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比较全面的等差等比数列的性质总结

比较全面的等差等比数列的性质总结
比较全面的等差等比数列的性质总结

一、等差数列

1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n );

2.等差数列通项公式:

*11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m

n a a d m

n --=;

3.等差中项

(1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2

b

a A +=

或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a

4.等差数列的前n 项和公式:

1()2n n n a a S +=

1(1)2n n na d -=+211

()22

d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0)

特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项

()()()12121121212

n n n n a a S n a +++++=

=

+(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项)

5.等差数列的判定方法

(1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。

(4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。

6.等差数列的证明方法

定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*

∈N n )? {}n a 是等差数列.

7.提醒:

(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)设项技巧:

①一般可设通项1(1)n a a n d =+-

②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d );

③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d )

8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,

等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;

前n 和211(1)()222

n n n d d

S na d n a n -=+

=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

(2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。

(3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.

注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,

(4)若{}n a 、{}n b 为等差数列,则{}{}12n n n a b a b λλλ++,都为等差数列

(5) 若{n a }是等差数列,则232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列

(6)数列{}n a 为等差数列,每隔k(k ∈*

N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等差数列

(7)设数列{}n a 是等差数列,d 为公差,奇S 是奇数项的和,偶S 是偶数项项的和,n S 是前n 项的和

1.当项数为偶数n 2时,

()

121135212n n n n a a S a a a a na --+=+++???+==奇

()

22246212

n n n n a a S a a a a na ++=+++???+==偶

()11n n n n S S na na n a a ++-=-=-偶奇

11

n n n n S na a S na a ++==奇偶

2、当项数为奇数12+n 时,则

21(21)(1)1n S S S n a S n a S n S S a S na S n +?=+=+=+?+????=??

-==????

n+1n+1

奇偶奇奇n+1n+1奇偶偶偶 (其中a n+1是项数为2n+1的等差数列的中间项).

(8)、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ,且

()n

n

A f n

B =, 则21

21

(21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--.

(9)等差数列{}n a 的前n 项和m S n =,前m 项和n S m =,则前m+n 项和()m n S m n +=-+

(10)求n S 的最值

法一:因等差数列前n 项是关于n 的二次函数,故可转化为求二次函数的最值,但要注意数列的特殊性

*n N ∈。

法二:(1)“首正”的递减等差数列中,前n 项和的最大值是所有非负项之和 即当,,001<>d a 由??

?≤≥+0

1n n a a 可得n S 达到最大值时的n 值.

(2) “首负”的递增等差数列中,前n 项和的最小值是所有非正项之和。 即 当,,001>

1n n a a 可得n S 达到最小值时的n 值.

或求{}n a 中正负分界项

法三:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数,故n 取离二次函数对称轴最近的整数时,n S 取最大值(或最小值)。若S p = S q 则其对称轴为2

p q

n +=

注意:解决等差数列问题时,通常考虑两类方法:

①基本量法:即运用条件转化为关于1a 和d 的方程;

②巧妙运用等差数列的性质,一般地运用性质可以化繁为简,减少运算量.

二、等比数列

1. 等比数列的定义:()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且,q 称为公比 2. 通项公式:

()11110,0n n

n n a a a q q A B a q A B q

-==

=??≠?≠, 首项:1a ;公比:q 推广:n m n m a a q -=, 从而得n m

n

m

a q a -=

或n q =3. 等比中项

(1)如果,,a A b 成等比数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2

A ab =

或A =注意:同号的两个数才有等比中项,并且它们的等比中项有两个(两个等比中项互为相反数) (2)数列{}n a 是等比数列?211n n n a a a -+=?

4. 等比数列的前n 项和n S 公式: (1) 当1q =时, 1n S na = (2) 当1q ≠时,()11111n n n a q a a q

S q

q

--=

=

--

11''11n n n a a

q A A B A B A q q

=

-=-?=---(,,','A B A B 为常数) 5. 等比数列的判定方法

(1)用定义:对任意的n,都有1

1(0)n n n n n

a a qa q q a a ++==≠或

为常数,?{}n a 为等比数列 (2) 等比中项:211n n n a a a +-=(11n n a a +-≠0)?{}n a 为等比数列 (3) 通项公式:()0n

n a A B

A B =??≠?{}n a 为等比数列

(4) 前n 项和公式:()

'',,','n

n

n n S A A B S A B A A B A B =-?=-或为常数?{}n a 为等比数列

6. 等比数列的证明方法 依据定义:若

()()*1

2,n

n a q q n n N a -=≠≥∈0且或1n n a qa +=?{}n a 为等比数列 7. 注意

(1)等比数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、q 、n 、n a 及n S ,其中1a 、q 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。

(2)为减少运算量,要注意设项的技巧,一般可设为通项;11n n a a q -=

如奇数个数成等差,可设为…,

22

,,,,a a

a aq aq q q

…(公比为q ,中间项用a 表示);

8. 等比数列的性质 (1) 当1q ≠时

①等比数列通项公式()1

110n n

n n a a a q

q A B A B q

-==

=??≠是关于n 的带有系数的类指数函数,底数为公比q ②前n 项和()111111''1111n n n n n n a q a a q a a S q A A B A B A q

q q q

--=

=-=-?=-----,系数和常数项是互为相反

数的类指数函数,底数为公比q

(2) 对任何m,n ∈*N ,在等比数列{}n a 中,有n m n m a a q -=,特别的,当m=1时,便得到等比数列的通项公式.因此,此公式比等比数列的通项公式更具有一般性。

(3) 若m+n=s+t (m, n, s, t ∈*N ),则n m s t a a a a ?=?.特别的,当n+m=2k 时,得2n m k a a a ?= 注:12132n n n a a a a a a --?=?=???

(4) 列{}n a ,{}n b 为等比数列,则数列{}n

k

a ,{}n k a ?,{}k n a ,{}n n k a

b ??{}n n a b (k 为非零常数) 均为等比数

列.

