1. 下降算法
一维搜索
定义： ()min ()k k k k f x d f x d λλ+=+ ，若令
()()k k f x d ?λλ=+ ，则优化问题等价为: min ()R
R R λ??λ∈→ 。
一维搜索的几何意义：在搜索方向上所得最优点处的梯度和该搜索方向正交：1()0k T k f x d +?= 。
一维搜索的分类
精确一维搜索(函数值下降最多)
1) 区间收缩法：用某种分割技术缩小最优解所在的区间(称为搜索区间)。 2) 函数逼近法(插值法)：用比较简单函数的极小值点近似代替原函数的极小值点。从几何上看是用比较简单的曲线近似代替原的曲线，用简单曲线的极小值点代替原曲线的极小点。 3) 利用《数值分析》中的求根法。
非精确的一维搜索
通过计算少量的函数值，得到一步长k λ，使得后续迭代点1k k k x x d λ+=+满
足1()()k k f x f x +<，即使目标函数要“充分”，下降。
Goldstein 准则 Armijo 准则 Wolfe 准则
确定初始区间
优化算法通常具有局部性质，通常的迭代需要在单峰区间进行操作以保证算法收敛。
若一维搜索的最优解[a,b]λ*∈ ，则称区间[a ，b]为一维最优化问题的搜索区间；若进一步优化函数()?λ在区间[a,]λ*严格单调递减，[,]b λ*严格单调递增，
则称区间[a ，b]为单峰区间，()?λ是[a,b]上的单峰函数。
精确一维搜索确定区间的方法
进退法
①己知搜索起点和初始步长；
②然后从起点开始以初始步长向前试探，如果函数值变大，则改变步长方向； ③如果函数值下降，则维持原来的试探方向，并将步长加倍。 进退法计算流程：
步骤1：选取初始点x R ∈，初始步长0h >及精度0ε>，计算0()f x ?=并记
:0k =
步骤2：令1k k h λλ+=+，计算11()k k f ?λ++= .
步骤3：若1k k ??+<搜索成功，转步骤4；否则，搜索失败，转步骤5 步骤4：1:k k ??+=，:2h h = ，1k k =+ 转步骤2
步骤5：反向搜索，若0k =，令h h =-，转步骤2；否则停止迭代
黄金分割法（0.618法）
黄金分割法是一种区间收缩方法(或分割方法)，其基本思想是通过取试探点和进行函数值比较，使包含极小点的搜索区间不断缩短以逼近极小值点。
抛物线法
抛物线法是插值方法的一种，其思想是利用多个函数值和导数值构造插值多项式，用多项式的最优值来逼近原函数的最优值。抛物线法属于3点二次插值。
_
112132121
1312
1213231/2()2, c x a a x x c f f c f f x x c c x x x x ?=-=+-???
-?
-?--==?--??
抛物线法计算流程：
三次插值法
三次插值法的思想同样是利用多个函数值和导数值构造插值多项式，用多项
式的最优值来逼近原函数的最优值，逼近函数是利用两点的函数值和导数值构造的3次插值多项式。
32()()()()p A a B a C a D αααα=-+-+-+
a α=
牛顿法
根据最优性条件，一维搜索问题的最优解λ 应该满足'()0?λ= ，则问题转化为非线性方程求根问题。
'1''
()
()k k k k x x x x ??+=-
牛顿法也可认为是一类函数逼近方法，一点2次插值。
'''2
1()()()()()()2
k k k k k x x x x x x x x ????≈+-+-
也可以根据函数连续性，用二分法进行非线性方程求根运算
精确一维搜索的收敛性
为了保证方法的下降性，避免搜索方向和负梯度方向正交的情形，假定
,;0,[0,]22k k k π
π
θμμθ≤
-?>∈
k θ 为搜索方向和负梯度方向的夹角。
定理:若目标函数梯度存在，且在水平集上一致连续，搜索方向满足夹角条
件，线搜索中采用精确搜索技术，则
0k g = ，或(x )k f →-∞ 或0k g →
不精确搜索
1) 精确搜索计算量较大，特别是当迭代点远离最优解时，效率很低；而且，
很多最优化方法的收敛速度并不依赖于精确一维搜索的过程。 2) 自从Armijo(1966), Goldstein(1965)提出了不精确线性搜索方法以后，不
精确线性搜索由于计算量小、效率高成了现在流行的线搜索方法。 3) 在非精确一维搜索中，通常要求1()k f x + 比()k f x 下降一定的数量，从
而使得1()()k k f x f x +-达到一个满意水平，此时的k λ 就是可接受步长，并非精确求解一维最优化问题。
4)实践证明：非精确一维搜索方法可大大节省计算量，且总体上有较快的
收敛速度。不用寻找单谷区间。
Armijo-Goldstein准则
Armijo-Goldstein准则计算流程：
Wolfe准则
Wolfe准则计算流程：
不精确一维搜索的收敛性
为了保证方法的下降性，避免搜索方向和负梯度方向正交的情形，假定
,;0,[0,]22
k k k π
π
θμμθ≤
-?>∈ k θ 为搜索方向和负梯度方向的夹角。
定理:若目标函数梯度存在，且在水平集上一致连续，搜索方向满足夹角条件，线搜索中采用Goldstein 准则，则
0k g = ，或(x )k f →-∞ 或0k g →
定理：若目标函数连续可微有下界，且在水平集上一致连续，搜索方向满足夹角条件，一维搜索中采用Wolfe 准则，则
lim 0
k k g →∞
=
一维搜索方法评述
1. 如目标函数能求二阶导数：用Newton 法，收敛快。
2. 如目标函数能求一阶导数 ：
1) 如果导数容易求出，考虑用三次插值法，收敛较快； 2) 对分法、收敛速度慢，但可靠； 3) 二次插值法如割线法也可选择。 3. 只需计算函数值的方法 ：
1) 二次插值法, 收敛快，但对函数单峰依赖较强； 2) 黄金分割法收敛速度较慢，但实用性强，可靠； 4. 减少总体计算时间： 非精确一维搜索方法更加有效。
最速下降法
假设f 连续可微，取()k k d f x =-? ,0
()min ()k k k k k f x d f x d λλλ≥+=+ 步长k λ
由精确一维搜索得到。
从而得到第1k + 次迭代点，即：1()k k k k k k k x x d x f x λλ+=+=-? 负梯度方向()k k d f x =-?是函数值减小最快的方向。
最速下降法的计算流程
1) 选定某一初始点0x ，0ξ> 并令:0k =
2) 若()k f x ξ?≤ ，则k x x *≈ ，否则转（3）； 3)
()k k d f x =-?
4) 由精确一维搜索确定步长k λ，即由一个极小化问题求得最佳步长
min ()k k f x d λ+ ，令1k k k k x x d λ+=+，1k k =+ 转（2）.
