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16.1二次根式同步讲义和同步练习

第十六章二次根式

16．1二次根式

【课标要求】

1、理解二次根式的概念；

2、掌握二次根式有意义的条件；

3、会运用二次根式的两个性质进行化简计算

【核心扫描】

1、理解二次根式的概念及有意义的条件，并利用二次根式的有意义的条件及其非负性解题(重点)

、掌握二次根式的两个性质：(

)

a a a

=≥=，并会利用二次根式的性质解题．(难点)

自主学习

一、知识链接

1、叫作平方根。

2、叫作算术平方根，数有算术平方根。

二、知识点回顾

a____的式子叫作二次根式. “____”称为二次根号.

2、二次根式的双重非负性：二次根式的被开方数为________数,二次根式的值为_________数.

3、二次根式的性质：

性质1

(0)

a a≥；性质2

：2(0)

a a

=≥；

性质3

（0

a≥，0

b≥）；性质4

（0

a≥，0

b>）．

与a

(0)

0(0)

(0)

a a

?-<

．

精讲精练

知识点1、二次根式的意义及有意义的条件

例1、（1）下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

x>）

，

x y

0,0

x y

≥≥）．（2）设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？

变式1、设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？

（1

（2

．

变式2、设x是实数，当x满足什么条件时，下列各式有意义？

（1

；（2

知识点2、二次根式的双重非负性

例2、已知实数a，b

b-，求20032003

a b

+的值．

变式1

344

b c c

+++=-，求()c

的值．

变式2

x、y的值是．

变式3、若z

，求z的值．变式4、已知实数a

满足2015a a

-+，求2

2015

a-的值．

3 知识点3、二次根式的性质

[

()2

0a a =≥

与

()2

0a ≥]

例3、计算下列各式的值：

（1

）2 （2

）2 （3

）2

（4

）22-

变式1、若化简|1-x |-1682+-x x 的结果为2x-5则（）

A 、x 为任意实数

B 、1≤x ≤4

C 、x ≥1

D 、x ≤4 变式2、已知a ，b ，c 为三角形的三边，则222)()()(a c b a c b c b a -++--+-+= 变式3、当-3

变式4、已知：221a a a +-+=1，则a 的取值范围是（）。

A 、0=a

B 、1=a

C 、0=a 或1

D 、1≤a 变式5、化简2

1)2(---x x 的结果为（）

A 、x -2

B 、2-x

C 、2--x

D 、x --2

变式6、(1)已知a

(2)已知a

知识点4、二次根式的简单计算与化简

例14、化简：

（1

（2

0)m ≥

（3

）

（4

变式1

的值，其中x =

变式2

、化简：2

变式3

成立，求x 的取值范围．

变式4、在△ABC中，a b c

、、

2|| c a b

－－

变式5

、已知：a b

，a b

-ab的值

变式6

a，小数部分是b，求2a b

-的值

课堂小结

当堂检测

A组

1、求使下列各式有意义的字母的取值范围：

（1（2（3

（4；（5（6．

5 2、计算：

（1

）2(1.5)- （2）2(3)a -a <（３）

（3）

2(23)x -3

x <（）

3、解下列各式：

（1）已知0a a +=

（2）a b c 、、

4、已知125x x --，求x 的取值范围．

5、已知3y ，求22x xy y -+的值．

60=，求xy 的值．

7、m

、已知2440

y y

++=，则xy的值等于．

、把a移入根号内的结果是

10、x y z

、、满足关系式：

x y z

、、的值

B组

有意义，则a应满足（）

A、1

a≤且

a≠-B、1

a≤C、

a≠-D、1

a≤且

a≠

m的最小值是________ __．

、把(m-根号外的因式移到根号内，得

96x x

=-，求x的值．

5、若a、b

是实数，且

2成立，求a的取值范围．

、已知1

8、已知x y 、

是实数，且y =

．

课后练习

一、选择题（每小题只有一个正确答案）

1．在下列式子：，，，，，， ( ) A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个

在实数范围内有意义，则x 的取值范围是（） A. x≤2 B. x≥2 C. x ＜2 D. x≠2 3

的被开方数相同的二次根式是( )

D. 4．下列计算正确的是( )

a B.