(5) 数列{}n a 为等比数列,每隔k(k ∈*N )项取出一项(23,,,,m m k m k m k a a a a +++???)仍为等比数列 (6) 如果{}n a 是各项均为正数的等比数列,则数列{log }a n a 是等差数列 (7) 若{}n a 为等比数列,则数列n S ,2n n S S -,32,n n S S -???,成等比数列

(8) 若{}n a 为等比数列,则数列12n a a a ??????, 122n n n a a a ++??????, 21223n n n a a a ++???????成等比数列 (9) ①当1q >时, ②当1q <0<时,

110{}0{}{n n a a a a ><,则为递增数列

,则为递减数列, 110{}0{}{n n a a a a ><,则为递减数列,则为递增数列

③当q=1时,该数列为常数列(此时数列也为等差数列); ④当q<0时,该数列为摆动数列.

(10)在等比数列{}n a 中, 当项数为2n (n ∈*N )时,

1S S q

=奇偶,. (11)若{}n a 是公比为q 的等比数列,则n n m n m S S q S +=+?

例1、(1)设{}n a 是等差数列,且21512841=+---a a a a a ,求133a a +及S 15值。 (2)等比数列{}n a 中,661=+n a a ,12812=-n a a ,前n 项和S n =126,求n 和公比q 。 (3)等比数列中,q=2,S 99=77,求a 3+a 6+…+a 99;

(4)项数为奇数的等差数列{}n a 中,奇数项之和为80,偶数项之和为75,求此数列的中间项与项数。

解:(1)由已知可得28-=a ,所以133a a +=248-=a ,S 15=

()30152

158151-==+a a a

()2 由题66,12811=+=n

n a a a a ,所以???==6421n a a 或???==2641n

a a 又12611=--=q q a a S n n ,所以???==62n q 或?????==

6

21n q

()()()()

()

99149726983699369936992311144

S a a a a a a a a a a a a a a a q

q =+++++++++++??

=+++++∴+++= ???

评注:分解重组,引导发现(1497a a a +++ )、(2698a a a +++ )与(3699a a a +++ )的关系,从而使问题获得简单的解法。

()4设等差数列共2n-1项,则

()()1675

80

12

)

1(2

222121=?=-=

-++=

--n n n n a a n

a a S S n n 偶

奇 所以此数列共31项.中间项57580=-=-=偶奇S S

评注:(1)在项数为21n +项的等差数列{}n a 中,2+1=(+1),=,=(2+1)n S n a S na S n a 奇中偶中中; (2)在项数为2n 项的等差数列{}n a 中2+11=,=,=()n n n n n S na S na S n a a +++1奇偶.

变式:(1)若一个等差数列前3项的和为34,最后三项的和为146,且所有项的和为390,则这个数列有13 项;

(2)已知数列{}n a 是等比数列,且>0n a ,*

n N ∈,354657281a a a a a a ++=,则

46a a += 9 .

(3)等差数列前m 项和是30,前2m 项和是100,则它的前3m 项和是 210 .

(4) 等差数列{a n }和{b n }的前n 项之和之比为(3n+1):(2n+3),求.15

15b a 。(=6188

例2、设等差数列的前n 项之和为S n ,已知a 3=12,S 12>0,S 13<0,

(1)求公差d 的取值范围。

(2)指出S 1,S 2,S 3,…S n 中哪一个值最大,并说明理由。 解:(1)021********>?+

=d a S ,0213

1213113+0601121

1d a d a ,

由12213=+=d a a ,代入得:37

24

-<<-d 。 (2)解一:由()067612>+=a a S ,013713<=a S 可知0,076<>a a ,所以S 6最大。

解二:n d n d S n ???

?

?-+=

251222,由3724-<<-d 可知,它的图象是开口向下的抛物线上的一群离散的点,根据图象可知S 6最大。

解三:2

2

)2245(222452d

d d d d n d S n --?

?? ??--=,由3724-<<-d 得 2

1322456<-

评注:求等差数列S n 最值有三法:借助求和公式是关于n 的二次函数的特点,用配方法求解;借助等差数列的

性质判断,通过”转折项”求解;借助二次函数图象求解。(经过原点)

变式:(1) 已知等差数列{a n }中,1251,0S S a =>,问S 1,S 2,S 3,…S n 中哪一个值最大。

(2) 数列{}n a 是首项为1000,公比为

1

10

的等比数列,数列{b }n 满足 121

(lg lg lg )k k b a a a k

=+++ *()k N ∈,

(1)求数列{b }n 的前n 项和的最大值;(2)求数列{|b |}n 的前n 项和n S '.

略解:(1)由题得410n n a -=,∴lg 4n a n =-,∴{lg }n a 是首项为3,公差为1-的AP 。

∴12(1)lg lg lg 32k k k a a a k -+++=-

,∴1(1)7[3]22

n n n n

b n n --=-=

由1

00n n b b +≥??≤?,得67n ≤≤,∴数列{b }n 的前n 项和的最大值为67212S S ==

(2)由(1)当7n ≤时,0n b ≥,当7n >时,0n b <,

∴当7n ≤时,212731132(

)244

n n n

S b b b n n n -+

'=+++==-+ 当7n >时,178n n S b b b b '=++--- 27113

22144

n S S n n =-=-+

∴22113(7)44

11321(7)44

n n n n S n n n ?-+≤??'=??-+>??.

例3、(1) 由正数组成的等比数列{}n a ,若前2n 项之和等于它前2n 项中的偶数项之和的11倍,第3项与第4

项之和为第2项与第4项之积的11倍,求数列{}n a 的通项公式.

解:当1q =时,得11211na na =不成立,∴1q ≠,∴221122331111

(1)11(1)1111n n a q a q q q q a q a q a q a q ?--=?

--??+=??

由①得110q =,代入②得110a =,∴2

1()10

n n a -=.

说明:用等比数列前n 项和公式时,一定要注意讨论公比是否为1. (2) 若数列{}n a 成等差数列,且,()m n S n S m m n ==≠,求n m S +.

