C B A A B A B C · O 网格与中考 一、网格与线段 1．右图是由16个边长为1的小正方形拼成的，任意连结这些小正方形的若干个顶点，可得到一些线段，试分别画出一条长度是有理数的线段和一条长度是无理数的线段． 二、网格与三角形 2、正方形网格中，小格的顶点叫做格点。小华按下列要求作图：①在正方形网格的三条不同的实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线上；②连结三个格点，使之构成直角三角形。小华在左边的正方形网格中作出了Rt ⊿ABC 。请你按照同样的要求，在右边的两个正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。 三、网格与四边形 四、网格与圆 4.如图，方格纸上一圆经过（2 , 5）、（2 , -3）两点，且此两点为圆与方格纸横线的切点，则该圆圆心的坐标为（ ） A ．（2, -1）; B ．（2, 2）; C ．（2, 1）; D ．（3, 1） 五、网格与面积 5、在如图的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，点A 、B 是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点），在这个5×5的方格纸中，找出格点C 使△ABC 的面积为2个平方单位，则满足条件的格点C 的个数是（ ） A 、5 B 、4 C 、3 D 、2 六、网格与图案设计 6、在下面的网格图中按要求画出图形，并回答问题： ⑴ 先画出△ABC 向下平移5格后的△A 1B 1C 1，再画出△ABC 以点O 为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的△A 2B 2C 2； ⑵ 在与同学交流时，你打算如何描述⑴中所画的△A 2B 2C 2 的位置？
4号袋 3号袋 1 7、请你在下面3个网格（两相邻格点的距离均为1个单位长度）内，分别设计1个图案，要求:在⑴中所设计的图案是面积等于3的轴对称图形；在⑵中所设计的图案是面积等于23的中心对称图形；在⑶中所设计的图案既是轴对称图形又是中心对称图形，并且面积等于33．将你设计的图案用铅笔涂黑． 七、网格与函数： 8、我们都知道在中国象棋中，马走日，象走田，如图，假设一匹马经过A 、B 两点走到点C 。请问点A 、B 在不在马的起始位置所在的点与点C 所确定的直线上？请说明你的理由。 练习： 1、图3是一个经过改造的台球桌面的示意图， 图中四个角上的阴影部分分别表示四个入球 孔.如果一个球按图中所示的方向被击出（球可以经过多次反射），那么该球最后将落入的球袋是 （ ） A ．1 号袋 B ．2 号袋 C ．3 号袋 D ．4 号袋 2、如图，已知图中每个小 方格的边长为1，则点C 到AB 所在直线的距离等于 。 3、一只蚂蚁在如图所示的图案内任意爬动一段时间后停下，蚂蚁停在阴影内的概率为 。 4、如图:球台上有两个小球P 和Q ，若击打小球P 经过球台的边AB 反弹后，恰好击中小球Q ，则小球P 击出时，应瞄准AB 边上的点（ ） A ．O 1 B.O 2 C.O 3 D.O 4
1 网格中的锐角三角函数 网格是同学们从小就熟悉的图形，在网格中隐含的条件有：1.直角；2.单位长度。所以在网格中可以求一个锐角的三角函数，是近几年中考的热点，下面举例说明。 一、在网格中与勾股定理现结合求一个锐角的三角函数。 【例1】 三角形在正方形网格纸中的位如图1，则sin α的值是( ). [解析] 本题在网格中考查锐角的正弦的意义，首先要用勾股定理计算直角三角形斜边的长．一般情况下，为了减小计算量，把小正方形的边长设为1．选C ． 练习1（广州市2014）如图2，在边长为1的小正方形组成的网格中，的三个顶点均在格点上， 则 （ ）． （A ） （B ） （C ） （D ） 练习2 （2014年福州）如图3，在边长为1个单位长度的小正方形所组成的网格中，△ABC 的顶点均在格点上， 34 45 4 3 B . ； C . 3 5 ；D . A. 35 图 3 图2
2 sinB 的值是 . 3.（2011四川）如图4，在4×4的正方形网格中， tanα= . A ．1 B ．2 C ．1 2 D 4.（2011甘肃兰州）如图5，A 、B 、C 三点在正方形网格线的交点处，若将△ACB 绕着点A 逆时针旋转得到△AC’B’，则tanB’的值为 . A ．12 B ．13 C ．14 D 3. （2011江苏连云港）如图6，△ABC 的顶点都在方格纸的格点上，则sin A =_______. 在网格中求一个锐角的三角函数时，根据图中角的位置。充分利用网格中的直角和边，然后根据勾股定理求出相应的边长，最后利用三角函数公式进行计算，达到解决问题的目的。 二、在网格中与辅助线相结合求一个锐角的三角函数。 【例2】 （2014?贺州）如图7-1网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ． [解析] 虽然网格中隐含直角，但是∠A 是△ABC 中 图7-1 图7-2 图4 图6 图5
