二次函数的图像与性质（一）教案
教学目标：
知识与技能:能够利用描点法作出函数y=ax2的图像，并根据图像认识理解二次函数的性质。过程与方法:发展学生的观察、归纳、猜想、验证的能力。
情感态度与价值观:在探索与合作中发展学生的实践能力和创新精神。
教学重点：二次函数y=ax2的图像性质。
教学难点：对二次函数y=ax2的图像性质的探索过程。
教学方法：自主探究当堂检测
教学过程：
一、复习回顾（大约3分钟）
1.一次函数y=x+1的图像是___________。
2.反比例函数y=3
x
的图像是______________。
3.画函数图像的步骤为___________、____________、______________。
4.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)中自变量x的取值范围是______________。
二、自主探究（大约12分钟）
（一）按下列步骤依次画二次函数y=x2的图像。
1. 列表：
2. 描点：在平面直角坐标系（网格单位长度为1）中描出相应的点。3．连线：用______的曲线顺次连接各点。
教师中指出此图像称为抛物线。
（二）观察图像，思考并交下列问题：
1．观察并思考表中的每对数（x,y）有什么特点？y=x2的图像是否为轴对称图形？如果是，指出它的对称轴。
2. y=x2的图像有最低点吗？如果有，最低点的坐标是什么？请说明它代表的意义。
3. 在y轴左侧y随x的增大怎样变化？在y轴右侧y随x的增大怎样变化？
（三）按以上步骤在下面的平面直角坐标系中分别画出y=-x2, y=1
x2，y=-
1
x2的图像。
1．二次函数y=x2, y=1
2
x2中的二次项系数a分别是_____、______，它们图像的开口方向向
_____；二次函数y=-x2, y=-1
2
x2中的二次项系数a分别是_____、______，它们图像的开口
方向向_____。
2.各条抛物线都_____（是或不是）轴对称图形；如果是，它们的对称轴是___________。
3. 二次函数y=x2, y=1
2
x2的图像在y轴左侧， y随x的增大而________,在y轴右侧，即y
随x 的增大而________；二次函数y=-x 2
, y=-12
x 2的图像在y 轴左侧， y 随x 的增大而
________,在y 轴右侧， y 随x 的增大而________。
4. 二次函数y=x 2
, y=12
x 2的图像除________外，都在x 轴的______;它们有最____（高或低）
点，没有最____（高或低）点，说明y 有最_____值，没有最_____值.当x=____时，y 最__值为_____.
5. 二次函数y=-x 2
, y=-12
x 2的图像除_____外，都在x 轴的______.它们有最____（高或低）
点，没有最____（高或低）点，说明y 有最_____值，没有最_____值.当x=____时，y 最__值为_____.
三、师生点拨（大约5分钟）
师生共同解决还存在的疑难问题，并进行总结填表：
四、巩固练习（大约16分钟） 题组一:
1． 指出下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标； （1）y=3x 2
(2)y=-4x 2
（3）y=34
x 2 (4)y=-15x 2
2．连线：
y=-10x 2
y=10x 2
3. 0，0）的二次函数。 题组二：
1.一个函数的图象是一条以y 轴为对称轴，以原点为顶点的抛物线，且经过点A （-2,8). (l ）求这个函数的解析式； (2）画出函数图像（草图）；
(3）写出抛物线上与点A 关于y 轴对称的点B 的坐标，并计算△OAB 的面积． 题组三：
1． 二次函数2
2
3x y -
=，当x 1＞x 2＞0时，求y 1与y 2的大小关系。 2． 函数2
ax y =与1y ax =-+的图像可能是（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
五、总结反馈（大约2分钟）
1.函数y=ax 2
的图像是一条抛物线，它的对称轴是y 轴（即直线x=0），图像的顶点是(0,0)
2.函数y=ax 2
,当a>0时，抛物线的开口向上；当a<0时，抛物线开口向下.
3.函数y=ax 2
,当a>0时，对称轴的左侧y 随x 的增大而减小，对称轴的右侧y 随x 的增大而增大；当x=0时函数y 有最小值0. 4.函数图像的画法。 六．当堂检测（大约7分钟）
1、抛物线 开口方向向_____,在对称轴的左侧,y 随着x 的增大而 ；在对称轴的右侧,y 随着x 的增大而 ,当x=0时,函数y 的值最大,最大值是 。
2、填表：
七、作业
课本11页习题2。 板书设计：
二次函数的图像与性质（一）
22
3
y x =-
《二次函数的图像（1）》教学设计 教学目标： 1、经历描点法画函数图像的过程； 2、学会观察、归纳、概括函数图像的特征； 3、掌握2ax y =型二次函数图像的特征； 4、经历从特殊到一般的认识过程，学会合情推理。 教学重点： 2ax y =型二次函数图像的描绘和图像特征的归纳 教学难点： 选择适当的自变量的值和相应的函数值来画函数图像，该过程较为复杂。 教学设计： 一、回顾知识 前面我们在学习正比例函数、一次函数和反比例函数时时如何进一步研究这些函数的？先（用描点法画出函数的图像，再结合图像研究性质。） 引入：我们仿照前面研究函数的方法来研究二次函数，先从最特殊的形式即 2ax y =入手。因此本节课要讨论二次函数2ax y =（0≠a ）的图像。 板书课题：二次函数2ax y =（0≠a ）图像 二、探索图像 1、 用描点法画出二次函数2x y =和2x y -=图像 ①无论x 取何值，对于2x y =来说，y 的值有什么特征？对于2x y -=来说，又有什么特征？ ②当x 取 1,2 1 ±±等互为相反数时，对应的y 的值有什么特征？ （2） 描点（边描点，边总结点的位置特征，与上表中观察的结果联系起来）. （3） 连线，用平滑曲线按照x 由小到大的顺序连接起来，从而分别得到
