5.4 功能关系、能量转化和守恒定律
1．如图5-4-1所示，一轻弹簧的左端固定，右端与一小球相连，小球处于光滑水平面上．现对小球施加一个方向水平向右的恒力F，使小球从静止开始运动，则小球在向右运动的整个过程中()．
图5-4-1
A．小球和弹簧组成的系统机械能守恒
B．小球和弹簧组成的系统机械能逐渐增大
C．小球的动能逐渐增大
D．小球的动能先增大然后减小
解析小球在向右运动的整个过程中，力F做正功，由功能关系知小球和弹簧组成的系统机械能逐渐增大，选项A错误，B正确；弹力一直增大，当弹力等于F时，小球的速度最大，动能最大，当弹力大于F时，小球开始做减速运动，速度减小，动能减小，选项C错误，D正确．
答案BD
2．如图5-4-2所示，一表面光滑的木板可绕固定的水平轴O转动，木板从水平位置OA转到OB位置的过程中，木板上重为5 N的物块从靠近转轴的位置从静止开始滑到图中虚线所示位置，在这一过程中，物块的重力势能减少了4 J．则以下说法正确的是()．
图5-4-2
A．物块的竖直高度降低了0.8 m
B．由于木板转动，物块下降的竖直高度必大于0.8 m
C．物块获得的动能为4 J
D．由于木板转动，物块的机械能必定增加
解析 由重力势能的表达式E p ＝mgh ，重力势能减少了4 J ，而mg ＝5 N ，故h ＝0.8 m ，A 项正确、B 项错误；木板转动，但是木板的支持力不做功，故物块机械能守恒，C 项正确、D 项错误． 答案 AC
3．如图5-4-3所示，两物体A 、B 用轻质弹簧相连，静止在光滑水平面上，现同时对A 、B 两物体施加等大反向的水平恒力F 1、F 2，使A 、B 同时由静止开始运动，在运动过程中，对A 、B 两物体及弹簧组成的系统，正确的说法是(整个过程中弹簧不超过其弹性限度)( )．
图5-4-3
A ．机械能守恒
B ．机械能不断增加
C ．当弹簧伸长到最长时，系统的机械能最大
D ．当弹簧弹力的大小与F 1、F 2的大小相等时，A 、B 两物体速度为零
解析 F 1、F 2加在A 、B 上以后，A 、B 向两侧做加速度a ＝F －kx m 减小的加速运动．当F ＝
kx 时，加速度为零，速度达到最大，以后kx ＞F ，A 、B 向两侧做减速运动，至速度减为零时，弹簧伸长到最长，从A 、B 开始运动到弹簧伸长到最长的过程中，F 1、F 2都一直做正功，使系统的机械能增加．以后弹簧伸长量减小，F 1、F 2开始做负功，则系统的机械能减小． 答案 C
4．如图5-4-4所示，用手通过弹簧拉着物体沿光滑斜面上滑，下列说法正确的是( )．
图5-4-4
A ．物体只受重力和弹簧的弹力作用，物体和弹簧组成的系统机械能守恒
B ．手的拉力做的功，等于物体和弹簧组成的系统机械能的增加量
C ．弹簧弹力对物体做的功，等于物体机械能的增加量
D ．手的拉力和物体重力做的总功等于物体动能的增加量
解析 对于物体和弹簧组成的系统，当只有重力做功时机械能才守恒，手的拉力对系统做正功，系统的机械能增大，由功能关系可知，A 错，B 对；对物体，弹簧弹力是外力，物体所受外力中，除重力外只有弹簧弹力做功，因此弹簧弹力做的功等于物体机械能的增加量，C
对；手的拉力作用于弹簧，因此引起弹簧的形变而改变弹性势能，D错．
答案BC
5．如图5-4-5所示，光滑细杆AB、AC在A点连接，AB竖直放置，AC水平放置，两相同的中心有小孔的小球M、N，分别套在AB和AC上，并用一细绳相连，细绳恰好被拉直，现由静止释放M、N，在运动过程中下列说法中正确的是()．
图5-4-5
A．M球的机械能守恒
B．M球的机械能减小
C．M和N组成的系统的机械能守恒
D．绳的拉力对N做负功
