第一章多项式
教学内容：
1.一元多项式(零多项式),多项式的次数.多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环。
2. 带余除法定理，整除的概念及其基本性质。
3. 最大公因式,互素的概念；最大公因式的存在性和求法---辗转相除法。
4. 不可约多项式的概念和性质；整系数多项式在有理数域上可约的充要条件及艾森斯坦判断法；因式分解的有关结果:
5.重因式的概念；微商与重因式。
6.多项式函数,根和重根的概念；余数定理；有理系数多项式的有理根的求法；实系数多项式虚根成对定理；代数基本定理，韦达定理，根的个数定理。教学目的及要求：
1.正确理解一元多项式(零多项式)的概念,掌握求多项式的次数，多项式的相等,多项式的运算,一元多项式环。
2. 掌握带余除法定理，整除的概念及其基本性质。
3. 理解最大公因式,互素的概念；掌握最大公因式的存在性和求法---辗转相除法。理解不可约多项式的概念和性质；掌握整系数多项式在有理数域上可约的充要条件及艾森斯坦判断法；因式分解的有关结果。
4.理解重因式的概念；掌握微商与重因式。
5.理解多项式函数,根和重根的概念；掌握余数定理；有理系数多项式的有理根的求法；实系数多项式虚根成对定理；代数基本定理，韦达定理，根的个数定理。
教学重点及难点：
重点:一元多项式的因式分解理论.
难点:最大公因式的概念,多项式的整除,互素和不可约多项式等概念之间的联系与区别.
§1 数环和数域
一、数环的概念
定义1 设S 是复数集C 的一个非空子集，如果对于S 中任意两个数a, b 来说，a +b, a – b, ab 都在S 内，那么就称S 是一个数环。 例1：取定一个整数a ，令{}Z n na S ∈=，那么S 是一个数环。
事实上，S 显然不是空集。设Z n n ∈21, 有 ()()()()S a a n n a n a n S a n n ∈=∈±212121, 如取a =2，那么S 就是全体偶数所组成的数环。
由数环定义可知：整数集Z ，有理数集Q ，实数集R 和复数集C 都是数环。 A ={0}是由单个数0组成的数环
例2：设[]{}
1,,2-=∈+==i Z b a bi a i Z S ，那么S 是一个数环。 证明：S 显然非空，S x x ∈?21,，那么
()()()()S i b b a a i b a i b a x x ∈±+±=+±+=±2121221121 ()()()()S i b a a b b b a a i b a i b a x x ∈++-=+?+=?21212121221121 注意：如果将Z 换成Q 或者R ，例2的结论仍成立 二、数域的的概念
定义2：P 是由一些复数组成的数环，如果P 中的任意两个数的和、差、积、商（除数不为零）仍在P 中，则称P 为一个数域。
例3：有理数的集合Q ，实数集合R ，复数集合C 均为数域。 例4：{}()
2,2Q Q b a b a P =∈+=是一个数域。 证明：
P
d c ad
cb d c bd ac d c d c d c b a d c b a d c d c P bc ad bd ac d c b a P d b c a d c b a P d b c a d c b a Q
d c b a P d c b a P P ∈--+
--=
-+-+=
++≠-≠+∈+++=++∈-+-=+-+∈+++=+++∈∈++?∈+=∈+=2222)
2)(2()2)(2(2
202,02)5(2)()2()2)(2)(4(2)()()2()2)(3(2)()()2()2)(2(,,,,2,22011;2000)1(2
222有若
故P 是一个数域。 三、数环和数域的性质 性质1. 任何数环都含有数零。
证明：设S 是一个数环。由定义知 S ≠0 。设S a ∈，那么S a a ∈-=0. 性质2. 任何数域都含有数0和数1。
证明：设P 是一个数域，那么P 必是数环，故知P ∈0。又因P 中含有非零的数，不妨设这个数是a ≠0，那么P a a ∈=1。
性质3. 任何数域P 都包含有理数域Q 。
证明：因P 是数域，由性质2知，1∈P 。由1与它自身重复相加，可知全体正整数还在P 中。再由性质2得，0∈P ，即P 含有0与任一个正整数的差，亦即P 含有全体负整数。当然P 也应该含有任意两个整数的商（分母≠0），故 Q ?P 。
注意：在性质3的意义下，可以认为，有理数域Q 是所以数域P 中的最小数域。 例5：证明两个数域的交仍是一个数域
设21,P P 是两个数域。21P P P ?=，∵P P P ∈?∈∈1,01,0,
1,021 P b a ∈?,1122,,,/(0),,,/(0)a b P a b ab a b b P a b P a b ab a b b P ?∈?±≠∈?????∈?±≠∈??
所以,,/(0)a b ab a b b P ±≠∈，因此P 是一个数域。
§2 一元多项式
一、多项式的概念
中学多项式的定义：n 个单项式（不含加法或减法运算的整式）的代数和叫多项式。 例：15,12,342-+++y x x b a 。
在多项式中，每个单项式叫做多项式的项。这是形式表达式。
后来又把多项式定义为R 上的函数：()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- 。 但对这两种定义之间有什么联系在中学代数中并没有交代。 问题：
1、高等代数中采用什么观点定义多项式？
2、多项式的形式观点与多项式的函数观点是否矛盾。
定义1：设x 是一个文字（或符号），n 是一个非负整数，P 是数域，形式表达式
1110n n n n a x a x a x a --++
+
其中P a a a n ∈,,,10 ，称为数域P 上的一元多项式。 常用(),()
,,f x g x f g 或来表示，如：
()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- （1）
i i a x 称为多项式（1）的i 次项，i a 称为i 次项的系数，若0n a ≠，称n n a x 为（1）的首项，n a 为首项系数，n 称为多项式（1）的次数，记为(())f x ?。 零次多项式：a x f a a a n n =====-)(,011 ，a 为数域P 上非零数。 零多项式：如果多项式的系数全为0，则称多项式为零多项式。
注：零多项式是唯一不定义次数的多项式。
相等：在多项式()f x 与()g x 中，除了系数为0的项外，同次项的系数全相等，则称()f x 与()g x 相等。
高等代数中采用形式观点定义多项式，它在两方面推广了中学的多项式定
义：
1、这里x 不再局限为实数而是任意的文字或符号。
2、系数可以是任意数域。
例1. ()329321x x x x f ++-=是Q 上多项式；
()223x x x f ++=是R 上多项式； ()253x ix x f ++= 是C 上多项式。
1
23,,13
32
+++--x x x ax x x 都不是多项式。 二、多项式的运算
设()0111a x a x a x a x f n n n n ++++=-- ，
1110()m m m m g x b x b x b x b --=++++是数域P 上的两个多项式
)i 加法：不妨设12,0m m n n m b b b ++≥==
==令，则
1111100()()()()()()n n n n n n f x g x a b x a b x a b x a b ---+=++++
++++
)ii 乘法：
()()()(
)()()0
010011110
1110111b a x b a b a x b a b a x b a b x b x b x b a x a x a x a x g x f m n m n m n m n m n m m m m n n n n ++++++=++++?++++=?-+--+----
其中，s x 即S 次项的系数为：
∑=+--=++++s
j i j
i
s s s s b
a b a b a b a b a 011110
所以0()()()n m
s i j s i j s f x g x a b x +=+=?=∑∑
从多项式的运算可以看出：
①(()())max((()),(()))f x g x f x g x ?±≤?? ②如果()0,()0,f x g x ≠≠则()()0f x g x ?≠，且
(()())(())((
f x
g x f x g x ??=?+? 证明：设()0,0111≠++++=--n n n n n a a x a x a x a x f ，
()0,0111≠++++=--m m m m m b b x b x b x b x g
则：()()f x g x ?的首项是,0n m n m n m a b x a b +≠且，于是()()0f x g x ≠且
(()())(())(())f x g x f x g x ??=?+?