2x y =和2x y -=的图像。 2、 练习：在同一直角坐标系中画出二次函数22x y =和22x y -=的图像。 学生画图像，教师巡视并辅导学困生。（利用实物投影仪进行讲评） 3、二次函数2ax y =（0≠a ）的图像 由上面的四个函数图像概括出： （1） 二次函数的2ax y =图像形如物体抛射时所经过的路线，我们把它叫做抛物线， （2） 这条抛物线关于y 轴对称，y 轴就是抛物线的对称轴。 （3） 对称轴与抛物线的交点叫做抛物线的顶点。注意：顶点不是与y 轴的交点。 （4） 当o a 时，抛物线的开口向上，顶点是抛物线上的最低点，图像在x 轴的上方(除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向下，顶点是抛物线上的最高点图像在x 轴的下方(除顶点外)。 （最好是用几何画板演示，让学生加深理解与记忆） 三、 课堂练习 观察二次函数2x y =和2x y -=的图像 (2)在同一坐标系内，抛物线2x y =和抛物线2x y -=的位置有什么关系？如果在同一个坐标系内画二次函数2ax y =和2ax y -=的图像怎样画更简便？ (抛物线2x y =与抛物线2x y -=关于x 轴对称，只要画出2ax y =与2 ax y -=中的一条抛物线，另一条可利用关于x 轴对称来画) 四、例题讲解 例题：已知二次函数2ax y =（0≠a ）的图像经过点（-2，-3）。 （1） 求a 的值，并写出这个二次函数的解析式。 （2） 说出这个二次函数图像的顶点坐标、对称轴、开口方向和图像的位置。 练习：（1）课本第31页课内练习第2题。 (2)已知抛物线y=ax2经过点A （-2，-8）。 （1）求此抛物线的函数解析式；
一．教学目标 1.知识与能力 能够作出函数y=ax2+k的图象，并能够理解函数y=ax2+k与y=ax2之间的关系，理解a、k对二次函数图象的影响；能够正确说出函数图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 2.过程与方法 通过学生自己的探索活动，对二次函数性质的研究，达到对抛物线自身的特点的认识和对二次函数性质的理解；经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生的探索能力。 3.情感态度与价值观 通过动手操作，激发学生的学习兴趣，在互动中让学生学会和他人合作、交流，同时让学生在猜想与探究中，体验学习的快乐。 二．教材分析 二次函数是描述变量之间关系的重要数学模型。它的图象是抛物线，通过前两节课的学习，大家不仅会画简单的抛物线，而且还能够通过观察图像了解抛物线的一些性质。 本节课通过对二次函数y=ax2+k的图象的作法和性质的过程探索，进一步将函数的表格、关系式、图像三者联系起来，逐步积累研究函数的图象和性质的经验。 在教学中，运用类比的学习方法，通过与y=ax2的图象和性质的比较，总结出它们的异同，从而更进一步地掌握不同形式的二次函数的图象和性质， 三．教学重点 能作出y=ax2+k的图象，并能够比较它与y=ax2的异同，理解a与k对于二次函数图象的影响，能说出函数y=ax2+k的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。 四．教学难点 能够作出函数y=ax2+k的图象，并总结其性质，还能和函数y=ax2作比较， 五．教学准备多媒体 六．教学过程 教学内容教师行为学生行为设计意图 【创设问题情境，引出新课】 上节课，我们一起学习了函数y=ax2的图象的画法，了解了它们的图象的一些性质，请你告诉大家函数y=2x2与y=-x2图象有哪些相同点和不同点？提出问题，引导 学生回顾已学的 知识。并追问： 你知道y=2x2+1 y=2x2-1有哪些 性质吗？它们的 图象与y=2x2的 图象有什么关 系？ 【板书课题】 积极回忆已 学的知识， 并思考回 答。 对于函数y=ax2（a>0）图象 性质加以总结。这里取a为 正，负数对比，不仅进一步 复习巩固，同时为今天运用 类比教学打下铺垫，提问时 分层回答，不断补充，体现 合作，互助。
课题：1.1二次函数 教学目标： 1、从实际情景中让学生经历探索分析和建立两个变量之间的二次函数关系的过程，进一步体验如何用数学的方法去描述变量之间的数量关系。 2、理解二次函数的概念，掌握二次函数的形式。 3、会建立简单的二次函数的模型，并能根据实际问题确定自变量的取值范围。 4、会用待定系数法求二次函数的解析式。 教学重点：二次函数的概念和解析式 教学难点：本节“合作学习”涉及的实际问题有的较为复杂，要求学生有较强的概括能力。 教学设计： 一、创设情境，导入新课 问题1、现有一根12m 长的绳子，用它围成一个矩形，如何围法，才使举行的面积最大？小明同学认为当围成的矩形是正方形时 ，它的面积最大，他说的有道理吗？ 问题2、很多同学都喜欢打篮球，你知道吗：投篮时，篮球运动的路线是什么曲线？怎样计算篮球达到最高点时的高度？ 这些问题都可以通过学习俄二次函数的数学模型来解决，今天我们学习“二次函数”（板书课题） 二、 合作学习，探索新知 请用适当的函数解析式表示下列问题中情景中的两个变量y 与x 之间的关系： （1）面积y (cm 2)与圆的半径 x ( Cm ) (2)王先生存人银行2万元,先存一个一年定期，一年后银行将本息自动转存为又一个一年定期,设一年定期的年存款利率为文 x 两年后王先生共得本息y 元; (3)拟建中的一个温室的平面图如图,如果温室外围是一个矩形，周长为12Om , 室内通道的尺寸如图,设一条边长为 x (cm), 种植面积为 y (m2) （一）教师组织合作学习活动： 1、先个体探求，尝试写出y 与x 之间的函数解析式。 2、上述三个问题先易后难，在个体探求的基础上，小组进行合作交流，共同探讨。 （1）y =πx 2 （2）y = 2000(1+x)2 = 20000x 2+40000x+20000 (3) y = (60-x-4)(x-2)=-x 2+58x-112 （二）上述三个函数解析式具有哪些共同特征？ 让学生充分发表意见，提出各自看法。 x
二次函数y a b c的图像 和性质教案 Company number【1089WT-1898YT-1W8CB-9UUT-92108】
