几种数学思想在数学问题中的应用
摘要：数学思想对中学数学的教学意义重大,在教学中渗透方程思想,分类讨论思想,数形结合思想,整体思想,化归思想,变换思想,辩证思想等多种数学思想方法，可以培养学生的思维能力,从而提高学生的学习效果。中学数学教学过程,实质上是运用各种教学理论进行数学知识教学的过程。在这个过程中,必然要涉及数学思想的问题。数学思想是人类思想文化宝库中的瑰宝,是数学的精髓,它对数学教学具有决定性的指导意义。
关键词：方程思想分类讨论思想数形结合思想整体思想化归思想变换思想辩证思想
前言
数学教学的目的既要求学生掌握好数学的基础知识和基本技能,还要求发展学生的能力,培养他们良好的个性品质和学习习惯。在实现教学目的的过程中,数学思想方法对于打好“双基”和加深对知识的理解、培养学生的思维能力有着独到的优势,它是学生形成良好认知结构的纽带,是由知识转化为能力的桥梁。因此,在数学教学中,教师除了基础知识和基本技能的教学外,还应重视数学思想方法的渗透,注重对学生进行数学思想方法的培养,这对学生今后的数学学习和数学知识的应用将产生深远的影响。从初中阶段就重视数学思想方法的渗透,将为学生后续学习打下坚实的基础,会使学生终生受益。
1、中学数学教学中应运用的思想方法
(1)方程思想
众所周知,方程思想是初等代数思想方法的主体,应用十分广泛,可谓数学大厦基石之一,在众多的数学思想中显得十分重要。所谓方程思想,主要是指建立方程(组)解决实际问题的思想方法。教材中大量出现这种思想方法,如列方程解应用题,求函数解析式,利用根的判别式、根于系数关系求字母系数的值等。教学时,可有意识的引导学生发现等量关系从而建立方程。如讲“利用待定系数法确定二次函数解析式”时,可启发学生去发现确定解析式的关键是求出各项系数,可把他们看成三个“未知量”,告诉学生利用方程思想来解决,那学生就会自觉的去找三个等量关系建立方程组。
例：某地为促进淡水鱼养殖业的发展，将价格控制在适当范围内，决定对淡水鱼养殖提供政府补贴，设淡水鱼的市场价格为x元/千克，政府补贴为t元/千克，根据市场调查，当≤x时，淡水鱼的市场日供应量P千克与市场日需求量Q千克近似地满足关系：
8≤
14
()()0,881000≥≥-+=t x t x P ()()1488405002
≤≤--=x x Q 当P ＝Q 时的市场价格称为市场平衡价格。
（1）将市场平衡价格表示为政府补贴的函数，并求出函数的定义域；
（2）为使市场平衡价格不高于每千克10元，政府补贴至少为每千克多少元？
解：（1）依题设有()()2
84050081000--=-+x t x 化简得()()
0280644808522=+-+-+t t x t x 当判别式0168002
≥-=?t 时， 可得2
5052548t t x -±-=
由148,0,0≤≤≥≥?x t ，得不等式组 ①?????≤-+-≤≤≤14505254885002t t t ②?????≤---≤≤≤14505254885002t t t
解不等式组①，得100≤≤t ，不等式组②无解。 故所求的函数关系式为2
5052548t t x -+-=
函数的定义域为［0，10］
（2）为使10≤x ，应有
1050525482≤-+-t t
化简得0542
≥-+t t
解得1≥t 或5-≤t ，由于0≥t ，知1≥t
从而政府补贴至少为每千克1元。
在这里如果单讲解题步骤,就会显得呆板、僵硬,学生只知其然,不知其所以然。与此同时,还要注意渗透其他与方程思想有密切关系的数学思想,诸如换元,消元,降次,函数,化归,整体,分类等思想,这样可起到拨亮一盏灯,照亮一大片的作用。
(2)分类讨论思想
分类讨论即根据教学对象的共同性与差异性,把具有相同属性的归入一类,把具有不同属性的归入另一类。分类是数学发现的重要手段。在教学中,如果对学过的知识恰当地进行分类,就可以使大量纷繁的知识具有条理性。例如,对三角形全等识别方法的探索,教材中的思考题:如果两个三角形有三个部分(边或角)分别对应相等,那么有哪几种可能的情况?
