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角的概念综合练习题

1、设集合M={θ|θ为小于90°的角}，N={θ|θ为第一象限的角}，则M∩N 等于( )

A．{θ|θ为锐角} B．{θ|θ为小于90°的角}

C．{θ|θ为第一象限角} D．以上均不对

2、下列各命题正确的是( )

A．终边相同的角一定相等 B．第一象限角都是锐角

C．锐角都是第一象限角 D．小于90°的角都是锐角

3、下列命题中，正确的是（）

A．终边相同的角一定相等 B．锐角都是第一象限角

C．第一象限的角都是锐角 D．小于90°的角都是锐角

4、给出下列四个命题：（1）小于90°的角是锐角；（2）钝角是第二象限角；（3）第一象限角一定是负角；（4）第二象限角必大于第一象限角。其中真命题的个数为（）

A．0 B．1 C．2 D．3

5、下列说法中，正确的是( )

A．第二象限的角是钝角

B．第二象限的角必大于第一象限的角

C．-150°是第二象限角

D．-252°16′、467°44′、1 187°44′是终边相同的角

6、下列命题中的真命题是( )

A．第一象限的角是锐角B．小于90°的角是第一象限角

C．第二象限的角比第一象限的角大D．相等的角一定是终边相同的角7、设A={θ|θ为锐角}，B={θ|θ为小于90°的角}，C={θ|θ为第一象限角}，D={θ|θ为小于90°的正角}，则( )

A．A=B B．B=C C．A=C D．A=D

8、判断下列命题是否正确，并说明理由．

①小于90°的角是锐角；②第一象限的角小于第二象限的角；

③终边相同的角一定相等；④相等的角终边一定相同；

⑤若α∈［90°,180°］，则α是第二象限角．

9、已知角α、β的终边相同，那么α-β的终边在（）

A．x轴的非负半轴上B．y轴的非负半轴上

C．x轴的非正半轴上D．y轴的非正半轴上

10、若α为锐角，则角α终边在第一象限，角180°－α终边在第象限，

角180°+α终边在第象限，角360°－α终边在第象限.

11、在0°～360°范围内与－950°12′角终边相同的角是（）

A ． 129°48′

B ．29°48′

C ．279°48′

D ． 209°48′

12、在0°～360°范围内，找出与下列各角终边相同的角，并指出它们是第几象限角：

（1）－54°18′；（2）395°8′；（3）－1190°30′．

13、已知α=1 690°，

（1）把α改写成β+k·360°（k∈Z ,0°≤β＜360°）的形式；

（2）求θ，使θ的终边与α相同，且-360°＜θ＜360°，并判断θ属于第

几象限．

14、在－720°到720°之间与－1050°角终边相同的角是__________．

15、将－885°化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°，k ∈Z ）的形式是（）

A ．－165°＋（－2）·360°

B ．195°＋（－3）·360°

C ．195°＋（－2）·360°

D ．165°＋（－3）·360°

16、与角-1 050°终边相同的最小正角是________．

17、与－460°终边相同的角可以表示成（）

A ．460°+k ·360°（k ∈Z ）

B ．100°+k ·360°（k ∈Z ）

C ．260°+k ·360°（k ∈Z ）

D ．－260°+k ·360°（k ∈Z ）

18、若－180°＜α＜－90°，则180°－α与α的终边

A ．关于x 轴对称

B ．关于y 轴对称

C ．关于原点对称

D ．以上都不对

19、若A ＝｛α｜α＝k ·360°，k ∈Z ｝；B ＝｛α｜α＝k ·180°，k ∈Z ｝；C ＝｛α｜α＝k ·90°，k ∈Z ｝，则下列关系中正确的是（）

A ．A ＝

B ＝C

B ．A ＝B

C C ．A B ＝C

D ．A B C

20、角α＝45°＋k ·180°，k ∈Z 的终边落在（）

A ．第一或第三象限

B ．第一或第二象限

C ．第二或第四象限

D ．第三或第四象限 21、已知α是第一象限角,试确定2α是第几象限角. 22、α是第一象限的角，2α是第几象限角？ 23、设α是第三象限角，试讨论3α所在的平面区域，并在直角坐标平面上把它们表示出来．