2＋bx＋c的图像和性质 教学内容 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质 教材分析 二次函数是在学生系统学习了函数概念，基本掌握了函数的性质的基础上进行研究的，在初中的学习中已经给出了二次函数的图象及性质，学生已经基本掌握了二次函数的图象及一些性质，只是研究函数的方法都是按照函数解析式---定义域----图象----性质的方法进行的，基于这种情况，我认为本节课的作用是让学生借助于熟悉的函数来进一步学习研究函数的更一般的方法，即：利用解析式分析性质来推断函数图象。它可以进一步深化学生对函数概念与性质的理解与认识，使学生得到较系统的函数知识和研究函数的方法，站在新的高度研究函数的性质与图象。因此，本节课的内容十分重要。 学情分析 教学目标 1.知识与技能 使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 2.过程与方法 使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 3.情感态度价值观
让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质。 教学重难点 重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标。 难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的性质以及它的对称轴(顶点坐标分别是x＝－b/2a、(－b/2a，4ac－b2/4a) 教学方法和手段 讲授法、练习法 学法指导 讲授指导 教学过程 （一）提出问题导入新课 1．你能说出函数y＝－4(x－2)2＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗具有哪些性质? 2．函数y＝－4(x－2)2＋1图象与函数y＝－4x2的图象有什么关系? 3．不画出图象，你能直接说出函数y＝-1/2x2-6x+21的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗?通过今天的学习你就明白了 （二）学习新知 1、思考：像函数 y＝－4(x－2)2＋1很容易说出图像的顶点坐标，函数y＝-1/2x2-6x+21能画成y=a(x－h)2＋k 这样的形式吗
5.4二次函数的图像和性质(1) 教材分析： 本节内容是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质，以及二次函数的有关概念的基础上进行的，它既是前面所学知识的应用、拓展，又是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华，还是今后学习的基础，在教材中起着非常重要的作用． 教学设计： 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤和方法，然后根据表中的各对对应值，在直角坐标系中描出相应的各点，用光滑的曲线连接，画出图象．通过画出图象，让学生分析、归纳二次函数的图象与性质. 教学目标： 知识与技能：1.掌握二次函数的图象的作法及其性质，会根据图象用数学语言表达图象的性 质． 2.能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点． 过程与方法：通过对二次函数图象与性质的发现，提高分析、归纳等能力，体验数学中的数 形结合思想的应用. 情感态度和价值观：引导学生养成全面看问题，分类讨论的学习习惯，通过直观多媒体演示 和学生动手作图、分析，激发学生学习数学的积极性． 教学重难点： 重点：能在直角坐标系中，正确画出二次函数的图象，并能说出二次函数的图象的性质. 难点：作二次函数图象时要选取适当的点，选取适当数目的点. 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排：4课时 教学过程： 知识回顾： 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数： (k ≠0)图象:双曲线 问:1．如何画出函数图象呢? 2．如何得到相应的性质呢? 【设计意图】： 通过对一次函数和反比例函数解析式、图象的回顾，一方面巩固学生的旧知，另一方面对本节课的学习起到类比作用. 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图： k y x
第二章 二次函数 《二次函数的图象与性质（第3课时）》 教学设计说明 深圳市翠园中学初中部 黄缨 梁成 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础 学生在前几节课中，已学习过了二次函数的概念和函数2ax y =、函数c ax y +=2的图象和性质，学生在此过程中，已学会用列表、描点的方法作出二次函数的图象，并积累了如何从图象的角度研究函数性质的经验.另外，学生在初二学过图形平移变换的知识，这些知识储备为本节课的学习奠定了良好的基础，使学生具备了掌握本节知识的基本技能.因此，在本节课中，他们可以联系初二已学图形平移变换知识，运用图象变换的观点把二次函数2ax y =的图象经过一定的平移变换，从特殊到一般，得到二次函数k h x a y +-=2)( 的图象和性质. 学生活动经验基础 在上两节课，学生进行了列表、画图等操作活动，引导了学生积极动手、动口、动脑来进行归纳整理；学生已初步具备自已通过画图，直观地探索二次函数图象和性质的方法.在本节课中,学生可以继续沿用上节课的活动经验来进一步探索二次函数的图象和性质. 二、教学任务分析 根据教材内容和学生已经具备的知识储备和能力，制定三维目标如下： 知识与技能：学生会画出特殊二次函数2)(h x a y -=和k h x a y +-=2)(的图象，正确地说出它们的开口方向，对称轴和顶点坐标，能理解它们的图象与抛物线2ax y =的图象的关系，理解k h a ,,对二次函数图象的影响. 过程与方法：经历探索二次函数的图象的作法和性质的过程，培养学生动手