最速下降法的收敛性分析：
（收敛性定理）设目标函数()f x 连续可微，且水平集{}0|()()L x f x f x =≤
有界，则最速下降法或者在有限迭代步后终止；或者得到点列{}k x ，它的任何聚点都是()f x 的驻点。
（推论）在收敛定理的假设下，若()f x 为凸函数，则最速下降法或在有限迭代步后达到最小点；或得到点列{}k x ，它的任何聚点都是()f x 的全局最小点。
最速下降法的特征：
1. 相邻两次迭代的方向互相垂直。
1) 最速下降法在两个相邻点之间的搜索方向是正交的。
2) 最速下降法向极小值点逼近是曲折前进的，这种现象称为锯齿现象。 2. 最速下降法收敛速度慢
在最速下降法中，利用精确一维搜索求最佳步长，使得相邻两次迭代的搜索方向总是垂直的，使得逼近极小点过程是“之”字形，这样从任何一个初始点开始，都可以很快到达极小点附近，但是越靠近极小点步长越小，移动越慢，导致最速下降法的收敛速度很慢。
实际运用中，在可行的计算时间内可能得不到需要的结果。
3. 对正定二次函数，用最速下降法产生的点列：偶数项点列均在一条直线
上，奇数项点列也均在一条直线上，且都过最优点。
最速下降法的优缺点：
优点：理论明确，程序简单，每次的计算量小，所需的存储量小，对初始点要求不严格。
缺点：收敛速度并不快，因为最速下降方向仅仅是指某点的一个局部性质。 一些有效算法是通过对它的改进或利用它与其他收敛快的算法结合而得到的，因此它是无约束优化的方法之一。
最速下降法的改进
1) 选择不同初始点 2) 采用不精确的一维搜索
采用非精确一维搜索求步长, 可使相邻两个迭代点处的梯度不正交，从而改变收敛性。
3) 采用加速梯度法
负梯度方向和2
k k k d x x -=- 结合。
由于最速下降法在极小点附近成“锯齿”状，因此下降过程中的搜索方向可适时改变搜索方向的正交特性。开始取负梯度方向，每两步用2k k k d x x -=-产生
新的搜索方向，然后继续使用最速下降方向。两种方向
交替使用，实践效果优于单纯使用最速下降方向。
可以利用最速下降法初期搜索效率高的特性，首先使用最速下降法，然后使用其它局部收敛速度快的计算方式。
Newton 法
考虑从k x 到1
k x
+的迭代过程，在k
x 点处对函数()f x Tayloy 展开：
2
21()()()()()()()()
2k
k T
k
k T k k k f x f x f x x x x x f x x x o x x =+?-+-?-+-
略去高阶项
21
()()()()()()()()
2k k T k k T k k f x Q x f x f x x x x x f x x x ≈=+?-+-?-
令2()()()()0k k k Q x f x f x x x ?=?+?-=，有2()()()k k k
f x x x f x ?-=-?若
Hesse 矩阵2()k f x ?正定，则()
12()k f x -?存在，由此求出二次函数()Q x 的极小点为：()1
12()()k k k k x x f x f x -+=-??
以此1
k x
+ 作为()f x 的极小点x *
的一个新的近似。
Newton 法的几何意义
二次函数()Q x 的等值线为椭圆族。1k x +为椭圆中心。椭圆等值线逼近目标函数等值线。
Newton 法的计算步骤
已知目标函数()f x ，给定误差ξ
步骤1.选定初始点0
x ，计算00()f f x = ，:0k =
步骤2.如果()k f x ξ?≤ ，算法停止，k x x *= ，否则转步骤3.
步骤3.计算搜索方向
()1
2()()
k k k d f x f x -=-??
步骤4.令1k k k
x x d +=+，1k k =+ ，转步骤2.
Newton 法的优缺点
Newton 法的优点
1) 当初始点离最优解很近时，算法收敛速度快； 2) 算法简单，不需要进行一维搜索(确定步长=1)； 3) 对正定二次函数，迭代一次就可得到最优解。 Newton 法的缺点
1) 对多数算法不具有全局收敛性，对初值依赖； 2) 每次迭代都要计算Hesse 矩阵，计算量大； 3) ()1
2
()k
f x -?
可能不存在或者对应方程组奇异(或病态)；
4)
2()k f x ?可能非正定，k d 可能不是下降方向，算法也可能收敛于最大值点或者鞍点。
Newton 法的改进——阻尼Newton 法
在Newton 迭代中，取
()1
2
()()
k
k
k d f x f x -=-?? ，
加入精确一维搜索：
min ()k k
f x d λ+ 求得最佳步长k λ ，得到下个迭代点1k k k
k x x d λ+=+
阻尼Newton 法的收敛性
设()f x 存在连续二阶偏导数，函数的Hesse 矩阵2()f x ?正定。且水平集
{}0|()()L x f x f x =≤ 有界，则阻尼Newton 法或者在有限步迭代后终止；或者
得到的无穷点列{}k x 有如下性质
(1)
{}()k
f x 为严格单调下降序列；
(2) {}k x 有唯一聚点x * ，它是()f x 的最小点。
共轭梯度法
1) 在下降迭代法中，若取下降方向是共轭方向，所得到的方法我们称为共
轭方向法。 2) 若能找到一组A 共轭向量，则得到结合最速下降法和Newton 法优点的
算法，这个算法具有二次收敛性。
3) 一个算法若能在有限步内求得正定二次函数的极小点，则称该算法具有
二次收敛性(又称二次终止性)。 4) 共轭方向的选取有很大任意性，而一组不同的共轭方向就对应着不同的
共轭方向法。作为一种迭代算法，希望共轭方向能在迭代过程中逐次生成。 5) 用迭代点处的负梯度向量为基础产生一组共轭方向的方法叫做共轭梯
度法。
基本思想
共轭梯度法是基于共轭方向的一种算法。针对目标函数为二次函数的问题，其搜索方向是与二次函数系数矩阵相关的共轭方向。用这类方法求解n 元二次正定函数的极小问题，最多进行n 次一维搜索。
定义：设x ，y 是n 维欧氏空间中两个向量，即,n x y R ∈，若有0T x y = ，就称x 与y 是两个正交的向量。又设A 是一个n 阶对称正定矩阵，若有0T x Ay =，则称向量x ，y 关于A 共轭正交，简称关于A 共轭。
共轭方向及其性质
1) 在n 维空间中与n 个线性无关的向量都正交的一定是零向量
2) 若n
R 中的非零向量1p ,2p ,…,m p 是A 共轭向量组，则这m 个向量是线
性无关的
3) 在n 维空间中互相共轭的非零向量的个数不超过n
4) 若n
R 中的非零向量1p ,2p ,…,m p 是A 共轭向量组，则这m 个向量是线
性无关的。
FR 共轭梯度法的计算步骤
步骤1.选定初始点1
x
步骤2.如果1g ξ≤ ，算法停止，1x x *= ，否则转步骤3.