＝a －2

)2＝±6

)2＝x ＋y

5．实数a 在数轴上的位置如图所示，则 + 化简后为（）

A. 7

B. ﹣7

C. 2a ﹣15

D. 无法确定

620y +-=，则()

2017

x y +的值为（）

A. -1

B. 1

C. ±1

D. 0

7．化简x，正确的是（）

A. B. C. ﹣ D. ﹣

二、填空题

＝)2成立，则字母x的取值范围是__ __．

9．计算：|－3|＝__ __；

＝__ __

．

=_____．

11．已知正实数a，满足a﹣=，则a+=_____．

12．当x＝____时，函数y＝＋6有最小值，最小值为____．

三、解答题

13．已知实数a满足＋＝a，求a－19992的值．

14．x是怎样的实数时，下列二次根式有意义．

(1)－； (2)

15．实数a、b在数轴上的位置如图所示：化简

人教版八年级数学下《二次根式》拓展练习

《二次根式》拓展练习一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0B．﹣4C．4D．﹣8 2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D． 3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5 4．（5分）式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是（）A．x＜2B．x≥2C．x＝2D．x＜﹣2 5．（5分）下列式子一定是二次根式的是（） A．B．C．D．二、填空题（本大题共5小题，共25.0分） 6．（5分）若|2017﹣m|+＝m，则m﹣20172＝． 7．（5分）若，则a m＝． 8．（5分）若u、v满足v＝，则u2﹣uv+v2＝．9．（5分）已知，求x y的值． 10．（5分）若有意义，则x的取值范围为．三、解答题（本大题共5小题，共50.0分） 11．（10分）已知+＝b+8 （1）求a的值；（2）求a2﹣b2的平方根． 12．（10分）若a，b为实数，且，求．13．（10分）已知x，y都是实数，且，求x+2y的平方根．14．（10分）已知a是非负数，且关于x的方程+＝仅有一个实

数根，求实数a的取值范围． 15．（10分）若y＝﹣2，求（x+y）y的值．

《二次根式》拓展练习参考答案与试题解析一、选择题（本大题共5小题，共25.0分） 1．（5分）若有意义，则a能取的最小整数为（） A．0B．﹣4C．4D．﹣8 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：有意义，则a+1≥0，解得：a≥﹣4，故a能取的最小整数为：﹣4．故选：B．【点评】此题主要考查了二次根式有意义的条件，正确把握二次根式的定义是解题关键． 2．（5分）x≥3是下列哪个二次根式有意义的条件（） A．B．C．D．【分析】根据二次根式中的被开方数是非负数列出不等式，分别计算即可．【解答】解：A，x+3≥0，解得，x≥﹣3，错误； B、x﹣3＞0，解得，x＞3，错误； C、x+3＞0，解得，x＞﹣3，错误； D、x﹣3≥0，解得，x≥3，正确，故选：D．【点评】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式中的被开方数是非负数是解题的关键． 3．（5分）若在实数范围内有意义，则x不能取的值是（）A．2B．3C．4D．5 【分析】直接利用二次根式的定义分析得出答案．【解答】解：∵在实数范围内有意义， ∴x﹣3≥0，解得：x≥3，

