概率论教案

概率论的概述

一、概率论起源

1、首次应用：意大利的一位贵族问伽利略:掷三粒骰子，出现9点与出现10点各有六种不同的组合,但经验上发现出现10点的次数多于9点,是何缘故?

2、“点”问题：1653年梅耳问帕斯卡:他与赌友赌掷骰子每人押32个金币,约定五战三胜,在梅耳2:1领先时,梅耳接到通知要陪同国王接见外宾,赌局就此终止,梅耳应分得这64个金币的多少呢?

3、梅尔猜想掷一粒骰子四次至少出现一个6的机会要比掷两粒骰子四次至少出现

一对6的机会更大些，这是否成立？

二、概率论的发展

1、雅各.伯努利：《猜度术》、排列组合

2、拉普拉斯：《分析概率论》、分析方法

3、科尔莫戈洛夫：1933年建立公理化体系

4、中国的概率研究现状：

1）候振廷：1978年获英国戴维逊奖

2）王梓坤：预报地震24次有17次准确或较准确

三、概率论的应用

1、管理、经济、技术、工程、物理、化学、生物、地理、天文、环境、卫生、教育、语言、国防等。

2、凡有数据的门类都用到概率统计

四、学习要求与参考书目

1、学习要求：

1）排列组合知识

求导

2）微积分知识: 积分(二重积分)

反常积分等。

2、参考书目：

1）周誓达《概率论与数理统计》(经管类)

2）魏宗舒《概率论与数理统计教程》

3）茆诗松《概率论与数理统计教程》

4）浙大—盛骤《概率论与数理统计教程》

5）同济大学，概率统计复习和解题指导

前言

1、概率论与数理统计是研究随机现象统计规律性的一门数学学科。理论严谨，

应用广泛，发展迅速，在理论联系实际方面，概率是最活跃的学科之一。

2、“概率与数理统计”又是两个联系紧密而有区别的概念。概率论是数理统

计学的基础，数理统计学是概率论的一种应用。

3、概率论——从数学模型进行理论推导，从同类现象中找出规律性。

4、数理统计——着重于数据处理，在概率论理论的基础上对实践中采集得的

信息与数据进行概率特征的推断。

5、本课程的教学目的是使大家初步掌握研究随机现象的数学基本思想和方

法，从而具有一定的分析及解决问题的能力。

6、通过本课程的学习，首先使大家对该学科体系有一个全面的认识，为进一

步学习其它专业知识奠定学科基础，并使大家具有较完备、合理的知识结

构和实践能力, 学会理论分析，使他们能够初步分析社会、经济现象的具体事例，并能给出分析结果和合理化建议。

主要内容：

?1、概率论的基本概念〔随机事件、样本空间〕。

?2、随机事件的关系及运算。

?3、随机事件的概率及其性质、计算和应用。

?4、随机变量及多维随机变量的分布和性质。

?5、随机变量的数字特征。

?6、大数定律与中心极限定理等概率论基础知识。

?7、数理统计的基本概念〔样本及其抽样分布〕。

?8、参数估计和假设检验等数理统计基础知识。

第一章随机事件

第一节样本空间和随机事件

一、随机试验和样本空间

人们在生产实践和科学实验中,发现对自然界和社会所观察到的现象大体分为类：一类是事前可以预料的,即在一定条件下必然发生或必然不发生的现象,称之为必然现象或确定性现象；另一类是事前不可预料的,即在相同条件下重复进行观察或试验时,有时出现有时不出现的现象,称之为偶然现象或随机现象。

关于随机现象的说明：

随机现象有其偶然性的一面，也有其必然性的一面，这种必然性表现在大量重复试验或观察中呈现出的固有规律性，称为随机现象的统计规律性。

概率论正是研究随机现象统计规律性的一门学科。

对自然现象的观察或进行一次试验，统称为一个试验。用大写英文字母E 表示。

例如：掷硬币试验：掷一枚硬币，观察出现正面还是反面.