角平分线定理

角平分线定理角平分线的定义：从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的角平分线。 ■ 三角形的角平分线定义：三角形顶点到其内角的角平分线交对边的点连的一条线段，叫三角形的角平分线。【注】三角形的角平分线不是角的平分线，是线段。角的平分线是射线。 ■拓展：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三条边的距离相等！(即内心)。 ■定理1：在角平分线上的任意一点到这个角的两边距离相等。 ■逆定理：在一个角的内部（包括顶点），且到这个角的两边距离相等的点在这个角的角平分线上。 ■定理2：三角形一个角的平分线分对边所成的两条线段与这个角的两邻边对应成比例，如：在△ABC中，BD平分∠ABC，则AD：DC=AB：BC 提供四种证明方法：已知，如图，AM为△ABC的角平分线，求证AB／AC=MB／MC 已知和证明1图证明：方法1：（面积法） S△ABM=(1/2)·AB·AM·sin∠BAM, S△ACM=(1/2)·AC·AM·sin∠CAM, ∴S△ABM：S△ACM=AB:AC 又△ABM和△ACM是等高三角形，面积的比等于底的比，

证明2图即三角形ABM面积S：三角形ACM面积S=BM:CM ∴AB／AC=MB／MC 方法2（相似形）过C作CN‖AB交AM的延长线于N 则△ABM∽△NCM ∴AB/NC=BM/CM 又可证明∠CAN=∠ANC ∴AC=CN ∴AB／AC=MB／MC 证明3图方法3（相似形）过M作MN‖AB交AC于N 则△ABC∽△NMC, ∴AB/AC=MN/NC,AN/NC=BM/MC 又可证明∠CAM=∠AMN ∴AN=MN ∴AB/AC=AN/NC ∴AB／AC=MB／MC

(完整版)角的概念的推广教学设计

角的概念的推广一教学设计哈尔滨市交界职业高中杜银霞课题：角的概念推广（第一课时）教学目的： 1?掌握用旋转”定义角的概念，理解并掌握正角”负角”象限角”终边相同的角”的含义。 2. 掌握所有与a角终边相同的角（包括a角）的表示方法。 3?从射线绕着其端点旋转而形成角”的过程，培养学生用运动变化观点审视事物，从而深刻理解推广后的角的概念。教学重点：理解并掌握正角负角零角的定义，掌握终边相同的角的表示方法。教学难点：终边相同的角的表示。设计理念：本节主要介绍推广角的概念，引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念，终边相同的角的表示方法。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学方法可以选为讨论法，通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。通过具体问题，让学生从不同角度作答，理解终边相同的角的概念，并给以表示，从特殊到一般，归纳出终边相同的角的表示方法，达到突破难点之目的。教学过程：一、复习引入： 1. 回忆：初中是如何定义角的？从一个点出发引出的两条射线构成的几何图形。这种概念的优点是形象、直观、容易理解，角的范围是O°WaW 360°,但其仅从图形的形状来定义角，弊端在于狭隘” 2. 生活中很多实例会不在范围0°

必修4-任意角和弧度制-练习题整理

1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式）－150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置

角平分线的定义是什么

角平分线的定义是什么本文是关于角平分线的定义是什么，仅供参考，希望对您有所帮助，感谢阅读。角平分线的定义角平分线定义(Anglebisectordefinition)从一个角的顶点引出一条射线，把这个角分成两个完全相同的角，这条射线叫做这个角的角平分线(bisectorofangle)。三角形三条角平分线的交点叫做三角形的内心。三角形的内心到三边的距离相等，是该三角形内切圆的圆心。其它解释：角平分线是在角的型内及形上，到角两边距离相等的点的轨迹。角平分线的性质在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等。 (逆定理)在一个角的内部(包括顶点)且到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上。三角形的角平分线定义三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三条角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。角平分线的其它解释角平分线可以看作是到角两边距离相等的所有点的集合。三角形的一个角的平分线与这个角的对边相交，连结这个角的顶点和与对边交点的线段叫做三角形的角平分线(也叫三角形的内角平分线)。由定义可知，三角形的角平分线是一条线段。由于三角形有三个内角，所以三角形有三个角平分线。三角形的角平分线交点一定在三角形内部。角平分线的作法在角AOB中，画角平分线方法一：1.以点O为圆心，以任意长为半径画弧，两弧交角AOB两边于点M，

