天津市2017届高三数学理一轮复习专题突破训练
导数及其应用
一、选择、填空题
1、若直线y kx b =+是曲线ln 2y x =+的切线,也是曲线()ln 1y x =+的切线,b = .
2、设函数()f x =(21)x e x ax a --+,其中a 1,若存在唯一的整数x 0,使得0()
f x 0,则a
的取值范围是( )
3、曲线()2
3f x x x
=
+在点()()1,1f 处的切线方程为 . 4、设定义在(0,)+∞上的函数()f x 满足()()ln xf x f x x x '-=,11
()f e
e
=,则()f x ( ) A .有极大值,无极小值 B .有极小值,无极大值 C .既有极大值,又有极小值 D .既无极大值,也无极小值
5、已知()y f x =为R 上的连续可导函数,且()()0xf x f x '+>,则函数()()1g x xf x =+()0x >的零点个数为__________
6、曲线
处的切线方程是
A 、x =1
B 、y =
1
2
C 、x +y =1
D 、x -y =1 7、已知定义在R 上的函数()f x 的图象如图,则
的解集为
8、若过曲线上的点P 的切线的斜率为2,则点P 的坐标是
二、解答题
1、(2016年天津市高考)(2016年天津高考)设函数3()(1)f x x ax b =---,R x ∈,其中R b a ∈,
(I)求)(x f 的单调区间;
(II) 若)(x f 存在极值点0x ,且)()(01x f x f =,其中01x x ≠,求证:1023x x +=; (Ⅲ)设0>a ,函数|)(|)(x f x g =,求证:)(x g 在区间]1,1[-上的最大值不小于...4
1
.
2、(2015年天津市高考)已知函数()n ,n
f x x x x R =-∈,其中*
n ,n 2N ∈≥. (I)讨论()f x 的单调性;
(II)设曲线()y f x =与x 轴正半轴的交点为P ,曲线在点P 处的切线方程为()y g x =,求证:对于任意的正实数x ,都有()()f x g x ≤;
(III)若关于x 的方程()=a(a )f x 为实数有两个正实根12x x ,,求证: 21|-|21a
x x n
<+-
3、(天津市八校2016届高三12月联考)已知函数()2ln p
f x px x x
=--. (Ⅰ) 若2p =,求曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线;
(Ⅱ) 若函数)(x f 在其定义域内为增函数,求正实数p 的取值范围; (Ⅲ) 设函数2()e
g x x
= ,若在[1,]e 上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x >成立,求实数p 的取值范围.
4、(和平区2016届高三第四次模拟)已知函数()2
2
ln 2,f x x x ax a a R =+-+∈.
(Ⅰ)若0a =,求函数()f x 在[]1,e 上的最小值;
(Ⅱ)若函数()f x 在1,22??????
上存在单调递增区间,求实数a 的取值范围;
(Ⅲ)根据a 的不同取值,讨论函数()f x 的极值点情况.
5、(河北区2016届高三总复习质量检测(三)) 已知函数1
()()ln f x a x x x
=--,其中a ∈R .
(Ⅰ)若1a =,求曲线)(x f y =在点(1(1))f ,处的切线方程; (Ⅱ)若函数()f x 在其定义域内为增函数,求a 的取值范围;
(Ⅲ)设函数e
()g x x
=,若在[1e],上至少存在一点0x ,使得00()()f x g x ≥成立, 求实数a 的取值范围.
6、(河北区2016届高三总复习质量检测(一)) 已知函数2()=(1)ln 1f x a x x -++,()()g x =f x x -,其中a ∈R .
(Ⅰ)当1
4
a =-时,求函数()f x 的极值;
(Ⅱ)当0a >时,求函数()g x 的单调区间;
(Ⅲ)当[1)x ∈+∞,
时,若=()y f x 图象上的点都在1x y x ???
≥,
≤ 所表示的平面区域内, 求实数a 的取值范围.
7、(河东区2016届高三第二次模拟)已知函数x x ae x ae x f x
x
+--=2
2
12)(. (1)求函数)(x f 在))2(,2(f 处切线方程; (2)讨论函数)(x f 的单调区间;
(3)对任意[]1,0,21∈x x ,1)()(12+≤-a x f x f 恒成立,求a 的范围.
