第二课时角的概念的推广(二)
教学目标:
熟练掌握象限角的集合、轴线角的集合及终边相同的角的表示方法.
教学重点:
轴线角的集合,终边相同的角的表示方法
教学难点:
终边相同的角的表示方法
教学过程:
Ⅰ.复习回顾
请思考并回答以下问题:
1.正角、负角、零角、象限角、终边相同的角的表示方法是如何定义的?
2.角的定义只强调了射线绕端点旋转的方向,而没有谈及射线绕端点旋转的圈数,那么
射线绕端点旋转的圈数对角有无影响?
3.能否说射线绕端点旋转的圈数越多,角就越大呢?
4.如图所示的∠ABC是第一象限角吗?为什么?
指出:①在角的定义里,射线绕端点旋转的圈数影响着角的
大小.②射线绕端点旋转的方向,若是逆时针方向旋转,则旋转圈
数越多,角越大;若顺时针方向旋转,则旋转圈数越多,角越小.③象限角概念中强调“角的顶点与原点重合,角的始边与x轴的非负半轴重合”这一条件.
Ⅱ.例题分析
[例1]写出终边在y轴上的角的集合(用0°到360°的角表示)
第一步:在0°到360°内找到满足上述条件的角,即90°、270°.
第二步:写出与上述角终边相同的角的集合,即
S1={β|β=90°+k2360°,k∈Z}
S2={β|β=270°+k2360°,k∈Z}
第三步:写出几个集合的并集,即
S=S1∪S2={β|β=90°+k2360°,k∈Z}∪{β|β=270°+k2360°,k∈Z}
={β|β=90°+2k2180°,k∈Z}∪{β|β=90°+(2k+1)2180°,k∈Z}
={β|β=90°+180°的偶数倍}∪{β|β=90°+180°的奇数倍}
={β|β=90°+180°的整数倍}={β|β=90°+n2180°,n∈Z}
能写出终边在x轴的非负半轴、非正半轴上的角的集合吗?
终边在x轴非负半轴上的角的集合为{x|x=k2360°,k∈Z},终边在x轴非正半轴上的角的集合为{x|x=k2360°+180°,k∈Z}.
以上两个集合的并集代表什么特殊位置上的角的集合呢?
[例2]写出与下列各角终边相同的角的集合S,并把S中适合不等式-360°≤β≤720°的元素β写出来:
(1)60°(2)-21°(3)363°14′
第一步:利用终边相同的角的集合公式写出:
(1)S={β|β=60°+k2360°,k∈Z}
(2)S={β|β=-21°+k2360°,k∈Z}
(3)S={β|β=363°14′+k2360°,k∈Z}
第二步:在第一步的基础上,利用满足约束条件的不等式,对其中的k值,分别采用赋值法求解出元素β:
(1)-300°,60°,420°
(2)-21°,339°,699°
(3)-356°46′,3°14′,363°14′
题目中的k 值是靠观测、试探确定的,即赋给k 一个任意值m 试一试,看是否满足条件,再将m 增1或减1再试,直至找到合适的k 的最小值(或最大值).
[例3]若α是第三象限角,试求α2 、α3
的范围. 分析:依据象限角的表示法将α表示出来后,再确定α2 、α3 的范围,再进一步判断α2
、α3
所在的象限. 解:∵α是第三象限角
∴k 2360°+180°<α<k 2360°+270°(k ∈Z )
(1)k 2180°+90°<α2
<k 2180°+135°(k ∈Z ) 当k =2n (n ∈Z )时,n 2360°+90°<α2
<n 2360°+135° 当k =2n +1(n ∈Z )时,n 2360°+270°<α2
<n 2360°+315° ∴α2
为第二或第四象限角. (2)k 2120°+60°<α3
<k 2120°+90°(k ∈Z ) 当k =3n (n ∈Z )时,n 2360°+60°<α3
<n 2360°+90°(n ∈Z ) 当k =3n +1(n ∈Z )时,n 2360°+180°<α3
<n 2360°+210°(n ∈Z ) 当k =3n +2(n ∈Z )时,n 2360°+300°<α3
<n 2360°+330°(n ∈Z ) ∴α3
为第一或第三或第四象限角. Ⅲ.课堂练习
P 7练习5
Ⅳ.课时小结
本节课的重点内容仍然是终边相同的角的集合表示,这是学习后续知识的基础,要予以足够的重视,若还有不明白的地方,请同学们再做进一步的讨论,或者提出来,老师再与你一块研究.