2=·，则∠BCA的度数例：在△ABC中，∠B＝25°，AD是BC上的高，并且AD BD DC
为_____________。
解析：因未指明三角形的形状，故需分类讨论。
2=·，得△ABD∽△CAD，进而可以证明如图1，当△ABC的高在形内时，由AD BD DC
△ABC为直角三角形。由∠B＝25°。可知∠BAD＝65°。所以∠BCA＝∠BAD＝65°。
如图2，当高AD在形外时，此时△ABC为钝角三角形。
2=·，得△ABD∽△CAD
由AD BD DC
所以∠B＝∠CAD＝25°
∠BCA＝∠CAD＋∠ADC＝25°＋90°＝115°
同时,教材中对处理几种识别方法时也采用分类讨论,由简到繁,一步步得出,教学时要让学生体验这种思想方法。
(3)数形结合思想
数和式是问题的抽象和概括、图形和图像是问题的具体和直观的反映。
例：已知二次函数y=f1（x）的图象以原点为顶点且过点（1，1），反比例函数y=f2（x）的图象与直线y=x两个交点间的距离为8，f（x）=f1（x）+f2（x）．
（1）求函数f（x）的表达式；
（2）证明：当a＞3时，关于x的方程f（x）=f（a）有三个实数解。
分析 用数形结合思想求f （x ）－f （a ）=0解的个数．
解 ：（1）由已知，设f 1（x ）=bx 2，由f 1（x ）=1， 得b=1．∴f 1（x ）=x 2．
设f 2（x ）=x
k （k ＞0），则其图象与直线y=x 的交点分别为A （k ，k ），B （－k ，－k ），由|AB|=8，得k=8，
∴f 2（x ）=
x 8，故f （x ）=x 2+x
8． （2）由f （x ）=f （a ），得x 2+x 8=a 2+a
8， 即x 8=－x 2+a 2+a
8． 在同一坐标系内作出f 2（x ）=x 8和f 3（x ）=－x 2+a 2+a 8的大致图象（如图所示），其中f 2（x ）的图象是以坐标轴为渐近线，且位于第一、三象限的双曲线，f 3（x ）的图象是以（0，a 2+a
8）为顶点，开口向下的抛物线．f 2（x ）与f 3（x ）的图象在第三象限有一个交点，即 f （x ）=f （a ）有一个负数解． 又∵f 2（2）=4，f 3（2）=－4+a 2+
a 8，当a ＞3时， f 3（2）－f 2（2）=a 2+a
8－8＞0， ∴当a ＞3时，在f 3（x ）第一象限的图象上存在一点（2，f 3（2））在f 2（x ）图象的上方． ∴f 2（x ）与f 3（x ）的图象在第一象限有两个交点，即f （x ）=f （a ）有两个正数解． 故方程f （x ）=f （a ）有３个实数解．
华罗庚先生说得好:“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好。”这句话阐明了数形结合思想的重要意义。初中代数教材列方程解应用题所选例题多数采用了图示法,所以,教学过程中要充分利用图形的直观性和具体性,引导学生从图形上发现数量关系找出解决问题的突破口。学生掌握了这一思想要比掌握一个公式或一种具体方法更有价值,对解决问题更具有指导意义。再如在讲“圆与圆的位置关系”时,可自制圆形纸板,进行运动实验,让学生首先从形的角度认识圆与圆的位置关系,然后可激发学生积极主动探索两圆的位置关系反映到数上有何特征。这种借助于形通过数的运算推理研究问题的数形结合思想,在教学中要不失时机地渗透;这样不仅可提高学生的迁移思维能力,还可培养学生的数形转换能力和多角度思考问题的习惯。
(4) 整体思想
整体思想在初中教材中体现突出,如在实数运算中,常把数字与前面的“+,-”符号看成
一个整体进行处理;
例如： 3．212m -=，求34m +的值．
解析：这道题给人的感觉是先移项得到2m =3,求m,这里的m 是指数，我们没有学，不少学生都望而生畏，感到难不堪言，其实仔细观察要求式与已知式，是不难发现解决问题的方法的．由已知式212m -=，我们可以得到23m =，而34m +又可以看作是23(2)m +，它又可以转化为2
3(2)m +，所以本题结果是12．
又如用字母表示数就充分体现了整体思想,即一个字母不仅代表一个数,而且能代表一系列的数或由许多字母构成的式子等;再如整式运算中往往可以把某一个式子看作一个整体来处理,如:(a+b+c)2=[(a+b)+c]2视(a+b)为一个整体展开等等,这些对培养学生良好的思维品质,提高解题效率是一个极好的机会。
