元二次方程根与系数关系习题精
【基础练习】
1、根据乘法公式填空:(1)x12+x22=(x1+x2)2-______.(2)(x1-x2)2=(x1+x2)2-_______.
2、一元二次方程与的所有实数根的和等于____.
3、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为
_______________ 。(其中二次项系数为1)
4、已知,,且,则
5、已知关于的方程的两根之差等于6,那么______
6、已知方程2x2-6x+m=0的一个根是1,那么m的值是_____,另一个根是
_________.
7、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程的两个根,则这个
直角三角形的斜边长是()
A、 B、3 C、6 D、9
8.已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程的一根, 则这个三角形的周长为( )
A.11
B.17
C.17或19
D.19
【经典习题】
9.若是方程的两个根,试求下列各式的值:
(1) ;(2) ;(3) ;(4) .
10.已知x1和x2是方程2x2-3x-1=0的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值:
11.一个三角形的两边长是方程的两根,第三边长为2,求k的取值范围。
12.已知关于的方程,根据下列条件,分别求出的值.
(1) 方程两实根的积为5;(2) 方程的两实根满足.
综合练习
1.如果x1、x2是一元二次方程的两个实数根,则x1+x2=_________.
2.一元二次方程两根的倒数和等于__________.
3.关于x的方程的根为,则p=______,q=____.
4.若x1、x2是方程的两根,那么,
5.已知方程的两根之比为2,则k的值为_______.
6.已知为方程的两实根,则
7.方程与方程的所有实数根的和为___________.
8.关于x的方程的两个实数根同号,则a的取值范围是__________.
9.已知a、b是关于x的一元二次方程的两实数根,则式子的值是()
A. B. C. D.
10.以3和—2为根的一元二次方程是()
A. B. C. D.
11.设方程的两根分别为,且,那么m的值等于()
A. B.—2 C. D.—
12.点P (a,b)是直线y=—x+5与双曲的一个交点,则以a,b两数为根的一元二次方程是()
A. B. C. D.
13.已知两根之和等于两根之积,则m的值为()
A.1
B.—1
C.2
D.—2
14.设α、β是方程的两个实数根,则的值为()A.2009 B.2010 C.2011 D.2012
15.不解方程,求下列方程的两根x1、x2的和与积。
(1)(2)
16.已知x1、x2是一元二次方程的两个实数根,且x1、x2满足不等式
,求实数m的取值范围。
17.已知实数a、b满足等式,求的值。
19.已知关于x的方程的两根是一个矩形两邻边的长。
(1)k为何值时,方程有两个实数根;(2)呈矩形的对角线长为时,求k.
20.已知:关于x的方程x2+3x-m-=-0-有两个实数根,并且这两个实数根的平方和为11.求m的值.
一元二次方程应用题精选 一、数字问题 1、有两个连续整数,它们的平方和为25,求这两个数。 2、一个两位数,十位数字与个位数字之和是6,把这个数的个位数字与十位数字对调后,所得的新两位数与原来的两位数的积是1008,求这个两位数. 二、销售利润问题 3、某市场销售一批名牌衬衫,平均每天可销售20件,每件赢利40元.为了扩大销售,增 加赢利,尽快减少库存,商场决定采取适当降价措施.经调查发现,如果每件衬衫每降价1元,商场平均每天可多售出2件.求: (1)若商场平均每天要赢利1200元,每件衬衫应降价多少元? (2)要使商场平均每天赢利最多,请你帮助设计方案. 4.某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出,平均每天能售出8台,为了配合国家“家 电下乡”政策的实施,商场决定采取适当的降价措施,调查表明:这种冰箱的售价每降低50元,平均每天就能多售出4台,商场要想在这种冰箱销售中每天盈利4800元,同时又要使百姓得到实惠,每台冰箱应降价多少元? 5.西瓜经营户以2元/千克的价格购进一批小型西瓜,以3元/千克的价格出售,每天可售出200千克.为了促销,该经营户决定降价销售.经调查发现,这种小型西瓜每降价O.1元/千克,每天可多售出40千克.另外,每天的房租等固定成本共24元.该经营户要想每天盈利2O0元,应将每千克小型西瓜的售价降低多少元?