解:(法一)基本量法(略);

(法二)设2

n S An Bn =+,则2

2

(1)(2)An Bn m

Am Bm n

?+=??+=?? (1)(2)-得:22()()n m A n m B m n -+-=-,m n ≠ , ∴()1m n A B ++=-,

∴2()()()n m S n m A n m B n m +=+++=-+.

评注:法二抓住了等差数列前n 项和的特征2n S An Bn =+。

变式:设数列{a n }为等差数列,S n 为数列{a n }的前n 项和,已知S 7=7,S 15=75,T n 为数列{n

S n

}的前n 项和,求T n 。 解:法一:(基本量法)设{a n }首项为a 1,公差为d ,则???

????

=?+==?+=75d 21415a 15S 7d 2

67a 7S 11517

∴ ?

??=-=1d 2a 1 ∴ 2)1n (n 2S n -+-=,∴ 252n 21n 2n S n -=-+-=

∴ 此式为n 的一次函数, ∴ {

n

S n }为等差数列,∴ n 4a

n 41T 2n -=。

法二:{a n }为等差数列,设S n =An 2

+Bn ,∴ ?????=+?==+?=75

B 1515A S 7

B 77A S 2

1527 解之得:???

????

-==25

B 21A ∴ n 25n 21S 2n -=,下略。

例4、已知等差数列110,116,122, ,

(1)在区间[450,600]上,该数列有多少项?并求它们的和;

(2)在区间[450,600]上,该数列有多少项能被5整除?并求它们的和. 解:1106(1)6104n a n n =+-=+,

(1)由4506104600n ≤+≤,得5882n ≤≤,又*

n N ∈,

∴ 该数列在[450,600]上有25项, 其和58821

()25131002

n S a a =

+?=. (2)∵1106(1)n a n =+-,∴要使n a 能被5整除,只要1n -能被5整除,即15n k -=,

51n k =+,∴585182k ≤+≤,∴1216k ≤≤,∴在区间[450,600]上该数列中能被5整除的项共有5项即第61,66,71,76,81项,其和61815()

26502

a a S +=

=.

等差、等比数列性质及应用复习参考题

一、选择题

1.在正整数100至500之间能被11整除的个数为( ) A.34 B.35 C.36 D.37

2.{a n }是等差数列,且a 1+a 4+a 7=45,a 2+a 5+a 8=39,则a 3+a 6+a 9的值是( ) A.24 B.27 C.30 D.33

3.设函数f (x )满足f (n +1)=

2

)(2n

n f +(n ∈N *)且f (1)=2,则f (20)为( ) A.95 B.97 C.105 D.192 4. 若{}n a 是等差数列,首项120032004200320040,0,.0a a a a a >+><,则使前n 项和

0n S >成立的最大自然数n 是:

( )

A .4005

B .4006

C .4007

D .4008 5.等差数列{a n }中,已知a 1=-6,a n =0,公差d ∈N *,则n (n ≥3)的最大值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 6. 设命题甲:△ABC 的一个内角为60o ,命题乙:△ABC 的三个内角的度数成等差数列.那么( )

(A)甲是乙的充分不必要条件 (B)甲是乙的必要不充分条件 (C)甲是乙的充要条件 (D)甲不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 7.已知等差数列{a n }的公差为正数,且a 3·a 7=-12,a 4+a 6=-4,则S 20为( ) A.180 B.-180 C.90 D.-90

8. 现有200根相同的钢管,把它们堆放成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能的少,那么剩余钢管的根数为( ) A.9 B.10 C.19 D.29

9.由公差为d 的等差数列a 1、a 2、a 3…重新组成的数列a 1+a 4, a 2+a 5, a 3+a 6…是( ) A.公差为d 的等差数列 B.公差为2d 的等差数列

C.公差为3d 的等差数列

D.非等差数列

10.在等差数列{a n }中,若S 9=18,S n =240,a n -4=30,则n 的值为( ) A.14 B.15 C.16 D.17 二、填空题

11.在数列{a n }中,a 1=1,a n +1=22+n n a a (n ∈N *),则7

2

是这个数列的第_________项.

12.在等差数列{a n }中,已知S 100=10,S 10=100,则S 110=_________.

13.在-9和3之间插入n 个数,使这n +2个数组成和为-21的等差数列,则n =_______.

14.等差数列{a n },{b n }的前n 项和分别为S n 、T n ,若n n T S =132+n n

,则1111b a =_________.

15. 已知等差数列{a n}的公差d≠0,且a 1,a 3,a 9成等比数列,则10

429

31a a a a a a ++++的值是

16. 若数列{}n a 是等差数列,则数列12n a a a n +++??

?

???

也为等差数列,类比上述性质,相应地:若n {c }

是等比数列,且n c >0,则{n d }是等比数列,其中n d = .

17. 设m ∈N +,log 2m 的整数部分用F(m)表示,则F(1)+F(2)+…+F(1024)的值是

三、解答题(本大题共5小题,共54分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 18.若等差数列5,8,11,…与3,7,11,…均有100项,问它们有多少相同的项?

19. 在等差数列{a n }中,若a 1=25且S 9=S 17,求数列前多少项和最大.

20. 已知f (x +1)=x 2-4,等差数列{a n }中,a 1=f (x -1), a 2=-

2

3

,a 3=f (x ). (1)求x 值; (2)求a 2+a 5+a 8+…+a 26的值.

21.已知数列{a n }的前n 项和为S n ,且满足a n +2S n ·S n -1=0(n ≥2),a 1=

2

1. (1)求证:{n

S 1

}是等差数列; (2)求a n 表达式; (3)若b n =2(1-n )a n (n ≥2),求证:b 22+b 32+…+b n 2<1.

13、14等差、等比数列性质及应用复习题参考答案

一、选择题:

1、 C

2、D

3、B

4、C

5、C

6、C

7、A

8、B

9、B 10、B 二、填空提:

11、6 12、-110 13、5 14、

32

21

15、1316 16

17、8204

三、解答题:

18. 设这两个数列分别为{a n }、{b n },则a n =3n +2,b n =4n -1,令a k =b m ,则3k +2=4m -1.