步骤3.取1
1,1p g k =-=
步骤4.精确一维搜索找最佳步长k λ ，令1k k k
k x x p λ+=+
步骤5.如果1k g ξ+≤，算法停止，1k x x *+= ，否则转步骤6.
步骤6.如果k=n ，令11k x x +=，11k p g +=-，算法停止，k=1，转步骤4，否则转步骤7
步骤7.计算212
k k k
g g α+=
，11k k k k p g p α++=-+，k=k=1,转步骤4.
共轭梯度法的特点
1) 对凸函数全局收敛（下降算法）；
2) 计算公式简单，不用求Hesse 矩阵或者逆矩阵，计算量小，存储量小，
每步迭代只需存储若干向量，适用于大规模问题； 3) 具有二次收敛性；(对于正定二次函数，至多n 次迭代可达最优解） 4) 共轭梯度法的收敛速率不坏于最速下降法。如果初始方向不用负梯度方
向，则其收敛速率是线性收敛的； 5) 共轭梯度法是目前求解无约束优化问题最常用的方法之一;
6) 共轭梯度法有多种求解形式，不同的求解公式对于正定二次函数是等价
的，对非正定二次函数，有不同的效果。
变尺度法
变尺度法构造思想
最速下降法计算简单，但收敛速度慢；
Newton 法(阻尼)具有收敛速度快的优点，但需要计算Hesse 矩阵的逆，计算量大，实现困难。它们可统一描述为1()k k k k k x x H f x λ+=-? 为减少计算量，用一个n 阶对称正定矩阵k H 近似代替Hesse 矩阵的逆()1
2()k f x -?，即
()1
2()k k H f x -=?，从而搜索方向是k k k p H g =-，由此搜索方向产生的方法称为
变尺度法，k H 称为尺度矩阵，这是一种拟Newton 法，被认为是无约束优化问题中最有效的方法之一。
变尺度法的计算步骤
步骤1. 任取初始点1x ，初始尺度矩阵0H 令k=1.
步骤2. 计算k k k p H g =-
步骤3. 利用精确一维搜索找最佳步长，令1k k k k x x p λ+=+
步骤4. 令1,1k k k H H H k k +=+?=+，转步骤2。 其中k H ?称为修正矩阵。
修正矩阵选取的不同，对应着不同的变尺度法。
DFP 算法
DFP 算法是最先被研究的一种变尺度算法，目前仍在广泛使用。 DFP 算法的优缺点
1) 对n 元正定二次函数，DFP 算法有二次收敛性。 2) 若()f x 是可微的严格凸函数，则DFP 算法全局收敛；
3) 对非二次函数，DFP 算法的效果也很好，它比最速下降法和共轭梯度法
要有效的多，收敛速度是超线性的； 4) DFP 算法的计算量、存储量要比共轭梯度法大，因此，对大规模的优化
问题，用共轭梯度法更方便； 5) 实际运算中，由于舍入误差的存在可能影响算法的稳定性，但BFGS
算法受到的影响要小得多。
拟牛顿法评述
1) 当线性搜索可以精确进行时，拟牛顿法不但生成共轭方向，而且构建了
拟海赛阵的近似值。这意味着当收敛到具有正定海赛阵的最小时，类似于牛顿法，具有较快的收敛速度； 2) 上述性质不依赖于初始矩阵。因此，拟牛顿法不需要像共轭梯度法那样，
周期性地利用最速下降步长重新开始计算； 3) 数值算例表明：拟牛顿法对线性搜索的精确度不像共轭梯度法那么敏
感；共轭梯度法需要O(n)次计算共轭方向和下个迭代点，拟牛顿法则需
要O(2n )次。若对目标函数及梯度的计算量大于或相当于O(2n )次运算量，选择拟牛顿法，否则，选择共轭梯度法。
2. 无约束优化
最优性条件
算法框架结构
下降递推法
北航最优化方法大作业参考
1 流量工程问题 1.1 问题重述 定义一个有向网络G=(N,E)，其中N是节点集，E是弧集。令A是网络G的点弧关联矩阵，即N×E阶矩阵，且第l列与弧里(I,j)对应，仅第i行元素为1，第j行元素为-1，其余元素为0。再令b m=(b m1,…,b mN)T，f m=(f m1,…,f mE)T，则可将等式约束表示成： Af m=b m 本算例为一经典TE算例。算例网络有7个节点和13条弧，每条弧的容量是5个单位。此外有四个需求量均为4个单位的源一目的对，具体的源节点、目的节点信息如图所示。这里为了简单，省区了未用到的弧。此外，弧上的数字表示弧的编号。此时，c=((5,5…,5)1 )T， ×13 根据上述四个约束条件，分别求得四个情况下的最优决策变量x=((x12,x13,…,x75)1× )。 13 图 1 网络拓扑和流量需求
1.2 7节点算例求解 1.2.1 算例1（b1=[4;-4;0;0;0;0;0]T） 转化为线性规划问题： Minimize c T x1 Subject to Ax1=b1 x1>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x1*=[4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x1=20 1.2.2 算例2（b2=[4;0;-4;0;0;0;0]T） Minimize c T x2 Subject to Ax2=b2 X2>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x2*=[0 4 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x2=20 1.2.3 算例3（b3=[0;-4;4;0;0;0;0]T） Minimize c T x3 Subject to Ax3=b3 X3>=0 利用Matlab编写对偶单纯形法程序，可求得: 最优解为x3*=[4 0 0 0 4 0 0 0 0 0 0 0 0]T 对应的最优值c T x3=40
《最优化方法》复习题 第一章概述(包括凸规划) 一、判断与填空题 ar§ max /W =玄生min【―/(兀)】?7 1 xeR n xeR n 2max |/(x): x e D o }= - min [f(x): x e D Q R H\ x 3设f : D u RJ R?若T wR”,对于一切xeR n恒有/(Z)上的凸函数当且仅当—/为D上的凹函数.V 1()设f : D u R” T R为凸集D上的可微凸函数，Z G Z).则对V XG D,有/(x)-/(x*)
则对\^^{0,1,2,???},恒有____ /(x A.+1)< f(x k) ____________ :
13算法迭代时的终止准则（写出三种）： ____________________________ o 14凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。V 15函数f : D u R“ T R在点（'沿着迭代方向d* eR n \ ｛（）｝进行精确一维线搜索的步长匕.，则其搜索公式为_____________________________ . 16函数f ?. D匚R“ T R在点*?沿着迭代方向d k e/?z, \｛0｝进行梢确一?维线搜索的步长匕，则V/（x A+a k d k Yd k = ___________ 0 . 17设d k eR n\｛0｝为点/ w D匸R“处关于区域D的一个下降方向，则对于Va >0, 3?G（0,a）使得x 二、简述题 1写出Wolfe-Powell非精确一维线性搜索的公式。 2怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如:判断函数/（x） = xf +2兀|兀2 +2兀;一10兀1 +5兀2是否为凸函数） 三、证明题 1证明一个优化问题是否为凸规划.（例如 1Z* T —X Gx + c x + b 2 判断s.t. Ax = b（其小G是正定矩阵）是凸规划. x>0 2熟练掌握凸规划的性质及英证明.
