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解析几何测试

注意事项：

1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上

第I 卷（选择题）

请点击修改第I 卷的文字说明

一、选择题（题型注释）

1．过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线

12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（）

A ．1y =-

B ．2y =-

C ．1y x =-

D ．1y x =--

2．过抛物线24x y =的焦点作直线l 交抛物线于A,B 两点，分别过A,B 作抛物线的切线

12,l l ,则1l 与2l 的交点P 的轨迹方程是（）

A ．1y =-

B ．2y =-

C ．1y x =-

D ．1y x =--

3．双曲线22

124

x y -=的顶点到其渐近线的距离为（ )

（A ）

3 （B ）3 （C ）3（D ）3

4．过双曲线 22

22x y a b

-= 1 （a > 0,b > 0）的一个焦点F 向其一条渐近线作垂线l ，垂

足为A ，l 与

另一条渐近线交于B 点，若2FB FA =，则双曲线的离心率为

（A ）2 （B （C （D 5．经过圆22(2)1x y -+=的圆心且与直线210x y -+=平行的直线方程是 A ．240x y --= B ．240x y -+=

C ．220x y +-=

D ．220x y ++=

6．若双曲线22

221(,0)x y a b a b

-=>的渐近线方程为2y x =±，则其离心率为（）

A ．2 D 7．已知直线l ：k kx y -+=3与双曲线：13

2=-y x 有交点，则实数k 的取值范围是

A ．()()

51,-∞-+∞

B ．(

)

C ．31,,51???

???????

D ．1????

8．已知F 是抛物线24x y =的焦点，直线1y kx =-与该抛物线交于第一象限内的点

,A B ，若3AF FB =，则k 的值是（）

A ．

2 C ．

3 D ．3

9．已知点A 为抛物线:C 2

4x y =上的动点(不含原点)，过点A 的切线交x 轴于点B ，设抛物线C 的焦点为F ，则ABF D

A ．一定是直角

B ．一定是锐角

C ．一定是钝角

D ．上述三种情况都可能

10．双曲线2

214

x y -=的离心率为（）

A ．54

B ．2

C ．2

D ．2

第II 卷（非选择题）

请点击修改第II 卷的文字说明

二、填空题（题型注释）

11．设1F 、2F 是双曲线()22

2210,0x y a b a b

-=>>的左、右焦点，若双曲线右支上存在一

点P ，使22()0OP OF PF +?=（O 为坐标原点），且||4||321PF =，则双曲线的离心率为．

12．已知抛物线C ：y 2

= 2px （p > 0）的焦点为F ，过点F 倾斜角为60°的直线l 与抛物线C 在第

一、四象限分别交于A 、 B 两点，则

AF BF

的值等于_____________

13．过点()3,1P -引直线，使点()2,3A -，()4,5B 到它的距离相等，则这条直线的方程为．

14．设m R ∈,过定点A 的动直线10x my +-=和过定点B 的动直线230mx y m --+=交于点P （x,y ），则PA PB ?的最大值是．

三、解答题（题型注释）

15．已知椭圆C ：()22

2210x y a b a b

+=>>，12,F F 是椭圆的两个焦点，P

是椭圆上任意一点，且21F PF ?的周长是8+（1）求椭圆C 的方程；（2）设圆T ：()2

x t y -+=

，过椭圆的上顶点作圆T 的两条切线交椭圆于F E ,两点，当圆心在x 轴上移动且()1,3t ∈时，求EF 的斜率的取值范围．

16．（本小题满分12分）已知直线l ：y －C ：2221x a b

y ＋＝

（a ＞b ＞

0 （Ⅰ）求椭圆C 的方程；

（Ⅱ）过点D （0，1）的直线与椭圆C 交于点A ，B ，求△AOB 的面积的最大值．

17．已知圆M ：()2

44x y +-=，点P 是直线l ：20x y -=上的一动点，过点P 作

圆M 的切线PA 、PB ，切点为A 、B ．

（Ⅰ）当切线PA 的长度为P 的坐标；

（Ⅱ）若PAM ?的外接圆为圆N ，试问：当P 运动时，圆N 是否过定点？若存在，求出所有的定点的坐标；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求线段AB 长度的最小值．