二次根式单元同步练习试题

一、选择题 1．如果0,0a b <<，且6a b -=，则22a b -的值是（） A ．6 B ．6- C ．6或6- D ．无法确定 2．下列计算正确的是（） A ．()2 22a b a b -=- B ．()3 22x x 8x ÷=+ C ．1a a a a ÷? = D ． () 2 44-=- 3．下列二次根式中是最简二次根式的为（） A ．12 B ．30 C ．8 D ． 12 4．如图，在矩形ABCD 中无重叠放入面积分别为16cm 2和12cm 2的两张正方形纸片，则图中空白部分的面积为（） A ．（8﹣43）cm 2 B ．（4﹣23）cm 2 C ．（16﹣83）cm 2 D ．（﹣12+83）cm 2 5．计算() 21 273632 ÷+?--的结果正确的是( ) A ．3 B ．3 C ．6 D ．33- 6．已知，那么满足上述条件的整数的个数是（）. A ．4 B ．5 C ．6 D ．7 7．下列计算正确的是（） A 366=± B ．422222=C ．83266= D a b ab =（a≥0，b≥0） 8．下列各式计算正确的是（） A 235+=B ．2 36=（） C 824= D 236= 9．已知m ＝12n ＝12223m n mn +- （） A ．±3 B ．3 C ．5 D ．9 10．下列各组二次根式中，能合并的一组是（） A 1a +1a -B 3和 1 3 C 2a b 2ab D 318

二、填空题 11．比较实数的大小:(1)5?-______3- ；（2）51 4 -_______12 12．计算（π-3）02-2 11(223)-4 --22 --（）的结果为_____． 13．对于任何实数a ，可用[a]表示不超过a 的最大整数，如[4]=4，[3]=1．现对72进行如下操作：72 [72]=8 [8]=2 [2]=1，类似地，只需进行3次操作后变为1的所有正整数中，最大的是________． 14．已知a ＝﹣ 73 +，则代数式a 3+5a 2﹣4a ﹣6的值为_____． 15．已知实数a 、b 、c 在数轴上的位置如图所示，化简2a ﹣|a ﹣c |+2()c b -﹣|﹣b |＝_______． 16．把1 m m - _____________. 17．若a 、b 、c 均为实数,且a 、b 、c 均不为0432 52a c b =___________ 18．已知|a ﹣20072008a -=a ，则a ﹣20072的值是_____． 19．已知4a 2(3)|2|a a +--=_____． 20．3a ，小数部分是b 3a b -=______. 三、解答题 21．计算：（18322（2）)((2 52253 82 +-+．【答案】(1)52 【分析】（1）先化简二次根式，再合并同类二次根式即可；（2）根据平方差公式化简，再化简、合并同类二次根式即可. 【详解】（18322=22422 =52 （2） )((2 52253 82 +--+

二次根式同步练习题

第十六章二次根式 16．1二次根式---------第1课时二次根式的概念01基础题知识点1二次根式的定义 1．下列式子不是二次根式的是( ) A. 5 B.3－π C.0.5 D.1 3 2．下列各式中，一定是二次根式的是() A.－7 B.3 m C.1＋x2D.2x 3．已知a是二次根式，则a的值可以是 ( ) A．－2 B．－1 C．2 D．－5 4．若－3x是二次根式，则x的值可以为 (写出一个即可)．知识点2二次根式有意义的条件 5．x取下列各数中的哪个数时，二次根式x－3有意义() A．－2 B．0 C．2 D．4 6．(2017·)要使二次根式2x－4在实数围有意义，则x的取值围是( ) A．x＞2 B．x≥2 C．x＜2 D．x＝2 7．当x是怎样的实数时，下列各式在实数围有意义？ (1)－x； (2)2x＋6； (3)x2； (4) 1 4－3x ； (5) x－4 x－3 . 知识点3二次根式的实际应用 8．已知一个表面积为12 dm2的正方体，则这个正方体的棱长为( ) A．1 dm B. 2 dm C. 6 dm D．3 dm 9．若一个长方形的面积为10 cm2，它的长与宽的比为5∶1，则它的长为 cm，宽为 cm. 02中档题 10．下列各式中：①1 2 ；②2x；③x3；④－5.其中，二次根式的个数有( )

