Chapter 2
晶 体 结 构
§2.1 晶体的宏观特征
晶体，对我们来说是一个既陌生又不陌生的东西。可以毫不夸张的说，我们生活在一个晶体的世界里。例如，我们周围的建筑材料，金属材料，糖、盐和各种化学药品等，它们大多是晶体。人类很早就对晶体有感性认识。在石器时代，人们就知道寻找有一定形状的石头作为生产和生活的工具。后来，学会了冶炼铜、铁等金属。但是，直到二十世纪初期，人们才真正开始探索晶体结构的微观本质，理解晶体各种外部特征的真正来源。
2.1.1晶体的基本特征Crystalline elementary properties
在绪论里，我们谈到了固体按结构可分为晶体和非晶体，晶体又可分为单晶体和多晶体。和非晶体相比，晶体（单晶体）有以下特性：
均匀性uniformity：晶体内部各个部分的宏观性质是相同的。
各向异性anisotropy：晶体中沿不同的方向具有不同的物理性质。
固定熔点fixed melting point：晶体具有周期性结构，熔化时，各部分需要相同的温度。
规则外形regularity of external form ：理想环境中生长的晶体应为几何凸多面体。
对称性symmetry：晶体的理想外形和晶体内部结构都具有特定的对称性。
2.1.2晶体外形的规则性Regularity of external form of crystals
经过长期观察，人们发现晶体最显著的特点就是具有规则的外形。
常见的晶体往往是凸多面体，它的外表面是由许多光滑的面组成，这样的晶体就是单晶体。晶态物质在适当的条件下都能自发地发展为单晶体。
（讲解中展示石英、NaCl、方解石、红宝石、金刚石、磁铁矿、石榴子石等一些晶体的图片，说明他们都具有规则的几何外形。）
应当指出，晶体在形成的过程中往往由于外界条件的限制，使许多晶面不能有规律的出现，从而就不能形成一个规则的几何多面体，甚至形成一个和周围环境一样的形状。进一步研究发现，如果晶粒可以自行生长，最后将形成一个具有规则几何多面体的外形。
晶体外形的规则性使得早期的研究者们相信，晶体是由相同的积木块有规则地堆积而成。当晶体在恒定的环境中生长时，其形状在生长过程中保持不变，犹如由全同的积木块连续地堆积起来那样。这里所谓的积木块就是原子或原子群，晶体就是由原子排列成的三维周期列阵。这一点在十八世纪就已经知道，当时矿物学家发现，一个晶体的所有各面的方向指数都是精确的整数。阿羽依证明：假定全同质点排列为三维周期性列阵，便可以解释有理指数或
整数指数定则。
2.1.3晶体的解理性Cleavability of crystals
晶体常具有沿某些确定的方位劈裂的性质，就是晶体的解理性，劈裂成的晶面成为解理面。晶体之所以具有规则的几何外形，从宏观上来讲正是由于晶体的解理性，显露在晶体外表的往往是一些解理面。
如图2.1.1所示，是晶体外形示意图。晶体的外表面通常呈现出正三角形、正方形、长方形、正六边形等形状，我们把它们称为晶面crystal face 。晶面的交线成为晶棱crystal edge 。由晶棱相互平行的晶面组成晶带zone ，这些相互平行的晶棱成为该晶带的带轴zone axis 。一块晶体可以有若干个不同的晶带，不同的晶带有不同方向的带轴。在不同的带轴方向，晶体所表现的物理性质不同，这就是晶体的各向异性。
2.1.4晶体的均匀性和各向异性Uniformity and anisotropy
晶体的均匀性Crystal uniformity ，是指晶体在不同部位上具有相同的物理性质。晶体是由大量的原子（分子、离子）堆积而成，每立方厘米大约有1023个原子。在宏观的观察中，由于分辨能力的限制，晶体的不连续性受到掩盖，晶体表现得象一个有连续结构的物体。晶体的宏观性质必然是一个统计平均的结果。晶体构造中所有质点都是在三维空间中作周期性重复，晶体不同部位的质点的排列方式相同，即晶体的宏观性质与观察位置无关，这就是晶体的均匀性。
晶体的导热、导电、光折射等许多物理性质都表现出各向异性。所谓各向异性anisotropy ，就是晶体的宏观性质因观察的方向不同而有差异。这种差异的原因可以从图 2.1.2说明：以NaCl 晶体结构为例，在oa 、ob 和oc 三个方向上，质点的排列方式不同。沿oa 方向是氯离子和钠离子相间排列，沿oc 方向全部是一种离子（氯离子或钠离子）排列，而ob 方向上则是另外一种情形。因为晶体的性质在一定的外界条件下取决于其成分和内部构成两个因素，因而在不同方向上质点排列方式的差别就直接导致了其物理性质的差异。（解释一下方解石的双折射现象。）
(a) (b)(c)
图2.1.1 晶体的外形图，晶棱，晶带和带轴
异向同性（对称性）：晶体中质点的排列可能在几个特定的方向上情形相同，例如在图2.1.2中，oa和oe、ob和od上，这样晶体在不同的方向上物理性质也有可能相同。
图2.1.2 晶体的均匀性、各向异性和对称性示意图
2.1.5晶面角守恒定律law of constancy of interfacial angles（Steno’s law）
由于生长条件的不同，同一品种的晶体，其外形可以不同，晶面本身的大小和形状也可以有差别。例如，NaCl晶体，可以是立方体，可以是八面体，也可以是立方八面混合体（NaCl 晶体属于立方晶系）。石英晶体，也有不同的外形。石英晶体的主要成分是二氧化硅，属于六角晶系，一般表现为六角柱锥体。由于结晶时的温度和溶液过饱和的程度不同，石英晶体具有不同的结晶形态，如图2.1.3所示。
人们在对晶体外形从粗略观察转为定量测量以后进一步发现，由于生长条件的差异，同一品种的晶体外形可能不同。但不管它们外形存在何种差异，其几何多面体上相应两晶面间的夹角总是严格相等的。每一品种，不论其外形如何，总具有一套特征性的夹角。在图2.1.3所示的石英晶体，虽然外形不同，各晶面的大小不同，但是a、b两晶面的夹角总是141?47'，b、c两晶面的夹角总是120?00'，a、c的夹角总是113?08'，等等。
图2.1.3 石英晶体的各种外形示意图
晶面角守恒定律――属于同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）间的夹角恒定不变。 人们发展了许多研究晶体外形和测量晶面角的方法。大量晶体测量的结果表明，晶面角守恒定律是一个普遍的规律，因此晶面夹角就成为识别各种晶体的一种特有常数。另外，基于对晶面角守恒的认识，还导致了晶体对称性概念的产生，并促进了对晶体内部构造的研究。
2.1.6晶体的内部构造的周期性periodicity of structure
晶体在外形上的规则性反映了晶体内部构造的规律性。近代利用X 射线对晶体结构研究的结果，具体揭示了晶体的内部构造。一切晶体不论其外形如何，组成物质的原子（分子、离子）在三维空间的排列总是有规律地重复，从而构成所谓的格子结构。Crystalline is the state of a solid material characterized by a periodic and repeating three-dimensional array of atoms, ions or molecules.也就是说，晶体的结构是长程有序的，而非晶体只有短程序。如图2.1.4所示是石英晶体（左图）和石英玻璃（右图）的结构示意图。它们的成分都是由SiO 2的四面体组成，硅在四面体的中心，氧在四面体的顶点上。在石英晶体中，这些四面体有规律地堆积，表现出长程序，而在石英玻璃中，这些四面体没有严格的堆积顺序，表现不出长程序。
任何物体都具有一定的内能。晶体是具有格子构造的固体，其内部质点呈现规则排列，这种规则排列是质点间的引力和斥力达到平衡的结果。晶体中所有的质点皆处于平衡位置，在这种情况下，无论使质点间的距离增大或减小都将导致质点的相对势能增加，这也意味着，在相同的热力学条件下，晶体的内能最小。晶体是稳定的状态，非晶体则不然。
A crystal has a fixed melting point , but non-crystal has not . 晶体有一定的熔点，例如石英晶体的熔点为1713°C ，在温度升高到晶体的熔点时，晶体由固态变为液态。而非晶体没有一定的熔点，由固态变为液态的过程是随着温度的升高，先变软，再变稠，再变稀，最后变成液态。例如玻璃（或沥青），被称为“过冷液体”，它虽然是固态，但是结构酷似液态，组成物质的粒子只有短程序，没有长程序。玻璃能够被吹成各种形状做成器皿，沥青可以用来铺路，都是因为它们没有一定的熔点。
图2.1.4 石英晶体与石英玻璃结构上的区别
§2.2 空间点阵
晶体的宏观物理性质――规则的几何外形、固定的熔点、均匀性和各向异性以及晶面角守恒定律都一起揭示了晶体内部结构必然存在着规律性。经过长期的实验和理论研究，人们认识到这种规律性体现在两个方面，一个是周期性，一个是对称性。由此产生了两个基本理论：1830年布拉菲(A. Bravais)提出了晶体结构的空间点阵学说，认为晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地作周期性地无限分布；不久，熊夫利(A. M. Schoenflies)建立了关于晶体对称性的理论，提出了点群和空间群的概念。下面就介绍这些内容。
2.2.1点阵和基元Lattice and Basis：
An ideal crystal is constructed by the infinite repetition of identical groups of atoms. A group is called the basis; the set of mathematical points to which the basis is attached is called the lattice.