N。 2.分别以点M，N为圆心，以大于1/2MN的长度为半径画弧，两弧交于点p。 3.作射线Op。则射线Op为角AOB的角平分线。证明：连接pM,pN 在△pOM和△pON中 ∵OM=ON,pM=pN,pO=pO ∴△pOM≌△pON(SSS) ∴∠pOM=∠pON，即射线Op为角AOB的角平分线当然，角平分线的作法有很多种。下面再提供一种尺规作图的方法供参考。方法二：1.在两边OA、OB上分别截取OM、OC和ON、OD，且使得OM=ON，OC=OD; 2.连接CN与DM，他们相交于点p; 3.作射线Op。则射线Op为角AOB的角平分线。角平分线的举例求证：三角形内角平分线分对边所得的两条线段和这个角的两边对应成比例。如图，若AD是△ABC的角平分线，则 BD/DC=AB/AC 。证明：作CE∥AD交BA延长线于E。 ∵CE∥AD ∴△BDA∽△BCE ∴BA/BE=BD/BC ∴ BA/AE=BD/DC ∵CE∥AD ∴∠BAD=∠E,∠DAC=∠ACE ∵AD平分∠BAC ∴∠BAD=∠CAD ∴∠BAD=∠CAD=∠ACE=∠E 即∠ACE=∠E

任意角的概念与弧度制

任意角的概念与弧度制 1、角的概念的推广：角可以看作平面内一条射线绕端点从一个位置(始边)旋转到另一个位置(终边)形成的图形.规定按照逆时针方向旋转而成的角叫做正角；按照顺时针方向旋转而成的角叫做负角：射线没有旋转时称零角.任意角的概念与弧度制 1.角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所成的图形. 正角:按逆时针方向旋转所形成的角. 负角:按顺时针方向旋转所形成的角. 零角:如果一条射线没有做任何旋转,我们称它形成了一个零角. 要点诠释：角的概念是通过角的终边的运动来推广的，既有旋转方向，又有旋转大小，同时没有旋转也是一个角，从而得到正角、负角和零角的定义. 2.终边相同的角、象限角终边相同的角为角的顶点与原点重合，角的始边与轴的非负半轴重合.那么，角的终边(除端点外)在第几象限，我们就说这个角是第几象限角. 要点诠释： (1)终边相同的前提是：原点，始边均相同； (2)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同； (3)终边相同的角有无数多个，它们相差的整数倍. 3、终边相同的角与象限角：与角终边相同的角构成一个集合，；顶点与坐标原点重合，始边与轴正半轴重合，角的终边在第几象限，就把这个角叫做第几象限的角．知识点二：弧度制弧度制 (1)长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单

位可以省略不写). (2)弧度与角度互换公式： 1rad=≈°=57°18′，1°=≈(rad) (3)弧长公式：(是圆心角的弧度数)，扇形面积公式：. 要点诠释： (1)角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. (2)角的弧度数的绝对值是：，其中，是圆心角所对的弧长，是半径. 3、弧度制的概念及换算：规定长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度的角.弧度记作rad.注意在用弧度制时，“弧度”或“rad”可以略去不写. 在半径为的圆中，弧长为的弧所对圆心角为，则所以，rad，(rad)，1(rad). 4、弧度制下弧长公式：；弧度制下扇形面积公式. 类型一：象限角 1．已知角； (1)在区间内找出所有与角有相同终边的角；

(完整版)任意角和弧度制练习题有答案(2)