8、(河西区2016届高三第二次模拟) 已知函数x m x x x f ln 12)(2++-=(R m ∈). (Ⅰ)当1=m 时,求过点0(P ,)1-且与曲线2)1()(--=x x f y 相切的切线方程; (Ⅱ)求函数)(x f y =的单调递增区间;
(Ⅲ)若函数)(x f y =的两个极值点a ,b ,且b a <,记][x 表示不大于x 的最大 整数,试比较)]
([)]
([sin b f a f 与)])()][(cos([b f a f 的大小.
9、(河西区2016届高三下学期总复习质量调查(一))已知函数ax x x f -=2)((0≠a ),x x g ln )(=,
)(x f 图象与x 轴异于原点的交点M 处的切线为1l ,)1(-x g 与x 轴的交点N 处的切线为2l ,并且1l 与
2l 平行.
(Ⅰ)求)2(f 的值;
(Ⅱ)已知实数R t ∈,求x x ln =μ,1[∈x ,]e 的取值范围及函数])([t x xg f y +=, 1[∈x ,]e 的最小值;
(Ⅲ)令)(')()(x g x g x F +=,给定1x ,1(2∈x ,)∞+,21x x <,对于两个大于1的 正数α,β,存在实数m 满足21)1(x m mx -+=α,21)1(mx x m +-=β,并且 使得不等式)()()()(21x F x F F F -<-βα恒成立,求实数m 的取值范围.
10、(红桥区2016届高三上学期期末考试)已知函数2
()(1)ln 1f x a x ax =+++. (Ⅰ)若函数()f x 在1x =处切线的斜率1
2
k =-,求实数a 的值;
(Ⅱ)讨论函数()f x 的单调性;
(Ⅲ)若2()1xf x x x '++≥,求a 的取值范围.
11、(天津市六校2016届高三上学期期末联考)已知函数x ax x h ln 2)(+-= (Ⅰ)当1=a 时,求)(x h 在))2(,2(h 处的切线方程; (Ⅱ)令)(2)(2x h x a x f +=
,已知函数)(x f 有两个极值点21,x x ,且2
1
21>?x x ,求实数a 的取值范围;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,若存在]2,2
2
1[0+
∈x ,使不等式2ln 2)1()1()1ln()(20++-->++a a m a x f 对任意a (取值范围内的值)恒成立,求实
数m 的取值范围.
12、(天津市十二区县重点高中2016届高三毕业班第一次联考)已知函数1
()ln f x x x
=-
,()g x ax b =+.
(Ⅰ)若函数()()()h x f x g x =-在(0,)+∞上单调递增,求实数a 的取值范围; (Ⅱ)若直线()g x ax b =+是函数1
()ln f x x x
=-
图象的切线,求a b +的最小值; (Ⅲ)当0b =时,若()f x 与()g x 的图象有两个交点1122(,),(,)A x y B x y ,试比较12x x 与2
2e 的大小.(取e 为2.8,取ln 2为0.7,取2为1.4)
13、(天津市十二区县重点学校2016届高三下学期毕业班联考(二))已知直线1
y e
=
是函数()x ax
f x e
=
的切线(其中 2.71828e =L ). (I)求实数a 的值;
(II)若对任意的(0,2)x ∈,都有2
()2m
f x x x <
-成立,求实数m 的取值范围;
(Ⅲ)若函数()ln ()g x f x b =-的两个零点为12,x x ,证明:1()g x '+2()g x '12
()2
x x g +'>.
14、(武清区2016届高三5月质量调查(三))已知函数()a x e x f x +-=,()2a x e x g x ++=-,R a ∈.
(1)求函数()x f 的单调区间;
(2)若存在[]2,0∈x ,使得()()0<-x g x f 成立,求a 的取值范围; (3)设()2121,x x x x ≠是函数()x f 的两个零点,求证021<+x x .
15、(天津市和平区2016届高三下学期第二次质量调查)已知函数x x
a
ax x f ln 24)(--
=. (Ⅰ)当1=a 时,求曲线)(x f 在点))1(,1(f 处的切线方程; (Ⅱ)若函数)(x f 在其定义域内为增函数,求实数a 的取值范围; (Ⅲ)设函数x
e
x g 6)(=,若在区间],1[e 上至少存在一点0x ,使得)()(00x g x f >成立,求实数a 的取值范围.
