第3章导数及其应用章末分层突破
[自我校对]
①f x＋Δx－f x
Δx
(Δx→0)
②f′(x0)
③导数的运算法则
④导数的应用
⑤函数的最值
利用导数的几何意义求曲线的切线方程
运用导数的几何意义，可以求过曲线上任一点的切线的斜率，从而进一步求出过此点的切线方程.还可以结合几何的有关知识，求解某些点的坐标、三角形面积等.导数的几何意义是近几年高考的要点和热点之一，常结合导数的运算进行考查，常以选择题、填空题的形式出现.
对于较为复杂的此类问题，一般要利用k ＝f ′(x 0)((x 0，f (x 0))为切点)及切点的坐标满足切线方程和曲线方程列方程组求解.
求过曲线y ＝x 3
－2x 上的点(1，－1)的切线方程.
【精彩点拨】 切线过曲线上一点(1，－1)，并不代表(1，－1)就是切点，故需先设出切点，再求解.
【规范解答】 设切点为P (x 0，y 0)，则y 0＝x 3
0－2x 0.∵y ′＝3x 2
－2，则切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x 2
0－2，∴切线方程为y －(x 3
0－2x 0)＝(3x 20－2)(x －x 0).
又∵切线过点(1，－1)，∴－1－(x 3
0－2x 0)＝(3x 2
0－2)(1－x 0)，整理，得(x 0－1)2
(2x 0
＋1)＝0，解得x 0＝1或x 0＝－12.∴切点为(1，－1)或? ??
??－12，78，相应的切线斜率为k ＝1或
k ＝－5
4
.
故所求切线方程为y －(－1)＝x －1或y －78＝－54·? ????
x ＋12，即x －y －2＝0或5x ＋4y
－1＝0.
[再练一题]
1.(2016·淮安高二检测)已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c 在x ＝2处取得极值，并且它的图象与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切，则函数f (x )的表达式为________.
【解析】 f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b .∵f (x )与直线y ＝－3x ＋3在点(1,0)处相切， ∴???
??
f ′1＝－3，f
1＝0.
即?????
3＋2a ＋b ＝－3，①1＋a ＋b ＋c ＝0.②
∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝12＋4a ＋b ＝0.③
由①②③解得????
?
a ＝－3，
b ＝0，
c ＝2.
∴f (x )＝x 3－3x 2
＋2.
【答案】 f (x )＝x 3
－3x 2
＋2
利用导数研究函数的单调性
1.)＜0的解集确定单调区间，这是函数中常见问题，是考查的重点.
2.求含参数的函数的单调区间讨论时要注意的三个方面：(1)f ′(x )＝0有无根，(2)f ′(x )＝0根的大小，(3)f ′(x )＝0的根是否在定义域内.另外当f ′(x )＝0的最高次项系数含有字母时，则要讨论系数是否为0.
3.已知函数的单调性求参数的取值范围有两种思路：①转化为不等式在某区间上恒成立问题，即f ′(x )≥0(或≤0)恒成立，用分离参数求最值或函数的性质求解，注意验证使f ′(x )＝0的参数是否符合题意，②构造关于参数的不等式求解，即令f ′(x )＞0(或＜0)求得用参数表示的单调区间，结合所给区间，利用区间端点列不等式求参数的范围.
已知函数f (x )＝x 3
－ax －1. (1)讨论f (x )的单调性；
(2)若f (x )在R 上为增函数，求实数a 的取值范围.
【精彩点拨】 (1)求出f ′(x )，讨论f ′(x )＝0的根是否存在，求函数的单调区间； (2)根据题意有f ′(x )≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，分离参数后可求实数a 的取值范围.
【规范解答】 (1)f ′(x )＝3x 2
－a .
①当a ≤0时，f ′(x )≥0，所以f (x )在(－∞，＋∞)上为增函数. ②当a ＞0时，令3x 2
－a ＝0得x ＝±3a 3；当x ＞3a 3或x ＜－3a
3
时，f ′(x )＞0； 当－
3a 3＜x ＜3a
3
时，f ′(x )＜0. 因此f (x )在? ?
???－∞，－
3a 3，? ????3a 3，＋∞上为增函数，在? ????－3a 3
，3a 3上为减函数. 综上可知，当a ≤0时，f (x )在R 上为增函数； 当a ＞0时，f (x )在? ????－∞，－3a 3，? ????3a 3，＋∞上为增函数，在? ????－3a 3
，3a 3上为减函数.