任意角和弧度制练习题一、选择题 1、下列角中终边与330°相同的角是（） A ．30° B ．-30° C ．630° D ．-630° 2、－1120°角所在象限是（） A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 3、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（） A ．45°－4×360° B ．－45°－4×360° C ．－45°－5×360° D ．315°－5×360° 4.在“①160°②480°③-960°④-1600°”这四个角中，属于第二象限的角是（ ) A.① B.①② C.①②③ D.①②③④ 5、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D.｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 6.终边落在X 轴上的角的集合是（） Α.{ α|α=k ·360°,K ∈Z } B.{ α|α=(2k+1)·180°,K ∈Z } C.{ α|α=k ·180°,K ∈Z } D.{ α|α=k ·180°+90°,K ∈Z } 7.若α是第四象限角，则180°+α一定是（） Α.第一象限角 B. 第二象限角 C.第三象限角 D. 第四象限角 8.下列结论中正确的是( ) A.小于90°的角是锐角 B.第二象限的角是钝角 C.相等的角终边一定相同 D.终边相同的角一定相等 9．下列命题中的真命题是（） A ．三角形的内角是第一象限角或第二象限角 B ．第一象限的角是锐角 C ．第二象限的角比第一象限的角大 D ．{ }Z k k ∈±?=,90360|οοαα={}Z k k ∈+?=,90180|οοαα 10、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C

角的概念的推广——教学设计

《角的概念的推广》——教学设计一、教材分析 1、地位与作用我校使用的是高等教育出版社由李广全、李尚志编写的基础模块《数学》教材。角的概念的推广来自本教材的第五章的第一节。这节课主要内容是角的概念的推广，首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义，然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念，最后引入了象限角的概念。本节课的学习具有以下必要性： 1、在实际生活中应用广泛。 2、是前面所学函数类型的延伸。 3、是描述旋转运动和周期性现象的重要特征量。 4、是专业的重要学习工具。 2、课时安排 5.1.1节：任意角的概念的推广，45分钟。 3、教学目标知识目标：掌握用旋转定义角的概念；理解并掌握“正角”、“负角”、“象限角”的含义，培养学生用运动变化观点审视事物。能力目标：通过布置课前任务——培养学生的自学能力；通过让学生讨论、讲解——锻炼学生的语言表达能力；通过让学生解决生活中与数学相关的问题——提高学生分析问题、解决问题的能力。情感目标：通过解决生活中的数学问题——让学生感悟数学的实用性；通过小组活动——培养学生的团队协作意识。 4、教学重点难点教学重点：理解并掌握正角、负角、零角的定义，掌握象限角的判断方法。教学难点：旋转方向的观察、象限角的判断。

二、学情分析学习对象为中职一年级学生，虽然有一定的观察能力，他们普遍对初中数学有恐惧感，数学基础普遍较差；学生重视专业课，忽视基础课的学习；学生对新内容的学习有一定的兴趣和积极性，但缺乏耐心和恒心。三、教学策略选择与设计针对职业学校学生、学科特点，更多的学习活动设计将以观察、识别、分析、判断、讨论为主线，以掌握方法、步骤为目标，让学生更能体会到数学的实用性。引入正角、负角、零角的定义，象限角的概念。树立运动变化的观点，理解静是相对的，动是绝对的，并由此深刻理解推广后的角的概念。教学过程是教师和学生共同参与的过程，启发学生自主性学习,充分调动学生的积极性、主动性；有效地渗透数学思想方法，提高学生素质。根据这样的原则和所要完成的教学目标，并为激发学生的学习兴趣，我采用如下的教学策略：（1）引导发现法。通过已学过角的定义来发现角的概念是可以推广的。（2）任务驱动法。通过实际问题，使角的推广变得更为必要，如螺丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等，都能形成角的概念，给学生以直观的印象，形成正角、负角、零角的概念，突出角的概念的理解与掌握。（3）多媒体法。通过讲解、归纳、概括来介绍角的有关要概念，通过练习来达到巩固知识、突出重点、解决难点。教给学生方法比教给学生知识更重要，本节课注重调动学生积极思考、主动探索，尽可能地增加学生参与教学活动的时间和空间，我进行了以下学法指导：（1）分类学习法：了解数学知识是有规律可循的，要弄清角的分类及分类的方法。（2）合作学习法：通过分组合作让学生学会观察、分析和解决问题。