《最优化方法》复习题 一、 简述题 1、怎样判断一个函数是否为凸函数. （例如: 判断函数212 2 212151022)(x x x x x x x f +-++=是否为凸函数） 2、写出几种迭代的收敛条件. 3、熟练掌握利用单纯形表求解线性规划问题的方法（包括大M 法及二阶段法）. 见书本61页(利用单纯形表求解); 69页例题 (利用大M 法求解、二阶段法求解); 4、简述牛顿法和拟牛顿法的优缺点. 简述共轭梯度法的基本思想. 写出Goldstein 、Wolfe 非精确一维线性搜索的公式。 5、叙述常用优化算法的迭代公式． （1）0.618法的迭代公式：(1)(), ().k k k k k k k k a b a a b a λτμτ=+--??=+-? （2）Fibonacci 法的迭代公式：111(),(1,2,,1)() n k k k k k n k n k k k k k n k F a b a F k n F a b a F λμ---+--+? =+-?? =-? ?=+-?? L ． （3）Newton 一维搜索法的迭代公式： 1 1k k k k x x G g -+=-． （4）推导最速下降法用于问题1min ()2 T T f x x Gx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k k g g x x f x g G gx +=-? （5）Newton 法的迭代公式：211[()]()k k k k x x f x f x -+=-??． （6）共轭方向法用于问题1min ()2 T T f x x Qx b x c = ++的迭代公式： 1()T k k k k k T k k f x d x x d d Qd +?=-． 二、计算题 双折线法练习题 课本135页 例3.9.1 FR 共轭梯度法例题：课本150页 例4.3.5 二次规划有效集：课本213页例6.3.2,
1.用薄钢板制造一体积5m 3，长度不小于4m ，无上盖的货箱，要求钢板耗量最小。确定货箱的长x 1、宽x 2和高x 3。试列出问题的数学模型。 解：min 32312122x x x x x x z ++= s.t 5321=x x x 41≥x 0,,321≥x x x 2.将下面的线性规划问题表示为标准型并用单纯形法求解 max f=x 1+2x 2+x 3 s ．t ．2x 1+x 2-x 3≤2 -2x 1+x 2-5x 3≥-6 4x 1+x 2+x 3≤6 x i ≥0 i=1，2，3 解：先化标准形： Min 321x x x z -+= 224321=+-+x x x x 6525321=++-x x x x 646321=+++x x x x 列成表格：
1 2 1 610011460105122001112----- 可见此表已具备1°，2°，3°三个特点，可采用单纯形法。首先从底行中选元素-1，由2/2,6/2,6/4最小者决定选第一行第一列的元素2，标以记号，迭代一次得 1 2 1 2102310401162010021212 11-------- 再从底行中选元素-2/3，和第二列正元素1/2，迭代一次得 1 2 12 32 30 210231040116201002121211- ------ 再从底行中选元素-3，和第二列正元素2，迭代一次得 4 2 3 3 410120280114042001112--- 再迭代一次得 10 2 30 2 10 6 221023 1010213000421021013-- 选取最优解：
交通科学与工程学院 道路与铁道工程（082301） 博士研究生培养方案 一、适用学科 道路与铁道工程(081401) 二、培养目标 1．坚持党的基本路线，热爱祖国，遵纪守法，品行端正，诚实守信，身心健康，具有良好的科研道德和敬业精神。 2．适应科技进步和社会发展的需要，在本学科上掌握坚实宽广的基础理论和系统深入的专门知识；熟练掌握一门外语；具有独立从事科学研究的能力；具有良好的综合素质。 3．在科学或专门技术上做出创造性的成果。 三、培养方向 1.道路与铁道工程的检测与加固； 2.土木工程结构分析与设计理论； 3.岩土本构理论及工程应用； 4.土木工程施工技术与材料； 5.工程结构仿真。 四、学制 学历博士研究生学制为3年。 博士研究生一般在入学后1年内完成课程学习，应在文献综述与开题报告前完成课程学分，应在博士论文答辩前完成全部学分和培养要求的有关环节。 鼓励博士研究生从入学开始就进行学位论文研究工作；文献综述与开题报告至申请学位论文答辩的时间间隔不得少于1年。 五、知识结构、课程设置与学分要求 1．知识结构要求 （1）基础理论与专业基础知识 高等工程数学与数学基础（数值分析、数理统计、矩阵理论、最优化理论与算法、数理方程、常微分方程、数学试验），专业基础知识（变分与有限元素法原理、高等混凝土结构、高等土力学、高等土木工程材料学、高等结构动力学、工程结构可靠度、工程塑性力学）。 （2）专业综合知识 混凝土结构非线性分析，高等钢结构，混凝土徐变力学，基础工程学，建设项目管理，高等岩石力学，建筑结构健康诊治，混凝土结构试验，岩土工程测试技术，建筑结构无损检测技术，土动力学，建筑结构有限元分析与应用，组合结构，城市地下工程，理论土力学与现代岩石测试技术，道路与铁道工程学科综合课。 （3）学科前沿与交叉学科知识 现代工程结构进展，材料科学进展，空间数据处理，科技信息检索与利用，科学
发动机空燃比控制器 引言：我主要从事自动化相关研究。这里介绍我曾经接触过的发动机空燃比控制器设计中的优化问题。 发动机空燃比控制器设计中的最优化问题 AFR =a f m m && (1) 空燃比由方程（1）定义，在发动机运行过程中如果控制AFR 稳定在14.7可以获 得最好的动力性能和排放性能。如果假设进入气缸的空气流量a m &可以由相关单元检测得到，则可以通过控制进入气缸的燃油流量f m &来实现空燃比的精确控制。由于实际发动机的燃油喷嘴并不是直接对气缸喷燃油，而是通过进气歧管喷燃油，这么做会在进 气歧管壁上液化形成油膜，因此不仅是喷嘴喷出的未液化部分燃油会进入气缸，油膜 蒸发部分燃油也会进入气缸，如方程（2）。这样如何更好的喷射燃油成为了一个问题。 1110101122211ττττ?? ?? -?? ??????????=+????????-????????????-???? ? ??? ?? ????????? ?f f f v X x x u x x X x y =x && (2) 其中12、,==ff fv x m x m &&=f y m &,=fi u m &这里面，表示油膜蒸发量ff m &、fv m &表示为液化部分燃油、fi m &表示喷嘴喷射的燃油，在τf 、τv 、X 都已知的情况下，由现代控制理论知识，根据系统的增广状态空间模型方程（3） 0000001 1 011011114.70ττττ????-?? ??????????=-+-??????????????? ??????????????? ?? ??=?????? f f v v a X X u +q q m y q x x x &&& (3) 其中()0 14.7?t a q = y -m &。由极点配置方法，只要设计控制器方程（4），就可以 使得y 无差的跟踪阶跃输入，那么y 也能较好的跟踪AFR *a m /&。 12-- u =K q K x (4) 这里面的12、K K 确定，可由主导极点概念降维成两个参数12C ,C ，虽然都是最终稳态无差，但是目标是使得瞬态过程中y 和阶跃输入y r 的差异尽可能的小。所以原问
