（123）（132）} 【陪集】a，b∈G，若有h∈H，使得a =bh，则称a合同于b（右模H），a≡b（右mod H）。H有限，则H的任意右陪集aH的元数皆等于H的元数。任意两个右陪集aH和bH或者相等或者不相交。 求右陪集：H本身是一个；任取a?H而求aH又得到一个；任取b?H∪aH而求bH又一个。G=H∪aH∪bH∪… 【正规子群】G中任意g，gH=Hg。（H=gHg-1对任意g∈G都成立） Lagrange定理G为有限群，则任意子群H的元数整除群G的元数。 1有限群G的元数除以H的元数所得的商，记为（G：H），叫做H在G中的指数，H的指数也就是H的右（左）陪集的个数。 2设G为有限群,元数为n,对任意a∈G，有an=1。 3若H在G中的指数是2，则H必然是G的正规子群。证明：此时对H的左陪集aH，右陪集Ha，都是G中元去掉H的所余部分。故Ha=aH。 4G的任意多个子群的交集是G的子群。并且，G的任意多个正规子群的交集仍是G的正规子群。 5 H是G的子群。N是G的正规子群。命HN为H的元素乘N的元素所得的所有元素的集合，则HN是G的子群。 【同态映射】K是乘法系统，G到K的一个映射σ（ab）=σ（a）σ（b）。 设（G，*），（K，+）是两个群，令σ：x→e，?x∈G，其中e是K的单位元。则σ是G到K 内的映射，且对a，b∈G，有σ（a*b）=e=σ（a）+ σ（b）。即，σ是G到K的同态映射，G～σ（G）。σ（G）={e}是K的一个子群。这个同态映射是任意两个群之间都有的。 【同构映射】K是乘法系统，σ是G到σ（G）上的1-1映射。称G与σ（G）同构，G?G′。同构的群或代数系统，抽象地来看可以说毫无差别。G和G′同态，则可以说G′是G的一个缩影。 【同态核】σ是G到G′上的同态映射，核N为G中所有变成G′中1′的元素g的集合，即N=σ-1（1′）={g∈G∣σ（g）=1′}。 N是G的一个正规子群。对于Gˊ的任意元素aˊ，σ-1(aˊ)={x|x∈G ,σ(x)= aˊ}是N在G 中的一个陪集。Gˊ的元素和N在G中的陪集一一对应。 设N是G的正规子群。若A，B是N的陪集，则AB也是N的陪集。 【环】R非空，有加、乘两种运算 a+b=b+a2）a+（b+c）=（a+b）+c， 3）R中有一个元素0，适合a+0=a， 4）对于R中任意a,有-a,适合a+(-a)=0， 5）a（bc）=（ab）c，
集合经典例题讲解 集合元素的“三性”及其应用 集合的特征是学好集合的基础，是解集合题的关键，它主要指集合元素的确定性、互异性和无序性，这些性质为我们提供了解题的依据，特别是元素的互异性，稍有不慎，就易出错． 例1 已知集合Ａ＝｛a ，a ＋b ，a ＋2b ｝，Ｂ＝｛a ，a q ，a 2q ｝，其中a 0≠，Ａ＝Ｂ，求q 的值． 例2 设Ａ＝｛ｘ∣2x ＋（ｂ＋2）ｘ＋ｂ＋1＝０，ｂ∈R ｝，求Ａ中所有元素之和． 例3 已知集合=A {2，3,2a +4a +2}，B ＝{0,7,2a +4a -2,2-a }，且A I B={3,7},求a 值． 分析： 集合易错题分析 1．进行集合的交、并、补运算时，不要忘了全集和空集的特殊情况，不要忘记了借助数轴和文氏图进行求解. 2．你会用补集的思想解决有关问题吗？ 3．求不等式（方程）的解集，或求定义域（值域）时，你按要求写成集合的形式了吗？ 1、忽略φ的存在： 例题1、已知A={x|121m x m +≤≤-}，B={x|25x -≤≤}，若A ?B ，求实数m 的取值范围． 2、分不清四种集合：{}()x y f x =、{}()y y f x =、{},)()x y y f x =（、{}()()x g x f x ≥的区别. 例题2、已知函数()x f y =，[]b a x ,∈，那么集合 ()()[]{}(){}2,,,,=∈=x y x b a x x f y y x I 中元素的个数为…………………………………………………………………………（） （A ）1（B ）0（C ）1或0（D ）1或2 3、搞不清楚是否能取得边界值： 例题3、A={x|x<－2或x>10}，B={x|x<1－m 或x>1＋m}且B ?A ，求m 的范围. 例4、已知集合{}R x x y y P ∈+-==,22，{}R x x y x Q ∈+-==,2，那么Q P I 等于（） A.（0,2）,(1,1)B.{(0,2),(1,1)}C.{1,2}D. {}2≤y y 集合与方程 例1、已知{}φ=∈=+++=+R A R x x p x x A I ,,01)2(2，求实数p 的取值范围。 例2、已知集合(){}(){}20,01,02,2≤≤=+-==+-+=x y x y x B y mx x y x A 和，如果φ≠B A I ,求 实数a 的取值范围。 例3、已知集合()(){} 30)1()1(,,123,2=-+-=??????+=--=y a x a y x B a x y y x A ，若φ=B A I ，求实数a 的值。 集合学习中的错误种种 数学是一门严谨的学科，在集合学习中，由于对概念理解不清或考虑问题不全面等，稍不留心就会不知不觉地产生错误，本文归纳集合学习中的种种错误，认期帮助同学们避免此类错误的再次发生． 一、混淆集合中元素的形成 例 集合{}()|0A x y x y =+=，，{}()|2B x y x y =-=，，则A B =I 忽视空集的特殊性 例 已知{}|(1)10A x m x =-+=，{}2|230B x x x =--=，若A B ?，则m 的值为 没有弄清全集的含义