Ⅴ.课后作业
(一)P 10习题 4、11、12.
(二)1.预习内容
课本P 7~P 8弧度制
2.预习提纲
弄清楚下列问题:
(1)弧度的单位符号
(2)1弧度的角的定义
(3)弧度制的定义
(4)角度与弧度的换算公式
角的概念的推广(二)
1.若α是第四象限角,则180°-α是()A.第一象限角 B.第二象限角
C.第三象限角
D.第四象限角
2.设k∈Z,下列终边相同的角是()A.(2k+1)2180°与(4k±1)2180° B.k290°与k2180°+90°
C.k2180°+30°与k2360°±30°
D.k2180°+60°与k260°
3.若90°<-α<180°,则180°-α与α的终边()A.关于x轴对称 B.关于y轴对称
C.关于原点对称
D.以上都不对
4.终边与坐标轴重合的角α的集合是()
A.{α|α=k 2360°,k ∈Z}
B.{α|α=k 2180°+90°,k ∈Z}
C.{α|α=k 2180°,k ∈Z}
D.{α|α=k 290°,k ∈Z}
5.若角α与β终边重合,则有 ( )
A.α-β=180°
B.α+β=0
C.α-β=k 2360°(k ∈Z )
D.α+β=k 2360°(k ∈Z )
6.若将时钟拨慢5分钟,则时针转了 度,分针转了 度.
7.若角α是第三象限角,则α2
角的终边在 ,2α角的终边在 . 8.如果6α与30°角的终边相同,求适应不等式-180°<α<180°的角α的集合.
9.如果角α的终边经过点M (1, 3 ),试写出角α的集合A ,并求集合A 中最大的负角和绝对值最小的角.
10.已知0°<θ<360°,且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合,求θ.
角的概念的推广(二)答案
1.C 2.A 3.B 4.D 5.C 6.2.5 30
7.第二或第四象限 第一或第二象限或终边在y 轴的正半轴上
8.如果6α与30°角的终边相同,求适应不等式-180°<α<180°的角α的集合.
分析:由6α与30°角的终边相同,得出α的表达式是解题的关键.
解:由题意得
6α=30°+k 2360°(k ∈Z )
∴α=5°+k 260°
∵-180°<α<180°
∴-180°<5°+k 260°<180°,-185°<k 260°<175°
∴-3712 <k <3512
∵k 是整数, ∴k =-3,-2,-1,0,1,2.
分别代入α=5°+k 260°,得满足条件的α的集合为:
{-175°,-115°,-55°,5°,65°,125°}
9.如果角α的终边经过点M (1, 3 ),试写出角α的集合A ,并求集合A 中最大的负角
和绝对值最小的角.
分析:关键是求出0°到360°范围内的角α.
解:在0°到360°范围内,由几何方法可求得α=60°.
∴A={α|α=60°+k2360°,k∈Z}
其中最大的负角为-300°(当k=-1时)
绝对值最小的角为60°(当k=0时)
10.已知0°<θ<360°,且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合,求θ.
