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2007年高考数学试卷评析及2008年数学高考复习探讨
10月20—21日，参加了2008年湖南省高考备考研讨会，现将大会专家的报告整理如下，供各位同仁参考，达到共同提高的目的。
一、2007年数学高考试卷评析
2007年是湖南省自主命题的第四年，数学试卷充分发挥了作为基础学科的作用，既考查了中学数学基础知识的掌握程度，又考查了进入高校继续学习的潜能，在去年命题工作的基础上作了总体上调整，理科客观题较2006年降低了难度，但主观题保持了稳定的风格，总体难度略有下降。较2006年均分下降了两分多。而文科调高了试卷的整体难度，在客观题上出现了多处与理科相近的试题，而主观题在概率应用题，解析几何综合题和数列综合题出现了姐妹题，试题较接近2003年国家考试中心的试题的风格，从而使考生从2006年文、理试题差异大，到2007年几道把关试题的进口完全相同，仅仅能力出口略有差别，文科学生很不适应，总之，命题在深化能力立意，积极改革创新上均作了大胆的探索，兼顾了数学基础，思想方法、思维、应用和潜能多方面的考查，融入课程改革的理念，拓宽了题材，选材多样化，宽角度，多视点地考查了数学素养，多层次地考查了思维能力，形成了湖南省命题的独特风格。
1．1试题题型平衡，突出对主干知识的考查，重视对新增内容的考查。
2007年的文、理科试卷保持了2006年的题型，题量及分值，保持了各主干知识及新增内容的试题的大致比例(见表)，保持了考查风格，对基础知识的考查平谈中见深刻，不刻意追求知识点的覆盖面，在试题设计创新上下了功夫。
试题关注高中数学课程改革，结合使用教材实际情况，汲取新课程中的新思想，新理念，进一步考查新增内容，其中理科有4、5、7、14、17、19、2l等题共计约46分，文科2、7、，14、17、21等题共计约40分，文、理科较2006年均有所增长(2006年理37分，文33分)与教材所在课时的比例比较，更突出了新增内容的考查。
1．2充分考虑文、理科考生的思维水平与不同的学习要求，体现出较好的层次性。
文、理科考生在数学思维方面的水平有差异，而对数学的要求也不相同，2007年的试题较好地关注了这种特点，在文、理考查内容大致相同的情况下，在考查方式、能力层次等
方向进行了较好的区别，全卷仅有选择题10题相同，在解答题中理16与文16(同为三角函数题)相比，文科考题更常规和传统，理17题文17题(同为概率题)相比，理科第(2)小题考虑的情形要多，而且还要计算随机变量的期望与方差，增加了一个能力考查点，理科19题与文科19题(同为解析儿何题) 相比，文科把理科的第(2)问由探究性问题，改为给出结论后验证!
在文、理科试题中，又采用大题设多问的方式来进行层区分，各问之间层次分明，难度逐渐加大，每道题的第1问起点较低，易于动手，这种试题有较好的区分度，能很地发挥高考的选拔功能!
但2007年文科试题与理科试题比较，虽然有较大区别，但有的试题在题设条件完全一样的情况下(如文、理17题，文、理19题及文20题和理21题)设置问题时，文科的首问台阶几乎与理科相同，这样导致文科考生大部分感觉入手难，从而导致今年文科生均分较去年下降6分多，而且高分的人数锐减，这也许是命题出题者的一种策略。
1．3．重视对数学思想的考查
数学新课标明确提出把数学思想方法归入“双基”的范畴，并确定了一些重要的基本数学思想方法，2007年的试题突出了这方面的考查，注重了通性通法的考查，淡化了解题技巧，文、理试卷考查的主要数学思想有：数列结合的思想，如文科第7、8、14题，理科第6、14、19等题；转化与化归的思想，如文科第19、20、21等题，理科第9、19、20、21等题，分类与整合的思想，文科有第10、20等题，理科第10、20等题；特殊与一般的思想，如理科第15题，或然与必然的思想如文科17题，理科17题；有限与无限的思想，如理科第7题。
1．4深化能力立意，考查考生的学习潜能
高考旨在选拔已经合格的毕业生中那些素质好，基础扎实，能力强，发展潜力大，将来有机会继续深造的学生，以能力立意是多年来新高考命题的指导思想，2007年，深化了这一思想。
许多试题都处在知识网络的交汇点，解答这类试题，考生需要综合思考，灵活运用所学各类知识和方法进行推算，如理科的第4题综合考查了函数与向量的知识，而向量知识着重考查了数量积运算及垂直的条件，只要学生知识运用得当，解答就会自然流畅，理科21题，以数列和函数为知识为载体设置条件，提出问题采用了低起点多台阶的形式，第(1)问解答数列本身问题，第(2)问则对已知数列提问探索它为单调递增数列的条件，属于条件探索性问题。但第(3)问把数列与解析几何科率综合起来，但证明过程中，为了比较两个式子大小，又运用了构造函数的方法，通过以导数为工具研究其单调性，然后运用单调性判定两个式子大小，在最后一问中，考查了创新思维能力，以其思维跨度大，构造性强而形成综合性，文科的第21题，一改近两年通过对给出的一元三次函数求导，再研究其单调性然后逐渐解决各级问题的风格，而在第(1)问以通过条件中的三次函数载体，考查二次函数的综合问题(即区间根问题)，即化归到传统的二次函数问题。第(2)问提出的问题更是独具匠心，解答者必须把条件中y=f(x)在点A(1，f(1))处的切线穿过函数y=f(x)的图象这一几何特征，等价转化为代数问题，第(3)问打破常规，不是直接给出A、B两点的纵坐标均为函数的极值。而是以几何语言叙述的形式呈现，创设了新颖的情境，以上试题在较高层面上考查了学生阅读能力，理解能力和解决问题的能力。考查考生学习新的数学知识的能力是2007年试题的一个亮点，如文、理的第10题，考生面对如此情境新颖的试题，如果不具有良好的心理素质。把抽象问题具体化，正难则反，从反面思考，否则很难得分。审题和选择思路与方法是破解本题关键，若本题采用枚举法，就会有麻烦!由此可见，理解与领悟知识，才能灵活运用知识，重视产生知识过程中形成的方法与思想，才能形成内化能力，以此能自如地解决新问题，这体现考试了学习能力和未来运用学习获取知识发展自己的能力。
从能力立意角度讲，2007年的试题还突出了对考生数学思维能力的考查，许多试题若能先想清楚找到合适的解题思路和方向后再动手，则解答会较容易，否则陷入繁琐的运算之中，如理科第6、9、14题文科第7、8、14等题通过画图或利用已知条件提供的图形，数形结合后迅速解答。对于理科第15题，敢于从特殊出发，尝试找到规律，然后形成结论。试题中还设计了一些探索性试题，为考生提供了展示能力的空间，如：文科第20题第(2)问，属条件探索性问题，为考生提供了探索的空间，让学生体会人们认识数学规律和解决数问题的全过程，探索性问题由于解法不确定性，问题开放性，从而提升了试题的能力考查，也产生良好的区分度。
1．5重视应用题设计、考查、数学应用意识。
2007年湖南试卷在文、理各设计了两道应题，其中文科第7题以处理水文观测后的数据为模型，重点考查统计知识，文、理的第17题条件完全一样，而且设置问题第(1)问相同，第(2)问文理仅考查一种隋形的概率计算，而理科须计算出发生各种情况的概率，并求期望，同2006年比较，应该说保持了稳定，理科第19题是一个函数背景应用题，与2006年相似之处是以函数为背景，不同之处今年建立函数模型后，重点考查二次函数最值，无理函数用导数工具讨论最值，而且最后一问是一个探索性问题，坡度较大，由此可见，中学数学的核心能力和主干知识是高考考查重点。我们既要抓热点，更要落实重点知识复习，这是高考中不会回避的。
2007年应用题，较2006年保持了背景公平这一特点，但问题的表述更朴实，所以考生阅读上困难少了许多，但应用问题考查建模后落脚到数学方法的运用上，所以，加强考生应用意识培养只是破解应用题的一方面，更主要的是注重数学思维能力和数学素养的提高，达到解决应用题的最终目的。．
二、2008年数学高考复习探讨
(一)复习的两个基本原则
1、以纲为纲，明晰考试要求
所谓“纲”，主要指《考试说明》和《教学大纲》。简单地说，《考试说明》就是对考什么、考多难、怎样考这3个问题的具体规定和解说。《教学大纲》则是编写教科书和进行教学的主要依据，也是检查和评定学生学业成绩、衡量教师教学质量的重要标准。研究《考试说明》和《教学大纲》，既要关心《考试说明》中调整的内容，又要重视数学5种版本《考试说明》的比较。我们可以结合上一年的高考数学评价报告，对《考试说明》进行横向和纵向的分析，发现命题的变化规律。