掷骰子试验：掷一颗骰子，观察出现的点数

寿命试验：测试在同一工艺条件下生产出的灯泡的寿命。

上面这些例子,尽管内容各异,但它们有着共同的特点。我们有以下的定义。 随机试验：如果试验可以在相同条件下重复进行；试验所有发生的结果是不止一个且是已知的；但每次试验的结果事前是不能确定的，这样的试验称为随机试验。

我们把随机试验的每个基本结果称为样本点，记作 e 或ω. 全体样本点的集合称为样本空间。样本空间用S 或Ω表示。 二 、随机事件

在一次试验中可能发生也可能不发生的事件称为随机事件，简称事件。[A,B,C ……]

不可能事件——在一次试验中不可能发生的事件，常用Φ表示 。 必然事件——在试验中必定发生的事件，常用S 或Ω表示;

例如，“掷出点数小于7”是必然事件；而“掷出点数8”则是不可能事件。

第二节 事件的关系与运算

为了研究事件的需要，下面介绍事件间的几种主要关系以及事件的运算。 1、事件之间的关系 (1)包含关系： 则称A 为B 的子事件。 (2)相等关系： A B ?若发生发生，.

A B ?记作：,,,i A B C A Ω设为样本空间，为事件，A B A B B A

=???且

(3)互斥关系(互不相容)：事件A 与事件B 不能同时发生，则称A 与B 为互斥事件或互不相容事件。即 A ∩B ＝Φ

2、事件的运算

(1)和事件(事件的并)

(2)积事件(事件的交)

(3)事件的差

(4)对立事件(互逆事件) 若事件A 与事件B

满足条件

则称事件A 与事件B 为对立事件。 注意：“对立”与“互斥”是不同的概念 ① 对立事件一定互斥，互斥事件不一定对立。

② 在一次试验中，互斥的两事件有可能都不发生，但对立事件必有一个发生。 补充说明：

由于事件是用集合表示的，所以事件的关系与运算与集合的运算完全相同。 例1 设A ，B ，C 是三个事件，则

(1) “A 发生而B ，C 都不发生”可表示为：

,,.

A B A B A B A B A B + 发生或发生，即至少有一个发生，称为的和事件（并）.记作：或,,A B A B AB A B

同时发生，称为的积事件(交),记作：或,A B A B A B -发生，但不发生，称为的差事件.记作：,AB A B =Φ=Ω 且B A

=记作：Ω

(2) “A 与B 发生而C 不发生”可表示为：

(3) “A ，B ，C 三个事件至少发生两个”可表示为：

作业：

1231232.3,,,,.(1)1(2)1(3)2(4)3A A A A A A 例向一目标射击枪,分别用表示第1,2,3枪命中目标,试用表示下列各事件只有第枪命中；至少有枪命中；至少有枪命中;枪都没有命中.

5646

P 习题一、

第二章 事件的概率

第一节 概率的概念

一、概率的含义

对于事件发生的的可能性大小，需要用一个数量指标去刻画它，这个指标应该是随机事件本身所具有的属性，不能带有主观性，且能在大量重复实验中得到验证，必须符合常情。我们把刻画事件发生的可能性大小的数量指标叫做事件的概率。

二、概率的统计定义

在一般情况下，对一个随机试验，如何度量随机事件发生的可能性的大小呢？为了回答这个问题，我们先引进频率的概念。

设随机事件A 在n 次试验中发生了r 次，则称比值 r /n 为这n 次试验中事件

A 发生的频率，即 在了解了定义之后，我们从试验入手，揭示随机事件一个极其重要的特征： 如抛硬币的试验：历史上抛硬币试验的若干结果

频率在一定程度上反映了事件发生的可能性大小。尽管每进行一连串（n 次）

()n

r

f A n

试验，所得到的频率可以各不相同，但只要n 相当大，频率与概率是会非常接近的。因此，概率是可以通过频率来“测量”的, 频率是概率的一个近似。 频率稳定性：指的是：当各轮试验次数n 1,n 2,…,n s 充分大时，在各轮试验中事件

A 出现的频率之间、或者它们与某个常数相差甚微。

即是说，在试验次数足够大的条件下，各频率都能够与某个常数比较接近。 这种稳定性为用统计方法求概率的数值开拓了道路。在实际中，当概率不易求出时，人们常取实验次数很大时事件的频率作为概率的估计值。并称此概率为：统计概率。这种确定概率的方法称为频率方法。

