识要点
一. 判断分数化成的小数类型；
二. 纯循环小数化分数，混循环小数化分数；
三. 循环小数四则运算；
四. 分数与循环小混合计算；
五. 循环小数比较大小，求各位数字等综合性题目．
分数化为循环小数：
任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。
一个最简分数化为小数有三种情况：
（1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（不作要求）
（2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（不作要求）
（3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。
循环小数化分数：
1．纯循环小数化成分数的方法：
分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。
2．混循环小数化成分数的方法：
分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
例题精讲
1. 将下列分数化为小数：
23，27，1799，16，722，3513，173990，7311100
． 【分析与解】
20.63= ，20.2857147= ，170.1799= ，10.166
= ，70.31822= ，130.371428535= ，1730.174990= ，731731965796699450.66451100990099009900??+==== ．
2. 将下列循环小数化为分数：0.123 ，0.123 ，0.123 ，0.518 ，0.142857 ，10.0 ，200.0 ，0.002 ，0.0136 ．
【分析与解】
123410.123999333== ，1231610.123990495-== ，12312370.123900300-== ，5185570.518990110
-== ，10.1428577= ，10.0190= ，210.002900450== ，210.002990495
== ，136130.01369900220-== ．
3. 循环小数运算：
1）0.1230.2310.312++ ；
2）0.1230.1230.1230.123+++ ；
3）0.1230.123? ；
4）98.087.076.065.054.043.032.021.0 +++++++．
【分析与解】
1） 原式2
0.6663== ；
2） 原式0.1231230.123230.12330.123=+++
0.492688779= ；
3） 原式413741
3333002700=?=；
4） 原式()()0.10.20.80.020.030.09=+++++++ ．
4. 将算式的结果分别用循环小数和分数表示（分数要化为最简）：
1）0.10.1250.0030.16+++ ；
2）1.860.351? ；
3）1
1
1
1
1
1
235689+++++．
【分析与解】
1） 原式0.11110.125250.00330.1666=+++
0.40635= ；
2） 原式18535199=?13
9993724053663=； 3） 原式111111
236589??=+++++ ???
10.20.1250.1=+++
0.4361= ．
5. 计算：0.10.1250.30.16+++ ，结果保留三位小数．
【分析与解】
方法一：0.10.1250.30.16+++
≈0.11110.12500.33330.1666+++
=0.7359
≈0.736．
方法二：0.1
0.1250.30.16+++ 1131598990=
+++ 111188
=+ 5372
= 0.7361
= ≈0.736．
6. 真分数7
a 化为小数后，如果从小数点后第1位数字开始连续若干数字之和是2008，那么a 是多少？ 【分析与解】
10.1428577= ，20.2857147= ，30.4285717= ，40.5714287= ，50.7142857= ，60.8571427
= ． 一个循环节的6位数字之和是14285727+++++=，2008277410÷= ，循环节的前几位数字
之和是10的只有0.285714
中2810+=，那么a 就是2．
7. 某学生将1.23
乘以一个数a 时，把1.23 误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3．则正确结果该是多少？
【分析与解】
由题意得：1.23 1.230.3a a -= ，即：0.0030.3a = ，所以有：10
39003=a ．解得90a =，所以2321.23 1.239019011190a -??=?=+?= ???
． 8. 将循环小数0.027
与0.179672 相乘，取近似值，要求保留一百位小数，那么该近似值的最后一位小数是多少？
【分析与解】
27179672117967248560.0270.1796720.00485699999999937999999999999
?=?=?== ． 循环节有6位，1006164÷= ，因此第100位小数是循环节中的第4位8，第101位是5，这样四舍五入后第100位为9．
9. 小B 写了一个错误的不等式：0.20080.20080.20080.2008>>>．请给式子中每个小数都添加循环
点，使不等号成立．
【分析与解】
把0.2008添加循环点，可以变成4个循环小数：0.2008
，0.2008 ，0.2008 ，0.2008 ． 0.20080.20082008= ，0.20080.2008008= ，0.20080.200808= ，0.2008
0.200888= ．
．
比较小数点后第5、6、7位，可知0.20080.20080.20080.2008
>>>
思考题
10.给小数0.4081923785添加表示循环节的两个圆点，得到一个循环小数．并使得这个循环小数的小
数点后第100位数字是8．
【分析与解】
