2020年九年级中考模拟考试
数 学 试 题
（时间：120分 总分：120分）
一、选择题：（每小题 3 30 分) 1． -3 的绝对值是(
)
A ． -3
B ．3
C ． ±3
D ． - 1
3
解：根据负数的绝对值是它的相反数，得 | -3 |= 3 ． 故选： B ．
2．2018 年 2 月 18 日清 袁牧的一首诗《苔》被乡村老师梁俊和山里的孩子小梁在《经典永流传》的舞台重新唤醒，“白日不到处，青春恰自来．苔花如米小， 也学牡丹开．”若苔花的花粉直径约为 0.0000084 米，用科学记数法表示 0.0000084 = 8.4 ?10n ，则n 为(
)
A ． -5
B ． -6
C ．5
D ．6
解： 0.0000084 = 8.4 ?10-6 ，则n 为-6 ． 故选： B ．
3.
如图是一个几何体的三视图， 则这个几何体是( )
A ．
B ．
C ．
D ． 解：结合三个视图发现，应该是由一个正方体在一个角上挖去一个小
姓名：
学号：
正方体，且
小正方体的位置应该在右上角，
5 2 7 2 5 2 故选： B ．
4.
下列计算正确的是( )
A ． + =
B ． a 5 + a 5 = 2a 10
C ． (2 - 4)0 = 1
D ． (-a 3 )2 = a 6
解： A 、 + = + ，错误；
B 、a 5 + a 5 = 2a 5 ，错误；
C 、(2 - 4)0 = 0 ，错误；
D 、(-a 3 )2 = a 6 ，正确； 故选： D ．
5.
某校书法兴趣小组 20 名学生日练字页数如下表所示：
日练字页
数 2
3
4
5
6
人数
2 6 5 4 3
这些学生日练字页数的中位数、平均数分别是(
)
A ．3 页，4 页
B ．3 页，5 页
C ．4 页，4 页
D ．4 页，5 页
解：由表格可得，
人数一共有： 2 + 6 + 5 + 4 + 3 = 20 ，
∴这些学生日练字页数的中位数：4 页，
平均数是：
2 ? 2 + 3? 6 + 4 ? 5 + 5? 4 + 6 ?
3 =
4 （页) ，
2 + 6 + 5 + 4 + 3
故选： C ．
6.
如图，在已知的?ABC 中，按以下步骤作图：①分别以 B 、C 为圆心，以大
于 1 BC 的长为半径作弧，两弧相交于点M 、N ；②作直线 MN 交 AB 于点 D ， 2 连接CD ，若CD = AD ， ∠B = 20? ，则下列结论中错误的是(
)
5
A ．∠CAD = 40?
B ．∠ACD = 70?
C ．点D为?ABC 的外心
D ．∠ACB = 90? 解： 由题意可知直线MN 是线段BC 的垂直平分线，
∴BD =CD ，∠B =∠BCD ，
∠B = 20?，
∴∠B =∠BCD = 20?，
∴∠CDA = 20?+ 20?= 40?．
CD =AD ，
∴∠ACD =∠CAD =180?- 40?
= 70?，2
∴A 错误，B 正确；
CD =AD ，B D =CD ，
∴CD =AD =BD ，
∴点D 为?ABC 的外心，故C 正确； ∠ACD = 70?，∠BCD = 20?，
∴∠ACB = 70?+ 20?= 90?，故D 正确．故选：A ．
7.下列方程中有实数根的是( )
A ．x2 +1 = 0
B ．| x | +1 = 0
C ．
x
=
x -1
1
x -1
D ．x2 -x -1 = 0
解：A 、x2 +1 = 0 ，方程没有实数根，故错误；
B 、| x | +1 = 0 ，方程没有实数根，故错误；
C 、当x = 1 时，方程有增根，方程没有实数根，故错误；
D 、x2 -x -1 = 0 ，方程有实数根，故正确．
故选：D ．
8.如图，等边?ABC 的顶点A(1,1) ，B(3,1) ，规定把?ABC “先沿x 轴翻折，再
向左平移1个单位”为一次变换，这样连续经过2018 次变换后，等边?ABC 的顶点C 的坐标为( )
3 3 3 3 3
A ． (-2016, +1)
B ． (-2016, - -1)
C ．(-2015, +1)
D ． (-2015, - -1)
解： ?ABC 是等边三角形 AB = 3 -1 = 2 ，
∴点C 到 x 轴的距离为1+ 2 ?