概率的统计定义：在相同条件下重复进行的n 次试验中, 事件A 发生的频率稳定地在某一常数p 附近摆动, 且随n 越大摆动幅度越小, 则称p 为事件A 的概率, 记作P (A )

对本定义的评价：优点——直观、易懂；缺点——粗糙、模糊、不便使用 注：1、给出了概率的近似求法。

2、实际中被大量应用，且有时是必须的。 三、概率的性质

第二节 古典概型

古典概型是一类比较简单,直观的随机试验,有以下两个明显特征: （1）试验所有可能的结果个数有限,即基本事件个数有限，分别记为

样本空间可表示为 12121210()1(1)2()1

(2)

3,,()()()(3)

P A P A A P A A P A P A Ω≤≤=++=++

、非负性：、正则性：、可列可加性:若两两互不相容，则有

12,,,,n ωωω {}123,,,,n ωωωωΩ= ；

（2）各个试验结果 在每次实验中发生的可能性是相同的. 下列随机试验是否为古典概型？

1.将一只红球和一只白球随机放入4个不同的盒子中。

2.某个射手一次射击命中的环数。

3.一昼夜120接到的呼叫次数。

定义：设试验 E 是古典概型,其样本空间Ω由n 个样本点组成,事件 A 由 k 个样本点组成。则定义事件 A 的概率为： 称此概率为古典概率；这种确定概率的方法称为古典方法。即把求概率问题转化为计数〔统计频数〕。

注意：排列组合是计算古典概率的重要工具 。

例 1 一批产品由90件正品和10件次品组成，从中任取一件，问取得正品的概率多大？

解：设“取得一件产品是正品”这一事件为A ，则因为每一件产品都有可能被抽出来，总的抽取方法有（90+10）种，而取得正品的取法有90种，按古典概率的

定义，所求概率为 注意：1.一定要学会用字母表示事件。 2.满足古典概型的两个特征

例2 一批产品由95件正品和5件次品组成，连续从中抽取两件，第一次取出后不再放回，问第一次抽得正品且第二次抽得次品的概率多大？

例3 在例2中，若仍是不放回抽取两件产品，计算“抽得一件为正品，一件为次品”，的概率。

摸奖的公平性：在一个彩票箱中有7张有奖彩票和93张无奖彩票，现有两种摸奖

12,,,n ωωω ()k A P A n =

=

Ω包含的样本点数

包含的样本点总数

90()0.9

9010

P A ==+

方式：（放回抽样）(1) 每个人摸出彩票后，看中奖与否，再放回票箱搅匀。 （不放回抽样）(2) 每个人摸出彩票后不放回票箱，后面的人从剩下的彩票中随机摸取。问：第 k 个人中奖的概率？(k =1,2, (100)

例4〔盒子模型〕把m 个球随机放入N (m

例5〔生日问题〕n(n<365) 个人的生日各不相同的概率是多少？至少有两个人生日相同的概率是多少？

小概率事件：若P(A)<0.01 , 则称A 为小概率事件.

小概率原理（即实际推断原理）——一次试验中小概率事件一般是不会发生的。若在一次试验中居然发生了，则可怀疑该事件并非小概率事件。

例6 区长办公室某一周内曾接待过9次来访, 这些来访都是周三或周日进行的， 是否可以断定接待时间是有规定的？

作业：

第三节 几何概型

早在概率论发展初期，人们就认识到，只考虑有限个等可能样本点的古典方法是不够的。

在古典概型中,把试验个数有限改为无限，等可能性不变。人们引入了几何概型。由此形成了确定概率的另一方法——几何方法

151625P --、

几何概型：设 A 是平面区域Ω中任一小区域 ,向区域Ω上随机投掷一点 ,则该点落入区域 A 内的概率是：

注：1. P(A )只与A 的面积成比例,而与A 的形状和位置无关。

2. 几何概型也适用于线段或空间区域，即：

3.与古典概型一样，样本点必须具有等可能性.

例1〔候车问题〕某公共汽车站每隔5分钟来一班车,乘客到达车站的时刻是任意的，求该乘客候车时间不超过3分钟的概率。

例 某人的表停了，他打开收音机听电台报时，已知电台是整点报时的，问他等待报时的时间短于十分钟的概率.