广州有道资料网https://www.doczj.com/doc/0717883209.html, ANSYS中简化模型和划分网格的方法 本文介绍了ANSYS中简化模型和划分网格的相关方法。 使在建立仿真模型时，经验是非常有助于用户决定哪些部件应该考虑因而必须建立在模型中，哪些部件不应该考虑因而不需建立到模型中，这就是所谓的模型简化。此外，网格划分也是影响分析精度的另外一个因素。本文将集中讨论如何简化模型以获得有效的仿真模型以及网格划分需要注意的一些问题。 理想情况下，用户都希望建立尽可能详细的仿真模型，而让仿真软件自己来决定哪些是主要的物理现象。然而，由于有限的计算机资源或算法限制，用户应该简化电磁仿真的模型。 模型简化 模型简化主要取决于结果参数及结构的电尺寸。例如，如果用户希望分析安装在某电大尺寸载体上的天线的远场方向图，那么模型上距离源区超过一个波长的一些小特征和孔径(最大尺度小于/50)就可以不考虑。另一方面，如果用户希望分析从源到用带有小孔的屏蔽面屏蔽的导线之间的耦合，那么必须对小孔、靠近源的屏蔽面以及导线进行精确建模。另外一个常用的简化是用无限薄的面来模拟有限厚度的导体面。一般而言，厚度小于/100的金属面都可以近似为无限薄的金属面。有限导电性和有限厚度的影响可以在SK卡中设置。对于比较厚的导体面，如果这种影响是次要的，那么用户仍然可以采取这种近似。例如，当建立大反射面天线的馈源喇叭模型时，喇叭壁的有限厚度对于反射面天线主波束的影响就是次要的。然而，如果喇叭天线用于校准标准时，那么喇叭壁的有限厚度就不能忽略。 网格划分 一般而言，网格划分的密度设置为最短波长的十分之一。然而，在电流或电荷梯度变化剧烈的区域，如源所在区域、曲面上的缝隙和曲面的棱边等，必须划分得更密。一个实用的指导原则是网格大小应该与结构间的间隔距离(d)相比拟(%26lt;=2d)。同样地，如果需要计算近场分布，那么网格大小应该同场点到源点间距离(d)相比拟。 总之，用户建立的几何模型应该抓住主要的物理现象，而网格划分则需要权衡输出结果相对于网格大小的收敛性。 广州有道资料网https://www.doczj.com/doc/0717883209.html,
最简单的情形，多边形网格不过是一个多边形列表；三角网格就是全部由三角形组成的多边形网格。多边形和三角网格在图形学和建模中广泛使用，用来模拟复杂物体的表面，如建筑、车辆、人体，当然还有茶壶等。图14.1给出一些例子： 当然，任意多边形网格都能转换成三角网格，三角网格以其简单性而吸引人，相对于一般多边形网格，许多操作对三角网格更容易。 表示网格 三角网格为一个三角形列表，所以最直接的表示方法是用三角形数组： Listing 14.1: A trivial representation of a triangle mesh struct Triangle { Vector3 p[3]; }; struct TriangleMesh { int triCount; Triangle *triList; }; 对于某些应用程序，这种表示方法已经足够。然而，术语"网格"隐含的相邻三角形的连通性却未在这种简单表示中有任何体现。实际应用中出现的三角网格，每个三角形都和其他三角形共享边。于是，三角网格需要存储三类信息： （1）顶点。每个三角形都有三个顶点，各顶点都有可能和其他三角形共享。
（2）边。连接两个顶点的边，每个三角形有三条边。 （3）面。每个三角形对应一个面，我们可以用顶点或边列表表示面。 索引三角网格 在索引三角网格中，我们维护了两个列表：顶点表与三角形表。 每个顶点包含一个3D位置，也可能有如纹理映射坐标、表面法向量、光照值等附加数据。 每个三角形由顶点列表的三个索引组成。通常，顶点列出的顺序是非常重要的，因为我们必须考虑面的"正面"和"反面"。从前面看时，我们将用顺时针方向列出顶点。另外一些信息也存在这一级中，如预先计算的表面法向量，表面属性（纹理映射）等。 程序清单14.2给出了一段高度简化的代码： Listing 14.2: Indexed triangle mesh // struct Vertex is the information we store at the vertex level struct Vertex { // 3D position of the vertex Vector3 p; // Other information could include texture mapping coordinates, // a surface normal, lighting values, etc. } // struct Triangle is the information we store at the triangle level struct Triangle { // Indices into the vertex list int vertex[3]; // Other information could include a normal, material information , etc. } // struct TriangleMesh stores an indexed triangle mesh struct TriangleMesh {
