第三节结构图及其等效变换
一、结构图的基本概念：
我们可以用结构图表示系统的组成和信号流向。在引入传递函数后，可以把环节的传递函数标在结构图的方块里，并把输入量和输出量用拉氏变换表示。这时Y(s)=G(s)X(s)的关系可以在结构图中体现出来。
[定义]：表示变量之间数学关系的方块图称为函数结构图或方块图。X(t)
Y(t)
电位器
[例]：结构：
结构图：
微分方程：y(t)=kx(t)
若已知系统的组成和各部分的传递函数，则可以画出各个部分的结构图并连成整个系统的结构图。
X(s)
G(s)=K
Y(s)
[例].求例2.2.7(p29)所示的速度控制系统的结构图。
测速机
a
u 1
u 2
u e
u g u f
u -
ω
c
M 运放Ⅰ
运放Ⅱ
功放
电动机
系统方块图：
负载
g
u e u -
+
1
u -
+
2u
功率放大器
f u 测速发电机
c
M ωa
u ＋
－
＋
1
R 1
R 2
R 3
R 4
R C
各环节微分方程：e
f g u K u u K u 111)(=-=运放Ⅰ：)
(11
22u dt
du K u +=τ运放Ⅱ：2
3u K u a =功率放大：
ω
f f K u =反馈环节：
电动机环节：)(22
c c a m a u m
m a m dt dm T K u K dt d T dt d T T +-=++ωω
ω
)
(1s u )
(2s u )
1(2+s K τ)1()
()
(212+=s K s u s u τ运放Ⅱ：3
2)
()
(K s u s u a =)
(2s u )
(s u a 3
K 功放环节：
结构图的基本概念
)
()()(s u s u s u f g e -=)
(s u g )
(s u e )
(s u f -
比较环节：
,)
()
(11K s u s u e =)
(s u e )
(1s u 1
K 运放Ⅰ：各部分传递函数罗列如下：
将上面几部分按照逻辑连接起来，形成完整结构图。
f
f K s s u =Ω)
()()(s Ω)
(s u f 3
K 反馈环节：)
()1()()()1(2
s M s T K s u K s s T s T T c a m a u m m a +-=Ω++电动机环节：
1
2
++s T s T T K m m a u 1)1(2
+++s T s T T s T K m m a a m -)
(s Ω)
(s M c )
(s U a
在结构图中，不仅能反映系统的组成和信号流向，还能表示信号传递过程中的数学关系。系统结构图也是系统的数学模型，是复域的数学模型。
结构图的基本概念
)
(s u e )(s u g )
(s u f )
(1s u )
(2s u )
(s u a 1
K )
1(2+s K τ3
K 1
2++s T s T T K m m a u
1
)1(2+++s T s T T s T K m m a a m f
K )
(s Ω)
(s M c -
结构图的等效变换
二、结构图的等效变换：
[定义]：在结构图上进行数学方程的运算。
[类型]：①环节的合并；
--串联
--并联
--反馈连接
②信号分支点或相加点的移动。
[原则]：变换前后环节的数学关系保持不变。
（一）环节的合并：有串联、并联和反馈三种形式。
环节的并联：
)
(s G n )
(1s G )(s X )
(s Y )
()()
()(1
s G s X s Y s G i n
i ∑===)
()(1)
()()()(),()()()()()()(s H s G s G s X s Y s G s Y s H s X s E s G s E s Y =
=∴±==反馈联接：
)
(s H )
(s G )(s X )
(s Y )(s E ±
环节的合并
环节的串联：
)(1s G …
)
(s G n )
(s X )
(s Y )
()()
()(1
s G s X s Y s G i n
i ∏===
（二）信号相加点和分支点的移动和互换：
如果上述三种连接交叉在一起而无法化简，则要考虑移动某些信号的相加点和分支点。)
()(),()()()()(),()]()([)(?)(2121s G s N s N s X s G s X s Y s G s X s X s Y s N =∴±=±==:又 ①信号相加点的移动：
把相加点从环节的输入端移到输出端
)(1s X )
(s G )(2s X )(s Y ±
)(1s X )
(s N )(s G )
(2s X )
(s Y ±
信号相加点的移动
信号相加点的移动和互换
把相加点从环节的输出端移到输入端：
)
(s G )(1s X )
(2s X ±
)
(s Y )
(1
)(),()()()()()(),()()()(?