A ．1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 11．(2017·)若2x －1＋1－2x ＋1在实数围有意义，则x 满足的条件是( ) A ．x ≥12 B ．x ≤12 C ．x ＝12 D ．x ≠12 12．使式子 1 x ＋3 ＋4－3x 在实数围有意义的整数x 有( ) A ．5个 B ．3个 C ．4个 D ．2个 13．如果式子a ＋1 ab 有意义，那么在平面直角坐标系中点A(a ，b)的位置在() A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 14．使式子－（x －5）2 有意义的未知数x 的值有个． 15．若整数x 满足|x|≤3，则使7－x 为整数的x 的值是． 16．要使二次根式2－3x 有意义，则x 的最大值是． 17．当x 是怎样的实数时，下列各式在实数围有意义？ (1) 32x －1； (2)21－x ； (3)1－|x|； (4)x －3＋4－x. 03 综合题 18．已知a ，b 分别为等腰三角形的两条边长，且a ，b 满足b ＝4＋3a －6＋32－a ，求此三角形的周长．第2课时二次根式的性质 01 基础题知识点1 a ≥0(a ≥0) 1．(2017·)已知实数m ，n 满足|n －2|＋m ＋1＝0，则m ＋2n 的值为． 2．当x ＝时，式子2 018－x －2 017有最大值，且最大值为．知识点2 (a )2 ＝a (a ≥0)

二次根式拓展提高讲义及答案

二次根式拓展提高（讲义）一、知识点睛 1．理解二次根式的双重非负性，辨识四类典型形式． (1)若20x y z ++=，则_____x y _____z _____，，．=== (2)若出现2x -或x -，则x _____=． (3)若x 和x -同时存在，则x _____=． (4)2_______x =；2()=_______x ． 2．根据数轴和线段的几何特征建等式． c b a C B A 如图，数轴上三点A ，B ，C 对应的实数分别为a ，b ，c ，若点A 与点B 关于点C 对称（即C 是线段AB 的中点），则线段AC =_______，BC =_______，因为AC =BC ，所以a ，b ，c 的数量关系是______________. 3．完全平方公式在二次根式化简中的应用． (1)222_________a ab b ±+=； (2)若00m n ＞，＞，则 ()()22 22m mn n m mn n ++=++()2_________.m n =+= 4．实数比较大小． (1)作差法 (2)形似法 (3)乘方法 (4)分母有理化二、精讲精练 1．若x ，y 为实数，且220x y ++-=，则2013x y ?? ???的值为（） A ．1 B ．-1 C ．2 D ．-2

2．已知212102 x y y ++++=，则y x =___________． 3．一个数的平方根是22+a b 和4a -6b +13，求这个数． 4．若a ，b 为实数，且满足()1110a b b +---=，则 20132012a b -=________． 5．若21--x 有意义，则x 的值为________． 6．化简()2 241121711a a a a +--+----=________． 7．若223y x x =-+--，则y x =________． 8．若224412-+-+=-x x y x ，则3x +4y =________． 9．当1<<4x 时，化简：2212816．x x x x -++-+ 10．实数a 、b 、c 在数轴上的对应点如图所示： a b c 0 化简：()()323a c b a b a c +--++ -． 11．化简：()2 244123x x x -+- -．

二次根式拓展提高练习(沪教版)

二次根式拓展提高练习 1、化简： 2 3)20x y >> 4a b ==，用a 、b 表示9.4

5、计算：232xy 6、计算：(?- ? 7、计算：2+=_________. 8、当 a =，求代数式2963a a a -+-的值.

9、已知：3a b +=，1ab =，且a b >的值. 10、已知：x = y =，求44x y +的值. 11、已知1a ，b =2c =，那么a ，b ，c 的大小关系是＿＿＿＿. A.a b c << B.b a c << C.c b a << D.c b a << 12、把代数式(x -___________； 13、已知：2b =，则 11a b +的平方根为_____________； 14、若a 、b 为实数，且|1|0a -，则1111(1)(1)(2)(2)(1993)(1993) ab a b a b a b +++++++++的值为_____________；