∴3k =3(m -1)+m ,∴m 被3整除. 设m =3p (p ∈N *),则k =4p -1. ∵k 、m ∈[1,100]. 则1≤3p ≤100且1≤p ≤25. ∴它们共有25个相同的项. 19. ∵S 9=S 17,a 1=25,∴9×25+

2)19(9-?d =17×25+2

)

117(17-d ,解得d =-2, ∴S n =25n +

2

)

1(-n n (-2)=-(n -13)2+169.由二次函数性质知前13项和最大. 20.、(1)∵f (x -1)=(x -1-1)2-4=(x -2)2-4

∴f (x )=(x -1)2-4,∴a 1=(x -2)2-4,a 3=(x -1)2-4, 又a 1+a 3=2a 2,解得x =0或x =3.

(2)∵ a 1、a 2、a 3分别为0、-23、-3或-3、-2

3、0 ∴a n =-

23(n -1)或a n =23

(n -3) ① 当a n =-23(n -1)时,a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=2351

② 当a n =23(n -3)时,a 2+a 5+…+a 26=29(a 2+a 26)=2

297

.

21、 (1)∵-a n =2S n S n -1,∴-S n +S n -1=2S n S n -1(n ≥2),又S n ≠0, ∴n S 1-11-n S =2,又11S =11a =2,∴{n S 1}是以2为首项,公差为2的等差数列. (2)由(1)

n S 1=2+(n -1)2=2n ,∴S n =n

21

,当n ≥2时,a n =S n -S n -1=-)1(21-n n

n =1时,a 1=S 1=21,∴a n =???

????≥=)2( 1)-(21-)1( 2

1

n n n n

(3) 由(2)知b n =2(1-n )a n =n

1 ∴b 22+b 32+…+b n 2=

2

2

1+231+…+21n <211?+321?+…+n n )1(1- =(1-21)+(21-31)+…+(11-n -n 1)=1-n

1<1.

等差等比数列的性质总结

等差等比数列的性质总结-标准化文件发布号:(9556-EUATWK-MWUB-WUNN-INNUL-DDQTY-KII

一、等差数列 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间 项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0.

等差数列及其性质典型例题及练习(学生)

等差数列及其性质 典型例题: 热点考向一:等差数列的基本量 例1. 在等差数列{n a }中, (1) 已知81248,168S S ==,求1,a 和d (2) 已知6510,5a S ==,求8a 和8S 变式训练: 等差数列{}n a 的前n 项和记为n S ,已知 102030,50a a ==. (1)求通项公式{}n a ; (2)若242n S =,求n . 热点考向二:等差数列的判定与证明. 例2:在数列{}n a 中,11a =,1114n n a a +=- ,221 n n b a = -,其中* .n N ∈ (1)求证:数列{}n b 是等差数列; (2)求证:在数列{}n a 中对于任意的* n N ∈,都有 1n n a a +>. (3 )设n b n c =,试问数列{n c }中是否存在三项,使它们可以构成等差数列?如果存在,求出这三项;如果不存在,请说明理由. 跟踪训练:已知数列{n a }中,13 5 a = ,数列11 2,(2,)n n a n n N a *-=-≥∈,数列{n b }满足 1()1 n n b n N a *=∈- (1)求证数列{n b }是等差数列; (2)求数列{n a }中的最大项与最小项. 热点考向三:等差数列前n 项和 例3 在等差数列{}n a 的前n 项和为n S . (1)若120a =,并且1015S S =,求当n 取何值时,n S 最大,并求出最大值; (2)若10a <,912S S =,则该数列前多少项的和最小? 跟踪训练3:设等差数列}{n a 的前n 项和为n S ,已知 .0,0,1213123<>=S S a (I )求公差d 的取值范围; (II )指出12321,,,,S S S S 中哪一个最大,并说明理由。 热点考向四:等差数列的综合应用 例4.已知二次函数y =f (x )的图象经过坐标原点,其导函数为f ′(x )=6x -2,数列{a n }的前n 项和为S n ,点列(n ,S n )(n ∈N *)均在函数y =f (x )的图象上. (1)求数列{a n }的通项公式; (2)设b n =3 a n a n +1,T n 是数列{b n }的前n 项和,求使得 T n +都成立。求证:c 的最大值为 2 9。

高中数学等差数列性质总结大全

等差数列的性质总结 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --= ; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2b a A += 或b a A +=2 . (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S +=1(1)2n n na d -=+211()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212n n n n a a S n a +++++==+(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. ` (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: : ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0. (2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。 ? (3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=.

等差数列知识点总结最新版

等差数列 1.定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常 数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差, 公差通常用字 母d 表示。 用递推公式表示为a .—a .」二d ( d 为常数)(n_2); 2 ?等差数列通项公式 (1) a n (n -1)d =dn y -d(n N )(首项:a !,公差:d ,末项: 3. 等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即: 2a n = an-1 ■ an 1 (n — 2) = 2a . 1 二 a . a . .2 d 2 1 n (a 1 d )n 2 2 2 =An Bn 等差数列的证明方法 二d 或am-a n=d (常数「N )= & 是等差数列. 「a, 是等差数列 = 2a . - a n-1 ' a . 1 (n 一 2) = 2a n 1 = a . ' a . 2 ? (3) 数列"a n *是等差数列二a n 二kn ? b (其中k,b 是常数)。 (4) 数列乩1是等差数列二&二A n 2 ? Bn ,(其中A 、B 是常数)。 注:(1)等差数列的通项公式及前 n 和公式中,涉及到 5个元素:a 1、d 、n 、a n 及S n , (2) a n "m (n —m)d . 从而d =勺屯; n —m a n ) (2 ) 等差 中 项 数列;、和是等差 等差数列的前n 项和公式: n(a 1 +a n ) Sn 厂 (其中A 、B 是常数) (当d M 0时,S 是关于n 的二次式且常数项为 0) (1)定义法:若a n -a n j