例2〔会面问题〕甲、乙两个相约在0到T 这段时间内在预定地点会面，先到的人等候另一个，经过时间t 离去。设每人在0到T 这段时间内各时刻到达该地是等可能的，且两人到达的时刻互不影响。试求甲、乙两人能会面的概率？ 例 两船欲停同一码头, 两船在一昼夜内独立随机地到达码头。若两船到达后需在码头停留的时间分别是1小时与2小时，试求在一昼夜内，任一船到达时，需要等待空出码头的概率。

用几何概型可以回答 “概率为1的事件为什么不一定发生?”这一问题. 例3〔蒲丰投针问题〕平面上有间隔d 的等距平行线，向平面任意投一根长为l (l

例4.把长为a 线段分为三段,求能构成三角形的概率。

第四节 概率的公理化定义

一、定义:

()()()S A A P A S ==

ΩΩ的面积

的面积

()()()

()()()()

L A S A V A P A L S V ===

ΩΩΩ

设E 是随机试验，Ω是它的样本空间,对于Ω中的每一个事件A ，赋予一个实数,记为P (A )，称为事件A 的概率,如果集合函数P (·)满足下述三条公理: 公理1〔非负性〕 公理2〔正则性〕 公理3〔可列可加性〕若事件A 1, A 2 ,…两两互不相容,则有

二、概率的性质 性质1（有限可加性）

性质2 对任一事件A ，有

注：性质2在计算上很有用,如果直接计算事件A 的概率不容易，可计算其对立事件的概率。 性质3

注：一般的减法公式为 性质4 〔一般的加法公式〕

性质5 〔多个事件的加法公式〕

()()()()()()()()(9)P A B C P A P B P C P AB P BC P AC P ABC ++=++---+

三、概率性质在计算中的应用

0()1(1)P A ≤≤()1

(2)

P Ω=1212()()()(3)

P A A P A P A ++=++ 121

1

,,,()()

(1)

n n

n i i i i A A A P A P A ===∑∑ 若是两两互斥事件，则：()1()(2)

P A P A =-, ()()()

(3) ()()

(4)

A B P B A P B P A P B P A ?-=-≥若则有减法公式：单调性：()()()()(5)

P B A P B AB P B P AB -=-=-()()()()

(6)

P A B P A P B P AB +=+-()()() 7A B P A B P A P B +=+特别地，若、互斥，则 （）

()()() 8P A B P A P B +≤+推论：（）

例1 36只灯泡中4只是60w ，其余是40w 的。现从中任取3只，求至少取到一只60w 灯泡的概率。

例2 抛一枚硬币5次，求既出现正面又出现反面的概率。

作业：

()11

3.()()().32

1

(1)(2)(3)8

11

4.()()(),()0,()().

416

.5.()0.8,()0.6,().P A P B P B A A B A B P AB P A P B P C P AB P AC P BC A B C P A P B P AB ==?=

========例设、，在下列情形下求、互斥；；例已知求、、中至少一个发生及都不发生的概率例若确定的取值范围1516811

P --、

第三章 条件概率与事件的独立性

第一节 条件概率

例１：一个家庭有两个小孩，求下列事件的概率。 (1)事件A ＝“至少有一个女孩”发生的概率。

(2)在事件B ＝“至少有一个男孩”发生的条件下，事件A 发生的概率。 一、条件概率的概念

含义: 在事件B 发生的条件下，另一事件A 发生的概率，称为在事件B 发生条件下事件A 的条件概率，

条件概率的定义：

对于古典概型，条件概率可以如下计算： 例2 设袋中有3个白球，2个红球，现从袋中任意抽取两次，每次取一个，取后不放回，（1）已知第一次取到红球，求第二次也取到红球的概率;

（2）求第二次取到红球的概率；（3）求两次均取到红球的概率。

二、概率乘法公式

例3 一批零件共有100个,其中10个不合格品,从中一个一个取出,求第三次才取到不合格品的概率。

()

()0,()()

()

()(()0).