15 =成立的条件是_________ =-，则x 的取值范围是_________； 16 、若化简|1|x -25x -，则x 的取值范围是__________； 17、如果||1a a =- ，那么|21|a --； 18 、代数式3--_________；这时,a b 的关系是_________； 19 a b ==，用,a b =_________； 20 、化简：； 21 、若最简二次根式a =________； 22、若△ABC 的三边长分别为,,a b c 0=，则最大边c 的取值范围为____________。 23、已知a 为实数，且满足200a a -=，则2200a -的值为________； 24、已知01x << ； 25、已知a =的值。 26、已知a 、b 、c 为正数，d 为负数，化简222 2d c ab d c ab +-＝______； 27、化简：(7－52)2000·(－7－52)2001＝______________； 28、化简： 2 1a a a --=______________ 29、若2223+-=+x x x x ，则x 的取值范围是_______________； a a a a a a a -+---+-+22212121,321 求

2021年八年级数学人教版下册 16.2 二次根式的乘除二次根式的乘法同步练习

16.2 二次根式的乘除二次根式的乘法基础训练知识点1 二次根式的乘法法则 1.(河池)计算:×= . 2.(安徽)计算×的结果是( ) A. B.4 C. D.2 3.(中考·海南)下列各数中,与的积为有理数的是( ) A. B.3 C.2 D.2- 4.等式·=成立的条件是( ) A.x≥1 B.-1≤x≤1 C.x≤-1 D.x≤-1或x≥1 5.下列等式成立的是( ) A.4×2=8 B.5×4=20 C.4×3=7 D.5×4=20 6.(2016·长沙)下列计算正确的是( ) A.×= B.x8÷x2=x4

C.(2a)3=6a3 D.3a3·2a2=6a6 7.×的计算结果估计在( ) A.1至1.5之间 B.1.5至2之间 C.2至2.5之间 D.2.5至3之间 8.在△ABC中,BC=4 cm,BC边上的高为2 cm,则△ABC的面积为( ) A.6 cm2 B.4 cm2 C.8 cm2 D.16 cm2 知识点2 积的算术平方根的性质 9.若=·成立,则( ) A.a≥0,b≥0 B.a≥0,b≤0 C.ab≥0 D.ab≤1 10.若=·,则x的取值范围是( ) A.x≥-3 B.x≥2 C.x>-3 D.x>2 11.(重庆)化简的结果是( ) A.4 B.2 C.3 D.2

12.下列计算正确的是( ) A.=× B.=5a2b C.=8+5 D.=7 13.对于任意实数a,下列各式中一定成立的是( ) A.=· B.=a+6 C.=-4 D.=5a2 14.设=a,=b,用含有a,b的式子表示,则下列表示正确的是( ) A.0.3ab B.3ab C.0.1ab2 D.0.1a2b 15.将a根号外的因式移到根号内. 提升训练 16.计算:

新人教版八年级数学下册二次根式同步练习解析

八年级数学二次根式一，选择 1、如果a是非零实数，则下列各式中一定有意义的是（） A、a B、a- 2C、2a-D、21 a 2. 下面的计算中，正确的是（） A =0.1； B．=-0.03； C± 13； D π-4 3. 等式)6 x x成立的条件是（） ?x x ( - 6- = A．x≥0 B．x≥6 C．0≤x≤6 D．x 为一切实数二填空 4、若x3+3x2 =－x x+3 ，则x的取值范围是。 5. 当 __________ 6. 若1 有意义，则m的取值范围 1 是。 7 ()2 240 -+-=，则= a c a b + -c 8 . 2440 -+=，xy的值是 y y 9、化简2)2 1(-的结果是 10、已知 a等于 11、当-1

12、 (1) ,则x 的取值范围是。 (2) , 则x 的取值范围是。 (3) 设a,b,c 为△ABC 的三边 ,化简 = (4) 则a 的取值范围是 13．数a 在数轴上的位置如图所示，化简： -│1-a │ =_______． 14．比较大小6．（填“>”，“＝”，“<”号）三．计算（1; （2） )521 (154- ?- (3)a a 82? （4） 23241 62xy xy ? （x ≥0，y ≥0）（5） ) 2 四.在实数范围内因式分解. (1) （2）（3） 2x =-1=-2=22 x -2 3x -+59x x -

二、二次根式的乘法 1．等式 )6(6-=-?x x x x 成立的条件是（） A ．x ≥0 B ．x ≥6 C ．0≤x ≤6 D ．x 为一切实数 2. 计算： __________ 3．计算：=?b a 10253 ______． 4. 当 0a ≤，b ＜0__________=。 5、若x 3 +3x 2 =－x x+3 ，则x 的取值范围是。 6.计算（1）821 ? （2） )521 (154- ?- （3） 12 （4） 2000 （5）2 22853- （6） 44176?；（7）2 3 483 4 15? ；（8）16 2436a a ?