如果第100位数字是0.4081923785中的第一个8，则从它后一位“1”开始到第100位这97个数字，恰好构成若干个完整的循环节，但97是质数，矛盾．因此第100位数字是0.4081923785中的第二个8．从第二个“8”后面的“5”开始，到第100位有91个数字，91713
=?，而循环节长度不大于10，
．
只能是7．因此这个循环小数是0.4081923785
第5讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分． 典型问题 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： ;334,113,92)2(;2513,813,43)1(?37 4,133,72)4(;907,225,65)3( 2．把下列循环小数转化为分数： .83.0,80.0)3(;53.0,10.0)2(;4.0,1 .0)1( 3．把下列循环小数转化为分数：321.0,321.0,21.0,7 .0 4．计算：;7.05.03.0)3(;4.03.02.0)2(;3.02.01 .0)1( ++++++ .32.021.0)5(;312.021.01 .0)4( +++ 5．.41235.035124.024513.013452.052341 .0 ++++ 6．计算下列各式，并用小数表示计算结果：.815.083.0)2(;153.068 .1)1( ÷? 7．将算式6.03.06.03.06.03 .0 ÷+?-+的计算结果用循环小数表示是多少？
8．将算式 12 111110191+++的计算结果用循环小数表示是多少？ 9．冬冬将3 2.1 乘以一个数口时，把32.1 误看成1. 23，使乘积比正确结果减少0. 3．则正确结果应该是多少？ 10．真分数 7a 化成小数后，如果从小数点后第一位起连续若干个数字之和是2000．a 应该是多少？ 拓展篇 1．将下列分数化为小数：?13 10,72,944, 65,83 2．把下列循环小数转化为分数：.1 3846536.6,3071.3,3351.0,84.0 3．(1)把下面这些分数化为小数后，哪些是有限小数，哪些是纯循环小数，哪些是混循环小数： ;1111 11,625135,30884,19218,15017,7715,172,5031,43 (2)把下列分数化成循环小数：?143 12,3714,353 4．计算：;4312.021.01.0)2(;54.013.020 .0)1( ++++ .0 11021.0212.076.0)4(;96.035.021.0.)3( ++++
无限循环小数如何化为分数 由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分 之几、千分之几……的数。转化需要先“去掉”无限循环小数的 “无限小数部分”。一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴” 就剪掉了。 方法一：（代数法） 类型1：纯循环小数如何化为分数 例题：如何把 0.33……和 0.4747…… 化成分数 例1： 0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33……－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 例2：0.4747……×100＝47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……＝47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么 0.4747……=47/9
由此可见, 纯循环小数化为分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 练习： （1）0.3……=3/（10-1）＝1/3 （2）0.31 31……=31/（100-1）＝31/99。 （3）0.312 312……= 类型2：混循环小数如何化为分数 例题：把0.4777……和0.325656……化成分数 例3：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以：0.4777……=43/90 例4：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以： 0.325656……=3224/9900 练习： （1）0.366……=
分数与循环小数_提高 1. 指出下面的分数，哪些能化成有限小数？哪些能化成纯循环小数？哪些能化成混循环小数？若能化成有限小数，小数部分有几位？若能化成混循环小数，不循环部分有几位？能化为有限小数(提示: 有限看二五)有： 能化为纯循环小数(没有二五)有： 能化为混循环小数(有二五，还有其它)有： 2. 将下面循环小数化成分数。 3. 把 化成循环小数。这个循环小数的第 位上的数字是几？第 位上的数字是几？ 4. 写出一个最大的分数，它的分子是1，并且它所化成的小数是： 1）循环节里只有一位数字的纯循环小数； 2）不循环部分有一位数字，循环节里最少的位数是2的混循环小数。 班级姓名日期 ,,,,,327214250377826117100850 30.=7˙0.=6˙0.=3˙9˙0.7=3 ˙2˙0.0=2˙7˙ 4.17=8˙ 1.3=0˙7˙ 2.2=6 ˙3˙14 520202021
5. 计算下列各题 6. 解答题 1）把化成小数后，小数点后面50位各位上的数字的和是多少？2）在循环小数 中，移动“前”一个循环点，使新的循环小数尽可能小，这个新的循环小数是多少? 3）假定是自然数，是十进制中的一个数字，若 ，求等于多少？（1）0.25+3˙0.1+5˙3˙0.41+3˙0.8；（2）0.+1˙0˙1 ˙0.+3˙7˙0.+3˙6˙0.；2˙1˙（3）0.+3 ˙；（4）+0.+3˙0.+3˙0.3˙11 1 1.7˙1.3˙0.1×6˙ 1.；1˙6˙（5）0.1+2 ˙0.2+3˙0.3+4˙0.4+5˙0.5+6˙0.6+7˙0.7+8˙0.89˙21 40.1001002 ˙3˙n d =810 n 0.2d ˙5˙n
