1，利用均值不等式证明不等式
（1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记
12111n n
n H a a a =
++???+
n G =
12
n n a a a A n
++???=
n Q =
它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系：n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。 先证n n A G ≥
证法一：
.n n A G ≥用数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
1.k
k k k
A G ≥≥假设：n=k 2时成立,即有：
11111
111k k k k k k k k k k k k k k k k
A A A G G G A G ++++++++≥?≥n=k+1时：只需证：
12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0<
1
1
11
1
1111
1=
11
k k k k k k
i i i i k i i i i k a a a a A k k k k +++++====+??
??
?? ? ? ? ? ? ?=+-++ ? ? ? ? ?
???
????
∑∑∑∑1
101
1
11111
1
k k
k
k
k k
i
i i i i i i i k k a a a a C C k k k k ++====++??????
? ? ? ? ? ?≥+-+ ? ? ? ? ? ??
?
??
??
∑∑∑∑
1111
111(1)(11).1k
k
k
k k
k
i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k +====++???
??? ?
? ?
? ? ?=+-+-==+ ?
? ? ? ? ???
????
∑∑∑∑ 111
11.1k k k k k k k k k
A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。
.
n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。
++k N ∈k
k 1假设：n=2（）时成立，当n=2时：
++++1
+11
++=
=.i
i
i i i
i a
a
a A G ===≥
≥=∑∑∑k 1
k k 1
k
k 1k 12222k
k
2k 1
222
2
2
2
+,k N ?∈k 即，对当n=2时，结论成立。
+t N ≥∈假设n=t+13（）时成立。则n=t 时有：
1
t t
t tA G G t +=≥=
=+
t t A G n t ≥=化简即得：，即时亦成立。所以原不等式成立。
证法三：12n a a a ≤≤≤L 不妨设：0<
1
1,0.k
i
i k k k a
b b b k
=-=
≥>∑令：则有：
1211111111()()()k k k k k k k k k k k k k k k k k b b b b b b b b b b kb -----------=-+++≥-L
11
1111
[(1)](1).k
k k k k
k k k k k k k b b b kb k b kb k b b ------≥--≥--即：，亦即：
111(1).(2),.k k k kb k b a n k b a ---=≥≥=且：
11112211[(1)]k n
n n
n
n n
k n
n
k k k n
k k k k k b A b b b kb k b a G b --===-==≥--==∏∏∏ 12n ===.n n G A a a a ∴≤L 等号成立当且仅当:
上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。
例1：求证下列不等式：
（1）
()1
3a a b b
+
≥-，(0)a b >> （2）()()log 1log 11,2n n n n n -+<>
（3）444222222x y y x y y z z x ++≥++()xyz x y z ≥++，其中,,0x y z > 证明（1）()1a a b b +
-()()1
a b b a b b
=-++-
3≥= 当且仅当()1
0a b b a b b
-==
>-，即2,1a b ==取等号。
证明（2
()()
log 1log 12
n n n n -++<
()2211
log 1log 122
n n n n =-<= ∴()()log 1log 11,2n n n n n -+<>
证明（3）44222x y x y +≥=，同理44222z y z y +≥
44222z x z x +≥，三式相加得444222222x y y x y y z z x ++≥++
另一方面222222x y y z xy z +≥=，
同理222222x y x z yx z +≥=，222222x z y z yz x +≥= 三式相加得222222x y y z z x ++()xyz x y z ≥++
说明：（1）中涉及到与常数相关的不等式的证明问题，通过变形使其出现互为倒数的因式，利用均值不等式证得。（3）中累加的方法是常用的处理手段。
例2：若
,,a b c R +∈且1a b c ++=≤
证明：左边
3≤==例3：已知12,,n a a a ???是正数，满足121n a a a ????= 求证：()()()122223n n a a a ++
???+≥（89年联赛试题） 证明：11211a
a +=++≥22
a +≥
2n a +≥，将以上式子相乘即得证。
例4：n N ∈，求证：
11111231
n n n ++???+>+++ 证明：由2121n n A H ++≥有
1111231
n n n ++???+
+++ ()()()()()()22
2
21211123121n n n n n n ++≥=
=++++???++
显然上式不可能取等号，故原不等式成立。
说明：注意到n H 的表达式的结构特点，当一些正数的倒数和易于化简时，应考虑含n H 的均值不等式。 例5：若
,,m n N m n ∈<，求证：1111m
n
m n ????
+<+ ? ?
????
证明：由n n G A ≤有1111111m
m
n m m m -????+=+????? ? ?????123个1
1111n
n
m n m m n n ??
??+?+- ??????
???≤=+ ???
??????
∵ 1
11m
+≠，∴上式不可能取等号。
故原不等式得证。
例6：设12,,n a a a ???是1，2，…n 的一个排列，求证：
12123n n
-++???+≤1
1223n n a a a a a a -++???+
证明：∵12,,n a a a ???是1，2，…n 的一个排列 ∴()()()()()()121111112111n a a a n -++???+≥++???-+
12n a a a =???