一个理想晶体是由全同的结构单元在空间无限重复而构成。最简单的晶体，如硅、锗、铜、银、铁、铝和碱金属，它们的结构单元是单个原子。有的结构单元往往含有好几个原子或分子，如NaCl、CsCl、GaAs等。无机物晶体的结构单元中原子可能多达100个，蛋白质晶体多达10000个。所有晶体的结构用点阵来描述，这种点阵的每个阵点上附有一群原子。这样一个原子群成为基元，基元在空间重复就形成晶体结构。下面我们就对这些定义作为更精确的叙述。
布拉维认为晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则的周期性的无限分布，这些点子的总体称为点阵Lattice。
空间点阵学说正确地反映了晶体内在结构长程有序的特征。它的正确性为后来的X射线衍射工作所证明。
格点lattice point ――空间点阵学说中所称的点子，代表着结构中相同的位置，我们把它叫做格点。
基元Basis――晶体结构中重复排列的具体单元，由一个或一群原子组成。
点阵中的格点一般代表基元（若晶体是由单一原子组成）或基元重心的位置。空间点阵是基元重复排列的方式，是晶体结构的数学抽象，它和晶体结构的关系为：空间点阵＋基元＝晶体结构。
+
lattice=
structure
crystal
basis
布拉菲格子A bravais lattice 是一种无限延伸的理想点阵，其中所有的格点周围环境都相同，在几何上是完全等价的。用生动的比喻来说，我们站在一个原子上还是另一个原子上将觉察不出任何差别。常以此判断某一点阵是否是布拉菲格子。A bravais lattice is an infinite array of discrete points with an arrangement and orientation that appears exactly the same, from whichever of the points the array is viewed.
晶列Lattice line ――分布在同一直线上的结点构成一个行列。一维布拉菲格子显然只有一个行列，二维和三维布拉菲格子有无穷多个行列。
原胞Primitive cell ――布拉菲格子的基本重复单元。布拉菲格子是由原胞周期性地重复排列而成，原胞的选取要能反映点阵的周期性，也要能反映晶格结构的对称性。重复地堆积这些原胞能够填满整个晶体空间而无任何缝隙。
魏格纳－赛茨(Wigner--Seitz)原胞Wigner-Seitz primitive cell ――也可以用如下的方式来选定一个原胞：(1) 把某个格点同所有与它相邻的格点用直线连接起来；(2) 在这些连线的中点处，作垂直线或垂直面。以这种方式围成的最小体积，就是魏格纳－赛茨原胞。这种选取方法最能反映晶体结构所具有的对称性。
2.2.2一维点阵 one-dimensional lattice
如图2.2.1，是一维布拉菲格子。
(1) 周期性Periodicity
一维布拉菲格子是由一种原子组成的无限周期性行列。前面讲过，周期性是晶体结构两个最重要的特点之一，有时把周期性叫做平移对称性translation symmetry 。平移是晶体的微观对称操作，是指晶体平移一个微观距离能使晶体结构复原的对称操作。
在图示的一维布拉菲格子中，所有相邻原子的间距都等于a ，把0平移a 到1，再平移a 图2.2.1 一维布拉菲格子(a)和原胞(b)及Wigner-Sertz 原胞的选取
到2，依此类推，因而a 为这个点阵的周期。
在一维的布拉菲格子中，一般有两种选取方法，如图2.2.1(b)和(c)所示。 (b)中的原胞两端的原子只有1/2属于该原胞，因而原胞只包含一个原子。(c)中原胞的选取方法是取该原子到相邻原子连线的中点之间的区域，称为Wigner-Sertz 原胞，简称WS 原胞。
(2) 对称性 Symmetry
一维布拉菲格子有下列对称要素：
对称中心Inversion operation ――任意格点或任意两相邻格点连线的中点。用?
1或C i 表示。 对称面Mirror reflections ――通过任意格点或任意两相邻格点连线的中点且垂直于行列的平面。用m 或C s 表示。
二度旋转轴Two-fold axis ――通过任意格点或任意两相邻格点连线的中点且垂直于行列的直线，旋转180°与自身重合。用2或C 2表示。有无穷多个二度旋转轴。
当然还包括一度旋转轴（1或C 1），即不动。
(3) 平移对称性的表示式：
基矢the translation primitive vector ――在一维布拉菲格子中，基矢有两种取法，一种是方向向左，一种是方向向右，大小都是a （这里，按通常的习惯，取向右为正）。则由 L L ,2,1,0,±±==n a n R n ， (2.2.1)
n 取不同值，就可以得到整个一维点阵。
前面讲过，布拉菲格子的特点就是每个原子周围的情况都一样。在图2.2.1中，离0点右边x 处的情况，和离1、2、3、……右边x 处的情况完全相同。
用数学语言可以这样表述――若Γ代表晶格的任一物理性质，则对于晶格内任一点x ，恒有
L L ,1,0),()(±=Γ=+Γn x a n x ， (2.2.2)
式中a 是周期。上式表示原胞中任一处x 的物理性质，同另一原胞对应处的物理性质相同。这就是一维布拉菲格子的平移对称性。
(4) 一维复式格子
晶格分为简单晶格和复式晶格两类。前面讲的简单晶格，每一个原胞中有一个原子；而在复式晶格中，每一个原胞中包含两个或更多个不等价原子。如图2.2.2，由两种原子组成的
一维格子。显然A 原子周围的情况和B 原子周围的情况不同。
原胞的选取如图2.2.2(b)或2.2.2(c)那样，原胞中包含A 、B 原子各一个。在图2.2.2(a)的行列中，A 原子构成一个布拉菲格子，B 原子也构成一个布拉菲格子。平移对称性的要求使得这两个布拉菲格子的周期相等，都是
a ，其实它们是同一种布拉菲格子。一维复式格子可以看成是这两个全同的布拉菲格子相对平移距离
b 穿套而成。
假设以某一个A 原子为原点，则A 原子的位置表示如下：
L L ,2,1,0,±±==n a n R nA ， (2.2.3)
B 原子的位置表示为：
L L ,2,1,0,±±=+=n a n b R nB 。 (2.2.4)
一维复式格子的平移对称性同样可以用式(2.2.2)表示。
即使在图2.2.2中的A 、B 是同一类型的原子，因为A 、B 原子周围的情况不同，它们也是不等价原子，同样组成的是复式格子。对于有两个以上的不等价原子组成的复式格子，也可以作同样的讨论。
2.2.3 二维点阵 Two-dimensional lattice
图2.2.2 一维复式格子(a)和原胞的选取
(b)&(c)
图2.2.3 二维布拉菲格子和原胞及Wigner-Sertz 原胞的选取
二维点阵又叫平面点阵，这种点阵的各结点分布在同一个平面内。平面点阵可以看成是由两组相交的平行晶列族组成，所有结点都位于重复排列的平行四边形的顶点上，如此划分的平面点阵称为平面格子或面网，面网上单位面积的结点数目称为面网密度。
(1) 二维布拉菲格子的周期性
如图2.2.3，是二维布拉菲格子。原胞取为平行四边形，有多种取法，原胞内包含一个原子，二维布拉菲格子就是由原胞重复排列而成。原胞的两个邻边确定为原胞的基矢，分别记作→a 和→
b ，夹角为γ。若取任一格点为原点，则所有格点的位置都可由下式求出： L L ,2,1,0,,2121±±=+=→→→l l b l a l R l 。 (2.2.5)
同一维的情况类似，二维布拉菲格子的平移对称性表示如下：
)()(→
→→Γ=+Γr R r l ， (2.2.6)
其中Γ代表晶格的任一物理性质。上式表示在一原胞内某点的情况和其他原胞内相应点的情况完全相同。 图2.2.3还显示了二维点阵的Wigner-Sertz 原胞的取法。这种原胞是由某格点到近邻格点连线的垂直平分线围成的多边形区域，它可以包含该点阵的所有对称性。
(2) 基本的转动操作
转动轴定理The law of rotation axis ――晶体中允许的转动对称轴只能是1，2，3，4，6重轴。
证明如下：
如图2.2.4所示，ABCD 为点阵中的任一行列。如果晶格绕通过某格点的直线转动θ角后能与自身重合，则该直线就成为晶格的转动轴，n =θ/360o 必为正整数，该转动轴成为n 重旋转轴。
先使转轴通过B 并与纸面垂直，顺时针转动θ角，结点A 转到E ；再使转轴通过C 并与纸面垂直，逆时针转动θ角，结点D 转到F 。要使晶格能与自身重合， E 和F 也必为格点，图2.2.4 基本的转动操作
因为E 、F 间的距离为
)cos 21(____
____θ+=BC EF ，
和____EF 应为____BC 的整数倍（设B 、C 为相邻的格点），则)cos 21(θ+必须等于整数。
因为1cos 1≤≤?θ，有 θcos 21+ ＝ -1， 0， 1， 2， 3；
θ ＝ 180?， 120?， 90?， 60?， 0?；
n =θ/360o ＝ 2， 3， 4， 6， 1。
因此晶体中只可能有1、2、3、4、6重旋转轴。
A typical symmetry operation is that of rotation about an axis that passed through a lattice point. Lattices can be found such that one-, two-, three-, four- and six-fold rotation axes carry the lattice into itself, corresponding to rotations by 2π, 2π/2, 2π/3, 2π/4, and 2π/6 radians and by integral multiples of these rotations. The rotation axes are denoted by the symbols 1, 2, 3, 4 and 6.