基于变分网格的曲面简化高效算法? 金勇, 吴庆标+, 刘利刚 (浙江大学数学系,浙江杭州 310027) An Efficient Method for Surface Simplification Based On Variational Shape Approximation* JIN Yong, WU Qing-biao+, LIU Li-gang (Department of Mathematics, Zhejiang University, Hangzhou 310027, China) + Corresponding author: E-mail:qbwu@https://www.doczj.com/doc/0717883209.html, Abstract:Providing fast and accurate simplification method for large polygon mesh is one of the most important research focuses in computer graphics. Approximating mesh model with a few polygons can improve the rendering speed, and reduce the storage of the model. The paper presents a local greedy algorithm to minimize the energy defined by variational shape approximation. The algorithm simplifies the mesh by controlling the number of the target polygons, while attempting to get ideal effect by adaptive seed triangles selection. The algorithm has intuitive geometric meaning. The method is efficient enough to be efficiently adopted in the geometric modeling system. Key words: Polygon mesh simplification; variational shape approximation; greedy algorithm; geometric modeling 摘要: 为大型的多边形网格模型提供快速、准确的简化算法是计算机图形学中的一个重要的研究方面.以较少的多边形逼近表示网格模型,能够提高模型的绘制速度,减小模型的存储空间.本文根据变分网格逼近表示所定义的全局误差能量,提出一种局部贪心优化算法,该算法通过控制目标网格分片数来简化网格,通过种子的自适应选取以达到理想的简化效果,具有直观的几何意义.本文方法计算量少,效率较高,能够有效应用于几何造型系统中. 关键词:多边形网格简化;变分网格逼近;贪心算法;几何造型 中图法分类号: TP391文献标识码: A 1 引言 三维多边形网格模型,包括三角形网格、四边形网格等,在计算机辅助几何设计、计算机动画、虚拟现实、计算机游戏和医学影像等领域有着大量的应用.随着三维扫描技术的发展,顶点数为数万的模型已经非常常见, ?Supported by the National Natural Science Foundation of China under Grant No.10871178, 60776799 (国家自然科学基金); Technology Department of Zhejiang Province Grant No. 2008C01048-3(浙江省重大科技创新项目) 作者简介: 金勇(1985－),男,上海人,博士研究生,主要研究领域为数字几何处理和计算机辅助几何设计;吴庆标(1963－),男, 浙江台州人,博士,教授,博士生导师,主要研究领域为图形与图像处理,数值计算方法,高性能并行计算和计算机模拟; 刘利刚(1975－),男,江西吉安人,博士,副教授,博士生导师,主要研究领域为数字几何处理,计算机辅助几何设计,计算机图形学和图像处理.
网格型问题 一、选择题 1. （2011?台湾20，4分）如图为一张方格纸，纸上有一灰色三角形，其顶点均位于某两网 格线的交点上，若灰色三角形面积为421 平方公分，则此方格纸的面积为多少平方公分 （ ） A 、11 B 、12 C 、13 D 、14 考点：一元二次方程的应用。 专题：网格型。 分析：可设方格纸的边长是x ，灰色三角形的面积等于方格纸的面积减去周围三个直角三角形的面积，列出方程可求解． 解答：解：方格纸的边长是x ，21 x2﹣21?x?21x ﹣21?21x?43x ﹣21?x?41x=421 x2=12． 所以方格纸的面积是12， 故选B ． 点评：本题考查识图能力，关键看到灰色三角形的面积等于正方形方格纸的面积减去周围三个三角形的面积得解． 2. （2011湖北潜江，7，3分）如图，在6×6的方格纸中，每个小方格都是边长为1的正方形，其中A 、B 、C 为格点．作△ABC 的外接圆⊙O，则弧AC 的长等于（ ）