《最优化方法》复习题(含答案)
附录5 《最优化方法》复习题 1、设n n A R ?∈是对称矩阵，,n b R c R ∈∈，求1()2 T T f x x Ax b x c =++在任意点x 处的梯度和Hesse 矩阵． 解 2(),()f x Ax b f x A ?=+?=． 2、设()()t f x td ?=+，其中:n f R R →二阶可导，,,n n x R d R t R ∈∈∈，试求()t ?''． 解 2()(),()()T T t f x td d t d f x td d ??'''=?+=?+． 3、设方向n d R ∈是函数()f x 在点x 处的下降方向，令 ()()()()() T T T T dd f x f x H I d f x f x f x ??=--???， 其中I 为单位矩阵，证明方向()p H f x =-?也是函数()f x 在点x 处的下降方向． 证明 由于方向d 是函数()f x 在点x 处的下降方向，因此()0T f x d ?<，从而 ()()()T T f x p f x H f x ?=-?? ()()()()()()()() T T T T T dd f x f x f x I f x d f x f x f x ??=-?--???? ()()()0T T f x f x f x d =-??+?<， 所以，方向p 是函数()f x 在点x 处的下降方向． 4、n S R ?是凸集的充分必要条件是12122,,,,,,,,m m m x x x S x x x ?≥?∈L L 的一切凸组合都属于S ． 证明 充分性显然．下证必要性．设S 是凸集，对m 用归纳法证明．当2m =时，由凸集的定义知结论成立，下面考虑1m k =+时的情形．令1 1k i i i x x λ+==∑， 其中,0,1,2,,1i i x S i k λ∈≥=+L ，且1 1 1k i i λ+==∑．不妨设11k λ+≠（不然1k x x S +=∈， 结论成立），记11 1k i i i k y x λλ=+=-∑ ，有111(1)k k k x y x λλ+++=-+，
《最优化方法》试题 一、 填空题 1.设()f x 是凸集n S R ?上的一阶可微函数，则()f x 是S 上的凸函数的一阶充要条件是（ ），当n=2时，该充要条件的几何意义是（ ）； 2.设()f x 是凸集n R 上的二阶可微函数，则()f x 是n R 上的严格凸函数（ ）（填‘当’或‘当且仅当’）对任意n x R ∈，2()f x ?是 （ ）矩阵； 3.已知规划问题22211212121212min 23..255,0z x x x x x x s t x x x x x x ?=+---?--≥-??--≥-≥?，则在点55(,)66T x =处的可行方向集为（ ），下降方向集为（ ）。 二、选择题 1.给定问题222121212min (2)..00f x x s t x x x x ?=-+??-+≤??-≤?? ，则下列各点属于K-T 点的是（ ） A) (0,0)T B) (1,1)T C) 1(,22 T D) 11(,)22T 2.下列函数中属于严格凸函数的是（ ） A) 211212()2105f x x x x x x =+-+ B) 23122()(0)f x x x x =-< C) 2 222112313()226f x x x x x x x x =+++- D) 123()346f x x x x =+- 三、求下列问题
()22121212121211min 51022 ..2330420 ,0 f x x x x x s t x x x x x x =+---≤+≤≥ 取初始点()0,5T 。 四、考虑约束优化问题 ()221212min 4..3413f x x x s t x x =++≥ 用两种惩罚函数法求解。 五．用牛顿法求解二次函数 222123123123()()()()f x x x x x x x x x x =-++-++++- 的极小值。初始点011,1,22T x ??= ???。 六、证明题 1.对无约束凸规划问题1min ()2 T T f x x Qx c x =+，设从点n x R ∈出发，沿方向n d R ∈ 作最优一维搜索，得到步长t 和新的点y x td =+ ，试证当1T d Q d = 时， 22[() ()]t f x f y =-。 2.设12*** *3(,,)0T x x x x =>是非线性规划问题()112344423min 23..10f x x x x s t x x x =++++=的最优解，试证*x 也 是非线性规划问题 144423* 123min ..23x x x s t x x x f ++++=的最优解，其中****12323f x x x =++。
大型飞机高级人才培养班 航空工程全日制工程硕士研究生培养方案 一、适用类别或领域 航空工程（085232） 二、培养目标 材料工程、电子与通信工程、控制工程、航空工程领域全日制工程硕士 (以下简称航空工程等领域全日制工程硕士)是与以上各工程领域任职资格相联系的专业学位，主要为国民经济和国防建设等领域培养应用型、复合型高层次工程技术和工程管理人才。大飞机班旨在探索一条“以国家大型项目人才需求为索引，培养具有献身精神、团结协作精神、开拓创新精神的设计型和复合型人才”的研究生培养新模式，是北航研究生培养体系的一部分。 航空工程等领域全日制工程硕士培养的基本要求是： 1、坚持党的基本路线，热爱祖国、遵纪守法、品行端正、诚实守信、身心健康，具有良好的科研道德和敬业精神。 2、在本领域掌握坚实的基础理论和系统的专门知识，有较宽的知识面和较强的自立能力，具有大飞机设计、制造、运营、管理等领域需求的创造能力和工程实践能力。 3、掌握一门外国语。 三、培养模式及学习年限 1．航空工程等领域全日制工程硕士研究生培养实行导师负责制，或以导师为主的指导小组制，负责制订硕士研究生个人培养计划，选课、组织开题报告、论文中期检查、指导科学研究和学位论文，并与中国商飞、第一飞机设计研究院、西飞公司等航空企业联合培养，实行导师组指导。 2．硕士研究生一般用1学年完成课程学习，课程学习实行学分制，具体学习、考核及管理工作执行《北京航空航天大学研究生院关于研究生课程学习管理规定》。 3．专业实习是全日制工程硕士研究生培养中的重要环节，全日制工程硕士研究生在学期间，应保证不少于0.5年的工程实践。 4．学位论文选题应来源于航空工程等领域工程技术背景。鼓励实行双导师制，其中第一导师为校内导师，校外导师应是与本工程领域相关的专家，也可以根据学生的论文
惯性导航基础课程大作业报告（一）光纤陀螺误差建模与分析 班级：111514 姓名： 学号 2014年5月26日