解析由于杆AB、AC光滑，所以M下降，N向左运动，绳子对N做正功，对M做负功，N的动能增加，机械能增加，M的机械能减少，对M、N系统杆对M、N均不做功，系统机械能守恒，故B、C项正确．
答案BC
6．如图5-4-6所示，具有一定初速度的物块，沿倾角为30°的粗糙斜面向上运动的过程中，受一个恒定的沿斜面向上的拉力F作用，这时物块的加速度大小为4 m/s2，方向沿斜面向下，那么在物块向上运动的过程中，下列说法正确的是()．
图5-4-6
A．物块的机械能一定增加
B．物块的机械能一定减少
C．物块的机械能可能不变
D．物块的机械能可能增加，也可能减少
解析由mg sin 30°＋F f－F＝ma，知F－F f＝mg sin 30°－ma＝mg×0.5－4m>0，即F>F f，故F做的正功多于克服摩擦力做的功，机械能增加，选项A正确．
答案 A
7．如图5-4-7所示，光滑水平面OB与足够长粗糙斜面BC交于B点．轻弹簧左端固定于竖直墙面，现将质量为m1的滑块压缩弹簧至D点，然后由静止释放，滑块脱离弹簧后经B点滑上斜面，上升到最大高度，并静止在斜面上．不计滑块在B点的机械能损失；换用相同
材料质量为m 2的滑块(m 2>m 1)压缩弹簧到相同位置，然后由静止释放，下列对两滑块说法正确的是( )．
图5-4-7
A ．两滑块到达
B 点的速度相同 B ．两滑块沿斜面上升的最大高度相同
C ．两滑块上升到最高点过程克服重力做的功相同
D ．两滑块上升到最高点过程机械能损失相同
解析 设弹簧的弹性势能为E p .从D ―→B 过程由能量守恒得． E p ＝12m v 2B
.
因为m 2>m 1所以选项A 错．
从D ―→最大高度过程．由能量守恒得． E p ＝mgh ＋μmg cos θ·h sin θ
即h ＝
E p
mg (1＋μcot θ)
所以选项B 错，C 、D 均正确． 答案 CD
8．为了让乘客乘车更为舒适，某探究小组设计了一种新的交通工具，乘客的座椅能随着坡度的变化而自动调整，使座椅始终保持水平，如图5-4-8所示．当此车减速上坡时，乘客( )．
图5-4-8
A ．处于失重状态
B ．受到向前(水平向右)的摩擦力作用
C ．重力势能增加
D ．所受力的合力沿斜坡向上
解析 当车减速上坡时，因加速度有向下的分量，所以乘客处于失重状态，A 正确；乘客的高度增加，重力势能增大，C 正确；因为乘客的加速度是沿斜坡向下，故所受合力沿斜坡向下，D 错误；乘客受到水平向左的摩擦力作用，B 错误．
答案 AC
9．在地面上将一小球竖直向上抛出，上升一定高度后再落回原处，若不计阻力，以向上为正方向，则下述图象能正确反映位移－时间，速度－时间、加速度－时间、重力势能－高度(取地面的重力势能为零)的是( )．
解析 小球竖直向上抛出，不计阻力，以向上为正方向，可得a ＝－g ，可知选项C 正确．位移－时间关系式为x ＝v 0t －1
2gt 2，可知选项A 错误．速度－时间关系式为v ＝v 0－gt ，可知选
项B 错误．重力势能－高度关系式为E p ＝mgh ，可知选项D 错误． 答案 C
10．如图5-4-9所示，水平传送带AB 长21 m ，以6 m/s 顺时针匀速转动，台面与传送带平滑连接于B 点，半圆形光滑轨道半径R ＝1.25 m ，与水平台面相切于C 点，BC 长s ＝5.5 m ，P 点是圆弧轨道上与圆心O 等高的一点．一质量为m ＝1 kg 的物块(可视为质点)，从A 点无初速释放，物块与传送带及台面间的动摩擦因数均为0.1，则关于物块的运动情况，下列说法正确的是( )．
图5-4-9
A ．物块不能到达P 点