A ．π43 B ．π45 C ．π23 D ．π25 考点：弧长的计算；勾股定理；勾股定理的逆定理；圆周角定理。 专题：网格型。 分析：求弧AC 的长，关键是求弧所对的圆心角，弧所在圆的半径，连接OC ，由图形可知OA ⊥OC，即∠AOC＝90°，由勾股定理求OA ，利用弧长公式求解． 解答：解：连接OC ，由图形可知OA⊥OC， 即∠AOC＝90°， 由勾股定理，得OA ＝2 212+＝5， ∴弧AC 的长＝180590??π＝25π． 故选D ． 点评：本题考查了弧长公式的运用．关键是熟悉公式：扇形的弧长＝180r n ??π． 3. （2011?西宁）如图，△DEF 经过怎样的平移得到△ABC（ ） A 、把△DEF 向左平移4个单位，再向下平移2个单位 B 、把△DEF 向右平移4个 单位，再向下平移2个单位 C 、把△DEF 向右平移4个单位，再向上平移2个单位 D 、把△DEF 向左平移4个 单位，再向上平移2个单位 考点：平移的性质。 专题：常规题型。 分析：根据网格图形的特点，结合图形找出对应点的平移变换规律，然后即可选择答案． 解答：解：根据图形，△DEF 向左平移4个单位，向下平移2个单位，即可得到△ABC．
网 格 问 题 1. 已知图1和图2中的每个小正方形的边长都是1个单位. （1）将图1中的格点△ABC ，先向右平移3个单位，再向上平移2个单位，得到△A 1B 1C 1，请你在图1中画出△A 1B 1C 1. （2）在图2中画出一个与格点△DEF 相似但相似比不等于1的格点三角形. 2. 如图，方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形，我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形”．如图（一）中四边形ABCD 就是一个“格点四边形”． （1）求图（一）中四边形ABCD 的面积； （2）在图（二）方格纸中画一个格点三角形EFG ，使△EFG 的面积等于四边形ABCD 的面积且为轴对称图形． D C B A 图（一） 图（二） 3. 如图，在55 的正方形网格中，每个小正 方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画 出图形． （1）从点A 出发的一条线段AB ，使它的另一 个端点落在格点（即小正方形的顶点）上， 且长度为22； （2）以（1）中的AB 为边的一个等腰三角形 ABC ，使点C 在格点上，且另两边的长 都是无理数； （3）以（1）中的AB 为边的两个凸多边形，使 它们都是中心对称图形且不全等，其顶点都 在格点上，各边长都是无理数． 图2 F E A B C 图1 （第3题图）
4. 下面的方格纸中，画出了一个“小猪”的图案，已知每个小正方形的边长为1． （1）“小猪”所占的面积为多少？ （2）在上面的方格纸中作出“小猪”关于直线DE 对称的图案（只画图，不写作法）； （3）以G 为原点，GE 所在直线为x 轴，GB 所在直线为y 轴，小正方形的边长为单位长度建立直角坐标系，可得点A 的坐标是（_______，_______）． 5. 图(1)是一个10×10格点正方形组成的网格. △ABC 是格点三角形(顶点在网格交点处), 请你完成下面两个问题: (1) 在图(1)中画出与△ABC 相似的格点△A 1B 1C 1和△A 2B 2C 2, 且△A 1B 1C 1与△ABC 的相似比是2, △A 2B 2C 2与△ABC 的相似比是2 2. (2) 在图(2)中用与△ABC 、△A 1B 1C 1、△A 2B 2C 2全等的格点三角形(每个三角形至少使用一次), 拼出一个你熟悉的图案,并为你设计的图案配一句贴切的解说词 . 【解说词】 6. 如图，有一条小船， （1） 若把小船平移，使点A 平移到点B ，请你在图中画出平移后的小船；（5分） （2） 若该小船先从点A 航行到达岸边L 的点P 处补给后，再航行到点B ，但要求航 程最短， E C D G B F A
三种经典网格细分算法的研究与分析 摘要:曲面造型方法由于其局部性好、计算量小、算法简中、响应速度高等优点. 已经广泛应用于计算机图形学、CAGD、计算机动画以及虚拟现实领域。网格细分是一种离散造型方法.可以从数字化仪等设备直接获得数据。介绍了近年来提出的 一些细分算法.对其中几种比较经典的算法进行了简中的分类和比较，论述了各自 的适用范围。 关键词:细分逼近插值 中图法分类号:TP391 文献标识码:A 0 引言 细分思想的产生可以追溯到二十世纪40年代末50年代初，当时G. de Rham 使用“砍角算法”描述光滑曲线的生成。细分曲线中常用的许多算法均是砍角算法。1974年，Chaikin在研究曲线的快速绘制时把离散细分的概念引入到图形学 界:1978年Catmnll和Clark[1]以及Doo和Sabin[2]分别发表了一篇在图形学领域具有里程碑意义的论文，也就是图形学界推崇的Catmul- Clark算法和Doo -Sabin算法，标志着网格细分方法研究的真正开始:1987年，Loop在他的硕士论文中提出 了Loop[3]细分策略，细分造型方法的实质是通过对初始控制点或者初始网格进行一系列的细化过程，细化的极限生成所需要的曲线或者曲面。细分造型方法与传 统样条、代数方法、变分造型等方法相比，在执行效率、任意拓扑结构、细分曲 面特征以及复杂几何形状等方面都有其独特的优势。 1 网格细分算法的分类及比较 1.1 概念与术语定义1 对于四边形网格M中的任一顶点v，如果v为内部顶 点且价不等于4或v为边界顶点且价不等于3 或2，则称v为奇异顶点。非奇异 顶点称为正则顶点。 