参考答案
一、填空、选择题 1、【解析】 1ln 2-
ln 2y x =+的切线为:11
1
ln 1y x x x =
?++(设切点横坐标为1x ) ()ln 1y x =+的切线为:()2
2221ln 111x y x x x x =++-++ ∴()122
12
21
11
ln 1ln 11x
x x x x x ?=?+??
?+=+-?+?
解得112x = 21
2
x =-
∴1ln 11ln 2b x =+=-.
2、【答案】D
【解析】
试题分析:设()g x =(21)x e x -,y ax a =-,由题知存在唯一的整数0x ,使得0()g x 在直线y ax a =-的下方.
因为()(21)x g x e x '=+,所以当12x <-时,()g x '<0,当1
2
x >-时,()g x '>0,所以当
1
2
x =-时,max [()]g x =1
2-2e -,
当0x =时,(0)g =-1,(1)30g e =>,直线y ax a =-恒过(1,0)斜率且a ,故(0)1a g ->=-,且1(1)3g e a a --=-≥--,解得
3
2e
≤a <1,故选
D.
考点:导数的综合应用 3、40x y -+=
高考中数学导数的解法 1、导数的背景: (1)切线的斜率;(2)瞬时速度. 如一物体的运动方程是21s t t =-+,其中s 的单位是米,t 的单位是秒,那么物体在3t =时的瞬时速度为_____(答:5米/秒) 2、导函数的概念:如果函数()f x 在开区间(a,b )内可导,对于开区间(a,b )内的每一个0x ,都对应着一个导数 ()0f x ' ,这样()f x 在开区间(a,b )内构成一个新的函数,这一新的函数叫做()f x 在开区间(a,b )内的导函数, 记作 ()0 lim x y f x y x ?→?'='=?()() lim x f x x f x x ?→+?-=?, 导函数也简称为导数。 提醒:导数的另一种形式0 0x x 0)()(lim )(0 x x x f x f x f y x x --='='→= 如(1)*?? ?>+≤== 1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,则=a =b 解:?? ?>+≤==1 1)(2 x b ax x x x f y 在1=x 处可导,必连续1)(lim 1 =-→x f x b a x f x +=+ →)(lim 1 1)1(=f ∴ 1=+b a 2lim 0 =??- →?x y x a x y x =??+→?0lim ∴ 2=a 1-=b (2)*已知f(x)在x=a 处可导,且f ′(a)=b ,求下列极限: (1)h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→?; (2)h a f h a f h ) ()(lim 20-+→? 分析:在导数定义中,增量△x 的形式是多种多样,但不论△x 选择哪种形式,△y 也必须选择相对应的形式。利用函数f(x)在a x =处可导的条件,可以将已给定的极限式恒等变形转化为导数定义的结构形式。 解:(1)h h a f h a f h 2) ()3(lim --+→
高三数学选择题专题训练(一) 1.已知集合{}1),(≤+=y x y x P ,{ }1),(22≤+=y x y x Q ,则有 ( ) A .Q P ?≠ B .Q P = C .P Q P = D .Q Q P = 2.函数11)(+-=x x e e x f 的反函数是( ) A .)11( 11)(1<<-+-=-x x x Ln x f B .)11(11)(1-<>+-=-x x x x Ln x f 或 C .)11( 11)(1 <<--+=-x x x Ln x f D .)11(11)(1-<>-+=-x x x x Ln x f 或 3.等差数列{}n a 的前n 项和为n S ,369-=S ,10413-=S ,等比数列{}n b 中,55a b =,77a b =, 则6b 的值 ( ) A .24 B .24- C .24± D .无法确定 4.若α、β是两个不重合的平面, 、m 是两条不重合的直线,则α∥β的一个充分而非必要 条件是 ( ) A . αα??m 且 ∥β m ∥β B .βα??m 且 ∥m C .βα⊥⊥m 且 ∥m D . ∥α m ∥β 且 ∥m 5.已知n n n x a x a a x x x +++=++++++ 102)1()1()1(,若n a a a n -=+++-509121,则n 的 值 ( ) A .7 B .8 C .9 D .10 6.