三、平均变化率问题增长率 (1)原产量+增产量=实际产量. (2)单位时间增产量=原产量×增长率. (3)实际产量=原产量×(1+增长率). 6. 某钢铁厂去年一月份某种钢的产量为5000吨,三月份上升到7200吨,这两个月平均每月增长的百分率是多少? 7. 某产品原来每件600元,由于连续两次降价,现价为384元,如果两个降价的百分数相同,求每次降价百分之几? 四、形积问题 8、有一块长方形的铝皮,长24cm、宽18cm,在四角都截去相同的小正方形,折起来做成一个没盖的盒子,使底面积是原来面积的一半,求盒子的高. 9、如图,在一块长为32m,宽为20m长方形的土地上修筑两条同样宽度的道路,余下部分作为耕地要使耕地的面积是540m2,求小路宽的宽度.
. . . 一元二次方程测试题 考试范围:一元二次方程;考试时间:120分钟;命题人:瀚博教育 第Ⅰ卷(选择题) 一.选择题(共12小题,每题3分,共36分) 1.方程x(x﹣2)=3x的解为() A.x=5 B.x1=0,x2=5 C.x1=2,x2=0 D.x1=0,x2=﹣5 2.下列方程是一元二次方程的是() A.ax2+bx+c=0 B.3x2﹣2x=3(x2﹣2)C.x3﹣2x﹣4=0 D.(x﹣ 1)2+1=0 3.关于x的一元二次方程x2+a2﹣1=0的一个根是0,则a的值为() A.﹣1 B.1 C.1或﹣1 D.3 4.某旅游景点的游客人数逐年增加,据有关部门统计,2015年约为12万人次,若2017年约为17万人次,设游客人数年平均增长率为x,则下列方程中正确的是() A.12(1+x)=17 B.17(1﹣x)=12 C.12(1+x)2=17 D.12+12(1+x)+12(1+x)2=17 5.如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=8cm,BC=6cm.动点P,Q分别从点A,B同时开始移动,点P的速度为1cm/秒,点Q的速度为2cm/秒,点Q移动到点C后停止,点P也随之停止运动.下列时间瞬间中,能使△PBQ的面积为15cm2的是() A.2秒钟B.3秒钟C.4秒钟D.5秒钟 6.某幼儿园要准备修建一个面积为210平方米的矩形活动场地,它的长比宽多12米,设场地的长为x 米,可列方程为() A.x(x+12)=210 B.x(x﹣12)=210 C.2x+2(x+12)=210 D.2x+2(x﹣12)=210 7.一元二次方程x2+bx﹣2=0中,若b<0,则这个方程根的情况是() A .有两个正根B.有一正根一负根且正根的绝对值大 C.有两个负根D.有一正根一负根且负根的绝对值大 8.x1,x2是方程x2+x+k=0的两个实根,若恰x12+x1x2+x22=2k2成立,k的值为() A.﹣1 B.或﹣1 C.D.﹣或1 9.一元二次方程ax2+bx+c=0中,若a>0,b<0,c<0,则这个方程根的情况是() A.有两个正根B.有两个负根 C.有一正根一负根且正根绝对值大D.有一正根一负根且负根绝对值大 10.有两个一元二次方程:M:ax2+bx+c=0;N:cx2+bx+a=0,其中a﹣c≠0,以下列四个结论中,错误的是() A.如果方程M有两个不相等的实数根,那么方程N也有两个不相等的实数根 B.如果方程M有两根符号相同,那么方程N的两根符号也相同 C.如果5是方程M的一个根,那么是方程N的一个根 D.如果方程M和方程N有一个相同的根,那么这个根必是x=1 11.已知m,n是关于x的一元二次方程x2﹣2tx+t2﹣2t+4=0的两实数根,则(m+2)(n+2)的最小值是() A.7 B.11 C.12 D.16
一元二次方程解法及其经典练习题 方法一:直接开平方法(依据平方根的定义) 平方根的定义:如果一个数 的平方等于a ( ),那么这个数 叫做a 的平方根 即:如果 a x =2 那么 a x ±= 注意;x 可以是多项式 一、 用直接开平方法解下列一元二次方程。 1.0142=-x 2、2)3(2=-x 3、()162812=-x 4..25)1(412=+x 5.(2x +1)2=(x -1)2. 6.(5-2x )2=9(x +3)2. 7..063)4(22 =--x 方法二:配方法解一元二次方程 1. 定义:把一个一元二次方程的左边配成一个 ,右边为一个 ,然后利用开平方数求解,这种解一元二次方程的方法叫做配方法。 2. 配方法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) 4) (5) 二、用配方法解下列一元二次方程。 1、.0662=--y y 2、x x 4232=- 39642=-x x 、 4、0542=--x x 5、01322=-+x x 6、07232=-+x x