作图的能力，观察、类比、归纳的能力，以及用数形结合的方法思考并解决问题的能力. 情感态度与价值观：体会建立二次函数的图象与表达式之间联系的必要性，发展几何直观.经历观察、猜想、总结等数学活动过程，发展合情推理能力和初步的演绎推理能力，能有条理地、清晰地阐述自己的观点． 教学重点：二次函数k h x a y +-=2)(的图象与性质. 教学难点：二次函数k h x a y +-=2)(图象与图象2ax y =之间的关系，k h a ,,对二次函数图象的影响. 三、教学过程分析 学习数学的过程是一个不断探索、发现、验证的过程,根据“以人为本，以学定教”的教学理念, 在本节课的教学过程中，设计了5个环节：①提出问题,引入新课；②合作探究,发现和验证；③启发引导,形成结论；④巩固提高,拓展延伸；⑤当堂检测.这五个环节环环相扣、层层深入，注重关注整个过程和全体学生，充分调动学生的参与性. 第一环节: 提出问题,引入新课 1、回忆一下： 二次函数22x y =的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 . 二次函数322+=x y 的开口方向 ，对称轴 ，顶点坐标 .它图象可以由22x y =的图象向 平移 个单位得到. 2、提出问题：我们已学习过两种类型的二次函数，2ax y =与 c ax y +=2，知道它们都是轴对称图形，对称轴是y 轴，顶点都是原点．还知道 c ax y +=2的图象是函数2ax y =的图象经过上下移动得到的，那么如果将函数2 ax y =的图象左右移动呢?它左右移动后又会得到什么样的函数形式，它又有哪些性质呢?本节课我们就来研究有关问题．
22.1 二次函数（第二课时） 教学目标： 1.会用描点法画出形如y = ax 2 的二次函数图象，了解抛物线的有关概念； 2．通过观察图象，能说出二次函数y = ax 2 的图象特征和性质； 3．在类比探究二次函数y = ax 2 的图象和性质的过程中，进一步体会研究函数图象和性质的基本方法和数形结合的思想 教学重点：会用描点法画出二次函数y=ax2的图象，观察图象，得出二次函数y = ax 2 的图 象特征和性质。 教学难点：抛物线的图像特征。 教学过程： 一、问题引新 1，同学们可以回想一下，一次函数的性质是什么? 2．我们能否类比研究一次函数性质方法来研究二次函数的性质呢? 3．一次函数的图象是什么？二次函数的图象是什么? 二、学习新知 1、例1、画二次函数y=2x2与y=2x2的图象。（有学生自己完成） 解：(1)列表：在x的取值范围内列出函数对应值表： 找一名学生板演画图 提问：观察这个函数的图象，它有什么特点? （让学生观察，思考、讨论、交流，） 2、归纳： 抛物线概念：像这样的曲线通常叫做抛物线。抛物线与它的对称轴的交点叫做抛物线的 顶点．顶点坐标（0，0） 3、运用新知 （1）．观察并比较两个图象，你发现有什么共同点？又有什么区别? （2）．课件出示：在同一直角坐标系中，y=2x2与y=-2x2的图象，观察并比较 （3）．将所画的四个函数的图象作比较，你又能发现什么?（课件出示）让学生观察y＝x2、y＝2x2的图象，填空； 当a>0时，抛物线y=ax2开口______，在对称轴的左边，曲线自左向右______；在对称 轴的右边，曲线自左向右______，______是抛物线上位置最低的点。 当X<0时，函数值y随着x的增大而______，当X>O时，函数值y随X的增大而______； 当X＝______时，函数值y=ax2 (a>0)取得最小值，最小值y=______
二次函数的图像与性质的教案（3） 【目标】 1. 经历探索二次函数y ＝ax 2(a ≠0)及y ＝a(x-h)2 (a ≠0)的图象作法和性质 的过程； 2. 能够理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系，了解a,h,k 对 二次函数图象的影响。 3．能正确说出函数 y ＝a(x-h)2的图象的开口方向，顶点坐标和对称轴。 【重点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝ax 2的图象的关系及性质； 【难点】 理解函数y ＝a(x-h)2 (a ≠0)与y ＝a x 2的图象的关系及性质； 同学们还记得一次函数y=2x 与y=2(x-1)的图象的关系吗？ 你能由此推测二次函数2 x y =与y =(x-1)2的图象之间的关系吗？那么 2x y =与y=(x-1)2的图象之间又有何关系？ 动手操作、探究： 在同一平面内画出函数2 x y =与y=(x-1)2的图象。比较它们的性质，你可以 得到什么结论？ 【探究问题1】 形如 的二次函数的开口方向，对称轴，顶点坐标各是什么？ 我们已经了解到，函数k ax y +=2的图象，可以由函数2ax y =的图象上下 平移所得，那么函数2)2(2 1-=x y 的图象，是否也可以由函数221x y =平移 而得呢？画图试一试，你能从中发现什么规律吗？ 1、在平面直角坐标系中，并画出函数2)1(+=x y 的图象。 2、比较它与函数2 x y =的图象之间的关系。 结论： （1）抛物线y=a(x-h)2(a ≠0)与抛物线y ＝ax 2(a ≠0)的形状一样，只是位置不 同，因此抛物线y=a(x-h)2可通过平移抛物线y ＝ax 2(a ≠0)得到。当h ＞0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向左平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2，当h<0时， 把抛物线y ＝ax 2(a ≠0)向右平移|h|个单位得到抛物线y=a(x-h)2