()

P AB P B P A B B A P B P AB P B A P A P A >=

=>如果则称为在事件发生条件下发生的条件概率.同样可以定义：() AB P

A B B =中的样本点个数

中的样本点个数

12n 112n 112131212n 11 ()0()()()

(2)()0()()()()()()0,()0,()()()()()

n n P B P AB P B P A B P A A A P A A A A P A P A A P A A A P A A A A P A P B P AB P B P A B P A P B A >=>=>>== －－－（）若，则若…，则……如果则有().P A B 记作：

第二节 全概率公式

例1 设有两个口袋，甲袋装有2个白球、3个红球；乙袋装有4个白球、2个红球。现从甲袋任取一球放入乙袋，再从乙袋取出一球。求从乙袋取出白球的概率。 全概率公式：设B 1 ,B 2 ,…,B n 为样本空间的一个分割(或称划分、完备事件组),则对任一事件A ,有： 注：①全概率公式解决的问题是，由A 的条件概率求A 的概率（部分 → 整体）。

②常用形式 ③条件可减弱为 例2 某工厂两个车间生产相同型号的的产品,生产的产品混合放在一个仓库里。第一车间产品的次品率为0.15；第二车间产品的次品率为0.12；且两个车间产品的数量比是2：3。现从仓库里任取出一件产品，求它是次品的概率。

例3〔摸彩模型或抽签问题〕设 n 张彩票中有 k 张中奖券,求第二人(任一人)摸到中奖券的概率。

第三节 贝叶斯公式(逆概率公式)

例1 某地区居民的肝癌发病率为0.0004,现用甲胎蛋白法进行普检查,医学研究表明,化验结果是存在错误的。已知患有肝癌的人其化验结果99％呈阳性(有病),而没有患肝癌的人其化验结果99.9％呈阴性(无病)。现某人的检查结果呈阳性,问他真的患肝癌的概率是多大？

贝叶斯公式：

1()()()

n

i i i P A P B P A B ==∑1212112,,,.,,,,,,n

n i n

i n B B B B B B B B B B ==ΩΩΩ 定义:如果两两互不相容,且则称为的一个完备事件组,或称为的一个分割(划分).

121

,,,.

n

n i i B B B A B =?

两两互不相容，且12,,,()0,()0()()

().

n i i i i n

B B B P A P B P B P A B P B A Ω>>=

设为的一个分割,且则有：()()()()()P A P B P A B P B P A B =+

例2〔狼来了的寓言〕通过计算说明为什么村民后来不再相信小孩呢？

补充说明：这里，P(B)=0.8称为先验概率，即原来村民对他的印象。 P(B/A)=0.444称为后验概率，即小孩撒谎一次后，村民对他的新印象。若小孩再次撒谎，则以P(B/A)=0.444替换P(B)=0.8，作为先验概率，代入上述计算公式，从而得到P(B/A)=0.138。在实际生活中，人们总是根据已发生的结果，不断地用后验概率去修正先验概率。

第四节 事件的独立性

一、两个事件的独立性

1、独立性的一般含义：事件A 与事件B 发生的概率没有关系、影响。

2、定义 设A 、B 是两事件，若满足：P (AB )＝P (A )P (B ) 则称事件A 与B 相互独立。 例1 在52张扑克牌中任取一张，记A 为“取到黑桃”，B 为“取到爱司”，A 、B 是否独立？

例2 在有三个小孩的家庭，记A 为“男女都有”，B 为“至多一个女孩”， A 、B 是否独立？ 补充说明

（1）独立性的判定必须严格按定义来确定,而不能凭主观想像和猜测，也不能与互不相容的概念混淆。

（2）具有类似关系的事件在不同条件下是否独立也是有区别的。把例2中的三个小孩改为两个小孩，则A 、B 不相互独立。

()0.8 ()0.1,()0.5.()()()0.80.1()0.444()0.80.10.20.5()()()()

A B P B P A B P A B P B P A B P AB P B A P A P B P A B P B P A B ===?=

===?+?+记小孩说谎，

小孩可信,假设，那么在小孩说谎一次之后,村民相信他的—概—率为

独立性的性质：

一些特殊情形：

二、多个事件的独立性

例3 从分别标有1,2,3,4四个数字的4张卡片中随机抽取一张,以事件A 表示“取到1或2号卡片”;事件B 表示“取到1或3号卡片”;事件C 表示“取到1或4号卡片”.则事件A ,B ,C 两两独立但不相互独立.