方法三:公式法 1.定义:利用求根公式解一元二次方程的方法叫做公式法 2.公式的推导:用配方法解方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0) 解:二次项系数化为1,得 , 移项 ,得 , 配方, 得 , 方程左边写成平方式 , ∵a ≠0,∴4a 2 0,有以下三种情况: (1)当b 2-4ac>0时,=1x , =2x (2)当b 2-4ac=0时,==21x x 。 (3)b 2-4ac<0时,方程根的情况为 。 3.由上可知,一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根由方程的系数a 、b 、c 而定,因 (1)式子ac b 42-叫做方程ax 2+bx +c = 0(a ≠0)根的 ,通常用字母 “△” 表示。当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)有 实数根; 当△ 0时, 方程ax 2+bx+c=0(a ≠0) 实数根。 (2)解一元二次方程时,可以先将方程化为一般形式ax 2+bx +c = 0,当ac b 42-≥0时,?将a 、b 、c 代入式子=x 就得到方程的根.这个式子叫做一元二次方程的求根公式,利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法. 4.公式法解一元二次方程的步骤:(1) (2) (3) (4) (5) 二、用公式解法解下列方程。 1、0822=--x x 2、22 314y y -= 3、y y 32132=+
龙文教育学科辅导学案 教师: 学生: 年级: 日期:2013. 星期: 时段: 学情分析 课 题 一元二次方程章节复习及典型例题解析 学习目标与 考点分析 学习目标:1、通过对典型例题、自身错题的整理,抓住本章的重点、突破学习的难点; 2、通过灵活运用解方程的方法,体会四种解法之间的联系与区别,进一步熟练根据方程特征找出最优解法; 3、通过实际问题的解决,进一步熟练运用方程解决实际问题,体会方程思想在解决 问题中的作用 考点分析:1一元二次方程的定义 、解法、及根与系数的关系 学习重点 理解并掌握一元二次方程的概念及解法 学习方法 讲练说相结合 学习内容与过程 一 回顾梳理旧的知识点(这些知识点必须牢牢掌握) 一元二次方程 1、一元二次方程:含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的整式方程叫做一元二次方程。 2、一元二次方程的一般形式:)0(02≠=++a c bx ax ,它的特征是:等式左边十一个关于未知数x 的二次多项式,等式右边是零,其中2ax 叫做二次项,a 叫做二次项系数;bx 叫做一次项,b 叫做一次项系数;c 叫做常数项。 一元二次方程的解法 1、直接开平方法: 利用平方根的定义直接开平方求一元二次方程的解的方法叫做直接开平方法。直接开平方法适用于解形如b a x =+2)(的一元二次方程。根据平方根的定义可知,a x +是b 的平方根,当0≥b 时,b a x ±=+,b a x ±-=,当b<0时,方程没有实数根。 2、配方法: 配方法的理论根据是完全平方公式2 22)(2b a b ab a +=+±,把公式中的a 看做未知数x ,并用x 代替,则有222)(2b x b bx x ±=+±。 配方法的步骤:先把常数项移到方程的右边,再把二次项的系数化为1,再同时加上1次项的系数的一半的平方,最后配成完全平方公式 3、公式法 公式法是用求根公式解一元二次方程的解的方法,它是解一元二次方程的一般方法。