由7θ=θ+k2360°,得θ=k260°(k∈Z)
∴θ=60°,120°,180°,240°,300°
新课标下高中数学概念教学的实践与思考 广东东莞实验中学黄芳芳523120 新一轮课程改革把培养人的创新能力放在重要位置, 重视知识传授的过程,强调各科目在学生个性发展、提高素质和健全人格上的作用。数学教学是实现这一教育目的的重要途径之一,而数学概念是数学思维的细胞,是形成数学知识体系的基本要素,是数学基础知识的核心。所以,数学概念教学是数学教学工作中的一项重要内容,是新课标下“人人学有用的数学”的前提,是提高中学数学教学质量的关键。 一、高中数学课程标准对概念教学的要求 高中数学课程标准指出:教学中应加强对基本概念和基本思想的理解和掌握,对一些核心概念和基本思想要贯穿高中数学教学的始终,帮助学生逐步加深理解。由于数学高度抽象的特点,注重体现基本概念的来龙去脉。在教学中要引导学生经历从具体实例抽象出数学概念的过程,在初步运用中逐步理解概念的本质。 二、当前高中数学概念教学中存在的问题 长期以来, 由于受应试教育的影响,不少教师重解题、轻概念,造成数学概念与解题脱节的现象。有些教师仅仅把数学概念看做一个名词而已,概念教学就是对概念作解释,要求学生记忆,而没有看到像函数、向量这样的概念, 本质是一种数学观念,是一种处理问题的数学方法。一节“概念课”教完了,也就完成了它的历史使命,剩下的是赶紧解题,造成学生对概念含糊不清,一知半解,不能很好地理解和运用概念,严重影响了学生的解题质量。在新课程理念下,研究和实践与之相适应的高中数学概念教学的范式与方法成为当务之需。那么,作为教师应如何进行数学概念的教学呢?笔者从以下几个方面作了努力与探索,收到了一定的效果 三、新课标下高中数学概念课的教学 新课标下教师要更新教学理念,重视概念课教学;正确选择教学方法,改进概念课的教学过程;精心设计问题情景,激发学生的学习兴趣;倡导学生自主探索,合作交流,优化学生的学习方式;引导学生重视概念的学习,提高应用概念解决问题的能力。 1. 重视数学概念引入的方法 新课标指出:概念教学中要引导学生经历从具体的实例抽象出数学概念的过程.因此引入数学概念就要以具体的典型材料和实例为基础,揭示概念形成的实际背景,要创设好的问题情境,帮助学生完成由材料感知到理性认识的过渡,并引导学生把背景材料与原有认知结构建立实质性联系. 1.1 从实际生活中,引入新概念 新课标强调“数学教学要紧密联系学生的生活实际”.在数学概念的引入上,尽可能地选取学生日常生活中熟悉的事例.并且注意选取事例不在于数量的多少,关键是要贴近学生的认识经历,能够反映概念的本质特征。 案例1:数列极限的概念引入,从学生熟悉的砍木棍引入:战国时代哲学家庄周著的《庄子·天下篇》中有这样一句话:一尺之棰,日取其半,万世不竭.意思是说:一根一尺长的木棍,每天砍去一半,这样可以无限制的进行下去.让学生将每天剩余的木棍长度和已砍去的木棍长度写成两个数列,并把它们的各项标在数轴上,引导学生归纳两个数列的共同点特征:(1)都是无穷数列;(2)随着项数的无限增大,数列的项无限趋近于一个常数.从而引出数列极限的定义。 1.2 在体验数学概念产生的过程中引入概念 数学概念的引入,应从实际出发,创设情景,提出问题。通过与概念有明显联系、直观性强
浅谈高中数学课的课题引入 发表时间:2011-10-18T09:05:52.497Z 来源:《少年智力开发报》2011年第52期供稿作者:耿明月宋旭波 [导读] 高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。 山东省莱阳市第九中学耿明月宋旭波 《普通高中数学课程标准》指出:“高中数学课程应该返璞归真,努力揭示数学概念、法则、结论的发展过程和本质。数学课程要讲逻辑推理,更要讲道理,通过典型例子的分析和学生自主探索活动,使学生理解数学概念、结论逐步形成的过程,体会蕴涵在其中的思想方法,追寻数学发展的历史足迹,把数学的学术形态转化为学生易于接受的教育形态”。