角的概念的推广及弧度制

第一节：角的概念的推广及弧度制一、基础知识 1、角的定义：平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置得到的图形（正角：逆时针；负角：顺时针；零角：没做任何旋转） 2、象限角：以角的顶点为原点，以角的始边为x 轴的非负半轴建立直角坐标系，由角的终边所在位置确定象限角（终边落在坐标轴上的角不属于任何一个象限称为“轴上角”或“象限界角”） 3、与α终边相同的角（连同α在内）可写作{}Z k k x x s ∈+==,360|α 4、弧度的定义：圆周上弧长等于半径的弧所对的圆心角 '18573.571801 ==∏ =rad 1801∏= 5、弧长公式及扇形面积公式 R l l ||||R 22αα=?=∏∏ lR R S S 2 1||21||R 222==?=∏∏αα 二、重要题型剖析 1、常用的角的集合表示法（1）终边相同的角例1、当α的终边分别落在x 轴的正半轴上，y 轴的负半轴上时，则α用弧度制表示，分别组成的集合例2、①终边落在x 轴上的角的集合 ②终边落在y 轴上的角的集合 ③终边落在坐标轴上的角的集合 ④终边落在第一三象限平分线上角的集合（2）区域角和对顶角例1、写出阴影区域表示的角α集合（包括边界）

例2、①终边在第一象限角的集合 ②终边在第一四象限角的集合 ③终边在第二象限角的集合 ④终边在第一二象限角的集合 ⑤终边在第三象限角的集合 ⑥终边在第二三象限角的集合（3）对称角 2、已知角x 所在象限求232x x x 、、所在象限例1、若θ为第三象限，求 32θθ、所在象限并在该象限表示出来 3、旋转角度的应用题例1、当12点过4 1小时的时候，时钟的长短针的夹角为多少弧度？例2、时针走过2小时40分，则分针转过的角为多少？

(完整版)角的概念的推广练习题(可编辑修改word版)

一、选择题：角的概念的推广练习题班级姓名二、填空题： 1.一昼夜时针转过多少度？ 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度？ 1、把－1485°转化为α＋k·360°（0°≤α＜360°, k∈Z）的形式是（） A．45°－4×360°B．－45°－4×360°C．－45°－5×360°D．315°－5×360° 2.若是第四象限角，则是（）． 2 A．第二象限角B．第三象限角 C．第一或第三象限角D．第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（） A．｛α∣90°<α<180°｝B．｛α∣90°＋ k·180°<α<180°＋k·180°，k∈Z｝ C．｛α∣－270°＋k·180°<α<－180°＋k·180°，k∈Z｝ D．｛α∣－270°＋k·360°<α<－180°＋k·360°，k∈Z｝ 4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A、B、C 关系是（） A．B=A∩C B．B∪C=C C．A ?C D．A=B=C 5.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是( ) 3、－1120°角所在象限是 4、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是. 5.将-885°化为+ k·360°(0°＜＜360°，k∈Z)的形式是 6、终边在x 轴上的角的集合是；终边在y 轴上的角的集合是。三、解答题： 1、写出与-2250 角终边相同角的集合，并在这个集合中求出-7200~10800 内的所有角。 2、求，使与- 900 角的终边相同，且∈[-180 ，1260 ]． A.60? B. - 60? C30? D - 30? 3、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角： 6.若是锐角，则180°－是( ) A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角，那么（）（A）x 一定是正（B）x 一定是锐角（C）-3600