(3) 二维布拉菲格子的对称性
二维晶格有4个晶系，5种布拉菲格子，10个点群。
斜方晶系――o 90,≠≠γb a ，简单斜方Oblique lattice ，1, 2。
长方晶系――o 90,=≠γb a ，简单长方Rectangular lattice ，中心长方Centered rectangular lattice ，1m, 2mm 。
正方晶系――o 90,==γb a ，简单正方Square lattice ，4, 4mm 。
六角晶系――o 120,==γb a ，简单六角Hexagonal lattice ，3, 3m, 6, 6mm 。
（点群用国际符号，mm 表示有两个相互垂直的镜面，也可称为镜面轴，指镜面与二维平面的交线。）
图2.2.5 二维晶格的四个晶系
(5) 二维复式格子
如图2.2.6所示，是二维蜂房点阵。点阵中包含两种不等价的格点A 和B ，因而它不是一个布拉菲格子。原胞的选取方法如图2.2.6所示，每个原胞中包含A 、B 原子各一个。两基矢为→a 和→
b ，夹角o 120=γ，基矢大小有a b =的关系。若取任一A 格点为原点，则所有的A 格点的位置为 →→→+=b l a l R lA 21， (2.2.7)
所有的B 格点的位置为
L L ,2,1,0,,2121±±=++=→→→→l l b l a l r R B lB ， (2.2.8) 其中→→→
+=j a i a r B 6321。 所有的A 原子组成一个布拉菲格子，所有的B 原子也组成同样的布拉菲格子，这是一个简单六角的布拉菲格子。二维蜂房点阵可以看做是由上述布拉菲格子相对平移→
B r 穿套而成。 2.2.4 空间点阵 Three-dimensional lattice
在三维空间中表示晶体结构中等同点排列规律的几何图形。如图2.2.7(a)所示，是空间点阵示意图。
(1) 原胞和晶胞
图2.2.6 二维蜂房点阵和原胞的选取
点阵学说概括了晶体结构的周期性。晶体中所有的基元都是等同的。整个的晶体结构，可以看作是由这种基元沿空间三个不同的方向，各按一定的距离周期性地平移而构成。这个基元就是原胞A primitive cell 。
原胞通常是平行六面体，如图2.2.7(b)所示，它的顶点落在点阵的结点上，边长等于该方向上点阵的周期。三个方向的基矢分别为→1a 、→2a 和→
3a 。同一空间点阵因选取方式的不同，可以得到不同的原胞，因此原胞的选取方式不是唯一的。如果只要求反映晶格周期性的特征（即只须概括空间三个方向上周期的大小），原胞可以取最小的重复单元，结点只在顶角上，原胞的内部和面上不含结点。实际上，除了周期性之外，每种晶体还有自己特殊的对称性。为了同时反映晶体的对称性，结晶学上所取的原胞不一定最小，结点不仅在顶角上，也可以在体心或面心上，但原胞边长总是一个周期，并各沿三个晶轴的方向。结晶学原胞有时叫做晶胞(或单胞) Conventional cell ，它的三个基矢叫做轴矢，分别为→a 、→b 和→c ，三个轴矢间的夹角分别为α、β和γ。
晶胞的选取一般应遵循下面几个原则――(a) 选取的平行六面体应能反映点阵的最高对称性，(b) 平行六面体的棱和角相等的数目应最多，(c) 当平行六面体的棱之间的夹角存在直角时，直角的数目应最多，(d) 在满足上述条件下，晶胞应有最小的体积。对于各种晶体结构，在长期的研究过程中，人们已经形成了一套约定俗成的公认的选取原胞的方式。 (2) 平移对称性的表示式
(a) (b)
图2.2.7 空间点阵及原胞选取示意图
在空间点阵中，任取一个结点为原点，则所有结点在空间中的位置可表示为：
晶格平移矢量Crystal translation vector
L L ,2,1,0,,,321332211±±=++=→→→→l l l a l a l a l R l 。 (2.2.9)
与一维点阵和二维点阵类似，空间点阵的平移对称性The translation symmetry 可用下面的公式表示：
)()(→
→→Γ=+Γr R r l ， (2.2.10)
其中Γ代表晶格的某一物理性质，→r 为晶格中某一原胞中的任一位置。上式表示，晶格中任一原胞中某点的物理性质，与晶格中其它原胞相应处的物理性质相同，表示着晶格具有平移对称性。
关于晶格对称性的讨论，后面有两节专门讨论。 (3) 几种常见的布拉菲格子
结晶学中，属于立方晶系的布拉菲原胞有简单立方、体心立方和面心立方三种。这些晶胞的三个基矢长度相等并且互相垂直，即c b a ==，→→⊥b a , →→⊥c b ，→
→⊥a c 。属于六角晶系的布拉菲原胞只有简单六角，a ＝b ≠ c ，a 、b 的夹角为120?，→→⊥c b ，→→⊥a c 。下面分别介绍这四种布拉菲格子。 (a) 简单立方布拉菲格子Simple cubic lattice (sc)
原子在立方体的顶角上，原胞其它部分没有原子，这样的原胞自然也是最小的重复单元。每个原胞实际上只包含一个原子，因为顶角上的每一个原子为8个原胞所共有，所以它对一个原胞的贡献只有1/8。原胞的体积也是一个原子所占据的体积。晶胞的选取和原胞相同，因而基矢和轴矢的关系如下：
图2.2.8 简单立方布拉菲格子的固体物理学原胞和结晶学原胞
?????????===→→
→→→→
k a a j a a i a a 3
21
， (2.2.11) 其中→i 、→j 和→k 分别为直角坐标系X 、Y 和Z 坐标轴上的单位矢量。简单立方原胞的体积为： 3321)(a a a a =×?=Ω→
→→。
任一格点到它的近邻格点连线的中垂面围成简单立方晶格的WS 原胞。可以看到，WS 原胞和图2.2.8示原胞在形状和体积上都相同。 (b) 体心立方布拉菲格子Body-center cubic lattice (bcc)
除了顶角上有原子外，还有一个原子在立方体的中心，称为体心。乍看之下，顶角和体心上的原子周围情况似乎不同，实际上就整个空间的晶格来看，完全可把原胞的顶点取在原胞的体心上。这样心就变成角，角就变成心。所以顶角和体心上原子周围的情况完全一样，因此体心立方晶格仍然是布拉菲格子。不过晶胞中包含两个原子，固体物理学中常要求布拉菲格子原胞中只含一个原子，可以取如图2.2.9中黑线所围的平行六面体为原胞，其基矢为：
???????????++?=++?=++?=→→→→→→→→→→→→
)(2)(2)(2321
j i k a
a i k j a a k j i a a 。 (2.2.12)
图2.2.9 体心立方的布拉菲格子的结晶学原胞和固体物理学原胞
这个原胞的体积为33212
1)(a a a a =×?=Ω→→→，因而只包含一个原子。 同样的，体心立方晶格中任一格点到它的近邻格点连线的中垂面围成体心立方晶格的WS 原胞，形状是一个截角八面体，它有14个面，有8个是正六边形，6个是正方形。
(c) 面心立方布拉菲格子Face-center cubic lattice (fcc)
除了顶角上有原子外，在立方体的六个面的中心还有6个原子，称为面心。同样地，面心上的原子和顶角上的原子的情况实际上是一样的，因而面心立方晶格也是布拉菲格子。图
2.2.10左图所示的晶胞包含4个原子。也可以选取右图黑线所示的平行六面体为原胞，这是最小的原胞。它的基矢为：
???????????+=+=+=→→→→→→→→→
)
(2)(2)(2321
j i a
a i k a a k j a a 。 (2.2.13) 这个原胞的体积为33214
1)(a a a a =×?=Ω→→→，因而只包含一个原子。 同样的，面心立方晶格中任一格点到它的近邻格点连线的中垂面围成面心立方晶格的WS 原胞，形状是一个正十二面体，它的表面由十二个正方形组成。
(d) 简单六角布拉菲格子Simple hexagonal lattice (sh)
如图2.2.11左图所示，是简单六角晶格的晶胞，在六角柱体的顶角上有十二个原子，在上下底面的底心上有两个原子。顶角上的原子只有1/6属于这个晶胞，底心上的原子只有1/2属于这个晶胞，因而这个晶胞中包含3个原子。也可以选取右图黑线所示的平行六面体为原胞，这是最小的原胞。原胞和晶胞基矢间的关系为：
图2.2.10 面心立方的布拉菲格子的结晶学原胞和固体物理学原胞
???????????=+==→→→→→→→
k c a j a i a a i a a 321
2
32。 (2.2.14) 可以计算出晶胞的体积是c a 233/2，而原胞的体积是c a 23/2，因而原胞只包含一个原子。
简单六角晶格的WS 原胞也为六角柱体，高度等于晶胞的高度，底面积为晶胞底面积的3
1。 至于空间点阵中的复式格子，将会在下一节结合几种常见的晶体结构来讲解。
图2.2.11简单六角的布拉菲格子的结晶学原胞和固体物理学原胞
§2.3 几种常见的晶体结构 Simple Crystal Structures
上一节我们讲述了空间点阵的概念，原胞选取的原则和方法，以及立方晶系和六角晶系的布拉菲格子等内容。实际的晶体结构，例如碱金属Li 、Na 、K 、Rb 、Cs 都属于体心立方结构，金属Ag 、Al 、Cu 、Co(β)、Fe(γ)、Ni(β)、Pb 都属于面心立方结构。上述两组金属，每组金属相比较，它们只是原子间的距离不同，原子的排列方式完全相同。这些金属的晶体结构，都是有一种等价的原子所构成，因而都属于布拉菲格子。还有一些晶体，例如CsCl 、NaCl 、GaAs 、ZnS 、金刚石、硅、锗、钛酸钡等，它们的晶体结构中，包含两种以上的不等价原子，因而属于三维点阵的复式格子。
2.3.1氯化铯结构 Cesium Chloride Structure