(5)化归思想
化归思想是数学思想方法体系主梁之一。在实数的运算、解方程(组)、多边形的内角和、几何证明等等的教学中都有让学生对化归思想方法的认识,学生有意无意接受到了化归思想。
例如：已知(x+y)2 =11,xy=1求x 2+y 2的值,显然直接代入无法求解,若先把所求的式子化归到有已知形式的式子(x+y)2-2xy,则易得:原式=9;
例：已知圆O 的半径为定值r ，问这个圆的外切直角三角形是怎样的直角三角形时周长最短？最短的周长是多少？
（分析）几何量的最值问题可以用三角法来解决，首先选取适当的变量角为自变量（注意自变量的取值范围）其次有关的几何量用变量角的三角函数式表达，根据等量关系，借助三角函数式列出所求的几何量的三角函数解析式，将几何量的最值问题转化为三角函数式的最值问题。
解：如图，设⊙O 的外切Rt △ABC 切点分别为D 、E 、F ，则BE ＝BD ＝r ?ctg 2
B ，AD ＝AF ＝r ?ctg 2
A 设△ABC 的周长为y ，则： y =2r ?ctg
2A +2r ?ctg 2
B +2r =?????? ??++12222B Sin A Sin B A Sin r
∵ ?=+452B A ,∴ r B A Cos r y 2)22
2(4122
2+--?= 当12=-B A Cos ，即A ＝B 时，r r r y )223(222
224min +=+-= ∴ 当三角形是等腰直角三角形时，周长最短，最短周长为r )223(2+.
又如“多边形的内角和”问题通过分解多边形为三角形来解决,这都是化归思想在实际问题中的具体体现。再如解方程(组)通过“消元”、“降次”最后求出方程(组)的解等也体现了化归思想;化归思想是解决数学问题的一种重要思想方法。化归的手段是多种多样的,其最终目的是将未知的问题转化为已知问题来解。实现新问题向旧问题的转化、复杂问题向简单问题转化、未知问题向已知问题转化、抽象问题向具体问题转化等。如在加法的基础上,利用相反数的概念,化归出减法法则,使加、减法统一起来,得到了代数和的概念;在乘法的基础上,利用倒数的概念,化归出除法法则,使互逆的两种运算得到统一。又如,对等腰梯形有关性质的探索,除了教材中利用轴对称方法外,还经常通过作一腰的平行线、作底边上的高、延长两腰相交于一点等方法,把等腰梯形转化到平行四边形和三解形的知识上来。
除此之外,很多知识之间都存在着相互渗透和转化:多元转化为一元、高次转化为低次、分式转化为整式、一般三解形转化为特殊三角形、多边形转化为三角形、几何问题代数解法、恒等的问题用不等式的知识解答。
(6)变换思想
是由一种形式转变为另一种形式的思想。解方程中的同解变换,定律、公式中的命题等价变换,几何图形中的等积变换等等都包含了变换思想。具有优秀思维品质的一个重要特征,就是善于变换,从正反、互逆等进行变换考虑问题,但很多学生又恰恰常忽略从这方面考虑问题,因此变换思想是学生学好数学的一个重要武器。
例：四边形ABCD 中,AB=CD,BC=DA,E 、F 是AC 上的两点,且AE=CF 。求证:DE=BF 。这道题
若是由已知向后推理较难把握方向,但用变换方法寻找证
法比较易:要证DE=BF,只要证△ADE≌△CBF(证
△ABF≌△CDE 也可);要证△ADE≌△CBF,因题目已知
BC=DA,AE=CF,只要证∠DAE=∠BCF;要证∠DAE=∠BCF,可
由△ABC≌△CDA 得到,而由已知条件AB=CD,BC=DA,AE=CF
不难得到△ABC≌△CDA。这样问题就解决了。
(7)辩证思想
辩证思想是科学世界观在数学中的体现,是最重要的数学思想之一。自然界中的一切现象和过程都存在着对立统一规律 ,数学中的有理数和无理数、整式和分式、已知和未知、特殊和一般、常量和变量、整体和局部等同样蕴涵着这一辩证思想。因此,教学时,应有意识地渗透。如初三《分式方程》一节,
例：解下列分式方程：
分析：（1）先确定最简公分母为2(x－1)，再按步骤求解．
（2）先将2－x化为－(x－2)，然后去分母求解．
（3）先将分母分解因式，再确定公分母为6x(x＋1)．
解：（1）方程两边同乘以2(x－1)，得
2x=3－4(x－1)