循环小数如何化分数 众所周知，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。那么无限小数能否化成分数? 首先我们要明确，无限小数可按照小数部分是否循环分成两类：无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化分数，这在中学将会得到详尽的解释；无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法“剪掉”无限循环小数的“大尾巴”。策略就是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“大尾巴”完全相同，然后这两个数相减，“大尾巴”不就剪掉了吗！我们来看两个例子： ⑴把0.4747……和0.33……化成分数。 想1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747……
(100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747…… =47 那么0.4747……=47/99 想2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
各种循环小数化成分数的方法归纳 、纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化为分数呢? 看下面例题。 例1把纯循环小数化分数： （1） 0.6 （2）3 102 解’ C1） 0.6 X 10 = 6.666 ... ① 0.6=0 666"?…② 由①一②得06X9 = 6 *62 所 KIO .6=|=| （2） 話先看小数部分oD ? ? 0 102 x 1000 = 102 102102 .... ① ■ ? 0.102^0.102102 ..... ② 由①一②得0 102 X 999 = 102 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数， 这个分数的分 子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是 9。9的个数与循环节的位数相 同。能约分的要约分。 所以0102 = 102 _ 34 999 = 333 3 102 999 333 0 216 = 216 999 8 37
999 333 二、混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为 分数呢？看下面的例题。 例2把混循环小数化分数。 (1) 0.215； (2)6 353 解.(1) 0.215 X 1000^215.1515 ......... ① 0.215X 10=2 1515 ..... ② 由①一②得0215X990 = 215-2 215-2 0 215-—— = 990 213 _ 71 990 330 (2)先看小数部分 0.353 0.353 X 1000 = 353 333 .... ① 0.353 X 100 = 35.333 ... ② 由①一②得0.353 X 900 = 353 - 35 * 353-35 318 53 0.353 = —————— 务——-* 900 900 150 ^318 Q 6 = 6 — 900 150 由以上例题可以看出，一个混循环小数的小数部分可以化成分数， 这个分数 的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成 的数的差。分所以 6.353=6 353-35 900
浅谈如何将循环小数化为分数 我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。那么无限小数能否化成分数呢? 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循化的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子： 例1 把0.4747……和0.33……化成分数。 解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747…… =47 那么0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。
⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。 想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得: 0.4777……×90=47－4 所以, 0.4777……=43/90 想2：0.325656……×100=32.5656……① 0.325656……×10000=3256.56……② 用②－①即得: 0.325656……×9900=3256.5656……－32.5656…… 0.325656……×9900=3256－32 所以, 0.325656……=3224/9900 一个混循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是第二个循环节以前的小数部分组成的数与小数部分中不循环部分组成的数的差，分母的头几位数是9，末几位是0。9的个数与循环节中的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。