如图2.3.1左图所示，是CsCl 晶体的晶胞。氯离子位于立方体的顶角上，铯离子位于立方体的中心。乍一看来，这种结构似乎是属于体心立方布拉菲格子，其实不然。右图显示，氯离子周围有8个铯离子，铯离子周围有8个氯离子。因为氯离子和铯离子是不等价的离子，因而这种结构必然是复式格子。从右图可以清楚地看到，同样可以取这样的晶胞，铯离子位于立方体的顶角上，而氯离子位于立方体的中心。所有的氯离子构成简单立方的布拉菲格子，所有的铯离子也构成同样周期的简单立方布拉菲格子。CsCl 晶体的结构可以看成是氯离子的布拉菲格子和铯离子的布拉菲格子沿立方体的对角线方向平移对角线长度的一半相互穿套而成。
一般地，对于由n 种不等价原子构成的复式晶格，这些不等价原子各自组成的布拉菲格子都是相同的，这是晶体平移对称性所要求的，复式格子就是由若干相同结构的子晶格相互位移穿套而成。若设点阵中任一原子的位置为原点，则所有原子的位置都可由下式给出：
→
→→→→+++=332211a l a l a l r R i li ， (2.3.1)
其中L L ,2,1,0=i 代表第i 种不等价原子，l 1、l 2、l 3＝L L ,2,1,0±±。
图2.3.1 CsCl 晶体的结构示意图
若选取图2.3.1左图所示的原胞，两种不等价离子的位置可简单表示为：
Cl ：(0, 0, 0)，Cs ：(21,21,21)。同样地，也可以这样表示，Cs ：(0, 0, 0)，Cl ：(21,21,2
1) CsBr 、CsI 、TiCl 、TiBr 、TiI 等晶体都属于CsCl 结构。
2.3.2氯化钠结构 Sodium Chloride Structure
氯化钠晶体是由钠离子和氯离子构成的一种典型的离子晶体，其结构如图2.3.2所示。在每一行列上相间地排列着正的钠离子和负的氯离子。
从图中可以看出，所有的钠离子构成面心立方布拉菲格子，所有的氯离子也构成同样的面心立方布拉菲格子。两个布拉菲格子沿立方体的对角线方向相对平移对角线长度的一半穿套而成。The lattice is face-centered cubic; the basis consists of one Na + ion and one Cl — ion separated by one-half the body diagonal of a unit cube. 可以以钠离子为顶点作出NaCl 晶体的原胞，原胞包含两个原子，一个是平行六面体顶角上的8个钠离子，每个钠离子有1/8属于该原胞，另一个是平行六面体中心的氯离子。在NaCl 晶体的晶胞中，包含4个氯离子和4个钠离子。若应用公式(2.3.1)来表示点阵中各结点的位置，则有
)0,0,0(=→Na r ，)21,21,21(=→
Cl r 。 或者反之
)0,0,0(=→Cl r ，2
1,21,21(=→Na r 。 而在一个NaCl 晶胞中总共含有8个离子，它们的位置为
Na ：)0,0,0(，)0,21,21(，21,0,21(，)2
1,21,0(
图2.3.2 NaCl 晶体的结构示意图
Cl ：)21,21,21(，21,0,0(，)0,21,0(，)0,0,2
1(。 此外，从图2.3.3也可以看出，氯离子和它最近邻的6个钠离子组成八面体结构Cl(Na)6，氯离子处于八面体的中心，钠离子位于八面体的顶角上。同样地，在NaCl 晶格中也可以找到Na(Cl)6八面体结构。
碱金属Li 、Na 、K 、Rb 和卤族元素F 、Cl 、Br 、I 的化合物都具有NaCl 晶体结构。
2.3.3金刚石结构 Diamond Structure
The diamond structure is the structure of the semiconductors silicon and germanium and is related to the structure of several important semiconductor binary compounds.
IV 族元素C 、
Si 、Ge 、Sn ，它们的外层有四个价电子，在大量的原子结合成固体的时候，可以形成金刚石结构。下面我们就以C 元素的金刚石晶格为例，详细地阐述这种结构的一些特点。
金刚石的空间点阵是面心立方，如图2.3.4(b) 所示。金刚石虽然是由一种原子组成，但是它的晶格是一个复式格子。除了在晶胞的顶角和面心上有原子外，还有四个原子分别位于四个空间对角线的1/4处，因而金刚石的晶胞中包含8个原子，而且在对角线上的原子和顶角面心上的原子周围的情况不同，它们是不等价的原子。如图2.3.4(a)所示，金刚石的晶格可以看成是两组不等价的C 原子所组成的面心立方布拉菲格子沿空间对角线相对平移1/4相互穿套而成。（为了清楚区分不等价原子，图中分别用红色和绿色表示）
金刚石中碳原子的结合是由于碳原子公共外壳层的四个价电子2s2p 3轨道杂化而形成共价键。每个碳原子和周围四个原子共价，组成四面体结构，键角为109o28'，一个碳原子在四图2.3.3 NaCl 晶体结构中的八面体
面体的中心，另外四个碳原子在四面体的顶角上，如图2.3.4(b)和(c)所示。从图2.3.4(d)可以看出，在晶格中存在着两种四面体，它们的方位是不同的。可以作出金刚石晶体的固体物理学原胞，原胞中包含两个碳原子，如前所述，这两个碳原子是不等价的。金刚石晶格是复式晶格，若用公式(2.3.1)来表示晶格中各原子的位置，则有
)0,0,0(I =→C r ，)4
1,41,41(II =→C r 。 而在一个NaCl 晶胞中总共含有8个离子，它们的位置为 CI ：)0,0,0(，)0,21,21(，)21,0,21(，)21,2
1,0( CII ：)41,41,41(，)43,43,41(，)43,41,4
3(，)41,43,43(。 碳、硅、锗、锡金刚石结构的晶格常数（即立方体晶胞的边长）分别为a = 3.567?、5.430
?、5.658 ?、6.49 ?。 2.3.4闪锌矿结构 Cubic Zinc Sulfide Structure
III 族元素Al 、Ga 、In 和V 族元素P 、As 、Sb 合成的III-V 族化合物以及SiC 、SiGe 等合金具有闪锌矿结构。如图2.3.5(a)所示，为GaAs 晶体的立方晶胞。闪锌矿晶体结构和金刚石结构有相同的几何图像，而不同之处在于，闪锌矿结构是双元晶体或者说其包含两种基体原子，在GaAs 晶体中包含Ga 原子和As 原子。两种原子分别构成相同周期的面心立方布拉菲格子，这两个格子沿空间对角线方向相对平移对角线长度的1/4相互穿套而成。GaAs 晶体的固体物理学原胞中包含Ga 原子和As 原子各一个。若用公式(2.3.1)来表示晶格中各原子的位置，则有
图2.3.4 金刚石晶体的结构示意图
第二章金属的晶体结构与结晶 教学目的及要求 通过本章的学习，使学生掌握常用纯金属的结构特点和性能特点，建立金属材料结构与性能之间的关系。 主要内容 1．材料的结合方式 2．金属的晶体结构与结晶 学时安排 讲课2学时。 教学重点 1．金属的三种典型的晶体结构 2．晶体缺陷及其对性能的影响 3．纯金属的结晶过程 教学难点 1．金属材料的晶体结构 2．各类缺陷对结构及性能的影响 第一节纯金属的晶体结构 一、晶体结构的基本概念 晶体结构：指在晶体内部，原子、离子或原子集团规则排列的方式。晶体结构不同，其性能往往相差很大。 晶格：为了便于分析研究，通常把将晶体中实际存在的原子、离子或原子集团等物质质点，抽象为空间中纯粹的几何点，而完全忽略它的物质性，这些抽象的几何点称为阵点。用假想的直线把这些阵点连接起来，得到周期性规则排列的三维空间格子称为晶格。 晶胞：组成晶格的能反映其特征和规律的最基本几何单元，称为晶胞。晶格可以看作是由许多大小和形状完全相同的晶胞紧密地堆垛在一起而成的。 晶格常数：晶胞各棱边的长度用a、b、c表示，称为晶格常数或点阵常数，其大小通常以埃为计量单位。晶胞各边之间的相互夹角分别以α、β、γ表示。a、b、c、α、β、γ称为晶胞的六个参数。 在研究晶体结构时，通常以晶胞作为代表来考查。
配位数和致密度：表示晶格中原子排列的紧密程度。 配位数：指晶格中与任一原子处于相距最近并距离相等的原子数目； 致密度（K）：指晶胞中原子排列的致密程度，即晶胞中原子所占的体积与晶胞体积（V）的比值，比值K越大，致密度越大。 二、金属中常见的晶体结构类型 三种典型晶体结构特征： 晶体结构与材料性能：（一般规律）面心立方的金属塑性最好，体心立方次之，密排六方的金属较差。 第二节实际金属中的晶体缺陷 一、常见晶体缺陷及分类 晶体缺陷：实际晶体中排列不规则的区域称为晶体缺陷。 分类：按空间尺寸分为三种。 1．点缺陷。不规则区域在空间三个方向上的尺寸都很小，主要是空位、置换原子、间隙原子。 2．线缺陷。不规则区域在一个方向的尺寸很大，在另外两个方向的尺寸都很小，主要是位错。 3．面缺陷：不规则区域在两个方向的尺寸很大，在另外一个方向的尺寸很小，主要是晶界和亚晶界。 二、晶体缺陷对晶体性能的影响 1．点缺陷周围晶格发生畸变，材料的屈服强度提高，塑性韧性下降，电阻增加。