2、以本为本，把握通性通法
近几年高考数学试题坚持新题不难、难题不怪的命题方向，强调“注意通性通法，淡化特殊技巧”。正如教育部考试中心命题处处长任子朝所说的“不能借口能力考查和理论联系实际而弱化、淡化基础知识、基本理论”。有的知识点看起来在课本中没有出现过，但它属于“一捅就破”的情况，出现的可能也是有的。“注意通性通法，淡化特殊技巧”，就是说高考最重视的是具有普遍意义的方法和相关的知识。例如，将直线方程代入圆锥曲线方程，整理成一元二次方程，再利用根的判别式、求根方式、韦达定理、两点间距离公式等可以编制出很多精彩的试题。这些问题考查了解析几何的基本方法，也体现了考试中心提出的“应更多地从知识网络的交汇点上设计题目，从学科的整体意义、思想含义上考虑问题”的思想。尽管剩下的复习时间已经不多，但我们仍然要注意回归课本。只有吃透课本上的例题、习题，才能全面、系统地掌握基础知识和基本方法，构建数学的知识网络，以不变应万变。在求活、求新、求变的命题的指导思想下，高考数学试题虽然不可能考查单纯背诵、记忆的内容，也不会考查课本上的原题，但对高考试卷进行分析就不难发现，．许多题目都能在课本上找到“影子”，不少高考题就是对课本原题的变型、改造及综合。回归课本，不是要强记题型、
死背结论，而是要抓纲悟本，对着课本目录回忆和梳理知识，把重点放在掌握例题涵盖的知识及解题方法上，选择一些针对性极强的题目进行强化训练、复习才有实效。
(二)按考查要求进行下面三方面的复习
1、数学基础知识
(1)函数和导数
函数是高中数学的主干，也是高考考查的重点，高中阶段函数划分为三个阶段，并不断升化，第一阶段主要学习函数概念，函数的图象和性质以指数函数和对数函数为例，重点学习反函数和函数的关系，函数的单调性，奇偶性；第二阶段，是以三类三角函数为例，学习函数的奇偶性和周期性；第三阶段，则是在学习函数的极限、函数的连续性的基础上，重点学习函数的导数、最终落在导数的应用：研究极值、最值等，旧课程卷将函数与不等式及数列结合起来，而新课程卷是把函数与导数相结合，发挥导数的工具作用。
复习建议：①熟练掌握(一次函数、二次函数、反比例函数、打钩函数、指数函数、对数函数)的图象和性质，其它函数问题可通过寻找背景函数使问题得到顺利解决；②理解函数概念及其定义域、值域、奇偶性、单调性、周期性、对称性等性质，从而为顺利解决抽象函数问题打下基础；③从两个方面培养学生学会透过函数看问题：一是会讨论已知函数的性质并能运用性质解决问题(如运用单调性求极值、解不等式等)；二是能通过数学建模将实际问题转化为函数问题，即函数化思想；④数学思想与方法：i)对应思想：函数是一种特殊的对应，反函数是逆对应，可不求反函数解决反函数问题；ii)从函数角度看方程，从方程角度看函数；iii)有限与无限的思想
(2)数列
虽然在大纲中数列只有12个课时，但高考中数列有相当重要的位置。
数列问题，注意一般数列的概念和性质，重点研究等差数列和等比数列，掌握通项公式和求和公式，以及形成这些公式的思想与方法，对于理科学生，通过考生对数列问题的解答，可考查其演绎推理的能力，课本上公式也是常考知识点。
复习建议：①数列的概念：等差与等比数列的概念、通项公式及求和公式，培养学生运用方程的思想解决数列问题；②数列求和的几种方形法：公式法、分组并项法、裂项相消法、倒序相加法、错位相减法；③对于理科学生，重视递推数列的通项性质以及和的性质，在是否求递推数列通项的选择上考查学生的逻辑推理能力；数列的通项以及和的不等问题，要求会选择恰当的方法解决问题(不等式法、函数单调性法、数学归纳法)，培养学生代数推理能力
(3)不等式
掌握不等式的性质，简单不等式的解法，不等式的证明与不等式的应用，新教材删去了无理不等式、指数不等式和对数不等式的解法，只保留了二次不等式，分式不等式及绝对值不等式的解法，平均值不等式由原来的三个正数降低为2个正数，这主要是导数工具引入，拓展了求函数最大(小)值的空间，形成互补性。
复习建议：①重视不等式的性质，它是重要不等式的产生以及不等式运算与推理的重要依据；②熟练运用算术几何平均值不等式解决问题，重视它的拓展性结论及其运用，重点训练恒等变形能力，创设运用不等式的情境(配凑技巧)；③发挥不等式的工具性：i)用不等式解决函数问题；ii)用不等式的证明方法证明数列不等式问题：④注意不等式与函数的交融，会通过函数观点(构造模型函数)看不等式问题
总之，不等式在高考中单独命题可能性小，但作为工具解决问题的作用不会降低，即不等式的工具性。
(4)三角函数
在新高考中，三角函数把旧高考同角8个公式删为3个，删去了余切诱导公式，删去了
半角公式，积化和差与和差化积公式，删去了反三角函数与简单三角方程的绝大部分内容，只保留了反正弦、反余弦、反正切的意义与符号表示，而简单的三角方程只要求由已知三角函数值会求角，这主要是新增了平面向量、极限和导数，它们的工具性作用替代了三角函数的工具性作用。
三角函数主要是两类题型，一种是三角函数式变换后求值、化简及证明，另一种是三角函数的图象与性质。
(5)立体几何
高考试卷对空间想象能力的考查集中在立体几何试题上，由于新教材编制了A、B两种版本：在B版中增加了空间向量的方法，开拓了解决立体几何问题的空间，也拓宽了高考命题的思路。总体上讲，由于引入空间向量，对于适合于建立空间坐标系的问题，将几何元素间的关系数量化，加上近三年命题中保持了一题两解的特点，使得用空间向量的方法解立体几何问题带来了优势。
(6)解析几何
解析几何新高考要求与旧高考要求变化不大，删去了极坐标和参数方程，但增加了线性规划内容，对于线性规划，2007年全国及各省市基本考查了一道客观试题，解析几何的核心内容——直线、圆、圆锥曲线，仍旧是新高考的热点内容，但由于新高考增加了平面向量内容，而平面向量又可以用坐标表示，因此，以坐标为桥梁，使向量的有关运算和解析几何的坐标运算产生了联系，可以使向量及其有关运算为工具，来研究解决解析几何的有关问题，主要是直线的平行、垂直、点的共线、定比分点及平移等(尤其是湖南省教育出版社编制的一套新课表高中教材，整个解析几何都是用平面向量为工具处理的)，这就给解析几何实现在知识网络的交汇处设计能力试题提供了良好的素材。
解析几何问题着重考查解析几何的基本思想，即利用代数的方法研究解析几何的基本特点和性质，因此，在解决解析几何问题的过程中，计算占了很大的比重，对运算能力要求较高，但计算要根据题目中曲线的特点和相互之间的关系进行，所以曲线的定义和性质是解题的基础，而在计算中要根据题目的要求，利用曲线的性质将计算简化或将某一个“因式”作为一个整体处理，这样可大大简化运算，它的依据是“模块”思想，即“换元法”。
解析几何除考查概念、基本元素及基本关系外，还突出考查函数与方程、数形结合、特殊与一般等思想方法。
(7)概率与统计
概率与统计是高中数学新课程的重要学习内容，在生产与生活中有着广泛的应用。我省自主命题四年，每年文、理都考一道解答题，概率的复习一定要以课本为本，新教材要求，文科考生须掌握三种概率计算方法及简单的统计知识，统计内容每年都是以客观题出现，而对于理科考生，还须了解和掌握离散型随机变量的分布列、离散型随机变量的期望和方差、抽样方法、总体分布的估计、正态分布，线性回归等，对于理科考生，未来高考中，会提升考生学会用统计方法解决生产与生活中的实际问题。
2、数学思想与方法
(1)函数与方程的思想。
(2)数形结合的思想。
(3)分类与整合的思想。
(4)化归与转化的思想
(5)特殊与一般的思想
通过对个例的认识与研究，逐渐积累对这类事物的了解，形成对这类事物的总体认识，发现特点，掌握规律，形成共识，由浅入深，由现象到本质，由局部到整体，由实践到理论，这就是由特殊到一般的认识过程，但这不是目的，还需要用理论指导实践，用所得的特点和
规律解决这类事物发展的新问题。这就是由一般到特殊的认识过程。这种由特殊到一般，再由一般到特殊反复认识的过程，就形成了特殊到一般的思想。我们数学中常用的归纳法、演绎法就是特殊与一般思想方法的集中体现。高考中设置一些通过构造特殊函数，特殊数列，寻找特殊点、特殊位置，取特值等解决的问题，都是突出考查特殊与一般的思想。
(6)有限与无限的思想
