一、序言
岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。
二、极射赤平投影的基本原理
（一）投影要素
极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括：
1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。
2.球面：投影球的表面称为球面。
3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。
4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。
5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。
7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。
（二）平面的赤平投影
平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。
1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。
2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。
（三）直线的赤平投影
直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。
（四）吴氏网及其CAD制作
目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
1.吴氏网的结构及成图原理
吴氏网（图六）由基圆、南北经向大圆弧（NGS）、东西纬向小圆弧（ACB）等经纬线组成。标准吴氏网的基圆直径为20cm，经、纬线间的角距为2°。
(1)基圆，由指北方向（N）为0°,顺时针方向刻出360°，这些刻度起着量度方位角的作用；
(2)经向大圆弧是由一系列通过球心，走向南北，分别向西和向东倾斜，倾角由0°到90°（角距间隔为2°）的许多赤平投影大圆弧所组成。这些大圆弧与东西直径线EW的交点到端点（E点和W点）的距离分别代表各平面的倾角。如图六中GW表示的大圆弧NGS所代表的平面向西倾斜，倾角为30°。
(3)纬向线是由一系列走向东西的直立平面的赤平投影小圆弧所组成。这些小圆弧离基圆的圆心O愈远，其所代表的球面小圆的半径角距就愈小，反之离圆心O愈近，则半径角距就愈大。相邻纬向小圆弧间的角距也是2°，它分割南北直径线的距离，与经向大圆弧分割东西径线的距离是相等的。如图六所示，ED＝SH＝WG＝NF，角距都为30°。
2.吴氏网的CAD图解
绘制吴氏网，其实质就是在赤平大圆上画出经向大圆弧和纬向小圆弧。那么这些大圆弧和小圆弧都是怎样是绘制出来的呢？在没有CAD制图系统软件以前，人们通过平面几何关系利用圆规、直尺等原始工具绘制，其绘制过程很复杂。而在CAD制图系统软件下，绘制大圆弧和小圆弧是非常简的，下面就介绍它们的原理和绘制过程。
(1)绘制大圆弧的原理与步骤
要绘制大圆弧，应至少知道大圆弧上的三个点N、S、B′（如图二所示），其中N、S点是每条大圆弧都必须经过的，是已知点。现在只要能确定经向大圆弧与东西径线EW的交点B′，问题就迎刃而解。
①计算OB′长度
根据倾斜平面的倾角、基圆的直径，可按下式计算点O与点B′之间的距离?（公式一）
式中R——基圆的半径；
α——大圆弧所代表平面的倾角（°）。
②以基圆的圆心为圆心，OB′长为半径画一个圆，该圆与基圆的东西径向线EW交于B′点。
③过N、S、B′三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，大圆弧也就绘制完成。
(2)绘制小圆弧的原理与步骤
要绘制半径角距为的小圆弧，同样也应至少知道小圆弧上的三个点（如图六所示的A、C、B三个点）。根据吴氏网的结构与原理，可以通过CAD制图确定A、C、B三个点的位置。
①确定点C，首先用公式一计算点O与点C间距离，但其中为小圆弧的半径角距；然后以基圆的圆心为圆心，OC长为半径画圆，该圆与基圆的南北径向线NS交于C点。
②以基圆的圆心为基点，将南北径线ON分别逆时针和顺时针旋转角度，得两条直线，分别与基圆交于A、B点??。
③过A、C、B三个点画一个圆，并剪掉基圆外部分，小圆弧也就绘制完成。
三、赤平投影网CAD图解的应用
利用传统标准吴氏网对平面、直线进行投影时，一般步骤是：把透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，画基圆及“十”字网心，并用针固定于网心上，使透明纸能够绕网心旋转。然后在透明纸上标出E、S、W、N，以正北（N）为0°，顺时针数到360°。东西直径EW确定倾角，一般是圆周为0°，至圆心为90°。这样做具有以下缺点：一是较麻烦，二是当旋转透明纸时，容易从针孔处发生破裂而移位；三就是准确性不高；四是效率低。如果用CAD制图，则可避免上述不足，且使作图更简化，用不着吴氏网中的那么多的经、纬线，只需要画出基圆及其南北径线和东西径线。
1.平面赤平投影的CAD图解（如图七）
例1：一平面产状126°∠30°，绘制其赤平投影图。
(1)绘制一直径为20cm的基圆，同时画出铅直和水平两条直径，并标出E、S、W、N。后面的例子均需要这一步，画法与之相同，所以不再重复。
(2)平面的倾向是126°，则其走向为36°。将南北径线绕基圆的圆心O顺时针旋转36°到达AB位置，与基圆交于A、B两点，则AB就是平面的走向线。
(3)以基圆的圆心O为基点，将射线ON顺时针旋转126°到达OD位置，与基圆相交于点D，则OD即为该平面的倾向线。
(4)用公式一计算线段OC长度。以基圆的圆心O为圆心，OC为半径画圆，交OD于C点。
(5)采用三点法，即过A、C、B三点画圆，并切掉基圆外部分，所得大圆弧ACB即为该平面的赤平投影。
2.直线赤平投影的CAD图解（如图八）
例2：一直线产状330°∠40°，绘制其赤平投影图。
(1)将ON绕圆心O顺时针旋转330°后到达OA位置，与基圆交于点A，则OA即为该直线的倾伏向。
(2)用公式一计算OA′值。以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交OA于A′点，则点A′即为该直线的赤平投影。
3.平面法线赤平投影的CAD图解（如图九）
例3：一平面产状为105°∠40°，绘制其法线的赤平投影。
(1)按例1所述方法，绘制产状为105°∠40°平面的赤平投影大圆弧NB′S。