二次函数y= ax 2+bx+c 的图象与性质 年级：九年级 执教老师：田老师 【教学目标】 1. 知识与技能 会用配方法确定二次函数y= ax 2+bx+c 图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。理解二次函数y= ax 2+bx+c 的性质。 2. 过程与方法 让学生经历配方的过程，掌握抛物线的对称轴和顶点坐标。 3. 情感态度与价值观 培养学生积极探索、合作交流的意识。 【教学重点】 理解、掌握对称轴a b x 2-= , 顶点坐标（a b 2- ，a b ac 442-） 【教学难点】 用配方法确定对称轴、顶点坐标。 【教学过程】 一、温故知新 1. 耐心填一填
2. 抛物线y =－2(x ＋3)2－6的开口 ，对称轴是 ， 顶点坐标为 。 当x 时，y 随x 的增大而减小；当x 时，y 随x 的增大而增大； 当x 时，函数y 有最 值 。 3. 你能说出y =－2x 2＋6x －1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ 二、探索新知 1.你能将二次函数 y =－2(x ＋3)2－6化成一般形式吗？ 2. 怎样将二次函数一般式y =－2x 2＋6x －1化成顶点式y=a(x －h)2＋k ？ y =－2x 2＋6x －1 =－2（x 2－3x ＋21 ） 提：提取二次项系数 =－2[x 2－3x ＋223）（－223）（＋21 ] 配：括号内配成完全平方 =－2[（x －23）2－47 ] （加上再减去一次项系数一半的平方） =－2（x －23）2＋2 7 化：化成顶点式 3. 提问： ⑴ 对称轴是 ， 顶点坐标是（ ） ⑵ 当x 等于多少时，函数的值最大？最大值是多少？ 4. 求函数122 12-+-=x x y 的最大值。
数学个性化教学教案 授课时间：年月日备课时间年月日年级九学科数学课时 2 h 学生姓名 授课主题 22.1.4二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质授课教师 教学目标1.会用配方法求二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴； 2.能根据二次函数y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标和对称轴公式求函数的顶点坐标和对称轴； 3.会画二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的图象； 4.会用待定系数法求二次函数的解析式． 教学重、难点1.通过配方把二次函数y＝ax2＋bx＋c化成y=a(x-h)2+k的形式，求出对称轴和顶点坐标． 2.求二次函数的函数关系式，二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质运用． 3.建立适当的直角坐标系，求出函数关系式，解决实际问题． 教学过程一、【历次错题讲解】 二、【基础知识梳理】 知识点1二次函数y=ax2+bx+c的图像和性质 [归纳概括]二次函数y=ax2+bx+c通过配方可转化成形 式. 其图像和性质如下表： 图像 开口 方向 顶点 坐标 对称 轴 增减性最值 a>0 向上 a<0 向下 知识点2确定二次函数的解析式 (1)若已知二次函数的图像上任意三点坐标，则设为一般 式，将三点的坐标代入，列出含有a、b、c的三元一次方程组 求解即可. (2)若已知抛物线的顶点坐标和抛物线上另一点的坐标时，通常设函数解析式为 顶点式. 特别地，当抛物线的顶点是原点时，h=0，k=0，此时可设函数解析式为； 当抛物线的对称轴为y轴时，h= ，此时可设函数的解析式为； 学习札记
课堂练习
课堂练习
本课小结 课后作业布置 课后赏识 评价 课后反馈本节课教学计划完成情况：□照常完成□提前完成 □延后完成，原因___________________________________ 学生的接受程度：□完全能接受□基本能接受 □不能接受，原因___________________________________________ 学生的课堂表现：□很积极□比较积极□一般 □不积极，原因_____________________________________________ 学生上次作业完成情况：完成数量____% 已完成部分的质量____分（5分制） 存在问题_______________________________________配合需求：家长________________________________________________ 学管师________________________________________________
5、4二次函数的图像与性质(1) 教材分析: 本节内容就是在学生已经学习过的一次函数、反比例函数的图象与性质,以及二次函数的有关概念的基础上进行的,它既就是前面所学知识的应用、拓展,又就是对前面所学一次函数、反比例函数图象与性质的一次升华,还就是今后学习的基础,在教材中起着非常重要的作用. 教学设计: 本课一开始先让学生回忆用描点法画函数图象的一般步骤与方法,然后根据表中的各对对应值,在直角坐标系中描出相应的各点,用光滑的曲线连接,画出图象.通过画出图象,让学生分析、归纳二次函数的图象与性质、 教学目标: 知识与技能:1、掌握二次函数的图象的作法及其性质,会根据图象用数学语言表达图象的性质. 2、能分清当a>0,a<0时图象之间有什么共同点与不同点. 过程与方法:通过对二次函数图象与性质的发现,提高分析、归纳等能力,体验数学中的数形结 合思想的应用、 情感态度与价值观:引导学生养成全面瞧问题,分类讨论的学习习惯,通过直观多媒体演示与学 生动手作图、分析,激发学生学习数学的积极性. 教学重难点: 重点:能在直角坐标系中,正确画出二次函数的图象,并能说出二次函数的图象的性质、 难点:作二次函数图象时要选取适当的点,选取适当数目的点、 课前准备 教具准备 教师准备PPT 课件 课时安排:4课时 教学过程: 知识回顾: 一次函数:y =kx +b (k ≠0) 图象:直线 反比例函数: (k ≠0)图象:双曲线 问:1.如何画出函数图象呢? 2.如何得到相应的性质呢? 【设计意图】: 通过对一次函数与反比例函数解析式、图象的回顾,一方面巩固学生的旧知,另一方面对本节课的学习起到类比作用、 合作探究一: 二次函数y=ax 2 (a>0)的图象 请同学们用描点法按下列要求画图: k y x