于是1122
3n n a a a a a a -++???+
+111
12n
++???+ =1122
3
n n a a a a a a -++???+
12111n
a a a +++???+
11212311
1n n
a a a a a a a -++=
+++???+
n ≥≥
而1112
n n ??=++???+ ??
?1212
3
n n -??
+++???+ ???
所以1212
3
n n
-++???+≤
112
23n n
a a a a a a -++???+
说明：由于不等式的左边值的估计较为不便，且右边由于排列的任意性导致若直接用均值不等式放缩则“度”太大了，所以本题采用在两边均加上11112
n
++???+的变形处理。
例7：设为正实数，求证：(1)(1)(1)2(1a b c b c a +++≥+ 证明：(1)(1)(1)2a b c a b c a b c
b c a b c a c a b
+
++=++++++ ()()()1a a a b b b c c c
b c a b c a b c a
=+++++
+++-
1
≥
1312(1=
-
≥+-=+ ，构造均值定
理是本题的关键。 例
8： ,,a b c R +
∈,求证:
2223()()()
a bc
b ca
c ab
a b c b c a c a b +++++≥+++ 证明 左边=222(
1)(1)(1)3()()()
a bc
b ca
c ab
a b c b c a c a b ++++++++-+++ ()()()()()()3()()()
a b a c b c b a c a c b a b c b c a c a b ++++++=
++-+++
3≥
3=
3≥
3233=?-=.
注:本题多次利用了均值不等式
本题也可以由2()a bc c ca
a b c a b ab bc
+=++++∑∑∑,再处理. 例9：已知,,,+∈R c b a 求证：
.4
3
)()()(3
3223223
22≥+++++b a c a c b c b a 分析：通过放缩，将异分母化为同分母，从而构造成出一些“零件不等式”，最后，将这些“零件不等式”相加，即可得出原不等式的证明。
证明：
3
)
()(22)
)((22)(22)(3
3
3
3
2
33
2
2
c b c b a a
c b c b a a
c b a a
c b a ++++≥
++?=
+=
+
c
b a a ++?=343 ① 同理可得 c
b a b
a c
b ++?≥+3
3
2243)( ② c
b a
c b a c ++?
≥+33
2243)( ③
将①、②、③三个零件不等式相加，得
3
3223223
224
3
)()()(≥+++++b a c a c b c b a 注：本题的技巧在于将三个异分母的分式放缩成三个同分母的分式，构造出“零件不等式”①、②、③。
例10：如图△及其内接△分原三角形所得△、△、△中，至少有一个三角形的面积不大于原△面积的（这里所指△的内接三角形，是顶点D 、E 、F 分别在△三条边上的三角形）
证明：如图，设△三边，，，且，，，，，，逆用公式，并注意到,
于是有 ，
，
， 更注意到
若S △、S △、S △皆大于S △的，（*）式不可能成立，故所给四个三角形面积中，至少有一个不大于
类似例子很多，望同学们在做题实践中，更多予以总结，不断提高自己的分析，归纳解题能力。
例11：已知0,1,2,i m i n >=???，1p ≥，11
11n
p
i i
m ==+∑， 求证：()121n
p
n m m m n ???≥-
证明：令11i p i x m =+，则1p i
i i
x m x -=
，且1
1n
i i x ==∑
∴12111i i i n x x x x x x -+-=++???+++???+
()11111i i n n x x x x --+≥-??????∴()()()121
2
12111n p p p n
n
x x x m m m
x x x --???-???=
??? ()()
111
1
121211n
n n n n n
n
n
n x x x n -----???≥
=-
∴()121n
p
n m m m n ???≥-
说明：本题采用变量代换的方式清晰地展现了已知条件与结论表达式中变量的关系。
例12; 设,,a b c R +∈，求证：n n n p q r q r p r p q a b c a b c a b c a b c ++≥++，其中,,,n N p q r ∈都
是非负整数，且p q r n ++=
分析与解：欲证的不等式涉及到的量较多，为此先考察特殊情形：
2,1,0p q r ===，即先证明()3332221a b c a b b c c a ++≥++L ，该不等式关于,,a b c 轮换对称，不妨设a b c ≥≥，则左－右()()()322a a b b b c c c a =-+-+-
()()()
222
a a
b b b
c c c b b a
=-+-+-+-
()()()()
22220
a c a
b b
c b c
=--+--≥，故()1式成立进一步分析发现，()1式本身无助于原不等式的证明，其证明方法也不能推广到原不等式，故需重新考虑()1式的具有启发原不等式证明的其它证法。
考虑常用不等式证明的方法发现，()1式可以利用“均值不等式”或证，即
33333
2
2
33
a a
b a b
a b a a b
+++
===
g g
同理：3333
22
22
,
33
b c c a
b c c a
++
≤≤以上三个式相加即得()1式。
运用此法再考虑原一般问题就简单多了，仿上，
n n n
p q r
pa qb rc
a b c
n
++
=≤
n n n
q r p
qa rb pc
a b c
n
++
=≤
n n n
r p q
ra pb qc
a b c
n
++
=≤
以上三个式相加即得待证不等式。
例13:设锐角,,
αβγ满足222
cos cos cos1
αβγ
++=
，求证：tan tan tan
αβγ≥
分析与解：由已知222
cos cos cos1
αβγ
++=，立即联想到长方体得对角线公式：2222
a b c l
++=，令cos,cos,cos
a b c
l l l
αβγ
===
，l=
以,,
a b c
为棱构造长方体，则易知：tan
a a
α=≥，
同理：tan
b b
β=≥
，tanγ=≥
tan tan tan abc
αβγ
∴≥
= 上面是从条件中隐含的数形关系中探索思考解题的途径，那么，从结
论不等式中观察到什么呢？由3
tan tan tan αβγ
≥=
，即是三个不等式
相乘的结果，就可以再变化为：3
sin sin sin cos cos cos αβγαβγ≥，这样也
无需构造长方体模型，而采用下面的证法： 由222cos cos cos 1αβγ
++=，知
2222sin 1cos cos cos 2cos cos ααβγβγ
=-=+≥
,,αβγQ 都是锐角，sin α∴ 同理：
sin β∴，sin γ 将上面三个不等式两边分别相乘，即得待证不等式 通过上例的求解分析过程，我们可以看到问题的本质.