有限与无限相比，有限显得具体，无限显得抽象，对有限的研究往往先于对无限的研究，对有限个对象的研究往往有章可循，并积累了一定的经验，而对无限的研究是将它转化为对有限的研究，这就形成了解决无限问题的必经之路，反之，当积累了解决无限问题的经验之后，又可以将有限问题转化为无限问题来解决，这种无限化有限，有限化无限的解决数学问题的方法称之为有限与无限的思想。
有限与无限思想的考查刚刚起步，新高考是在考查其他数学思想方法中同步考查有限与无限的思想，使用数学归纳法证明时，体现了有限与无限的思想，研究函数极值，在极值定义中对极值的描述中，从另一个角度体现了有限与无限的思想，定义中的“附近”和“所有”都含有有限与无限的辩证关系，而新高考命题更重视从概念和方法出发，考查蕴含其中的数学思想方法，即我们复习中，既要重视课本中的概念、定理、性质的直接或灵活运用，还要重视产生概念、公式，证明定理、性质所产生的数学思想与方法。
(7)必然与或然的思想
随机现象的两个基本特征，一是结果的随机性，即同样重复的实验，所得到的结果并不相同，以至于试验之前不能预料试验的结果，二是频率的稳定性，即在大量重复试验中，每个试验发生的频率“稳定”在一个常数附近，概率研究的的随机现象，研究的过程是“偶然”中寻找“必然”，然，后再利用“必然”的规律去解决“偶然”的问题，这集中体现的就是必然与或然的数学思想。
(三)数学三轮复习的对策与方略’
1、一轮复习按考点分课时逐个复习，夯实基础知识与基本方法。
一轮复习中值得注意的几个问题
(1)课堂教学的模式化提升课堂教学效率
(2)课后练习的反馈、评价、落实，以保证考点复习的实效性
(3)每周一练，形成对一周知识与方法的整理，回顾检测以验证目标的完成情况
(4)每章一考，全面检查章节复习的成果，阶段性检测知识与能力所达到目标的情况
(5)教材选取的互补性，除课堂教学用书，另外准备一本按考点编拟的较基础、导向性好的考点训练册，交叉训练，形成互补
2、二轮复习分专题讲座，同时与专题训练相结合，分块整合进行综合复习，注重数学思想与方法的提升和综合能力的培养。·
二轮复习中值得注意的几个问题
①专题讲座分两步走：先按知识模块整合，按章节或多章节整合，形成内部交叉综合能力，再介绍数学思想方法，形成考生内化能力。②专题讲座与“模块”综合检测相结合，二轮复习应把训练与专题讲座摆同等地位，此时还不宜进行综合考试
3、二轮复习的几个训练环节：小题训练——短卷训练——模拟训练——查漏补缺训练，其中模拟训练和模拟考试不宜过多，5至6次较好。
(四)、高三数学复习值得注意的六个问题
1、弃题海，重过程，反璞归真抓复习
2、合理切入，科学备考
(1)回归课本，夯实基础
(2)突出主干知识，加强薄弱环节
(3)精选典型习题，克服复习倦怠
(4)提高理解和运算能力
(5)强化思想与方法
3、构建知识网络，寻找交叉点整合．
(1)三角与向量的交融
(2)解析几何与向量的交融’
（3）数列与解析几何交融
（4）数列与不等式交融
①项不等式问题的常规处理方法：i)不等式证明的一般方法(比较法、基本不等式法、
放缩法等)；ii)数学归纳法：iii)构建函数，利用函数的单调性；iv)先求通项，利用通项求解
②和不等式问题的常规处理方法：i)合理放缩后裂项相消；ii)裂项无效，化归等比：iii)迭代放缩
(5)概率与方程、概率与递推数列的交融
(6)函数、导数与不等式的交融’
(7)函数与数列交融
(8)立体几何与方程的交融(解决立几探索性问题有两种思路：一种是先猜后证，另一种是运用方程化归为代数问题)
4、重视意志和品质培养，加强心理素质教育
5、学会反思，提高复习效率
6、养成良好解题习惯，规范答题．
①引导学生对自己的思考过程进行反思
②引导学生对题意的理解进行反思
③引导学生对题目所涉及的数学思想方法进行反思
④引导学生对解题的思路、推理、运算和语言表述进行反思
(5)引导学生对解题活动中有所关联的问题进行反思、‘
⑥引导!学生对数学活动的结果进行反思，对结果的反思可进一步探讨解法，挖掘规律，引申结论。
附高考数学主干知识，解题基本策略
(一)三角函数
1．高考命题特点
(1)立足基础，难度偏易；(2)主考变形，注重求值；
(3)强调通法，淡化技巧；(4)内容简洁，运算适度．
2．解题基本策略
(1)切弦互化，统一角度，变异为同；(2)高次降幂，复角拆分，整体把握；
(3)找出差异，抓住联系，促进转化；(4)化边为角，化角为边，变式消元：
(5)将三角式变形为只有一处含自变量；(6)分离参数研究参数取值范围；
(7)注意公式的逆向运用和变式运用：(8)注意在原函数定义域内求解．
3．考题基本类型
(1)求含非特殊角的三角式的值：(2)求含未知角的三角式的值：
(3)以三角形为背景求值；(4)确定三角函数的基本性质：
(5)三角函数的图象性态分析；(6)求三角函数中参数的值或取值范围；
(二)空间直线与平面
1．高考命题特点
(1)突出主线，考点分散；(2)一证一算，一题两法；
(3)注重基础，题意简明；(4)难度中等，方法常规．
2．解题基本策略
(1)从数量关系中发掘位置关系；(2)利用直觉思维提出合理猜想再论证；
(3)对角和距离应先“找”后“作”；(4)运用方程思想求值；
(5)运用转化思想进行挪移；(6)以面面垂直为背景作平面的垂线；
(7)通过移图、补形、展开分析图形特征(8)适当利用向量法解题．
3．考题基本类型
(1)空间线面位置关系的判定与证明；(2)空间角的分析与计算；
(3)空间距离的分析与计算；(4)探索性问题．
(三)概率与统计
1．高考命题特点
(1)重点突出，主考概率：(2)注重原理，强调双基；
(3)背景朴实，贴近实际；(4)难度稳定，设问常规．
2．解题基本策略
(1)认清随机事件所属的概率类型；(2)运用方程思想建立概率关系：
(3)利用对立事件的概率关系简化概率运算；(4)利用分解与合成思想求期望：
‘（5注意二项分布的期望与方差的简单计算：(6)将正态分布问题转化为区间概率．
3．考题基本类型
(1)求随机事件发生的概率：(2)求离散型随机变量的分布列、期望和方差：
(3)抽样方法的应用；(4)iE态分布的基本运算；
(四)直线与圆锥曲线
1．高考命题特点
(1)题量稳定，考点均衡：(2)立足基础，注重运算；
(3)能力立意，常规设问：(4)难易有度，循序渐近．
2．解题基本策略
(1)适当建立平面直角坐标系：(2)设而不求，变式消元：
(3)利用韦达定理沟通坐标与参数的关系；(4)发掘儿何性质简化代数运算；
(5)用函数与方程思想处理等与不等关系；(6)理顺参数关系注重算理算法；
(7)注意对特殊情形的补充和检验；(8)发择向量的工具作用．
3．考题基本类型
(1)求给定类型的曲线方程2) 求动点的轨迹(3)求未知量的值(4)求变量的取值范围或最值；
(5)解析性质的探求、判定与证明；
(6)线性规划问题．
(五)数列与不等式
1．高考命题特点
(1)背景丰富，知识交汇；(2)数列题材，不等式问题；
(3)难度有别，理高文低；(4)强调工具，注重综合．
2．解题基本策略
(1)化归为等差、等比数列问题求解：(2)利用“归纳一猜想一证明’’解决问题；
(3)在没有要求时一般不求通项公式；(4)利用项与和的关系对递推公式变形；
(5)利用迭代原理派生新的递推关系；(6)注意直接求和与放缩求和相结合
(7)注意适当选用等差、等比数列的求和公式．
3．考题基本类型
(1)以数列为背景比较大小；(2)以数列为背景证明不等式；
(3)以数列为背景求变量的取值范围；(4)数列性质的证明与判定；
(5)数列中的探索性问题；(6)应用性问题．
(六)．函数与方程
1．高考命题特点．
(1)题量起伏，理增文减；(2)函数载体，导数方法：
(3)既考基础，又重能力；(4)强调综合，渗透应用．
2．解题基本策略‘
(1)利用基本函数理论分析问题；(2)通过数形结合寻找解题突破口；
(3)将函数式变形为只有一处含有自变量：(4)适当换元改变函数类型，简化函数结构；(5)注意双曲函数的工具作用；(6)在函数定义域内研究问题：
(7)构造函数将不等式问题化归为函数问题解决；
(8)利用导数分析函数单调性、极值和图象特征．
3．考题基本类型
(1)讨论函数的基本性质；(2)函数图象及其性态分析；
(3)函数方程根的分布；(4)抽象函数的性质分析；
(5)函数应用性问题．