九年级数学二次函数的图象和性质教学设计24 3二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 教学目标： ．使学生掌握用描点法画出函数y＝ax2＋bx＋c的图象。 ．使学生掌握用图象或通过配方确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标。 ．让学生经历探索二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标以及性质的过程，理解二次函数y ＝ax2＋bx＋c的性质。 重点难点： 重点：用描点法画出二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和通过配方确定抛物线的对称轴、顶点坐标是教学的重点。 难点：理解二次函数y＝ax2＋bx＋c的性质以及它的对称轴是教学的难点。 教学过程： 一、提出问题 ．你能说出函数y＝－42＋1图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗？ ＋1图象的开口向下，对称轴为直线x＝2，顶点坐标是。
的图象有什么4x2＝－y图象与函数1＋42＝－y．函数 关系? ＋1的图象可以看成是将函数y＝－4x2的图象向右平移2个单位再向上平移1个单位得到的) ．函数y＝－42＋1具有哪些性质? ．不画出图象，你能直接说出函数y＝－x2＋x－的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标吗? [因为y＝－x2＋x－＝－2－2，所以这个函数的图象开口向下，对称轴为直线x＝1，顶点坐标为] ．你能画出函数y＝－x2＋x－的图象，并说明这个函数具有哪些性质吗? 二、解决问题 由以上第4个问题的解决，我们已经知道函数y＝－x2＋x －的图象的开口方向、对称轴和顶点坐标。根据这些特点，可以采用描点法作图的方法作出函数y＝－x2＋x－的图象，进而观察得到这个函数的性质。 解：列表：在x的取值范围内列出函数对应值表； x … －2 －1
第二章二次函数 《二次函数的图象与性质（第1课时）》 教学设计说明 一、学生知识状况分析 学生的知识技能基础：学生在前面已经学习过一次函数、反比例函数，经历过探索、分析和建立两个变量之间的一次函数、反比例函数关系的过程，并学会了用描点法画函数图象的方法.在本章第一节课中，又学习了二次函数的概念，经历了探索和表示二次函数关系的过程，获得了用二次函数表示变量之间关系的体验. 学生活动经验基础：在学习一次函数、反比例函数过程中，学会了用描点法画函数图象的方法，学生已具备了一定的作图能力，并经历了利用一次函数、反比例函数图象探索函数性质的活动，解决了一些简单的现实问题，感受到了数形结合的必要性和重要性，获得了一些探究函数图象和性质的数学活动经验基础；同时在以前的数学学习中学生已经经历了很多合作学习的过程，具有了一定的合作学习的经验，具备了一定的合作与交流的能力. 二、教学任务分析 教科书基于学生对二次函数的概念认识，提出了本课的具体学习任务：能利用描点法画函数2x =的性 y± y± =的图象，并能根据图象认识和理解二次函数2x 质.为此，本节课的教学目标是： 知识与技能 1．能够利用描点法画函数2x y=的图象，能根据图象认识和理解二次函数2 y=的性质． x 2．猜想并能作出2x =的图象，能比较它与2x y=的图象的异同． y- 过程与方法 1．经历探索二次函数2x y=的图象的作法和性质的过程，获得利用图象研究函数性质的经验．
2．由函数2x y =的图象及性质，对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点，培养学生的类比学习能力和发展学生的求同求异思维． 情感与态度 1．通过学生自己的探索活动，达到对抛物线自身特点的认识和对二次函数性质的理解． 2．在利用图象讨论二次函数的性质时，让学生尽可能多地合作交流，以便使学生能够从多个角度看问题，进而比较准确地理解二次函数的性质． 教学重点：作出函数2x ±的图象，并根据图象认识和理解二次函数2x y ±=的性质. 教学难点：由2x y =的图象及性质对比地学习2x y -=的图象及性质，并能比较出它们的异同点. 三、教学过程分析 （一）创设问题情境，引入新课 ［师］我们在学习了正比例函数，一次函数与反比例函数的定义后，研究了它们各自的图象特征.知道正比例函数的图象是过原点的一条直线.一般地一次函数的图象是不过原点的一条直线，反比例函数的图象是双曲线.上节课我们学习了二次函数的一般形式为c bx ax y ++=2（其中c b a 、、均为常数且0≠a ）.那么它的图象是否也为直线或双曲线呢？本节课我们将一起来研究有关问题. （二）新课讲解 1、作函数2x y =的图象 ［师］一次函数的图象是一条直线.二次函数的图象是什么形状呢？让我们先看最简单的二次函数2x y =.大家还记得画函数图象的一般步骤吗？ ［生］记得. 列表，描点，连线. ［师］非常正确，下面就请同学们跟我按上面的步骤作出2x y =的图象. （1）列表：
二次函数y=a k的图像 和性质教案 Document serial number【NL89WT-NY98YT-NC8CB-NNUUT-NUT108】
二次函数y=a(x-h)2+k的图像和性质 教学目标： 1、会用描点法画二次函数y=a(x-h)2+k的图像，并通过 图像认识函数的性质。 2、能运用二次函数的知识解决简单的实际问题。 重点难点： 1、二次函数y=a(x-h)2+k的性质 2、把实际问题转化为数学问题 情境引入： 1、由前面的知识我们知道，函数y=x2的图像，向下平 移1个单位，可以得到函数y=x2-1的图象；函数y=x2的 图像，向左平移1个单位，可以得到函数y=（x+1）2的图 象，那么函数y=x2的图象，如何平移，才能得到函数y= （x+1）2-1的图象呢？ 2、 3、引出课题：二次函数y=a(x-h)2+k的图象和性质及实 际应用。 自主探究： 1、探究 在同一坐标系中画出y=—x2，y=—x2-1，y=—（x+1）2-1的图象，指出它们的开口方向、对称轴、及顶点。 通过观察图象探究下列问题： 1、抛物线y=—x2经过怎样的变换可以得到抛物线y=— （x+1）2-1？ 2、