18．（本题满分12分）已知圆C 关于y 轴对称，经过抛物线x y 42

=的焦点，且被直

线x y =分成两段弧长之比为1∶2，求圆C 的方程．

参考答案

1．A 【解析】

试题分析：抛物线为焦点为(0,1F ，设:1l y kx =+，代入24x y =得

2244,440x kx x kx =+--=．设1122(,),(,)A x y B x y ，将214y x =

求导得1

y x ￠=，所以1111111222222211

:():22

,11:():22l y y x x x l y y x x l y y x x x l y y x x 祆-=-+=镲

镲眄

镲

-=-+=镲铑，两个方程相除得1122y y x y y x +=+，变形整理得122112212121()

14()

x y x y x x x x y x x x x --=

==---，所以交点P 的轨迹方程是1y =-．

考点：轨迹方程．

2．A 【解析】

试题分析：抛物线为焦点为(0,1)F ，设:1l y kx =+，代入24x y =得

2244,440x kx x kx =+--=．设1122(,),(,)A x y B x y ，将214y x =

求导得1

y x ￠=，所以1111111222222211

:():22

,11:():22l y y x x x l y y x x l y y x x x l y y x x 祆-=-+=镲

镲眄

镲

-=-+=镲铑，两个方程相除得1122y y x y y x +=+，变形整理得122112212121()

14()

x y x y x x x x y x x x x --=

==---，所以交点P 的轨迹方程是1y =-．

考点：轨迹方程．

3．B 【解析】

试题分析：由双曲线22

124

x y -=，得其顶点

坐标

，(，渐近线方

程y =，

点

到y =

的距离为d =

，由双曲线的性质得双曲线22124x y -=

B .

考点：双曲线的性质. 4．A 【解析】

试题分析：如图1F B

O A

⊥，A 为线段1F B 的中点，因此24∠=∠，又13∠=∠，2390∠+∠=?，所以1242∠=∠+∠=∠

∠

．故2390322∠+∠=?=∠?∠=??∠

，

则2

1432b a

e e =+=?==．

考点：双曲线的定义和性质 5．A 【解析】

试题分析：圆心坐标()0,2，所求直线的斜率2=k ，因此所求直线的方程()220-=-x y ，化简得

042=--y x ，故答案为A ．

考点：直线的方程． 6．A 【解析】

试题分析：由已知2b a =

=A ．

考点：双曲线的几何性质．

7．D ．【解析】

试题分析：依题由223143

y kx k

x y =+-???-=?

?消去y ，得()22

343120x kx k -+--=，

整理得()()

2222

34824424480k x k k x k k -+--+-=，因为直线l 与双曲线有交点，所

以

()()()2

222824434424480k k k k k ?=----+-≥，即2240k k +-≤，解得

15k -≤

≤+k 的取值范围是1????；故选D ．

考点：1．直线与双曲线的位置关系．

8．D 【解析】

试题分析：设1122(,),(,)A x y B x y ，由241

x y

y kx ?=?=-?消去x 得22(24)10y k y +-+=，则

21224y y k +=-①，121y y =②，又11AF y =+，21BF y =+，由已知1213(1)y y +=+

③，由②③得1213,3y y ==

，代入①得k =,A B 在第一象限）. 考点：直线和抛物线位置关系.

9．A 【解析】

试题分析：2x

y '=,设200(,)4x A x ，则过点A 的切线方程为2000()42

x x y x x -=-，令0y =，

得02x x =，即点0(,0)2x B ，又(0,1)F ，于是2000,,,1242x x x BA BF ????==- ? ?????