例14： 设x R ∈，求证：2
223()(23)(23) 6.x x f x x x x x +=+++++≥
证明 令1t x =+，则2
2
(1)22()()(2)
(2).t t g t f x t t -+==+++
分两种情形：
（1）2t ≤-时，2(1)9t -≥.
2
2(1)9()(2)26;t g t t -≥+≥>
（2）2t >-时，20t +>.
2
21
2()22t
t t g t -++∴≥+
12222t t -+≥+2211222222t t t t t t
=++++
+
≥ 6.= 点评 注意到(1)6f -=，故先作代换1t x =+，使()f x 的表达形式更简单，放缩较为大胆，但要注意0t =时能取到符号，放缩不能过头，最后回到平均值不
等式。
例15：设,,,a b c d 为正实数，且满足ab bc cd da +++=1
求证：
3333a b c d b c d a c d b a d b c a +++≥++++++++1
3
证明：由均值不等式得：
311812a b c d b c d ++++≥++2
a
= 从而
31
21812a a b c d b c d ++≥--++ 同理
31
21812b b a c d a c d ++≥--++ 3121812c c a b d a b d ++≥--++ 31
21812
d d a b c a b c ++≥--++ 各式相加得3333a b c d b c d a c d b a d b c a +++≥++++++++1
3
a b c d +++- 又由题设ab bc cd da +++=()()1a c b d ++=得
1
2a b c d a c a c
+++=++
≥+代入上式即得。 说明：本题充分利用了等号成立的条件是“12
a b c d ====”
进行代数式的变形，借助ab bc cd da +++=1进行消元，使问题得以解决。 所以,不等式得证.
例16： 设,+∈R c b a 、、且=++222c b a 1.
求证：3)
(2111333222+++≥
++abc c b a c b a 证明：3)
(2111333222+++≥
++abc c b a c
b a
abc c b a c c b b a a )(211133322222
2++≥-+-+-? +-+++-++?22
22222222)()(b b c b a a a c b a
abc c b a c c c b a )
(2)(3332
2222++≥-++ 2
2
2222222c b a b c a a c b +++++?
abc c b a )(2333++≥ ①
++++?)()(22222222c a c a c b c b ).(2)(3332222c b a abc b a b a ++≥+
由均值不等式得
c ab a b c b a b c b 42424242422=?≥+， 44242424222abc c a c b c a c b =?≥+， bc a b a c a b a c a 42424242422=?≥+.