摘要：随着中国经济的快速蓬勃发展和企业规模的不断壮大，内部审计作为公司治理的一个组成部分，其职能逐渐扩展，地位也越来越重要。审计理论随着审计实践的发展而不断更新，审计“免疫系统”论就是从这一进程中凝练出来的。
（第5题） 2013年普通高等学校招生全国统一考试 （江苏卷） 数学Ⅰ 注意事项 绝密★启用前 考生在答题前请认真阅读本注意事项及各题答题要求： 1．本试卷共4页，均为非选择题（第1题～第20题，共20题）.本卷满分为160分.考试时间为120分钟.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回. 2．答题前，请您务必将自己的姓名、考试证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置. 3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与您本人是否相符. 4．作答试题必须用0.5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡的指定位置作答，在其它位置作答一律无效. 5．如需作图，须用2B 铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗. 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．. 1.函数4 2sin(3π -=x y 的最小正周期为 ▲ . 解析：2= =2 T π π 2.设2 )2(i z -=(i 为虚数单位)，则复数z 的模为 ▲ . 解析：34,Z i Z =-= 3.双曲线 19 162 2=-y x 的两条渐近线的方程为 ▲ . 解析：3 y=4 x ± 4.集合{}1,0,1-共有 ▲ 个子集. 解析：3 28=（个） 5.右图是一个算法的流程图，则输出的n 的值是 ▲ 解析：经过了两次循环，n 值变为3
6.抽样统计甲，乙两位射击运动员的5次训练成绩(单位：环)，结果如下： 则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 ▲ . 解析：易知均值都是90，乙方差较小， () ()()()()()() 2 22222 2 1 118990909091908890929025n i i s x x n ==-= -+-+-+-+-=∑ 7.现有某类病毒记作n m Y X ，其中正整数)9,7(,≤≤n m n m 可以任意选取，则n m ,都取到奇数的概率为 ▲ . 解析： m 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7共7个 n 可以取的值有：1,2,3,4,5,6,7,8,9共9个 所以总共有7963?=种可能 符合题意的m 可以取1,3,5,7共4个 符合题意的n 可以取1,3,5,7,9共5个 所以总共有4520?=种可能符合题意 所以符合题意的概率为 20 63 8.如图，在三棱柱ABC C B A -111中，F E D ,,分别是1,,AA AC AB 的中点，设三棱锥ADE F -的体积为1V ，三棱柱ABC C B A -111的体积为2V ，则=21:V V ▲ .
2018年北京市高考数学试卷（理科） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 1．（5分）已知集合A={x||x|＜2}，B={﹣2，0，1，2}，则A∩B=（）A．{0，1}B．{﹣1，0，1}C．{﹣2，0，1，2} D．{﹣1，0，1，2} 2．（5分）在复平面内，复数的共轭复数对应的点位于（） A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限 3．（5分）执行如图所示的程序框图，输出的s值为（） A．B．C．D． 4．（5分）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于．若第一个单音的频率为f，则第八个单音的频率为（） A． f B． f C． f D．f
5．（5分）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个 数为（） A．1 B．2 C．3 D．4 6．（5分）设，均为单位向量，则“|﹣3|=|3+|”是“⊥”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件 C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件 7．（5分）在平面直角坐标系中，记d为点P（cosθ，sinθ）到直线x﹣my﹣2=0的距离．当θ、m变化时，d的最大值为（） A．1 B．2 C．3 D．4 8．（5分）设集合A={（x，y）|x﹣y≥1，ax+y＞4，x﹣ay≤2}，则（）A．对任意实数a，（2，1）∈A B．对任意实数a，（2，1）?A C．当且仅当a＜0时，（2，1）?A D．当且仅当a≤时，（2，1）?A 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 9．（5分）设{a n}是等差数列，且a1=3，a2+a5=36，则{a n}的通项公式为．10．（5分）在极坐标系中，直线ρcosθ+ρsinθ=a（a＞0）与圆ρ=2cosθ相切，则a=． 11．（5分）设函数f（x）=cos（ωx﹣）（ω＞0），若f（x）≤f（）对任意的实数x都成立，则ω的最小值为． 12．（5分）若x，y满足x+1≤y≤2x，则2y﹣x的最小值是． 13．（5分）能说明“若f（x）＞f（0）对任意的x∈（0，2]都成立，则f（x）在
HR Planning System Integration and Upgrading Research of A Suzhou Institution 近三年高考数学试卷分析 陈夏明 近三年的数学试卷强调了对基础知识的掌握、突出运用所学知识解决实际问题的能力.整套试卷遵照高考考试大纲的要求，从题型设置、考察知识的范围和运算量,书写量等方面保持相对稳定，体现了考查基础知识、基本运算方法和基本数学思想方法的特点.好多题都能在课本上找到影子，是课本题的变形和创新.这充分体现了高考数学试题“来源于课本”的命题原则，同时,也注重了知识之间内在的联系与综合，在知识的交汇点设计试题的原则。 2009年高考数学考试大纲与往年对比，总体保持平稳，个别做了修改,修改后更加适合中学实际和现代中学生的实际水平，从大纲来看，高考主干知识八大块：１．函数；２．数列；３．平面向量；４．不等式（解与证）；５．解析几何；６．立体几何；７．概率与统计。仍为考查的重点,其中函数是最核心的主干知识. 考试要求有变化： 今年数学大纲总体保持平稳，并在平稳过渡中求试题创新，试题难度更加适合中学教学实际和现代中学生的实际水平；适当加大文理卷的差异，力求文理学生成绩平衡，文科试题“适当拉大试题难度的分布区间，试题难度的起点应降低，而试题难度终点应与理科相同”。 试题难度没有太大变化，但思维量进一步加大，更加注重基础知识、基本技能的考查.注重通性通法,淡化特殊技巧，重视数学思想方法的考查.不回避重点知识的考查。函数、数列、概率（包括排列、组合）、立体几何、解析几何等知
识仍是考查的重点内容.保持高考改革的连续性、稳定性，严格遵循《考试大纲》命题. 针对高考变化教师应引导学生： 1．注重专题训练，找准薄弱环节 2．关注热点问题进行有针对性的训练 3．重视高考模拟试题的训练 4．回归课本，查缺补漏。 5．重视易错问题和常用结论的归纳总结 6．心理状态的调整与优化 （1）审题与解题的关系： 我建以审题与解题的关系要一慢一快：审题要慢，做题要快。 （2）“会做”与“得分”的关系： 解题要规范,俗话说：“不怕难题不得分,就怕每题都扣分”所以务必将解题过程写得层次分明,结构完整.这非常重要,在平时训练时要严格训练. （3）快与准的关系： 在目前题量大、时间紧的情况下，“准”字则尤为重要。只有“准”才能得分，只有“准”才可不必考虑再花时间检查，而“快”是平时训练的结果. （4）难题与容易题的关系： 拿到试卷后，应将全卷通览一遍，一般来说应按先易后难、先简后繁的顺序作答。近年来考题的顺序并不完全是难易的顺序，因此不要在某个卡住的题上打“持久战”，特别不要“小题大做”那样既耗费时间又未心能拿分，会做的题又被耽误了。这几年，数学试题已从“一题把关”转为“多题把关”，而且解答题都设置了层次分明的“台阶”，入口宽，入手易，但是深入难，解到底难。 因此,我建议答题应遵循： 三先三后： 1.先易后难 2.先高（分）后低（分） 3.先同后异。