定义2 权图(Masks)表示旧控制点计算新控制点规则的映射，其中新控制点在 映射中用黑点表示，在每个旧控制点旁边的数字代表细分系数。 定义3 奇点(Odd Vertices)是在每一级细分中，按照某种细分规则所有新生成 的点.在三角网格中，奇点也就是边点，实际上是将每条边的中点作为一个新点重 新计算新的位置所得到的点. 定义4 偶点是在每一级细分中，所有从上一级控制点继承得到的点. 定义5 某顶点的价(Valence)是指与该顶点通过公共边相连的顶点个数. 定义6 在一个网格中，如果的一条边只属于一个面，称这条边为边界边(boundary edge):如果一个顶点属于边界边则称此顶点为边界顶点(或边界点，boundary vertex):至少包含一个边界顶点的面称为边界面(boundary face)。非边界 的边、顶点和面分别称为内部边(internal edge)、内部顶点(internal vertex)和内部 面(internal face) 1.2 细分算法的分类一般情况卜，对几何网格细分算法的分类包括以下四个标 准:①生成网格的类型(三角网格和四角网格)；②细分规则的类型(面分裂和点分裂)；③算法是逼近型还是插值型；④规则曲面的极限曲面光滑性(C1，C2等)。 在现有的典型细分算法中，面分裂的细分方法，实际上就是一种1- 4的细分 策略，对于三角网格，在每一次细分过程中，保留每个三角网格中所有旧控制点 的同时，在网格的每条边上插入新点并两两相连，然后与旧控制点一起得到四个 新的三角网格；对于四角网格，除了在网格的每条边上插入新点外，还需要在网 格中间另外插入一个新点并与另外四条边上的新点相连，从而得到四个新的四角
网格中的三角形 河北张家口市第十九中学 贺峰 随着新课程的实施，在近几年的中考试卷中出现了许多新颖的网格型试题，这类试题具有很强的直观性、可操作性、开放性及综合性等特点，不仅能够考查学生的数学知识，体现分类、数形结合等重要的数学思想，同时也考查和培养学生的识图、归纳、动手操作、自主探究等多种能力，有利于培养学生的探究意识和创新精神。现以近几年中考试题中出现的“网格中的三角形”为例，为同学们加以归类分析： 一、网格中的“等面积三角形” 例1 已知在正方形网格中，每个小方格都是边长为1的正方形，A 、B 两点在小方格的顶点上，位置如图1所示，点C 也在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1，则点C 的个数为（ ） （A ）3个 （B ）4个 （C ）5个 （D ）6个 析解：此题以网格为载体来考查同学们等面积三角形的构成，体现分类讨论思想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形面积为1， 即保证△ABC 的底为2，高为1，因此须分类讨论的思想方法，即按AC ＝2时、BC ＝2时进行分类求解。答案如图2所示： 说明：此题也可通过对图形对称变换进行求解，即确定第（1）、（3）、（5）三种情况，分别以AB 所在的直线为对称轴将△ABC 翻折，使点C 落在格点上即可求解。 即可求解。 二、网格中的“等腰三角形” 例2如图3所示，A 、B 是4×5网络中的格点，网格中的每个小正方形的边长为1，请在图中清晰标出使以A 、B 、C 为顶点的三角形是等腰三角形的 所有格点C 的位置． 析解：此题以网格为载体来考查同学们等腰三角形的构成，体现分类讨论思 想，若使点C 在小方格的顶点上，且以A 、B 、C 为顶点的三角形为等腰三角形，即保证△ABC 中AB ＝AC 或AB ＝BC 或AC ＝AB ，即分别以AC 、AB 、BC 为腰时进行分类求解。答案如图4所示： 说明：此题也可通过对图形旋转变换进行求解，即以AB 为腰，分别以点A 、点B 为旋转中心，将线段AB 进行旋转，使点B 、点A 落在格点上即可求解。 三、网格中的“直角三角形” 例3如图5，正方形网格中，小格的顶点叫做格点，小华按下列要求作图： ①在正方形网格的三条不同实线上各取一个格点，使其中任意两点不在同一条实线 上；②连结三个格点，使之构成直角三角形， 小华在左边的正方形网格中作出了Rt △ABC ，请你按照同样的要求，在右边的两个 正方形网格中各画出一个直角三角形，并使三个网格中的直角三角形互不全等。 析解：此题开放性很强， 给学生广阔的思维空 图1 A 图3 图 4 A B C 图5 图6 C C C C C C （1） （2） （3） （5） （6） 图2
中考“网格”中的相似三角形问题 所谓网格中的形似三角形就是在正方形的网格中寻找三角形相似的问题.这类问题是近年来全国各地中考的一个热点和亮点，试题的特点主要是以用勾股定理等知识计算三角形的边长，再加上正方形的对角线形成的特殊角，要求能从正方形网格中挖掘出条件，灵活运用相似三角形的性质与判定解决问题.目的是要考查同学们的观察、猜想、探究问题的能力，为了帮助同学们掌握这一知识点，现以中考试题为例说明如下： 例1 如图1，小正方形的边长均为1，则下图中的三角形(阴影部分)与△ABC 相似的为（ ） 分析 先利用勾股定理求出△ABC 、2 ，再分别求出选择支中三角形的三边的长，然后分别求出对应边长的比. 解 由于正方形边长均为1，在△ABC 中，AC ＝2，BC ＝2，AB ＝10；图A 中三 角形三边长为1 22，而与△ABC ，2 显然 它们不相等；图B 中三角形三边长为1，2 ABC ＝ 2 ， 2 2 ，故对应边的比相等；同样的道理可以得出在图C 和图D 中的两个三角 形三边分别与△ABC 三边的比不相等.