将以上三个不等式相加得
)(2)()()(333222222222222c b a abc b a b a c a c a c b c b ++≥+++++
因此，所证不等式成立。
注：本题待证的不等式为非齐次不等式，先利用条件“2221c b a ++=”，将其转化为齐次不等式①，再利用均值不等式使问题获解。 例:17： 设a 、b 、c 、d 为正数，且1))()()((=++++a d d c c b b a
求证：.16
1
))(2)(2)(2)(2(2≤
++++++++abcd b a d a d c d c b c b a 分析：本题属于非齐次不等式，且次数较高，处理此题的切入点，还是利用已知等式将其齐次化。
1平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多种方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多竞赛的书籍中，都有专门的章节介绍和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1 平均值不等式 一般地，假设12,,...,n a a a 为n 个非负实数，它们的算术平均值记为 12...,n n a a a A n +++= 几何平均值记为 112(...)n n n G a a a == 算术平均值与几何平均值之间有如下的关系。 12...n a a a n +++≥ 即 n n A G ≥， 当且仅当12...n a a a ===时，等号成立。 上述不等式称为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和应用非常灵活、广泛，有多种不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。供大家参考学习。 1.2 平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 1 1212...(...)k k n a a a a a a k +++≥。 那么，当1n k =+时，由于
121 1 (1) k k a a a A k +++++= +，1k G +=， 关于121,,...,k a a a +是对称的，任意对调i a 与j a ()i j ≠，1k A +和1k G +的值不改变，因此不妨设{}1121min ,,...,k a a a a +=，{}1121max ,,...,k k a a a a ++= 显然111k k a A a ++≤≤，以及1111()()0k k k a A a A +++--<可得 111111()k k k k A a a A a a +++++-≥. 所以 1111211 1(1)...k k k k k k kA k A A a a a A A k k k +++++++-+++-= == 2111...()k k k a a a a A k ++++++-=≥即12111...()k k k k k A a a a a A +++≥+- 两边乘以1k A +，得 111211112111...()...()k k k k k k k k k k A a a A a a A a a a a G ++++++++≥+-≥=。 从而，有11k k A G ++≥ 证法二（归纳法） （1） 当2n =时，已知结论成立。 （2） 假设对n k =（正整数2k ≥）时命题成立，即对 0,1,2,...,,i a i k >=有 12...k a a a +++≥ 那么，当1n k =+时，由于
不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+
1，利用均值不等式证明不等式 （1）均值不等式：设12,,...,n a a a 是n 个正实数，记 12111n n n H a a a = ++???+ n G = 12n n a a a A n ++???= n Q =它们分别称为n 个正数的调和平均数，几何平均数，算术平均数，平方平均数。有如下关系： n n n n H G A Q ≤≤≤.等号成立的充要条件是12n a a a ==???=。 先证n A n =当n=k+1n a ≤≤ 1 111= i k i k a A +==+ +∑∑ 111 111(1)(11).1k i i i i k i i i i k k k a a a a k k a A a k k k k ====++? ? ? ? ? ? ?=+-+-==+ ? ? ? ? ? ?? ? ? ??? ∑ 1111 1.1k k k k k k k k k A G a n k A G +++++∴≥==+所以对时亦成立。原不等式成立。 . n n A G ≥证法二：用反向数学归纳法证明：
20,n n n n n A G A G =-=≥≥当时，成立。 ++k N ∈k k 1假设：n=2（）时成立，当n=2时： ++++1 +1 1 ++ = =.i i i i i i a a a A G ===≥ ≥=∑∑∑k 1 k k 1 k k 1k 12222k k 2k 1 222 2 2 2 +,k N ?∈k 即，对当n=2时，结论成立。 假设1 t t tA G t ++证法三：0.k b = >令： 111)k k k k k k b b b ----+ +≥11 k k k k b b --即：k kb 且：11112211[(1)]n n n k n n k k k n k k k k k A b b b kb k b a G b --===-==≥--== 12n ===.n n G A a a a ∴≤等号成立当且仅当: 上述不等式在数学竞赛中应用极为广泛，好的、难的不等式问题往往只需用它们即可解决，而无需过分追求所谓更“高级”的不等式，这是应该引起我们注意的。 例1：求证下列不等式： （1） ()1 3a a b b + ≥-，(0)a b >>
证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t