无限循环小数的分数表示 一、学情分析： 学生已经学过了纯循环小数与混循环小数的概念、小数与分数的互化、分数比较大小、小数与分数的混合运算等知识。这堂课实际上是把之前学过的相关知识进行复习与整合，运用之前所学知识经验生成新知识、形成新思想的过程。 这个课题乍一看似乎有一定的难度，尤其是问题刚一抛出时预计学生会无法动笔。但只要学生掌握了之前分数与小数的相关知识，那么随着教师环环相扣、 层层深入的引导，我相信对于绝大多数学生来说掌握这个知识点应该没有任何困难，关键是要使养成自主探究、自我反思的习惯，提高学生的合情推理能力，发 展学生的思辨意识。因此教师在整堂课中数学思想的渗透和对于学生正面的、中肯的评价很重要。 二、内容和内容解析： 1.内容： 无限循环小数化分数。 2.内容解析： 在人教版七年级数学上册《一元一次方程》章节中，教材安排了一节实验与探究内容——《无限循环小数化分数》。该部分在教材中是作为选学内容，放在《解一元一次方程（1）——合并同类项和移项》之后，但此部分内容的学习却 有益于学生思维的拓展和数学探索发现能力的培养，对于方程思想的进一步深化理解也不无裨益。新课程标准要求数学课程要能使学生掌握必备的基础知识和基 本技能；培养学生的抽象思维和推理能力；培养学生的创新意识和实践能力；促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。故而在教学中我安排了部分时间， 采取学生自学和老师讲解相结合的方式对此部分内容进行了教学。 教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。 教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法 三、目标和目标解析： 1.引导学生通过大胆猜想、合理排除、实践验证、归纳总结的过程探究纯循环小数化分数的方法，解决相应问题。 2.渗透类比、极限思想。
第8讲 分数与循环小数 内容概述 掌握分数与小数互相转化的方法，并在分数与循环小数混合运算中进行合理应用；学会通过分数的形式判断相应的小数类型；注意利用周期性分析循环小数的小数部分。 兴趣篇 1．把下列分数化为小数： （1）34，138，1325 ； （2）29，311，433； （2）56，522，790； （4）27，313，437 ； 答案：（l ） 0.75, 1.625, 0.52 (2) . 0.2 ，0.27,0.12 (3)0.83， 0.227, 0.07 (4) 0.285714,0.230769，0.108 2．把下列小数化成分数：(1)0.23，0.479; (2)0.12，0.255. 答案：(1)23100，479100 (2) 325，51200 3．把下列循环小数转化为分数：(1)0.1?，0.4?；(2)0.01??，0.35??； (3)0.08? ， 0.38?. 答案：(1)19,49 (2)199 ,3599 (3)445，718 4．把下列循环小数转化为分数：0.7?，0.12??，0.123??，0.123?? 答案：79，433，41333，61495 5.计算：（1）0.10.20.3++；（2）0.20.30.4++；（3）0.30.50.7++ （4）0.10.120.123++；（5）0.120.23+。 答案：(1)23 (2)1 (3)213 (4)107300 (5)39110
解析：（1）123620.10.20.399993 ++=++==。 （2）23490.20.30.419999 ++=++==。 （3）3571520.30.50.7199993 ++=++==。 （4）112112312321390.10.120.123990900900110 --++=++==； （5）12123351390.120.239099990110 -+=+==。 6.计算：0.123450.234510.345120.451230.51234++++。 答案：213 解析：把每个数化成分数，分母都是99999，所以计算会很方便． ()0.123450.234510.345120.451230.51234 12345234513451245123512349999999999999999999999999 111111234599999 159 213++++=++++?++++=== 7.计算下列各式，并用小数表示计算结果：（1）1.860.351?； （2）0.380.518÷。 答案：(1) 0.65 (2) 0.75 解析：（1）1953515371339651.860.3510.659999999373999 ????= ?=?==??。 （2）3835183599957933730.380.5180.75909999051892537274-???÷=÷=?=?==????。 8．将算式0.30.60.30.60.30.6+-?+÷的计算结果用循环小数表示是多少 答案： 1.27
纯循环小数化分数，分母由“9”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，分子是一个循环节的数字组成的数。如：0.5454.....=54/99=6/11。混循环小数化分数，分母由“9”和“0”组成，一个循环节有几个数字，分母就有几个“9”，第一个循环节前面有几个数字，分母就有几个“0”，分子是第一个循环节和他前面的数字组成的数减去第一个循环节前面的数字组成的数。如0.2666.....=（26-2）/90=4/15。 具体有3种方法。1。化为等比数列，求无穷递缩等比数列和,高中同学学习了等比数列之后能理解。2。公式法。实际是对第一种方法的归纳与总结，但不常用可能遗忘。例：纯循环小数0.1515……=15/99=5/33，混循环小数0.31515……=(315-3)/990=52/1653。方程法。易记易用。例：纯循环小数0.1515……设x=0.1515……，则100x=15.1515……两式相减，99x=15, x=15/99=5/33.混循环小数0.31515……设x=0.31515……，则10x=3.1515……，1000x=315,1515……两式相减，得990x=315-3=312, x=312/990=52/165。 浅谈如何将循环小数化为分数 我们知道，有限小数是十进分数的另一种表现形式，因此,任何一个有限小数都可以直接写成十分之几、百分之几……等形式的数。那么无限小数能否化成分数呢? 我们可以将无限小数按照小数部分是否循环分成两类：即无限循环小数和无限不循环小数。无限不循环小数不能化成分数，这在中学将会得到详尽的解释；而无限循环小数是可以化成分数的。那么，无限循环小数又是如何化分数的呢？由于它的小数部分位数是无限的，显然不可能写成十分之几、百分之几、千分之几……的数。其实，循环小数化分数难就难在无限的小数位数。所以我就从这里入手，想办法去掉无限循环小数的循环的部分。