初三数学根与系数关系式习题精选 一、填空题与选择题: 1、若一元二次方程)0(,02≠=++a c bx ax 有一个根为-1,则a 、b 、c 的关系是______. 2、一元二次方程0132=--x x 与032=--x x 的所有实数根的和等于____. 3、若α、β为实数且|α+β-3|+(2-αβ)2=0,则以α、β为根的一元二次方程为 。(其中二次项系数为1) 4、已知a a -=12,b b -=12,且b a ≠,则=--)1)(1(b a . 5、已知关于x 的方程0142=-+-k x x 的两根之差等于6,那么=k ______ 6、已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程22870x x -+=的两个根,则这个直角三角形的斜边长是( ) A 、、3 C 、6 D 、9 7、已知三角形两边长分别为2和9,第三边的长为二次方程048142=+-x x 的一根, 则这个三角形的周长为 ( ) A.11 B.17 C.17或19 D.19 二、解答题: 8、设21,x x 是一元二次方程01522=+-x x 的两个根,利用根与系数的关系,求下列各式的值: (1))3)(3(21--x x ; (2)2221)1()1(+++x x (3) 112112+++x x x x (4)||21x x -
(5))31)(31(1221x x x x ++ (6)3231x x + (7) 21x x 9、已知1x ,2x 是关于x 的方程012)2(222=-++-m x m x 的两个实根,且满足022 21=-x x ,求m 的值; 10、已知方程0122=++mx x 的两实根是21x x 和,方程02=+-n mx x 的两实根是71+x 和72+x ,求m 和n 的值。
一元二次方程根与系数的关系习题精选(含答案) 一.选择题(共22小题) 1.(2014?宜宾)若关于x的一元二次方程的两个根为x1=1,x2=2,则这个方程是() A.x2+3x﹣2=0 B.x2﹣3x+2=0 C.x2﹣2x+3=0 D.x2+3x+2=0 2.(2014?昆明)已知x1,x2是一元二次方程x2﹣4x+1=0的两个实数根,则x1?x2等于() A.﹣4 B.﹣1 C.1D.4 3.(2014?玉林)x1,x2是关于x的一元二次方程x2﹣mx+m﹣2=0的两个实数根,是否存在实数m使+=0成立?则正确的结论是() A.m=0时成立B.m=2时成立C.m=0或2时成立D.不存在 4.(2014?南昌)若α,β是方程x2﹣2x﹣3=0的两个实数根,则α2+β2的值为() A.10 B.9C.7D.5 5.(2014?贵港)若关于x的一元二次方程x2+bx+c=0的两个实数根分别为x1=﹣2,x2=4,则b+c的值是()A.﹣10 B.10 C.﹣6 D.﹣1 6.(2014?烟台)关于x的方程x2﹣ax+2a=0的两根的平方和是5,则a的值是() A.﹣1或5 B.1C.5D.﹣1 7.(2014?攀枝花)若方程x2+x﹣1=0的两实根为α、β,那么下列说法不正确的是()
A.α+β=﹣1 B.αβ=﹣1 C.α2+β2=3 D.+=﹣1 8.(2014?威海)方程x2﹣(m+6)x+m2=0有两个相等的实数根,且满足x1+x2=x1x2,则m的值是()A.﹣2或3 B.3C.﹣2 D.﹣3或2 9.(2014?长沙模拟)若关于x的一元二次方程x2+(k+3)x+2=0的一个根是﹣2,则另一个根是()A.2B.1C.﹣1 D.0 10.(2014?黄冈样卷)设a,b是方程x2+x﹣2015=0的两个实数根,则a2+2a+b的值为()A.2012 B.2013 C.2014 D.2015 11.(2014?江西模拟)一元二次方程x2﹣2x﹣3=0与3x2﹣11x+6=0的所有根的乘积等于() A.﹣6 B.6C.3D.﹣3 12.(2014?峨眉山市二模)已知x1、x2是方程x2﹣(k﹣2)x+k2+3k+5=0的两个实数根,则的最大值是() A.19 B.18 C.15 D.13 13.(2014?陵县模拟)已知:x1、x2是一元二次方程x2+2ax+b=0的两根,且x1+x2=3,x1x2=1,则a、b的值分别是() A.a=﹣3,b=1 B.a=3,b=1 C.a=﹣,b=﹣1 D.a=﹣,b=1 14.(2013?湖北)已知α,β是一元二次方程x2﹣5x﹣2=0的两个实数根,则α2+αβ+β2的值为()A.﹣1 B.9C.23 D.27