学习好资料 欢迎下载 证明n 元均值不等式 1212n n n a a a n a a a +++≥证明： 首先证明，23n 2,222当，，，，时，不等式成立。 显然，12122a a a a +≥， 又因为412341234123412342+2222=4a a a a a a a a a a a a a a a a +++≥≥?， 同理可以证明得到n 2也成立。 再证明，当k k+1n 22∈（，） 也成立。 k k n=2+i 1i 2-1≤≤不妨设 ，其中，则有k k k k 21212 222a a a a a a ++ +≥， k+1k+1k+1k+121212 222a a a a a a ++ +≥ 则k k k 121222+12+i =++ +n a a a a a a a a +++++ +（）， k k k k k k k k k k k k k k k k+1212 22k 2+i 1212 22+12+i 1222+1k 2+i 12 22+1 2++1 2+i i 2+2-i =++++2-i 2i i n a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a a +++++++ ?+≥? （则（）（）） k k k k k k k k k 2+i 12 22+1 2+i k 2+i 12 22+1 2+i 2-2i i -a a a a a a a a a a 其中可以看成是（）个相（）加所得。 k k k k k k k k k k k k 2+i 12 22+12+i k 2+i 1212 22+12+i 22+1 2+i 2-i ++ +2+i a a a a a a a a a a a a a a a ?++ +≥（）最后，在式两边同时减去就得到了（）（） 1212 n n n a a a n a a a ++ +≥即：得证。
高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.doczj.com/doc/0f6638502.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.doczj.com/doc/0f6638502.html,) 原文地址： https://www.doczj.com/doc/0f6638502.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公
均值不等式及其应用 一．均值不等式 1.（1）若R b a ∈,，则ab b a 22 2 ≥+ (2)若R b a ∈,，则2 2 2b a ab +≤（当且仅当b a =时取“=”） 2. (1)若*,R b a ∈，则ab b a ≥+2 (2)若* ,R b a ∈，则ab b a 2≥+（当且仅当b a =时取“=” ） (3)若* ,R b a ∈，则2 2? ? ? ??+≤b a ab (当且仅当 b a =时取“=”） 3.若0x >，则12x x + ≥ (当且仅当1x =时取 “=”）;若0x <，则1 2x x +≤- (当且仅当1x =-时取“=”） 若0x ≠，则11122-2x x x x x x +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=”） 3.若0>ab ，则2≥+a b b a (当且仅当b a =时取“=”） 若0ab ≠，则 22-2a b a b a b b a b a b a +≥+≥+≤即或 (当且仅当b a =时取“=” ） 4.若R b a ∈,，则2 )2( 2 22b a b a +≤ +（当且仅当b a =时取“=”） 注：（1）当两个正数的积为定植时，可以求它们的和的最小值，当两个正数的和为定植时，可以求它们的 积的最小值，正所谓“积定和最小，和定积最大”． （2）求最值的条件“一正，二定，三相等” (3)均值定理在求最值、比较大小、求变量的取值范围、证明不等式、解决实际问题方面有广泛的应用． 应用一：求最值 例1：求下列函数的值域 （1）y ＝3x 2＋12x 2 （2）y ＝x ＋1 x 解：（1）y ＝3x 2＋1 2x 2 ≥2 3x 2·1 2x 2 ＝ 6 ∴值域为[ 6 ，+∞） （2）当x ＞0时，y ＝x ＋1 x ≥2 x ·1 x ＝2； 当x ＜0时， y ＝x ＋1x = －（－ x －1 x ）≤－2 x ·1 x =－2 ∴值域为（－∞，－2]∪[2，+∞） 解题技巧： 技巧一：凑项 例1：已知5 4x < ，求函数14245 y x x =-+-的最大值。 解：因450x -<，所以首先要“调整”符号，又1 (42)45 x x --g 不是常数，所以对42x -要进行拆、凑项， 5,5404x x <∴->Q ，11425434554y x x x x ??∴=-+=--++ ?--? ?231≤-+= 当且仅当1 5454x x -= -，即1x =时，上式等号成立，故当1x =时，max 1y =。 评注：本题需要调整项的符号，又要配凑项的系数，使其积为定值。
证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以
不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾．
常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足Qn An Gn H ≤≤≤n + ∈R n a a a 21、、、Λ，当且仅当n a a a 21===Λ时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即D(-1)≤D(0)≤D(1)≤D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有ab 2b a 22 ≥+ (当且仅当a=b 时取“=”号)， ab 20b ,a 22>> (4)对实数a,b ，有 ()()b a b b a --a ≥ (5)对非负实数a,b ，有 02a 22≥≥+ab b