人教版二次根式单元易错题难题同步练习试卷

人教版二次根式单元易错题难题同步练习试卷一、选择题 1．下列各式中，运算正确的是（） A ．222()-=- B ．284?= C ．2810+= D ．222-= 2．下列各式成立的是（） A ．2(3)3-= B ．633-= C ．222()33 - =- D ．2332-= 3．若实数m 、n 满足等式402n m -+=-，且m 、n 恰好是等腰ABC 的两条边的边长，则ABC 的周长（） A ．12 B ．10 C ．8 D ．6 4．下列各式计算正确的是（） A ． 1 222 = B ．362÷= C ．2(3)3= D ．222()-=- 5．下列各式中，正确的是（） A ．42=± B ．822-= C ． () 2 33-=- D ．342= 6．下列二次根式是最简二次根式的是（） A ．21a + B ． 15 C ．4x D ．27 7．如果2a a 2a 1+-+=1，那么a 的取值范围是（） A ．a 0= B ．a 1= C ．a 1≤ D ．a=0a=1或 8．下列各式计算正确的是（） A ．235+= B ．2 236=（） C ．824+= D ．236?= 9．下列二次根式中，与3是同类二次根式的是（） A ．18 B ． 1 3 C 24 D 0.3 10．下列二次根式中，最简二次根式是（） A 23a B 13 C 2.5 D 22a b - 11．下面计算正确的是（） A ．3+3=33B 273=3 C 2?3=5 D () 2 22-- 12．下列根式中是最简二次根式的是（） A 23 B 10 C 9 D 3a 二、填空题

二次根式培优提高训练

《二次根式》培优一、知识讲解 1．根式中的相关概念 ⑴二次根式：形如)0a ≥的代数式叫做二次根式。 ⑵ n n 次根式.其中若n 为偶数，则必须满足0a ≥。 ⑶最简二次根式：满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：①被开方数的因数是整数，因式是整式；②被开方数中不含有能开方的因数或因式。 ⑷同类二次根式：几个二次根式化成最简二次根式之后，如果被开方数相同，则这几个根式叫做同类二次根式。时，a c +=+ 2. 二次根式的性质（1 ） ()2 0a a =≥. （2 00 0 0a a a a a a >?? ===??- （4 ） )0m a =≥ （5）若0a b >> >4. 分母有理化（1）把分母中的根号化去叫做分母有理化. （2）互为有理数因式：两个含有根式的代数式相乘，如果它们的积不含有根式，则这两个代数式互为有理化因式 . 互为有理数因式。分母有理化时，一定要保证有理化因式的值不为0. 二、习题讲解

基础巩固 1.化简：（1 ）（2 （3 （4 ）（5 （6 ）解：（1 ）. （2 3. （3 ）（4 3 . （5 ） 2 32 - . （6 ） 2. 设y = ，求使y 有意义的x 的取值范围. 解：由题知2102010x x x -≥?? -≥??->?，解得1221 x x x ?≥?? ≤??>? ?，所以x 的取值范围为12 2x ≤≤. 3.（1）已知最简二次根式b a = ， b = . （2）已知 0=，则2mn n +-的倒数的算术平方根为 . 解：（1）由题知：2 322b a b b a - =??=-+?，解得02a b =??=?. （2）因为0 ≥，2160m -≥0=