已知O ,A ,M ,B 为平面上四点,则)1(λλ-+=,)2,1(∈λ,则( ) A .点M 在线段A B 上 B .点B 在线段AM 上 C .点A 在线段BM 上 D .O ,A ,M ,B 四点共线 7.若A 为抛物线24 1x y = 的顶点,过抛物线焦点的直线交抛物线于B 、C 两点,则AC AB ?等于 ( ) A .31- B .3- C .3 D .43- 8.用四种不同颜色给正方体1111D C B A ABCD -的六个面涂色,要求相邻两个面涂不同的颜色, 则共有涂色方法 ( ) A .24种 B .72种 C .96种 D .48种 9.若函数x x a y 2cos 2sin -=的图象关于直线π8 7=x 对称,那么a 的值 ( ) A .2 B .2- C .1 D .1-
一.解答题(共30小题) 1.(2012?上海)已知数列{a n}、{b n}、{c n}满足.(1)设c n=3n+6,{a n}是公差为3的等差数列.当b1=1时,求b2、b3的值; (2)设,.求正整数k,使得对一切n∈N*,均有b n≥b k; (3)设,.当b1=1时,求数列{b n}的通项公式. 2.(2011?重庆)设{a n}是公比为正数的等比数列a1=2,a3=a2+4. (Ⅰ)求{a n}的通项公式; ( (Ⅱ)设{b n}是首项为1,公差为2的等差数列,求数列{a n+b n}的前n项和S n. 3.(2011?重庆)设实数数列{a n}的前n项和S n满足S n+1=a n+1S n(n∈N*). (Ⅰ)若a1,S2,﹣2a2成等比数列,求S2和a3. (Ⅱ)求证:对k≥3有0≤a k≤. 4.(2011?浙江)已知公差不为0的等差数列{a n}的首项a1为a(a∈R)设数列的前n 项和为S n,且,,成等比数列. (Ⅰ)求数列{a n}的通项公式及S n; ` (Ⅱ)记A n=+++…+,B n=++…+,当a≥2时,试比较A n与B n的大小. 5.(2011?上海)已知数列{a n}和{b n}的通项公式分别为a n=3n+6,b n=2n+7(n∈N*).将集合{x|x=a n,n∈N*}∪{x|x=b n,n∈N*}中的元素从小到大依次排列,构成数列c1,c2,
(1)写出c1,c2,c3,c4; (2)求证:在数列{c n}中,但不在数列{b n}中的项恰为a2,a4,…,a2n,…; (3)求数列{c n}的通项公式. 6.(2011?辽宁)已知等差数列{a n}满足a2=0,a6+a8=﹣10 * (I)求数列{a n}的通项公式; (II)求数列{}的前n项和. 7.(2011?江西)(1)已知两个等比数列{a n},{b n},满足a1=a(a>0),b1﹣a1=1,b2﹣a2=2,b3﹣a3=3,若数列{a n}唯一,求a的值; (2)是否存在两个等比数列{a n},{b n},使得b1﹣a1,b2﹣a2,b3﹣a3.b4﹣a4成公差不为0的等差数列若存在,求{a n},{b n}的通项公式;若不存在,说明理由. 8.(2011?湖北)成等差数列的三个正数的和等于15,并且这三个数分别加上2、5、13后成为等比数列{b n}中的b3、b4、b5. (I)求数列{b n}的通项公式; ] (II)数列{b n}的前n项和为S n,求证:数列{S n+}是等比数列. 9.(2011?广东)设b>0,数列{a n}满足a1=b,a n=(n≥2) (1)求数列{a n}的通项公式; (4)证明:对于一切正整数n,2a n≤b n+1+1.
【考情解读】 导数的概念及其运算是导数应用的基础,这是高考重点考查的内容.考查方式以客观题为主,主要考查: 一是导数的基本公式和运算法则,以及导数的几何意义; 二是导数的应用,特别是利用导数来解决函数的单调性与最值问题、证明不等式以及讨论方程的根等,已成为高考热点问题; 三是应用导数解决实际问题. 【知识梳理】 1.导数的几何意义 函数y=f(x)在点x=x0处的导数值就是曲线y=f(x)在点处的切线的,其切线方程是. 注意:函数在点P0处的切线与函数过点P0的切线的区别:. 2.导数与函数单调性的关系 (1)() '>0是f(x)为增函数的条件. f x 如函数f(x)=x3在(-∞,+∞)上单调递增,但f′(x)≥0. (2)() '≥0是f(x)为增函数的条件. f x 当函数在某个区间内恒有() '=0时,则f(x)为常数,函数不具有单调 f x 性. 注意:导数值为0的点是函数在该点取得极值的条件.