因此,教师在课堂教学过程中应注意创设问题情境,从具体实例出发,展现数学知识的发生、发展过程,使学生能够从中发现问题、提出问题,经历数学的发现和创造过程,了解知识的来龙去脉。 而课题引入,是激发学生学习兴趣,激活学生思维,鼓舞学生不断探索获取新知识的重要的教学环节,也是首要环节。只有适时、适度地引出课题,即创设出最佳的课堂教学气氛,火候到了的时候,引入课题,该出手时才出手,才能够激发出学生的求知欲望,调动学生积极思维,丰富想象,同时使学生产生某种情感体验。 下面针对高中数学课课题引入常用方法谈几点看法: 1、联系生产、生活实际引入课题 我们知道,数学来源于现实生产、生活,数学的发展应归结为现实所需。而作为人的心理的重要组成部分,情感总是在实践和探究过程中产生和发展起来的,对于生活中的实际问题,学生倍感亲切。当教师提出这些问题时,便能充分调动起学生学习的积极性,并使学生经历知识的形成过程。 例如在学习《简单的线性规划问题》一节时,用下面问题引入课题: 当娱乐大哥大李咏把《非常6+1》里的金蛋砸得金花四溅时,央视总编却在思考着另外一个问题:央视为改版后的《非常6+1》栏目播放两套宣传片.其中宣传片甲播映时间为3分30秒,广告时间为30秒,收视观众为60万,宣传片乙播映时间为1分钟,广告时间为1分钟,收视观众为20万.广告公司规定每周至少有3.5分钟广告,而电视台每周只能为该栏目宣传片提供不多于16分钟的节目时间.电视台每周应播映两套宣传片各多少次,才能使得收视观众最多? 李咏主持的《非常6+1》是大家很喜欢的娱乐节目,可以说是家喻户晓.利用李咏的MV作为引入,设计一道电视台如何播放节目和广告的实际问题,引导学生在新鲜感和好奇心的作用下,寻找最优方案,使枯燥无味的应用题显得生趣盎然,极大地调动了学生学习的积极性和主动性. 2、利用趣味故事和数学史话引入课题 乌申斯基说:“没有丝毫兴趣的强制学习,将会扼杀学生探求真理的欲望。”当学生产生学习兴趣时,就会产生力求掌握知识的理智感,集中注意力,采取积极主动的意志行为,使心理活动处于积极状态,从而提高学习效率。因此,教学中寓趣于教,适度幽默,创设愉悦的问题情境,可以诱发学生的内驱力,激发学生情趣,活跃课堂气氛,把机械的知识讲活,深奥的数学道理变得通俗易懂,给学习留下生动鲜明的印象。 例如在学习“等比数列前n项和”一节课时,用下面问题引入课题:猪八戒向孙悟空借钱,要孙悟空每天给他100万元,连续1个月(30天)。猪八戒说,我用下面的方法还给你钱:第1天还1元,第2天还2元,第3天还4元,…,以后每天还的钱是前一天的2倍,连续还你30天。同学们,请你给猪八戒作个参谋,猪八戒合算吗?从而引出来要比较100万×30与 1+2+4+8+.....+229两数的大小,关键要计算出 1+2+4+8+.....+229的值,从而引出课题——等比数列前n项和。 3、恰当制造悬念引入课题 学起于思,思源于疑。亚里士多德曾说过:“思维是从疑惑和惊奇开始的。”学生有了疑问才会进一步思考问题,才会有所发展,有所创新。按照人的认识规律,易对悬而未解的问题产生兴趣。设置悬念,将有利于学生对新知识产生强烈的好奇心和求知欲,推动学生的情感波澜,撞击学生的求知心灵,使学生“疑中生奇”,从而达到“疑中生趣”。 例如在讲基本不等式:基本不等式一节时,用下面问题引入课题:两次到超市购买食盐,可以用两种不同的策略,甲是不考虑价格的升降,每次购买这种物品的数量一定为m;乙是不考虑价格的升降,每次购买这种物品的所花的钱数一定为n。问哪种购买食盐的方式比较合算?(适当提示可设第一次价格为a, 第一次价格为b)。 4、运用类比联想引入课题 类比在几何中的应用最为广泛,也最不容忽视。在立体几何的教学中,可以经常用到类比引入,二面角与平面角、四面体与三角形、空间向量与平面向量的类比等。也可以通过等差数列有关的结论来类比等比数列,用球与圆进行类比,来创设合适的教学情境,激发学生的学习兴趣。 例如:例如学习了平面向量基本定理后,知道平面内任意一个向量都可以用两个不共线的向量来表示,在学习空间向量基本定理时,让学生类比猜想:对于空间任意一个向量,有没有类似的结论呢?