故选B . 例 2 如图2，若A 、B 、C 、D 、E 、F 、G 、H 、O 都是5×7方格纸中的格点，为使△DME ∽△ABC ，则点M 应是F 、G 、H 、O 四点中的（ ） A.F B.G C.H D.O 分析 若△DME ∽△ABC ，△ABC 又是一个等腰直角三角形，故△DME 也应是等腰直角三角形，这样观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系即可求解. 解 因为△ABC 是一个等腰直角三角形，所以要使△DME ∽△ABC ，△DME 也必须是一个等腰直角三角形， 所以观察图中F 、G 、H 、O 四点与D 、E 两点的位置关系只有点H 能与D 、E 两点构成等腰直角三角形.故应选C . 图4 图2 图1 图3
龙源期刊网 https://www.doczj.com/doc/0717883209.html, 网格线中的三角函数问题 作者：周宏伟 来源：《初中生世界·九年级》2016年第12期 在我们常见的网格线中，有很多三角函数求值问题，题中蕴含着很多思想方法，为便于大家复习，现归纳如下，供大家在学习过程中参考. 一、补形的策略 例1 （2015·山西）如图1，在网格中，小正方形的边长均为1，点A、B、C都在格点上，则∠ABC的正切值是（）. A.2 B.[255] C.[55] D.[12] 【方法探究】如何把∠ABC放在某个直角三角形中是解决本题的关键，仔细观察可以发现：AB在小正方形的对角线上，能联想到45°角，只要连接AC即可构造出直角，然后在直角三角形中运用三角函数的定义求解. 【过程展示】如图2，连接AC，则∠CAB=90°，在Rt△ABC中， tan∠ABC=[ACAB]=[12].故选D. 例2 （2016·福建福州）如图3，6个形状、大小完全相同的菱形组成网格，菱形的顶点称为格点.已知菱形的一个角（∠O）为60°，A、B、C都在格点上，则tan∠ABC的值是 . 【方法探究】观察网格的特点，首先考虑如何将∠ABC放到一个直角三角形中，这是解 决问题的关键. 【过程展示】如图4，连接DA，DC，则点B、C、D在同一直线上，设菱形的边长为a，由题意得∠ADF=30°，∠BDF=60°，∴∠ADB=90°， AD=[3a]，DB=2a，tan∠ABC=[ADBD]=[3a2a]=[32]，故答案为[32]. 二、转化的思想 例3 （2012·江苏泰州）如图5，在由边长相同的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D 都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，则tan∠APD的值为 . 【方法探究】直接求∠APD的正切值比较困难，可以考虑利用线段的平移对∠APD进行转化，找出它的“替身”，然后进行求解，以达到化难为易的目的.
网格中的锐角三角函数 网格是学生从小就熟悉的图形，在网格中研究格点图形，因为网格中隐含着直角和单位长度，所以具有很强的可操作性．现在新课程标准对学生在数学思考能力和解决问题能力等方面越来越重视。而格点问题主要考查学生的直觉推理能力和问题探究能力。并且格点问题操作性强、趣味性浓，体现了新课标的“在玩中学，在学中思，在思中得”的崭新理念。因此格点问题可以通过考试促进教师在教学过程中贯彻新课标的理念。 一、在网格中表示坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的．【例1】已知△ABC 在直角坐标系中的位置如图所示，如果△A'B'C' 与△ABC 关于y轴对称，那么点A的对应点A'的坐标为（）．A．(－4，2) B、(－4，－2) C．(4，－2) D．(4，2) ． [解析] 根据轴对称的性质，y轴垂直 平分线段AA'，因此点A与点A'的横 坐标互为相反数，纵坐标相等．点A(－ 4，2) ，因此A'(4，2)．选D． 练习1.（2014?湘潭）在边长为1的小 正方形网格中，△AOB的顶点均在格 点上， （1）B点关于y轴的对称点坐标 为； （2）将△AOB向左平移3个单位长
度得到△A 1O 1B 1，请画出△A 1O 1B 1； （3）在（2）的条件下，A 1的坐标为 ． 一、在网格中运用勾股定理进行计算． 【例1】如图1是由边长为1m 的正方形地砖铺设的地面示意图，小明沿图中所示的折线从A →B →C 所走的路程为_______m ．（结果保留根号） [解析] 推导两点间的距离公式是以勾股定理为基础的，网格中两个格点间的距 离当然离不开构造直角三角形，可以看到，AB 、BC 分别是直角边为1、2的两个直角三角形的斜边，容易计算 AB+BC=二、在网格中求一个锐角的三角函数。 【例2】（2014?贺州）网格中的每个小正方形的边长都是1，△ABC 每个顶点都在网格的交点处，则sinA= ． [解析] ∠A 是△ABC 中的一个锐角，而△ABC 不是直角三角形，不能直接运用三角函数公式进行计算， 必须先构造直角三角形，使∠A 在一个直角三角形中，然后求出所对应的斜边和对边，而后解决问题。 图3-1 图3-2 A 图1