(2)平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此平面法线的倾角为50°。用公式一计算OA′。以基圆的圆心O为圆心，OA′为半径画圆，交B′O的延长线于A′点，则A′点为该平面法线的赤面投影，也称其为平面的极点。
由于平面法线倾向与平面倾向相反，相差180°，平面法线的倾角与平面的倾角之和等于90°，因此也可根据平面法线产状与平面产状间的这种关系，首先计算法线的产状为285°∠50°，然后再按例2方法绘制法线的赤平投影。
4.相交两条直线所构成平面的产状
例4：已知两直线180°∠20°和90°∠°相交，用赤平投影法求解这两条直线所构成平面的产状（如图十（a）、（b））。
(1)为很好地利用CAD制图解决这个问题，引入两条直线倾角与平面倾角间的关系式：
tan2βsin2γ=tan2α1+tanα2-2tanα1tanα2cosγ（公式二）
式中β——两条相交直线所构成平面的倾角（°）；
α1、α2——分别为两条直线的倾伏角（°）；
γ——两条直线倾向夹角（°）。
用公式二计算两条直线所构成平面的倾角为β=°。
(2)确定投影大圆弧的圆心O′，点O′应在线段C′F′的垂直平分线上。要确定点O′的位置，需要用下列公式计算平面的赤平投影大圆弧的半径。计算出赤平投影大圆弧的半径后，再以点C′或者点F′为圆心画圆，与线段C′F′的垂直平分线相交
于点O′。（公式三）
式中R’——赤平投影大圆弧的半径;
R——基圆的半径。
(3)确定平面的走向AB：以O′为圆心，以为半径画圆，与基圆相交于两点A、B，则AB即为所求平面的走向，为30°。由此算出该平面的倾向为120°。
因此所求平面产状为120°∠36°。
此外，两条直线所构所平面的倾向，也可由下式计算确定：
（公式四）
式中——平面倾向与直线1倾向之差；
其余符号意义同公式二。
5．相交两条直线的夹角及其角平分线
例5：用赤平投影法求解例4两条直线的夹角及其角平分线（图十（c））。
(1)按例4作法，确定两条直线所构成平面的赤平投影，即大圆弧AF′C′B，其产状约为120°∠36°。
（2）量取大圆弧上C′与F′间的角距为54°，即相交两条直线的夹角为54°。该圆弧C′F′段的角距平分点G′（27°）就是相交两条直线夹角平分线的赤平投影，由此可以确定两条相交直线夹角平分线的产状为°∠°。
除上述作图法外，还可用下式计算两条相交直线的夹角：
（公式五）
式中——两条相交直线的夹角（°）；
其余符号的意义同前。
6.平面上一直线的倾伏和侧伏（如图十一）
例6：已知平面产状180°∠α （α＝36°），平面上一条直线AC的侧伏向E、侧伏角β（β=44°，是指该平面走向线与该直线所夹的锐角），用赤平投影法求解该直线的倾伏向和倾伏角。
（1）按例1做法，绘制平面的赤平投影大圆弧ED″W。
（2）以EW为南北向径线（假定），作半径角距等于β（β=44°)的纬向小圆弧GD″K（应为两条，另一条未画出），与平面的赤平投影大圆弧ED″W相交于C″点。连接点O与点C″，并延长，与基圆相交于C′点。
（3）点C″即所求直线的赤平投影。图上量得线段OC″的长度，然后用公式一求得直线的倾伏角°。
（4）点C′对应的角度为°，即为所求直线的倾伏向。因此该直线的产状为°∠°。
平面上一条直线的倾伏或侧伏，可以相互换算，除采用上面的CAD制
图方法外，也可用下列公式计算：
（公式六）
（公式七）
式中——平面倾角（°）；
——平面上直线的侧伏角（°）；
——直线的倾伏角（°）；
——平面倾向与直线倾向之差（°）。
7.两个平面交线的产状（如图十二（a））
例7：已知两个平面70°∠40°和290°∠30°，用赤平投影法求解这两个平面交线产状。
（1）按例1做法，分别绘制出两个平面的赤面投影大圆弧APB和CPD，两条大圆弧相交于P点，该点即为两个平面交线的赤平投影。
（2）连结OP，并量得OP的长度。然后用公式一求得交线的倾伏角为β=°；OP所在径线方向即为交线的倾伏向，量得交线的倾伏向为°。即两个平面交线产状为°∠°。
8．两个平面的夹角及其夹角的等分面（如图十二（b））
例8：已知条件同例7，用赤平投影法求解两个平面的夹角及其夹角的等分面。
（1）绘制两个平面的公垂面，由于以点P为投影的直线就是公垂面的法线，因此公垂面的产状为°∠°，按例1做法绘制公垂面的赤平投影大圆弧FIHG，与两个已知平面的赤平投影大圆弧分别相交于点H、点I。这两点所代表的直线产状分为：直线H为°∠°；直线I为°∠°。
（2）点H、点I所代表的两条直线的夹角就是两个平面的夹角，可根据两条直线的产状，由公式五计算求得，结果为°。也可先用公式六分别求出两条直线在公垂面上的侧伏角，分别为：直线H的侧伏角为°；直线I的侧伏角为°。
则两条直线的夹角为180°－（°＋°）＝°。
（3）公垂面的投影大圆弧上点H、点I间弧段的中点K在两个平面的等分面的投影大圆弧上，投影点K的直线产状°∠°。点P也在等分面的投影大圆弧上，其产状也已求得（例7）。已知投影大圆弧上的两个点，就可按例4做法计算出等分平面的倾角和其赤平投影大圆弧的半径，并绘制出经过这两点的大圆弧QKM。该大圆弧对应的平面即为已知两个平面夹角的等分面，其产状为°∠°。
9.一条直线与一个平面的夹角（如图十三）
例9：一平面产状120°∠50°，一直线产状320°∠20°，用赤平投影法求解直线与平面的夹角。
（1）按例1做法绘制已知平面的赤平投影大圆弧ADB。
（2）按例2做法绘制已知直线的赤平投影，即投影点C。
（3）按例3做法绘制已知平面法线的投影极点P。
（4）按例4做法绘制经过点C、P的大圆弧CPD，其所代表的平面与已知平面垂直，其产状为°∠°。
用公式六分别求出直线C和直线P在平面CPD上的侧伏角，直线C的侧伏角为°，直线P的侧伏角为°，也就是平面法线与已知直线的夹角为°－°＝°，因此已知直线与平面的夹角为°－°＝°。
四、用赤平投影求解边坡稳定问题
在岩质边坡稳定性分析与计算中，赤平投影可用来初步判定边坡稳定性，求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数。
（一）边坡稳定性初步判别
图十四所示的边坡楔体，假定只有摩擦力抵抗滑动，且两个结构面的摩擦角相同，且都等于，则楔体可能滑动的条件是两个结构面交线的赤平投影，即它的投影点应落在坡面大圆弧与摩擦圆所围成的范围内（图十四(b)中阴影部分），即（其中为在正交交线视图上的坡面倾角；为结构面交线倾角；为结构面内摩擦角）。据此可以迅速判别楔体是否会产生滑动。
（二）求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数