结论：多项式乘积的首项系数就等于因子首项系数的乘积。
例2：已知()()1,432223+=+++=x x g x x x x f ，求()()()()x g x f x g x f ?+,。 解：()()53323+++=+x x x x g x f
()()()()
4364214322345223+++++=++++=?x x x x x x x x x x g x f
三、运算规律：
① 加法交换律：()()()()f x g x g x f x +=+
② 加法结合律：(()())()()(()())f x g x h x f x g x h x ++=++ ③ 乘法交换律：()()()()f x g x g x f x ?=?
④ 乘法结合律：(()())()()(()())f x g x h x f x g x f x ??=??
⑤ 乘法对加法的分配律：()(()())()()()()f x g x h x f x g x f x h x +=?+? ⑥多项式乘法没有零因子：若.0)(0)(0)()(==?=x g x f x g x f 或 ⑦乘法消去律：若()()()(),()0,()()f x g x f x h x f x g x h x =≠=且则 这些证明都很简单，下面仅给出④、⑥、⑦的证明。 ④的证明：设1110(),n n n n f x a x a x a x a --=++
++
()0111b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ()0111c x c x c x c x h l l l l ++++=--
只需证明等式左右两端各次项的系数相等即可。
在等式左端，()()f x g x 的S 次项的系数为i j itj s
a b =∑，而(()())()f x g x h x 的次项
的系数为
∑∑∑∑∑=++=+---=+---=+=+=
++++=++++=???
? ??l
k j i k
j i
l
k s k s k s k s k s k l k s s s s s k l k s j s j i i c
b a
c b a c b a c b a c b a c b a b a b a b a c b a )()(01112010111201
在等式右端，()()x h x g 的r 次项的系数为j k
j k r
b c
+=∑，而()(()())f x g x h x 的次项
的系数为
()()
∑∑∑∑=+--=+--=+=+++++=++++=???? ??l
r i r i r i r i r i l r i r r r r i l r i r k j k j i c b a c b a c b a c b a c b c b c b c b a c b a 011110011110
i j k i j k ab c ++=
=
∑
⑥的证明：若0)(=x f 或0)(=x g ，则必有0)()(=x g x f 反之，若()()()()()()()()()0,0,0≥?+?=?≠≠x g x f x g x f x g x f ，
()()0≠∴x g x f ，矛盾。
⑦ 的证明：因为()()()()f x g x f x h x =，所以()(()())0f x g x h x -=， 但()0f x ≠，所以()()0,()()g x h x g x h x -==即。
定义：所有系数在数域P 上的一元多项式的全体记为[]x P ，对多项式的加、减、乘法封闭，故称为数域P 上的多项式环。
例3、设4
32()1f x x a x b x a x =+++
+是2()g x x cx d =++的平方，证明：
248a b =±。
证：243222()2(2)2g x x cx c d x cdx d =+++++
2221,1,2,2,2d d b c d c b d a cd ∴=±==+=-= 22244(2)4848.a c d b d b d b ∴==-=-=±
例4、求,,a b c 使22432(21)(1)251x ax x bx x x cx x +--+=++--
解：2511,2, 3.1a b ab c a b c a b -=??
-=?==-=??+=-?
例5、设()()0,f x g x ≠则1(()())max((()),(())f x g x f x g x ?+≤??式中何时等号成立？（次数不相等，否则要求首项系数不相反），何时不等号成立？（次数相等且首项系数相反）。
例6、设 (),(),()()f x g x h x R x ∈
(1) 证明：若()()()x xh x xg x f 222+=，则()()()0f x g x h x === (2) 在复数域上(1)是否成立？
(1)证：若()0f x ≠ 则()()022≠+x xh x xg
但2(()),f x ?=偶 而2222,(()())((()()))xg x xh x x g x h x ?+=?+=奇数 ∴必有()0f x =，从而22()()0g x h x +=， 于是22()()0()()0a R g a h a g a h a ?∈+=?== 故()()0g x h x ==。
(2)在 C 上不成立．如取()0,(),()f x g x ix h x x ===．
§3 整除的概念
从这一节开始，我们都是在某一固定的数域P 上的一元多项式环[]x P 中进行讨论。[]x P 中，除法是不能不变通考虑的。 一、带余除法：
例1．求()x g 除()x f 的商和余式，其中322()3456,()31f x x x x g x x x =+-+=-+。
解： 32322223456
39331
3131386133913317
x x x x x x
x x x x x x x x +-+-+-++-+-+-
商为313x +，余式为317x -。即：731)133)(()(-++=x x x g x f
实际上，对于(),()[]f x g x P x ?∈， ()0g x ≠，都可以求得()()g x f x 除的商及余式。
这样产生一种新的算法：
带余除法：对于(),()[]f x g x P x ?∈，其中()0g x ≠，一定(),()[]q x r x P x ?∈，满足
()()()()f x q x g x r x =+，其中(())(())r x g x ?
q x r x 是唯一的。
证明：如果()0f x =，则令()0,()0q x r x ==即可
若()0,(()),(())f x f x n g x m ≠?=?=设 当n m <时，令()0,()()q x r x f x ==即可 当n m ≥时，对n 采用第二数学归纳法。
不妨设1110(),n n n n f x a x a x a x a --=++
++
()0111b x b x b x b x g m m m m ++++=-- ，
假设对一切次数小于n 时，(),()q x r x 的存在性已证。
现证明次数为n 的情形： 由于
()()n m n m
a x g x f x
b -与有相同的首项，所以1()()()n m n m a
f x f x x
g x b -=-
是一个次数小于n 的多项式，或者为零多项式。
当()x f 1是零多项式时，令(),()0n m
n m
a q x x r x
b -=
=即可 当()01≠x f 时，由归纳假设，存在()()[]x P x r x q ∈11,使得
()()()()x r x g x q x f 111+=
并且()()()()x g x r ?
()()()()x r x g x b a x q x f m n m n 11+???
? ??+=-()(1())f x q x =
令()()()()x r x r x b a x q x q m
n m
n 11,=+
=-即证。 下面证明(),()q x r x 的唯一性： 假设()()[]x P x r x q ∈?22,，也使得
()()()()x r x g x q x f 22+=，其中()()()()x g x r ?