ICEM 二维三角形结构化网格(Y-Block) 1 三角形结构 ①构建如图1.1a所示的三角形结构(蓝)、建立如图1.1b所示的辅助线和点(红)； Fig. 1.1a Generate the triangle Fig. 1.1b Create the auxiliary curves and points ②创建2D planar block，如图1.2； Fig. 1.2 Create the 2D Planar Block
③分割块(O-Grid)：选择block，选择两条edge(11-13和13-21)，如图1.3a，分割结果如图1.3b (a) (b) Fig. 1.3 Split the block ④映射关联点：模型树中选择Geometry →Points →Show Point Names；Blocking →Vertices →Numbers。如图1.4a；注意：vertex number和point name 随个人作图顺序不一样。 作映射： Vertex 34 →Point 08; Vertex 19 →Point 03; Vertex 21 →Point 00; Vertex 35 →Point 04; Vertex 13 →Point 02; Vertex 33 →Point 05; Vertex 11 →Point 01;
映射结果见图1.4b； (a) Show Point Names and Vertices Numbers (b) Fig. 1.4 Associate Vertex ⑤构建网格，及检查质量，如图1.5 Fig. 1.5 Meshing
利用网格线巧求锐角三角函数 在解题中经常碰到求网格线中锐角三角函数的问题，我们知道借助于网格线可以构造直角三角形，利用勾股定理求出任意两个格点的长度，也可以利用对角线的特征构造垂直线、平行线。那么如何利用网格线求锐角三角函数值呢？ 一、构造直角三角形 锐角三角函数反映了直角三角形中锐角和边与边的比值之间的对应关系，所以要求三角函数值，必须将这个角放到直角三角形中。 （2015?山西）如图，在网格中，小正方形的边长均为1，点A，B，C都在格点上，求∠ABC的正切值。 分析：∠ABC不在直角三角形中，无法根据对边和邻边的比值来求它的正切值，借助网格线，连接A、C，就可以构造直角三角形求出正切。 解：如图：连接A、C 由勾股定理得 AC=，AB=2，BC=， ∴AC2+AB2=BC2 ∴∠CAB=90° ∴tan∠B= = 二、转化角 如图，在边长为1的小正方形组成的网格中，点A、B、C、D都在这些小正方形的顶点上，AB、CD相交于点P，求tan∠APD的值。 分析：P点不在网格线的格点上，无法发挥网格线的作用，可以将∠APD转化为一个顶点在格点上的角，如何转化，利用网格线构造平行，从而得到相等的角。
解：如图，连接BE，AE。 ∵DE∥BC DE=BC ∴四边形DEBC是平行四边形∴DC∥BE ∴∠ABE=∠APD 由勾股定理得 BE=，AE=2，AB= ∵AB2=BE2+AE2 ∴∠AEB=90° ∴tan∠APD= tan∠ABE=AE BE =2． 三、面积法 （2015?南京二模）如图，方格纸中有三个格点A、B、C，求sin∠ABC的值。 分析：∠ABC不在直角三角形中，通过连接对角线又不能得到直角，只有过点A作垂直，抓住面积，求出垂线段的长。 解：如图过点A作AD⊥BC于点D，连接AC， ∵S△ABC=20﹣×2×5﹣×2×4﹣×1×4=9， ∴S△ABC =×BC×AD=9， ∴×2AD=9， 解得：AD=， ∴sin∠ABC= ==． 四、勾股定理法 E
第9卷 第5期 1997年9月计算机辅助设计与图形学学报J.CAD &CG V o l .9,N o.5Sep.,1997 任意曲面的三角形网格划分 陈永府 张 华 陈 兴 李德群 (华中理工大学塑性模拟及模具技术国家重点实验室 武汉 430074) 摘要 把曲面分为可展曲面和不可展曲面,对可展曲面用曲面展开算法展成平面,对不可展曲面用曲面分割算法转化成平面片,在平面上运用D elaunay 三角划分法进行网格划分,然后把网格节点反映射到曲面上,从而实现任意曲面的三角形网格划分。 关键词 D elaunay 三角划分,可展曲面,不可展曲面,曲面展开算法,曲面分割算法。 1996201203收稿,1996211222收到修改稿。本文得到“八五”重点攻关项目“注塑成形的计算机仿真与交互计算”资助。陈永府,1972年生,硕士研究生,研究方向为注塑模CA E 的前处理。张 华,博士研究生,研究方向为注塑模CA E 。陈 兴,副教授,研究方向为注塑模CAD 。李德群,博士生导师,研究方向为模具CAD 、CA E 、CAM 。 1 引 言 网格划分是计算机图形学研究的重要内容。目前,有很多种网格划分算法,如拓扑分解法、节点连接法、映射单元法、基于栅格法等。这些算法在二维网格划分上各有千秋,但对三维任意曲面的网格划分,成功的例子却很少。俄国数学家D elaunay 在1934年就证明了:对于任意给定的平面点集,有且仅有一种三解剖分方法能够满足“最大2最小角”优化准则,即所有三角形的最小内角之和最大。Sib son [1]证明了平面任意给定点集的D elauay 三角划分具有整体最优化的性质,这就是说,对于任意给定的平面点集,D elaunay 三角划分能够得到整体最优的三角形网格,能尽可能地避免病态三角形的出现。所以,D elaunay 三角划分在许多应用领域,尤其是在实体几何造型和有限元网格自动生成等研究领域,受到广泛的重视。