此时引出课题。 5、利用数学实验引入课题 新课程标准下,注重学生的实践操作、自主探究、合作交流,利用数学实验来引入课题创设问题情境,可以让学生感受到数学的乐趣所在,培养学生的合作精神和合作能力。 在讲“数学归纳法”一节时,可以用下面的试验引入: 问题情境:今天,我们大家一起来做一个游戏:“多米诺”骨牌游戏。让学生把提前准备的模具摆放好,将其推倒,并从中感悟推倒的规则。 学生经过反复动手实验后,总结出玩此游戏的规则:(1)推倒第一块;(2)前一块牌倒下,保证后一块牌一定倒下。 由此便非常自然的引出数学归纳法的定义,这自然比直接导入定义妙得多,并且学生能真正地理解对一个与自然数有关的命题经过数学归纳法的步骤证明后是正确的。
技工学校教案用纸 教学过程 一、引入课题 通过生活中常见现象的解释来引入知识点,如螺 丝扳手紧固螺丝、时针与分针、车轮的旋转等等,都能形成角的概念,给学生以直观的印象,形成正角、负角、零角的概念,确定“规定”的实际意义,突出角的概念的理解与掌握。 二.知识点 1、角的概念 ⑴“旋转”形成角 一条射线由原来的位置OA ,绕着它的端点O 按逆时针方向旋转到另一位置OB ,就形成角α. 学 科 数 学 角的概念的推广 授课班级 2015级机 械二班 授课时数 6课 授课时间 第二周 教学目的 使学生了解角的概念的推广是解决现实生活和生产中实际问题的需要 如何让学生用数学的观点分析、解决实际问题 教学重点 和 难 点 1.使学生初步理解用“旋转”定义角的概念; 2.理解“正角” 、“负角”、“零角”、“象限角”、“终边相同的角”的含 义; 3.掌握所有与 角终边相同的角(包括 角)的表示方法 复习提问 B A O 始边 终边
2100 -1500 旋转开始时的射线OA 叫做角α的始边,旋转终止的射线OB 叫做角α的终边,射线的端点O 叫做角α的顶点. ⑵.“正角”与“负角”、“0o角” 我们把按逆时针方向旋转所形成的角叫做正角,把按顺时针方向旋转所形成的角叫做负角,如图,以OA 为始边的角α=210°,β=-150°,γ=660° (3).象限角与终边相同角 1.“象限角” 为了方便,我们往往在平面直角坐标系中来讨论角。 角的顶点重合于坐标原点,角的始边重合于x 轴的正半轴,这样一来,角的终边落在第几象限,我们就说这个角是第几象限的角(角的终边落在坐标轴上,则此角不属于任何一个象限) 例如:30 、390 、 330 是第Ⅰ象限角, 300 、60是第Ⅳ象限角 585 、1300是第Ⅲ象限角, 135、2000 是第Ⅱ象限角等 6600
高中数学概念课教学 摘要培养创新精神和实践能力是目前我国教育改革,实施素质教育的重要任务之一,它要求我们在日常教学中持之以恒地认真钻研教材,合理创设问题情景,加强思维训练,并积极探索规律,改进教学方法,优化教学过程。笔者在高中数学概念教学中,发现教师若能充分重视数学概念的教学,在概念教学中恰当的把握好传授知识与增长能力的关系,充分尊重学生在学习过程中的主体体验、主动积极的思维和情感活动,才能循序渐进地引导学生在体验中感悟、在体验中创造、在体验中提高数学素养,帮助学生认识、理解、体验和掌握数学概念,促使其能运用数学概念灵活处理相关的数学问题。发展学生学会学习、学会思考、学会提问和开拓创新的能力。 关键词数学概念认识掌握拓展应用 数学是自然的,数学是清楚的。任何数学概念都有它产生的背景,考察它的来龙去脉,我们能够发现它是合情合理的。而要让学生理解概念,首先要了解它产生的背景,通过大量实例分析分析概念的本质属性,让学生概括概念,完善概念,进一步巩固和应用概念。才能是学生初步掌握概念。因此,概念教学的环节应包括概念的引入——概念的形成——概括概念——明确概念——应用概念—— 形成认知。传统的教法教师经常包办到家,口若悬河,常使学生感到枯燥无味,对数学课提不起兴趣,致使不少学生概念模糊,从而影响对数学内容的后续学习。数学概念是学习数学知识的基础,是
