数列的通项与求和(全) 一. 知识要点 1.等差数列
（1）定义：1n n a a d +-=(常数)； （2）通项公式： 1(1)n a a n d =+-；
（3）若三个数a b c 、、成等差数列，即2b a c =+，则称b 为a 和c 的等差中项； （4）对任意的两项n m a a 、有n m a a n m d =+-（）；
（5）对任意的正整数m n k l 、、、，若m n k l +=+，则m n k l a a a a +=+； （6）若{}n a 和{}n b 都是等差数列，则{}n n ca db +也是等差数列；
（7）前n 项和公式: 11()(1)
22
n n n a a n n S na d +-=
=+； （8）{}n a 是等差数列的充要条件是2n S An Bn =+。 （9）m n m n S S S mnd +=++；
（10）323()m m m S S S =-；
（11）若()m n S S m n =≠，则0m n S +=； （12）若m n S n S m ==，，则()m n S m n +=-+；
（13）若{}n a 是公差0d ≠的等差数列，1n r >>且*
n r N ∈，，则11n r n r a a a a -+<。
2.等比数列
（1）定义：1n n
a
q a +=(常数)；
（2）通项公式：11n n a a q -=；
（3）若三个数a b c 、、成等比数列，即2
b a
c =，则称b 为a 和c 的等比中项； （4）对任意的两项n m a a 、有n m n m a a q -=；
（5）对任意的正整数m n k l 、、、，若m n k l +=+，则m n k l a a a a =； （6）若{}n a 和{}n b 都是等比数列，则{}n n ca b 也是等比数列；
（7）前n 项和公式：1
11(1)11n n na q S a q q q
=??
=-?≠?-?
（）（）；
（8）无穷递缩等比数列所有项和公式：1
lim (01)1n n a S S q q
→∞
==
<<-； （9）对于等比数列：m n m n m n n m S S S q S S q +=+=+；
（10）若{}n a 各项为正数且公比1q ≠的等比数列，1n r >>且*
n r N ∈，，
则11n r n r a a a a -++>+。
3. 递归数列
（1）定义：对于任意的正整数n k 、，由递推关系12()n k n k n k n a f a a a ++-+-= ，，，确定的关系称为k 阶递推关系，由k 阶递推关系及给定的前k 项12k a a a ，，，的值（初始值）所确定的数列称为k 阶递推数列。
（2）形如1()n n a a f n +=+的递归式的通项 利用累加法可得： 1
1
11
11
1
()()n n n k k k k a a a
a a f k --+===+
-=+∑∑；
（3）形如1()n n a f n a +=?的递归式的通项
利用累乘法可得：1
1
1
1111
()n n k n k k k a a a a f k a --+===?=?∏∏；
（4）形如1()n n a pa q n +=+的递归式的通项 两端同时除以1n p +得
111()n n n n n a a q n p p p
+++=+，令n n n a b p =得11
()
n n n q n b b p ++=+，求n b 再求n a ；即利用叠加法易得()∑-=++=1111n i i n n p i f p a p a ，从而()?????
?+=∑-=-1
111n i i n n p i f a p a .
主要是形如1n n n a Aa Bt Cn D +=+++的递推数列{}n a 的通项公式的求法： 类型一：递推关系形如 1(00)n n a Aa D A D +=+≠≠，的数列 1()n n a x A a x ++=+；
类型二：递推关系形如 1(00)n n a Aa Cn A C +=+≠≠，的数列 1(1)()n n a x n y A a xn y ++++=++；
类型三：递推关系形如 1n n n a Aa Bt +=+(001)A B t ≠≠≠，，的数列
112(2)n n
n n a x A a x ++-?=-?；
类型四：递推关系形如 1n n n a Aa Bt Cn D +=+++(0000)A B C D ≠≠≠≠，，，的数列
1
1(1)()n n n n a x t
y n z A a x t yn z +++?+++=+?++；
（5）形如1q
n n a pa +=(00n p a >>，)的递归式的通项
两边取对数有1lg lg lg n n a q a p +=+，令lg n n b a =，则1lg n n b qb p +=+，仿(4)得n b ，再求n a ； （6）形如21n n n a pa qa ++=+的递归式的通项
设211()n n n n a ka m a ka +++-=-，可得k m p
km q
+=??
=?，所以k m 、为方程20x px q --=的根，若
两根12x x ≠，则1122n n n a c x c x =+；若两根12x x =，则121()n
n a c c n x =+；其中12c c 、为常数；
(7) 形如1(0-0)n n n a a b
a c ad bc c a d
+?+=
≠≠?+，的递归式的通项
利用不动点法：当()f x x =时，x 的取值称为不动点。 对于d
a c
b a a a n n n +?+?=
+1，令d x c b
x a x +?+?=，即()02=--+b x a d cx ，此方程的两个根为12x x ，。
若12x x =，0a d +≠则有
p x a x a n n +-=-+1
111
1，p 可以用待定系数法求解，为2c p a d =
+。 若12x x ≠，则有
111
122
n n n n a x a x q a x a x ++--=?
--，q 可以用待定系数法求解，为12a cx q a cx -=-。 4. 数列求和
数列求和法主要有倒序相加法、裂项相消法、错位相相减法等。 二. 例题分析 例1.数列1
(2)
n a n n =+，求数列的前n 项和n S 。
例2.数列1
2n n a n -=?，求数列的前n 项和n S 。
例3.已知正数列{}n a 的前n 项和11
()2n n n
S a a =+，求{}n a 的通项公式。
例4.数列{}n a 满足(1)n n n a a n +=+，且12a =，求{}n a 的通项公式。
例5.已知121n n a a +=+，且12a =，求{}n a 的通项公式。
例6.裴波那契数列各项为11235813 ，
，，，，，，，求{}n a 的通项公式。
三、巩固练习 1.数列{}n a 满足112a =
，1232
n n n a a a +=+，求{}n a 的通项公式.
2.求1
1111111111n +++???+???
个的和. 3.求11123234n S =++???? +1
(1)(2)
n n n ++.
4.在数列{}n a 中，11a =，111
(1)2
n n n n a a n ++=++ （1）设n
n a b n
=
，求数列{}n b 的通项公式；（2）求数列{}n a 的前n 项和n S .
5.数列{}n a 满足123n n a a +=-，且15a =，求{}n a 的通项公式.
6.数列{}n a 满足2132n n n a a a ++=-，且1223a a ==，，求{}n a 的通项公式.
7.21132n n n a a a a +==-，，求.
8.数列{}n a 中，11=a ，()
n n n a a a 2414116
1
1+++=+，求n a 。（第22届IMO 预选）