如果()()x q x q ≠2；由于()0g x ≠，则()()x r x r 2≠，并且 ()()()()()()()()x g x q x q x r x r ?+-?=-?22
但()()()()x g x r ?
定义：商式：带余除法中所得的()q x 通常称为()g x 除()f x 的商式。 余式：带余除法中所得的()r x 通常称为()g x 除()f x 的余式。
例1 在Q [x ]中，设x x x x x f 5432)(234-+-=+6，()132+-=x x x g ，求商q (x )、余式r (x )的计算格式如下图式所示．因此，g (x )除f (x )的商q (x )=2x 2+ 3x +11，余式r (x )=25x －5．
若采用分离系数法，则上面的计算格式如下图所示．必须注意的是，当系数为0时应在相应位置上写入0．
带余除法的证明及例1表明，在带余除法中，若f (x )、g (x )是数环R 上的多项式，且g (x )是首项系数为1的，则带余除法仍然成立，且g (x )，r (x )∈R [x ]． 附：综合除法： 若
()n n n a x a x a x f +++=- 110，
则x a -除()x f 的商式101()n n q x b x b --=+???+ 和余式r ，即()()
()r a x b x b x b a x a x a x f n n n n n n +-+++=+++=----12110110
比较两端系数得
00b a = 110b a ab =+
221b a ab =+
112n n n b a ab ---=+ 1n n r a ab -=+
可按下列计算格式求得：
a
00b a = 1b 2b … 1n b - r
注：综合除法一般用于
① 求一次多项式x a -去除()f x 的商及余式． ② 计算函数值)(a f r =．
③ 把()f x 表成x a -的方幂和，即表成2012()()()f x c c x a c x a =+-+-+的形式．
例1．()32f x x x x =--，()12g x x i =-+ 由
12- １ 2i - 52i -- 98i -+
有 ()2()()24298f x g x x ix i i =----+，()1298f i i -=-+
例2 把5()f x x =表成1x -的方幂和． 解：由
1 5＝4c
55432(1)5(1)10(1)10(1)5(1)1x x x x x x ∴=-+-+-+-+-+． 二、整除：
1、定义：对于(),()[]f x g x p x ∈，如果()h x ?，使得()()()f x g x h x =? 则称()g x 整除()f x ，记为()/()g x f x ，若()g x 不能整除()f x ，记为()()g x f x +。
当()/()g x f x 时，称()g x 为()f x 的因式，称()f x 为()g x 的倍式。 定理：对于()()[]f x g x p x ??∈，其中()0g x ≠，则()()g x f x 的充要条件是
()g x 除()f x 的余式为零。
证：“?” ()|(),g x f x 则()()()()()0f x g x h x h x g x ==+由唯一性()0r x = “?”反过来如果，()0r x =.()q x ∴存在，即()|(),g x f x
注：(1)带余除法中,()0g x ≠；在整除定义中，()g x 可以等于0，但此时
()()()0f x g x h x ==。当()()g x f x 且()0g x ≠时，
()g x 除()f x 的商可记为()
()
f x
g x 。 (2)()[],()()f x p x f x f x ?∈，即任一多项式一定整除它自身(()1())f x f x =。 (3)()[],()0f x p x f x ?∈，即任一多项式是零多项式的因式。
(4)零次多项式（即非零常数）能整除任一多项式1(()(()))f x c c f x -=。
2、整除的性质
（1）若()(),()()f x g x g x f x ，则()()f x cg x =，c 为非零常数。 证明：由()()g x f x 知，()x h 1?，使()()()x h x g x f 1=
由()()f x g x 知，()x h 2?，使()()()x h x f x g 2= 于是()()()()x h x h x f x f 21= 当()0f x =时，()0g x =，结论成立
当()0f x ≠时，()()121=x h x h ，于是()()()()021=?+?x h x h ，即 ()()()()021=?=?x h x h 因此()x h 2是非零常数，故()()f x cg x = （2）若()()f x g x ，()()g x h x ，则()()f x h x （3）若)()(),()(x h x f x g x f ，则)()()(x h x g x f +
证明：因)()(),()(x h x f x g x f ，则)()()(),()()(x k x f x h x q x f x g == 所以))()()(()()(x k x q x f x h x g +=+，故)()()(x h x g x f +。
注：反之不然．如 ()()()()()()x g x g x f x x g x x g x x f 212221,1,1,+?-=+==
12()|(),()|()f x g x f x g x ．
推广：若()r i x g x f i ,,2,1,)( =，则
()()()())()()()(2211x g x u x g x u x g x u x f r r +++ ，其中()x u i 是数域P 上任意多项式。
定义：通常称()()())()()(2211x g x u x g x u x g x u r r +++ 为)(,),(),(21x g x g x g r 的一个组合。
（4）若),()(x g x f 对于任意[]x P x h ∈)(，有)()()(x h x g x f 。
注：①()f x 与()(0)cf x c ≠有相同的因式和倍式，故()f x 可用()cf x 代替。
②两个多项式之间的整除关系不因为系数域的扩大而改变。 即：设F ,F ~是两个数域，且F ?F ~
．若()()[]x F x g x f ∈,，且在F [x ]中f (x ) +
g (x )，则在)(~
x F 中仍有()()x g x f +。
证 若f (x )=0，由于在F [x ]中()()x g x f +，则g (x )≠0． 因此，在)(~
x F 中f (x ) + g (x )．
若f (x )≠0，由于在F [x ]中有f (x ) + g (x )，则由带余除法定理在F [x ]中有
g (x )=f (x )q (x )+r (x )，其中r (x )≠0．
注意到F [x ]?)(~
x F ，因而上式在)(~
x F 中上式也成立．现在，由带余除法的唯一性知道在)(~
x F 仍有f (x ) +g (x )。
多项式整除性是多项式理论中一个不随系数域扩大而改变的性质。即多项式的整除性是多项式理论中的一个不变量。
例1：令()()()x g x g x f x f 2121,,),(都是数域F 上的多项式，其中()01≠x f 且
()()()()()().|,|112121x g x f x f x f x g x g 证明：()().|22x f x g
证明：因()()()()x f x f x g x g 2121|，则()()=x f x f 21()())(21x q x g x g 因()().|11x g x f ，则()=.1x g ())(1x k x f
故有()()=x f x f 21()())()(21x k x q x g x f ，而()01≠x f ，由消去律得
()=x f 2())()(2x k x q x g ，由整除定义得：()().|22x f x g 例2证明：k x f x )(|必要且只要).(|x f x 证明：若).(|x f x 则由整除性质4知：k x f x )(|
反之：设c x xq x f +=)()(，k k k c x xk c x xq x f +=+=)())(()(。 又k x f x )(|，)(x xk x ，由整除性质3知：k c x ，故0=c 。则).(|x f x
§4 最大公因式
上节主要讲述多项式之间的关系，即在上节中，我们介绍了多项式之间的除法关系，在此基础理论上，我们将在本节介绍多项式的公共因式。
一、最大公因式
1、公因式：如果多项式()x ?既是()f x 的因式，又是()g x 的因式，则称()x ?为()f x 和()g x 的公因式，即如果()()x f x ?且()()x g x ?，则()x ?就是()f x 与
()g x 的公因式。
如：2()1,()1,f x x g x x =-=-则1x -就是()f x 与()g x 的公因式。 2、最大公因式：在公因式中，最大公因式占特殊地位。
所谓最大公因式就是指：设()f x 、()g x 是P [x ]中的多项式，如果在P [x ]中存在的多项式()d x ，满足条件：
（1）()d x 是()f x 与()g x 的公因式，即()(),()()d x f x d x g x
（2）()f x 与()g x 的公因式全是()d x 的公因式，即若()()()()x g x d x f x d i i ,，则一定有()()x d x d i 。
此时，()d x 就称为()f x 与()g x 的最大公因式
注：1、对于任意多项式()f x ，它就是()f x 与0的最大公因式 2、两个零多项式的最大公因式是零 3、最大公因式的存在性。
引理：如果有等式()()()()f x q x g x r x =+，那么(),()f x g x 的公因式与
()()x r x g ,的公因式相同。
证明：设()x ?是(),()f x g x 的公因式，即()(),()(),x f x x g x ??则()x ?必整除()f x 与()g x 的线性组合，即有()()()()x g x q x f x -?，即()()x r x ?。
反之，若()(),()()x g x x r x ??，则()()()()x q x g x r x ?+，即()()x f x ?。
综上所述：(),()f x g x 与()()x r x g ,有着完全相同的公因式。
注：1、引理中()()()()f x q x g x r x =+的()r x 并没有要求()()()()x g x r ?