，2

0000224

x x x BA BF ???=?-+= ???，所以90BAF ∠=?，故选A ．

考点：1．导数的几何意义；2．抛物线的性质；3．向量运算． 10．B 【解析】

试题分析：由2214x y -=得22

4,1,a b ==所以，e ==，故选B ．考点：双曲线的几何性质．

11．5 【解析】

试题分析：取2PF 的中点M ，则由()

022=?+PF OF ，得022=?PF ，即021=?PF ，即21PF PF ⊥，由12

34PF PF =，设c F F x PF x PF 2,3,42121===，则()()222434c x x =+，即c x 5

2=，由椭圆的定义，得c PF PF a 5

221=

，c a 51=，则

椭圆的离心率5==

e .

考点：1.平面向量垂直的判定；2.勾股定理；3.椭圆的定义. 12．3 【解析】试题分析：根据抛物线的

性质，设

1122122

||283

p p

A x y

B x y AB x x p sin θ++（，），（，），＝＝

＝， 1253p x x +＝，又2

124p x x ＝，联立可解得，可得2131,26x p x p ＝＝，则32

2362

p AF p p BF +==+ 考点：抛物线的性质 13．41303x y x --==或【解析】

试题分析：显然直3x =符合题意，此直线过线段AB 的中点，又5(3)

442

AB k --=

=-，

//l AB 时方程为14(3)y x +=-，化简为4130x y --=，因此所求直线方程为4130x y --=或

3x =．

考点：直线方程，点到直线的距离． 14．5 【解析】

试题分析：由已知知定点(1,0)A ，(2,3)B ，且对任意m R ∈，已知两直线是垂直的，即

PA PB ⊥，210AB =，所以222

10PA PB AB +==，由基本不等式

PA PB

PA PB +?≤=，当且仅当PA PB =时等号成立，因此所求最大值为5．

考点：直线方程，两直线垂直，基本不等式．

15．（1）22116x y +=；（2）6,1825?? ???

. 【解析】

试题分析：（1）利用椭圆的离心率和椭圆的定义得到c b a ,,的关系式进行求解；（2）设出圆的切线方程，利用直线与圆相切，得到t k ,的关系式以及两条切线的斜率的关系，分别联立

切线与椭圆的方程，求得F E ,的坐标，求出斜率，再利用函数的单调性求其最值.

试题解析：（1

）由e =

b a 4=

，c = 因为21F PF ?

的周长是8+

228a c +=+

所以1,4==b a ，所求椭圆方程为2

2116

x y += 4分（2）椭圆的上顶点为()1,0M ，设过点M 与圆T 相切的直线方程为1y kx =+，由直线1y kx =+与T

=，即()

941850t k tk -++=

121222185

,94

k k k k t t ∴+=-

--， 6分

由1221116y k x x y =+???+=??得()2211116320k x k x ++=

12132116E k x k ∴=-

+ 同理 2

232116F

k x k =-+ 8分 ()()121211E F E F E F

E F E F E F

k x k x y y k x k x k x x x x x x +-+--===

--- 122

126116283k k t

k k t +=

-- 11分当31<

-为增函数，故EF 的斜率的范围为6,1825??

???

14分

考点：1.椭圆的标准方程；2.直线与椭圆的位置关系；3.直线与圆的位置关系.

16．（Ⅰ）22

162

x y +=;

【解析】

试题分析：（Ⅰ）通过分析可知直线l 与x 轴的交点为(2,0)，得2c =

，又3

c e a =

，得

a = 2

2b a c =-=，可得,22

=b 即可求得椭圆方程为22

162

x y +

=；（Ⅱ）可设直线AB 方程为1y kx =+，设

1122(,),(,)

A x y

B x y ，

故

1212AOB AOD BOD S S S OD x x ???=+=

-=，为此可联立

162y kx x y =+???+=??，整理得22

(31)630k x kx ++-=，利用韦达定理，求出1212

2263

,3131

k x x x x k k

-+=

=++，可得AOB

S ?==

令21,31

t k =

+则

AOB S ?=

=，[科当1=t ，即0k =时，

AOB S ?