角平分线的性质典型例题

【典型例题】例1.已知：如图所示，/ C=/ C'= 90 °, AC= AC 求证：（1）Z ABC=Z ABC ; （2）BO BC（要求：不用三角形全等判定）. 分析：由条件/ C=Z C = 90°, AO AC，可以把点A看作是/ CBC平分线上的点，由此可打开思路. 证明：（1）vZ C=Z C = 90°（已知）， ??? ACL BC, AC丄BC （垂直的定义）. 又??? AO AC （已知）， ???点A在/CBC勺角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）. ? / ABC=Z ABC. （2）vZ C=Z C；Z ABC=Z ABC, ?180°—（/ C+Z ABC = 180°—（/ C '+/ ABC）（三角形内角和定理）即/ BAC=Z BAC, ??? AC L BC, AC L BC, ?BO BC （角平分线上的点到这个角两边的距离相等）. 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性. 例 2.女口图所示，已知△ ABC中, PE// AB交BC于E, PF// AC交BC于F, P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分Z BAC 并说明理由. 分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理.根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出Z 1 = Z 2,再利用平行线推得Z 3=Z 4,最后用角平分线的定义得证. 解：AD平分Z BAC ??? D到PE的距离与到PF的距离相等， ???点D在Z EPF的平分线上. ? Z 1 = Z 2. 又??? PE// AB ???/ 1 = Z 3.

任意角与弧度制题型小结

任意角与弧度制【知识梳理】 1按旋转方向分 2. 按角的终边位置 (1) 角的终边在第几象限， ___ 则此角称为第几；(2)角的终边在__上，则此角不属于任何一个象限. 3. 所有与角a终边相同的角，连同角a在内，可构成一个集合S= ___________________________ ，即任一与角a终边相同的角，都可以表示成角a与_______________ 的和. 【常考题型】题型一、象限角的判断【例1】已知角的顶点与坐标原点重合，始边落在X轴的非负半轴上，作出下列各角，并指出它们是第几象限角. (1) - 75°; (2)855 ° ; (3) - 510° . 【类题通法】象限角的判断方法 (1) 根据图形判定，在直角坐标系中作出角，角的终边落在第几象限，此角就是第几象限角. (2) 根据终边相同的角的概念.把角转化到0°?360°范围内，转化后的角在第几象限，此角就是第几象限角. 【对点训练】在直角坐标系中，作出下列各角，在0°?360°范围内，找出与其终边相同的角，并判定它是第几象限角. (1)360 ° ; (2)720 ° ; (3)2 012 ° ; (4) - 120° . 题型二、终边相同的角的表示【例2】(1)写出与a=- 1 910 °终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式一720°＜卩v 360°的元素卩写出来. ⑵分别写出终边在下列各图所示的直线上的角的集合.

1终边相同的角常用的三个结论 (1)终边相同的角之间相差 360°的整数倍. ⑵ 终边在同一直线上的角之间相差 180°的整数倍. (3) 终边在相互垂直的两直线上的角之间相差 90°的整数倍. 2?区域角是指终边落在坐标系的某个区域的角，其写法可分三步 (1)先按逆时针方向找到区域的起始和终止边界； ⑵由小到大分别标出起始、终止边界对应的一个角 a ,卩，写出所有与a ,卩终边相同的角； (3)用不等式表示区域内的角，组成集合. 【对点训练】题型三、确定n 及一所在的象限 n a 【例3】若a 是第二象限角，则 2a , y 分别是第几象限的角? 【类题通法】 1. n a 所在象限的判断方法确定n a 终边所在的象限，先求出 n a 的范围，再直接转化为终边相同的角即可. 2負所在象限的判断方法已知角a 的终边在如图所示的阴影部分内，试指出角 a 的取值范围 . 【类题通法】

(新)角平分线的性质和判定经典题

角平分线的性质和判定复习一知识要点： 1. 角平分线的作法（尺规作图）思考：这一画法的根据是什么？ 2. 角平分线的性质及判定（1）角平分线的性质：文字表达：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．几何表达： ∵OP平分∠MON（∠1＝∠2），PA⊥OM，PB⊥ON，（已知） ∴PA＝PB．（角平分线的性质）思考：这一性质定理的根据是什么？（2）角平分线的判定：文字表达：到角的两边的距离相等的点在角的平分线上．几何表达： ∵PA⊥OM，PB⊥ON，PA＝PB（已知） ∴∠1＝∠2（OP平分∠MON）（角平分线的判定）二、典型例题角平分线的性质一例题1.用直尺和圆规作一个角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是( ) A.SSS B.ASA C.AAS D.角平分线上的点到角两边距离相等例题2 如图，BD平分∠ABC，DE垂直于AB于E点，△ABC的面积等于90，AB=18，BC=12，则求DE的长.