2、(),()f x g x 的最大公因式与()()x r x g ,的最大公因式相同。 为了引入多项式最大公因式的存在性定理，我们先来看一道例题。 例：在有理数域上，有多项式
432()343f x x x x x =+--- 32()31023g x x x x =++-
求()f x 与()g x 的最大公因式。
解：我们对(),()f x g x 做带余除法，则有
32()31023g x x x x =++-()3
10
925953
192910313
33
531323103
432123232
34234-
--=+--------++
---+x x x r x x x x x x x x x x x x x x ()x q x 191
31=- 即有
()()()()()()()()()
x g x r x r x g x q x x x g x x f ?
?? ??---+??? ??-=1112,3109259
5
9131 显然，由引理知，(),()f x g x 的最大公因式相同于()()x r x g 1,的最大公因式，而()()x r x g 1,求带余除法，即
()()()x q x x x r x x x x x
x x x x x x x x r 222223232195
27
27
930255316518153321033
10
92595=+-+=------++-++-
--= 即有 ()()()()()()()()()()x r x r x r x r x q x x r x x g 122121,2799527?
?
??+-=
显然，()()x r x g 1,的最大公因式又等于两个次数较低的多项式()()x r x r 21,的最大公因式，继续求()()x r x r 21,的最大公因式
()()()x q x x r x x x x x x x x r 332228110
8150
3109103109103
595310
92595279=--=---------
+=
即 ()()()()()()()0,
0811081
5
332321=+=+??? ??--=x r x r x r x q x r x x r
由此即可看出，()x r 2是()()x r x r 21,的最大公因式，因此它也是()()x r x g 1,的最大公因式，也是()f x 与()g x 的最大公因式
并且，()()()()()()()()()[]x g x q x f x q x g x r x q x g x r 12122--=-=
()()()()()()x g x q x q x f x q 2121++-=
这也就是说，()f x 与()g x 的最大公因式可以表示成它们的组合。 根据这一例子，我们给出最大公因式存在定理。
定理1：对于[]x P 中任意两个多项式(),()f x g x ，在[]x P 中存在一个最大公因式()d x ，并且()d x 可以表示成(),()f x g x 的一个组合，即有[]x P 中的多项式
)(),(x v x u ，使得
)()()()()(x g x v x f x u x d +=
证明：若()f x 与()g x 有一个为零，不妨设()0g x =那么()f x 就是()f x 与
()g x 的一个最大公因式。
若(),()f x g x 都不为零，利用带余除法得()()()(),11x r x g x q x f +=若有()01=x r ，
则()g x 就是(),()f x g x 的最大公因式；若()01≠x r ，则()()()()x g x r ?
()()x r x g 1,的最大公因式，也就是()f x 与()g x 的最大公因式；若()02≠x r ，则
()()()()x r x r 12?
(())
(1())(2())g x r x r x ?>?>?> (())g x ?是一个有限的数，因此在有限步之后，就有余式为0，假设在S
步之后，余式为0，即有等式：
()()()(),11x r x g x q x f += ()()()()x r x r x q x g 212+= …………
()()()()x r x r x q x r s s s s +=--12
()()()011+=+-x r x q x r s s s
于是()s r x 就是()s r x ，0的最大公因式，也就是1(),()s s r x r x -的最大公因式，
逐步推出，()s r x 就是(),()f x g x 的最大公因式，
再由上面倒数第二个式子开始，21()()()()s s s s r x r x q x r x --=- 逐个地消去()()x r x r s 12,, -，再合并同类项项就得到
s ()()()()()r x u x f x v x g x +=．
注：1、定理中用来求最大公因式的方法通常称为辗转相除法。 2、两个多项式的最大公因式在相差非零常数倍的意义下是唯一确定的，也就是说，若()()x d x d 21,都是(),()f x g x 的最大公因式，则()()()0,
21≠=c x cd x d
因此，我们规定，用((),())f x g x 表示首项系数是1的最大公因式，于是，在上例中((),())3f x g x x =+，此时，
若令()()153922-=-=x x q x μ，令()()()()x x x q x q x v 5
2
51191221+-=+=，就
有
((),())()()()f x g x u x f x v x g x =
+ 3、满足d (x )= f (x )u (x )+g (x )v (x )的d (x )未必是(),()f x g x 的公因式。 如，()()()1,,1222+==-+=x x g x x f x x x d ，令()()1,2-=+=x x v x x μ，则
)()()()()(x g x v x f x u x d +=，但 |(),|()d f x d g x (x)(x)．
4、d (x )是f (x )与g (x )的一个最大公因式，则存在u (x )，v (x )∈F [x ]，使得 d (x )= f (x )u (x )+g (x )v (x )，其中u (x )，v (x )不是唯一的。
（事实上，对()h x ?，有()()()[]()()()()[]()()x d x g x f x h x v x f x g x h x =++-μ 成立．）
例2. 432432()22,()2f x x x x x g x x x x x =+--=+---4-2
第一章多项式习题解答1.用g( x)除f ( x)，求商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) x3 3x2 x 1, g (x) 3x2 2x 1 3x 2 2x 1 x3 3x 2 x 1 1 x 7 x3 2 x2 1 x 3 9 3 3 7 x2 4 x 1 3 3 7 x2 14 x 7 3 9 9 26 x 2 9 9 1 x 7 , r ( x) 26 x 2 q( x) 9 9 . 3 9 2）f ( x) x4 2x 5, g(x) x2 x 2 x2 x 2 x 4 0x3 0 x2 2 x 5 x2 x 1 x4 x3 2x2 x3 2x2 2x x3 x2 2x x2 4x 5 x2 x 2 5x 7 q( x) x2 x 1, r ( x) 5x 7 . 2.m, p, q 适合什么条件时，有 1）x2 mx 1| x3 px q x 2 mx 1 x3 0 x2 px q x m x3 mx2 x mx2 ( p 1) x q m x2 m2 x m (m2 p 1) x ( q m) 当且仅当 m2 m 时x2 1| x3 px q .