(8)对实数a,b,c ，有 ac bc ab c b a 222++≥++ (10)对实数a,b,c ，有 3 3 a abc c b ≥++ 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序不等式法、 柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设A ≥0，B ≥0，则()()B n n nA A B A 1-n +≥+ 注：引理的正确性较明显，条件A ≥0，B ≥0可以弱化为A ≥0，A+B ≥0 当n=2时易证； 假设当n=k 时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设 1 a +k 是 1 21a ,,a ,a +k Λ中最大者，则 1211k ka +++++≥k a a a Λ 设 k a a a +++=Λ21s 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法 琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数()n x x x x f ,,,,21Λ是函数()x f 在区间(a,b) 内的任意n 个点，
柯西证明均值不等式的方法 by zhangyuong （数学之家） 本文主要介绍柯西对证明均值不等式的一种方法，这种方法极其重要。 一般的均值不等式我们通常考虑的是n n G A ≥: 一些大家都知道的条件我就不写了 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 我曾经在《几个重要不等式的证明》中介绍过柯西的这个方法，现在再次提出： 8444844)()(: 4422)()(abcdefgh efgh abcd h g f e d c b a abcd abcd cd ab d c b a d c b a ≥+≥+++++++=≥+≥+++=+++八维时二维已证，四维时： 这样的步骤重复n 次之后将会得到 n n n x x x x x x n 2 221221 (2) ...≥ +++ 令A n x x x x x x x x x x n n n n n n =+++= =====++......;,...,2122111 由这个不等式有 n n n n n n n n n n A x x x A x x x A n nA A 2 121 212 221)..(..2 )2(- -=≥ -+= 即得到 n n n x x x n x x x ......2121≥ +++ 这个归纳法的证明是柯西首次使用的，而且极其重要，下面给出几个竞赛题的例子： 例1： 1 1 12101(1,2,...,)11(...)n i i i n n n a i n a a a a =<<=≥ --∑ 若证明 例2：
1 1 1211(1,2,...,)1 1(...)n i i i n n n r i n r r r r =≥=≥ ++∑ 若证明 这2个例子是在量在不同范围时候得到的结果，方法正是运用柯西的归纳法： 给出例1的证明： 12121 2 212 2 123 4 211(1)2(1)(1) 11,(1)(2)2(1) 22(1)2(1)2211111111n a a a a a a p a q a q p p q p q pq q p q q q p q a a a a =+ ≥ ?- --≥----=+= ?--≥-+?-+≥?+≥+?≥+ + + ≥+ ----≥ 当时设，而这是元均值不等式因此此过程进行下去 因2 1 1 2 1221 1212221 12 2 1 1 2 11(...)...(...)112 2 (2) 1111() 111n n n n n n n n i i n n n n n n n n n i i n n i i a a a a a a a a a a G n a G G G G n a G =++-==≥ --=====+-≥ = ----≥ --∑ ∑ ∑ 此令有即 例3： 1 115,,,,1(1),,111,,11( )( ) 1 1 n n i i i i i i i i i n n n i i i i i i n n i i i i i i i i i i i n r s t u v i n R r S s n n T t U u V v n n n r s t u v R ST U V r s t u v R ST U V =>≤≤== = = = ++≥--∑∑∑∑∑∏ 已知个实数都记，求证下述不等式成立： 要证明这题，其实看样子很像上面柯西的归纳使用的形式
均值不等式的证明(精选多篇) 第一篇：常用均值不等式及证明证明 常用均值不等式及证明证明 这四种平均数满足hn?gn? an?qn ?、ana1、a2、 ?r?，当且仅当a1?a2?? ?an时取“=”号 仅是上述不等式的特殊情形，即d(-1)≤d(0)≤d(1)≤d(2)由以上简化，有一个简单结论，中学常用 均值不等式的变形： (1)对实数a,b，有a 2 22 ?b2?2ab (当且仅当a=b时取“=”号)，a,b?0?2ab (4)对实数a,b，有 a?a-b??b?a-b? a2?b2? 2ab?0 (5)对非负实数a,b，有 (8)对实数a,b,c，有
a2? b2?c2?ab?bc?ac a?b?c?abc(10)对实数a,b,c，有 均值不等式的证明： 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳）、拉格朗日乘数法、琴生不等式法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设a≥0，b≥0，则?a?b??an?na?n-1?b n 注：引理的正确性较明显，条件a≥0，b≥0可以弱化为a≥0 ，a+b≥0 (用数学归纳法)。 当n=2时易证； 假设当n=k时命题成立，即 那么当n=k+1时，不妨设ak?1是则设 a1,a2,?,ak?1中最大者， kak?1?a1?a2???ak?1 s?a1?a2???ak 用归纳假设 下面介绍个好理解的方法琴生不等式法 琴生不等式：上凸函数f?x?,x1,x2,?,xn是函数f?x?在区间(a,b)内的任意n个点， 设f?x??lnx，f
?x?为上凸增函数所以， 在圆中用射影定理证明（半径不小于半弦） 第二篇：均值不等式证明 均值不等式证明一、 已知x,y为正实数，且x+y=1求证 xy+1/xy≥17/4 1=x+y≥2√(xy) 得xy≤1/4 而xy+1/xy≥2 当且仅当xy=1/xy时取等 也就是xy=1时 画出xy+1/xy图像得 01时，单调增 而xy≤1/4 ∴xy+1/xy≥(1/4)+1/(1/4)=4+1/4=17/4 得证 继续追问： 拜托，用单调性谁不会，让你用均值定理来证 补充回答： 我真不明白我上面的方法为什么不是用均值不等式证的法二： 证xy+1/xy≥17/4