16.1 二次根式教学设计教案

教学准备 1. 教学目标 1、知识与技能：（1）理解二次根式的概念，（2）利用公式的意义解答具体题目．提出问题，根据问题给出概念，应用概念解决实际问题． 2、过程与方法：通过自主合作学习，和教师合作精讲，掌握学习目标。 3、感态度与价值观：培养学生辩证唯物主义观点。 2. 教学重点/难点二次根式中被开方数的取值范围。 3. 教学用具多媒体，白板。 4. 标签教学过程 1 、引入新课【师】同学们好（学生活动）请同学们独立完成下列三个问题：问题1：面积为3的正方形的边长为 ___面积为S的正方形的边长．问题2：一个长方形的围栏，长是宽的2倍，面积为130则他的宽为 __________．问题3：一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间t与开始落下时离地面的高度h满足关系h=5t2用含h的式子表示t，那么t为 _________．答案：

【板书】第十六章二次根式 2 、新知介绍【师】很明显都是一些正数的算术平方根．像这样一些正数的算术平方根的式子，我们就把它称二次根式．因此，一般地，我们把形如\（a≥0）的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．思考: （学生活动）议一议： 1）-1有算术平方根吗？(没有) 2）0的算术平方根是多少？（0） 3）当a<0，有意义吗？（没有）例1．下列式子，哪些是二次根式，哪些不是二次根式：

分析：二次根式应满足两个条件：第一，有二次根号“”；第二，被开方数是正数或0．解：二次根式有：不是二次根式的有：【板演/PPT】【师】大家刚才都完成了任务，接下来我们一起学习二次根式性质：我们学过，，a≥0的式子叫二次根式，我们知道a≥0那么呢？因是a的算术平方根所以≥0.下面我们根据二次根式的非负性解决实际问题。例2：当x是多少时，在实数范围内有意义？分析：由二次根式的定义可知，被开方数一定要大于或等于0，所以3x-1≥0，才能有意义．解：由3x-1≥0，得：x≥1/3 当x≥1/3时，在实数范围内有意义． 3、巩固训练（生演板）

奥数训练之二次根式全新

二次根式一、二次根式的两个非负性. 1）、被开方数非负的应用：【a ≥0】例1：已知：y=32-x +x 23-+2.则x y = . 例2：已知：b= b a a 3462+-+b a a 3426+-则a 2-ab+b 2= . 例3：设a.b.c 均为不小于3的实数. 则2-a +1+b +11--c 的最小值是 . 针对性训练： 1、代数式x +1-x +2-x 的最小值为 . 2、求：4+a +a 29-+a 31-+2a -的值为 . 2）、结果非负【a ≥0】的应用例1：已知：4+x +（2x+y ）2=0则x-y 的值为 . 针对性训练习： 1、已知：2-m +x 2+y 2+4x-6y+13=0则（x+y ）m 的值为 . 2、①.110-x +1有最小值时x= ，这个最小值为= . ②.42+x +1有最小值时x= ，这个最小值为= ③.9-24x -的最大值为，最小值为 . 3）、综合应用.8 例1：已知：2001-a +a -2000=2003-a 求：a 例题：已知：3x +5y =7其中（x>0）求m=2x -3y 的取值范围. 针对性练习： 1、已知：实数a 满足a -2004+2005-a =a 则a-20042的值为 .

4）、一个非负数转化为另一个非负数的平方的应用【2)( a a =】例1: 填空：y-21-y =( )2 例2：已知：2（x +1-y +2-z ）=x+y+z.求x.y.z 的值. 例3：已知a+b 2+11--c =42-a +2b-3 求：a+2b-2 1 c 的值. 针对性练习 1、a,b,c 是实数，若14261412--++++=++c b a c b a ，求()()()b a c a c b c b a +++++的值 2、如果( ) 9214+++=-+-+z y x z y x ，那么x+y+z 的值是多少二、2a =a 的应用拓展为b a 2= a b 反过来a b =b a 2时要注意a 符号例1：设x<0.y<0.在x x y -y 13xy -y x 3化简= . 例2：若3-x +()21-x =2则x 的取值范围是 . 例3：已知：-32