一.系统误差原理图 二.系统误差的分析 （一）漂移引起的系统误差 1. εx ，εy ，εz 对东向速度误差δVx 的影响 clc;clear all; t=1:0.01:25; g=9.8; L=pi/180*39; Ws=2*pi/84.4*60; Wie=2*pi/24; R=g/(Ws)^2; e=0.1*180/pi; mcVx1=e*g*sin(L)/(Ws^2-Wie^2)*(sin(Wie*t)-Wie*sin(Ws*t)/Ws); mcVx2=e*((Ws^2-(Wie^2)*((cos(L))^2))/(Ws^2-Wie^2)*cos(Ws*t)-(Ws^2)*((sin(L))^2)*cos(Wi e*t)/(Ws^2-Wie^2)-(cos(L))^2); mcVx3=(sin(L))*(cos(L))*R*e*((Ws^2)*cos(Wie*t)/(Ws^2-Wie^2)-(Wie^2)*cos(Ws*t)/(Ws^2-Wi e^2)-1); plot(t,[mcVx1',mcVx2',mcVx3']); title('Ex,Ey,Ez 对Vx 的影响'); xlabel('时间t'); ylabel('Vx(t)'); 0,δλδL ,v v δδ
legend('Ex-mcVx1','Ey-mcVx2','Ez-mcVx3'); grid; axis square; 分析：εx，εy，εz对东向速度误差δVx均有地球自转周期的影响，εx，εy还会有舒勒周期分量的影响，其中，εy对δVx的影响较大。 2.εx，εy，εz对东向速度误差δVy的影响 clc;clear all; t=1:0.01:25; g=9.8; L=pi/180*39; Ws=2*pi/84.4*60; Wie=2*pi/24; R=g/(Ws)^2; e=0.1*180/pi; mcVy1=e*g*(cos(Wie*t)-cos(Ws*t))/(Ws^2-Wie^2); mcVy2=g*sin(L)*e/(Ws^2-Wie^2)*(sin(Wie*t)-Wie/Ws*sin(Ws*t)); mcVy3=g*cos(L)*e/(Ws^2-Wie^2)*(sin(Wie*t)-Wie/Ws*sin(Ws*t)); plot(t,[mcVy1',mcVy2',mcVy3']); title('Ex,Ey,Ez对Vy的影响'); xlabel('时间t'); ylabel('Vy(t)'); legend('Ex-mcVy1','Ey-mcVy2','Ez-mcVy3'); grid; axis square;
固定资产：使用期限较长，单位价值在规定标准以上，在生产过程中为多个生产周期服务，在使用过程中保持原来物质形态的资产。 流动资产：可以在一年或虽然超过一年但仍然是一个生产经营周期内变现或耗用的资产。 无形资产：指没有物质实体而以某种特殊权利和技术知识等资源形态存在并发挥作用的资产。 递延资产：只不能全部计入当期损益，需要分期摊销计入成本的各项费用。 折旧：固定资产由于其价值在多个时期内损耗降低的部分 固定资产折旧：固定资产由于其价值在多个时期内损耗降低的部分。 资金的时间价值：资金在使用中随时间推移所发生的增值。 边际收益：当影响收益的产量或投入要素增加一个单位所增的收益。 边际成本：边际成本指的是每一单位新增生产的产品带来到总成本的增量。 边际利润：单位产量所增加的销售单价扣除边际成本的值。 机会成本：在有限资源及该资源多用途条件下，将该资源用于某种用途而放弃的可能用于其它用途形成的最大代价（付出）。 价值工程：以最低寿命周期成本，可靠地实现必要功能，以功能分析为核心，以提高产品或作业价值为目的的有组织的技术经济活动。 并行工程：是对产品及其相关过程，包括制造过程和支持过程，进行并行、一体化设计的一种系统化方法，目标是降低成本、提高生产率、加快上市速度。 4P（营销组合）：市场营销中指产品、价格、渠道与促销。 系统：（钱学森）系统是由相互作用和相互依赖的若干组成部分(要素)结合而成的具有特定功能的有机整体。 市场经济：商品在市场上的价格完全由供需双方决定，没有任何一方（例如政府）加以干涉。 简述全面质量管理的内涵 质量管理仅靠数理统计方法是不够的，还需要一系列的组织管理工作；质量管理活动必须对质量、价格、交货期和服务进行综合考虑，而不仅仅只考虑质量；产品质量的产生、形成和实现过程包括了从市场研究到销售和服务的螺旋上升的循环过程，所以质量管理必须是全过程的管理；产品质量必须同成本联系起来考虑 试说明价格下降使需求量增加的原因 （1）价格降低后，消费者可以用同样的钱买到比此前更多的东西。这相当于消费者实际收入的提高，因而使需求量有所增加。这是由于价格变化所产生的“收入效应”而引起的需求量的增加。 （2）价格降低后，人们会把对替代品的需求转移到这种商品上来，因而使这种商品的需求量增加，这是由于价格变化所产生的“替代效应”引起的。 试述市场均衡价格是怎样形成的 如果市场价格高于均衡价格，,则供给量>均衡产量,此时，卖者找不到足够的买主，就会降低价格；如果市场价格低于均衡价格，,则供给量小于均衡产量,,此时，买者不能如数买到想要的东西，就会抬高价格。如果市场价格等于均衡价格，供给量等于需求量，买者想买的量等于卖者想卖得量，市场达到均衡。 试述系统工程的基本观点 系统整体性观点不着重强调系统单个元素的最优，而是强调整个系统就其功能而言效果最优。 相关与制约观点元素之间存在关系，并且这种关系可以表达。强调尽量地定量或用图表描述出各元素之间或各子系统之间的关系。 系统模拟观点系统可以建立模型，模型是原系统的简化系统，一般要求它具有原系统的主要性能。建模是分析、研究的基础。 系统优化观点 简述开展价值工程工作的六个主要步骤 运用[价值工程]方法开发产品需要按六个步骤(阶段)进行，其分别是：信息收集、创意构想、评估判断、细部发展、汇报审批和追踪实践。 第一步骤的信息收集，包括了设计理念(含功能、条件、标准…等)、成本估价资料、现场状况…等，尽量列出可能的范围，再透过机能(Function)定义和评估，找出标的物中的主要机能(必须是具备的机能)，和次要机能(非绝对必要，是用来辅助主要机能)。也就是借着了解问题和机能分析，去筛选和找出问题所在(高成本或成本不合理的项目)。第二步骤是创意构想阶段，这个阶段是在小组成员都对问题充份了解之后针对主要机能开始做脑力激荡，这时候大家仅提构想(方案)，不对构想做任何批评，也不考量方案的可行性，大家完全拋开传统模式的思考，让思想任意遨游，经由这个阶段，经常能产生一些具创新性的构想。 第三步骤是评估判断阶段，是对上阶段所提出的各项构想(方案)加以评估分析，首先可删除那些不可行的方案，再对剩余的可行方案做优缺点分析，并依节省成本的潜力及机能的改善做评估，及排列先后次序，然后取其优者，进入下一步的细部发展。 第四步骤，细部发展阶段，对选取之替代方案，就成本、可行性、节省之成本(或提升之机能)做详细完整的叙述。第五步骤，汇报审批阶段，将上阶段所做的报告书对业主做口头报告，这时候业主的接受与否决定了建议方案的是否执行。 第六步骤，追踪与实践，业主接受建议之后，下一个阶段就是落实该建议的执行。因此，这阶段的工作是要追踪确认接受的替代方案已纳入设计中，并协助业主消除替代方案执行的可能障碍。