边坡稳定性系数计算所需的几何参数包括平面和直线的产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面夹角等。除平面和直线的产状可现场量测外（平面和平面交线、平面法线也可用赤平投影法求解），其余几何参数都可用赤平投影法求解。前面已经介绍过这些几何参数的赤平投影求解方法，下面举例说明赤平投影在边坡稳定性系数计算中的具体应用。如图十五所示的边坡楔体，坡面、坡顶面、结构面A和B等产状及其它技术参数如表1。
计算楔体稳定系数之前，首先应绘制四个平面的赤平投影大圆弧以及两个结构面的法线投影极点（如图十六），并求得各交线及法线的产状如下：
法线PA：285°∠45°；
法线PB：55°∠20°；
交线1：°∠°；
交线2：°∠°；
交线3：°∠°；
交线4：°∠°；
交线5：°∠°。
然后，再用公式五计算楔体稳定分析所需的各角度参数值，计算结果如下：
两个结构面交线的倾角:°；
两个结构面法线的夹角:°；
线1和线3的夹角：°；
线3和线5的夹角：°；
线1和结构面B法线的夹角：°；
线2和线4的夹角：=°；
线4和线5的夹角：=°；
线2和结构面A法的的夹角：°。
将上述参数值代入霍克岩体边坡楔体稳定性系数计算公式，计算结果，楔体稳定。如果不考虑结构面粘聚力作用，则，楔体不稳定。如果将结构面内的水疏干，或者是不考虑地下水对楔体稳定性的影响，则，楔体稳定。由此可见，水对边坡楔体稳定性影响是非常重要的，因此在边坡治理时，可考虑采用疏干楔体结构面中水的措施，对维持边坡稳定可起到良好的效果。
五、结束语
1.公式一的引入，不仅可以用CAD制图系统软件制做吴氏网，而且使吴氏网的应用得到简化，在应用吴氏网求解实际问题时，只需要事先绘制一个基圆即可，不用将所有经、纬线都绘制出来，同时也不需要将吴氏网转来转去。
2.使用传统的标准吴氏网，投影误差不超过半度。但应用吴氏网CAD制图方法，投影精度更高，并可根据需要选择精确度。吴氏网CAD制图方法，不仅精度高，而且方便快捷。
3.由于可以用CAD制图系统软件绘制吴氏网，因此面、线、面与面、线与线、面与线等的赤平投影也都可以用CAD来完成。
4.又由于能够采用CAD制图系统软件绘制面、线、面与面、线与线、面与线等的赤平投影，因此使赤平投影在解决岩质边坡稳定性等岩体问题中得到更广泛的应用。在边坡稳定性分析中，采用赤平投影，不仅可以迅速判别楔体的稳定性，而且还可以求解边坡稳定性系数计算所需的几何参数。
主要参考文献
[1]建筑地基基础设计规范（GB50007—2002），中国建筑出工业版社，2002；
[2]岩土工程勘察规范（GB50021—94），中国建筑出工业版社，1995；
[3]杨航宇等，公路边坡防护与治理，人民交通出版社，2002；
[4]林宗元主编，岩土工程勘察设计手册，辽宁科学技术出版社，1996；
[5]张喜发主编，岩土工程勘察与评价，吉林科学技术出版社，1995。
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。 7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。 （二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。 1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。 2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。 （三）直线的赤平投影 直线AB的投影点就是其极点A、B和极射点P的连线与赤平面的交点A′、B′。铅直线的投影点位于基圆中心；过球心的水平直线的投影点就是基圆上两个极点，两点间距离等于基圆直径；倾斜直线的投影点有两个，一点在基圆内，另一个在基圆外，两点呈对蹼点，在赤平投影图上两点的角距相差180°（如图五）。 （四）吴氏网及其CAD制作 目前广泛使用的极射赤平投影有等角距投影网和等面积投影网。等角距投影网是由吴尔福发明的，简称吴氏网；等面积投影网是由施密特发明的，简称施氏网。两者的主要区别在于：球面上大小相等的小圆在吴氏网上的投影仍然是圆，投影圆的直径角距相等，但由于在赤平面上所处位置不同，投影圆的大小不等，其直径随着投影圆圆心与基圆圆心的距离增大而增大。而在施氏网上的投影则呈四级曲线，不成圆，但四级曲线所构成的图形面积是相等的，且等于球面小圆面积的一半。使用吴氏网求解面、线间的角距关系时，旋转操作显示其优越性，不仅作图方便，而且较为精确。而使用施氏网时，可以作出面、线的极点图或等密度图，能够真实反映球面上极点分布的疏密，有助于对面、线群进行统计分析，但其存在作图麻烦等缺点。
赤平投影原理及讲解 This manuscript was revised on November 28, 2020
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上 的投影称为上半球设影。一般采用下半球投影。 7.极点：通过球心的直线与球面的交点称为极点，一条直线有两个极点。铅直线交球面上、下两个点（也就是极射点）；水平直线交基圆上两点；倾斜直线交球面上两点（如图五中A、B）。 （二）平面的赤平投影 平面与球面相交成大圆或小圆，我们把大圆或小圆上各点和上极射点（P）的连线与赤平面相交各点连线称为相应平面的赤平投影。 1.过球心平面的赤平投影随平面的倾斜而变化：倾斜平面的赤平投影为大圆弧（如图二中的NB′S）；直立平面的赤平投影是基圆的一条直径（如图一（a）中的NS）；水平面的赤平投影就是基圆（如图一中的NESW）。 2.不过球心平面的赤平投影也随平面倾斜而变化：直立平面的赤平投影是基圆内的一条圆弧（如图三KD′H）；倾斜平面的赤平投影有以下三种情况：⑴当倾斜小圆在赤平面以下时，投影是一个圆，且全部在基圆之内（如图三FG）；⑵当倾斜小圆全部位于上半球时，投影也是一个圆，但全部在基圆之外；⑶当倾斜小圆一部分在上半球，另一部分在下半球时，赤平面以下部分的投影在基圆之内，以上部分的投影在基圆之外。当球面小圆通过上极射点时，其赤平投影为一条直线（如图一（c）中PACB的投影为AB）；水平小圆的赤平投影在基圆内（如图四中A′B′），A′B′是一个与基圆同心的圆。 （三）直线的赤平投影