)(2121s G s N s G s N s X s G s X s Y s X s G s X s Y s N =
∴±=±== )
(s G )
(s N ±
)(s Y )(1s X )
(2s X
②信号分支点的移动：
分支点从环节的输入端移到输出端
)
(s G )
(1s X )
(1s X )(s Y )
(s G )
(1s X )
(s Y )
(s N )
(1s X )
(1
)(),()()()(?
)(11s G s N s X s N s G s X s N =
∴== 信号分支点的移动和互换
分支点从环节的输出端移到输入端：
)
(s G )
(1s X )(s Y )
(s Y )
(1s X )(s G )
(s N )(s Y )(s Y )
()(),()()(),()()(?)(11s G s N s Y s N s X s Y s G s X s N =∴=== [注意]：
相邻的信号相加点位置可以互换；见下例
±±)(1s X )(2s X )
(3s X )
(s Y ±±
)
(1s X )
(3s X )
(2s X )
(s Y
同一信号的分支点位置可以互换：见下例
)
(s G )
(s X )(s Y )
(1s X )
(2s X )
(s G )
(s X )(s Y )
(2s X )
(1s X 相加点和分支点在一般情况下，不能互换。
)
(s G ±
)
(2s X )
(3s X )
(s X )
(s G ±
)
(2s X )
(3s X )
(s X 常用的结构图等效变换见表2.4.1(p45)
所以，一般情况下，相加点向相加点移动，分支点向分支
点移动。
结构图等效变换例子||例2-11
[例]设有两个RC 串联电路如下图所示,分别求其传递函数。
1
R 1C 2
u 1
u 2
R 2C 4
u 3u 11
)()()(11112+=
=s C R s G s U s U 1
1
)()()(22234+=
=s C R s G s U s U 1
1
11)()()()(22112114++=
=s C R s C R s G s G s U s U 隔离放大器
上式只有当两个电路之间有隔离放大器才成立。
结构图等效变换例
[例1]利用结构图等效变换讨论两级RC 串联电路的传递函数。
[解]：不能把左图简单地看成两个
RC 电路的串联,有负载效应。根据电路定理，有以下式子：)
(1
)]()([11s I R s u s u i =-1
1
R )
(1s I )
(s u i )
(s u -)
()()(21s I s I s I =--
)
(2s I )
(1s I )
(s I )
(1)(1s u s
C s I =?s
C 11)(s I )
(s u )
(1
)]()([22
s I R s u s u o =?-2
1R )
(2s I )
(s u )(s u o -)
(1
)(2s u s I o =?s
C 21)
(2s I )
(s u o i
u o u 1R 2
R 1C 2C 1
i u i 2i
结构图等效变换例
总的结构图如下：
1
1R s
C 112
1R s
C 21-
--
)
(s I )
(2s I )(1s I )
(s u )
(s u i )
(s u o 1
1R s
C 112
1R s
C 21-
--
)
(s I )
(2s I )(1s I )
(s u )
(s u i )
(s u o s
C 21
1R s
C 111
122 s C R --)
(s I )(1s I )
(s u )
(s u i )
(s u o s
C 2
11R s
C 111
122+s C R -
-
)
(s u )
(s u i )
(s u o s
C R 211
1R s
C 111
122+s C R --
)
(s I )(1s I )
(s u )
(s u i )
(s u o s
C 211R s
C 111
122+s C R --
)
(s u )(s u i )
(s u o s
C R 21
1
122+s C R -
)(s u i )
(s u o s
C R 211
111+s C R s C R s C R s C R s C R s C R s C R s C R s C R s u s u s G i o 2122112211212211)1)(1(1)
1)(1(1)
1)(1(1