第一章晶体的结构 一、填空体（每空1分） 1. 晶体具有的共同性质为长程有序、自限性、各向异性。 2. 对于简立方晶体，如果晶格常数为a，它的最近邻原子间距为 a ，次近邻原子间 ，原胞与晶胞的体积比1：1 ，配位数为 6 。 3. 对于体心立方晶体，如果晶格常数为a a2/，次近邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：2 ，配位数为8 。 4. 对于面心立方晶体，如果晶格常数为a 邻原子间距为 a ，原胞与晶胞的体积比1：4 ，配位数为12 。 5. 面指数(h1h2h3)所标志的晶面把原胞基矢a1,a2,a3分割,其中最靠近原点的平面在a1,a2,a3上的截距分别为__1/h1_,_1/h2__,__1/h3_。 6. 根据组成粒子在空间排列的有序度和对称性，固体可分为晶体、准晶体和非晶体。 7. 根据晶体内晶粒排列的特点，晶体可分为单晶和多晶。 8. 常见的晶体堆积结构有简立方（结构）、体心立方（结构）、面心立方（结构）和六角密排（结构）等，例如金属钠（Na）是体心立方（结构），铜（Cu）晶体属于面心立方结构，镁（Mg）晶体属于六角密排结构。 9. 对点阵而言，考虑其宏观对称性，他们可以分为7个晶系，如果还考虑其平移对称性，则共有14种布喇菲格子。 10.晶体结构的宏观对称只可能有下列10种元素：1 ，2 ，3 ，4 ，6 ，i ，m ，3，4，6，其中3和6不是独立对称素，由这10种对称素对应的对称操作只能组成32 个点群。 11. 晶体按照其基元中原子数的多少可分为复式晶格和简单晶格，其中简单晶格基元中有 1 个原子。 12. 晶体原胞中含有 1 个格点。 13. 魏格纳-塞茨原胞中含有 1 个格点。 二、基本概念 1. 原胞 原胞：晶格最小的周期性单元。 2. 晶胞 结晶学中把晶格中能反映晶体对称特征的周期性单元成为晶胞。 3. 散射因子 原子内所有电子在某一方向上引起的散射波的振幅的几何和，与某一电子在该方向上引起的散射波的振幅之比。 4. 几何结构因子 原胞内所有原子在某一方向上引起的散射波的总振幅与某一电子在该方向上所引起的散射
固体物理学第一章习题解答 1、简述晶态、非晶态、准晶态、单晶、多晶的特征和性质。 答：晶态：内部质点在三维空间呈周期性重复排列的固体为晶体。其特征是原子排列具有周期性，表现为既有长程取向有序又有平移对称性。晶态的共性质：（1）长程有序；（2）自限性和晶面角守恒；（3）各向异性；（4）固定熔点。 非晶态特点：不具有长程序。具有短程序。短程序包括：（1）近邻原子的数目和种类；（2）近邻原子之间的距离（键长）；（3）近邻原子配臵的几何方位（键角）。 准晶态是一种介于晶态与非晶态之间的新的状态。准晶态结构的特点：（1）具有长程的取向序而没有长程的平移对称序（周期性）；（2）取向序具有周期性所不能容许的点群对称；（3）沿取向序对称轴的方向具有准周期性，由两个或两个以上不可公度的特征长度按着特定的序列方式排列。 晶体又分为单晶体和多晶体：整块晶体内原子排列的规律完全一致的晶体称为单晶体；而多晶体则是由许多取向不同的单晶体颗粒无规则堆积而成的。 2、什么是布喇菲格子？画出氯化钠晶体的结点所构成的布格子。说明基元代表点构 成的格子是面心立方晶体，每个原胞包含几个格点。 答：布喇菲格子(或布喇菲点阵)是格点在空间中周期性重复排列所构成的阵列。布喇菲格子是一种数学抽象，即点阵的总体，其特点是每个格点周围的情况完全相同。实际工作中，常是以具体的粒子（原子、离子等）做格点，如果晶体由完全相同的一种原子组成，则由这些原子所组成的格子，称为布喇菲格子。 NaCl晶体的结点构成的布格子实际上就是面心立方格子。每个原胞中包含一个格点。
3、指出下列各种格子是简单格子还是复式格子。 （1）底心六角（在六角格子原胞底面中心存在一个原子） （2）底心立方（3）底心四方 （4）面心四方（5）侧心立方 （6）边心立方 并指出它们分别属于十四种布拉菲格子中的哪一种？ 答：要决定一个晶体是简单格子还是复式格子，首先要找到该晶体的基元，如果基元只包含一个原子则为简单格子。反之，则为复式格子。 （1）底心六角的原胞为AIBKEJFL所表示，它具有一个垂直于底面的四度旋转轴，它的原胞形状如图所示，是简单格子，属于单斜晶系。 （2）底心立方如下图所示，它的底面原子的排列情况可看出每个原子的周围情况都是相同的，因而都是等价的，所以它的基元也由一个原子组成，是简单格子，属于四角晶系。 （3）底心四方如下图所示，每个原子的周围情况完全相同，基元中只有一个原子，属于简单格子，属于四角晶系。
第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示刚性原子球半径，V表示晶胞体 积，则致密度ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2，3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，因为晶胞空间对角线的长度为, , 4 33a V r a= =晶胞内包含2个原子，所以 ρ=π π 8 3 ) ( * 2 3 3 4 3 3 4 = a a
图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图 1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ=6 2)( *4334234 ππ=a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切， 图 1.5 六角晶胞 图 1.6 正四面体 晶胞内的原子O 与中心在1，3，4，5，7，8处的原子相切，即O 点与中心在5，7，8处的原子分布在正四面体的四个顶上，因为四面体的高 h =2 23232c r a == 晶胞体积 V = 222 360sin ca ca =ο, 一个晶胞内包含两个原子，所以 ρ=ππ62) (*2223 3234 =ca a .
第 2 章结晶结构 一、名词解释 1．晶体：晶体是内部质点在三维空间内周期性重复排列，具有格子构造的固体 2．空间点阵与晶胞： 空间点阵是几何点在三维空间内周期性的重复排列 晶胞：反应晶体周期性和对称性的最小单元 3．配位数与配位多面体： 化合物中中心原子周围的配位原子个数 成配位关系的原子或离子连线所构成的几何多面体 4．离子极化： 在离子化合物中，正、负离子的电子云分布在对方离子的电场作用下，发生变形的现象5．同质多晶与类质同晶： 同一物质在不同的热力学条件下具有不同的晶体结构 化学成分相类似物质的在相同的热力学条件下具有相同的晶体结构 6．正尖晶石与反尖晶石： 正尖晶石是指2价阳离子全部填充于四面体空隙中，3价阳离子全部填充于八面体空隙中。 反尖晶石是指2价阳离子全部填充于八面体空隙中，3价阳离子一半填充于八面体空隙中，一半填充于四面体空隙。 二、填空与选择 1．晶体的基本性质有五种：对称性，异相性，均一性，自限性和稳定性（最小内能性）。 2．空间点阵是由 C 在空间作有规律的重复排列。（ A 原子 B离子 C几何点 D分子）3．在等大球体的最紧密堆积中有面心立方密堆积和六方密堆积二种排列方式，前者的堆积方式是以（111）面进行堆积，后者的堆积方式是以（001）面进行堆积。 4．如晶体按立方紧密堆积，单位晶胞中原子的个数为 4 ，八面体空隙数为 4 ，四面体空隙数为 8 ；如按六方紧密堆积，单位晶胞中原子的个数为 6 ，八面体空隙数为 6 ，四面体空隙数为 12 ；如按体心立方近似密堆积，单位晶胞中原子的个数为 2 ， 八面体空隙数为 12 ，四面体空隙数为 6 。 5．等径球体最紧密堆积的空隙有两种：四面体空隙和八面体空隙。一个球的周围有 8个四面体空隙、 6 个八面体空隙；n个等径球体做最紧密堆积时可形成 2n 个四面体空隙、 n 个八面体空隙。不等径球体进行堆积时，大球做最紧密堆积或近似密堆积，小球填充于空隙中。
第二章纯金属的结晶 2-1 a）试证明均匀形核时，形成临界晶粒的△Gk与其体积V之间关系式为△Gk=V△Gv/2 b）当非均匀形核形成球冠状晶核时，其△Gk与V之间的关系如何？ 答： 2-2 如果临界晶核是边长为a的正方体，试求出△Gk和a之间的关系。为什么形成立方体晶核的△Gk比球形晶核要大。 答：
2-3 为什么金属结晶时一定要由过冷度？影响过冷度的因素是什么？固态金属熔化时是否会出现过热？为什么？ 答： 金属结晶时需过冷的原因： 如图所示，液态金属和固态金属的吉布斯自由能随温度的增高而降低，由于液态金属原子排列混乱程度比固态高，也就是熵值比固态高，所以液相自由能下降的比固态快。当两线相交于Tm温度时，即Gs=Gl，表示固相和液相具有相同的稳定性，可以同时存在。所以如果液态金属要结晶，必须在Tm温度以下某一温度Tn，才能使G s＜Gl，也就是在过冷的情况下才可自发地发生结晶。把Tm-Tn的差值称为液态金属的过冷度 影响过冷度的因素： 金属材质不同，过冷度大小不同；金属纯度越高，则过冷度越大；当材质和纯度一定时，冷却速度越大，则过冷度越大，实际结晶温度越低。 固态金属熔化时是否会出现过热及原因： 会。原因：与液态金属结晶需要过冷的原因相似，只有在过热的情况下，Gl＜G s，固态金属才会发生自发地熔化。 2-4 试比较均匀形核和非均匀形核的异同点。 答： 相同点： 1、形核驱动力都是体积自由能的下降，形核阻力都是表面能的增加。