2008年江苏高考数学试卷分析与启示 江苏省海门中学数学组吴健 随着教育改革的不断深入，高考试卷的理念和呈现方式也在不断变革，2008年高考是新一轮课程改革后的第一年高考，其命题思想和试题呈现方式倍受社会关注，必将对以后几年的高考命题和高考复习起引领作用。纵观2008年江苏高考试题，数学试卷进一步优化了结构，试卷起点较低，循序渐进，在全面考察基础的同时，突出体现对学生的数学基本功、数学应用、创新能力等方面的考查。 1．调整结构，充分落实《考试说明》的精神，重点考查数学的主干知识 从试卷的结构来看，江苏卷继续进行积极的探索，全卷题量调整为“14+6”，即填空题14个，共70分；解答题6小题，共90分。按照2008年考试说明的要求，取消了选择题，有利于考查学生的数学基本功和思维能力，减少考生靠猜答案得分的可能性，当然，这种变化大大增加了学生得分的难度，使基础不好的学生没有任何“取巧”的余地。 今年江苏省的《考试说明》指出，试卷应“贴近教学实际，既注意全面，又突出重点。注重知识内在联系的考查，注重对中学数学中所蕴含的数学思想方法的考查”。纵观2008年江苏高考试卷，较好地体现了考试说明的要求，整份试卷注重基础，考查知识覆盖面广，对主干知识的考查重点突出。例如函数作为高中代数最基本、最重要的内容，在试卷第（1）、（8）、（11）、（13）、（14）、（15）、（17）、（20）题中，从不同侧面进行了考查；解析几何着重考查直线和圆、二次曲
线的性质，如第（12）、（18）题；立体几何着重考查点、线、面的位置关系，如第（16）题。《考试说明》还特别提出了8个知识点要“灵活和综合应用”，今年的试题在总题量减少的情况下，遵循“重点内容，重点考查”的命题原则，覆盖了《考试说明》中的8个C 级知识点，且这些试题多为中档题或难题，如等差、等比数列继2005年、2006年、2007年重点考查后，今年继续着重考查，且常考常新，考生看到这样的考题，初看亲切、熟悉，但顺利解决很须动一番脑筋，对概念和思维的考查充满了力度。 2． 试题编排合理，体现人性化和选择功能的和谐统一 今年高考题可以说一改往年过分追求题目的新颖与华丽，而走朴实和紧扣课本之路，全卷除了最后一题略显抽象，其它试题学生普遍感觉似曾相识，填空题的第（1）～（9）题，解答题的第（15）、（16）题均为基础题，难度不大，可快速解答，填空题从第10题开始为中档题，对考生的思维要求逐步提高。如填空题的第（11）、（14）两题均为不等式知识的综合应用，虽然考察的是常见的知识点，但命题思路巧妙，需要一定的转化变通能力。 如：11．设z y x ,,为正实数，满足032=+-z y x ，则xz y 2的最小值为 。 此题中有三个变量z y x ,,，初看似有些吓人，但仔细分析，由 032=+-z y x 可消去参数y ，而xz y 2又是分子、分母齐次的，可以再减少一个变量，即xz y 2)926(41)96(414964)3(222x z z x x z z x xz z xz x xz z x ?+≥++=++=+==
绝密★启用前 2017年普通高等学校招生全国统一考试 新课标II卷 理科数学 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的． 1． A．B．C．D． 【答案】D 2．设集合，．若，则 A．B．C．D． 【答案】C 【解析】 试题分析：由得，即是方程的根，所以，，故选C． 【考点】交集运算、元素与集合的关系 【名师点睛】集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．两个防范：①不要忽视元素的互异性；②保证运算的准确性． 3．我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“远望巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一，请问尖头几盏灯？”意思是：一座7层塔共挂了381盏灯，且相邻两层中的下一层灯数是上一层灯数的2倍，则塔的顶层共有灯 A．1盏B．3盏C．5盏D．9盏
4．如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为 A． B． C． D． 【答案】B 【解析】 试题分析：由题意，该几何体是一个组合体，下半部分是一个底面半径为3，高为4的圆柱， 其体积，上半部分是一个底面半径为3，高为6的圆柱的一半，其体积 ，故该组合体的体积．故选B． 【考点】三视图、组合体的体积 【名师点睛】在由三视图还原为空间几何体的实际形状时，要从三个视图综合考虑，根据三视图的规则，空间几何体的可见轮廓线在三视图中为实线，不可见轮廓线在三视图中为虚线．在还原空间几何体实际形状时，一般是以正视图和俯视图为主，结合侧视图进行综合考虑．求解以三视图为载体的空间几何体的体积的关键是由三视图确定直观图的形状以及直观图中线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解． 5．设，满足约束条件，则的最小值是 A．B．C．D．
理科数学解析 一、选择题： 1.C【解析】本题考查集合的概念及元素的个数. 容易看出只能取-1,1,3等3个数值.故共有3个元素. 【点评】集合有三种表示方法：列举法，图像法，解析式法.集合有三大特性：确定性，互异性，无序性.本题考查了列举法与互异性.来年需要注意集合的交集等运算，Venn图的考查等. 2.D【解析】本题考查常有关对数函数，指数函数，分式函数的定义域以及三角函数的值域. 函数的定义域为,而答案中只有的定 义域为.故选D. 【点评】求函数的定义域的依据就是要使函数的解析式有意义的自变量的取值范围.其求解根据一般有:(1)分式中，分母不为零;(2)偶次根式中，被开方数非负；(3)对数的真数大于0：（4）实际问题还需要考虑使题目本身有意义.体现考纲中要求了解一些简单函数的定义域，来年需要注意一些常见函数：带有分式，对数，偶次根式等的函数的定义域的求法. 3.B【解析】本题考查分段函数的求值. 因为，所以.所以. 【点评】对于分段函数结合复合函数的求值问题，一定要先求内层函数的值，因为内层函数的函数值就是外层函数的自变量的值.另外，要注意自变量的取值对应着哪一段区间，就使用
哪一段解析式，体现考纲中要求了解简单的分段函数并能应用，来年需要注意分段函数的分段区间及其对应区间上的解析式，千万别代错解析式. 4.D【解析】本题考查三角恒等变形式以及转化与化归的数学思想. 因为，所以.. 【点评】本题需求解正弦值，显然必须切化弦，因此需利用公式转化；另外，在转化过程中常与“1”互相代换，从而达到化简的目的；关于正弦、余弦的齐次分式，常将正弦、余弦转化为正切，即弦化切，达到求解正切值的目的.体现考纲中要求理解三角函数的基本关系式，二倍角公式.来年需要注意二倍角公式的正用，逆用等. 5.B【解析】本题以命题的真假为切入点，综合考查了充要条件，复数、特称命题、全称命题、二项式定理等. （验证法）对于B项，令,显然，但不互为共轭复数，故B为假命题,应选B. 【点评】体现考纲中要求理解命题的概念，理解全称命题，存在命题的意义.来年需要注意充要条件的判断，逻辑连接词“或”、“且”、“非”的含义等. 6.C【解析】本题考查归纳推理的思想方法. 观察各等式的右边,它们分别为1,3,4,7,11，…， 发现从第3项开始，每一项就是它的前两项之和，故等式的右