不等式性质的应用 不等式的性质是解不等式、证明不等式的基础和依据。教材中列举了不等式的性质，由这些性质是可以继续推导出其它有关性质。教材中所列举的性质是最基本、最重要的，对此，不仅要掌握性质的内容，还要掌握性质的证明方法，理解掌握性质成立的条件，把握性质之间的关联。只有理解好，才能牢固记忆及正确运用。 1．不等式性质成立的条件 运用不等式的基本性质解答不等式问题，要注意不等式成立的条件，否则将会出现一些错误。对表达不等式性质的各不等式，要注意“箭头”是单向的还是双向的，也就是说每条性质是否具有可逆性。 例1：若0< B ．a b a 11>- C ．||||b a > D ．22b a > 解：∵0<->-b a 。 由b a -< -11，b a 11>，∴（A ）成立。 由0<< b a ，||||b a >，∴（C ）成立。 由0>->-b a ，2 2 )()(b a ->-，2 2b a >，∴（D ）成立。 ∵0<->-a b a ， )(11b a a --<-，b a a ->11，∴（B ）不成立。 故应选B 。 例2：判断下列命题是否正确，并说明理由。 （1）若0<c ，在2 2c b c a >两边同乘以2 c ，不等式方向不变。∴b a >。 （3）错误。b a b a 1 1，成立条件是0>ab 。 （4）错误。b a >，bd ac d c >?>，当a ，b ，c ，d 均为正数时成立。 2．不等式性质在不等式等价问题中的应用 例3：下列不等式中不等价的是（ ） （1）2232 >-+x x 与0432 >-+x x （2）13 8112++ >++ x x x 与82>x （3）35 7354-+>-+x x x 与74>x （4） 023 >-+x x 与0)2)(3(>-+x x A ．（2） B ．（3） C ．（4） D ．（2）（3） 解：（1）0432232 2 >-+?>-+x x x x 。 （2）482>?>x x ，44,11 3 8112>?>-≠?++>++ x x x x x x 。
2 常用均值不等式及证明证明 Hn n 概念： 1、调和平均数： 1 1 1 a 1 a 2 a n 2、几何平均数： Gn a 1 a 2 1 a n n 3 、算术平均数： An a 〔 a ? a n n 4 、平方平均数： Qn 2 2 a 1 a 2 2 a n n 这四种平均数满足 Hn Gn An Qn 1 r 0 时)； D x a i a ； a n n (当 r 0 时)(即 i D 0 a i a ； a n n 则有：当 r=-1、1、0、2 注意到 Hn w Gn< An w Qn 仅是上述不等式的特殊情 形，即 D(-1) w D(0) w D(1) w D(2) 由以上简化，有一个简单结论，中学常用 2 、ab 1 1 a b 均值不等式的变形： (1)对实数a,b ，有a 2 b 2 2ab (当且仅当a=b 时取“=”号),a 2,b 2 0 2ab 对非负实数a,b ，有a a 1> a 2、 、a n R ，当且仅当 a 1 a 2 a n 时取“=”号 均值不等式的一般形式：设函数 D x a i r a ； a n a b a 2 b 2 2 \ 2
⑶ 对负实数a,b ，有 a b -^ ab 0 ⑷ 对实数a,b ，有 a a - b b a - b 2 2 ⑸ 对非负实数a,b ，有 a b 2ab 0 均值不等式的证明: 方法很多，数学归纳法（第一或反向归纳） 、拉格朗日乘数 法、琴生不等式 法、排序 不等式法、柯西不等式法等等 用数学归纳法证明，需要一个辅助结论。 引理：设 A >0, B >0,则 A B n A n nA n-i B 注：引理的正确性较明显，条件 A > 0, B > 0可以弱化为 A > 0, A+B> 0 （用数学归纳法）。 当n=2时易证; 假设当n=k 时命题成立，即 ⑹ 2 . 2 对实数a,b ，有a b a b 2 2 ⑺ 2 对实数a,b,c ，有a b 2 2 c (8) 2 对实数a,b,c ，有 a b 2 c 2 (9) 2 对非负数a,b ，有a ab b 2 a b c (i0) 对实数a,b,c ，有 3 2ab abc 2 ab bc ac 3a b 2 3 abc 原题等价于: n a n a i a 2 a n k a k a i a 2 a k 那么当n=k+i 时，不妨设 a k i 是a i , a 2, ,a k i 中最大者， 则 ka k i a k 1 设 s a i a 2 a k
一个不等式的七种证明方法 证明不等式就是证明所给不等式在给定条件下恒成立.由于不等式的形式是多种多样的,因此,不等式的证明方法也可谓是千姿百态.针对不等式证明,要具体问题具体分析,灵活选用证明方法,提高代数变形,推理论证能力,一题多解,有助于我们对辩证唯物主义观点有进一步的认识. 题目：已知a ,b ,c ,d ∈R ,求证:ac +bd ≤))((2222d c b a ++ 分析一:用分析法 证法一:(1)当ac +bd ≤0时,显然成立. (2)当ac +bd >0时,欲证原不等式成立, 只需证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2) 即证a 2c 2+2abcd +b 2d 2≤a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 即证2abcd ≤b 2c 2+a 2d 2 即证0≤(bc -ad )2 因为a ,b ,c ,d ∈R ,所以上式恒成立, 综合(1)、(2)可知:原不等式成立. 分析二:用综合法 证法二: (a 2+b 2)(c 2+d 2)=a 2c 2+a 2d 2+b 2c 2+b 2d 2 =(a 2c 2+2abcd +b 2d 2)+(b 2c 2-2abcd +a 2d 2)