本题也可用待定系数法求解.当x2 mx 1| x3 px q 时，用 x2 mx 1 去除x3 px q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为x q .于是有x3 px q ( x q)( x2 mx 1) x3 (m q)x2 (mq 1) x q . 因此有 m2 p 1 0, q m . 2）x2 mx 1| x4 px2 q 由带余除法可得 x4 px2 q ( x2 mx 1)( x2 mx p 1 m2 ) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 当且仅当 r ( x) m(2 p m2 ) x (q 1 p m2 ) 0 时 x2 mx 1 | x4 px2 q .即 m(2 p m2 ) 0 ，即m 0, 或 p m2 2, q 1 p m2 0 q 1 p, q 1. 本题也可用待定系数法求解 .当x2 mx 1| x4 px2 q 时，用 x2 mx 1 去除x4 px2 q ，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为x2 ax q .于是有 x4 px2 q (x 2 ax q)( x2 mx 1) x4 (m a) x3 (ma q 1) x2 (a mq) x q. 比较系数可得 m a 0, ma q 1 p, a mq 0. 消去 a 可得 m 0, 或p m2 2, q 1 q 1. p, 3.求g( x)除f ( x)的商q( x)与余式r ( x) . 1）f ( x) 2x5 5x3 8x , g (x) x 3; 解：运用综合除法可得 3 2 0 5 0 8 0 6 18 39 11 7 327 2 6 1 3 39 109 327 商为 q(x) 2x4 6x3 13x2 39 x 109 ，余式为 r (x) 327.
第一章：整式的运算 单项式 整 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 幂运算 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法 多项式与多项式相乘 整式运算 平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 一、单项式 1、都是数字与字母的乘积的代数式叫做单项式。 2、单项式的数字因数叫做单项式的系数。 3、单项式中所有字母的指数和叫做单项式的次数。 4、单独一个数或一个字母也是单项式。 5、只含有字母因式的单项式的系数是1或―1。 6、单独的一个数字是单项式，它的系数是它本身。 7、单独的一个非零常数的次数是0。 8、单项式中只能含有乘法或乘方运算，而不能含有加、减等其他运算。 9、单项式的系数包括它前面的符号。 10、单项式的系数是带分数时，应化成假分数。 11、单项式的系数是1或―1时，通常省略数字“1”。 12、单项式的次数仅与字母有关，与单项式的系数无关。 二、多项式 1、几个单项式的和叫做多项式。 2、多项式中的每一个单项式叫做多项式的项。 3、多项式中不含字母的项叫做常数项。 4、一个多项式有几项，就叫做几项式。 5、多项式的每一项都包括项前面的符号。 6、多项式没有系数的概念，但有次数的概念。 7、多项式中次数最高的项的次数，叫做这个多项式的次数。 三、整式 1、单项式和多项式统称为整式。 2、单项式或多项式都是整式。 3、整式不一定是单项式。 整 式 的 运 算
4、整式不一定是多项式。 5、分母中含有字母的代数式不是整式；而是今后将要学习的分式。 四、整式的加减 1、整式加减的理论根据是：去括号法则，合并同类项法则，以及乘法分配率。 2、几个整式相加减，关键是正确地运用去括号法则，然后准确合并同类项。 3、几个整式相加减的一般步骤： （1）列出代数式：用括号把每个整式括起来，再用加减号连接。 （2）按去括号法则去括号。 （3）合并同类项。 4、代数式求值的一般步骤： （1）代数式化简。 （2）代入计算 （3）对于某些特殊的代数式，可采用“整体代入”进行计算。 五、同底数幂的乘法 1、n 个相同因式（或因数）a 相乘，记作a n ，读作a 的n 次方（幂），其中a 为底数，n 为指数，a n 的结果 叫做幂。 2、底数相同的幂叫做同底数幂。 3、同底数幂乘法的运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。 4、此法则也可以逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。 5、开始底数不相同的幂的乘法，如果可以化成底数相同的幂的乘法，先化成同底数幂再运用法则。 六、幂的乘方 1、幂的乘方是指几个相同的幂相乘。（a m ）n 表示n 个a m 相乘。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。 3、此法则也可以逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。 七、积的乘方 1、积的乘方是指底数是乘积形式的乘方。 2、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab ）n =a n b n 。 3、此法则也可以逆用，即：a n b n =（ab ）n 。 八、三种“幂的运算法则”异同点 1、共同点： （1）法则中的底数不变，只对指数做运算。 （2）法则中的底数（不为零）和指数具有普遍性，即可以是数，也可以是式（单项式或多项式）。 （3）对于含有3个或3个以上的运算，法则仍然成立。 2、不同点： （1）同底数幂相乘是指数相加。 （2）幂的乘方是指数相乘。 （3）积的乘方是每个因式分别乘方，再将结果相乘。 九、同底数幂的除法 1、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。 2、此法则也可以逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。 十、零指数幂 1、零指数幂的意义：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。 十一、负指数幂 1、任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即： 1(0)p p a a a -=≠ 注：在同底数幂的除法、零指数幂、负指数幂中底数不为0。
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9731929269 791437134373 132131232223232 ----+----+----+-x x x x x x x x x x x x x x 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 1 752 5 422225200222223232 342342-++--+-+--+---+-+-+++-x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 m x m q x p m m x m x m q x p mx x mx x q px x x mx x --++++--+++--++++-+) ()1()1(01 222223232 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1.