横坐标为 2，
3
= +1，
2
∴C (2, +1) ，
第 2018 次变换后的三角形在 x 轴上方，
点 C 的纵坐标为
+1，横坐标为2 - 2018?1 = -2016 ，
∴点C 的对应点C ' 的坐标是(-2016, +1) ，
故选： A ．
9. 下列说法正确的是( )
A ．“清明时节雨纷纷”是必然事件
B ．要了解路边行人边步行边低头看手机的情况，可采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查
C ．从分别写有三个数字-1， -2 ，4 的三张大小形状都相同的卡片中任意抽
取两张，则卡片上的两数之积为正数的概率为 1
3 D ．射击运动员甲、乙分别射击 10 次且击中环数的方差分别是 0.5 和 1.2，则运动员甲的成绩较好
解： A 、“清明时节雨纷纷”是随机事件，错误；
B 、要了解路边行人边步行边低头看手机的情况，采取对在路边行走的学生随机发放问卷的方式进行调查不具代表性，错误；
C 、从中任意抽取两张有-1、-2 和-1、4 及-2 、4 这 3 种等可能结果，其中卡片上的两数之积为正数的只有 1 种结果，
3 3 3
则卡片上的两数之积为正数的概率为
1
3
，正确；
D 、射击运动员甲、乙分别射击10 次且击中环数的方差分别是0.5 和1.2，则运动
员甲的成绩较稳定，错误；
故选：C ．
10.如图1，在矩形ABCD 中，对角线AC 与BD 交于点O ，动点P 从点A 出发，沿
AB 匀速运动，到达点B 时停止，设点P 所走的路程为x ，线段OP 的长为y ，
若y与x之间的函数图象如图2所示，则矩形A BCD 的周长为( )
A ．14
B ．28
C ．40
D ．48
解： 当OP ⊥AB 时，OP 最小，且此时AP = 4 ，OP = 3 ，
∴AB = 2AP = 8 ，A D = 2OP = 6 ，
∴C
矩形ABCD
=2(AB +AD)=2?(8 + 6)=
28 ．故选：B ．
二、填空题（每小题 3 分，共15 分）
11．计算：(-1
)-1 -
2
=0 ．
解：原式=-2 - (-2) =-2 + 2 = 0 ，
故答案为：0
12．如图，在横格作业纸（横线等距）上画了个“ ?”，与横格线交于A 、B 、C 、
D 、O 五点，若线段A B = 4cm ，则线段CD = 6 cm ．
解：如图，过点O 作OE ⊥AB 于点E ，OF ⊥CD 于点F ，则E 、O 、F 三点共
3 -8
线，
作业纸中的横格线都平行，且相邻两条横格线间的距离都相等，
∴AB
=
OE
，CD OF
即4
=
2
，
CD 3
∴CD =
6cm ．故答案
为：6．
13.已知抛物线y =-x2 - 2x + 3 ，当-2 x 2 时，对应的函数值y 的取值范围为
-5 y 4 ．
解：y =-x2 - 2x + 3 =-(x + 1)2 + 4 ，
x =-1时，y = 4 ，
x = 2 时，y =-4 - 4 + 3 =-5 ，
∴当-2 x 2 时，-5 y
4 ．故答案为：-
5 y 4 ．
14.如图，AC 是半圆O 的一条弦，以弦AC 为折线将弧AC 折叠后过圆心O ， O
的半径为2，则圆中阴影部分的面积为 3 ．
解：过点O 作OE ⊥AC ，交AC 于D ，连接OC ，BC ，
OD =DE =1
OE =
1
OA ，2 2
3 3 ∴∠A = 30? ，
AB 是 O 的直径， ∴∠ACB = 90? ， ∴∠B = 60?， OB = OC = 2 ， ∴?OBC 是等边三角形， ∴OC = BC ，
∴弓形OC 面积=弓形 BC 面积，
∴阴影部分面积= S ?OBC =
1
? 2 ? = ．
2
故答案为：
15. 如图，四边形 ABCD 是菱形， AB = 2 ， ∠ABC = 60?
，点 E 是射线 DA 上一动
点，把?CDE 沿CE 折叠，其中点 D 的对应点为 D ' ，连接 D 'B ，若?D 'BC 为等边三角形，则 DE 的长为 1 或 4 ．
解：分两种情况：
①如图，当?D 'BC 为等边三角形时， ∠D 'CB = 60?，
∴∠ABC = 60?，
3
? ∴∠BCD = 120? ，
由折叠可得， ∠DCE = ∠D 'CE = 1 ∠DCD ' = 1
(120?