AutoCAD画赤平投影及EXCEL系统 （一） 极射赤平投影（简称赤平投影）在现代构造地质学中的研究和应用已经相当成熟,但用手工绘制赤平投影图时,需借助吴氏网,比较繁琐。我们用AUTOLISP语言编制了绘制赤平投影图软件,非常实用方便,而且图面整齐美观。 本软件赤平投影的方法采用下半球投影法,即以空心园球球顶(或称球极)为发射点,将空间任意产状的线、平面与设想的空心球(投影球)的交点、交线投影到赤平面上。投影方法也可以用下半球的极点为发射点,投影到上半球。两种投影所得到的图形完全相同,但位置是不同的,如将投影图转动180°,就可将上、下半球的投影互换。 2 主要功能及操作方法 程序运行中,提示用户输入基园园点坐标,约定值为(0,0);基园半径,约定值是3cm。 输入以上两项数据后,自动在指定位置绘制基园,如图1所示。并将绘制赤平投影图的菜单调至AutoCAD图形中,菜单如下所示： 赤平投影的应用 绘吴式网 绘平面的赤平投影弧
绘直线的赤平投影点 指定工作图上的一点求产状 在工作图上绘一走向线 在工作图上给定三点绘弧 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 已知一个结构面的两个假倾斜,求其产状 已知一个结构面的走向和一个假倾斜,求其产状 给定一个结构面的产状,求任意方向的视倾角 点取“绘平面的赤平投影弧” 一项,提示: 请输入编号： 请输入产状： 产状格式：走向 倾向<倾角,例如有一结构面的编号为F1,其走向NE30 ,倾向SE倾角40 ,则输入编号:F1,产状:NE30 SE<40 ,机器自动绘出该结构面的赤平投影弧和法线的赤平投影点,并在弧的中间位置书写结构面的编号F1。A、B两点的连线为走向线,D点为结构面法线的投影点。C点距园心的距离为OC＝Rtan(45-a/2), 其中R为基园的半径,a为结构面倾角。见图2。 在菜单上点取“绘直线的赤平投影点”一项,提示： 直线的倾向方位角：
边坡岩体结构稳定性评价 在工程地质测绘的基础上，根据实测的结构面资料，应用赤平极射投影和实体比例投影相结合来研究边坡的稳定性。虽然结构面的组合形式在自然界中是很复杂的，但按其对边坡稳定性的影响来看，可将岩体结构分为三种： （1）稳定结构边坡 边坡岩体中的结构面的倾向或几组结构面组合交线的倾向，与边坡的倾向相反，这种类型的边坡为反向结构的边坡，这种结构对边坡的稳定性没有直接的影响，没有顺层滑动的可能，因此为稳定结构边坡。它们在赤平投影图上的特点是结构面的投影和坡面的投影各在相对应的一侧，结构面的极点投影和坡面投影在同一侧。 1组结构面构成的斜坡（上半球投影） （a）、（e）不稳定结构；（b）基本稳定结构；（c）、（d）稳定结构 2组结构面构成的斜坡 （a）不稳定结构（b）基本稳定结构（c）稳定结构
（2）基本稳定结构边坡 边坡岩体中结构面的倾向或组合交线的倾向与边坡坡向一致，但结构面的倾角或组合交线的倾角都大于边坡角，这种结构一般是比较稳定的，但稳定性比上述一种较差，因此为基本稳定结构。在投影图上的特点是结构面的投影一坡面投影在同一侧，结构面的极点投影与坡面投影各在相对应的一侧。 （3）不稳定结构边坡 边坡岩体中结构面或组合交线的倾向与边坡面倾向一致，但它们的倾角小于边坡角，这种结构为不稳定结构，在投影图上的特点是与基本稳定结构相似，不同之处是结构面或组合交线倾角小于坡面倾角。 赤平投影的应运完全是根据这个理论来的，不过个人感觉应运起来还是有点问题的，宏观上结构面大和小很难区分，而且勘察工作很难做，危害性也很难去分类，估计把三维分析引进来估计能好一点，我试着用理正做了几个，效果不是很好，最好是有好的项目去论证他。 《岩土工程勘察规范》—— 图解分析法需在大量的节理裂隙调查统计的基础上进行，将结构面调查统计结果绘成等密度图，得出结构面的优势方位，在赤平极射投影图上根据优势方位结构面的产状和坡面投影关系，分析边坡的稳定性： 1 当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向相反时，边坡为稳定结构； 2 当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向一致，但倾角大于坡角时，边坡为基本稳定结构； 3 当结构面或结构面交线的倾向与坡面倾向之间夹角大于45，且倾角小于坡角时，边坡为不稳定结构。求潜在不稳定体的形状和规模需采用实体比例投影对图解法所得出的潜在不稳定边坡应计算验证。
手把手教你应用赤平投影（CAD图解） 来庆超 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的 大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中 PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半 球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
极射赤平投影CAD图解 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。
极射赤平投影原理 1、面和线的赤平投影 1-1投影原理 一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。 图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP 为过球心的水平面，即赤平面。 图2 平面的投影图3 直线的投影 平面的投影方法（图2）设一平面走向南北、向东倾斜、倾角40°，若此平面过球心，则其与下半球面相交为大圆弧PGF，以Ａ点为发射点，PGF弧在赤平面上的投影为PHF弧。PHF弧向东凸出，代表平面向东倾斜、走向南北，DH之长短代表平面的倾角。 直线的投影方法（图3）设一直线向东倾伏、倾伏角40°，此线交下半球面于G点。以A为发射点，球面上的G点在赤平面上的投影为H。HD的长短代表直线的倾伏角、D的方位角即直线的倾伏向。同理，一条直线向南西倾伏、倾伏角20°，此线交下半球面于J点，其赤平投影为K。 为了准确、迅速地作图或量度方向，可采用投影网。常用的有吴尔福网（简称吴氏网，也称等角距网）（图4A）和旋密特网（等面积网）（图4B），以及据其改换形式而成的极等角度网（图4C）和极等面积网（赖特网）（图4D）。吴尔福网与施密特网基本特点相同，下面以吴尔福网为例介绍投影网。 1-2吴尔福投影网（图4Ａ） 1-2-1结构要素 基圆即赤平面与球面的交线，是网的边缘大圆。由正北顺时针为0°－360°，每小格2°，表示方位角，如走向、倾向、倾伏向等。 两个直径分别为南北走向和东西走向直立平面的投影。自圆心→基圆为90°→0°，每小格2°，表示倾角、倾伏角。 经线大圆是通过球心的一系列走向南北、向东或向西倾斜的平面的投影，自南北直径向基圆代表倾角由陡到缓的倾斜平面。 纬线小圆是一系列不通过球心的东西走向的直立平面的投影。它们将南北向直径、经线大圆和基圆等分，每小格2°。 1-2-2 操作 将透明纸（或透明胶片等）蒙在吴氏网上，描绘基圆及“＋”字中心，固定网心，使透明纸能旋转。然后在透明纸上标上N、E、S、W。
