2012-2013学年第一学期第一次阶段考试数学试卷
一、填空题(本大题共14小题,每小题5分,共70分,请将答案直接写在答题纸上) 1.对于命题p :x R,?∈使得2
10x x .++<则p ?为____________
2.已知全集{}123456U ,,,,,,=集合{}{}13512A ,,,B ,,==则U (C A )B ?=_________
3.命题{
}
2
0p :a M x x x ;∈=-<命题{}
2q :a N x x ,∈=
4.已知α是第二象限角,且3
5
sin(),πα+=-则2tan α=_____________
5.已知平面向量a =(-1,1),b =(x -3,1),且a ⊥b
,则x =
6.设53075
3
8
01615
625.a .,b .,c .,===则a,b,c 从小到大的关系为___________
7.已知a b 、为常数,若22()43,()1024f x x x f ax b x x =+++=++,则52a b -=__________ 8. 已知幂函数)(x f y =的图象过点33??
?
??
,
,则1()4f = 9.已知三次函数32
1()32
b f x x x x =
++在R 上有极值,则实数b 的范围为__________ 10. 设函数122,1
()1log ,1x x f x x x -?≤=?
->?,则满足()2f x ≤的x 的取值范围是_______
11.若函数log (3)a y ax =-在[0,1]上是减函数,则a 的取值范围是 12若函数()2x
f x e x a =--在R 上有两个零点,则实数a 的取值范围是_______ 13. 若二次函数2
2
42221f (x )x (p )x p p =----+在区间[]11,-内至少存在一点c,
使得0f (c ),>则实数p 的取值范围是__________
14.定义在R 上的函数()f x 满足0)()23
(=++x f x f 且)43(-=x f y 为奇函数.给出下列命
题:
⑴函数()f x 的最小正周期为32
;
⑵函数()y f x =的图象关于点)0,4
3(对称;
⑶函数()y f x =的图象关于y 轴对称.其中真命题有 .(填序号)
二、解答题(本大题共6小题,共90分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15.设α为锐角,31
cos ,tan()53
ααβ=
-=,求tan tan αβ和的值.
16. (1) 用定义法证明函数)(x f =x
x 4
+
在),2[+∞∈x 上是增函数; ⑵求)(x f 在]8,4[上的值域.
17.设函数3
2
()2338f x x ax bx c =+++在1x =及2x =时取得极值. (Ⅰ)求a 、b 的值;
(Ⅱ)若对于任意的[03]x ∈,,都有2
()f x c <成立,求c 的取值范围.
18. 已知函数()42
x x
n g x -=是奇函数,()()4log 41x
f x mx =++是偶函数。 (1)求m n +的值; (2)设()()1
,2
h x f x
x =+
若()()4log 21g x h a >+????对任意1x ≥恒成立,求实数a 的取值范围。
19. 如图,现有一个以AOB ∠为圆心角、湖岸OA 与OB 为半径的扇形湖面AOB .现欲在弧AB 上取不同于B A ,的点C ,用渔网沿着弧AC (弧AC 在扇形AOB 的弧AB 上)、半径OC 和线段CD (其中OA CD //),在该扇形湖面内隔出两个养殖区域——养殖区域Ⅰ和养殖区域Ⅱ. 若cm OA 1=,3
π
=∠AOB ,θ=∠AOC .
(1)用θ表示CD 的长度;
(2)求所需渔网长度(即图中弧AC 、半径OC 和线段CD 长度之和)的取值范围.
20.已知:函数b ax ax x g ++-=12)(2
)1,0(<≠b a ,在区间]3,2[上有最大值4,最
小值1,设函数x
x g x f )
()(=.
(1)求a 、b 的值及函数)(x f 的解析式;
(2)若不等式02)2(≥?-x
x
k f 在]1,1[-∈x 时恒成立,求实数k 的取值范围;
(3)如果关于x 的方程0)31
24(
)12(=--?+-x
x
t f 有三个相异的实数根,求实数
t 的取值范围.