等差数列、等比数列知识点梳理

等差数列和等比数列知识点梳理 第一节:等差数列的公式和相关性质 1、等差数列的定义:对于一个数列,如果它的后一项减去前一项的差为一个定值,则称这个数列为等差数列,记:d a a n n =--1(d 为公差)(2≥n ,*n N ∈) 2、等差数列通项公式: 1(1)n a a n d =+-,1a 为首项,d 为公差 推导过程:叠加法 推广公式:()n m a a n m d =+- 变形推广:m n a a d m n --= 3、等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A +=或 b a A +=2 (2)等差中项: 数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4、等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1) 2n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ 前N 相和的推导:当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=。(注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,)当然扩充到3项、4项……都是可以的,但要保证等号两边项数相同,下标系数之和相等。

5、等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6、等差数列的证明方法 定义法或者等差中项发? {}n a 是等差数列. 7、等差数列相关技巧: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、 n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8、等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时,等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ;前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+=+-是关于n 的二次函数且常数项为0。

等差数列的基本性质

等差数列 一、等差数列的定义以及证明方法: 1、定义:若数列{a n }中,对于任意两项a n ,a n -1均有:a n -a n -1=d (d 为常数),则数列{a n }为等差数列. 注意一些等差数列的变形形式,如: 111n n d a a +-=(d 为常数,此时,数列{1 n a }为等差数列) d =(d 为常数,此时,数列??为等差数列) …… 2、证明方法: (1)定义法:若数列{a n }中,对于任意两项a n ,a n -1均有:a n -a n -1=d (d 为常数),则数列{a n }为等差数列. (2)等差中项法:2a n+1=a n +a n+2 (3)通项公式法:若数列{a n }的通项公式为a n =pn+q 的一次函数,则数列{a n }为等差数列. (4)若数列{a n }的前n 项和为S n =An 2+Bn ,则数列{a n }为等差数列. 【例题1】【2013年,北京高考(文)】给定数列a 1,a 2,a 3,……,a n ,……,对i =1,2,……,n-1,该数列的前i 项的最大值记为A i ,后n –i 项a i+1,a i +2,……,a n 的最小值记为B i ,d i =A i –B i . (I)设数列{a n }为3,4,7,1,求d 1,d 2,d 3的值. (II)设d 1,d 2,……,d n -1是公差大于0的等差数列,且d 1>0,证明:a 1,a 2,a 3,……,a n -1是等差数列.

3、等差数列的通项公式: (1)等差数列的通项公式:a n =a 1+(n-1)d 累加法和逐项法:对于形如() 1n n a a f n --=的形式,我们一般情况下,可以考虑使用逐项法或者累加法,从而达到求a n 的目的. 变形形式: a n =a m +(n-m )d 由以上公式可以得到:n m a a d n m -= - (2)等差数列通项公式的一些性质: ①若实数m,n,p,q 满足:m+n=p+q ,则:n m p q a a a a +=+;特别的,若m+n=2p ,则: 2n m p a a a +=; ②若数列{a n }为等差数列,则下标成等差数列的新数列仍然成等差数列; ③若数列{a n }为等差数列,数列{b n }为等差数列,则数列{pa n +qb n }还是等差数列; ④当d >0时,{a n }为递增数列;当d =0时,数列{a n }为常数列;当d <0时,数列{a n }为递减数列; 【例题1】【2015届黑龙江省双鸭山一中高三上学期期末考试,3】在等差数列{}n a 中,首项 01=a ,公差,0≠d 若7321a a a a a k ++++=Λ,则k =( ) A . 22 B . 23 C . 24 D. 25 【变式训练】【2015届吉林省东北师大附中高三上学期第三次摸底考试,3】设等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,若151,15a S ==,则6a 等于 ( ) A .8 B .7 C .6 D .5 4、等差数列的求和问题:——方法:倒序相加 ()()()111111222 n n n n n n S a a a a n d na d -= +=++-=+???? (1)在等差数列{a n }中,k S ,2k k S S -,32k k S S -成等差数列;或者:()233k k k S S S -=; (2)奇偶项问题: 在等差数列中,若项数为偶数项,即:当n=2m (n,m ∈N*)时,有:S 偶-S 奇=md , 1 = m m S a S a +奇偶;

等差数列知识点总结最新版

等差数列 1. 定义 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示。 用递推公式表示为d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: (1)* 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈(首项:1a ,公差:d ,末项:n a ) (2)d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 ( 2 ) 等差中项:数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式:1() 2 n n n a a s += 1(1) 2 n n na d -=+ 211 ()22 d n a d n = +- 2An Bn =+ (其中A 、B 是常数) (当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 5.等差数列的证明方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. ( 2 ) 等差中项:数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 注:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,

等差数列的性质、求和知识点及训练

等差数列的性质、求和知识点及训练 重点:掌握等差数列的通项公式、求和公式以及等差中项的求法 难点:对等差数列的综合考察 一知识梳理 1.定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 ( 2 ) 等 差 中 项 : 数 列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a s += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数) (当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 5.等差数列的判定方法 (1)定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数 列.

(2)等差中项:数列 {} n a 是等差数列 )2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . (3)数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒:(1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、 n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便 可求出其余2个,即知3求2。 (2)通常把题中条件转化成只含1a 和d 的等式! 8.等差数列的性质: (1)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差 0d =,则为常数列。 (2)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有 2m n p a a a +=. (3) 若{n a }是等差数列,则232,,n n n n n S S S S S -- ,…也成等差数列 (公差为md ) 图示: m m m m m m S S S m m S S m m S m a a a a a a a a 323231221321-+-+++++++++++ (4)若等差数列{}n a 、{}n b 的前n 和分别为n A 、n B ,且()n n A f n B =, 则 21 21 (21)(21)(21)n n n n n n a n a A f n b n b B ---===--. (5)若{}n a 、{}n b 为等差数列,则{}n n a b ±为等差数列 (6)求n S 的最值 法一:直接利用二次函数的对称性:由于等差数列前n 项和的图像是过原点的二次函数,故n 取离二次函数对称轴最近的整数时,n S 取最大值(或最小值)。若S p = S q 则

