专题一：数列通项公式的求法详解
一、 观察法（关键是找出各项与项数n 的关系.） 例1：根据数列的前4项，写出它的一个通项公式： （1）9，99，999，9999，… （2） ,17
164,1093,542,2
1
1 （3） ,52,2
1,32,
1 （4） ,5
4,43,32,21-- 二 公式法1：特殊数列
例2： 已知数列{a n }是公差为d 的等差数列，数列{b n }是公比为q 的(q ∈R 且q ≠1)的等比数列，若函数f (x ) = (x －1)2，且a 1 = f (d －1)，a 3 = f (d +1)，b 1 = f (q +1)，b 3 = f (q －1)，求数列{ a n }和{ b n }的通项公式；
例3. 等差数列{}n a 是递减数列，且432a a a ??=48，432a a a ++=12，则数列的通项公式是（ ）
(A) 122-=n a n (B) 42+=n a n (C) 122+-=n a n (D) 102+-=n a n
例 4. 已知等比数列{}n a 的首项11=a ，公比10< 21+++=n n n a a b ，求数列{}n b 的通项公式 公式法2： 知n s 利用公式 ?? ?≥-==-2 ,1 ,11n S S n s a n n n . 例5：已知下列两数列}{n a 的前n 项和s n 的公式，求}{n a 的通项公式. （1）13-+=n n S n . （2）12-=n s n 点评：先分n=1和2≥n 两种情况，然后验证能否统一. 公式法3:含,n n s a 混合型 例6．在数列{a n }中，若a 1=1，且满足2 13n n s a =-，求数列{}n a 的通项公式 【变式】．已知各项均为正数的数列{n a }的前n 项和满足1>n S ，且 *),2)(1(6N n a a S n n n ∈++=求{n a }的通项公式； 三 累加法(逐差相加法) 递推公式为 )(1n f a a n n +=+ 解法：把原递推公式转化为)(1n f a a n n =-+，利用累加法求解。 （1）简析：已知a a =1,)(1n f a a n n =-+，其中f(n)可以是关于n 的一次、二次函数、指数函数、分式函数，当)()2()1(n f f f ?? 相加的和的值可以求得时，宜采用此方法。 求通项n a . ①若f(n)是关于n 的一次函数，累加后可转化为等差数列求和; ② 若f(n)是关于n 的指数函数，累加后可转化为等比数列求和; ③若f(n)是关于n 的二次函数，累加后可分组求和; ④若f(n)是关于n 的分式函数，累加后可裂项求和各式相加得 例6：已知}{n a 的首项11=a ，n a a n n 21+=+（* N n ∈）求通项公式。 例7. 若在数列{}n a 中，31=a ，n n n a a 21+=+，求通项n a . 例8. 若在数列{}n a 中，31=a ，122n n n a a n +=++，求通项n a . 例9已知数列}{n a 满足31=a ，)2() 1(1 1≥-+ =-n n n a a n n ，求此数列的通项公式变式: 变式：已知数列{}n a 中，11a =，且满足，12(21)(),3 n n n a a n n N +=+-?求数列{}n a 的通项公式 四 累乘法(逐商相乘法) 递推公式为n n a n f a )(1=+ （1）当f(n)为常数，即： q a a n n =+1 （其中q 是不为0的常数），此时数列为等比数列，n a =11-?n q a . （2）当f(n)为n 的函数时,当)()2()1(n f f f ?? （相乘）的值可以求得 时，宜采用此方法。 用累乘法. 例10：在数列｛n a ｝中，1a =1, (n+1)·1+n a =n ·n a ，求n a 的表达式。 变式1：已知数列{}n a 中，3 1 1= a ，前n 项和n S 与n a 的关系是 n n a n n S )12(-= ，试求通项公式n a . . 变式2：已知1,111=-+=+a n na a n n ,求数列{a n }的通项公式. 五、构造特殊数列法（三个类型） 类型1 递推公式为q pa a n n +=+1（其中p ，q 均为常数，)0)1((≠-p pq ） 解法：把原递推公式转化为：)(1t a p t a n n -=-+，其中p q t -= 1，再利用换元法转化为等比数列求解。 例11. 已知数列{}n a 中，11=a ，321+=+n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 类型2 递推公式为)(1n f pa a n n +=+（其中p ，q 均为常数，)0)1)(1((≠--q p pq ） 变式1：已知数列{}n a 中，21=a ，且满足123,n n n a a n N +=+?，求数列{}n a 的通项公式 变式2：已知数列{}n a 中，12a =，且满足1341,n n a a n n N +=+-?，求数列{}n a 的通项公式 变式3：已知数列{}n a 中，6 5 1=a ,11)21(31+++=n n n a a ，求数列{}n a 的通项公式。 类型4 倒数为特殊数列【形如s ra pa a n n n +=--11 】 例14： 已知数列｛n a ｝中11=a 且1 1+=+n n n a a a （N n ∈）， ，求数列的通项公式. 变式1：．已知数列{}n a 中，21=a ，1 1(2)32 n n n a a n a --= ?+，求通项公式 n a 变式 2：已知数列{}a n 中，11131 n n n n a a a a ，+== +，求通项公式a n 六、迭代法【一般是递推关系含有的项数较多】 例15：数列{n a }满足01=a ,且)1(2121-=++++-n a a a a n n ,求数列{a n }的通项公式. 练习 :数列{n a }满足11=a ,且2121n a a a a n n =??- ,求数列{a n }的通项公式 练习题 1.（2010上海文数）已知数列{}n a 的前n 项和为n S ，且585n n S n a =--，* n N ∈， 求{}n a 的通项公式.（1 51156n n a -??=-? ? ?? ） 2.（2010重庆理数）在数列{}n a 中，1a =1，()()1 121*n n n a ca c n n N ++=++∈，其中实数 0c ≠，求{}n a 的通项公式.（() 121-+-=n n n c c n a ，*∈N n ） 4.