高三数学第一次阶段考试答案解析
一、填空题
1.x R ?∈,均有2
1x x ++≥0; 2.{2} 3.充分不必切; 4.24
7
-
; 5.4; 6.a b c << 7.19-或 8.2 9.(,2)(2,)-∞-+∞
10.[0,)+∞ 11.13a << 12.(2-2ln2,+∞) 13. 3
(3,)2
- 14.(2)(3) 二、解答题
15.(本小题满分14分) 解:由α为锐角,3cos 5α=
得4sin 5α=,∴4
tan 3
α=-----(8分)
又1
tan()3
αβ-=
,∴tan tan(())
tan tan()1tan tan()419
334113133
βααβααβααβ=----=
+--
==
+?-------(6分)
16. (本小题满分14分)
证明:⑴、设122x x ≤<,则1212121212
444()()()()(1)f x f x x x x x x x x x -=+
-+=-- 121212
4
()(
)x x x x x x -=-,------------(2分) 121220x x x x ≤<∴-< ,124x x >,1240x x ∴->-----(4分)
∴12121212
4
()()()(
)0x x f x f x x x x x --=-< ∴12()()f x f x <,又12x x <
∴()f x 在),2[+∞∈x 上是增函数.------(2分)
(2)由(1)知:()f x 在]8,4[上是增函数.-------(1分)
max 17
()(8)2f x f ∴==
,min ,()(4)5f x f ==--------(4分) 17
()]2f x ∴的值域为[5,---------(1分)
17. (本小题满分15分)
解:(1)2
'()663,f x x ax b =++由'(1)0,'(2)0f f ==-------3分
解得3,4a b =-=.--------2分
(2)由(1)可知,32
()29128,f x x x x c =-++
2'()618126(1)(2),f x x x x x =-+=--------------2分
当(0,1)'()0;(1,2)'()0;(2,3)'()0,x f x x f x x f x ∈>∈<∈>时,时,时, 即()f x 在[0,1]上递增,[1,2]上递减,[2,3]上递增--------3分
1()x f x ∴=时,取得极大值为(1)58f c =+,又(3)98f c =+,-----------2分
故当[0,3]x ∈时,()f x 的最大值为(3)98f c =+,-------1分
于是有2
98c c +<,解得 19c c <->或,因此c 的取值范围是(,1)(9,)-∞-+∞ ----2分
18. (本小题满分15分)
解:(1)由于()g x 为奇函数,且定义域为R ,
()00g ∴=,即004012
n
n -=?=,………………………………………3分
由于()()
4log 41x
f x mx =++,
()()()()44log 41log 411x x f x mx m x -∴-=+-=+-+,
()f x 是偶函数,()()f x f x ∴-=,得到1
2
m =-,
所以:1
2
m n +=;………………………………………………………………4分
(2)()()()41log 412
x
h x f x x =+=+ ,()()44log 21log 22h a a ∴+=+????,
………………………………………………………………………………………2分
又()41
222
x x x x
g x --==-在区间[1,)+∞上是增函数,所以当1x ≥时,()()m i n 3
12
g x g ==
……………………………………………3分
由题意得到3
2224
121032220
a a a a ?+?
+>?-<?+>??
,
即a 的取值范围是:1
{|3}2
a a -<<。…………………………………………3分
19. (本小题满分16分)
解:(1) 由CD ∥OA ,∠AOB =π
3,∠AOC =θ,得∠OCD =θ,
∠ODC =2π3,∠COD =π
3-θ.--------------2分
在△OCD 中,由正弦定理, 得CD =
2
3sin ???
?π3-θ,θ∈????0,π3-----------(4分) (2) 设渔网的长度为f(θ).由(1)可知, f(θ)=θ+1+
2
3sin ??
?
?π3-θ.---------(2分) 所以f′(θ)=1-
23cos ???
?π3-θ,因为θ∈????0,π3,所以π
3-θ∈????0,π3,------2分 令f′(θ)=0,得cos ????π3-θ=32,所以π3-θ=π6,所以θ=π
6
.-----------2分
所以f(θ)∈? ??
??
2,π+6+236.
故所需渔网长度的取值范围是? ??
??
2,π+6+236.----------------(4分)
20. 解:(1)b ax ax x g ++-=12)(2
,由题意得:
?1 ???
??=++==+=>413)3(1
1)2(0
b a g b g a 得???==01b a 或 ?2 ??
?
??=++==+=<113)3(41)2(0
b a g b g a 得??
?>=-=131b a
(舍)
∴1=a ,0=b
12)(2+-=x x x g ,21
)(-+
=x
x x f …………4分 (2)不等式02)2(≥?-x
x k f ,即x x x k 222
12?≥-+,
∴1)21
(2)21(2+?-≤x x k
设]2,21[21∈=x t ,∴2)1(-≤t k , 0)1(m in 2
=-t ,∴0≤k …………6分
(3)0)31
24(
)12(=--?+-x
x
t f ,即0231
241
2112=---+
-+
-t t x
x
x .
令012>-=x
u ,则 0)14()23(2
=+++-t u t u )(*
记方程)(*的根为1u 、2u ,当2110u u ≤<<时,原方程有三个相异实根, 记)14()23()(2
+++-=t u t u u ?,由题可知,
??
?<=>+=0)1(014)0(t t ??或???
?
???
<+<==>+=1
22
300)1(0
14)0(t t t ??.…………4分 ∴04
1
<<-
t 时满足题设.…………2分