等差、等比数列以及数列求和专题(汇编)

§6.2 等差数列 一.课程目标 1.理解等差数列的概念; 2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式; 3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系,并能用等差数列的有关知识解决相应的问题; 4.了解等差数列与一次函数的关系. 二.知识梳理 1.定义 如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差通常用字母d 表示. 数学语言表达式:a n +1-a n =d (n ∈N *,d 为常数),或a n -a n -1=d (n ≥2,d 为常数). 2.通项公式 若等差数列{a n }的首项是a 1,公差是d ,则其通项公式为a n =a 1+(n -1)d . 3.前n 项和公式 等差数列的前n 项和公式:2 2111)() (n n a a n d n n na S +=-+=其中n ∈N *,a 1为首项,d 为公差,a n 为第n 项). 3.等差数列的常用性质 已知数列{a n }是等差数列,S n 是{a n }的前n 项和.

(1)通项公式的推广:*),()(N m n d m n a a m n ∈-+= (2)若m +n =p +q (m ,n ,p ,q ∈N *),则有q p n m a a a a +=+。特别的,当p n m 2=+时,p n m a a a 2=+ (3)等差数列{a n }的单调性:当d >0时,{a n }是递增数列;当d <0时,{a n }是递减数列;当d =0时,{a n }是常数列. (4)若{a n }是等差数列,公差为d ,则a k ,a k +m ,a k +2m ,…(k ,m ∈N *)是公差为md 的等差数列. (5)若}{},{n n b a 是等差数列,则}{n n qb pa +仍是等差数列. 4.与等差数列各项和相关的性质 (1)若}{n a 是等差数列,则}{n S n 也是等差数列, 其首项与}{n a 的首项相同,公差为}{n a 的公差的 2 1。 (2)数列m m m m m S S S S S 232--,,…也是等差数列. (3)关于非零等差数列奇数项与偶数项的性质。 a .若项数为n 2,则1 +==-n n a a S S nd S S 偶奇奇偶, 。 b .若项数为12-n ,则n a n n S )(1-=偶,n na S =奇,1 += =-n n S S a S S n 偶奇奇偶, 。 (4)若两个等差数列}{},{n n b a 的前n 项和分别为n n T S ,,则 1 21 2--=n n n n T S b a 5.等差数列的前n 项和公式与函数的关系: (1)n d a n d S )(2 212-+= ,数列{a n }是等差数列? S n =An 2+Bn (A ,B 为常数). (2)在等差数列{a n }中,a 1>0,d <0,则S n 存在最大值;若a 1<0,d >0,则S n 存在最小值.

高二数学 等差数列的定义及性质

等差数列的定义及性质 ?等差数列的定义: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列就叫做等差数列,这个常数叫做公差,用符号语言表示为a n+1-a n=d。 ?等差数列的性质: (1)若公差d>0,则为递增等差数列;若公差d<0,则为递减等差数列;若公差d=0,则为常数列; (2)有穷等差数列中,与首末两端“等距离”的两项和相等,并且等于首末两项之和; (3)m,n∈N*,则a m=a n+(m-n)d; (4)若s,t,p,q∈N*,且s+t=p+q,则a s+a t=a p+a q,其中a s,a t,a p,a q是数列中的项,特别地,当s+t=2p时,有a s+a t=2a p; (5)若数列{a n},{b n}均是等差数列,则数列{ma n+kb n}仍为等差数列,其中m,k均为常数。 (6) (7)从第二项开始起,每一项是与它相邻两项的等差中项,也是与它等距离的前后两项的等差中项,即 (8)仍为等差数列,公差为

?对等差数列定义的理解: ①如果一个数列不是从第2项起,而是从第3项或某一项起,每一项与它前一项的差是同 一个常数,那么此数列不是等差数列,但可以说从第2项或某项开始是等差数列. ②求公差d时,因为d是这个数列的后一项与前一项的差,故有 还有 ③公差d∈R,当d=0时,数列为常数列(也是等差数列);当d>0时,数列为递增数 列;当d<0时,数列为递减数列; ④是证明或判断一个数列是否为等差数列的依据; ⑤证明一个数列是等差数列,只需证明a n+1-a n是一个与n无关的常数即可。 等差数列求解与证明的基本方法: (1)学会运用函数与方程思想解题; (2)抓住首项与公差是解决等差数列问题的关键; (3)等差数列的通项公式、前n项和公式涉及五个量:a1,d,n,a n,S n,知道其中任意三 个就可以列方程组求出另外两个(俗称“知三求二’).

等差等比数列的性质总结

一、等差数列 1.等差数列的定义:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: * 11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A += 或b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2 n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数* ∈N n )? {}n a 是等差数列. 7.提醒: (1)等差数列的通项公式及前n 和公式中,涉及到5个元素:1a 、d 、n 、n a 及n S ,其中1a 、d 称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个,便可求出其余2个,即知3求2。 (2)设项技巧: ①一般可设通项1(1)n a a n d =+- ②奇数个数成等差,可设为…,2,,,,2a d a d a a d a d --++…(公差为d ); ③偶数个数成等差,可设为…,3,,,3a d a d a d a d --++,…(注意;公差为2d ) 8..等差数列的性质: (1)当公差0d ≠时, 等差数列的通项公式11(1)n a a n d dn a d =+-=+-是关于n 的一次函数,且斜率为公差d ; 前n 和211(1)()222 n n n d d S na d n a n -=+ =+-是关于n 的二次函数且常数项为0. (2)若公差0d >,则为递增等差数列,若公差0d <,则为递减等差数列,若公差0d =,则为常数列。 (3)当m n p q +=+时,则有q p n m a a a a +=+,特别地,当2m n p +=时,则有2m n p a a a +=. 注:12132n n n a a a a a a --+=+=+=???,