x 一元一次不等式与一元一次不等式组 一、不等式 考点一、不等式的概念 不等式：用不等号表示不等关系的式子，叫做不等式。不等号包括 . 题型一 会判断不等式 下列代数式属于不等式的有 . ① -x≥5 ② 2x -y ＜0 ③ 2 + 5 ≥ 3 ④ -3＜0 ⑤ x=3 ? x 2 + xy + y 2 ⑦ x≠5 ⑧ x 2 - 3x + 2＞0 ⑨x + y ≥ 0 题型二 会列不等式 根据下列要求列出不等式 ①.a ②.m 的 5 倍不大于 3 可表示为 . ③.x 与 17 的和比它的 2 倍小可表示为 . ④.x 和 y 的差是正数可表示为 . ⑤. x 的3 5 与 12 的差最少是 6 可表示为 . 考点二、不等式基本性质 1、不等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变。 2、不等式两边都乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向不变，则这个数是正数. 基本训练：若 a ＞b ，ac ＞bc ，则 c 0. 3、不等式两边都乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。 逆定理：不等式两边都乘以（或除以）同一个数，若不等号的方向改变，则这个数是负数。 基本训练：若 a ＞b ，ac ＜bc ，则 c 0. 4、如果不等式两边同乘以 0，那么不等号变成等号，不等式变成等式。 练习:1、指出下列各题中不等式的变形依据 ①.由 3a>2 得 a> 2 理 3 由： . ②. 由 a+7>0 得 a>-7 理 由： -1 . 5 ③.由-5a<1 得 a> 理
由：. ④.由 4a>3a+1 得 a>1 理 由：. 2、若x＞y，则下列式子错误的是（） A.x-3＞y-3 B.x ＞ y 3 3 3、判断正误 ①. 若a＞b，b＜c 则a＞c. （） ②.若a＞b，则ac＞bc. （） ③.若ac2＞bc2，则a＞b. （） ④.若a＞b，则ac2＞bc2. （） ⑤.若 a＞b，则a（c2+1）＞b（c2+1） C. x+3＞y+3 D.-3x＞-3y （） ?. 若a＞b，若c 是个自然数，则ac＞bc. （） 考点三、不等式解和解集 1、不等式的解：对于一个含有未知数的不等式，任何一个适合这个不等式的未知数的值，都叫做这个不等式的解。 练习：1、判断下列说法正确的是（） A.x=2 是不等式x+3＜2 的解 B.x =3 是不等式3x＜7 的解。 C.不等式3x＜7 的解是x＜2 D.x=3 是不等式3x≥9的解 2.下列说法错误的是（） A.不等式 x＜2 的正整数解只有一个 B.-2 是不等式 2x-1＜0 的一个解 C. 不等式-3x＞9 的解集是 x＞-3 D.不等式 x＜10 的整数解有无数个 2、不等式的解集：对于一个含有未知数的不等式，它的所有解的集合叫做这个不等式的解的集合，简称这个不等式的解集。 题型一会求不等式的解集 练习：1、不等式x-8＞3x-5 的解集是. 2、不等式x≤4的非负整数解是. 3、不等式2x-3≤0的解集为. 题型二知道不等式的解集求字母的取值范围 2、如果不等式（a-1）x＜（a-1）的解集是x＜1，那么a 的取值范围是. x＜ 1
函数的定义域 【考纲说明】 1、理解函数的定义域，掌握求函数定义域基本方法。 2、会求较简单的复合函数的定义域。 3、会讨论求解其中参数的取值范围。 【知识梳理】 （1） 定义：定义域是在一个函数关系中所有能使函数有意义的 的集合。 （2） 确定函数定义域的原则 1.当函数y=f(x)用列表法给出时，函数的定义域指的是表格中所有实数x 的集合。 2.当函数y=f(x)用图象法给出时，函数的定义域指的是图象在x 轴上的投影所覆盖的实数的集合。 3.当函数y=f(x)用解析式给出时，函数定义域指的是使解析式有意义的实数的集合。 4.当函数y=f(x)由实际问题给出时，函数定义域要使函数有意义，同时还要符合实际情况。 3、.确定定义域的依据： ①f(x)是整式（无分母），则定义域为 ； ②f(x)是分式，则定义域为 的集合； ③f(x)是偶次根式，则定义域为 的集合； ④对数式中真数 ，当指数式、对数式底中含有变量x 时，底数 ； ⑤零次幂中， ，即x 0中 ； ⑥若f(x)是由几个基本初等函数的四则运算而合成的函数，则定义域是各个函数定义域的 。 ⑦正切函数x y tan = 4、抽象函数的定义域（难点） （1）已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域 由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可 得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。 （2）已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域 方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。
选择题（每题4分，共40分） 1、下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2、集合{a ，b ，c }的真子集共有 个 （ ） A 7 B 8 C 9 D 10 3、若{1，2}?A ?{1，2，3，4，5}则满足条件的集合A 的个数是 （ ） A. 6 B. 7 C. 8 D. 9 4、若U={1，2，3，4}，M={1，2}，N={2，3}，则C U （M ∪N ）= （ ） A . {1，2，3} B. {2} C. {1，3，4} D. {4} 5、方程组 1 1x y x y +=-=- 的解集是 ( ) A .{x=0,y=1} B. {0,1} C. {(0,1)} D. {(x,y)|x=0或y=1} 6、以下六个关系式：{}00∈，{}0??，Q ?3.0, N ∈0, {}{},,a b b a ? ， {}2|20,x x x Z -=∈是空集中，错误的个数是 （ ） A 4 B 3 C 2 D 1 7、点的集合M ＝｛(x,y)｜xy≥0｝是指 ( ) A.第一象限内的点集 B.第三象限内的点集 C. 第一、第三象限内的点集 D. 不在第二、第四象限内的点集 8、设集合A= }{12x x <<，B=}{x x a <，若A ?B ，则a 的取值范围是 （ ） A }{2a a ≥ B }{1a a ≤ C }{1a a ≥ D }{2a a ≤ 9、 满足条件M }{1=}{1,2,3的集合M 的个数是 （ ） A 1 B 2 C 3 D 4 10、集合{}|2,P x x k k Z ==∈，{}|21,Q x x k k Z ==+∈，{}|41,R x x k k Z ==+∈，且,a P b Q ∈∈，则有 （ ） A a b P +∈ B a b Q +∈ C a b R +∈ D a b +不属于P 、Q 、R 中的任意一个 填空题 11、若}4,3,2,2{-=A ，},|{2A t t x x B ∈==，用列举法表示B 12、集合A={x| x 2+x-6=0}, B={x| ax+1=0}, 若B ?A ，则a=__________ 13、设全集U= {}22,3,23a a +-，A={}2,b ，C U A={}5，则a = ，b = 。 14、集合{}33|>-<=x x x A 或，{}41|><=x x x B 或，A B ?=____________.
分数的加减法 一、同分母的分数加减法 知识点：在计算同分母的分数加减法中，分母不变，直接用分子相加减。 注意：在计算同分母的分数加减法中，得数如果不是最简分数，我们必须将得数约分，使它成为最简分数。 例题一 5654+=5 10564=+=2 注意：因为5 10 不是最简分数，所以得约分，10和5的最大公因数是5， 所以分子和分母同时除以5，最后得数是2. 例题二 1059105109= -=-注意：因为10 4 不是最简分数，必须约分，因为4和10的最大公因数 是2，所以分子和分母同时除以2，最后的数是5 2 知识点回顾：如何将一个不是最简的分数化为最简？ （将一个非最简分数化为最简，我们就是将这个分数进行约分，一直约到分子和分母互质为止。所以要将一个分数进行约分，我们必须找到分子和分母的最大公因数，然后用分子和分母同时除以他们的最大公因数。）
专项练习一：同分母的分数加减法的专项练习 一、计算 715 - 215 712 - 112 1 - 916 911 - 711 38 + 38 16 + 16 314 +314 34 + 34 二、连线 19 +4 9 2 7377+ 145 +1 5 1 8 987+ 47 + 67 137 115 11141+ 18 +78 2911 9 3 92+ 2411 +511 59 2 121+ 三、判断对错，并改正 （1）47 +37 = 714 （2）6 - 57 - 37 =577 -57 -3 7 =527 -3 7 =51 7 四、应用题 （1）一根铁丝长710 米，比另一根铁丝长3 10 米，了；另一根铁丝长多少米？ （2）3天修一条路，第一天修了全长的112 ，第二天修了全长的5 12 ，第三天修了全长的几分之几？