本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 )1()2()1)(1(2222224m p q x m p m m p mx x mx x q px x --++--++-+-++=++ 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--0 10)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或???==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 )1)((2224++++=++mx x q ax x q px x .)()1()(234q x mq a x q ma x a m x ++++++++= 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p 3.求)(x g 除)(x f 的商)(x q 与余式)(x r . 1）;3)(,852)(35+=--=x x g x x x x f 解：运用综合除法可得 327 1093913623271170 83918605023--------- 商为109391362)(234+-+-=x x x x x q ，余式为.327)(-=x r
第一章 多项式 习题精解 1． 用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r ： 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 解 1）由带余除法，可得92926)(,9731)(--=-= x x r x x q 2）同理可得75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q 2．q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+3 2|1 2）q px x mx x ++++242|1 解 1) 由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当 ? ??=-=++0012m q m p 时有 q px x mx x ++-+32|1 2）类似可得 ? ??=--+=--010)2(22m p q m p m 于是当0=m 时，代入（2）可得1+=q p ；而当022 =--m p 时，代入（2）可得1=q 。 综上所诉，当 ???+==10q p m 或? ??=+=212m p q 时，皆有 q px x mx x ++++242|1
3．求()g x 除()f x 的商()q x 与余式():r x 1）53()258,()3f x x x x g x x =--=+ 2）32(),()12f x x x x g x x i =--=-+ 解 1）432()261339109 ()327 q x x x x x r x =-+-+=-； 2） 2()2(52) ()98q x x ix i r x i =--+=-+ 4．把()f x 表示成0x x -的方幂和，即表成 2010200()()...()...n n c c x x c x x c x x +-+-++-+ 的形式： 1）50(),1f x x x == 2）420()23,2f x x x x =-+=- 3）4320()2(1)37,f x x ix i x x i x i =+-+-++=- 解 1）由综合除法，可得 2345()15(1)10(1)10(1)5(1)(1)f x x x x x x =+-+-+-+-+- 2）由综合除法，可得 42234231124(2)22(2)8(2)(2)x x x x x x -+=-+++-+++ 3） 由综合除法，可得 4322(1)3(7)x ix i x x i +-+-++ 234(75)5()(1)()2()()i x i i x i i x i x i =+-++--+-+++ 5．求()f x 与()g x 的最大公因式： 1）43232()341,()1f x x x x x g x x x x =+---=+-- 2）4332 ()41,()31f x x x g x x x =-+=-+ 3）42432()101,()61f x x x g x x x =-+=-+++
第一章 多项式习题解答 1.用)(x g 除)(x f ，求商)(x q 与余式)(x r . 1）123)(,13)(223+-=---=x x x g x x x x f 9 2926)(,9731)(--=-=x x r x x q . 2）2)(,52)(24+-=+-=x x x g x x x f 75)(,1)(2+-=-+=x x r x x x q . 2.q p m ,,适合什么条件时，有 1）q px x mx x ++-+32|1 当且仅当m q p m ==++,012时q px x mx x ++-+32|1. 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++-+32|1时，用12-+mx x 去除q px x ++3，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商为q x -.于是有 q x mq x q m x mx x q x q px x ++--+=-+-=++)1()()1)((2323. 因此有m q p m ==++,012. 2）q px x mx x ++++242|1 由带余除法可得 当且仅当0)1()2()(22=--++--=m p q x m p m x r 时q px x mx x ++++242|1.即 ???=--+=--010)2(22m p q m p m ，即???=+=,1,0p q m 或? ??==+.1,22q m p 本题也可用待定系数法求解.当q px x mx x ++++242|1时，用12++mx x 去除q px x ++24，余式为零，比较首项系数及常数项可得其商可设为q ax x ++2.于是有 比较系数可得.0,1,0=+=++=+mq a p q ma a m 消去a 可得 ???=+=,1,0p q m 或???==+. 1,22q m p
高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题
第一章多项式 一．填空题 1、当p(x)是多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 32+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= 、设f(x)=x +3x b= 。3 42-kx+2用x-1除余数为3，则k= 4、设f(x)=x +3x 。22432+ax+b，则a= b= -3x +6x 5、如果(x。-1) |x6、f(x)没有重根的充分必要条件是。 3-3x+k有重根，那么k= 7、如果f(x)=x 。 (k?1)(xf))p(xp(x)f(x)k的8．若不可约多项式是是的因式重因式，则 9、a是f(x)的根的充分必要条件是。 10、以l为二重根，2，1+i为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个条件。 答案 1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f'(x))=1 7、k=±2 5432+14x-4 11. 充分-20x x-a|f(x) 9、10、x -6x +15x8. 单因式 二．判断并说明理由 1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （） 2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) 2?1f(xx)0]f(??f(1)1)?Pf(x)?[x．，则 3. 设（，且） ?(xf)的k-1重因式。则k重因式，p(x)是）（f(x)上不可约多项式，设4、p(x)是数域p 如果p(x)是的5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。)xf(f(x)．若一整系数多项式6在有理数域上可约。有有理根，则Qf(x)xf()）在7.若上不可约。（无有理根，则在实数域上所有次数大于或等于8. 3的多项式都是可约的.）（34（f(x)=x9、-2x+8x-10在有理数域上不可约。） 1 答案√8. 时成立7. × 5. √ 6. ×次数≥24√1、2、×当f(x)是不可约时才成立 3. √、√ 、√9三．选择题）1、以下数集不是数域的是（ ??2是有理数bbi|a,a? A、= -1，i??2是整数|a,b?abi，i = -1B、 ??是有理数,bb2|aa?、C??全体有理数D、2、关于多项式的整除，以下命题正确的是（） |g(x)则f(x)|h(x) f(x)|g(x)h(x),且f(x) A、若?B、若g(x)|f(x),h(x)|f(x),则g(x)h(x)|f(x)