解之得
检验：当时，2(x－1)0
∴是原方程的根．
（2）方程两边同乘以(x－2)，得
x－3＋(x－2)=－1
2x－5=－1
解之得x=2
检验：将x=2代入最简公分母x－2=0，
∴x=2为原方程的增根．
∴原方程无解．
（3）原方程可变为：
方程两边同乘以6x(x＋1)，得
12x＋6=5x
解之得
检验：将代入最简公分母
∴是原方程的解。
这一节就体现了分式方程与整式方程的对立统一思想,教学时,不能只简单介绍分式方程的概念和解法,而要渗透上述思想,我们可以从复习整式和分式的概念出发,然后依据辩证思想自然引出分式方程,接着带领学生领会两个概念的对立性(非此即彼)和统一性(统称有理方程),
再利用未知与已知的转化思想启发学生说出分式方程的解题基本思想,从而发现两种方程在解法上虽有不同,但却存在内在的必然联系。这样,学生在知晓整式方程与分式方程概念和解法的辩证关系后,就能进一步理解和掌握分式方程,收到一种居高临下,深入浅出的教学效果。因此,抓辩证思想教学,不仅可以培养学生的科学意识,而且可提高学生的探索能力和观察能力。
2、中学数学教学中数学思想方法渗透的原则
在渗透数学思想、方法的过程中,教师要精心设计、有机结合,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套,和盘托出,脱离实际等错误做法。比如,教学二次不等式解集时结合二次函数图象来理解和记忆，总结归纳出解集在“两根之间”、“两根之外”,利用数形结合方法,从而比较顺利地完成新旧知识的过渡。
数学概念、法则、公式、性质等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而数学思想方法却隐含在数学知识体系里,是无“形”的,并且不成体系地散见于教材各章节中。教师讲不讲,讲多少,随意性较大,常常因教学时间紧而将它作为一个“软任务”挤掉。对于学生的要求是能领会多少算多少。因此,作为教师首先要更新观念,从思想上不断提高对渗透数学思想方法重要性的认识,把掌握数学知识和渗透数学思想方法同时纳入教学目的,把数学思想方法教学的要求融入备课环节。其次要深入钻研教材,努力挖掘教材中可以进行数学思想方法渗透的各种因素,对于每一章每一节,都要考虑如何结合具体内容进行数学思想方法渗透,渗透哪些数学思想方法,怎么渗透,渗透到什么程度,应有一个总体设计,提出不同阶段的具体教学要求。
数学思想方法的教学必须通过具体的教学过程加以实现。因此,必须把握好教学过程中进行数学思想方法教学的契机——概念形成的过程,结论推导的过程,方法思考的过程,思路探索的过程, 规律揭示的过程等。同时,进行数学思想方法的教学要注意有机结合、自然渗透,要有意识地潜移默化地启发学生领悟蕴含于数学知识之中的种种数学思想方法,切忌生搬硬套、和盘托出、脱离实际等适得其反的做法。
数学思想方法是在启发学生思维过程中逐步积累和形成的。为此,在教学中,首先要特别强调解决问题以后的“反思”。因为在这个过程中提炼出来的数学思想方法,对学生来说才是易于体会、易于接受的。其次要注意渗透的长期性。应该看到,对学生数学思想方法的渗透不是一朝一夕就能见到学生数学能力提高的,而是有一个过程。数学思想方法必须经过循序渐进和反复训练,才能使学生真正地有所领悟。
教学中要适时恰当地对数学方法给予提炼和概括,让学生有明确的印象。由于数学思想、
方法分散在各个不同部分,而同一问题又可以用不同的数学思想、方法来解决。因此,教师的概括、分析是十分重要的。教师还要有意识地培养学生自我提炼、揣摩概括数学思想方法的能力,这样才能把数学思想、方法的教学落在实处。
总之,在数学教学中,只要切切实实把握好上述几个典型的数学思想,同时注意渗透的过程,依据课本内容和学生的认知水平,从初一开始就有计划的渗透,就一定能提高学生的学习效率和数学能力。
参考文献：
[1] 崔录等. 现代教育思想精粹[M].北京:光明日报出版社,1994
[2] 布鲁纳.教育过程[M].上海:上海人民出版社,2001
[3] 吴兴长.数学教学中非智力因素的培养[J].北京教育行政学院,2003
[4] 李明振.数学方法与解题研究[M].上海:上海科学教育出版社,2005
[5] 韩立福.新课程有效课堂教学行动策略[M].北京:首都师范大学出版社,2001