=(ac +bd )2+(bc -ad )2≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd . 故命题得证. 分析三:用比较法 证法三:∵(a 2+b 2)(c 2+d 2)-(ac +bd )2=(bc -ad )2≥0, ∴(a 2+b 2)(c 2+d 2)≥(ac +bd )2 ∴))((2222d c b a ++≥|ac +bd |≥ac +bd , 即ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析四:用放缩法 证法四:为了避免讨论,由ac +bd ≤|ac +bd |, 可以试证(ac +bd )2≤(a 2+b 2)(c 2+d 2). 由证法1可知上式成立,从而有了证法四. 分析五:用三角代换法 证法五:不妨设???==???==ββ ααsin cos ,sin cos 2 211r d r c r b r a (r 1,r 2均为变量). 则ac +bd =r 1r 2cos αcos β+r 1r 2sin αsin β=r 1r 2cos （α-β） 又|r 1r 2|=|r 1|·|r 2|=))((22222222d c b a d c b a ++=+?+ 及r 1r cos （α-β）≤|r 1r 2| 所以ac +bd ≤))((2222d c b a ++. 分析六:用换元法
平均值不等式及其证明 平均值不等式是最基本的重要不等式之一，在不等式理论研究和证明中占有重要的位置。平均值不等式的证明有许多方法，这里，我们选了部分具有代表意义的证明方法，其中用来证明平均值不等式的许多结论，其本身又具有重要的意义，特别是，在许多 竞赛的书籍中，都有专门的章节和讨论，如数学归纳法、变量替换、恒等变形和分析 综合方法等，这些也是证明不等式的常用方法和技巧。 1.1平均值不等式 一般地，假设，，，为n个非负实数，他们的算术平均值记为 几何平均值记为 算术平均值和几何平均值之间有如下的关系。 即， 当且仅当时，等号成立。 上述不等式成为平均值不等式，或简称为均值不等式。 平均值不等式的表达形式简单，容易记住，但它的证明和使用非常灵活、广泛，有多 重不同的方法。为使大家理解和掌握，这里我们选择了其中的几种典型的证明方法。 供大家参考学习。 1.2平均值不等式的证明 证法一（归纳法） （1）当n=2时，已知结论成立。 （2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对 ，，，，有 。 那么，当n=k+1时，由于
， 关于，，，是对称的，任意对调和，和的值不改变，因此不妨设，，，，，，，显然，以及（）（）可得 （） 所以 （） （） 即（）两边乘以，得 从而，有 证法二（归纳法） （1）当n=2时，已知结论成立。 （2）假设对n=k（正整数k）时命题成立，即对，，，，有 。 那么，当n=k+1时，由于 从而，有 证法三（利用排序不等式）
设两个实数组，，，和，，，满足 ；， 则（同序乘积之和） （乱序乘积之和） （反序乘积之和） 其中，，，是，，的一个排列，并且等号同时成立的充分必要条件是或成立。 证明： 切比雪夫不等式（利用排序不等式证明） 杨森不等式（Young）设，，，则对 ，有等号成立的充分必要条件是。 琴生不等式（Jensen） 设，（，）为上凸（或下凸）函数，则对任意，（，，），我们都有 或 其中，， 习题一 1.设，求证：对一切正整数n，有 （） 2.设，，，求证 （）（）（）（ 3.设，，为正实数，证明：
第二讲证明不等式的基本方法 课题：第01课时不等式的证明方法之一：比较法 一．教学目标 （一）知识目标 （1）了解不等式的证明方法——比较法的基本思想； （2）会用比较法证明不等式，熟练并灵活地选择作差或作商法来证明不等式；（3）明确用比较法证明不等式的依据，以及“转化”的数学思想。 （二）能力目标 （1）培养学生将实际问题转化为数学问题的能力； （2）培养学生观察、比较、抽象、概括的能力； （3）训练学生思维的灵活性。 （三）德育目标 （1）激发学习的内在动机； （2）养成良好的学习习惯。 二．教学的重难点及教学设计 （一）教学重点 不等式证明比较法的基本思想,用作差、作商达到比较大小的目的 （二）教学难点 借助与0或1比较大小转化的数学思想，证明不等式的依据和用途 （三）教学设计要点 1.情境设计 用糖水加糖更甜，实际是糖的质量分数增大这个生活常识设置问题情境，激发学生学习动机，通过将实际问题转化为不等式大小的比较，引入新课。 2.教学内容的处理 （1）补充一系列不同种类的用作差、作商等比较法证明不等式的例题。 （2）补充一组证明不等式的变式练习。 （3）在作业中补充何时该用作差法，何时用作商法的习题，帮助同学们更好地理解比较法。 3.教学方法 独立探究，合作交流与教师引导相结合。 三．教具准备 水杯、水、白糖、调羹、粉笔等 四．教学过程 (一)、新课学习： 1.作差比较法的依据： a b a >b ? > - a a =b b - ? = a a 不等式的常见证明方法
不等式常见的三种证明方法 渠县中学 刘业毅 一用基本不等式证明 设c b a ,,都是正数。求证：.c b a c ab b ac a bc ++≥++ 证明：.22c b ac a bc b ac a bc =?≥+ .22b c ab a bc c ab a bc =?≥+ .22a c ab b ac c ab b ac =?≥+ ).(2)(2c b a c ab b ac a bc ++≥++ .c b a c ab b ac a bc ++≥++ 点评：可用综合法分析乘积形式运用不等式可以转化为所求。 思维训练：设c b a ,,都是正数。求证： .222c b a c b a a c b ++≥++ 二 放缩法证明不等式 已知，对于任意的n 为正整数，求证： 1+221+321+K +n 21<4 7 分析：通过变形将数列{n 21 }放缩为可求数列。 解：Θ n 21=n n ?1<)1(1-n n =11-n —n 1（n ≥2） ∴1+221+321+K +n 21<1+2 21+231?+341?+K +)1(1-n n =1+ 41+(21—31+31—41+K +11-n —n 1) =45+21—n 1 =47—n 1 点评：放缩为可求和数列或公式是高考重要思想方法。 思维训练：设c b a ,,都是正数，a+b>c,求证：a a +1+b b +1>c c +1
三 构造函数法证明 证明不等式3ln 3121112ln <+++++
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