2018年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学Ⅰ 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分．请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． 1．已知集合{}8,2,1,0=A ，{}8,6,1,1-=B ，那么=?B A ． 2．若复数z 满足i z i 21+=?，其中i 是虚数单位，则z 的实部为 ． 3．已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为 ． 4．一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S 的值为 ． 5．函数()1log 2-=x x f 的定义域为 ． 6．某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为 ． 7．已知函数()??? ??<<- +=22 2sin ππ ?x x y 的图象关于直线3π=x 对称，则?的值是 ． 8．在平面直角坐标系xOy 中，若双曲线()0,0122 22>>=-b a b y a x 的右焦点()0,c F 到一条渐近线的距离为
c 2 3 ，则其离心率的值是 ． 9．函数()x f 满足()()()R x x f x f ∈=+4，且在区间]2,2(-上，()??? ? ???≤<-+≤<=02,2120,2cos x x x x x f π， 则()() 15f f 的值为 ． 10．如图所示，正方体的棱长为2，以其所有面的中心为顶点的多面体的体积为 ． 11．若函数()()R a ax x x f ∈+-=122 3 在()+∞,0内有且只有一个零点，则()x f 在[]1,1-上的最大值与最 小值的和为 ． 12．在平面直角坐标系xOy 中，A 为直线x y l 2:=上在第一象限内的点，()0,5B ，以AB 为直径的圆C 与 直线l 交于另一点D ．若0=?，则点A 的横坐标为 ． 13．在ABC ?中，角C B A 、、所对的边分别为c b a 、、，ο 120=∠ABC ，ABC ∠的平分线交AC 于点D ， 且1=BD ，则c a +4的最小值为 ． 14．已知集合{ }* ∈-==N n n x x A ,12|，{}* ∈==N n x x B n ,2|．将B A ?的所有元素从小到大依次排 列构成一个数列{}n a ，记n S 为数列{}n a 的前n 项和，则使得112+>n n a S 成立的n 的最小值为 ．
绝密★启用前 2019年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷） 数学 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A＝{﹣1，0，1，6}，B＝{x|x＞0，x∈R}，则A∩B＝．2．（5分）已知复数（a+2i）（1+i）的实部为0，其中i为虚数单位，则实数a的值是．3．（5分）如图是一个算法流程图，则输出的S的值是． 4．（5分）函数y＝的定义域是． 5．（5分）已知一组数据6，7，8，8，9，10，则该组数据的方差是． 6．（5分）从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率是． 7．（5分）在平面直角坐标系xOy中，若双曲线x2﹣＝1（b＞0）经过点（3，4），则该双曲线的渐近线方程是． 8．（5分）已知数列{a n}（n∈N*）是等差数列，S n是其前n项和．若a2a5+a8＝0，S9＝27，则S8的值是． 9．（5分）如图，长方体ABCD﹣A1B1C1D1的体积是120，E为CC1的中点，则三棱锥E﹣BCD的体积是．
10．（5分）在平面直角坐标系xOy中，P是曲线y＝x+（x＞0）上的一个动点，则点P到直线x+y＝0的距离的最小值是． 11．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A在曲线y＝lnx上，且该曲线在点A处的切线经过点（﹣e，﹣1）（e为自然对数的底数），则点A的坐标是． 12．（5分）如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若?＝6?，则的值是． 13．（5分）已知＝﹣，则sin（2α+）的值是． 14．（5分）设f（x），g（x）是定义在R上的两个周期函数，f（x）的周期为4，g（x）的 周期为2，且f（x）是奇函数．当x∈（0，2]时，f（x）＝，g（x）＝ 其中k＞0．若在区间（0，9]上，关于x的方程f（x）＝g（x）有8个不同的实数根，则k的取值范围是． 二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15．（14分）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c． （1）若a＝3c，b＝，cos B＝，求c的值； （2）若＝，求sin（B+）的值． 16．（14分）如图，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，D，E分别为BC，AC的中点，AB＝BC．求证：（1）A1B1∥平面DEC1； （2）BE⊥C1E．
2018年普通高等学校招生全国统一考试 数学（理）（北京卷） 一、选择题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。 （1）已知集合A ＝{x |x |<2}，，B ＝{-2，0，1，2}，则A ∩B ＝（ ） A ．{0，1} B ．{-1，0，1} C ．{-2，0，1，2} D ．{-1，0，1，2} （2）在复平面内，复数 i -11 的共轭复数对应的点位于（ ） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 （3）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A ． 2 1 B ． 6 5 C ． 6 7 D ． 12 7 （4）“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献，十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等与122。若第一个单音的频率为f ，则第八个单音的频率为（ ）
A ．f 32 B ．f 322 C ．f 1252 D ．f 1272 （5）某四棱锥的三视图如图所示，在此四棱锥的侧面中，直角三角形的个数为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （6）设a ，b 均为单位向量，则“|a －3b |=|3a+b |”是“a ⊥b ”的（ ） A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件 （7）在平面直角坐标系中，记d 为点p （cos θ，sin θ）到直线x -my -2=0的距离。当 θ，m 变化时，d 的最大值为（ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．4 （8）设集合A ＝{(x ，y )|x －y ≥1，ax +y >4，x-ay≤2}，则（ ） A ．对任意实数a ，（2，1）∈A B ．对任意实数a ，（2，1）?A C ．当且仅当a <0时，（2，1）?A D ．当且仅当a ≤3 2 时，（2，1）?A 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共6小题，每小题5分，共30分。 （9）设{a n }是等差数列，且a 1＝3，a 2＋5a ＝36，则{a n }的通项公式为______________. （10）在极坐标系中，直线ρcos θ＋ρsin θ＝a （a >0）与圆ρ＝2cosθ相切，则a ＝________. （11）设函数f (x )=cos (ωx - 6π)，若f (x )≤f (4 π)对任意的实数x 都成立，则ω的最小值为______. （12）若x ，y 满足x +1≤y ≤2x ，则2y -x 的最小值是__________.