培养数学能力的前提。如何搞好数学概念课的教学呢? 一、让学生在亲自感知、体验教学中认识概念 学习一个新概念,首先应让学生明确学习它的意义,作用。因此,教师应设置合理的教学情景,使学生体会学习新概念的必要性。概念的引入,通常有两类:一类是从数学概念体系的发展过程引入,一类是从解决实际问题出发的引入。我们着重谈一下从实际问题引入,通过创设实验活动,培养学生动手操作能力,让他们在亲自体验实践中形成数学概念。如在椭圆概念教学中,可要求学生事先准备两个小图钉和一条长度为定长细线,将细线两端分别固定在图板上不同两点a 和b ,用铅笔把细线拉紧,使笔尖在纸上慢慢移动所得图形。提问思考讨论:(1)椭圆上的点有何特征?(2)当细线长等于两定点之间距离时,其轨迹是什么?(3)当细线长小于两定点之间距离时,其轨迹是什么?(4)请同学总结,完善椭圆定义。这样的设计,不是教师机械的讲解、学生被动的接受的过程,而是学生通过数学实验,在不断思考和探索中得到新发现,获得新知识,从而体验数学概念的发生、形成和发展的过程,,一方面有利于增强学生上数学课兴趣,感受过程给他们带来的快乐,另一方面有利于学生充分了解概念由来,方便记忆。 二、寻找新旧概念之间联系,形成系统化,进一步掌握概念 数学中有许多概念都有着密切的联系,如平面角与空间角、映射与函数、平行线段与平行向量、等差数列与等比数列等等,在教学中应善于寻找、分析其联系与区别,有利于学生掌握概念的本质。
数学课的基本课型 一、关于数学基本课型 (一)数学概念课 概念具有确定研究对象和任务的作用。数学概念是导出全部数学定理、法则的逻辑基础,数学概念是相互联系、由简到繁形成学科体系。数学概念不仅是建立理论系统的中心环节,同时也是提高解决问题的前提。因此,概念教学是数学基础知识和基本技能教学的核心。它是以“事实学习”为中心内容的课型。 我们认为,通过概念教学,力求让学生明了以下几点: 第一,这个概念讨论的对象是什么?有何背景?其来龙去脉如何?学习这个概念有什么意义?它们与过去学过的概念有什么联系? 第二,概念中有哪些补充规定或限制条件?这些规定和限制条件的确切含义又是什么? 第三,概念的名称、进行表述时的术语有什么特点?与日常生活用语比较,与其他概念、术语比较,有没有容易混淆的地方?应当如何强调这些区别? 第四,这个概念有没有重要的等价说法?为什么等价?应用时应如何处理这个等价转换?第五,根据概念中的条件和规定,可以归纳出哪些基本的性质?这些性质又分别由概念中的哪些因素(或条件)所决定?它们在应用中起什么作用?能否派生出一些数学思想方法?由于数学概念是抽象的,因此在教学时要研究引入概念的途径和方法。一定要坚持从学生的认识水平出发,通过一定数量日常生活或生产实际的感性材料来引入,力求做到从感知到理解。还要注意在引用实例时一定要抓住概念的本质特征,着力揭示概念的本质属性。 人类的认识活动是一个特殊的心理过程,智力不同的学生完成这个过程往往有明显的差异。在教学时要从面向全体学生出发,从不同的角度,设计不同的方式,使学生对概念作辩证的分析,进而认识概念的本质属性。例如选择一些简单的巩固练习来辨认、识别,帮助学生掌握概念的外延和内涵;通过变式或变式图形,深化对概念的理解;通过新旧概念的对比,分析概念的矛盾运动。抓住概念之间的联系与区别来形成正确的概念。有些存在种属关系的概念,常分散在各单元出现,在教学进行到一定阶段,应适时归类整理,形成系统和网络,以求巩固、深化、发展和运用。 (二)数学命题课 表达数学判断的陈述句或用数学符号联结数和表示数的句子的关系统称为数学命题。定义、公理、定理、推论、公式都是符合客观实际的真命题。数学命题的教学是获得新知的必由之路,也是提高数学素养的基础。因此,它是数学课的又一重要基本课型。通过命题教学,使学生学会判断命题的真伪,学会推理论证的方法,从中加深学生对数学思想方法的理解和运用。培养数学语言能力、逻辑思维能力、空间想象能力和运算能力,培养数学思维的特有品质。 在进行命题教学时,首先要重视指导学生区分命题的条件与结论。其次要引导学生探索由条件到结论转化的证明思路。由于数学证明常会用证明一个等效的命题来代替原命题的真实性,因而还要注意引导学生在证明过程中如何进行命题的转换,一定要展示完整的思维过程,并要注意命题转换时的等价性。特别通过一个阶段的教学后,要及时归纳和小结证明的手段和方法。使学生掌握演绎法的原理和步骤,逐步掌握综合法、分析法、反证法等证明方法(高中还有数学归纳法)。 命题课教学还要注意: 第一,对基本问题,要详细讲解,认真作图,教学语言要准确,论证要严格,书写要规范,