- 60?) = 30? ，
2 2
又 ∠D = 60? ， ∴∠CED = 90? ，
∴Rt ?CED 中， DE = 1
CD = 1 ；
2
②如图，当?D 'BC 为等边三角形时， ∠D 'CB = 60?，
∴∠DCD ' = 120? + 60? = 180? ，
由折叠可得， ∠DCE = ∠D 'CE = 1 ∠DCD ' = 1
?180? = 90?，
2 2
又 ∠D = 60? ， ∴∠CED = 30? ，
∴Rt ?CED 中， DE = 2CD = 4 ； 故答案为：1 或 4．
三、解答题（ 共 8 个小题，满分 75 分）
a 2 -1
÷ a +1 -
a
?3 - (a +1) > 0 16．先化简： a 2 - 2a +1 a -1 a -1 ； 再在不等式组?2a + 2 0
的整数解中 选取一个合适的解作为a 的取值，代入求值．
解：原式= (a +1)(a -1) a -1 - a
= 1-
a a -1 (a -1)2
a +1 a -1 = a -1 -
a -1 a a -1
= - 1 ，
a -1
解不等式3 - (a +1) > 0 ，得： a < 2 ，
解不等式2a + 2 0 ，得：a -1，
则不等式组的解集为-1 a <2 ，
其整数解有-1、0、1，
a ≠±1，
∴a = 0 ，则
原式= 1 ．
17.某中学现有在校学生2150 人，为了解本校学生的课余活动情况，采取随机
抽样的方法从阅读、运动、娱乐、其它四个方面调查了若干名学生，并将调查的结果绘制了如下两幅不完整的统计图，请你根据图中提供的信息解答下列问题：
（1）本次调查共抽取了多少名学生？
（2）通过计算补全条形图，并求出扇形统计图中阅读部分圆心角的度数；（3）请你估计该中学在课余时间参加阅读和其它活动的学生一共有多少名？解：（1）根据题意得：20 ÷ 20% =100 （名)，
答：一共调查的学生数是100 人；
（2）娱乐的人数是：100 - 30 - 20 -10 = 40 （名) ，补图如下：
阅读部分的扇形圆心角的度数是360?? 30
100
= 108?；
（3）根据题意得： 2150 ? 30 +10
= 860 （名) ，
100
答：该中学在课余时间参加阅读和其它活动的学生一共有 860 名．
18. 如图，为测量某建筑物 BC 及上面旗杆 AB 的高度，小明在距建筑物 BC 底部
12m 的点 F 处，由点 E 观测到旗杆 AB 顶端 A 的仰角为52? ，底端 B 的仰角为 45?，已知小明的观测点 E 与地面的高度 EF 为1.6m ．
（1） 求建筑物 BC 的高度；
（2）
求旗杆 AB 的高度（结果精确到 0． lm )
（参考数据： sin 52? = 0.79 ， cos 52? = 0.62 ， tan 52? = 1.28)
解：（1）过点 E 作 ED ⊥ AC 于点 D ，则四边形 DCFE 为矩形． ∴∠ADE = 90? ， CD = EF = 1.6 ， ED = FC = 12 ． 在Rt ?BED 中， DE = 12 ， ∠BED = 45? ， ∴ BD = ED tan ∠BED = 12? tan 45? = 12 ． ∴ BC = BD + CD = 12 +1.6 = 13.6(m ) ． 答：建筑物 BC 的高度为13.6m ；
（2）在Rt ?AED 中， DE = 12 ， ∠AED = 52? ， ∴ AD = ED tan ∠AED = 12? tan 52? = 15.36 ． ∴ AB = AD - BD = 15.36 -12 = 3.36 ≈ 3.4(m ) ．
答：旗杆 AB 的高度约为3.4m ．
19.如图，AB 是 O 的直径，C 、D 是 O 上的两点，且AC =CD ．
（1）求证：OC / / B D ；
（2）若BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，试确定四边形OBDC 的形状．
（1）证明： AC =CD ，
∴弧AC 与弧CD 相等，
∴∠ABC =∠CBD ，
又 OC=OB( O的半径），
∴∠OCB =∠OBC ，
∴∠OCB =∠CBD ，
∴OC / / BD ；
（2）解： OC / / B D ，
设平行线OC 与BD 间的距离为h ，
又S
?OBC =
1
OC ?h ，S
2?DBC
=
1
BD ?h ，
2
因为BC 将四边形OBDC 分成面积相等的两个三角形，
即S
?OBC =S
?DBC
，
∴OC =BD ，
∴四边形OBDC 为平行四边形，
?
?