2017年普通高等学校招生全国统一考试（卷） 数学I 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分． 请把答案填写在答题卡相应位置上．．．．．．．．． （1）【2017年，1，5分】已知集合}2{1A =，，23{},B a a =+．若{}1A B =I ，则实数a 的值为_______． 【答案】1 【解析】∵集合}2{1A =，，23{},B a a =+．{}1A B =I ，∴1a =或231a +=，解得1a =． 【点评】本题考查实数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意交集定义及性质的合理运用． （2）【2017年，2，5分】已知复数()()1i 12i z =-+，其中i 是虚数单位，则z 的模是_______． 【答案】10 【解析】复数()()1i 12i 123i 13i z =-+=-+=-+，∴() 2 21310z = -+=． 【点评】本题考查了复数的运算法则、模的计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题． （3）【2017年，3，5分】某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件．为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60件进行检验，则应从丙种型号的产品中抽取_______件． 【答案】18 【解析】产品总数为2004003001001000+++=件，而抽取60辆进行检验，抽样比例为606 1000100 = ，则应从丙 种型号的产品中抽取6 30018100 ?=件． 【点评】本题的考点是分层抽样．分层抽样即要抽样时保证样本的结构和总体的结构保持一致，按照一定的比例， 即样本容量和总体容量的比值，在各层中进行抽取． （4）【2017年，4，5分】如图是一个算法流程图：若输入x 的值为1 16 ，则输出y 的值是_______． 【答案】2- 【解析】初始值116 x =，不满足1x ≥，所以41 216 222log 2log 2y =+=-=-． 【点评】本题考查程序框图，模拟程序是解决此类问题的常用方法，注意解题方法的积累，属于 基础题． （5）【2017年，5，5分】若1tan 46πα? ?-= ?? ?．则tan α=_______． 【答案】7 5 【解析】tan tan tan 114tan 4tan 161tan tan 4 π απααπαα--??-= == ?+? ?+Q ，∴6tan 6tan 1αα-=+，解得7tan 5α=． 【点评】本题考查了两角差的正切公式，属于基础题． （6）【2017年，6，5分】如如图，在圆柱12O O 有一个球O ，该球与圆柱的上、下底面及母线均相 切。记圆柱12O O 的体积为1V ，球O 的体积为2V ，则12 V V 的值是________． 【答案】3 2 【解析】设球的半径为R ，则球的体积为：3 43 R π，圆柱的体积为：2322R R R ππ?=．则313223423 V R R V ππ==． 【点评】本题考查球的体积以及圆柱的体积的求法，考查空间想象能力以及计算能力． （7）【2017年，7，5分】记函数2()6f x x x =+- 的定义域为D ．在区间[45]-，上随机取一个数x ，则x ∈D
2017年高考数学试题分项版—解析几何（解析版） 一、选择题 1．(2017·全国Ⅰ文，5)已知F 是双曲线C ：x 2 －y 2 3 ＝1的右焦点，P 是C 上一点，且PF 与x 轴垂直，点A 的坐标是(1,3)，则△APF 的面积为( ) A ．13 B ．12 C ．23 D ．32 1．【答案】D 【解析】因为F 是双曲线 C ：x 2－ y 2 3 ＝1的右焦点，所以F (2,0)． 因为PF ⊥x 轴，所以可设P 的坐标为(2，y P )． 因为P 是C 上一点，所以4－y 2P 3＝1，解得y P ＝±3， 所以P (2，±3)，|PF |＝3. 又因为A (1,3)，所以点A 到直线PF 的距离为1， 所以S △APF ＝12×|PF |×1＝12×3×1＝32. 故选D. 2．(2017·全国Ⅰ文，12)设A ，B 是椭圆C ：x 23＋y 2 m ＝1长轴的两个端点．若C 上存在点M 满 足∠AMB ＝120°，则m 的取值范围是( ) A ．(0,1]∪[9，＋∞) B ．(0，3]∪[9，＋∞) C ．(0,1]∪[4，＋∞) D ．(0，3]∪[4，＋∞) 2．【答案】A 【解析】方法一 设焦点在x 轴上，点M (x ，y )． 过点M 作x 轴的垂线，交x 轴于点N ， 则N (x,0)． 故tan ∠AMB ＝tan(∠AMN ＋∠BMN ) ＝3＋x |y |＋3－x |y |1－3＋x |y |· 3－x |y |＝23|y |x 2＋y 2－3. 又tan ∠AMB ＝tan 120°＝－3， 且由x 23＋y 2m ＝1，可得x 2 ＝3－3y 2 m ， 则23|y |3－3y 2m ＋y 2－3＝23|y |(1－3m )y 2＝－ 3.
2020年北京高考数学试卷 一、选择题10小题，每小题4分，共40分． 1.已知集合{1,0,1,2}A =-，{|03}B x x =<<，则A B =（ ）． A. {1,0,1}- B. {0,1} C. {1,1,2}- D. {1,2} 2.在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ?=（ ）． A. 12i + B. 2i -+ C. 12i - D. 2i -- 3.在5(2)x -的展开式中，2x 的系数为（ ）． A. 5- B. 5 C. 10- D. 10 4.某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为（ ）． A. 63+ B. 623+ C. 123+ D. 123+ 5.已知半径为1的圆经过点(3,4)，则其圆心到原点的距离的最小值为（ ）． A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 6.已知函数()21x f x x =--，则不等式()0f x >的解集是（ ）． A. (1,1)- B. (,1)(1,)-∞-+∞ C. (0,1) D. (,0)(1,)-∞?+∞ 7.设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ．P 是抛物线上异于O 的一点，过P 作PQ l ⊥于 Q ，则线段FQ 的垂直平分线（ ）．
A. 经过点O B. 经过点P C. 平行于直线OP D. 垂直于直线OP 8.在等差数列{}n a 中，19a =-，51a =-．记12(1,2,)n n T a a a n ==……，则数列{}n T （ ）． A. 有最大项，有最小项 B. 有最大项，无最小项 C. 无最大项，有最小项 D. 无最大项，无最小项 9.已知,R αβ∈，则“存在k Z ∈使得(1)k k απβ=+-”是“sin sin αβ=”的（ ）． A . 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 10.2020年3月14日是全球首个国际圆周率日（π Day ）．历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中的“割圆术”相似．数学家阿尔·卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正6n 边形的周长和外切正6n 边形（各边均与圆相切的正6n 边形）的周长，将它们的算术平均数作为2π的近似值．按照阿尔·卡西的方法，π的近似值的表达式是（ ）． A . 30303sin tan n n n ???? + ??? B. 30306sin tan n n n ???? + ??? C. 60603sin tan n n n ????+ ??? D. 60606sin tan n n n ????+ ??? 第二部分（非选择题 共110分） 二、填空题共5小题，每小题5分，共25分. 11.函数1 ()ln 1 f x x x = ++的定义域是____________． 12.已知双曲线22 :163 x y C - =，则C 的右焦点的坐标为_________；C 的焦点到其渐近线的距离是_________． 13.已知正方形ABCD 的边长为2，点P 满足1 ()2 AP AB AC =+，则||PD =_________； PB PD ?=_________． 14.若函数()sin()cos f x x x ?=++最大值为2，则常数?的一个取值为________． 15.为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W 与时间t 的关系为()W f t =，用()() f b f a b a -- -的大小评价
2016年高考数学试卷分析 随着2016年高考的结束，，作为一线教师，也应该是对今年的高考试题进行一番细致的研究了。陕西省是即课改后首次使用全国卷。2015年的陕西卷已经为下一年的平稳过度做好了铺垫。首先在题型设置上，与全国卷保持一致，这已给师生做好了思想工作，当2016年的高考数学进入人们眼帘的时候，似乎也不是很陌生，很有老朋友相见的感觉。 今年的全国卷数学试题从试题结构与去年相比变化不大，严格遵守考试大纲说明，五偏题，怪题现象。试卷难度呈阶梯型分布，试题更灵活。入口容易出口难，有利于高校选拔新生。 一、总体分析： 1,试题的稳定性: 从文理试卷整体来看，考查的内容注重基础考查，又在一定的程度上进行创新。知识覆盖全面且突出重点。高中知识“六大板块”依旧是考查的重点。无论大小体目90%均属于常规题型，难度适中。是学生训练时的常见题型。其中，5，15，18注重考查了数学在实际中的应用能力。这就提示我们数学的教学要来源实际，回归生活，既有基础与创新的结合，又能增