课 程 编 号 : 0 7 0 0 0 2 0 3 北 京 理 工 大 学 2 0 0 7 - 2 0 0 8 学 年 第 二 学 期 2005 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (20 分 )某化工厂有三种资源 A 、 B 、 C ，生产三种产品甲、乙、丙，设甲、乙、丙的产量分别为 x 1,x 2,x 3 ,其数学模型为： max z 3 x 1 2 x 2 5 x 3 1 2 x 2 3 430 ( A 资源限制 ) x x 3 x 1 2 x 3 460 ( B 资源限制 ) s.t 4 x 2 420 (C 资源限制 ) x x 1 , x 2 , x 3 0 请回答如下问题： （ 1）给出最优生产方案； （ 2）假定市场信息表明甲产品利润已上升了一倍，问生产方案应否调整？ （3）假定增加一种添加剂可显着提高产品质量，该添加剂的资源限制约束为： x 1 2 x 2 3x 3 800 问最优解有何变化？ 2． (12 分 )用 Newton 法求解 min f ( x ) 4 x 12 x 22 2 x 12 x 2 ，初始点取为 x 0 (1, 1)T ，迭代一步。 3．(10 分 )用 FR 共轭梯度法求解三个变量的函数 f ( x ) 的极小值，第一次迭代的搜索方向为 p 0 (1, 1,2)T ，沿 p 0 做精确线搜 索，得 x 1 ( x 11 , x 21 , x 31 )T ， 设 f ( x 1 ) 2, f ( x 1 ) 2 ，求从 x 1 出发的搜索方向 p 1 。 x 11 x 21 4． (15 分 ) 给定下面的 BFGS 拟 Newton 矩阵修正公式： H k 1 ( I s k y k T )H k ( I s k y k T )T s k s k T ， y k T s k y k T s k y k T s k 其中 s k x k 1 x k , y k g k 1 g k 用对应的拟 Newton 法求解： min f ( x ) x 1 2 2x 1 x 2 2 x 22 4 x 1 ，初始点取为 x 0 (0,0) T ， H 0 I 。 5． (15 分 )写出问题 取得最优解的 Kuhn-Tucker （ K － T ）必要条件，并通过 K － T 条件求出问题 K － T 点及相应 Lagrange 乘子。 6(12 分 )．求约束问题 在 x (0,0) T 及 x 2 (1,0) T 处的下降方向集合、可行方向集合以及可行下降方向集合，并画图表示出来 1 7（ 8 分）考察优化问题 min f ( x ) s.t. x ， D 设 D 为凸集， f ( x ) 为 D 上凸函数，证明： f ( x) 在 D 上取得极小值的那些点构成的集合是凸集。 8（ 8 分）设 min f ( x ) 1 x T Ax b T x c ，其中 A 为对称正定矩阵， x * 为 f ( x ) 的极小值点，又设 x 0 ( x*) 可表示为 2 x 0 x * p ，其中 R 1， p 是 A 对应于特征值 的特征向量，证明：若从 x 0 出发，沿最速下降方向做精确一维搜索， 则一步达到极小值点。 课程编号 :07000203 北京理工大学 2008-2009 学年第一学期 2006 级数学专业最优化方法终考试卷（ A 卷） 1． (15 分 ) 用单纯形法求解线性规划问题 2． (10 分 )写出线性规划问题 的对偶问题并证明该对偶问题没有可行解。 3． (15 分 )考虑用最速下降法迭代一步 min f ( x) x 12 2x 22 ， 初始点取为 x 0 ( 1, 1)T 。（ 1）采用精确一维搜索；（ 2） 采用 Wolfe 条件进行不精确一维搜索，其中 0.1, 0.9 。 4． (15 分 )用 DFP 拟牛顿法求解 min f ( x) x 12 2x 22 初始点取为 x 0 1 ，初始矩阵 H 0 2 1 。 1 1 1 5． (15 分 )证明集合 S { x | x 1 2x 2 4, 2x 1 x 2 6} 是凸集，并计算原点 (0,0) 到集合 S 的最短距离。 6． (15 分 ?) 考虑问题 （1）用数学表达式写出在点 ( 1 , 5)T 处的下降可行方向集。 3 3 （ 2）假设当前点在 (0,0) T 处，求出用投影梯度法进行迭代时当前的下降可行方向（搜索方向）。 7（ 7 分）证明：在精确一维搜索条件下，共轭梯度法得到的搜索方向是下降方向。
飞行器多学科设计优化复习题 1.优化设计问题的三要素是什么？给出一个优化设计问题的例子，分别说明三个要素的具体内容。 三要素分别是设计变量，约束条件和目标函数。 以结构优化设计为例，设计变量可能是蒙皮厚度，前后翼梁缘条厚度，前后翼梁腹板厚度等结构参数；约束条件是机翼强度要求、刚度要求等目标函数是最小化结构重量。 2.飞行器设计一般分哪几个阶段？飞行器多学科优化设计有什么意义？ 飞行器设计分三个阶段：概念设计、初步设计、详细设计。 飞行器MDO的意义为： （1）MDO符合系统工程的思想。能有效提高飞行器的设计质量 （2）MDO为飞行器设计提供了一种并行设计模式。 （3）MDO的设计模式与飞行器设计组织体制一致，能够实现更高程度的自动化。 （4）MDO的模块化结构使飞行器设计过程具有很强的灵活性。 3.在飞行器设计过程中，多学科设计优化方法与传统设计方法之间有哪些相同和不同点。 传统的飞行器设计优化中,采取的是一种串行的设计模式，往往首先进行性能设计优化,然后进行结构、操纵和控制系统设计优化,最后进行工艺装备设计。在传统的方法中，各个学科任务成了实现系统设计的最基本单元，影响飞机性能的气动、推进、结构和控制等学科被人为地割裂开来，各学科之间相互耦合所产生的协同效应并未被充分考虑进去，这可能导致失去系统的整体最优解，串行的模式也使得设计时间周期和成本大大增加。 而多学科优化设计技术是一种并行设计模式，它以各子系统、学科的优化设计为基础，在飞行器各个阶段力求各学科的平衡，充分考虑哥们学科之间的相互影响和耦合作用，应用有效的设计/优化策略和分布式计算机网络系统，来组织和管理整个系统的设计过程，通过充分利用各个学科之间的相互作用所产生的协同效应，以获得系统的整体最优解。 相同点在于都有对于子学科的分解，但是MDO更注重子学科间的协同。 4.给出MDO的三种定义，根据你的理解，MDO该如何定义？ Definition1：MDO是一种通过充分探索和利用系统中相互作用的协同机制来设计复杂系统和子系统的方法论。 Definition2：MDO是指在复杂工程系统的设计过程中，必须对学科（子系统）之间的相互作用进行分析，并且充分利用这些相互作用进行系统优化合成的方法。 Definition3：多学科设计优化就是进行复杂系统的设计过程中，结合系统的多学科本质，充分利用各种多学科设计与多学科分析工具，最终达到基于多学科优化的方法论。 My Definition：当设计中每个因素都影响另外的所有因素时，确定该改变哪个因素以及改变到什么程度的一种设计方法。 5.多学科设计优化中，什么是学科分析？什么是系统分析？ 学科分析：也成为子系统分析或子空间分析，以某一学科设计变量，其他学科对该学科的耦合状态变量和系统的参数为输入，根据某一学科满足的物理规律确定其物理特性的过程 系统分析：对整个系统，给定一组设计变量X，通过求解系统的状态方程得到系统状态变量的过程。 6.什么是多学科设计优化的状态变量？学科状态变量和耦合状态变量之间有什么区别?