策略就是用扩大倍数的方法，把无限循环小数扩大十倍、百倍或千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数循环的部分完全相同，然后这两个数相减，这样就把循环的部分去掉了,我们的目的就达到了,我们来看两个例子： 例1 把0.4747……和0.33……化成分数。 解法1：0.4747……×100=47.4747…… 0.4747……×100－0.4747……=47.4747……－0.4747…… (100－1)×0.4747……=47 即99×0.4747……=47 那么0.4747……=47/99 解法2：0.33……×10＝3.33…… 0.33……×10－0.33……=3.33…－0.33…… (10-1) ×0.33……=3 即9×0.33……=3 那么0.33……=3/9=1/3 由此可见, 纯循环小数化分数,它的小数部分可以写成这样的分数：纯循环小数的循环节最少位数是几，分母就是由几个9组成的数；分子是纯循环小数中一个循环节组成的数。 ⑵把0.4777……和0.325656……化成分数。 想1：0.4777……×10=4.777……① 0.4777……×100=47.77……② 用②－①即得:
《无限循环小数化分数》教学设计 孝昌县王店中学汪忠伟 教学内容：无限循环小数化分数 教学目标： 知识与技能：了解无限循环小数都可以化为分数形式，会列一元一次方程将一个无限循环小数化为分数。 过程与方法：在探究无限循环小数化分数过程中渗透无限逼近和转化思想，体会方程的作用，领悟探究式学习的方法及策略。情感、态度与价值观：在数学活动中欣赏数学的结构美，体会数学的理性美，培养学生主动探究意识。 教学重点：用列方程的方法将含有一位循环节的纯无限循环小数化为分数。 教学难点：探究将无限循环小数化为分数的方法。 教学过程： 一、百家论坛——一个有趣的辩论 每一天太阳从东方升起从西方落下；每一年春夏秋冬周而复始。日出日落，春去秋来，这是大自然神奇的循环。艺术家们也用循环创作了动听的音乐和令人遐想的美术作品。而在数学王国里，也有着同样美妙笔循环结构的数。它们就是——无限循环小数。说到无限循环小数，不得不说一个有趣的辩论： 9.0 ≈1还是9.0 =1 关于上面式子的讨论，吸引了包括数学家在内的，众多人的参与，
… a 0 7 b b a 0 7 b 0. 77… 你认为是哪一个式子正确？要解决这一问题还得从无限循环小数化分数说起。我们知道分数可以化为有限小数或无限循环小数，而有限小数也可以化为分数，这些我们早已掌握了。那么无限循环小数能化成分数吗？ 二、 各显身手——几个巧妙的解法 1、 下列循环小数： 43 .0 3 .0 451 .0 6 .2 5 0.3 7 .0 73 .2 7.1 你能将哪些化为分数，你的做法是什么？要探究这些循环小数化为分数，你会采取怎样的顺序？（让学生体会从简单情况入手的思想） 2、 探究。 7.0化分数的方法 方法1：从来路找回路 3 1=？ 一般做法：1÷3=。 3.0 如果从分数化小数的竖式除法来探究则可得到下面的方法： 设b a =。 7.0， 由右图竖式可得， 10a-7b=a 9a=7b b a =9 7 即。 7.0=9 7 方法二、从怎样将无限循环部分消去入手 思考：请找出7 .7 与7.0 的关系？（7.7 是7.0 的10倍，它们的差是7） 有了上面两个问题的铺垫，得到下面的算术解法： 将7 .0 看作整体1 则7.7 为整体1的10倍，它们的差为整体1的9倍
识要点 一. 判断分数化成的小数类型； 二. 纯循环小数化分数，混循环小数化分数； 三. 循环小数四则运算； 四. 分数与循环小混合计算； 五. 循环小数比较大小，求各位数字等综合性题目． 分数化为循环小数： 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 一个最简分数化为小数有三种情况： （1）如果分母只含有质因数2和5，那么这个分数一定能化成有限小数，并且小数部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数；（不作要求） （2）如果分母中只含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成纯循环小数；（不作要求） （3）如果分母中既含有质因数2或5，又含有2与5以外的质因数，那么这个分数一定能化成混循环小数，并且不循环部分的位数等于分母中质因数2与5中个数较多的那个数的个数。 循环小数化分数： 1．纯循环小数化成分数的方法： 分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数都是9，9的个数与循环节的位数相同。 2．混循环小数化成分数的方法： 分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字都是0，其中9的个数与循环节的位数相同，0的个数与不循环部分的位数相同。 例题精讲 1. 将下列分数化为小数： 23，27，1799，16，722，3513，173990，7311100 ． 【分析与解】 20.63= ，20.2857147= ，170.1799= ，10.166 = ，70.31822= ，130.371428535= ，1730.174990= ，731731965796699450.66451100990099009900??+==== ． 2. 将下列循环小数化为分数：0.123 ，0.123 ，0.123 ，0.518 ，0.142857 ，10.0 ，200.0 ，0.002 ，0.0136 ． 【分析与解】 123410.123999333== ，1231610.123990495-== ，12312370.123900300-== ，5185570.518990110 -== ，10.1428577= ，10.0190= ，210.002900450== ，210.002990495 == ，136130.01369900220-== ．