例题3 已知：如图，△ABC中，∠C=90°，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于E，F在AC上BD=DF，求证： CF=EB。 D F E C B A 例题4 已知：AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E、F，BD＝CD，求证：∠B＝∠C. 例题5 已知:如图所示,点O在∠BAC的平分线上,BO⊥AC,CO⊥AB,垂足分别为D，E,求证：OB＝OC. 例题6 如图,△ABC中,∠C=90°,AC=BC,AD平分∠BAC交BC于D,DE⊥AB,垂足为E,且AB=10 cm,求△DEB的周长. A F D E B

角的概念的推广练习题

角的概念的推广练习题班级________ 姓名________ 一、选择题： 1、把－1485°转化为α＋k ·360°（0°≤α＜360°, k ∈Z ）的形式是（） A ．45°－4×360°B ．－45°－4×360°C ．－45°－5×360°D ．315°－5×360° 2．若是第四象限角，则 2 α 是（）． A ．第二象限角 B ．第三象限角 C ．第一或第三象限角 D ．第二或第四限角 3、终边在第二象限的角的集合可以表示为：（） A ．｛α∣90°<α<180°｝ B ．｛α∣90°＋k ·180°<α<180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ C ．｛α∣－270°＋k ·180°<α<－180°＋k ·180°，k ∈Z ｝ D ．｛α∣－270°＋k ·360°<α<－180°＋k ·360°，k ∈Z ｝ 4、已知A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，那么A 、B 、C 关系是（） A ．B=A ∩C B ．B ∪C= C C ．A ?C D ．A=B=C 5.下列各角中，与-1050°的角终边相同的角是 ( ) ????30-D C30 60-B. 60.A 6.若α是锐角，则180°－α是( ) A.第一象限角 B.第二角限角 C.第三象限角 D.第四象限角 7、如果x 是第一象内的角，那么（）（A ）x 一定是正（B ）x 一定是锐角（C ）-3600x-2700或00x900 （D ）xxk3600xk3600+900 kZ 8、设A=为正锐角，B=为小于900的角}， C={为第一象限的角}，D={为小于900的正角}。则下列等式中成立的是（）（A ）A=B （B ）B=C （C ）A=C （D ）A=D 二、填空题： 1.一昼夜时针转过多少度 2.跳水运动员后滚翻两周半跳水，转过多少度 3、－1120°角所在象限是______________________ 4、与角－1560°终边相同角的集合中最小的正角是 . 5.将-885°化为α + k ·360°(0°＜α＜360°，k ∈Z )的形式是______________________ 6、终边在x 轴上的角的集合是____________________；终边在y 轴上的角的集合是_________________。三、解答题： 1、写出与-2250角终边相同角的集合，并在这个集合中求出-7200~10800内的所有角。 2、求θ，使θ与ο 900-角的终边相同，且[ ]ο ο1260180， -∈θ． 3、求所有与所给角终边相同的角的集合，并求出其中的最小正角，最大负角：（1）ο 210-；（2）731484'-ο ． 4、写出与下列各角终边相同的角的集合,并把集合中适合不等式－360°≤α＜720°的元素α写出来. (1)－15° (2) 124°30′

任意角和弧度制知识点和练习

知识点一：任意角 ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角1、任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 2、象限角：角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限，则称α为第几象限角．第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

初二数学知识点归纳角平分线的定义

初二数学知识点归纳：角平分线的定义初二数学知识点归纳：角平分线的定义角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】如第一个图：∵OC平分 ∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道 △OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如第一个图：∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2)一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。 OC平分∠AOB ∵OC平分 ∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】∵OC平分∠AOB(或∠1=∠2)，PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD(直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边) 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB(或∠1=∠2) 4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。∵C是AB的中点∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。如图：【重点】∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角