试题解析：（Ⅰ）∵a b >，∴椭圆的焦点为直线l 与x 轴的交点，

∵直线l 与x 轴的交点为(2,0)，∴椭圆的焦点为(2,0)，∴2c =，

1分

又∵3

c e a =

，∴a =222

2b a c =-= 3分 ∴椭圆方程为22

162

x y +=． 4分（Ⅱ）直线AB 的斜率显然存在，设直线AB 方程为1y kx =+

设1122(,),(,)A x y B x y ，由221

2y kx x y =+???+=??，得22

(31)630k x kx ++-=，

显然0?>，1212

2263,3131k x x x

x k k -+=

=++ 6分 1212AOB AOD BOD

S S S OD x x

???=+=-

=分 =

==分

令21

,31t k =+则(]0,1t ∈，

AOB S ?==

1t ∴=，即0k =时，AOB S ?

分

考点：1、椭圆的标准方程；2、直线与曲线相交问题.

17．（Ⅰ）168(0,0)(

55P P 或（Ⅱ）

84(0,4),,55?? ???

【解析】

试题分析：（Ⅰ）求点的坐标，需列出两个独立条件,根据解方程组解：由点P (,)x y 是直线

l ：20x y -=上的一动点，得2x y =，由切线PA 的长度

为得

=解得

168

(0,0)(

55P P 或（Ⅱ）设P （2b,b ），先确定圆N

的方程：因为∠MAP ＝90°，所以经过A 、P 、M 三点的圆N 以MP 为直径，其方程为：

()()2

44424b b b x b y +-+?

?-+-= ???，再按b 整理：

()22(24)40x y b x y y +--+-=由2224040x y x y y +-=??+-=?解得04x y =??=?或8545x y ?

=????=??

，所以圆过定点84(0,4),,55?? ???（Ⅲ）先确定直线AB 方程，这可利用两圆公共弦性质解得：由圆

N 方程为

()()2

44424b b b x b y +-+?

?-+-= ???及圆M ：()2244x y +-=，相减消去x,y 平方

项得圆M 方程与圆N 相交弦AB 所在直线方程为：2(4)1240bx b y b +-+-

=，相交弦长即：

AB ===，当45b =

时，AB 有最小

试题解析：（Ⅰ）由题可知，圆M 的半径r ＝2，设P （2b,b ），

因为PA是圆M的一条切线，所以∠MAP＝90°,

所以MP

，解得5

b或

所以

168

(0,0)(,)

P P

或

4分

（Ⅱ）设P（2b，b），因为∠MAP＝90°，所以经过A、P、M三点的圆N以MP为直径，

其方程为：()

()2

b b

x b y

-+-=

即

()

(24)40 x y b x y y

+--+-=

由

240

x y

x y y

+-=

?， 7分

解得

?或

，所以圆过定点

(0,4),,

?? 9分

（Ⅲ）因为圆N方程为()

()2

b b

x b y

-+-=

即

222(4)40

x y bx b y b

+--++=①

圆M：

()2

244

x y

+-=

，即

228120

x y y

+-+=②

②－①得圆M方程与圆N相交弦AB所在直线方程为：

2(4)1240

bx b y b

+-+-= 11分

点M到直线AB的距离

13分

相交弦长即：

AB===

当

时，AB 16分

考点：圆的切线长，圆的方程，两圆的公共弦方程 18．2)1(22=-+y x 或2)1(22=++y x ．

【解析】

试题分析：求圆的方程有两种方法①几何法，通过研究圆的性质进而求出圆的基本量．②代数法，即设出圆的方程，用待定系数法求解，利用待定系数法的关键是建立关于a ，b ，r 或D ，E ，F 的方程组．本题采用代数法，直接设出圆的方程，再根据已知条件解出参数．试题解析：设圆C 的方程为)(2a y x -+2

r = 抛物线x y 42=的焦点F （1，0）

221r a =+∴① 4分

又直线x y =分圆的两段弧长之比为1：2，可知圆心到直线x y =的距离等于半径的;2

即

r a =

② 8分

解①②得2,12=±=r a 故所求圆的方程为 2)1(22=-+y x 或2)1(22=++y x 12分

考点：圆的方程及点到直线的距离公式、抛物线．