图1 简化后的吴尔夫投影网 赤平投影图的无纸化作法 地质环境研究院 潘国洪 摘要：本文根据个人使用经验，总结介绍了一种利用MAPGIS 软件，直接在电脑上绘制赤平投影图的方法。 [关键词] 赤平投影 无纸化 MAPGIS 吴尔夫投影网 所谓赤平投影图的无纸化作法，顾名思意，是指不借助于纸和笔在电脑上直接画赤平投影图的方法。赤平投影法是岩土体稳定性结构分析的主要方法之一，在建设用地地质灾害危险性评估当中有着广泛的应用。传统的赤平投影图作图方法是利用透明纸和吴尔夫投影网进行的，在此不详述了，本文要介绍的方法也是在上述原理的基础上进行的，只不过是不用透明纸和笔，而是在电脑上直接进行。 一、所需设备软件 电脑、扫描仪、MAPGIS 软件等。 二、准备工作 先准备吴尔夫投影网模板，将其扫描到电脑上，并在MAPGIS 系统里绘制吴尔夫投影网，可以简化（见图1），然后输出存为TIF 格式文件（文件名定为“吴尔夫投影网.TIF ”）。然后制作赤平投影底图，在MAPGIS 系统里以刚才制作 的吴尔夫投影网为底图，绘制赤平投影 底图（见图2），文件定名为“赤平投影底图.WT ，赤平投影底图.WL ”，为以后快速作图做好准备。
图2 赤平投影底图 图3 吴尔夫投影网与赤 平投影底图不吻合 三、赤平投影图制作 将所有结构面产状整理为以下格式：走向/倾向/倾角（A/B/C ）。下面以某水电站厂房边坡结构面赤平投影图作法为例，介绍绘制过程。 结构面参数：厂房边坡产状100°∠35°，节理1产状90°∠55°，节理 2产状225°∠75°，节理3产状355°∠20°，断层产状160°∠65°。整理后各结构面产状表示如表1。 表1 在MAPGIS 系统里建立工程文件，定名为“厂房”，并建立相应的点和线文件：厂房.WL 和厂房.WT 。合并相应的底图文件：赤平投影底图.WL 和赤平投影底图.WT 。然后调入光栅文件“吴尔夫投影网.TIF ”，结果如图3。可以看出两个圆心不重合，通过MAPGIS 主菜单“矢量化”里的“设置图像原点参数”可解决该问题。调整后两者基本吻合（如图4）。图像原点参数里面的X 、Y 值
极射赤面投影 一、《晶体结构几何理论》一书中关于极射赤面投影的论述： 1 晶体投影 晶体投影的实施分两步进行： 第一步是球面投影,是把晶体的晶面和晶线等投影到三维的参考球面上，有两种方法：1）迹式球面投影法 2）极式球面投影法 第二步是极射赤面投影或心射切面投影，把三维的球面投影通过极射或心射方法转化为二维的赤面或切面的平面投影，也有两种方法： 1）极射赤面投影 2）心射切面投影 1.1 球面投影 球面投影的两种方法： 1）、迹式球面投影法: 将晶体置于投影球（参考球）的球心 晶体的平面扩展到与投影球相交而得的大圆－叫迹线 晶向直线延长与投影球相交而得的的两个点（互称对蹠点）－叫迹点或出露点。 2）极式球面投影法 晶面法线与球面相交的交点－叫极点 晶向直线的垂直面扩展到与投影球相交所得的大圆－叫极线或极圆。 几个术语：赤道平面、赤道大圆，本初子午面、本初子午线大圆、子午面、子午线大圆，经度、纬度、极距，球面座标，投影基圆（赤道大圆的极射赤面投影），注意：在一般的晶体投影中常常混合使用迹式球面投影和极式球面投影。 立方晶系中三个主要晶面族的参考立方体： 晶面法线到参考球面上的投影：
球面坐标： 1.2 极射赤面投影和吴里夫网 这种投影(参看图4—5)是以赤道平面为投影平面。投影时，从S 极引直线(投影线)通过上半球面上的点P 1(一平面的极点或一直线的一个出露点)，投影线与赤道平面的交点S l 即P l 的极射赤面投影。 若P 2为下半球面上的点则其极射赤面投影位于赤道圆圈(投影基圆)之外；这种情况对于作及-系列数量的测量均颇为不便，因此对于下牛球面上的点，是从N 极引出其投影线，这样仍可在赤道圆圈内求得其极射赤面投影。通常上半球面上的点的极射赤面投影以小圆点表示，下于球面上的点以小叉表示，以资区别。 1）基本原则：投影球面上的一个圆的极射赤面投影仍是一圆，但有不同情况： a. 投影球面的本初子午线大圆的极射赤面投影就是CD 直径；投影球面上的其他子午线大
1 ①坡面：258°∠46°、②节理J1：205°∠82°、③节理J2：120°∠75°、④岩层层面J2：210°∠20° 据结构面赤平投影分析，节理裂隙J1产状：205°∠82°，相对于坡面有一定角度，对边坡稳定会产生一定影响。节理裂隙J2产状：120°∠75°，该节理倾向相对于坡面为大角度斜交，其对边坡的稳定性不起控制性作用；但J2与岩层两结构面交线位于两边坡投影弧之间，需根据其与岩石摩擦角的关系确定其边坡稳定性。 赤平投影图 Sc Sn J1J2 层面 W E N S
2 ①坡面：268°∠70°、②节理J1：205°∠82°、③节理J2：120°∠75°、④岩层层面J2：155°∠22° 据结构面赤平投影分析，该边坡为切向坡，节理裂隙J1产状：205°∠82°，该节理倾向相对于坡面为大角度斜交，其对对边坡的稳定性不起控制性作用；节理裂隙J2产状：120°∠75°，该节理倾向相对于坡面也为大角度斜交，其对边坡的稳定性不起控制性作用；但J2与岩层两结构面交线位于两边坡投影弧之间，需根据其与岩石摩擦角的关系确定其边坡稳定性。 赤平投影图 Sc Sn J1 J2 层面 W E N S
3 ①坡面：227°∠54°、②节理J1：205°∠82°、③节理J2：120°∠75°、④岩层层面J2：120°∠53° 据结构面赤平投影分析，该边坡为切向坡，节理裂隙J1产状：205°∠82°，该节理倾向相对于坡面为顺倾，由于结构面切割，岩体易发生碎落、坠落。不利于边坡的稳定性。为了保证边坡下方道路的安全运营，需及时对边坡进行相关处治。节理裂隙J2产状：120°∠53°，该节理倾向相对于坡面为大角度斜交，其对边坡的稳定性不起控制性作用。 赤平投影图 Sc Sn J1J2层面 W E N S