3. 函数的极值与最值 (1)函数的极值是局部范围内讨论的问题,函数的最值是对整个定义域而言的,是在整个范围内讨论的问题. (2)函数在其定义区间的最大值、最小值最多有 个,而函数的极值可能不止一个,也可能没有. (3)闭区间上连续的函数一定有最值,开区间内的函数不一定有最值,若有唯一的极值,则此极值一定是函数的 . 4. 几个易误导数公式及两个常用的运算法则 (1)(sin x )′= ; (2)(cos x )′= ; (3)(e x )′= ; (4)(a x )′= (a >0,且a ≠1); (5)(x a )′= ; (6)(log e x )′= ; (7)(log a x )′= (a >0,且a ≠1); (8)′= ; (9)??????? ? f (x ) g (x )′= (g (x )≠0) .
导数题型归纳 请同学们高度重视: 首先,关于二次函数的不等式恒成立的主要解法: 1、分离变量;2变更主元;3根分布;4判别式法 5、二次函数区间最值求法:(1)对称轴(重视单调区间) 与定义域的关系 (2)端点处和顶点是最值所在 其次,分析每种题型的本质,你会发现大部分都在解决“不等式恒成立问题”以及“充分应用数形结合思想”,创建不等关系求出取值范围。 最后,同学们在看例题时,请注意寻找关键的等价变形和回归的基础 一、基础题型:函数的单调区间、极值、最值;不等式恒成立; 1、此类问题提倡按以下三个步骤进行解决: 第一步:令0)(' =x f 得到两个根; 第二步:画两图或列表; 第三步:由图表可知; 其中不等式恒成立问题的实质是函数的最值问题, 2、常见处理方法有三种: 第一种:分离变量求最值-----用分离变量时要特别注意是否需分类讨论(>0,=0,<0) 第二种:变更主元(即关于某字母的一次函数)-----(已知谁的范围就把谁作为主元); 例1:设函数()y f x =在区间D 上的导数为()f x ',()f x '在区间D 上的导数为()g x ,若在区间D 上, ()0g x <恒成立,则称函数()y f x =在区间D 上为“凸函数”,已知实数m 是常数,432 3()1262 x mx x f x =-- (1)若()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”,求m 的取值范围; (2)若对满足2m ≤的任何一个实数m ,函数()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数”,求b a -的最大值. 解:由函数4323()1262x mx x f x =-- 得32 ()332 x mx f x x '=-- (1) ()y f x =在区间[]0,3上为“凸函数”, 则 2 ()30g x x mx ∴=--< 在区间[0,3]上恒成立 解法一:从二次函数的区间最值入手:等价于max ()0g x < 解法二:分离变量法: ∵ 当0x =时, 2 ()330g x x mx ∴=--=-<恒成立, 当03x <≤时, 2 ()30g x x mx =--<恒成立 等价于233 x m x x x ->=-的最大值(03x <≤)恒成立, 而3 ()h x x x =-(03x <≤)是增函数,则max ()(3)2h x h == (2)∵当2m ≤时()f x 在区间(),a b 上都为“凸函数” 则等价于当2m ≤时2 ()30g x x mx =--< 恒成立 解法三:变更主元法 再等价于2 ()30F m mx x =-+>在2m ≤恒成立(视为关于m 的一次函数最值问题) 2 2 (2)0230 11(2)0230 F x x x F x x ?->--+>?????-<?>-+>??? 例2),10(32 R b a b x a ∈<<+- ],2不等式()f x a '≤恒成立,求a 的取值范围.
