第1章概率论基础
(4) 事件
1
n
p=lim
A
[∑n x ]
概率理论的三个最基本概念
的事件，其概率数值为1，即
[]1
P Ω=公理4：事件概率对于事件具有可加性。
若事件A 与B 互相排斥，即
为不可能事件
A B φ=∩φ那么，事件的概率是事件A 的概率加上事件B 的概率，即A B ∪[][][]
P A B P A P B =+∪公理3：随机试验中的样本空间是一个必然出现
Ω
()01
P A ≤≤()()()
P AB P A P A B ≤≤∪()()P A P B ≤A B
?，如果事件的基本运算：
非、加（或）、减、乘（与）、除（条件）
事件概率的基本性质：
()=0
P ?③基本性质与事件运算
例1.1掷均匀硬币实验：
一次投掷与相继两次投掷硬币，观察出现正面或反面结果的试验。
实验1: 为一次投掷观察硬币正、反面出现
(1) 其样本空间
其中，H 表示正面出现，T 表示反面出现
1(,)
H T Ω=
(2) 事件域：
(3) 由硬币的均匀特性可得：
{}{}1/2,
P H P T =={}{}{}
,,,F H T =?Ω{}{}0,1
P P ?=Ω=
实验2：连续二次投掷观察硬币正、反面出现
其样本空间：
s0＝（前一次投掷出现正，后一次投掷出现正）＝（正，正）
s1＝（正，反）
s2＝（反，正）
s3＝（反，反）
显然，P
0=1/4，P1=1/4，P2=1/4，P3=1/4 2
(,0,1,2,3)
i
s i
Ω==
2 .条件概率与独立性
②概率的链式规则
n 个事件之积1
2121
......n i n n
i A A A A A A A ===∩∩∩∩1
[]n i i P A =∩这一事件的概率有关系式：
12323411[][|...][|...]...[|][]n
i n n n n n i P A P A A A A P A A A A P A A P A ?==∩式中，假定23[]0
n P A A A ≥…
③全概率公式
第四章 窄带随机过程 4.1 希尔伯特变换和解析过程 4.1.1 希尔伯特变换 一． 希尔伯特变换的定义 设有实信号)(t x ，它的希尔伯特变换记作)(?t x 或)]([t x H ，并定义为 ττ τπd t x t x H t x ?∞ ∞--==) (1 )]([)(? 用'ττ +=t 代入上式，进行变量替换，可得到上式的等效形式为： '' ) '(1 )(?τττπd t x t x ?∞ ∞-+-= 也可得 '' ) '(1 )(?τττπd t x t x ?∞ ∞--= 希尔伯特反变换为 ττ τπd t x t x H t x ?∞ ∞----==)(?1 )](?[)(1 经变量替换后得 ττ τπττ τπd t x d t x t x ? ? ∞ ∞ -∞ ∞ -+= -- =)(?1 )(?1 )( 二． 希尔伯特变换的性质 1. 希尔伯特变换相当于一个0 90的理想移相器。
从定义可以看出，希尔伯特变换是)(t x 和t π1 的卷积，即 t t x t x π1 *)()(?= 于是，可以将 )(?t x 看成是将)(t x 通过一个具有冲激响应为t t h π1 )(=的线性滤波器的输出。由冲激响应可得系统的传输函 数为 )sgn()(ωωj H -= 式中，)sgn(ω为符号函数，其表达式为 010 1)sgn(<-≥= ωωω 可得滤波器的传输函数为 00 )(<≥-=ωωωj j H 即 1)(=ωH 2 02 )(<≥- = ωπ ωπ ω? 上式表明，希尔伯特变换相当于一个090的理想移相器。 由上述分析可得，)(?t x 的傅立叶变换)(?ωX 为
第一章 1、有朋自远方来，她乘火车、轮船、汽车或飞机的概率分别是0.3，0.2，0.1和0.4。如果她乘火车、轮船或者汽车来，迟到的概率分别是0.25，0.4和0.1，但她乘飞机来则不会迟到。如果她迟到了，问她最可能搭乘的是哪种交通工具？ 解：()0.3P A =()0.2P B =()0.1P C =()0.4 P D = E －迟到，由已知可得 (|)0.25(|)0.4(|)0.1(|)0 P E A P E B P E C P E D ==== 全概率公式： ()()()()(P E P E A P E B P E C P E D =+++ 贝叶斯公式： ()(|)()0.075 (|)0.455()()0.165(|)()0.08 (|)0.485 ()0.165 (|)()0.01 (|)0.06 ()0.165(|)() (|)0 ()P EA P E A P A P A E P E P E P E B P B P B E P E P E C P C P C E P E P E D P D P D E P E ?= ===?===?===?== 综上：坐轮船 3、设随机变量X 服从瑞利分布，其概率密度函数为2 2 22,0 ()0,0X x x X x e x f x x σσ-??>=?? ，求期望()E X 和方差()D X 。 考察： 已知()x f x ，如何求()E X 和()D X ？ 2 2222 2()()()[()]()()()()()()()x x E X x f x dx D X E X m X m f x dx D X E X E X E X x f x dx ∞ -∞ ∞ -∞ ∞ -∞ =?=-=-=-?=???? 6、已知随机变量X 与Y ，有1,3, ()4,()16,0XY EX EY D X D Y ρ=====， 令3,2,U X Y V X Y =+=-试求EU 、EV 、()D U 、()D V 和(,)Cov U V 。 考察随机变量函数的数字特征
《随机信号分析基础》 期末论文 题目：随机信号分析理论的应用综述 学院：电子信息工程学院 班级： 姓名： 学号： 指导老师：武晓嘉 2015年12月13日
随机信号分析理论的应用综述 电子131502班 李泓 1、概述 随机现象的科学研究使于17世纪中叶，到1933年苏联数学家柯尔莫哥洛夫出版了《概率论基础》一书，奠定了将随机现象的科学研究作为数学的一个分支的基础。随机信号分析作为随机现象的研究方向之一，是一门研究随机变化过程的特点与规律性的学科。 2、主要内容 随机信号分析理论主要研究随机信号以及与系统的相互作用，是随机与信号分析的结合。随机性的分析运用概率论的理论，信号分析运用信号与系统的理论。随机信号分析是信号处理的基础理论之一，广泛应用与雷达、声呐、通信、语音信号处理、图像信号处理、自动控制、随机振动、气象预报、生物医学、地震信号处理等领域。 随机信号分析理论的基本分析方法包括：研究信号的数字特征（数学期望值、方差、矩、相关函数等），用实验手段研究随机过程的统计特性，傅立叶变换、谱分析、功率谱估值，窄带随机过程，随机信号通过非线性系统小波分析等。需要用统计的观点来看待随机问题，还要注重物理概念的理解。 3、应用实例 （1）用反相关法实现随机信号雷达 反相关法随机信号雷达实现框图 频率调制发射信号的瞬时频率为)()(00t N D W t W W ?+=+，其中0W 为载频，D 为调制指数，)(t N 为随机信号。而目标回波相对于发射信号的瞬时频率为)()(00f t N D W f t W W -?+=-+。所以瞬时频率差为)()(f t W t W W --=?。由于