一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多,但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法,还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》(GB５0０2１－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面(包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐,也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数,那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 ? 二、极射赤平投影的基本原理 (一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具,其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括: 1.投影球（也称投射球):以任意长为半径的球。 2.球面:投影球的表面称为球面。 3．赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆:通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆(如图一（a)中ＡＳBN、PSFN、ＮＥSW)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时,与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a）中PSＦN）;当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESＷ）;当平面倾斜时,与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一(a)中AＳBN)。 ５.小圆:不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b)、（c）中AＢ、ＣD、ＦG、PAＣB)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆(如图一（b)中DＣ);当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆(如图一(b)中ＡB)；当平面倾斜时,与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b)中FG或图一（c）中PACB)。 6．极射点：投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点（P）和下极射点(F）。由上极射点(P)把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上
用AutoCAD绘制赤平投影图软件 徐春才 (北京勘测设计研究院勘测处北京 100024) 1 前言 极射赤平投影（简称赤平投影）在现代构造地质学中的研究和应用已经相当成熟,但用手工绘制赤平投影图时,需借助吴氏网,比较繁琐。我们用AUTOLISP语言编制了绘制赤平投影图软件,非常实用方便,而且图面整齐美观。 本软件赤平投影的方法采用下半球投影法,即以空心园球球顶(或称球极)为发射点,将空间任意产状的线、平面与设想的空心球(投影球)的交点、交线投影到赤平面上。投影方法也可以用下半球的极点为发射点,投影到上半球。两种投影所得到的图形完全相同,但位置是不同的,如将投影图转动180°,就可将上、下半球的投影互换。 2 主要功能及操作方法 程序运行中,提示用户输入基园园点坐标,约定值为(0,0);基园半径,约 定值是3cm。输入以上两项数据后,自动在指定位置绘制基园,如图1所示。并 将绘制赤平投影图的菜单调至AutoCAD图形中,菜单如下所示： 赤平投影的应用 绘吴式网 绘平面的赤平投影弧 绘直线的赤平投影点
指定工作图上的一点求产状 在工作图上绘一走向线 在工作图上给定三点绘弧 －－－－－－－－－－－－－－－－－－－－－ 已知一个结构面的两个假倾斜,求其产状 已知一个结构面的走向和一个假倾斜,求其产状 给定一个结构面的产状,求任意方向的视倾角 点取“绘平面的赤平投影弧” 一项,提示: 请输入编号： 请输入产状： 产状格式：走向倾向<倾角,例如有一结构面的编号为F1,其走向NE30 ,倾向SE倾角40 ,则输入编号:F1,产状:NE30 SE<40 ,机器自动绘出该结构面的赤平投影弧和法线的赤平投影点,并在弧的中间位置书写结构面的编号F1。A、B 两点的连线为走向线,D点为结构面法线的投影点。C点距园心的距离为OC＝Rtan(45-a/2), 其中R为基园的半径,a为结构面倾角。见图2。 在菜单上点取“绘直线的赤平投影点”一项,提示： 直线的倾向方位角： 直线的倾角： 例如一空间直线,方位角为30°,倾角为20 °,则输入30和20 ,自动绘出图2中投影点G。
手把手教你应用赤平投影（CAＤ图解） 来庆超 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB5002１－94)推荐法等，在计算边坡稳定性系数时,需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面)或直线（包括平面的法线）的地质产状,以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等.其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取,除此之外的几何参数,在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂,而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影(以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包 括： 1。投影球（也称投射球)：以任意长为半径的球。 ２.球面:投影球的表面称为球面. ３.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆,统称为大圆（如图一（a）中ＡSBN、PSFN、NESＷ)，所有大圆的直径相等,且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一(a)中PSＦN);当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一(a)中NESW）;当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为 倾斜大圆（如图一（a)中ASBN). ５．