例4 甲、乙二人同时独立向同一目标射击一次,甲击中率为0.9,乙击中率为0.8,求目标被击中的概率。

例5 某彩票每周开奖一次,每次提供十万分之一的中奖机会,且各周开奖是相互独立的。若你每周买一张彩票,坚持十年(520周),你从未中奖的可能性是多少？

第五节 伯努利试验和二项概率

一、伯努利试验

A B A B A B A B ???、独立、独立

、独立、独立

1.()()()();()()0()().2()0,()0,,,,,A P A P A P A P P A P P A P P A P B A B A B A B A B ΩΦΩ==ΩΦ=Φ==Φ>>??、、与任何事件都相互独立、独立与互斥的矛盾性.设则有：

互斥不独立；独立不互斥.对于概率不为0的事件，互斥、独立不能并存.

,,(1)()()(),()()(),()()().

,,.(2)()()()().,,.A B C P AB P A P B P BC P B P C P AC P A P C A B C P ABC P A P B P C A B C ====定义：若三个事件满足：

即两两相互独立则称事件相互独立

? 定义：设有随机试验E 1和E 2，若E 1的任一结果(事件)与E 2的任一结果(事件)都独立，则称这两个试验相互独立。如分别掷两枚硬币的试验。 ? 类似地可以定义n 个相互独立的试验。

? 特别地，如果n 个相互独立的试验是相同的，则称之为n 重独立重复试验；如果每次试验的结果都是两个，则称之为n 重伯努利试验。

? 如：掷n 个骰子、检查n 个产品的试验是n 重独立重复试验，而掷n 个硬币的试验则是n 重伯努利试验。 二、二项概率

问题：在n 重伯努利试验中, 若事件A 在每次试验中出现的概率都是 p , 求在n 次试验中恰出现k 次A 的概率。

分析：若指定某k 次出现A ，则另外 n -k 次出现A

由独立性知，该事件的概率为 再由组合数知识知，在n 次试验中恰出现k 次A 的概率为 该公式与二项式定理的一般形式相同，故称之为二项概率。 应用二项概率时应注意：

1、涉及的试验是n 重伯努利试验；

2、所求的事件是 只知次数，不知位置；

3、二项概率在实际中的应用非常广泛；

4、当n 较大时，二项概率的计算比较困难。

例1 从次品率p =0.2的一批产品中, 有放回地抽取5次, 每次取1件。分别求5件中恰有3件次品和至多3件次品的概率。

例2 设有1000个人购买了某项人身意外保险, 每年支付投保金额300元。若在

1--()

k n k p p 1--()k k n k

n C p p

一年内发生意外, 可获得的平均赔付金额为10000元。【根据资料统计, 该类投保人在一年内发生意外的比例为1％】求：

1、保险公司能够获利的概率；

2、保险公司每年获利不少于10万元的概率。

作业：

27291,2,6,7,10,12,16,20

P

-

-

第四章 随机变量及其分布

关于随机变量(及向量)的研究,是概率论的中心内容.这是因为,对于一个随机试验,我们所关心的往往是与所研究的特定问题有关的某个或某些量,而这些量就是随机变量.也可以说：随机事件是从静态的观点来研究随机现象,而随机变量则是一种动态的观点,如数学分析中的常量与变量的区分那样.变量概念是高等数学有别于初等数学的基础概念.同样,概率论能从计算一些孤立事件的概念发展为一个更高的理论体系,其基础概念是随机变量。

第一节 随机变量及其分布函数

一、 随机变量的概念

1、含义：用来表示随机现象结果的变量。 ①样本点本身是用数量表示的； ②样本点本身不是用数量表示的。

总之，不管随机试验的结果是否具有数量的性质，都可以建立一个样本空间和实数空间的对应关系，使之与数值发生联系，用随机变量的取值来表示事件。 2、定义：定义在样本空间Ω＝｛ω

｝上的实值函数X ＝X(ω)称为随机变量，常用大写英文字母或小写希腊字母来表示，相应地，用小写英文字母表示其取值。 随机变量的特点:

（1） X 的全部可能取值是互斥且完备的。 （2） X 的部分可能取值描述随机事件。

注：①随机变量是样本点的函数,函数值是实数,但自变量（样本点）不一定是实数。

②与微积分中的变量不同,还存在其取值的概率的问题。（分布）