加学生的自信心，发挥自己的最佳水平。 试题的变化： 有些复课中的重点“二项式定理”，“线性规划”，“定积分”。“均值不等式”等知识点并没有被纳入，而“条件概率”则出现在大题中，这也对试题的难度进行区分。 在难度方面，选择题的12题，填空题的16题，对学生造成较大困扰。这也有利于对人才的选拔。解答题中的20，21题第一问难度适中，第二问都提高了难度。这也体现了入口易，出口难，对人才的选拔非常有利。 今年的高考数学试题更注重了试题的广度，而简化了试题的深度。而这对陕西高考使用全国卷的过度上起到了承上启下的作用。平稳过度已是事实。给学生，教师都增加了信心。 试题的详细分析： 选择题部分 （1），考查复数，注重的是知识点的考查。对负数的运算量则降低要求，这要求我们不仅要求对运算过关，更强调知识点的全面性（2）集合的运算：集合的交并补三种运算应是同等对待。在平时的教学中，出现的交集运算比较多，。并集，补集易被忽略。（而
2018年江苏省高考数学试卷 一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.请把答案填写在答题卡相应位置上. 1．（5分）已知集合A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}，那么A∩B={1，8} ．【解答】解：∵A={0，1，2，8}，B={﹣1，1，6，8}， ∴A∩B={0，1，2，8}∩{﹣1，1，6，8}={1，8}， 故答案为：{1，8}． 2．（5分）若复数z满足i?z=1+2i，其中i是虚数单位，则z的实部为2．【解答】解：由i?z=1+2i， 得z=， ∴z的实部为2． 故答案为：2． 3．（5分）已知5位裁判给某运动员打出的分数的茎叶图如图所示，那么这5位裁判打出的分数的平均数为90． 【解答】解：根据茎叶图中的数据知， 这5位裁判打出的分数为89、89、90、91、91， 它们的平均数为×（89+89+90+91+91）=90． 故答案为：90． 4．（5分）一个算法的伪代码如图所示，执行此算法，最后输出的S的值为8．
【解答】解：模拟程序的运行过程如下； I=1，S=1， I=3，S=2， I=5，S=4， I=7，S=8， 此时不满足循环条件，则输出S=8． 故答案为：8． 5．（5分）函数f（x）=的定义域为[2，+∞）． 【解答】解：由题意得：≥1， 解得：x≥2， ∴函数f（x）的定义域是[2，+∞）． 故答案为：[2，+∞）． 6．（5分）某兴趣小组有2名男生和3名女生，现从中任选2名学生去参加活动，则恰好选中2名女生的概率为0.3． 【解答】解：（适合理科生）从2名男同学和3名女同学中任选2人参加社区服务， 共有C52=10种，其中全是女生的有C32=3种， 故选中的2人都是女同学的概率P==0.3， （适合文科生），设2名男生为a，b，3名女生为A，B，C， 则任选2人的种数为ab，aA，aB，aC，bA，bB，Bc，AB，AC，BC共10种，
2003年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数 学（理工农医类） 一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的. （1）设集合B A x x B x x A ?>=>-=则|},0log |{},01|{22 等于 （A ）}1|{>x x （B ）}0|{>x x （C ）}1|{-
全国Ⅰ卷高考数学试卷解析 下面是小编为大家带来的_全国Ⅰ卷高考数学试卷解析大全,希望你喜欢. 今年全国Ⅰ卷高考数学试卷命题符合高中数学课程标准和考试大纲说明的要求,符合课程改革方向和广东中学数学的教学实际,难度与梯度设置合理,总体难度较往年有所下降.试题结构保持稳定,但着重考查了数学建模.数据运算的能力.试题中的金字塔结合生活实际,考查了学生发现问题.提出问题.分析问题.解决问题的能力;后面大题考法较为常规,体现了回归基础的教学导向. 1.试卷各板块占比——稳中有变,难度降低 从上图可以看出,对比去年,_年高考全国Ⅰ卷文科数学试题的模块占比.整体比重稍有改动,概率统计模块的比重增加,函数导数模块.数列模块的比重减少,考查学生的数学运算与数学抽象核心素养.在题目设置上,注重对数学基础知识.数学思想方法和数学能力的考查,加强与实际生活的结合. 2.试卷各部分解析 ①选填题: 卓越教育高考改革研究委员会数学团队认为,今年选择填空的考点设置与_年全国Ⅰ卷大体一致,选填难度偏低,考点常规,充分体现了新高考回归课本的导向,符合新课标全国卷的要求. 选择题以及填空题前3题,主要考查学生对基础知识的掌握程度,渗透数学文化并注重数学应用.其中第_._题涉及向量垂直.导数求切线问题,均是去年出现的热门题型,考生应注重常规题型的熟练求解;第8题考查指对互化,体现新高考回归课本的趋势;第3题胡夫金字塔类比去年的断臂维纳斯,对学生的阅读理解能力.计算能力要求较高;第5题结合统计案例与函数图象,考查方式较为灵活;第_题考查数列综合问题,需要挖掘式子规律,技巧性较强,计算难度较大. ②解答题: 今年解答题的考点有所波动,时隔四年,解三角形重返大题舞台.立体几何大题
1983年全国高考数学试题及其解析 理工农医类试题 一．（本题满分10分）本题共有5小题，每小题都给出代号为A ，B ，C ，D 的四个结论，其中只有一个结论是正确的在题后的圆括号内每一个小题：选对的得2分;不选，选错或者选出 的代号超过一个的（不论是否都写在圆括号内），一律得0分 1．两条异面直线，指的是 （ ） （A ）在空间内不相交的两条直线（B ）分别位于两个不同平面内的两条直线 （C ）某一平面内的一条直线和这个平面外的一条直线（D ）不在同一平面内的两条直线2．方程x 2-y 2=0表示的图形是 （ ） （A ）两条相交直线 （B ）两条平行直线 （C ）两条重合直线 （D ）一个点 3．三个数a ,b ,c 不全为零的充要条件是 （ ） （A ）a ,b ,c 都不是零 （B ）a ,b ,c 中最多有一个是零 （C ）a ,b ,c 中只有一个是零（D ）a ,b ,c 中至少有一个不是零 4．设,34π = α则)arccos(cos α的值是 （ ） （A ）34π （B ）32π- （C ）32π （D ）3 π 5．3.0222,3.0log ,3.0这三个数之间的大小顺序是 （ ） （A ）3.0log 23.023.02<< （B ）3.02223.0log 3.0<< （C ）3.02223.03.0log << （D ）23.023.023.0log <<
1．在同一平面直角坐标系内，分别画出两个方程,x y -= y x -=的图形，并写出它们交点的坐标 2．在极坐标系内，方程θ=ρcos 5表示什么曲线？画出它的图形 三．（本题满分12分） 1．已知x e y x 2sin -=，求微分dy 2．一个小组共有10名同学，其中4名是女同学，6名是男同学小组内选出3名代表，其中至少有1名女同学，求一共有多少种选法。 四．（本题满分12分） 计算行列式（要求结果最简）： 五．（本题满分15分） 1．证明：对于任意实数t ，复数i t t z |sin ||cos |+=的模||z r = 适合 ≤r 2．当实数t 取什么值时，复数i t t z |sin ||cos |+=的幅角主值θ适合 4 0π ≤ θ≤？ 六．（本题满分15分） 如图，在三棱锥S-ABC 中，S 在底面上的射影N 位于底面的高CD 上;M 是侧棱SC 上的一点，使截面MAB 与底面所成的角等 于∠NSC ，求证SC 垂直于截面MAB ???β?-ββα ?+ααcos 2cos sin sin ) sin(cos cos )cos(sin
2020年普通高等学校招生全国统一考试（北京卷） 数 学 本试卷共5页，150分，考试时长120分钟，考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效，考试结束后，将本试卷和答题卡 第一部分（选择题共40分） 一、选择题共10小题，每小题4分，共40分，在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。（1）已知集合{1,0,1,2},{03}A B x x =-=<<，则A B = （A）{1,0,1}-（B）{0,1} （C）{1,1,2}-（D）{1,2} （2）在复平面内，复数z 对应的点的坐标是(1,2)，则i z ?= （A）12i +（B）2i -+（C）12i -（D）2i --（3）在5 (2)x -的展开式中，2 x 的系数为 （A）5-（B）5 （C）10 -（D）10 （4）某三棱柱的底面为正三角形，其三视图如图所示，该三棱柱的表面积为 （A）63+（B）623 +（C）123+（D）1223 +（5）已知半径为1的圆经过点)4,3(，则其圆心到原点的距离的最小值为 （A）4（B）5（C）6 （D）7
（6）已知函数12)(--=x x f x ，则不等式()0f x >的解集是 （A）)1,1(-（B）(-1)(1,) -∞+∞ ,（C）(0,1)（D）(0)(1) -∞+∞ ,,（7）设抛物线的顶点为O ，焦点为F ，准线为l ；P 是抛物线异己O 的一点，过P 做PQ ⊥l 于Q ，则线段FQ 的 垂直平分线（A）经过点O （B）经过点P （C）平行于直线OP （D）垂直于直线OP （8）在等差数列{n a }中，19a =-，51a =-，记12(1,2,)n n T a a a n =?=?，则数列{n T } （A）有最大项，有最小项（B）有最大项，无最小项（C）无最大项，有最小项 （D）无最大项，无最小项 （9）已知αβ∈R ,，则“存在k ∈Z ，使得π(1)k k αβ=+-”是“βαsin sin =”的 （A）充分而不必要条件（B）必要而不充分条件（C）充分必要条件 （D）既不充分也不必要条件 （10）2020年3月14日是全球首个国际圆周率日(πay)D 。历史上，求圆周率π的方法有多种，与中国传统数学中 的“割圆术”相似，数学家阿尔 卡西的方法是：当正整数n 充分大时，计算单位圆的内接正n 6边形的周长和外切正n 6边形（各边均与圆相切的正n 6边形）的周长，将它们的算术平均数作为π2的近似值。按照阿尔 卡西的方法，π的近似值的表达方式是（A）30303(sin tan )n n n ?? +（B）30306(sin tan )n n n ?? +（C）60603(sin tan )n n n ??+（D）60606(sin tan )n n n ??+第二部分（非选择题共110分） 二、填空题5小题，每小题5分，共25分．