小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一(b)、(c）中AＢ、CD、FＧ、PAＣＢ)。当平面直立时,与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b)中ＤＣ）；当平面水平时,与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一(b）中AB)；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆(如图一（b）中ＦG或图一（ｃ）中PAＣ Ｂ）。 6．极射点：投影球上两极的发射点(如图一），分上极射点(P）和下极射点(F）.由上极射点(P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影;由下极射点（F)把上半球的几何要素投影到赤平面上
极射赤平投影原理 概述 1、目的要求 学习赤平投影原理，了解赤平投影在构造地质学中的应用。 2、主要内容 ●赤平投影的原理 ●面、线的投影 ●β图解和π图解 ●等密度图 ●面和线的旋转 ●赤平投影在构造地质学中的应用 3、本章要点 ●赤平投影的原理（投影方法结合具体作业掌握） ●赤平投影应用（节理、褶皱和断层分析） 4、要求掌握的要点和基本概念 ●面、线的投影方法 ●不同类型褶皱岩层极点图的特点（如紧闭，宽缓、等斜褶皱等；水平直立、平卧、倾竖褶皱等） ●等密度图及古应力场分析 二、说明 极射赤平投影（Stereographic projection）简称赤平投影，主要用来表示线、面的方位，相互间的角距关系及其运动轨迹，把物体三维空间的几何要素（线、面）反映在投影平面上进行研究处理。它是一种简便、直观的计算方法，又是一种形象、综合的定量图解，广泛应用于地质科学中。运用赤平投影方法，能够解决地质构造的几何形态和应力分析等方面的许多实际问题，因此，它是研究地质构造的不可缺少的一种手段。 赤平投影本身不涉及面的大小、线的长短和它们之间的距离，但配合正投影图解，互相补充，则有利于解决包括角距关系在内的上述计量问题。 1、面和线的赤平投影 1-1投影原理 一切通过球心的面和线，延伸后均会与球面相交，并在球面上形成大圆和点。以球的北极为发射点，与球面上的大圆和点相连，将大圆和点投影到赤道平面上，这种投影称为极射赤平投影。本教材采用下半球投影，即只投影下半球的大圆弧和点。 图2为一球体，AC为垂直轴线，BD是水平的东西轴线，FP是水平的南北轴线，BFDP 为过球心的水平面，即赤平面。
极射赤平投影基本作图方法 §1 极射赤平投影的基本原理 一、投影要素 1、投影球—以任意长为半径的球，球面即球表面 2、赤平面—过投影球球心的水平面 3、基圆—赤平面与球面相交的大圆，或称赤平大圆 凡过球心的平面与球面相交的大圆，统称为大圆，不过球心的一球面与球面相交所成的圆统称小圆。 4、极射点—球上两极发射点，分上半球投影和下球投影。 二、平面和直线的投影的解析 （一）平面投影 1、过球心的平面投影 任何一个过球心的无限伸展的平面（岩层面、断层面、节理面或轴面等），必然于球面相交成球面大圆，球面大圆与极射点的连线必然穿过赤平面，在赤平面上这些穿透点的连线即为该平面的相应大圆的赤平投影，简称大圆弧。 1）直立大圆（平面）——为基圆直径 2）水平大圆（平面）——为基圆本身 3）倾斜大圆（平面）——以基圆直径为弧的大圆弧 性质：球面大圆投影后在赤平面上仍为一个圆。 2、不过球心的平面投影 不过球心的平面与球面相交成直径小于球直径的小圆、球面小圆投影仍为一个小圆。 1）直立小圆（平面）——部分为基圆内一条弧，部位为基圆外一条弧 2）水平小圆（平面）——为基圆的同心圆 3）倾斜小圆（平面） ①全部位于圆基内的小圆 ②部位于基圆内，部分在基圆外 ③全部在基圆外 性质：1）球面大圆或球面小圆投影在赤平面仍为一个圆 2）半径角距相等的球面小圆（即面积相等的小圆），其投影小圆面积不等，近基圆圆心处，远离圆在大。 3）任何过极射点（P）的球面大圆或小圆其赤平投影均为一条直线。 4）球面大圆或小圆在赤平面上的投影圆的圆心（R’）与作图圆心（C）是不重合的；只有水平球面大圆和水平球面小圆投影后，投影圆心（R’）作图圆心（C）与基圆的圆心O点重合，并且投影圆的圆心（R’）与基圆圆心（O）愈远，R’与C分离愈大。 （二）直线投影 过球心的直线无限延伸心交于球面两点，称极点。 1、铅直线投影点为基圆圆心 2、水平线投影点为基圆直径的两个端点 3、倾斜线股影点，一个在基圆内，另一个在基圆外，称对距点，其角距为180° 三、投影网：吴尔福网和施密特网
Ｒ ＯＡＤ ＥＮＧＩＮＥＥＲＩＮＧ 道 路工 程 Ｗｅｓｔｅｒｎ ＣｈｉｎａＣｏｍｍｕｎｉｃａｔｉｏｎｓ Ｓｃｉｅｎｃｅ ＆Ｔｅｃｈｎｏｌｏｇｙ 西部交通科技 文章编号：１６７３－４８７４（２０１１）１２－０００５－ ００４赤平投影法在岩质边坡 稳定性分析中的应用 佘东梅，肖盛燮 （重庆交通大学防灾减灾工程研究所，重庆 ４０００７４ ）作者简介 佘东梅（１９８５—），女，四川隧宁人，主要从事结构防灾减灾研究工作；肖盛燮（１９３７—），男，四川营川人，教授，主要从事结构防灾减灾研究工作。 基金项目 国家自然科学基金项目《基于灾变链式理论的多种灾害演化规律探索》（５０８７９０９７ ）摘 要：文章基于赤平极射投影法的发展历程、概念、原理及相关应用情况，对具体工程实例的岩质边坡稳定性进行了定性分析。结果表明， 该方法在岩质边坡稳定性分析方面实用、可靠，且不需要复杂的公式演算，简单明了，具有广泛的应用空间。 关键词：赤平投影法；岩质边坡；稳定性分析；应用 中图分类号：Ｕ４１６．