3、对于抛物线y=—（x+1）2-1，当x时，函数值y随x 的增大而减小；当x时，函数值y随x的增大而增大；当x时，函数值取得最值，最值y=。 2.观察归纳 观察：（1）抛物线y=—x2，y=—x2-1，y=—（x+1）2-1 的开口方向、对称轴以及顶点坐标，猜想抛物线y=a(x- h)2+k的开口方向、对称轴以及顶点坐标。 （2）由y=—（x+1）2-1与y=—x2的关系，推广到抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的关系。 归纳：（1）抛物线y=a(x-h)2+k与y=ax2的形状相同，位置不同。把抛物线y=ax2向上（下）向左（右）平移，可 以得到抛物线y=a(x-h)2+k。平移的方向、距离要根据 h、k的值决定。 （2）抛物线y=a(x-h)2+k的特点： 4、实际应用 例：教材例4 从问题中信息可以知道，可设抛物线顶点坐标为 （1,3），则抛物线经过点（3，0），划出抛物线草图， 设解析式为y=a(x-1)2+3() 抛物线经过点（3,0）即可算出a=-3/4，即得出抛物线的解析式。 老师引导点拨：还有一种比较简单的方法是让抛物线的最高点在直角坐标系的原点上。不管怎样建立直角坐标系，虽然解析式不同，但最终结果是一样的。 学生小组讨论解决。 4、巩固练习
y x O 中考复习目标：二次函数图像及性质（教学案） 【课标解读】----------把握复习方向 （1） 会用配方法、公式法确定抛物线的开口方向、顶点坐标、对称轴、最大值或最小值 （2） 会画抛物线并由图像确定抛物线的增减性； （3） 会用待定系数法确定二次函数的关系式 （4） 会把实际问题转化为二次函数的问题，并借助二次函数的性质讨论实际问题的最值问题 【考点链接】------点击知识要点 1. 二次函数2 ()y ax h k =-+的图像和性质 a ＞0 a ＜0 图 象 开 口 对 称 轴 顶点坐标 最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 当x ＝ 时，y 有最 值 增减性 在对称轴左侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 在对称轴右侧 y 随x 的增大而 y 随x 的增大而 2. 二次函数c bx ax y ++=2用配方法可化成()k h x a y +-=2 的形式，其中h ＝ k ＝ . 3. 二次函数2 ()y ax h k =-+的图像和2 ax y =图像的关系. 4. 二次函数c bx ax y ++= 2 中c b a ,,的符号的确定. ａ＜＝＝＝＞开口方向； ｂ＜＝＝＝＞对称轴；ｃ＜＝＝＝＞与ｙ轴交点（ｏ，ｃ） 【思想方法】----------领会学习方法 数形结合与转化
【典例精析】 --------尝试挑战应用 例1 已知二次函数2 4y x x =+， (1) 用配方法把该函数化为2 ()y ax h k =++ (其中a 、h 、k 都是常数且a ≠0)形式，并画 出这个函数的图像，根据图象指出函数的对称 轴和顶点坐标. (2) 求函数的图象与x 轴的交点坐标. 例2 已知抛物线2 12 y x x c =++与x 轴有两个不同的交点． (1)求c 的取值范围； (2)抛物线21 2 y x x c =++与x 轴两交点的距离为2，求c 的值． 例2：体育测试时，初三一名高个学生推铅球，已知铅球所经过的路线为抛物线 212 12 ++-=x x y 的一部分，根据关系式回答： ⑴ 该同学的出手最大高度是多少？ ⑵ 铅球在运行过程中离地面的最大高度是多少？ ⑶ 该同学的成绩是多少？ 【课堂检测】-----------实战演习验收 一：填空题 1. 抛物线()2 2 -=x y 的顶点坐标是 . 2. 请写出一个开口向上，对称轴为直线x ＝2，且与y 轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解
《二次函数y =ax 2的图象与性质》教学设计 一、教学分析 （一）教学内容分析 学习二次函数y =ax 2的图象与性质.这是学习一次函数的延续，是对函数内容的再认识，也是学生理解二次函数定义，建立二次函数模型的后续学习.它既是前面函数学习的一次升华，又是后续的y=ax 2+bx+c 的性质和二次函数应用学习顺利进行的保证，还是学生升入高一级学校学习函数的基础，具有承上启下的作用，因此该内容在教材中的地位十分重要. （二）教学对象分析 学生在八年级上学期已经学习了函数及一次函数等内容，对函数已经有了初步的认识.学生通过从特殊到一般的数学研究方法，先学习2y ax =这一最简单的二次函数图象与性质，再进一步研究2(0)y ax bx c a =++≠的图象与性质，可以进一步领悟函数的概念并积累研究函数性质的方法.由于学生在认知方式、动手能力、语言表达和思维方式等方面存在差异，教师要及时了解并尊重学生的个体差异.教学中要多鼓励学生，对学有困难的学生要及时给予帮助和指导，让他们敢于发表自己的见解，丰富教学活动的经验，发展数学能力. （三） 教学环境分析 充分利用优质的教学资源，尽量采用现代教育技术手段，用计算机展示函数的图象，形象显示图形的变化与联系，提高教学效果与质量. 二、教学目标 （一）知识与技能 1．能够利用描点法作出二次函数y=x 2的图象，并能根据图象总结和理解二次函数y=x 2的性质； 2．能作出y=-x 2, 21 2 y x =±和y=2x 2的图象，并比较它们与y=x 2的图象的异同，初步体 会二次函数关系式与图象之间的联系； 3．能根据二次函数y=x 2的图象，探索二次函数的性质（开口方向、对称轴、顶点坐标）. （二）过程与方法 1．经历探索二次函数y=x 2的图象和性质的过程，获得用图象研究函数性质的经验； 2．由二次函数y=x 2的图象及性质类比地学习二次函数y=-x 2的图象及性质，并能比较它们的异同点，培养类比学习能力，渗透数形结合的数学思想方法，发展学生的求同求异思维.