又 OC = OB ，
∴四边形OBDC 为菱形．
20. 某班为参加学校的大课间活动比赛，准备购进一批跳绳，已知 2 根 A 型跳绳和 1
根 B 型跳绳共需 56 元，1 根 A 型跳绳和 2 根 B 型跳绳共需 82 元．
（1） 求一根 A 型跳绳和一根 B 型跳绳的售价各是多少元？
（2）
学校准备购进这两种型号的跳绳共 50 根，并且 A 型跳绳的数量不多于 B 型跳绳数量的 3 倍，请设计书最省钱的购买方案，并说明理由．
解：（1）设一根 A 型跳绳售价是 x 元，一根 B 型跳绳的售价是 y 元，根据题意，得： ?2x + y = 56
?
x + 2 y = 82 ，
?x = 10 解得： ? y = 36 ，
答：一根 A 型跳绳售价是 10 元，一根 B 型跳绳的售价是 36 元； （2）设购进 A 型跳绳m 根，总费用为W 元， 根据题意，得：W = 10m + 36(50 - m ) = -26m +1800 ， -26 < 0 ，
∴W 随m 的增大而减小，
又 m 3(50 - m ) ，解得： m 37.5 ， 而m 为正整数，
∴当m = 37 时，W 最小 = -26 ? 37 +1800 = 838 ，
此时50 - 37 = 13 ，
答：当购买 A 型跳绳 37 只， B 型跳绳 13 只时，最省钱．
21. 已知直线 y = - 2 x + 6 与双曲线 y = k
(x > 0) 交于点 A 、 B ，把直线OA 向右
3 x 平移恰好经过点 B ，并与 x 轴交于点C ，且OA : BC = 2 :1
（1） 求k 的值；
（2） 连接 AC ，求?ABC 的面积．
解：（1）在 y = - 2 x + 6 中，令 y = 0 ，则 x = 9 ，设点 A 的坐标为(a , - 2
a + 6) ，
3 AO = 2 ， A O / / BC ，
BC
∴C ( 9 ， 0) ，
2 取OA 的中点G ，
∴点 B 相当于点G 向右平移了 9 2
3
个单位， 点G 的坐标为( 1 a ， - 1
a + 3) ，
2 3 ∴ B 点坐标为( 9 + 1 a ， - 1
a + 3) ，
2 2 3
点 A ， B 都在反比例函数 y = k
的图象上，
x
∴ a ? (- 2 a + 6) = ( 9 + 1 a ) ? (- 1
a + 3)
3 2 2 3 解得a = 9(0 不合题意，舍去）， a = 3，
∴点 A 的坐标为(3, 4) ，
∴k = 12 ；
（2）
AO
= 2 ， A O / / BC ， BC
∴ BE = CE = 1 ， AE OE 2
∴ S ?ABC = 1 S 2 ?ACE
= 1 ? 1 ? 9 ? 2 = 9 ． 2 2 2
22. 【问题情境】在?ABC 中， BA = BC ，∠ABC = α(0? < α< 180?) ，点 P 为直线
BC 上一动点（不与点 B 、C 重合），连接 AP ，将线段 PA 绕点 P 顺时针旋转得到线段 PQ 旋转角为α) ，连接CQ ．
【特例分析】（1）当α= 90? ，点 P 在线段 BC 上时，过 P 作 PF / / AC 交直线 AB
于点F，如图①，易得图中与?APF全等的一个三角形是?PQC，∠ACQ=
?．
【拓展探究】（2）当点P 在BC 延长线上，AB : AC =m : n 时，如图②，试求线段BP 与CQ 的比值；
【问题解决】（3）当点P 在直线BC 上，α= 60?，∠APB = 30?，CP = 4 时，请直接写出线段CQ 的长．
解：（1）如图①， ∠ABC = 90?，AB =CB ，
∴?ABC 是等腰直角三角形，
PF / / AC ，
∴∠BPF =∠BFP = 45?，
∴?BPF 是等腰直角三角形，
∴BF =BP ，
∴AF =CP ，
由旋转可得，AP =PQ ，∠APQ = 90?，而∠BPF = 45?，
∴∠QPC = 45?-∠APF ，
又 ∠P AF =∠PFB -∠APF = 45?-∠APF ，
∴∠P AF =∠QPC ，
∴?APF ??PQC ，
∴∠PCQ =∠AFP = 135?，
又 ∠ACB = 45?，
∴∠ACQ = 90?，
故答案为：?PQC ，90；
（2）如图②，过P 作PF / / AC ，交BA 的延长线于F ，则BA
=
BC
，AF CP
又
AB =BC ，
∴AF =CP ，
又 ∠F AP =∠ABC +∠APB =α+∠APB ，∠CPQ =∠APQ +∠APB =α+∠APB ，∴∠F AP =∠CPQ ，
由旋转可得，P A =PQ ，
∴?AFP ??PCQ ，
∴FP =CQ ，
PF / / AC ，
∴?ABC∽?FBP ，
∴BP
=
FP
，BC AC
∴BP
=
BP
=
BC
=
AB
=
m
；CQ FP AC AC n
（3）如图，当P 在CB 的延长线上时，
∠CPQ =∠APQ -∠APB = 60?- 30?= 30?，
∴∠APC =∠QPC ，
又 AP =QP ，PC =PC ，
∴?APC ??QPC ，
∴CQ =AC ，
又 BA =BC ，∠ABC = 60?，
∴?ABC 是等边三角形，
∴∠ABC = 60?，∠BAP =∠ABC -∠APB = 30?，
∴BP =AB =BC =1
PC = 2 ，2
∴QC =AC =BC = 2 ；
如图，当P 在BC 的延长线上时，连接AQ ，
由旋转可得，AP =QP ，∠APQ =∠ABC = 60?，∴?APQ 是等边三角形，
∴AQ =PQ ，∠APQ = 60?=∠AQP ，
又 ∠APB = 30?，∠ACB = 60?，
∴∠CAP = 30?，∠CPQ = 90?，
∴∠CAP =∠AP A ，
∴AC =PC ，
∴?ACQ ??PCQ ，
?