１＋ ４ 文献标识码： ＡＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ ｏｆ Ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ Ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ Ｍｅｔｈｏｄ ｏｎ Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ｏｆ Ｒｏｃｋ ＳｉｄｅＳｌｏｐ ｅＳＨＥ Ｄｏｎｇ－ｍｅｉ，ＸＩＡＯ Ｓｈｅｎｇ －ｘｉｅ（Ｒｅｓｅａｒｃｈ Ｉｎｓｔｉｔｕｔｅ ｏｆ Ｄｉｓａｓｔｅｒ Ｐｒｅｖｅｎｔｉｏｎ ａｎｄ Ｒｅｄｕｃｔｉｏｎ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ Ｊｉａｏｔｏｎｇ Ｕｎｉｖｅｒｓｉｔｙ，Ｃｈｏｎｇｑｉｎｇ ，４０００７４）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｂａｓｅｄ ｏｎ ｔｈｅ ｄｅｖｅｌｏｐｍｅｎｔ ｐｒｏｇｒｅｓｓ，ｃｏｎｃｅｐｔ，ｐｒｉｎｃｉｐｌｅ，ｃｏｒｒｅｓｐｏｎｄｉｎｇ ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆ ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ，ｔｈｅ ａｒｔｉｃｌｅ ｐｅｒｆｏｒｍｓ ｑｕａｌｉｔａｔｉｖｅ ａｎａｌｙｓｉｓ ｏｎ ｔｈｅ ｓｔａｂｉｌｉｔｙｏｆ ｒｏｃｋ ｓｉｄｅ ｓｌｏｐｅ．Ｔｈｅ ｒｅｓｕｌｔ ｓｈｏｗｓ ｔｈａｔ ｔｈｉｓ ｍｅｔｈｏｄ ｉｓ ｒｅｌｉａｂｌｅ，ａｐｐｌｉｃａｂｌｅ ａｎｄ ｅａｓｙ ｔｏ ｕｓｅ．Ｉｔ ｈａｓ ａ ｇｒｅａｔｌｙ ｕｓｅｄ ｉｎ ｔｈｅ ｒｅａｌ ｐｒａｃｔｉｃｅ．ＫｅｙＷｏｒｄｓ：Ｓｔｅｒｅｏｇｒａｐｈｉｃ ｐｒｏｊｅｃｔｉｏｎ ｍｅｔｈｏｄ；Ｒｏｃｋ ｓｌｏｐｅ；Ｓｔａｂｉｌｉｔｙ ａｎａｌｙｓｉｓ；Ａｐｐｌｉｃａｔｉｏｎ０ 前言 岩质边坡是在复杂的地质作用下形成和发展的，具有一定的结构，并赋存于一定的地质环境中。实践表明，岩体在工程外力作用下的变形和破坏，不在 于岩石的强度如何，而在于岩体内在因素的影响程度［ ２ ］。影响边坡稳定的因素有岩石性质、岩体结构、风化作用、地震作用、水的作用、地形地貌和人为因素等，其中主要的控制因素是岩体结构。岩体结构问题可归纳为结构体和结构面
极射赤平投影在构造地质学中的应用 一、极射赤平投影的基本概念 1. 投影球：假设有一个通过O点的平面，一个圆球面其圆心刚好与O点重合，平面就被 球面切成一个ABCD圆，圆半径与球半径相等，该圆球叫投影球。 2. 球面投影：用投影球面表示构造空间产状的方法 （ABCD圆是平面在圆球面上的投影） 3. 极点：设投影球的顶点为发射点（极点），通过赤道平面到球面投影上的各点发射线，该射线与赤平面交出各点，连接各点成一大圆弧，该大圆弧就是球面投影在赤平面上的投影，也是平面在赤平面上的投影
4. 赤平投影：以圆球面上的一个极点为发射点，将球面投影投到赤道平面上的一种投影（下半球投影） 特点：（1）可将物体在三度空间的特征表现在平面上 （2）能定量表现构造的产状要素 （3）不涉及构造的具体位置、大小、距离 二、极射赤平投影的基本原理 1. 空间上任一通过球心的平面，球面投影为一直径等于投影球直径的大圆，其赤平投影：（1）水平平面：赤平投影是赤平大圆周 （2）直立平面：赤平投影是赤平大圆的一条直径，其方位就是直立平面的走向 （3）倾斜平面：赤平投影为一弦等于投影球半径的大圆弧 2. 空间上任一不通过球心的平面，球面投影为一直径小于投影球直径的小圆，其赤平投影： （1）水平平面：赤平投影小圆与赤平大圆同心 （2）直立平面、倾斜平面均为圆心在外的小圆弧 3. 空间任一条直线（过圆心）的球面投影是两个点，赤平投影： （1）直立直线：赤平投影在圆心，两点重合为一点 （2）水平直线：赤平投影为两个点，在赤平大圆周上 （3）倾斜直线：赤平投影为一个点 三、吴氏网的成图原理 1. 吴氏网的组成 (1)基圆：赤平大圆，一周360° (2)经线：一系列走向SN的经向大圆弧 (3)纬线：一系列走向EW的纬向小圆弧 标准的吴氏网基圆直径为 20cm，网格的纵横角距为2o 2. 成图原理： (1) 经向大圆弧： A. 一系列通过圆心，走向 SN，分别倾向 E、 W，倾角0o-90o的许多平面的投影大圆组成 B. 这些大圆弧与EW直径的交点到直径端点的角距，是其所代表的各平面的倾角值，由圆周到圆心0o-90o (2)纬向小圆弧： A. 由一系列走向 EW ，不过圆心（只有一个过圆心）的直立的小圆投影而成 B. 由圆周到圆心9o—90o (3)各经纬弧的交点： 是一系列不同倾伏方向，不同倾伏角直线的赤平投影 四、平面和直线的赤平投影 1. 准备工作 2. 平面的赤平投影 3. 平面法线的赤平投影 (1)法线垂直平面，交角90° (2)倾（伏）向相反，二者关系明确 4. 直线的赤平投影 五、褶皱要素的赤平投影 轴面、枢纽的赤平投影
极射赤平投影CAD图解及其 在岩质边坡稳定性分析中的应用 文／赵文廷卢毅 一、序言 岩质边坡稳定性分析方法有许多，但无论是平面滑动的单一楔形断面滑体、单滑块和多滑块分析法，还是楔体滑动的仿平面分析法、楔体分割法、立体分析法、霍克分析法以及《岩土工程勘察规范》（GB50021－94）推荐法等，在计算边坡稳定性系数时，需要知道滑体控制平面（包括结构面和坡面、坡顶面）或直线（包括平面的法线）的地质产状，以及平面与平面、直线与直线、直线与平面间夹角等。其中平面和直线的产状可以通过现场测量获取，除此之外的几何参数，在没有发明极射赤平投影之前，都是用计算法求得，不仅它们的计算公式复杂，而且计算过程繁琐，也很容易出错。如果采用极射赤平投影求解边坡稳定性分析所需的几何参数，那就可以简化这些几何参数的计算过程，而且一般情况下只需要在现场测量出各个控制平面的地质产状即可。 二、极射赤平投影的基本原理 （一）投影要素 极射赤平投影（以下简称赤平投影）以圆球作为投影工具，其进行投影的各个组成部分称为投影要素，包括： 1.投影球（也称投射球）：以任意长为半径的球。 2.球面：投影球的表面称为球面。 3.赤平面（也称赤平投影面）：过投影球球心的水平面。 4.大圆：通过球心的平面与球面相交而成的圆，统称为大圆（如图一（a）中ASBN、PSFN、NESW），所有大圆的直径相等，且都等于投影球的直径。当平面直立时，与球面相交成的大圆称为直立大圆（如图一（a）中PSFN）；当平面水平时，与球面相交成的大圆称为赤平大圆或基圆（如图一（a）中NESW）；当平面倾斜时，与球面相交成的大圆称为倾斜大圆（如图一（a）中ASBN）。 5.小圆：不过球心的平面与球面相而成的圆，统称为小圆（如图一（b）、（c）中AB、CD、FG、PACB）。当平面直立时，与球面相交成的小圆称为直立小圆（如图一（b）中DC）；当平面水平时，与球面相交成的小圆称为水平小圆（如图一（b）中AB）；当平面倾斜时，与球面相交成的小圆称为倾斜小圆（如图一（b）中FG或图一（c）中PACB）。 6.极射点：投影球上两极的发射点（如图一），分上极射点（P）和下极射点（F）。由上极射点（P）把下半球的几何要素投影到赤平面上的投影称为下半球投影；由下极射点（F）把上半球的几何要素投影到赤平面上