但是传统的D elaunay 三角划分不能对三维任意曲面进行网格划分,为了解决这个问题,本文把曲面分为可展曲面和不可展曲面,分别对可展曲面采用曲面展开算法,对不可展曲面采用曲面分割算法;将曲面转化为平面,然后在平面上利用D elaunay 三角划分的优化性质进行网格划分,再将网格节点反映射到曲面上(限于篇幅,本文略去网格节点反映射到曲面上的算法),从而实现任意曲面的三角形网格划分。 2 平面任意多边形域的D elaunay 三角划分 L aw son [2]根据“最大2最小角”优化准则,通过“对角线交换”法则实现了二维给定点 集的D elaunay 三角划分。W atson [3]首次提出 “插入多边形”,并在此基础上,利用“外接__________________________________________________________https://www.doczj.com/doc/0717883209.html,
一、网格题型在中考数学中的10大考点梳理 网格问题，近年来在一些省市的中考试卷中频频出现，这类问题虽然出现在小网格中，却隐藏着大智慧，从中可以开发智力，发展思维．笔者以中考试题为例，说明小网格中的大智慧． 一、正方形网格 （一）全网格形 全网格形是指有完整的网格的题型． 1．网格中求坐标 例1：如图1，在一单位为1的方格纸上，△A1A2A3，△A3A4A5，△A5A6A7，…都是斜边在x轴上、斜边长分别为2，4，6，…的等腰直角三角形．若△A1A2A3的顶点坐标分别为A t(2，0)，A2（1，－1），A3(0，0)，则依图中所示规律，A2012的坐标为________． 分析：由于2012是4的倍数，故A1~A4；A5～A8；…每4个为一组，可见，A2012在x轴上方，横坐标为2，再根据纵坐标变化找到规律即求得纵坐标为1006．答案：(2，1006)
2．网格与等腰三角形 例2：如图2所示的正方形网格中，网格线的交点称为格点°已知A、B是两格点，如果C 也是图中的格点，且使得△ABC为等腰三角形，则点G的个数是() (A)6(B)7(C)8(D)9 分析：有两种情况： ①AB为等腰△ABC底边，C在A B的中垂线上，因此，符合条件的C点有4个； ②AB为等腰ABC其中的一条腰，符合条件的C点有4个，应选C．本题考查了等腰三角形的判定，解答本题关键是根据题意，画出符合实际条件的图形． 3．网格与直角三角形 例3：如图3，在网格中有一个直角三角形（网格中的每个小正方形的边长均为1个单位长度）．若以该三角形一边为公共边画一个新三角形与原来的直角三角形一起组成一个等腰三角形，要求新三角形与原来的直角三角形除了有一条公共边外，没有其它的公共点，新三角形的顶点不一定在格点上．那么符合要求的新三角形有() (A)4个(B)6个(C)7个(D)9个 分析：根据题意可知：如图4，以原三角形AB边为公共边的三角形有4个，分别如图上D1，D2，D3，D4；以原三角形BC边为公共边的三角形有2个，分别如图上D5，D6；以原三角形AC边为公共边的三角形只有1个，如图上D．符合要求新三角形有7个，选C
第16卷第3期山 东 矿 业 学 院 学 报Vol.16№3 1997年9月JOU RNAL OF SHANDONG MINING INSTITUTE Sep.1996 有限元平面三角形网格的优化 张均锋 刘桂斋 陈 刚 (山东矿业学院) (武汉大学) 摘 要 本文对有限元平面三角形网格优化的基础上,系统地提出了“结构优化”的概念,并对以往的网格光顺算法做了改进,提出了一种将结构优化和位置优化相结合的网格优化方法,弥补了以往的优化方法中对结构优化的忽视,使网格优化更加完善。 关键词 有限元;网格优化;结构优化;位置优化 分类号 O242.21 在利用电子计算机进行有限元分析过程中,可充分利用其容量大、速度快的特点,自动生成后序计算所需要的网格节点信息,而由于给定区域边界的不规则,一般来说这样生成的网格会有畸形(即瘦长或扁平形状),因此对生成的网格需作进一步的调整,使之尽量均匀化,即通常所称的网格优化。在实践中,不管用哪种方法产生的初始网格,都可通过优化程序使网格形状得到进一步改善,而随着网格规模的扩大,优化在网格生成的全过程中所占的时间比已从原来的50%上升到大于98%〔1〕,可见这一步工作的重要程度。 平面三角形网格优化的目标是使网格在总体上接近等边三角形网格,而这又主要进行两种性质的优化:“结构优化”和“位置优化”。前者调整网的拓扑结构,后者调整内部节点的位置。 网格的形状同它的结构有着密切的关系。在讨论网格结构时,首先引进节点的“度”的概念。在图论中,一个无向图中节点的度是共享该节点的边的数目。在本文中重新定义节点的度为共享该节点的单元数目。对于共享同一内部节点的正三角形单元来说,该节点的度为6,也就是说三角形网格内部节点的理想度为6。为了使输出三角形网格中不包含钝角单元,因此限定节点的度≥5,又根据文献〔2〕的经验,三角形网格内部节点的度应该≤8。用δ表示三角形网格内部节点的度,那么5≤δ≤8是较为合适的。 1 结构优化 按照节点的度的不同,分别讨论各种结构的单元节点(包括边界点和内部节点): (1)度为1的节点 度为1的节点是边界节点,包含该节点的单元有两条边在边界上。设 收稿日期:1996—10—23 张均峰:男,1970年生,讲师,中科院力学研究所,博士学位研究生。