)()()(+++=
+++++==∴
1
1R s
C 112
1R s
C 21-
--
)
(s I )
(2s I )(1s I )
(s u )
(s u i )
(s u o 1
1R s
C 112
1R s
C 21-
--)
(s u i )
(s u o s
C 211
1R 1
1R s
C 112
1R s
C 21-
--
)
(s u i )
(s u o s
C 211解法二：
一、 动态结构图的概念 1、动态结构图是根据系统的物理原理和信号传递关系，将每个框图信号一一连接所形成的数学图形。 2、它可以系统地、直观地表示自动控制系统信息传递的过程。 二、动态结构图的符号 动态结构图有四个基本单元，分别为信号线、比较点、引出点和方框（环节）。 下面分别介绍如下： 1、信号线：是带有箭头的直线，箭头表示信号传递的方向。如下图所示： 2、比较点：比较点也称为综合点，它可对两个以上的信号进行加减运算，“+”表示相加， “－”表示相减。通常加号省略不写。如下图所示： 3、引出点：亦称为测量点，表示信号的引出位置。引出点只能进行信号传递，不能进行能量传递。 4、方框(环节)：方框环节表示对信号进行的数学变换, 方框中写入元、部件或系统的传递函数。方框的输出变量就等于方框的输入变量与方框中传递函数的乘积。 三、动态结构图的绘制步骤 例2-3如图RC 电路，画出系统的动态结构图。 解：（1）列写微分方程式。 1、按系统结构分解各环节，确定各元件的输入、输出量。 2、绘出各环节结构图，标出系统传递函数G （S ） ，并以箭头字母表示输入和输出。 电阻R ： 电容R ： C(s) C(s)C(s) G(s)R(s)C(s) R(s)E(s)B(s) R(s)Cs s I s Uc dt du C i s I R s Uc s Ur s Uc s RI s Ur u Ri u c c r 1)()(·)() ()() ()()(·? =?==-?+=?+=拉氏变换拉氏变换u r (t)C u c (t) i R I(s)I(s)I(s)R L C ) (1s I cs Uc =)(s CLI U L =IR U R =11R )(s I )(s U r Cs 1)(s I )(s U C
结构图等效变换 1．环节串联： R s G s G R s G U U s G C ??=?=↓?=)()()()(1212 2．环节并联 []R s G s G R s G R s G R s G U R s G U U U C ?±=±=?=↓?=↓±=)()()()()()(212122112 1 3．反馈连接 C s H s G R s G C C s H R B R E E s G C ?±?=?±=±=↓?=)()()()()( []R s G C s H s G ?=)()()(1μ ) ()(1) ()()()(s H s G s G s R s C s μ== Φ
变换 方式 原方框图 等效方框图 等效运算关系 串联 )()()()(21s R s G s G s C = 并联 ) ()]()([)(21s R s G s G s C ±= 反馈 ()() ()1()() G s R s C s G s H s = m 比较点前移 ) (])()()([) ()()()(s G s G s Q s R s Q s G s R s C ±=±= 比较点 后移 ) ()()()() ()]()([)(s G s Q s G s R s G s Q s R s C ±=±= 引出点前移 )()()(s R s G s C = 引出点后移 ) ()()()(1) ()()(s R s G s C s G s G s R s R == 比较点之间的移动 123()()()()C s R s R s R s =±± 引出点之间的移动 12()()()()C s C s C s R s === 比较点与引出点之间的移动 )()()(21s R s R s C -=