31 角的概念的推广 教材分析 这节课主要是把学生学习的角从不大于周角的非负角扩充到任意角,使角有正角、负角和零角.首先通过生产、生活的实际例子阐明了推广角的必要性和实际意义,然后又以“动”的观点给出了正、负、零角的概念,最后引入了几个与之相关的概念:象限角、终边相同的角等.在这节课中,重点是理解任意角、象限角、终边相同的角等概念,难点是把终边相同的角用集合和符号语言正确地表示出来.理解任意角的概念,会在平面内建立适当的坐标系,通过数形结合来认识角的几何表示和终边相同的角的表示,是学好这节的关键. 教学目标 1. 通过实例,体会推广角的必要性和实际意义,理解正角、负角和零角的定义. 2. 理解象限角的概念、意义及表示方法,掌握终边相同的角的表示方法. 3. 通过对“由一点出发的两条射线形成的图形”到“射线绕着其端点旋转而形成角”的认识过程,使学生感受“动”与“静”的对立与统一.培养学生用运动变化的观点审视事物,用对立统一规律揭示生活中的空间形式和数量关系. 任务分析 这节课概念很多,应尽可能让学生通过生活中的例子(如钟表上指针的转动、体操运动员的转体、自行车轮子上的某点的运动等)了解引入任意角的必要性及实际意义,变抽象为具体.另外,可借助于多媒体进行动态演示,加深学生对知识的理解和掌握. 教学设计 一、问题情境 [演示] 1. 观览车的运动. 2. 体操运动员、跳台跳板运动员的前、后转体动作. 3. 钟表秒针的转动. 4. 自行车轮子的滚动. [问题]
1. 如果观览车两边各站一人,当观览车转了两周时,他们观察到的观览车上的某个座位上的游客进行了怎样的旋转,旋转了多大的角? 2. 在运动员“转体一周半动作”中,运动员是按什么方向旋转的,转了多大角? 3. 钟表上的秒针(当时间过了1.5min时)是按什么方向转动的,转动了多大角? 4. 当自行车的轮子转了两周时,自行车轮子上的某一点,转了多大角? 显然,这些角超出了我们已有的认识范围.本节课将在已掌握的0°~360°角的范围的基础上,把角的概念加以推广,为进一步研究三角函数作好准备. 二、建立模型 1. 正角、负角、零角的概念 在平面内,一条射线绕它的端点旋转有两个方向:顺时针方向和逆时针方向.习惯上规定,按逆时针旋转而成的角叫作正角;按顺时针方向旋转而成的角叫作负角;当射线没有旋转时,我们也把它看成一个角,叫作零角. 2. 象限角 当角的顶点与坐标原点重合、角的始边与x轴正半轴重合时,角的终边在第几象限,就把这个角叫作第几象限的角.如果角的终边在坐标轴上,就认为这个角不属于任何象限. 3. 终边相同的角 在坐标系中作出390°,-330°角的终边,不难发现,它们都与30°角的终边相同,并且这两个角都可以表示成0°~360°角与k个(k∈Z)周角的和,即 390°=30°+360°,(k=1); -330°=30°-360°,(k=-1). 设S={β|β=30°+k·360°,k∈Z},则390°,-330°角都是S中的元素,30°角也是S中的元素(此时k=0).容易看出,所有与30°角终边相同的角,连同30°角在内,都是S中的元素;反过来,集合S中的任一元素均与30°角终边相同.一般地,所有与角α终边相同的角,连同角α在内,可构成一个集合:S={β|β=α+k·360°,k∈Z},即任一与α终边相同的角,都可以表求成角α与整数个周角的和. 三、解释应用 [例题] 1. 在0°~360°范围内,找出与下列各角终边相同的角,并判断它们是第几象限的角.