∴∠AQC = ∠PQC = 1
∠AQP = 30? ，
2 ∴Rt ?PCQ 中， CQ = 2CP = 8 ．
综上所述，线段CQ 的长为 2 或 8．
23. 如图，已知直线 y = 3
x + 3 交 x 轴负半轴于点 A ，交 y 轴于点C ，抛物线
4
y = - 3
x 2 + bx + c 经过点 A 、C ，与 x 轴的另一交点为 B ．
8
（1） 求抛物线的解析式；
（2） 设抛物线上任一动点 P 的横坐标为m ．
①若点 P 在第二象限抛物线上运动，过 P 作 PN ⊥ x 轴于点 N 交直线 AC 于点M ， 当直线 AC 把线段 PN 分成2 : 3 两部分时，求m 的值；
②连接CP ，以点 P 为直角顶点作等腰直角三角形CPQ ，当点Q 落在抛物线的对称轴上时，请直接写出点 P 的坐标．
解：（1）当 x = 0 时， y = 3
x + 3 = 3，则C (0, 3) ；
4
当 y = 0 时， 3
x + 3 = 0 ，解得 x = -4 ，则 A (-4, 0) ，
4
3
?-6 - 4b + c = 0 ?
b = - 3
把 A (-4, 0) ， C (0, 3) 代入 y = - 8 x 2 + bx + c 得? ?c = 3
，解得? 4 ， ??c = 3
∴抛物线解析式为 y = - 3 x 2 - 3 x + 3 ； 8 4 （2）①设 P (m ， - 3 m 2 - 3 m + 3)(-4 < m < 0) ，则M (m , 3
m + 3) ，
8 4 4
∴ PM = - 3 m 2 - 3 m + 3 - ( 3 m + 3) = - 3 m 2 - 3 m ， M N = 3
m + 3 ，
8 4 4 8 2 4
∴
PM MN - 3 m 2 - 3 m
= 8 2 3 m + 3
4
= - 1 m ， 2 直线 AC 把线段 PN 分成2 : 3 两部分，
∴- 1 m = 2 或- 1 m = 3 ，
2 3 2 2
解得m = - 4
或m = -3 ；
3
② 作 PK ⊥ y 轴 于 G ， 交 抛 物 线 的 对 称 轴 于 K
， 如 图
，
?CPE 直角三角形， ∴ PE = PC ， ∠EPC = 90? ∠PKE = ∠PGC = 90? ， ∴∠PEG = ∠CPG ， 易得?PEK ? ?CPG ，
∴CG = PK ，
设 P (x , - 3 x 2 - 3 x + 3) ，抛物线的对称轴为直线 x = -1 ，则 K (-1, - 3 x 2 - 3
x + 3) ，
8 4 8 4 G (0, - 3 x 2 - 3
x + 3) ，
8 4
∴ PK =| -1- x |=| x +1| ， C G =| - 3 x 2 - 3 x + 3 - 3 |=| - 3 x 2 - 3
x |，
8 4 8 4
∴| x +1|=| - 3 x 2 - 3
x | ，
8 4
解方程 x +1 = - 3 x 2 - 3 x 得 x = -4 ， x = - 2
；
8 4 1 2
3 解方程 x +1 = 3 x 2 + 3 x 得 x = 2 ， x = - 4
；
8 4 1 2
3
∴P 点坐标为(-4, 0) 或(-2
，
10
) 或(2, 0) 或(-
4
，
10
) ．
3 3 3 3