小学奥数：“循环小数与分数互化”知识总结与例题（含答案） 一、小数的基本知识 小数可以分为有限小数和无限小数两部分；无限小数又分为无限不循环小数和循环小数两部分，而循环小数又可以分为纯循环小数和混循环小数。 1.有限小数的判定：分母的质因式中只有2和5的数。 2.循环节：一个循环小数的小数部分，依次不断重复出现的数字，叫做这个循环小数的循环节。 3.循环小数的定义：一个小数，从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字，依次不断地重复出现。 4.纯循环小数：循环节从小数部分第一位开始的。 纯循环小数的判定：分母的质因式中不含2和5的，化成小数后为纯循环小数。 5.混循环小数：循环节不是从小数部分第一位开始的。 混循环小数的判定： 分母的质因式不全含２和５的，化为小数后为混循环小数。 二、循环小数与分数的转化 1．错位相减法与循环小数转化为分数 ⑴以0.1为例，令a =0.1，①，而=1.110a ②，由②-①可以得到，a =91，则=19a 。 ==1240.129933；==123410.123999333；=12340.12349999 ⑵以0.1234为例，推导= =1234-126110.123499004950。 设A =0.1234，将等式两边都乘以100，得：A =10012.34； 再将原等式两边都乘以10000，得：A =100001234.34； 两式相减得：-=-10000100123412A A ，所以A ==1234-1261199004950 。
2．方法归纳 ⑴纯循环小数化成分数，分子是一个循环节的数字组成的数，分母是由数字９组成的，９的个数和一个循环节的数字的个数相同。 ⑵混循环小数化成分数，分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去小数部分不循环数字组成的数所得的差；分母的头几位数字是9，末几位数字是0，9的个数同循环节的位数相同，0的个数同不循环部分的位数相同。 3．常用的分数与循环小数转化 =10.1428577，=20.2857147，=30.4285717， =40.5714287，=50.7142857，=60.8571427 ； 三、小试牛刀 【例1】(2008年希望杯第六届五年级一试第3题，6分) 在小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最小的循环小数是 (注：公元 2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【巩固】小数1.80524102007上加两个循环点，能得到的最大的循环小数是 (注： 公元2007年10月24日北京时间18时05分，我国第一颗月球探测卫星“嫦娥一号”由“长征三号甲”运载火箭在西昌卫星发射中心升空，编写此题是为了纪念这个值得中国人民骄傲的时刻。) 【例 2】计算：0.01+0.12+0.23+0.34+0.78+0.89 【巩固】(1997年全国小学数学奥林匹克·预赛B 卷第1题) 计算：0.1+0.125+0.3+0.16，结果保留三位小数。 【例3】(0.15+0.218)?0.3? 11111；(结果表示成循环小数)
无限循环小数可以化成分数 我们知道小数分为两大类：一类是有限小数，一类是无限小数．而无限小数又分为两类：无限循环小数和无限不循环小数．有限小数都可以表示成十分之几、百分之几、千分之几……，很容易化为分数．无限不循环小数即无理数，它是不能转化成分数的．但无限循环小数却可以化成分数，下面请看： 探索（1）：把0.323232……（即0.3·2·）化成分数． 分析：设x=3·2·=0.32+0.0032+0.000032+……① 上面的方程两边都乘以100得 100x=32+0.32+0.0032+0.000032+……② ②-①得 100x-x=32 99x=32 x= 32 99 所以0323232……= 32 99 用同样方法，我们再探索把0.5·，0.3·02·化为分数．可知0.5·= 5 9，0.3 · 02·= 302 999． 我们把循环节从小数点后第一位开始循环的小数叫做纯循环小数，通过上面的探索可以发现，纯循环小数的循环节最少位数是几，化成分数的分母就有几个9组成，分子恰好是一个循环节的数字． 探索（2）：把0.4777……和0.325656……化成分数 分析：把小数乘以10得 0.4777……×10=4.777……① 再把小数乘以100得 0.4777……×100=47.77……② ②-①得 0.4777……×100-0.4777……×10=47- 4 0.4777……×90=43 0.4777……= 43 90
所以 0.4777……=4390 再分析第二个数0.325656……化成分数． 把小数乘以100得 0.325656……×100=32.5656…… ① 把小数×10000得 0.325656……×10000=3256.56…… ② ②-①得 0.325656……×（10000-100）=3256-32 0.325656……×9900=3224 ∴0.325656……=32249900 同样的方法，我们可化0.172·5· =17089900 ，0. 32·9·=326990 ． 我们把循环节不从小数点后第一位开始循环的小数叫做混循环小数．混循环小数化分数的规律是：循环节的最少位数是n ，分母中就有n 个9，第一个循环节前有几位小数，分母中的9后面就有几个0，分子是从小数点后第一位直到第一个循环节末尾的数字组成的数，减去一个循环节数字的差，例如0.172·5· 化成分数的分子是1725-17=1708，0. 32·9·化成分数的分子是329-3=326．
第7讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【思路点拨】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） =11 5. .54.0 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） =27 16. .295.0 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.19968 1 （3） =??54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==??