§2-3 方块图的等效变换 物理系统的动态特性也可以用方块图表示。利用这种方块图，能方便地对环节或系统进行研究。另外，通过方块图的变换，可以方便地用图解法消去中间变量得出物理系统总的传递函数。 自动控制系统的方块图一般包含四种基本单元。 （l ）函数方块 它表示系统中某一环节或元件的动态特性。方块中所写的便是这个环节或元件的传递函数)(s G 或)(s H （如图2-13 ( b ）所示）。它表示对信号进行数学变换。显然，函数方块的输出变量等于该方块输人变量与传递函数的乘积。即 )()()(0s X s G s X e =； )()()(0s X s H s X f =。 （2）信号线 带箭头的直线，箭头表示信 号的传递方向，线上标有信号的时间函数或象函数。 （3）分支点（又称引出点或测量点） 图上的“O ”点表示信号引出或测量的位置。同一位置引出的信号在数值和性质方面完全相同。 （4）汇合点（又称比较点） 对两个以上信号进行代数运算。‘ + 示。 任何复杂系统都是由许多元件组成的。每一个元件的传递函数可以独立确定，因而每个元件在系统中可作为一个单向性的方块来表示，而整个控制系统的方块图可按照系统中信号传递程序，用信号线依次将各方块连接而成。 系统方块图实质上已将原理图与数学模型结合起来，因而方块图也是系统的一种数学模型，它可以对系统进行全面的描述。利用各元件方块组成的系统方块图，通过等效变换后，可 图2-13 自动控制系统方块图 O （ a ） （b ） 图2-14 环节串联方框图
简化为一个等效方块图，从而求得系统的传递函数。 1．串联方块的等效 图2-14（a ）所示的传递函数为 (s)G 1和(s)G 2两个方块，若(s)G 1的输出量作为(s)G 2的输人量，则(s)G 1和(s)G 2称为串联连接，图2-14（b ）是它的等效方块图。从图2-14（a ）得到 )()()(11s X s G s X i = )()()(12s X s G s X o = 所以 )()()()()()(21s X s G s X s G s G s X i i o == 因而 )()()(21s G s G s G = 即串联方块的等效方块的传递函数为各串联方块传递函数之积。 2．并联方块的等效 图2-15（a ）所示传递函数分别为(s)G 1和(s)G 2两个方块，如果它们有相同的输人量，而输出量等于两个方块输出量的代数和，则(s)G 1和(s)G 2称为并联连接，图2-15（b ）是它的等效方块图。 从图2-15中可见， )()()(22s X s G s X i = )()()(21s X s X s X o ±= 从而得到 )()()())()(()(21s X s G s X s G s G s X i i o =±= 因而 )()()(21s G s G s G ±= 所以并联方块的等效方块的传递函数为各并联方块传递函数之代数和。 3．方块图中反馈连接的等效 图2-16所示的具有反馈的方块图体现了自动控制系统的基本特点，其中(s)G 1称为前向传递函数， H(s)称为反馈传递函数。有 )()()(11s X s G s X o = )()()(s X s H s X o f = 图2-15 环节并联方框图 X i (s) )(s X o （a ） （b ） 图2-16 反馈环节方框图
例1电枢控制式直流电动机结构图化简 ------- — Cm R{ Jm^ + fin ) 1 ?in —1 ―■- S Cm Ce 丄十 R(J in s + f m ) U Cm rr --- R(J in Si + fm) + CmCe s fin ?tn S [RJ m S+Rljn+ Cm JmS + fin RJm S + 1 S Rfin+CmCe
例2函数记录仪结构图化简 Axz i — I % ■?——? — *? 」?_卜 LUJ 7＞十1 1 —— 岭 I 可- -------------------------------------------- 函数记录仪方框图 V+1 S L --- ? 1 + f 殳 F 矿、 淬斗 A_p 十 〔 g J V+1 吗 Au —*-0——
L % —— 匕心（心盼岛丢疋4） L — 十（&?心十址十圧忌匾乙心IF ? 例3结构图化简 _ ;- 1H A-------- 0*1 ]*o->| 厲r6 ■ 6 _—?o ■q1?他T?偽”■ T R工卜 H\十 R
R G4 丄G5G6 11+G2G3H2I+G J G^H S 比- R ------- △門GG疗f I+G2G3H2 G4 I+G4G5 Hs R G5G4 G J C；2-?O *■ A (1+ Gi G S H2)(I+G4G5H3) R G1G2H1G5G6+H4 - R
R qgG/q e ―? 1 + Gj±H Q+G A(J5H3-绻乞乩 + qG/GgG^GjGf E + 兄乩 例4结构图化简 」回 t ----- d a C⑸ —