等差数列的性质总结

等差数列性质总结 1.等差数列的定义式:d a a n n =--1(d 为常数)(2≥n ); 2.等差数列通项公式: *11(1)()n a a n d dn a d n N =+-=+-∈ , 首项:1a ,公差:d ,末项:n a 推广: d m n a a m n )(-+=. 从而m n a a d m n --=; 3.等差中项 (1)如果a ,A ,b 成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项.即:2 b a A +=或 b a A +=2 (2)等差中项:数列{}n a 是等差数列+-112(2,n N )n n n a a a n +?=+≥∈212+++=?n n n a a a 4.等差数列的前n 项和公式: 1()2n n n a a S += 1(1)2n n na d -=+211 ()22 d n a d n =+-2An Bn =+ (其中A 、B 是常数,所以当d ≠0时,S n 是关于n 的二次式且常数项为0) 特别地,当项数为奇数21n +时,1n a +是项数为2n+1的等差数列的中间项 ()()()12121121212 n n n n a a S n a +++++= = +(项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘 以中间项) 5.等差数列的判定方法 (1) 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列. (2) 等差中项:数列{}n a 是等差数列)2(211-≥+=?+n a a a n n n 212+++=?n n n a a a . ⑶数列{}n a 是等差数列?b kn a n +=(其中b k ,是常数)。 (4)数列{}n a 是等差数列?2n S An Bn =+,(其中A 、B 是常数)。 6.等差数列的证明方法 定义法:若d a a n n =--1或d a a n n =-+1(常数*∈N n )? {}n a 是等差数列 等差中项性质法:-112(2n )n n n a a a n N ++=+≥∈,.

2.2等差数列的概念、通项公式、性质练习含答案

2.2 等差数列概念、通项公式、性质 第1课时 等差数列的概念及通项公式 题型一 等差数列的概念 例1 判断下列数列是不是等差数列? (1)9,7,5,3,…,-2n +11,…; (2)-1,11,23,35,…,12n -13,…; (3)1,2,1,2,…; (4)1,2,4,6,8,10,…; (5)a ,a ,a ,a ,a ,…. 跟踪训练1 数列{a n }的通项公式a n =2n +5(n ∈N +),则此数列( ) A .是公差为2的等差数列 B .是公差为5的等差数列 C .是首项为5的等差数列 D .是公差为n 的等差数列 题型二 等差中项 例2 在-1与7之间顺次插入三个数a ,b ,c ,使这五个数成等差数列,求此数列. 跟踪训练2 若m 和2n 的等差中项为4,2m 和n 的等差中项为5,求m 和n 的等差中项. 题型三 等差数列通项公式的求法及应用 例3 在等差数列{a n }中, (1)若a 5=15,a 17=39,试判断91是否为此数列中的项. (2)若a 2=11,a 8=5,求a 10. 跟踪训练3 (1)求等差数列8,5,2,…的第20项; (2)判断-401是不是等差数列-5,-9,-13,…的项,如果是,是第几项? 等差数列的判定与证明 典例1 已知数列{a n }满足a n +1=3a n +3n ,且a 1=1. (1)证明:数列???? ??a n 3n 是等差数列;

(2)求数列{a n }的通项公式. 典例2 已知数列{a n }:a 1=a 2=1,a n =a n -1+2(n ≥3). (1)判断数列{a n }是否为等差数列?说明理由; (2)求{a n }的通项公式. 【课堂练习】 1.下列数列不是等差数列的是( ) A .1,1,1,1,1 B .4,7,10,13,16 C.13,23,1,43,53 D .-3,-2,-1,1,2 2.已知等差数列{a n }的通项公式a n =3-2n (n ∈N +),则它的公差d 为( ) A .2 B .3 C .-2 D .-3 3.已知在△ABC 中,三个内角A ,B ,C 成等差数列,则角B 等于( ) A .30° B .60° C .90° D .120° 4.若数列{a n }满足3a n +1=3a n +1,则数列{a n }是( ) A .公差为1的等差数列 B .公差为13 的等差数列 C .公差为-13 的等差数列 D .不是等差数列 5.已知等差数列1,-1,-3,-5,…,-89,则它的项数是( ) A .92 B .47 C .46 D .45 1.判断一个数列是否为等差数列的常用方法 (1)a n +1-a n =d (d 为常数,n ∈N +)?{a n }是等差数列; (2)2a n +1=a n +a n +2(n ∈N +)?{a n }是等差数列; (3)a n =kn +b (k ,b 为常数,n ∈N +)?{a n }是等差数列. 但若要说明一个数列不是等差数列,则只需举出一个反例即可. 2.由等差数列的通项公式a n =a 1+(n -1)d 可以看出,只要知道首项a 1和公差d ,就可以求出通项公式,反过来,在a 1,d ,n ,a n 四个量中,只要知道其中任意三个量,就可以求出另一个量. 【巩固提升】 一、选择题 1.设数列{a n }(n ∈N +)是公差为d 的等差数列,若a 2=4,a 4=6,则d 等于( ) A .4 B .3 C .2 D .1 2.已知等差数列-5,-2,1,…,则该数列的第20项为( ) A .52 B .62 C .-62 D .-52 3.在数列{a n }中,a 1=2,2a n +1-2a n =1,则a 101的值为( )