§1 数域[达标训练题] 一 填空题 1．数集{0}对 运算封闭. 2．自然数集N 对 运算封闭. 3．数集},{Z b a bi a ∈+对 封闭. 二 判断题 1. 数域必含有无穷多个数. 2. 所有无理数构成的集合是数域. 三 证明 1. 证明},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域,这里n 不是完全平方数. 2. 证明},2{3 Q b a b a ∈+不是数域. 3. 若21,P P 是数域,证明21P P 也是数域,而21P P 不一定是数域. §1 数域[达标训练题解答] 一 填空题 1．加法、 减法、 乘法；2.加法、乘法 ；3.加法、减法、乘法. 二 判断题 1. ( T)； 2. ( F) 三、解答题 1．证明显然n Q ∈1,0. 对任意的)(,2211n Q n b a n b a ∈++, )()(2211n b a n b a +±+=)(21a a ±+n b b )(21±)(n Q ∈; )()(2211n b a n b a +?+ n b a b a bn b a a )()(12212121+++=)(n Q ∈. 当011≠+n b a 时, n b a n b a 1122++ ) (21212 12121212121n Q n n b a a b b a n b a n b b a a ∈?--+--= .故},{)(Q b a n b a n Q ∈+=对加法减法乘法除法 封闭.即},{)(Q b a n b a n Q ∈+=是数域. 2．证明 因为 ∈3 2},2{3 Q b a b a ∈+, ?=?333 422},2{3 Q b a b a ∈+. 即} ,2{3Q b a b a ∈+对乘法不封闭.所以 } ,2{3Q b a b a ∈+不是数域. 3．证明 由于任意数域都包含有理数, 故21,P P 也包含有理数域, 从而2 1P P 包含有理数域.令21,P P b a ∈, 则1,P b a ∈, 2,P b a ∈.由于21,P P 是数域,故
若()()()x m x l x h +=，且()()x m x p |，()()x l x p |/，则()()x h x p |/。 证法1： 由()()x m x p |/有 ()()()x p x m x m 1=。 由()()x l x p |/有()()()()()0,1≠+=x r x r x p x l x l 。 于是 ()()()()()()()()x r x p x l x m x m x l x h ++=+=11。 因()0≠x r ，故()()x h x p |/。 证明2：用反证法。若()()x h x p |，即()()()()x m x l x p +|， 又()()x m x p |，故()()()()()x m x m x l x p -+|，即()()x l x p |，矛盾。 问：若()()()()x g x h x f x h |,|//， 则()()()()x g x f x h +|成立吗？试举例说明。 答：不一定。 例如 ()()()1,1,+=-==x x g x x f x x h ，则()()()()x g x h x f x h |,|//，但 ()()()()x g x f x h +|。 例如 ()()()2,1,+=-==x x g x x f x x h ， 则()()()()x g x h x f x h |,|//，且()()()()x g x f x h +/|。 例 求m l ,， 使()2523+++=x lx x x f 能被()12++=mx x x g 整除。 解法1：因()()3=?x f ，()()2=?x g ，故商()x q 满足 ()()1=?x q ，且设()p x x q +=，则由 ()()()x g x q x f =，可得 ()()p x pm x p m x x lx x +++++=+++1252323， l m p pm p =+=+=,51,2，从而 4,2,2===l m p 。
高等代数例题 第一章 多项式 1．44P 2 （1）m 、p 、q 适合什么条件时，有2 3 1x mx x px q +-++ 2．45P 7 设3 2 ()(1)22f x x t x x u =++++，3 ()g x x tx u =++的最大公因式是一个二次多项式，求t 、 u 的值。 3．45P 14 证明：如果((),())1f x g x =，那么(()(),()())1f x g x f x g x += 4．45P 18 求多项式3 x px q ++有重根的条件。 5．46P 24 证明：如果(1)()n x f x -，那么(1)()n n x f x - 6．46P 25 证明：如果233 12(1)()()x x f x xf x +++，那么1(1)()x f x -，2(1)()x f x - 7．46P 26 求多项式1n x -在复数域内和实数域内的因式分解。 8．46P 28 （4）多项式1p x px ++ （p 为奇素数）在有理数域上是否可约？ 9．47P 1 设1()()()f x af x bg x =+，1()()()g x cf x dg x =+，且0ad bc -≠。求证： 11((),())((),())f x g x f x g x =。 10．48P 5 多项式()m x 称为多项式()f x ，()g x 的一个最小公倍式，如果（1）()()f x m x ，()()g x m x ； （2）()f x ，()g x 的任意一个公倍式都是()m x 的倍式。我们以[(),()]f x g x 表示首项系数为1的那个最 小公倍式。证明：如果()f x ，()g x 的首项系数都为1，那么()() [(),()]((),()) f x g x f x g x f x g x = 。 11．设 m 、n 为整数，2()1g x x x =++除33()2m n f x x x =+-所得余式为 。 12． 求证：如果()d x |()f x ，()d x |()g x ，且()d x 是()f x 与()g x 的一个组合，那么()d x 是()f x 与 ()g x 的一个最大公因式。 13． 14 3 4141)g( , 21212321)(23423456 -+--=+--+-- =x x x x x x x x x x x x f 求())(),(x g x f 。 14． 设22()(1) 21m n f x x x x =+--- (m ,n 是正整数),2()g x x x =+ 。证：()g x |()f x 。
第一章 多项式 1、（清华２000—20分）试求7次多项式()f x ，使()1f x +能被4 (1)X -整除,而()1f x -能 被4(1)X +整除。 2、（南航2001—20分） （1）设x 2-2px+2∣x 4+3x 2 +px+q ，求p,q 之值。 （2）设f(x)，g(x)，h(x)∈R[x]，而满足以下等式 （x 2 +1)h(x)+(x -1) f(x)+ (x -2) g(x)=0 （x 2+1)h(x)+(x+1) f(x)+ (x+2) g(x)=0 证明：x 2 +1∣f(x)，x 2 +1∣g(x) 3、（北邮2002—12分）证明：x d -1∣x n -1的充分必要条件是d ∣n （这里里记号d ∣n 表 示正整数d 整除正整数n ）。 4、、（北邮2003—15分）设在数域P 上的多项式g 1(x)，g 2(x )，g 3(x )，f(x),已知g 1(x)∣f(x)， g 2(x)∣f(x)， g 3(x)∣f(x)，试问下列命题是否成立，并说明理由： （1）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)两两互素，则一定有g 1(x)，g 2(x)，g 3(x)∣f(x) （2）如果g 1(x)，g 2(x)， g 3(x)互素，则一定有g 1(x)g 2(x)g 3(x)∣f(x) 5、（北师大2003—25分）一个大于1的整数若和其因子只有1和本身，则称之为素数。证 明P 是素数当且仅当任取正整数a ，b 若p ∣ab 则p ∣a 或p ∣b 。 6、（大连理工2003—12分）证明：次数>0且首项系数为1的多项式f(x)是某一不可约多项 式的方幂主充分必要条件是，对任意的多项式g(x)，h(x) ，由f(x)∣g(x) h(x)可以推出 f(x)∣g(x)，或者对某一正整数m ，f(x)∣h m (x)。 7、（厦门2004—16分）设f(x)，g(x)是有理数域上的多项式，且f(x)在有理数域上不可约。 若存在数α使得f(α)=g(α)=0，则f(x)∣g(x)。 8、（南航2004—30分）（1）设f(x)=x 7+2x 6 -6x 5-8 x 4 +19x 3+9x 2-22x+8，g(x)=x 2+x -2， 将f(x)表示成g(x)的方幂和，即将f(x)表示成 f(x)=C k (x)g(x)k + C k-1(x)g(x)k-1+ … + C 1(x)g(x)+C 0(x) 其中次（C i (x)）<次（g(x)）或C i (x)=0，i=0,1, …,k。（15分 ） （2）设d(x)=( f(x)，g(x))，f(x)∣g(x)和g(x)∣h(x)。证明：f(x)g(x)∣d(x)h(x)。（15分） 9、（北京化工大2005—20分）设f 1(x)≠0，f 2(x)，g 1(x)，g 2(x)是多项式，且g 1(x)g 2(x)∣f 1(x) f 2(x)，证明：若f 1(x)∣g 1(x), 则g 2(x)∣f 2(x)。