例3 计算：0.?1? 1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【思路点拨】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式999199819971996199519941993199219911++++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【思路点拨】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可 能大，将原数改写成： 182818181.72187182.2=? ? 11828128128.72182718.2=? ? 2811828182818.72128871.2=?? 很显然? ?128871.2是最大的 解：（1）? ? 128871.2 （2）? ? 6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444a =? ?950A .,则a= 【思路点拨】根据知识概述循环小数化成分数，将? ? 950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18 所以 A ＝4 444 244411146111161999549444=??===a 即有a ＝244
分数与小数的互化、混合运算、应用题 【知识点1】 1．把一个分数化成小数的方法：分子除以分母 2．一个最简分数，如果分母中只含有素因数2和5，再无其他素因数，那么这个分数可以化成有限小数；否则就不能化成有限小数。 口答：判断下列分数能否化成有限小数？ 7 8 4 15 12 25 5 12 17 40 32 5 3 24 3．小数化成分数的方法：小数化分数时，小数位数上有几位数字，分母上就有几个0 4．（1）循环小数：一个小数从小数部分的某一位起，一个数字或者几个数字依次不断地重复出现，这个小数叫做循环小数。 口答：判断下列各数是不是循环小数，为什么？ 0.5555，0.123123...， 2.235464309...， 12.121212...， 5.317317...， （2）循环节：一个循环小数的小数部分中依次不断地重复出现的第一个最少的数字组，叫做这个循环小数的循环节。如：0.1363636...的循环节为“36”，写作0.136&&。 5．一个分数总可以化为有限小数或循环小数；有限小数和循环小数也总可以化为分数。【例题讲解】 例1．把下列最简分数化成有限小数，如果不能化成有限小数，将其结果保留三位小数。 （1） 2 15 （2） 31 4 （3） 5 6 （4） 16 25 （5） 4 27 （6） 17 100 例2．把下列小数分别化成分数： （1）0.9（2）0.25（3）3.32（4）1.125【基础练习】
（1）把下列各数化成小数：38＝ ；625 ＝ 。 （2）把下列各数化成分数：3.56＝ ；0.225＝ 。 （3）比较大小： 53 1.66；237 3.286。 （4）把下列各数化为循环小数：59＝ ；2533 ＝ 。 （5）下列分数中：23、74、88、516、3825 ，真分数有 个。 （6）已知n 是自然数，且分数8n 是假分数，11 n 是真分数，则满足条件的n 的值是 。 （7）38、21142、315、39中，能化为有限小数的是 。 2．小明3分钟打字169个，小红5分钟打字271个，问：小红、小明谁的的打字速度快？ 小拓展：观察下列小数化成分数的结果： 20.2222 (9) =； 370.373737 (99) =； 5030.1503503 (999) =； …… 总结：纯循环小数化分数时，若为无限小数，则小数的循环节有几位数字，化成的分数的分母就有几个9，循环节作为分数的分子。 小练习：把下列循环小数写成分数的形式： 0.6&＝ 2.61&&＝ 【知识点2】 1．分数、小数混合运算顺序： 2．整数中的运算律在分数、小数混合运算中成立。 【例题讲解】
第七讲 分数与循环小数的互化 【知识概述】 1．分数化为小数 任何分数化为小数只有两种结果，或者是有限小数，或者是循环小数，而循环小数又分为纯循环小数和混循环小数两类。 基本方法：分子除以分母。 2．循环小数化为分数 （1）纯循环小数化为分数时，分数的分子是一个循环节的数字组成的数，分母的各位数字都是9，9的个数和循环节的位数相同。 （2）混循环小数化成分数时，分数的分子是小数点后面第一个数字到第一个循环节的末位数字所组成的数，减去不循环数字所组成的数所得的差；分母的头几位是9，末几位数字都是0，其中9的个数和循环节的位数相同，0的个数和不循环部分的位数相同。 【典型例题】 例1 把下列各分数化成循环小数，并求出小数点后第200位的数字是几？ (1) 115 （2）27 16 【学大名师】先将分数化为小数，在运用周期问题，求第200位数字是什么。 解：（1） 5 40.115? ??= 200÷2＝100 所以第200为数字是5。 （2） 2 9502716。 ???= 200÷3＝66…2 所以第200为数字是9 例2 将下列循环小数化成分数。 ①=? 70. ②=??86.1 ③=??54370. ④=? ?57.3 【学大名师】根据知识概述循环小数化成分数 解：（1） = ? 70.97 （2） =??86.199 681