目标：使用带双步位移的QR 分解法求矩阵10*10[]ij A a =的全部特征值，并对其中的每一个实特征值求相应的特征向量。已知：sin(0.50.2)() 1.5cos( 1.2)(){i j i j ij i j i j a +≠+== (i,j=1,2, (10) 算法： 以上是程序运作的逻辑，其中具体的函数的算法，大部分都是数值分析课本上的逻辑，在这里特别写出矩阵A 的实特征值对应的一个特征向量的求法： ()[]()() []()[]()111111I 00000 i n n n B A I gause i n Q A I u Bu u λλ-?-?-=-?-?? ?-=????→=??????→= ?? ? 选主元的消元 检查知无重特征值 由于=0i A I λ- ，因此在经过选主元的高斯消元以后，i A I λ- 即B 的最后一行必然为零，左上方变 为n-1阶单位矩阵[]()()11I n n -?-，右上方变为n-1阶向量[]()11n Q ?-，然后令n u 1=-，则 ()1,2,,1j j u Q j n ==???-。
这样即求出所有A所有实特征值对应的一个特征向量。 #include 2013-2014学年第一学期 数学计算经数专业《最优化方法》（课程）期末试卷 试卷来源：自拟 送卷人:赵俊英 打印：赵俊英 乔凤云 校对：赵俊英 一．填空题（20分） 1．最优化问题的数学模型一般为：____________________________， 可行域D 可以表 为_____________________________， 若____________________，称* x 为问题的全局最优解. 2.()()??? ? ??+???? ?????? ??=212121 312112)(x x x x x x x f ，则=?)(x f ， =?)(2 x f . 3.设f 连续可微且0)(≠?x f ，若向量d 满足 ，则它是f 在x 处的一个下降方向. 4. 无约束最优化问题：min (),n f x x R ∈，若k x 是不满足最优性条件的第k 步迭代点，用共轭梯度法求解时，搜索方向k d =______________ 5. 函数R R D f n →?:在点k x 沿着迭代方向}0{\n k R d ∈进行精确一维线搜索的步长k α，则其搜索公式为 . 6 .举出一个具有二次终止性的无约束二次规划算法： . 7.函数222 21 12313()226f x x x x x x x x =+++- （填是或不是） 严格凸函数. 二．（18分）简答题： 1. 设计求解无约束优化问题的一个下降算法，并叙述其优缺点. 2. 叙述单折线法的算法思想. 3. 写出以下线性规化问题的对偶： 1234123412341234134min ()2536..873411,762323,324712,0,0,0.f x x x x x s t x x x x x x x x x x x x x x x =-+-??-+++=?? +++≥??+++≤? ≤≥≥?? 华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2010--2011学年第 1 学期 考试科目： 运筹学与最优化方法 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一、 用单纯形法求解下列线性规划问题（共 15 分） 12121212max 105349 ..528,0z x x x x s t x x x x =++≤?? +≤??≥? 二、灵活运用单纯形法和对偶单纯形法解下列问题（共 15 分） 12121212max 62 ..33,0z x x x x s t x x x x =++≥?? +≤??≥? 三、解下列0-1型整数规划问题（共 10 分） 12345123451345124512345max 325232473438..116333,,,,01 z x x x x x x x x x x x x x x s t x x x x x x x x x =+--+++++≤??+-+≤?? -+-≥??=?或 四、利用库恩-塔克（K-T ）条件求解以下问题（共 15 分） 22121122 121212 max ()104446..418,0f X x x x x x x x x s t x x x x =+-+-+≤??+≤??≥? 五、用内点法求解下列非线性约束最优化问题（共 15 分） 21 121 2min ()6923..3 f X x x x x s t x =-++≥??≥? 六、给定初始点(0)(1,1)T X =，用最速下降法迭代一次研究下列函数的极大值。（共 15 分） 22 121122()46222f X x x x x x x =+--- 七、某人因工作需要购置了一辆摩托车,他可以连续使用或任一年末将旧车卖掉,换一辆新车,下表列出了于第i 年末购置或更新 的车至第j 年末的各项费用的累计(含更新所需费用、运行费用及维修费用等)，试据此确定该人最佳的更新策略，使从第一年至第五年末的各项费用的累计之和为最小。（共 15 分） x zD 天津大学《最优化方法》复习题(含答案) 第一章 概述(包括凸规划) 判断与填空题 arg max f(x)二 arg min 以儿 “ max(x): x D 二 R n 』=-min(x): x D 二 R n ； 设f : D 5 R n > R.若x ： R n ，对于一切R n 恒有f(x”)^f(x)，则称x”为 设f : D 5 R n >R.若x ” ? D ,存在x ”的某邻域N ；(x”)，使得对一切 x ?N .(x)恒有f(x”)：：： f (x)，则称x”为最优化问题 min f (x)的严格局部最 优解? 给定一个最优化问题，那么它的最优值是一个定值 ? V 非空集合D R n 为凸集当且仅当 D 中任意两点连线段上任一点属于 D . V 非空集合D R n 为凸集当且仅当D 中任意有限个点的凸组合仍属于 D . V 任意两个凸集的并集为凸集? 函数f:D R n >R 为凸集D 上的凸函数当且仅当 -f 为D 上的凹函数? V 设f : D R n >R 为凸集D 上的可微凸函数，X ：D ?则对-D ,有 f (x) - f(x )乞 f (x )T (X —X )? 若c(x)是凹函数，则 D={x^R n C(x)启0}是凸集。 V f(x)的算法A 产生的迭代序列，假设算法 A 为下降算法, 则对-k ? 5,1, 2,…匚恒有 ________________ f(x k1)乞 f(x k ) ______________ ? 算法迭代时的终止准则(写出三种) ： ___________________________________________________ 凸规划的全体极小点组成的集合是凸集。 V 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1613-14(1)最优化方法期末试卷
最优化方法考试试题
《最优化方法》复习题(含答案)
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