高中数列知识点总结

高中数列知识点总结 Written by Peter at 2021 in January

数列知识点总结 第一部分 等差数列 一 定义式: 1n n a a d --= 二 通项公式:n a 1 ()(1)m a n m d a n d =+-??=+-? 一个数列是等差数列的等价条件:b an a n +=(a ,b 为常数),即n a 是关于n 的一次函数,因为n Z ∈,所以n a 关于n 的图像是一次函数图像的分点表示形式。 三 前n 项和公式: 一个数列是等差数列的另一个充要条件:bn an S n +=2(a ,b 为常数,a ≠0),即n S 是关于n 的二次函数,因为n Z ∈,所以n S 关于n 的图像是二次 函数图像的分点表示形式。 四 性质结论 或4个数成等差数列求数值时应按对称性原则设置, 如:3个数a-d,a,a+d ; 4个数a-3d,a-d,a+d,a+3d 2.a 与b 的等差中项2 a b A +=; 在等差数列{}n a 中,若m n p q +=+,则 m n p q a a a a +=+;若2m n p +=,则2m n p a a a +=; 3.若等差数列的项数为2()+∈N n n ,则,奇偶nd S S =- 1+=n n a a S S 偶 奇 ; 若等差数列的项数为()+∈-N n n 12,则()n n a n S 1212-=-,且n a S S =-偶奇,1 -=n n S S 偶奇 4.凡按一定规律和次序选出的一组一组的和仍然成等差数列。设 12,n A a a a =++?+,122n n n B a a a ++=++?+, 21223n n n C a a a ++=++?+,则有C A B +=2; 5.10a >,m n S S =,则前2m n S +(m+n 为偶数)或12 m n S +±(m+n 为奇 数)最大 第二部分 等比数列 一 定义:1 (2,0,0){}n n n n a q n a q a a -=≥≠≠?成等比数列。 二 通项公式:11-=n n q a a ,n m n m a a q -=

等差数列及等比数列的性质总结

等差数列与等比数列总结 一、等差数列: 一般地,如果一个数列从第2项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,那么这个数列叫做等差数列,这个常数叫做等差数列的公差,公差常用小写字母d 表示; 等差中项,如果2 b a A += ,那么A 叫做a 与b 的等差中项;如果三个数成等差数列,那么等差中项等于另两项的算术平均数; 等差数列}{a n 的通项公式:)N n (d )1-n (a a 1n *∈+=; 等差数列}{a n 的递推公式:)2n (d a a 1n n ≥+=-; 等差数列}{a n 的前n 项和公式:n S =2n )a a (n 1?+=d 2)1-n (n na 1?+ = 中12na n )2d -a (n )2d (=?+?; 【等差数列的性质】 1、d )1-n (a a m n += 【说明】n 11m a d )1-n (a d )m -n (d )1-m (a d )m -n (a =+=++=+ 2、若m 、n 、p 、q *∈N ,且m+n=p+q ,则有q p n m a a a a +=+ 【说明】q p 11n m a a )2-q p (a 2d )2-n m (a 2a a +=++=++=+ 3、md 成等差数列,公差为、a 、a 、a m 2k m k k ??++ 【说明】md a -a a -a m k m 2k k m k =??==+++ 4、k )1-n (nk k 2k 3k k 2k S -S S -S ,S -S ,S ??成等差数列,公差为d n 2 【说明】d n )a a a (-)a a a (S -)S -S (2n 21n 22n 1n n n n 2=+??+++??++=++, ) a a a (-)a a a ()S -S (-)S -S (n 22n 1n n 32n 21n 2n 2n n 2n 3+??+++??++=++++??=,d n 2 5、数列}{a n 成等差数列Bn An S ,a a a 2,q pn a 2n 1n 1-n n n +=+=+=?+

数列复习知识点总结

数列 一、知识梳理 1.数列的定义:按照一定顺序排列的一列数称为数列,数列中的每个数称为该数列的项. 2.通项公式:如果数列 {}n a 的第n 项与序号之间可以用一个式子表示,那么这个公式叫做这个数列的通项公式,即)(n f a n =. 3.递推公式:如果已知数列{}n a 的第一项(或前几项),且任何一项n a 与它的前一项1-n a (或前几项)间的关系可以用一个式子来表示,即)(1-=n n a f a 或),(21--=n n n a a f a ,那么这个式子叫做数列{}n a 的递推公式. 如数列{}n a 中,12,11+==n n a a a ,其中12+=n n a a 是数列{}n a 的递推公式. 4.数列的前n 项和与通项的公式 ①n n a a a S +++= 21; ②?? ?≥-==-) 2() 1(11n S S n S a n n n . 5. 数列的表示方法:解析法、图像法、列举法、递推法. 6. 数列的分类:有穷数列,无穷数列;递增数列,递减数列,摆动数列,常数数列;有界数列,无界数列. ①递增数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a >+1. ②递减数列:对于任何+∈N n ,均有n n a a <+1. ③摆动数列:例如:.,1,1,1,1,1 --- ④常数数列:例如:6,6,6,6,……. ⑤有界数列:存在正数M 使 +∈≤N n M a n ,. ⑥无界数列:对于任何正数M ,总有项n a 使得 M a n >. 等差数列 1.等差数列的概念 如果一个数列从第二项起,每一项与它前一项的差等于同一个常数d ,这个数列叫做等差数列,常数d 称为等差数列的公差. 2.通项公式与前n 项和公式 ⑴通项公式d n a a n )1(1-+=,1a 为首项,d 为公差. ⑵前n 项和公式2)(1n n a a n S += 或d n n na S n )1(2 1 1-+=. 3.等差中项 如果b A a ,,成等差数列,那么A 叫做a 与b 的等差中项. 即:A 是a 与b 的等差中项?b a A +=2?a ,A ,b 成等差数列. 4.等差数列的判定方法 ⑴定义法:d a a n n =-+1 (+∈N n ,d 是常数)?{}n a 是等差数列; ⑵中项法:212+++=n n n a a a (+∈N n )?{}n a 是等差数列. 5.等差数列的常用性质 ⑴数列 {}n a 是等差数列,则数列{}p a n +、{}n pa (p 是常数)都是等差数列; ⑵在等差数列{}n a 中,等距离取出若干项也构成一个等差数列,即 ,,,,32k n k n k n n a a a a +++为等差数列,公差为kd . ⑶d m n a a m n )(-+=;b an a n +=(a ,b 是常数);bn an S n +=2(a ,b 是常数,0≠a ) ⑷若),,,(+∈+=+N q p n m q p n m ,则q p n m a a a a +=+; ⑸若等差数列 {}n a 的前n 项和n S ,则? ?? ???n S n 是等差数列; ⑹当项数为)(2+∈N n n ,则n n a a S S nd S S 1 , +==-奇偶奇偶 ;

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