（3） = ? ? 54370.9999 7435 （4） 33253 9975357.3==?? 例3 计算：0.?1?1+0.?2?1+0.?3?1+ 0.?4?1 +0.?5?1+0.?6?1+0.?7?1+0.?8?1+0.?9? 1 【学大名师】循环小数的加减法，当遇到进位时就比较难处理，根据知识概述先将循环小数化成分数，再计算。 解：原式9991 99819971996199519941993199219911+ +++++++= 99 91 8171615141312111++++++++= 1151 = 11 7 4= 例4 在混循环小数中移动循环节的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大： （1）? ?1871822. （2）? ? 62514913. 【学大名师】与小数的大小比较一样，改变循环小数的第一个圆点，使产生的新的循环小数值尽可能大，将原数改写成： Λ182818181.72187182.2=? ? Λ11828128128.72182718.2=? ? Λ2811828182818.72128871.2=? ? 很显然? ? 128871.2是最大的 解：（1）??128871.2 （2）? ?6152914.3 例5 设a 为一个自然数，A 是1—9的一个数字，若444 a =? ?950A .,则a= 【学大名师】根据知识概述循环小数化成分数，将? ?950A .化成分数，就有444a =999 9A 5 ， 并且5A9一定是9的倍数，推导出A=4 ，进而算出a. 解： 根据题意有：444a =999 9A 5 5A9一定是9的倍数，即5＋A ＋9＝18
分数转化成循环小数的判断方法 分数转化成循环小数的判断方法： ①一个最简分数，如果分母中既含有质因数2和5，又含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是混循环小数。 ②一个最简分数，如果分母中只含有2和5以外的质因数，那么这个分数化成的小数必定是纯循环小数。 循环小数的小数部分化成分数的规则 把循环小数的小数部分化成分数的规则 ①纯循环小数小数部分化成分数：将一个循环节的数字组成的数作为分子，分母的各位都是9，9的个数与循环节的位数相同，最后能约分的再约分。
②混循环小数小数部分化成分数：分子是第二个循环节以前的小数部分的数 字组成的数与不循环部分的数字所组成 的数之差，分母的头几位数字是9，9的个数与一个循环节的位数相同，末几位是0，0的个数与不循环部分的位数相同。 循环小数化分数例题讲解1 我们知道，无限小数包括两大类：无限不循环小数和无限循环小数．这是两类大不相同的数，因为前者是无理数，后者是有理数．后者为什么是有理数呢因为所
有的循环小数都可以化为分数，而分数是有理数． 循环小数如何化为分数呢 从小数点后面第一位起就开始循环的小数，叫做纯循环小数．纯循环小数化为分数的方法是：分子是一个循环节的数字组成的数；分母的各位数字都是9，9的个数等于一个循环节的位数． 如果小数点后面的开头几位不循环，到后面的某一位才开始循环，这样的小数叫做混循环小数．混循环小数化为分数的方法是：分子是不循环部分和一个循环节的数字组成的数减去不循环部分的数字组成的数所得的差，分母就是按一个循环
节的位数写几个9，再在后面按不循环部分的位数添写几个0组成的数． 无限循环小数化分数 无限循环小数，先找其循环节（即循环的那几位数字），然后将其展开为一等比数列、求出前n项和、取极限、化简。 例如：…… 循环节为3 则=3*10^(-1)+3*10^(-2)+……+3^10(-n)+…… 前n项和为：(1-^(n))/ 当n趋向无穷时（）^（n）=0 因此……==1/3
第二讲 循环小数化分数 学习提示： 在进行分数和小数的大小比较以及分数、小数的混合运算中，常常要把分数化成小数，或者把小数化成分数。所以，理解和掌握分数和小数互化的方法，不仅可以沟通分数和小数的联系，深刻理解分数、小数的意义，而且可以为学习分数、小数的混合运算打好基础。从本质上看，小数（这里指有限小数和无限循环小数，不包括无限不循环小数）可以看作分数的另一种表示形式，所以分数和小数可以互化。 典型题解 一、循环小数化成分数 1．纯循环小数化分数 从小数点后面第一位就循环的小数叫做纯循环小数。怎样把它化成分数呢？看下面例题。 例1，把纯循环小数化分数： (1)0.6 (2)3.102 10.610 6.6666 0.6=0.6666 0.69 6 62 0.6=93?=?==解：（）两式相减得所以 23.1020.102 0.1021000102.102.1020.1020.102.102 0.10299910210234 0.102999333 102 3.1023999?==?=====解：（）先看小数部分…… ?… 两式相减得所以34 3 333 从以上例题可以看出，纯循环小数的小数部分可以化成分数，这个分数的分子是一个循环节表示的数，分母各位上的数都是9，9的个数与循环节的位数相同。能约分的要约分。 1、 混循环小数化分数 不是从小数点后第一位就循环的小数叫混循环小数。怎样把混循环小数化为分数呢？看下面的例题。 例2，把混循环小数化分数 10.215 2 6.353（）（） 10.2151000=215.1515 0.21510=2.1515150.215990=2152 215-2213 71 0.215=990990330 ???-==解：（）…… …… 两式相减得