二次函数的图像和性质 教学目标 （1）知识与技能 掌握二次函数图像的画法，理解二次函数的性质； （2）过程与方法 通过画图像培养学生动手作图能力，由图像总结性质，培养同学们数形结合的能力； （3）情感、态度、价值观 通过数形结合的能力的培养，提高同学们的数学素养，培养同学们团队协作精神。 重点：二次函数的图像和性质。 难点：数形结合思想的应用。 教学方法：观察、归纳、启发、探究、数形结合归纳总结。 教学过程： 复习引入： （1） 函数单调性的图像特征? （2） 函数奇偶性的图像特征? 讲授新课： 一、定义 形如 的函数叫二次函数 )0(2≠++=a c bx ax y
解析式： 图像 抛物线 “数” “型” 性质？ 二、探究 问题1：我们怎样得到它的最值和顶点的 生：配方： 因为对任意实数x ，都有()042 12 ≥+x 所以()2-≥x f 当且仅当4-=x 时取等号。 顶点：()2,4-- 问题2：只有最值和顶点，是否就能方便地画出此二次函数对应的抛物线？ 生：列表、描点并画图 )0(2 ≠++=a c bx ax y 642 1)(2 ++=x x x f 6 )8(2 1)(2++=x x x f 6]16-)4[(2 12++=x 2-)4(2 1 2+= x
列表描点： 问题3：此函数图象具有对称性吗? 对称轴是：直线4-=x 理解 “形”—— 抛物线若沿着直线4-=x 对折后，完全重合。 问题4：此函数的单调性如何？什么起决定作用？ 在区间 (]4,-∞-单调递减，在区间[)+∞-,4 单调递增。
练习 画出二次函数 的图象，并叙述按照下列提示叙述其性质 ⑴配方： ⑵定义域： ⑶值域： ⑷最值： ⑸对称轴： ⑺单调区间： 生：画图像并回答。 三、由以上两题总结二次含数的性质 配方： 性质：学生结和图像回答 ⑴二次函数的图象是一条抛物线，顶点坐标（h , k )，对称轴是直线x=h 34)(2+--=x x x f ) 0(2≠++=a c bx ax y c x a b x a y ++=)(2 c a b a b x a ++=]4-)2[(22 2a b a c a b x a 4-4)2(2 2+ +=a b h 2-=a b a c k 4-42 = 令： k h x a +=2 )-(
2.2二次函数的图像（2） 教学目标： 1、经历二次函数图像平移的过程；理解函数图像平移的意义。 2、了解2 ax y =，2 )(m x a y +=，k m x a y ++=2 )(三类二次函数图像之间的关系。 3、会从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2 )(型二次函数的图像特征。 4、掌握一般二次函数c bx ax y ++=2 的图像与2 ax y =的图像之间的关系。 5、、会确定图像的开口方向，会利用公式求顶点坐标和对称轴。 教学重点：从图像的平移变换的角度认识k m x a y ++=2 )(型二次函数的图像特征。 教学难点：对于平移变换的理解和确定，学生较难理解。 教学设计： 一、知识回顾 二次函数2 ax y =的图像和特征： 1、名称 ； 2、顶点坐标 ； 3、对称轴 ； 4、当o a 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点，图像在x 轴的 (除顶点外)；当o a 时，抛物线的开口向 ，顶点是抛物线上的最 点图像在x 轴的 (除顶点外)。 二、合作学习 在同一坐标系中画出函数图像221x y =，,)2(212+=x y 2)2(2 1 -=x y 的图像。 （1） 请比较这三个函数图像有什么共同特征？ （2） 顶点和对称轴有什么关系？ （3） 图像之间的位置能否通过适当的变换得到？ （4） 由此，你发现了什么？ 三、探究二次函数2 ax y =和2 )(m x a y +=图像之间的关系 1、 结合学生所画图像，引导学生观察,)2(212+= x y 与22 1 x y =的图像位置关系，直观得出221x y =的图像?? ???→?向左平移两个单位 ,)2(2 12+=x y 的图像。 教师可以采取以下措施：①借助几何画板演示几个对应点的位置关系 ，如： （0，0）?? ???→?向左平移两个单位 （-2，0） （2，2）?????→?向左平移两个单位 （0，2）； （-2，2）?? ???→?向左平移两个单位 （-4，2） ②也可以把这些对应点在图像上用彩色粉笔标出，并用带箭头的线段表示平移过程。
第3课时二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质 2 1. 会画二次函数y = ax + bx+ c的图像. 2. 熟记二次函数y = ax2+ bx+ c的顶点坐标与对称轴公式. 3 .用配方法求二次函数y= ax2+ bx+ c的顶点坐标与对称轴. 一、情境导入 火箭被竖直向上发射时，它的高度h(m)与时间t(s)的关系可以近似用h=- 5t2+ 150t + 10表示.那么经过多长时间，火箭达到它的最高点？ 二、合作探究 探究点一：二次函数y = ax2+ bx+ c的图像和性质 【类型一】二次函数图像的位置与系数符号互判 D如图，二次函数y= ax2+ bx+ c的图像开口向上，图像经过点(一1, 2)和(1 , 0)且与y轴交于负半轴. (1) 给出四个结论：①a> 0；②b> 0；③c>0:④a+ b+ c = 0.其中正确的结论的序号是 ______ ; (2) 给出四个结论：①abc v 0；笑2 a+ b> 0:③a+ c= 1；④a> 1.其中正确的结论的序 P.曰 号是_________. 解析：由抛物线开口向上，得a> 0；由抛物线y轴的交点在负半轴上，得c v 0；由抛 b 物线的顶点在第四象限，得—2a>0，又a>0，所以b v0；由抛物线与x轴交点的横坐标是
1,得a+ b+ c= 0.因此，第⑴问中正确的结论是①④.在第(1)问的基础上，由a>0、b v 0、
b c V 0，可得abc>0;由一—V1、a>0,可得2a+ b > ;由点（一1, 2）在抛物线上，可知a 2a —b+ c = 2,又a+ b+ c = 0,两式相加得2a+2c= 2，所以a+ c = 1 ；由a+ c= 1, c V 0,可得a> 1.因此，第（2）问中正确的结论是②③④. 方法总结：观察抛物线的位置确定符号的方法：①根据抛物线的开口方向可以确定a 的符号?开口向上，a>0;开口向下，a v0.②根据顶点所在象限可以确定b的符号?顶点 b b 在第一、四象限，一> 0,由此得a、b异号；顶点在第二、三象限，一V 0，由此得a、2a 2a b同号?再由①中a的符号，即可确定b的符号. 2 【类型二】二次函数y = ax + bx+ c 的性质 FJ如图，已知二次函数y = —x2+ 2x，当一1 V x V a时，y随x的增大而增大，则实 数a的取值范围是（） A. a> 1 B. —1V a wl C. a>0 D. —1 V a v 2 解析：抛物线的对称轴为直线x =—2x（1 ［）= 1,：函数图像开口向下，在对称轴 左侧，y随x的增大而增大，??? a< 1. :—1 V x V a,「. a>—1,二一1