高三数学小题训练(10) 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分;共50分. 1.已知函数x b x a x f cos sin )(-=(a 、b 为常数,0≠a ,R x ∈)在4 π =x 处取 得最小值,则函数)4 3( x f y -=π 是( ) A .偶函数且它的图象关于点)0,(π对称 B .偶函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 C .奇函数且它的图象关于点)0,2 3(π 对称 D .奇函数且它的图象关于点)0,(π对称 2.已知函数()2sin (0)f x x ωω=>在区间,34ππ?? -???? 上的最小值是2-,则ω的最小值等于 ( ) (A )23 (B )3 2 (C )2 (D )3 3.将函数sin (0)y x ωω=>的图象按向量,06a π?? =- ??? 平移,平移后的图象如图所示,则平移后的图象所对应函数的解析式是( ) A .sin()6y x π =+ B .sin()6y x π =- C .sin(2)3y x π=+ D .sin(2)3 y x π =- 4.设0a >,对于函数()sin (0)sin x a f x x x π+= <<,下列结论正确的是( ) A .有最大值而无最小值 B .有最小值而无最大值 C .有最大值且有最小值 D .既无最大值又无最小值 5.已知1,3,.0,OA OB OAOB ===点C 在AOC ∠30o =。 设(,)OC mOA nOB m n R =+∈,则 m n 等于 ( )
(A ) 1 3 (B )3 (C )33 (D 3 6.与向量a =71,,22b ?? = ??? ?? ? ??27,21的夹解相等,且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 (C )???- ??31,322 (D )???- ??31,3 22或??? ??-31,322 7.如图,已知正六边形123456PP P P P P ,下列向量的数量积中最大的是( ) (A )1213,PP PP (B )1214,PP PP (C )1215,PP PP (D ) 1216,PP PP 8.如果111A B C ?的三个内角的余弦值分别等于222A B C ?的三个内角的正弦值,则( ) A .111A B C ?和222A B C ?都是锐角三角形 B .111A B C ?和222A B C ?都是钝角三角形 C .111A B C ?是钝角三角形,222A B C ?是锐角三角形 D .111A B C ?是锐角三角形,222A B C ?是钝角三角形 9.已知不等式1 ()()9a x y x y ++≥对任意正实数,x y 恒成立,则正实数a 的最小值为 ( ) (A)8 (B)6 (C )4 (D )2 10.若a ,b ,c >0且a (a +b +c )+bc =4-23,则2a +b +c 的最小值为 ( ) (A )3-1 (B) 3+1 (C) 23+2 (D) 23-2 二、填空题(本大题共6小题,每小题5分,共30分) 11.cos 43cos77sin 43cos167o o o o +的值为 12.已知βα,??? ??∈ππ,43,sin(βα+)=-,53 sin ,13124=??? ??-πβ则os ??? ? ? +4πα=___.
高考文科数学导数专题复习 第1讲 变化率与导数、导数的计算 知 识 梳 理 1.导数的概念 (1)函数y =f (x )在x =x 0处的导数f ′(x 0)或y ′|x =x 0,即f ′(x 0)=0 lim x ?→f (x 0+Δx )-f (x 0) Δx . (2)函数f (x )的导函数f ′(x )=0 lim x ?→f (x +Δx )-f (x ) Δx 为f (x )的导函数. 2.导数的几何意义函数y =f (x )在点x 0处的导数的几何意义,就是曲线y =f (x )在点P (x 0,f (x 0))处的切线的斜率,过点P 的切线方程为y -y 0=f ′(x 0)(x -x 0). 3.基本初等函数的导数公式 4.导数的运算法则若f ′(x ),g ′(x )存在,则有: 考点一 导数的计算 【例1】 求下列函数的导数: (1)y =e x ln x ;(2)y =x ? ?? ??x 2+1x +1x 3; 解 (1)y ′=(e x )′ln x +e x (ln x )′=e x ln x +e x 1x =? ?? ??ln x +1x e x .