（2009全国卷Ⅰ理）在数列{}n a 中，111 11,(1)2n n n n a a a n ++==++，设n n a b n =，求数列{}n b 的通项公式. (1 22-- =n n n n a ，* n N ∈). 5.(2009湖北卷理)已知数列{}n a 的前n 项和1 1 ()22 n n n S a -=--+（n 为正整数）。令 2n n n b a =，求证数列{}n b 是等差数列，并求数列{}n a 的通项公式.（n n n a 2 = ） 6.（2009全国卷Ⅱ理）设数列{}n a 的前n 项和为,n S 已知11,a =142n n S a +=+. （1）设12n n n b a a +=-，证明数列{}n b 是等比数列 ；（2）求数列{}n a 的通项公式.（ 2(31)2n n a n -=-?） 7在数列{}n a 中，1112,ln 1n n a a a n +?? ==++ ??? ，则n a ＝（ ） A ．2ln n + B ．()21ln n n +- C ．2ln n n + D ．1ln n n ++ 8.已知数列{}n a 的11a =，22a =且212n n n a a a ++=-,则n a = n 9.已知数列{}n a 的首项11a =，且123(2)n n a a n -=+≥，则n a = 专题二：数列求和方法详解（六种方法） 一、公式法 很多求和问题可以利用(等差、等比)数列的前n 项和公式解决,在具体问题中记住并熟练应用下列几个常用公式： ①()211+=∑=n n k n k ; ②()2 112n k n n =-∑=;③()121 +=∑=n n k n k ④()()∑=++=n k n n n k 12 12161; ⑤()2 1 321??????+=∑=n n k n k 例18: 已知数列{}n a 的通项公式为2102+-=n n a n ,求其前n 项和n S 二 倒序相加法 此法是在推导差数列的前n 项和公式时所用的方法， 121121n n n n n n S a a a a S a a a a --=++++? ?=++++? …………相加()()()12112n n n n S a a a a a a -=++++++…… 例19:已知2 2 ()1x f x x =+，则111(1)(2)(3)(4)234f f f f f f f ?? ?? ?? ++++++= ? ? ??????? 练习 求 89sin 88sin 3sin 2sin 1sin 22222++???+++的值 . 三、错位相减法 方法简介：此法是在推导等比数列的前n 项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列{a n · b n }的前n 项和，其中{ a n }、{ b n }分别是等差数列和等比数列. [例20] 求和：1 3 2 )12(7531--+???++++=n n x n x x x S 练习：求数列 ??????,2 2,,26,24,2232n n 前n 项的和. 四、分组法求和 方法简介：把一不能直接求和的数列的每一项分解成几个可以求和的新数列，分别求和. 此方法常用于解形如数列{}n n b a +的前n 项和(其中{}n a 是等差数列,{}n b 是等比数列) 例21：已知数列{}n a 的通项公式为?? ? ??-=n n n a 212,求其前n 项和n S 五、裂项相消法 方法简介把数列的每一项拆为两项之差,求和时使大部分项能“正”、“负”相消, 变为求有限几项的和.常用裂项公式为： ① ()())1 1(11 b x a x b a b x a x ----= --; ② 111)1(1+-=+n n n n ; ③() b a b a b a --=+11 ⑤()!!1!n n n n -+=?。 ④()()()()()()?? ????++- ++=++321 21121211n n n n n n n ; 例22 （1） 求和n S =() 11 431321211-+ ???+?+?+?n n （2）已知数列{}n a 的通项公式为1 1++= n n a n ，求其前n 项和n S 分析 利用裂项相消法求和时可直接从通项入手,并且要判断清楚消项后余下哪些项.此方法常用于解形如数列? ?? ?? ? ?+11n n a a 的前n 项和(其中{}n a 是等差数列) 六、转化法 利用转化思想将其求和问题转化为等差、等比求和题或利于求和式的题目。 例23 :求数列1 3 2 3 2 2 1,,1,1,1,1-+++++++++++n x x x x x x x x x x 的前n 项和 n S . 练习题 1：求和：2 1 123n n S x x nx -=++++ 2、已知数列42n a n =-和1 24n n b -= ，设n n n b a c = ，求数列}{n c 的前n 项和n T ． 3、（2007全国1文21）设{}n a 是等差数列，{}n b 是各项都为正数的等比数列，且111a b ==， 3521a b +=，5313a b +=（Ⅰ）求{}n a ，{}n b 的通项公式； （Ⅱ）求数列n n a b ?? ???? 的前n 项和n S ． 4．设等比数列}{n a 的公比为q ，前n 项和为S n ，若S n+1,S n ，S n+2成等差数列，则q 的值为 . 5、利用等比数列的前n 项和公式证明 EG ：11 1 22 1 = (,0,0)n n n n n n n a b a a b a b ab b n N a b a b ++---*-+++++∈>>- 6（1）已知数列}{n a 的通项公式为1 (1) n a n n =+，求前n 项的和； （2）已知数列}{n a 的通项公式为11 n a n n = ++，求前n 项的和． (3)求数列2 (2)(21)(21) n n n -+的前n 项和 7、已知数列}{n a 的通项公式为n a ＝1 2n +，设13242 111n n n T a a a a a a +=+++ ??? ，求n T ． 8. 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且对任意正整数n ，4096n n a S +=。 （1）求数列{}n a 的通项公式 （2）设数列2{log }n a 的前n 项和为n T ,对数列{}n T ，从第几项起509n T <-？
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