2、具有相同的临界形核半径。 3、所需形核功都等于所增加表面能的1/3。 不同点： 1、非均匀形核的△Gk小于等于均匀形核的△Gk，随晶核与基体的润湿角的变 化而变化。 2、非均匀形核所需要的临界过冷度小于等于均匀形核的临界过冷度。 3、两者对形核率的影响因素不同。非均匀形核的形核率除了受过冷度和温度的 影响，还受固态杂质结构、数量、形貌及其他一些物理因素的影响。 2-5 说明晶体生长形状与温度梯度的关系。 答： 液相中的温度梯度分为： 正温度梯度：指液相中的温度随至固液界面距离的增加而提高的温度分布情况。负温度梯度：指液相中的温度随至固液界面距离的增加而降低的温度分布情况。固液界面的微观结构分为： 光滑界面：从原子尺度看，界面是光滑的，液固两相被截然分开。在金相显微镜下，由曲折的若干小平面组成。 粗糙界面：从原子尺度看，界面高低不平，并存在着几个原子间距厚度的过渡层，在过渡层中，液固两相原子相互交错分布。在金相显微镜下，这类界 面是平直的。 晶体生长形状与温度梯度关系： 1、在正温度梯度下：结晶潜热只能通过已结晶的固相和型壁散失。 光滑界面的晶体，其显微界面-晶体学小平面与熔点等温面成一定角度，这种情况有利于形成规则几何形状的晶体，固液界面通常呈锯齿状。 粗糙界面的晶体，其显微界面平行于熔点等温面，与散热方向垂直，所以晶体长大只能随着液体冷却而均匀一致地向液相推移，呈平面长大方式，固液界面始终保持近似地平面。 2、在负温度梯度下： 具有光滑界面的晶体：如果杰克逊因子不太大，晶体则可能呈树枝状生长；当杰克逊因子很大时，即时在较大的负温度梯度下，仍可能形成规则几何形状的晶体。具有粗糙界面的晶体呈树枝状生长。 树枝晶生长过程：固液界面前沿过冷度较大，如果界面的某一局部生长较快偶有突出，此时则更加有利于此突出尖端向液体中的生长。在尖端的前方，结晶潜热散失要比横向容易，因而此尖端向前生长的速度要比横向长大的速度大，很块就长成一个细长的晶体，称为主干。这些主干即为一次晶轴或一次晶枝。在主干形成的同时，主干与周围过冷液体的界面也是不稳的的，主干上同样会出现很多凸出尖端，它们会长大成为新的枝晶，称为称为二次晶轴或二次晶枝。二次晶枝发展到一定程度，又会在它上面长出三次晶枝，如此不断地枝上生枝的方式称为树枝状生长，所形成的具有树枝状骨架的晶体称为树枝晶，简称枝晶。 2-6 简述三晶区形成的原因及每个晶区的特点。 答： 三晶区的形成原因及各晶区特点： 一、表层细晶区
第二章材料中的晶体结构 基本要求：理解离子晶体结构、共价晶体结构。掌握金属的晶体结构和金属的相结构，熟练掌握晶体的空间点阵和晶向指数和晶面指数表达方法。 重点：空间点阵及有关概念，晶向、晶面指数的标定，典型金属的晶体结构。难点：六方晶系布拉菲指数标定，原子的堆垛方式。 §2.1 晶体与非晶体 1.晶体的定义：物质的质点(分子、原子或离子)在三维空间作有规律的周期性重复排列所形成的物质叫晶体。 2. 非晶体：非晶体在整体上是无序的；近程有序。 3. 晶体的特征 周期性 有固定的凝固点和熔点 各向异性 4.晶体与非晶体的区别 a.根本区别：质点是否在三维空间作有规则的周期性重复排列 b.晶体熔化时具有固定的熔点,而非晶体无明显熔点,只存在一个软化温度范围 c.晶体具有各向异性，非晶体呈各向同性（多晶体也呈各向同性，称“伪各向同性”） 5.晶体与非晶体的相互转化 思考题： 常见的金属基本上都是晶体,但为什么不显示各向同性? §2.2 晶体学基础 §2.2.1 空间点阵和晶胞 1.基本概念 阵点、空间点阵 晶格 晶胞：能保持点阵特征的最基本单元
2.晶胞的选取原则： （1）晶胞几何形状能够充分反映空间点阵的对称性； （2）平行六面体内相等的棱和角的数目最多； （3）当棱间呈直角时，直角数目应最多； （4）满足上述条件，晶胞体积应最小。 3. 描述晶胞的六参数 §2.2.2 晶系和布拉菲点阵 1.晶系 2. 十四种布拉菲点阵 晶体结构和空间点阵的区别 §2.2.3 晶面指数和晶向指数 晶向：空间点阵中各阵点列的方向。 晶面：通过空间点阵中任意一组阵点的平面。 国际上通用米勒指数标定晶向和晶面。 1.晶向指数的标定 (1)建立以晶轴a，b，c为坐标轴的坐标系，各轴上的坐标长度单位分别是晶胞边
7、体心立方元素晶体，［111］方向上的结晶学周期为多大？实际 周期为多大？ ［答］对于晶胞，基矢为a，b，c，格矢为c + h+ =，因此， a b R l k 体心立方元素晶体［111］方向上的结晶学周期是立方体的体对角线，其长度为a3（a为立方体的边长）；实际周期为a3／2。 8、非晶态材料的基本特点是什么？ ［答］非晶态材料的基本特点是：失去了晶体材料的长程有序性，而具有短程有序性。其短程有序性包括：近邻原子的种类、数目；近邻原子的间距以及近邻原子配置的几何方位。 9、什么是表面的弛豫与重构？ ［答］晶体表面附近垂直于表面的面间距与晶体内部的差别称为弛豫。多数弛豫只表现在表层原子与次表层原子之间距离的下降。 晶体中表层原子排列的周期与晶体内部不同的情形称为重构。多是在半导体材料中有这种现象。 11、简述晶面角守恒定律，并说明晶体的晶面角守恒的原因。
［答］同一品种的晶体，两个对应晶面（或晶棱）之间的夹角恒定不变，这就是晶面角守恒定律。 对于同一品种的晶体，尽管外界条件的变化使晶体的外形不同，但其内部结构相同，其共同性就表现为晶面夹角的守恒。 二、填空题(fill in the blanks)(并用英语表达) 1、构成阵点的具体原子、离子、分子或其集团，都是构成晶体的 基本结构单元，当晶体中含有数种原子时，这数种原子构成的基 本结构单元，称为 基元（basis ） 。 2、布喇菲格子的格点可以看成分列在一系列相互平行的直线上而 无遗漏，这样的直线叫 晶列(crystal array ) , 晶列的取向称 为 晶向（crystal direction ）, 一组能表示晶列方向的数称 为 晶向指数（indices of crystal direction ） 。 3、布喇菲格子的格点，也可以看成分列在相互平行、间距相等的 平面上而无遗漏，这些包含格点的平面称为 晶面（crystal face ） ；而那些相互平行、间距相等、格点分布情况相同的总 体，称为 晶面族(crystal face cluster) ；同一格子可能有 无 穷多（endless ）个取向的晶面族。能够标志晶面取向的一组数， 称为 晶面指数(indices of crystal face )。 4、正格子基矢与倒格子基矢之间满足 。正格 矢与倒格矢的关系为 ( μ为整数） 。 ij j i δ=?b a πμ2=?h l K R
第二章金属及合金的晶体结构 金属材料是指以金属键来表征其特性的材料，它包括金属及其合金。金属材料在固态下通常都是晶体状态，所以要研究金属及合金的结构就必须首先研究晶体结构。 一、晶体的基本概念 晶体结构指晶体内部原子规则排列的方式。晶体结构不同，其性能往往相差很大。为了便于分析研究各种晶体中原子或分子的排列情况，通常把原子抽象为几何点，并用许多假想的直线连接起来，这样得到的三维空间几何格架称为晶格，如图2-3（b）所示；晶格中各连线的交点称为结点；组成晶格的最小几何单元称为晶胞，晶胞各边的尺寸a、b、c称为晶格常数，其大小通常以为计量单位（A），晶胞各边之间的相互夹角分别以α、β、γ表示。图2-3（c）所示的晶胞为简单立方晶胞，其晶格常数a=b=c，而α=β=γ=90o。由于晶体中原子重复排列的规律性，因此晶胞可以表示晶格中原子排列的特征。在研究晶体结构时，通常以晶胞作为代表来考查。 为了描述晶格中原子排列的紧密程度，通常采用配位数和致密度（K）来表示。配位数是指晶格中与任一原子处于相等距离并相距最近的原子数目；致密度是指晶胞中原子本身所占的体积百分数，即晶胞中所包含的原子体积与晶胞体积（V）的比值。 图2-3 简单立方晶体 （a）晶体结构（b）晶格（c）晶胞 二、常见纯金属的晶格类型 在金属元素中，除少数具有复杂的晶体结构外，大多数具有简单的晶体结构，常见的晶格类型有以下三种：1．体心立方晶格 体心立方晶格的晶胞如图2-4所示。它的形状是一个立方体，其晶格常数a=b=c，所以只要一个常数a即可表示；其α=β=γ=90o。在体心立方晶胞中，原子位于立方体的八个顶角和中心。属于这类晶格的金属有α-Fe、Cr、V、W、Mo、Nb等。
晶体结构分类方法
(B) 2.1 符号中的第一个大写字母表示结构的类型，后面的数字为第个大写字母表示结构的类型后面的数字为顺序号，不同的顺序号表示不同的结构，例如A1是铜型结 结构等。 构，B2是CsCl型结构等，C3是FeS 2
Pearson符号 它所属的布喇菲点阵类型（例如P、I、F、C等），第三个数 等） 字表示单胞中的原子数。 2.2 金属单质的晶体结构 在元素周期表中，共有70多种金属元素。
由于金属键不具有饱和性和方向性，使金属的晶体结构倾向配位数（
将用原子刚性球模型讨论每个单胞所含的原子数以及这些构中的间隙等。 2.2.1 面心立方结构 结构符号是A1，Pearson 符号是c F4。 原子坐标为0 0 0，0 1/2 1/2，1/2 0 1/2和1/2 1/2 0 每个晶胞含4个原子 最紧密排列面是{111}，密排方向 是<110>。原子直径是a/2<110>的 长度，即 面心立方结构的晶胞体积为a 3， 晶胞内含4个原子，所以它的致密 度η为4 2a r =423443443 3 33? ??? ????×=×=ππηa r 每个原子有个最近邻原子，它的 配位数（CN ）是12。 74 .062 ==πa a
面心立方结构的最密 排面是{111}，面心立 方结构是以{111}最密 排面按一定的次序堆 垛起来的。 第一层{111}面上有两个 可堆放的位置：▲和▼位 可堆放的位置▲和▼位 置，在第二层只能放在一 种位置，在面上每个球和 下层3个球相切，也和上 层3个球相切。 第一层为A，第 二放在B 位置， 第三层放在C 位 置，第四层在 置第四层在 放回A位置。 {111}面 按…abcabc… 顺序排列，这 就形成面心立 方结构。
《固体物理学答案》第一章晶体的结构
第一章、晶体的结构 习题 1．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密 度分别为： （1）简立方， 6 π ; （2）体心立方, ; 8 3 π （3）面心立方，; 6 2 π（4）六角密积，; 6 2 π （5）金刚石结构，; 16 3 π [解答] 设想晶体是由刚性原子球堆积而成，一个晶胞中刚性原子 球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致 密度， 设n为一个晶胞中的刚性原子球数,r表示 刚性原子球半径，V表示晶胞体积，则致密度 ρ= V r n3 3 4 π （1）对简立方晶体，任一个原子有6个最近邻，若原 子以刚性球堆积，如图1.2所示，中心在1，2， 3，4处的原子球将依次相切，因为 , , 4 33a V r a= = 面1.2 简立方晶胞 晶胞内包含1个原子，所以 ρ= 6 ) ( 3 3 2 3 4π π = a a （2）对体心立方晶体，任一个原子有8个 最近邻，若原子刚性球堆积，如图1.3所示，体 心位置O的原子8个角顶位置的原子球相切，