(2)因为y =x 3 +1+1x 2, 所以y ′=(x 3)′+(1)′+? ?? ??1x 2′=3x 2 -2x 3. 【训练1】 (1) 已知函数f (x )的导函数为f ′(x ),且满足f (x )=2x ·f ′(1)+ln x ,则f ′(1)等于( ) A.-e B.-1 C.1 D.e 解析 由f (x )=2xf ′(1)+ln x ,得f ′(x )=2f ′(1)+1 x ,∴f ′(1)=2f ′(1)+1,则f ′(1)=-1.答案 B (2)(2015·天津卷)已知函数f (x )=ax ln x ,x ∈(0,+∞),其中a 为实数,f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)=3,则a 的值为________. (2)f ′(x )=a ? ?? ??ln x +x ·1x =a (1+ln x ).由于f ′(1)=a (1+ln 1)=a ,又f ′(1)=3,所以a =3.答案 (2)3 考点二 导数的几何意义 命题角度一 求切线方程 【例2】 (2016·全国Ⅲ卷)已知f (x )为偶函数,当x ≤0时,f (x )=e -x -1 -x ,则曲线y =f (x )在点(1,2)处的 切线方程是________.解析 (1)设x >0,则-x <0,f (-x )=e x -1 +x .又f (x )为偶函数,f (x )=f (-x )=e x -1 +x , 所以当x >0时,f (x )=e x -1 +x .因此,当x >0时,f ′(x )=e x -1 +1,f ′(1)=e 0 +1=2.则曲线y =f (x )在点(1, 2)处的切线的斜率为f ′(1)=2,所以切线方程为y -2=2(x -1),即2x -y =0. 答案 2x -y =0 【训练2】(2017·威海质检)已知函数f (x )=x ln x ,若直线l 过点(0,-1),并且与曲线y =f (x )相切,则直线l 的方程为( )A.x +y -1=0 B.x -y -1=0 C.x +y +1=0 D.x -y +1=0
2019年高考数学导数的解题技巧高考导数题主要是考查与函数的综合,考查不等式、导数的应用等知识,难度属于中等难度。 都有什么题型呢? ①应用导数求函数的单调区间,或判定函数的单调性; ②应用导数求函数的极值与最值; ③应用导数解决有关不等式问题。 有没有什么解题技巧啦? 导数的解题技巧还是比较固定的,一般思路为 ①确定函数f(x)的定义域(最容易忽略的,请牢记); ②求方程f′(x)=0的解,这些解和f(x)的间断点把定义域分成若干区间; ③研究各小区间上f′(x)的符号,f′(x)>0时,该区间为增区间,反之则为减区间。 从这两步开始有分类讨论,函数的最值可能会出现极值点处或者端点处,多项式求导一般结合不等式求参数的取值范围,根据题目会有一定的变化,那接下来具体总结一些做题技巧。 技巧破解+例题拆解 1.若题目考察的是导数的概念,则主要考察的是对导数在一点处的定义和导数的几何意义,注意区分导数与△y/△x 之间的区别。
观察内容的选择,我本着先静后动,由近及远的原则,有目的、有计划的先安排与幼儿生活接近的,能理解的观察内容。随机观察也是不可少的,是相当有趣的,如蜻蜓、蚯蚓、毛毛虫等,孩子一边观察,一边提问,兴趣很浓。我提供的观察对象,注意形象逼真,色彩鲜明,大小适中,引导幼儿多角度多层面地进行观察,保证每个幼儿看得到,看得清。看得清才能说得正确。在观察过程中指导。我注意帮助幼儿学习正确的观察方法,即按顺序观察和抓住事物的不同特征重点观察,观察与说话相结合,在观察中积累词汇,理解词汇,如一次我抓住时机,引导幼儿观察雷雨,雷雨前天空急剧变化,乌云密布,我问幼儿乌云是什么样子的,有的孩子说:乌云像大海的波浪。有的孩子说“乌云跑得飞快。”我加以肯定说“这是乌云滚滚。”当幼儿看到闪电时,我告诉他“这叫电光闪闪。”接着幼儿听到雷声惊叫起来,我抓住时机说:“这就是雷声隆隆。”一会儿下起了大雨,我问:“雨下得怎样?”幼儿说大极了,我就舀一盆水往下一倒,作比较观察,让幼儿掌握“倾盆大雨”这个词。雨后,我又带幼儿观察晴朗的天空,朗诵自编的一首儿歌:“蓝天高,白云飘,鸟儿飞,树儿摇,太阳公公咪咪笑。”这样抓住特征见景生情,幼儿不仅印象深刻,对雷雨前后气象变化的词语学得快,记得牢,而且会应用。我还在观察的基础上,引导幼儿联想,让他们与以往学的词语、生活经验联系起来,在发展想象力中发展语言。