B ．物块能越过P 点做斜抛运动
C ．物块能越过P 点做平抛运动
D ．物块能到达P 点，但不会出现选项B 、C 所描述的运动情况
解析 物块从A 点释放后在传送带上做加速运动，假设达到台面之前能够达到传送带的速度v ，则由动能定理得，μmgx 1＝1
2m v 2，得x 1＝18 m<21 m ，假设成立．物块以6 m/s 冲上台
面，假设物块能到达P 点，则到达P 点时的动能E k P ，可由动能定理求得，－μmgx －mgR ＝E k P －1
2m v 2，得E k P ＝0，可见，物块能到达P 点，速度恰为零，之后从P 点滑回来，不会出
现选项B 、C 所描述的运动情况，D 正确． 答案 D
11．一个平板小车置于光滑水平面上，其右端恰好和一个1
4光滑圆弧轨道AB 的底端等高对
接，如图5-4-10所示．已知小车质量M ＝3.0 kg ，长
L ＝2.06 m ，圆弧轨道半径R ＝0.8 m ．现将一质量m ＝1.0 kg 的小滑块，由轨道顶端A 点无初速释放，滑块滑到B 端后冲上小车．滑块与小车上表面间的动摩擦因数μ＝0.3.(取g ＝10 m/s 2)试求：
图5-4-10
(1)滑块到达B 端时，轨道对它支持力的大小； (2)小车运动1.5 s 时，车右端距轨道B 端的距离； (3)滑块与车面间由于摩擦而产生的内能． 解析 (1)滑块从A 端下滑到B 端，由动能定理得 mgR ＝12m v 20
在B 点由牛顿第二定律得F N －mg ＝m v 20
R
解得轨道对滑块的支持力F N ＝3 mg ＝30 N (2)滑块滑上小车后，由牛顿第二定律 对滑块：－μmg ＝ma 1，得a 1＝－3 m/s 2 对小车：μmg ＝Ma 2，得a 2＝1 m/s 2
设经时间t 后两者达到共同速度，则有v 0＋a 1t ＝a 2t 解得t ＝1 s 由于t ＝1 s<1.5 s ，
故1 s 后小车和滑块一起匀速运动，速度v ＝1 m/s 因此，1.5 s 时小车右端距轨道B 端的距离为 s ＝1
2
a 2t 2＋v (1.5－t )＝1 m (3)滑块相对小车滑动的距离为Δs ＝v 0＋v 2t －v
2t ＝2 m
所以产生的内能Q ＝μmg Δs ＝6 J 答案 (1)30 N (2)1 m (3)6 J
12．如图5-4-11所示，为一传送装置，其中AB 段粗糙，AB 段长为L ＝0.2 m ，动摩擦因数μ＝0.6，BC 、DEN 段均可视为光滑，且BC 的始、末端均水平，具有h ＝0.1 m 的高度差，DEN 是半径为r ＝0.4 m 的半圆形轨道，其直径DN 沿竖直方向，C 位于DN 竖直线上，CD 间的距离恰能让小球自由通过．在左端竖直墙上固定有一轻质弹簧，现有一可视为质点的小
球，小球质量m ＝0.2 kg ，压缩轻质弹簧至A 点后由静止释放(小球和弹簧不粘连)，小球刚好能沿DEN 轨道滑下．求： (1)小球到达N 点时速度的大小； (2)压缩的弹簧所具有的弹性势能．
图5-4-11
解析 (1)“小球刚好能沿DEN 轨道滑下”，在圆周最高点D 点必有：mg ＝m v 2D
r
从D 点到N 点，由机械能守恒得：1
2m v 2D ＋mg ×2r
＝12m v 2N
＋0 联立以上两式并代入数据得： v D ＝2 m/s ，v N ＝2 5 m/s (2)弹簧推开小球过程中，
弹簧对小球所做的功W 等于弹簧所具有的弹性势能E p ， 根据动能定理得W －μmgL ＋mgh ＝1
2m v 2D －0
代入数据得W ＝0.44 J
即压缩的弹簧所具有的弹性势能为0.44 J(优选能量) 答案 (1)2 5 m/s (2)0.44 J