因为晶胞空间对角线的长度为,,433a V r a ==晶胞内包含2个原子，所以 ρ= ππ8 3) ( *23 3 4 334= a a 图1.3 体心立方晶胞 （3）对面心立方晶体，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1.4所示，中心位于角顶的原子与相邻的3个面心原子球相切，因为3,42a V r a ==，1个晶胞内包含4个原子，所以 ρ = 6 2) ( *43 3 4 234ππ= a a . 图1.4面心立方晶胞 （4）对六角密积结构，任一个原子有12个最近邻，若原子以刚性球堆积，如图1。5所示，中心在1的原子与中心在2，3，4的原子相切，中心在5的原子与中心在6，7，8的原子相切，
第一章晶体结构 1.晶格实例 1.1面心立方（fcc）配位数12格点等价格点数4致密度0.74 原胞基矢： () () () 1 2 3 2 2 2 a a j k a a k i a a i j =+ =+ =+ 原胞体积3 123 ()/4 Ωa a a a =??= NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl- 具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag； Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等） 1.2简单立方（SC）配位数6格点等价格点数1致密度0.52 CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl- 钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3 氯化铯型结构： CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等 1.3体心立方（bcc）配位数8格点等价格点数2致密度0.68 原胞基矢： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a i j k a a i j k a a i j k =-++ =-+ =+- 原胞体积：3 123 ()/2 Ωa a a a =??= 体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等 1.4六角密堆（hcp）配位数12两种格点原子数6基元数3致密度0.74 典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等 1.5金刚石结构最近邻原子数4次近邻原子数12致密度0.34 晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B) *将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等 2.晶体的周期性结构 2.1基本概念 晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同
第二章 晶体结构 2．1 （1）证明：如图所示，六角层内最近邻原子间距为a ，而相邻两层间的最近邻原子间距为： ( )2 1 2 2 4 3 c a d +=， 当a d =时构成理想的密堆六角结构，此时有： ( )2 1 2 2 4 3 c a a +=， 由此解出，() 633.138 2 1==a c （2）解：（2）体心立方每个单胞包含2个基元，一个基元所占的体积为 23 c c a V = ， 单位体积内的格点数为. 1 Vc 六角密堆积每个单胞包含6个基元，一个基元所占的体积为 3 2 1 222 23843436/323a a a c a c a a V s = ? ?? ???==???? ? ????= 因为密度不变，所以 s c V V 11=，即：3 3 2 22/a a c = nm a a c s 377.02 /6 1== nm a c s 615.0633.1== 2.2证明: 设简单六角布拉菲格子基矢如图示 ：
∧ ∧∧ ∧ =+ = =z c a y a x a a x a a 321, 2 32 , 则其倒格子的三个基矢为 ()( )( ) ∧ ∧ ∧∧= == ?=???? ??-=?=z c b y a a a b y x a a a b ππ ππ ππ 223322233223 2133 211323 211 另知21,b b 的夹角为120度，且 a 34π= =，2313,b b b b ⊥⊥ 故简单六角布拉菲格子的倒格子仍为简单六角，倒格子的晶格常数分别为 a c 34, 2ππ，倒格 子相对于正格子绕c 轴旋转30度，(如图中标出321,,b b b 更清晰) 2．3 体心立方
Chapter Outline ?金属的晶体结构 ?密排面堆积方式 ?晶体结构间隙 ?固溶体 ?中间相结构
常见金属的晶体结构 面心立方结构（A1）face-centred cubic lattice 体心立方结构（A2） body-centred cubic lat tice 密排立方结构（A3）hexagonal close-packed lattice A B A ?金属键无饱和性和方向性，使其晶 体结构倾向于最紧密堆垛。 ?将原子看作刚性球，构成相互接触 圆球模型，更确切表示原子排列。 ?面心原子shared by 2 cells: 6 x 1/2 = 3?顶角原子shared by 8 cells: 8 x 1/8 = 1 面心立方结构金属：γ-Fe, Al, Cu, Ni, Au, Ag 和Pt 等。 面心立方结构 ?结构符号A1，Pearson 符号c F4。 ?每个晶胞含4个原子。(0,1/2,1/2)● (0,0,0) ●(1/2,1/2,0)●●(1/2,0,1/2)
配位数与致密度 面心立方结构的致密度η为?致密度η是衡量原子堆垛紧密程度的，为晶胞中原子所占体积(V a )与晶胞体积(V )的比值：η=V a / V ?面心立方晶胞面对角线为原子半径的4倍，即()r 24/=a ?配位数（Coordination Number——CN ）是晶体结构中每个原子的最近邻原子数目。a/2 2密排面{111}密排方向 <110> ?面心立方结构的配位数为12，最近 原子间距离为?结构符号A2，Pearson 符号c I2?每个晶胞含2个原子 体心立方结构 ?体心立方结构的金属包括：α-Fe, Cr, W, Mo, V 和Nb 等。 ?体心立方结构配位数为8，原子间距a/23?还有6个次近邻原子，间距为a ，相差15.5%。?体心配位数也表示为CN=8+6。 体心立方结构的致密度η为 体心立方晶胞体对角线为原子半径的4倍，即()r 34/=a 体心原子shared by 0 cells: 1 x 1 = 1 顶角原子shared by 8 cells: 8 x 1/8 = 1 (1/2 1/2 1/2)●(000)●密排面{110} 密排方向<111>
一、考试重点 晶体结构、晶体结合、晶格振动、能带论的基本概念和基本理论和知识 二、复习内容 第一章晶体结构 基本概念 1、晶体分类及其特点： 单晶粒子在整个固体中周期性排列 非晶粒子在几个原子范围排列有序（短程有序） 多晶粒子在微米尺度内有序排列形成晶粒，晶粒随机堆积 准晶体粒子有序排列介于晶体和非晶体之间 2、晶体的共性： 解理性沿某些晶面方位容易劈裂的性质 各向异性晶体的性质与方向有关 旋转对称性 平移对称性 3、晶体平移对称性描述： 基元构成实际晶体的一个最小重复结构单元 格点用几何点代表基元，该几何点称为格点 晶格、 平移矢量基矢确定后，一个点阵可以用一个矢量表示，称为晶格平移矢量 基矢 元胞以一个格点为顶点，以某一方向上相邻格点的距离为该方向的周期，以三个不同方向的周期为边长，构成的最小体积平行六面体。原胞是晶体结构的最小体积重复单元，可以平行、无交叠、无空隙地堆积构成整个晶体。每个原胞含1个格点，原胞选择不是唯一的 晶胞以一格点为原点，以晶体三个不共面对称轴（晶轴）为坐标轴，坐标轴上原点到相邻格点距离为边长，构成的平行六面体称为晶胞。
晶格常数 WS元胞以一格点为中心，作该点与最邻近格点连线的中垂面，中垂面围成的多面体称为WS原胞。WS原胞含一个格点 复式格子不同原子构成的若干相同结构的简单晶格相互套构形成的晶格 简单格子 点阵格点的集合称为点阵 布拉菲格子全同原子构成的晶体结构称为布拉菲晶格子。 4、常见晶体结构：简单立方、体心立方、面心立方、 金刚石 闪锌矿 铅锌矿
氯化铯 氯化钠 钙钛矿结构
5、密排面将原子看成同种等大刚球，在同一平面上，一个球最多与六个球相切，形成密排面 密堆积密排面按最紧密方式叠起来形成的三维结构称为密堆积。 六脚密堆积密排面按AB\AB\AB…堆积 立方密堆积密排面按ABC\ABC\ABC…排列 5、晶体对称性及分类： 对称性的定义晶体绕某轴旋转或对某点反演后能自身重合的性质 对称面 对称中心 旋转反演轴