必修4-任意角和弧度制-练习题整理

1、下列六个命题：其中正确的命题有 . ①时间经过3小时，时针转过的角是90°②小于90°的角是锐角③大于90°的角是钝角④若α 是锐角，则α 的终边在第一象限 ⑤若α 的终边在第二象限，则α 是钝角⑥若α 的终边在第四象限，则α 是负角 2、练习：角度与弧度互化： 0°= .；30° ；45° ；3π ；2 π ；120° ；135° ；150° ； 54π ，－43π 、310 π 、－210° 、75° ，0330 ，0900 23π- ，405° ， -280° ， 1680° ， π411- ，5π ，67π 780° ，-1560° ，67.5° ，π310- ， 12π ，4 7π 3、在0°～360°间，找出与下列角终边相同角：（将下列角化成0360()k k Z α?+∈的形式）－150° 、1040° 、－940° .0 300 01125 0660- －1050° 01485- 4、下列各对角中终边相同的角是( ) A.πππk 222+-和（k ∈z ） B.－3π和322π C.－97π和911π D. 9 122320ππ和 5、用弧度制表示下列角的集合。 (1)x 轴上的角； (2)第四象限角； (3)与 6 π的终边关于x 轴对称的角； (4)终边在直线y=x 上。 (5) 终边落在一、三象限角平分线上 6、写出角的终边在下图中阴影区域内角的集合(包括边界)． 7、若α 是第二象限的角，则2 α所在的象限是( ) A ．第一、二象限 B ．第一、三象限 C ．第二、四象限 D ．第二、三象限 8、若角α是第三象限角，则2 α角的终边在 . 9、若α是第四象限角，则π－α一定在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 10、已知：α是第三象限角，求(1)2α (2) 2α (3) 3 α终边所在的位置

角的概念的推广经典练习题

4.1 角的概念的推广【知识归纳】一、轴线角（终边落在坐标轴上的角）： x 轴正半轴：{}0|360,k k Z αα=?∈；x 轴负半轴：{}00|360180,k k Z αα=?+∈ ； y 轴正半轴：{}00|36090,k k Z αα=?+∈； y 轴负半轴：{}00|36090,k k Z αα=?-∈或{}00|360270,k k Z αα=?+∈； x 轴：{}0|180,k k Z αα=?∈； y 轴： {}00|18090,k k Z αα=?+∈（注意区别）所有坐标轴：{}0|90,k k Z αα=?∈。二、象限角：第一象限角：{}000|36036090,k k k Z αα?<

角平分线的性质知识点

角平分线的性质一、本节学习指导角平分线的性质有助于我们解决三角形全等相关题型。其实不仅仅是角平分线，还有三角形的中位线、高、中心都是解决三角形题目有效的途径。本节有配套免费学习视频。二、知识要点 1、角平分线的定义：从一个角的顶点出发把一个角分成两个相等的角的射线叫做角的平分线。如下图：OC平分∠AOB ∵OC平分∠AOB ∴∠AOC=∠BOC 2、角的平分线的性质：角平分线上的点到角的两边的距离相等。【重点】如第一个图： ∵OC平分∠AOB（或∠1=∠2），PE⊥OA,PD⊥OB ∴PD=PE,此时我们知道△OPE≌△OPD（直角三角形斜边是OP即公共边，直角边斜边） 3、角的平分线的判定：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上。如第一个图： ∵PE⊥OA,PD⊥OB,PD=PE ∴OC平分∠AOB（或∠1=∠2）

4、线段的中点的定义：把一条线段分成两条相等的线段的点叫做线段的中点。如下图： ∵C是AB的中点 ∴AC=BC 5、垂直的定义：两条直线相交所成的四个角中有一个是直角，这两条直线互相垂直。如图：【重点】 ∵AB⊥CD ∴∠AOC=∠AOD=∠BOC =∠BOD=90° 或∵∠AOC=90° ∴AB⊥CD 注意：要判断两条直线垂直，只要知道这两条相交直线所形成的四个角中的一个角是直角就可以了。反过来，两条直线互相垂直，它们的四个交角都是直角。 6、全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等；全等三角形的对应角相等。 ∵△ABC≌△A'B'C' ∴AB=A'B',BC=B'C',AC=A'C'; ∠A=∠A', ∠B=∠B', ∠C=∠C'

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