第一章 多项式 §1多项式的整除 一、含单位根多项式的整除 问多项式12++x x 能否整除1717++x x ? 若∑=++++305234)(|1i i i x x f x x x x ，则)(|1x f x i -，3,2,1,0=i 设n 为非负整数，则1222)1(1++++++n n x x x x 122)1()(+++-=n n n x x x f ，证明1))(,1(2=++x f x x n 设i a 为非负整数，问∑=++n i a i x x x 1 21的充要条件是什么？ 设m 为大于1的整数，∑-== 10)(m i i x x f ，且c x f x f m +)(|)(，试求常数c 。 设∑-==1 0)(n i i x x g ，n n x x x g x f -+=2))(()(，则)(|)(x f x g （苏州大学2002）设,,,k m r s 都是非负整数。 设23()1,f x x x x =+++4414243()k m r s g x x x x x +++=+++。 证明： ()f x 整除()g x 。 苏州大学（2000）设多项式)(),(),(x h x g x f 满足 0)()2()()1()()1(4=-+-++x h x x g x x f x ， 0)()2()()1()()1(4=+++++x h x x g x x f x 证明：)(|14 x g x +
§2最大公因式与互素 如果)(x d 是)(x f 与)(x g 的公因式，且)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个组合，那么)(x d 是)(x f 与)(x g 的一个最大公因式。 如果1))(),((=x g x f ，证明1))()(),()((=+x g x f x g x f （南京大学2001）设1F ,2F 是数域,且1F F ?,f (x),g (x)F ∈[x]. (1) 证明:如果在1F [x]中有g (x)| f (x),则在F [x],也有g (x)| f (x) (2) 证明: f (x)与g (x)在F [x]中互素当且仅当f (x) 与g (x)在1F [x]中互素. (3) 证明:设f (x)是数域F 的不可约多项式,则f (x)全是单根. 证明n n n x g x f x g x f ))(),(())(),((= （大连理工2005 ）设)(x f ，)(x g 是数域P 上的多项式，若33)]([)]([x g x f ，证明)()(x g x f 。 1))(),((=m m x g x f 当且仅当1))(),((=x g x f 设)()()(1x g x p x g k =,1))(),((1=x g x p .证明： ) ()()()()()()(111x g x p x f x p x r x g x f k k -+= 存在)(x u ，)(x v 适合))(),(()()()()(x g x f x g x v x f x u =+，且 ???? ???，证明1))(),((=x g x f 假设1))(),((21=x f x f ，证明：对任意)(),(21x g x g ，必存在)(x g ，使得 )()(|)(x g x g x f i i -，2,1=i
第一章 多项式 一．填空题 1、当p(x)是 多项式时，由p(x)| f(x)g(x)可推出p(x)|f(x)或p(x)|g(x)。 2、当f(x)与g(x) 时，由f(x)|g(x)h(x)可推出f(x)|h(x)。 3、设f(x)=x 3+3x 2+ax+b 用x+1除余数为3，用x-1除余数为5，那么a= b= 。 4、设f(x)=x 4+3x 2-kx+2用x-1除余数为3，则k= 。 5、如果(x 2-1)2|x 4-3x 3+6x 2+ax+b ，则a= b= 。 6、f(x)没有重根的充分必要条件是 。 7、如果f(x)=x 3-3x+k 有重根，那么k= 。 8．若不可约多项式()p x 是()f x 的k 重因式，则()p x 是(1)()k f x -的 因式 9、a 是f(x)的根的充分必要条件是 。 10、以l 为二重根，2，1+i 为单根的次数最低的实系数多项式为f(x)= 。 11．艾森施坦因判别法是判断多项式在有理数域上不可约的一个 条件。 答案 1、不可约 2、互素 3、a=0,b=1 4、k=3 5、a=3,b=-7 6、(f(x),f’(x))=1 7、k=±2 8. 单因式 9、x-a|f(x) 10、x 5-6x 4+15x 3-20x 2+14x-4 11. 充分 二．判断并说明理由 1、若f(x)|g(x)+h(x),f(x)|g(x),则f(x)|h(x) （ ） 2、若f(x)|g(x)h(x)，则f(x)|g(x)或f(x)|h(x) ( ) 3. 设()[]f x P x ∈，且(1)(1)0f f -==，则21()x f x -． （ ） 4、设p(x)是数域p 上不可约多项式，如果p(x)是f(x)的k 重因式，则p(x)是()f x '的k-1重因式。 （ ） 5．任何两个多项式的最大公因式不因数域的扩大而改变。 6．若一整系数多项式()f x 有有理根，则()f x 在有理数域上可约。 7.若()f x 无有理根，则()f x 在Q 上不可约。（ ） 8. 在实数域上所有次数大于或等于3的多项式都是可约的. （ ） 9、f(x)=x 4-2x 3+8x-10在有理数域上不可约。（ ）
---------------------------------------------------------------------------------------------------高等代数第一次作业 第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1? 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++
第一章 多项式 §1—§3 一、填空题 1. 如果()|()f x g x ,()|()g x h x ，则 。()|()f x h x 2. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ，则 。()|()f x h x 3. 若()|()f x g x ,()|()/f x h x ，则 。()|()()/f x g x h x + 二、判断题 1. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是有理数是数域（ ）√ 2. 数集}{1,,|2-=+i b a bi a 是整数是数域 （ ）× 3. 若()|()()f x g x h x ,()|()/f x g x ,则()|()f x h x ( ) × 4. 若()|()()f x g x h x +,()|()f x g x ,则()|()f x h x （ ）√ 5. 数集}{ 是有理数b a b a ,|2+是数域 （ ）√ 6. 数集}{为整数n n |2是数域 （ ）× 除法不封闭 7. 若()|()()f x g x h x ，则()|()f x g x 或()|()f x h x ( ) × 当()f x 是不可约时才成立 8. 若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x ( ) × 如2()f x x =，()()g x h x x ==时不成立 9. 若()|()()f x g x h x +,()|()()f x g x h x -，则()|()f x g x 且()|()f x h x ( ) √ 三、选择题 1. 以下数集不是数域的是（ ）B A 、{是有理数b a bi a ,|+，21i =-} B 、{是整数b a bi a ,|+，21i =-} C 、{ }是有理数b a b a ,|2+ D 、{}全体有理数 2. 关于多项式的整除，以下命题正确的是 （ ）C A 、若()|()()f x g x h x 且()|()/f x g x ,则()|()f x h x B 、若()|()g x f x ,()|()h x f x ,则()()|()g x h x f x C 、若()|()()f x g x h x +，且()|()f x g x ，则()|()f x h x D 、若()|()/f x g x ,()|()/f x h x ，则()|()()/f x g x h x 四、计算题 数域P 中的数q p m ,,适合什么条件时, 多项式q px x mx x ++-+32|1 解：由假设，所得余式为0，即 0)()1(2=-+++m q x m p 所以当???=-=++0 012m q m p 时有q px x mx x ++-+32|1 五、证明题 试证用21x -除()f x 所得余式为 2 )1()1(2)1(1-++--f f x f f ）（。 证明：设余式为ax b +，则有2()(1)()f x x q x ax b =-++ (1),(1)f a b f a b =+-=-+ 求得a =2)1()1(,2)1()1(-+=--f f b f f 高等代数第二次作业 第一章 多项式 §4—§6 一、填空题 1. 当()p x 是 多项式时，由()|()()p x f x g x 可推出()|()p x f x 或()|()p x g x 。不可约