第一章晶体结构和X射线衍射 1.1晶体的特征 微观特征固体分类(按结构) 晶体长程有序分为单晶体和多晶体 准晶体有长程取向性,而没有长程的平移对称性。 非晶体不具有长程序的特点，短程有序。 长程有序：至少在微米量级范围内原子排列具有周期性。 宏观特征 自限性、晶面角守恒、解理性、均匀性、晶体的各向异性、对称性、固定的熔点。 晶体的宏观特性是由晶体内部结构的周期性决定的，即晶体的宏观特性是微观特性的反映。 晶体结构及其描述 一、晶体结构 一个理想的晶体是由完全相同的结构单元在空间周期性重复排列而成的。所有晶体结构可以用晶格来描述，这种晶格的每个格点上附有一群原子，这样的一个原子群称为基元,基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 1.晶格+基元=晶体结构 (1)晶格
晶体的内部结构可以概括为是由一些相同的点子在空间有规则地做周期性无限分布，这些点子的总体称为晶格。 用矢量表示为： ) , , ( 3 2 1 3 3 2 2 1 1 取整数 n n n n n n+ + = 所对应的点的排列。晶格是晶体结构周期性的数学抽象。 (2)基元 在晶体中适当选取某些原子作为一个基本结构单元，这个基本结构单元称为基元。基元在空间周期性重复排列就形成晶体结构。 (3)格点 晶格中的点子代表着晶体结构中相同的位置，称为格点。一个格点代表一个基元，它可以代表基元重心的位置，也可以代表基元中任意的点子。 晶格+基元=晶体结构 二、原胞的分类 1.固体物理学原胞(简称原胞) 构造：取一格点为顶点，由此点向近邻的三个格点作三个不共面的矢量，以此三个矢量为边作平行六面体即为固体物理学原胞。 特点：格点只在平行六面体的顶角上，面上和内部均无格点，平均每个固体物理学原胞包含1个格点。它反映了晶体结构的周期性。 基矢：固体物理学原胞基矢通常用表示。 体积： ()321a a a Ω? ? = 2.结晶学原胞（单胞、晶胞、惯用晶胞） 构造：使三个基矢的主轴尽可能地沿空间对称轴的方向。它具有明显的对称性和周期性。
内容提要：通过讨论有代表性的氧化物、化合物和硅酸盐晶体结构， 用以掌握与本专业有关的各种晶体结构类型。介绍了实际晶体中点缺陷分 类；缺陷符号和反应平衡。固熔体分类和各类固熔体、非化学计量化学化 合物的形成条件。简述了刃位错和螺位错。 硅酸盐晶体结构是按晶体中硅氧四面体在空间的排列方式为孤岛状、组群状、链状、层装和架状五类。这五类的[SiO4]四面体中，桥氧的数目也依次由0增加到4， 非桥氧数由4减至0。硅离子是高点价低配位的阳离子。因此在硅酸盐晶体中，[SiO4] 只能以共顶方式相连，而不能以共棱或共面方式相连。表2-1列出硅酸盐晶体结构类型及实例。 表2-1 Array硅酸 盐晶 体的 结构 类型
真实晶体在高于0K的任何温度下，都或多或少地存在着对理想晶体结构的偏离，即存在着结构缺陷。晶体中的结构缺陷有点缺陷、线缺陷、面缺陷和复合缺陷之分，在无机材料中最基本和最重要的是点缺陷。 点缺陷根据产生缺陷的原因分类，可分为下列三类： （1）热缺陷（又称本征缺陷） 热缺陷有弗仑克儿缺陷和肖特基缺陷两种基本形式。 弗仑克儿缺陷是指当晶格热震动时，一些能量足够大的原子离开平衡位置而挤到晶格点的间隙中，形成间隙原子，而原来位置上形成空位，这种缺陷称为弗仑克儿缺陷。 肖特基缺陷是指如果正常格点上原子，热起伏后获得能量离开平衡位置，跃迁到晶体的表面，而在原正常格点上留下空位，这种缺陷称为肖特基缺陷。 （2）杂质缺陷（非本征缺陷） （3）非化学计量化学化合物 为了便于讨论缺陷反应，目前广泛采用克罗格-明克（Kroger-Vink）的点缺陷符号（见表2-2）。 表2-2 Kroger-Vink缺陷符号（以M2+X2-为例）
第一章晶体结构1.晶格实例 1.1面心立方（fcc）配位数12 格点等价格点数4 致密度0.74 原胞基矢： () () () 1 2 3 2 2 2 a a j k a a k i a a i j =+ =+ =+ v v v v v v v v v 原胞体积3 123 ()/4 Ωa a a a =??= v v v NaCl: 两组面心立方格子平行穿套而成的复式格子基元= Na+ + Cl- 具有面心立方：简单格子（Al、Cu、Ag；Ar Kr Xe Ne）、复式格子（Cao MgS 碱卤族等） 1.2简单立方（SC）配位数6 格点等价格点数1 致密度0.52 CsCl两组简单立方格子穿套而成的复式结构基元= Cs+ + Cl- 钙钛矿结构：CaTiO3五个简单立方穿套而成基元：Ca、Ti、OI、OII、OIII (OI、OII、OIII 的化学环境各不相同，氧八面体) 典型晶体：BaTiO3、PbZrO3、LiNbO3、LiTaO3?? 氯化铯型结构：CsCl, CsBr, CsI, TlCl, TlBr, TlI 等 1.3体心立方（bcc）配位数8 格点等价格点数2 致密度0.68 原胞基矢： 1 2 3 () 2 () 2 () 2 a a i j k a a i j k a a i j k =-++ =-+ =+- v v v v v v v v v v v v 原胞体积：3 123 ()/2 Ωa a a a =??= v v v 体心立方晶体: 碱金属、W、Mo、Nb、V、Fe等 1.4六角密堆（hcp）配位数12 两种格点原子数6 基元数3 致密度0.74 典型晶体举例：He, Be, Mg, Ti, Zn, Cd, Co, Y, Lu 等 1.5金刚石结构最近邻原子数4 次近邻原子数12 致密度0.34 晶体结构=布拉维格子（面心立方）+ 基元(A+B) *将金刚石结构中的基元置换成一对硫离子和锌离子，则为两个面心立方复合而成的复式结构，典型晶体：SiC, ZnSe, AlAs, GaP, GaAs 等 2.晶体的周期性结构 2.1基本概念 晶体：1. 化学性质相同 2. 几何环境相同
习题集部分参考答案 2金属的晶体结构 思考题 1.晶体和非晶体的主要区别是什么？ 答：晶体和非晶体的区别在于内部原子的排列方式。晶体内部的原子（或分子）在三维空间按一定规律作周期性排列，而非晶体内部的原子（或分子）则是杂乱分布的，至多有些局部的短程规律排列。因为排列方式的不同，性能上也有所差异。晶体有固定的熔点，非晶体没有，晶体具有各向异性，而非晶体则是各向同性。 2.何为各向异性？ 答：各向异性是指晶体的某些物理性能和力学性能在不同方向上具有不同的数值。 3.为什么单晶体呈各向异性，而多晶体通常呈各向同性？ 答：单晶体是原子排列方位完全一致的一个晶粒，由于在不同晶向上原子密度不同，原子间的结合力不同，因而导致在单晶体中的各个方向上性能差异。 对于多晶体中的任意一个晶粒来看，基本满足单晶体的特征，呈现各向异性，但是在多晶体系统中，单一晶粒的各向异性已经被周围其他位向的晶粒所“干扰”或“抵消”，整个多晶系统呈现其各向同性。 4.什么叫晶体缺陷？晶体中可能有哪些晶体缺陷？他们的存在有何实际意义？ 答：晶体缺陷是指金属晶体中原子排列的不完整性。常见的晶体缺陷有点缺陷、线缺陷和面缺陷三类，它们都会造成材料的晶格畸变。 点缺陷是指呈点状分布的缺陷，包含有空位、间隙原子和置换原子等，它对材料中的原子扩散、固态相变，以及材料的物理性能（电阻、体积、密度）等都会产生重大影响。过饱和的点缺陷还可以提高材料的强度。 线缺陷是各种类型的位错。对材料的变形、扩散以及相变起着非常大的作用。特别它很好地解释了塑性变形的微观机理，使我们了解到滑移是借助于位错的运动来实现的。当位错密度不高的情况下，位错支持了滑移，材料的塑性很好，但是当位错密度达到了较高的水平时，位错间的相互作用会造成位错的彼此“纠缠”，使滑移运动受阻，这时表现出材料的塑性变形的抗力提高，材料的强度提高。 金属晶体中面缺陷主要有晶界、亚晶界、孪晶界和相界等。比如：晶界处原子的平均能量比晶内高，在高温时，晶粒容易长大。晶界和亚晶界均可提高金属的强度。单位体积中的晶粒数目越多，晶界面积越大，晶格畸变越严重，材料的强度越高，同时材料的塑性也较好（同样的变形量可以分散到更多的晶粒中去进行，说明材料可以承受更大的变形量）。
第二章 晶体的结构习题 1．晶面指数为（123）的晶面ABC 是离原点O 最近的晶面，0A ，0B 和0C 分别与基矢1a ，2a 和3a 重合，除0点外，0A ，0B ，和0C 上是否有格点若ABC 面的指数为（234），情况又如何 (答案: 只有A 点是格点; A 、B 、和C 都不是格点) 2．在结晶学中，晶胞是按晶体的什么特性选取的 3. 在晶体衍射中，为什么不能用可见光 4．温度升高时，衍射角如何变化X 光波长变化时，衍射角如何变化 (答案: 衍射角变小; 衍射角变大) 5．以刚性原子球堆积模型，计算以下各结构的致密度（一个晶胞中刚性原子球占据的体积与晶胞体积的比值称为结构的致密度）分别为： （1）简立方，6π ； （2）体心立方，π83 ；（3）面心立方，π62 ； （4）金刚石结构，π16 3 。 6． 在立方晶胞中，画出（101），（021）晶面。 | 7. 六角晶胞的基矢 j a ai a 223+=, j a ai b 2 23+-=，ck c =。求其倒格基矢。 (答案: )33(2*j i a a +=π, )33(2*j i a b +-=π,k c c π2*=) 8． 证明以下结构晶面族的面间距： （1） 立方晶系：2/1222][-++=l k h a d hkl ； （2） （2）正交晶系：2/1222])()()[(-++=c l b k a h d hkl ； （3）六角晶系：2/12222])()(34[-+++=c l a hk k h d hkl 。 9．求晶格常数为a 的面心立方和体心立方晶体晶面族)(321h h h 的面间距。 (答案:2 /1232123212321])()()[(h h h h h h h h h a -+++-+++-; 2/1221213232])()()[(h h h h h h a +++++)。