(2)因为f (x )在(－∞，＋∞)上是增函数，所以f ′(x )＝3x 2
－a ≥0在(－∞，＋∞)上恒成立，
即a ≤3x 2
对x ∈R 恒成立.因为3x 2
≥0，所以只需a ≤0.
又因为a ＝0时，f ′(x )＝3x 2
≥0，f (x )＝x 3
－1在R 上是增函数， 所以a ≤0，即a 的取值范围为(－∞，0]. [再练一题]
2.(2016·湘潭高二检测)设函数f (x )＝12x 2＋e x －x e x
.
(1)求f (x )的单调区间；
(2)若当x ∈[－2,2]时，不等式f (x )＞m 恒成立，求实数m 的取值范围.
【解析】 (1)函数f (x )的定义域为(－∞，＋∞)，f ′(x )＝x ＋e x －(e x ＋x e x
)＝x (1－e x
).
若x ＜0，则1－e x
＞0，所以f ′(x )＜0； 若x ＞0，则1－e x
＜0，所以f ′(x )＜0； 若x ＝0，则f ′(x )＝0.
∴f (x )在(－∞，＋∞)上为减函数，即f (x )的单调减区间为(－∞，＋∞). (2)由(1)知f (x )在[－2,2]上单调递减， ∴f (x )min ＝f (2)＝2－e 2
.
∴当m <2－e 2
时，不等式f (x )＞m 恒成立.即实数m 的取值范围是(－∞，2－e 2
).
利用导数研究函数的极值和最值
1.
2.求函数f (x )在[a ，b ]上的最大值和最小值的步骤： (1)求函数在(a ，b )内的极值；
(2)求函数在区间端点的函数值f (a )，f (b )；
(3)将函数f (x )的极值与f (a )，f (b )比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值.
3.注意事项：
(1)求函数最值时，不可想当然地认为极值点就是最值点，要通过认真比较才能下结论. (2)解题时要注意区分求单调性和已知单调性的问题，处理好f ′(x )＝0时的情况；区分极值点和导数为0的点.
已知函数f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，曲线y ＝f (x )在点x ＝1处的切线为l ：3x
－y ＋1＝0，若x ＝2
3
时，y ＝f (x )有极值.
(1)求a ，b ，c 的值；
(2)求y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值和最小值.
【精彩点拨】 (1)利用f ′(1)＝3、f ′? ??
??23＝0、f (1)＝4构建方程组求解； (2)令f ′(x )＝0→列表→求极值和区间端点的函数值→
【规范解答】 (1)由f (x )＝x 3
＋ax 2
＋bx ＋c ，得f ′(x )＝3x 2
＋2ax ＋b . 当x ＝1时，切线l 的斜率为3，可得2a ＋b ＝0，①
当x ＝23时，y ＝f (x )有极值，则f ′? ????23＝0，可得4a ＋3b ＋4＝0，② 由①②，解得a ＝2，b ＝－4.由于切点的横坐标为1，所以f (1)＝4. 所以1＋a ＋b ＋c ＝4，得c ＝5.
(2)由(1)可得f (x )＝x 3
＋2x 2
－4x ＋5，f ′(x )＝3x 2
＋4x －4.令f ′(x )＝0，解得x 1＝－2，x 2＝2
3
.
当x 变化时，f ′(x )，f (x )的取值及变化情况如下表所示：
由表可知，函数y ＝f (x )在[－3,1]上的最大值为13，最小值为27.
[再练一题]
3.已知函数f (x )＝13x 3－12x 2
＋cx ＋d 有极值.
(1)求c 的取值范围；
(2)若f (x )在x ＝2处取得极值，且当x ＜0时，f (x )＜16d 2
＋2d 恒成立，求d 的取值范
围.
【解】 (1)∵f (x )＝13x 3－12x 2＋cx ＋d ，∴f ′(x )＝x 2
－x ＋c ，要使f (x )有极值，
则方程f ′(x )＝x 2
－x ＋c ＝0有两个实数解，从而Δ＝1－4c ＞0，∴c ＜14
.
(2)∵f (x )在x ＝2处取得极值，∴f ′(2)＝4－2＋c ＝0，∴c ＝－2.∴ f (x )＝13x 3－12x
2
－2x ＋d .
∵f ′(x )＝x 2
－x －2＝(x －2)(x ＋1)，∴当x ∈(－∞，－1)时，f ′(x )＞0，函数单调递增，
当x ∈(－1,2]时，f ′(x )＜0，函数单调递减.∴x ＜0时，f (x )在x ＝－1处取得最大值7
6
＋d ，
∵x ＜0时，f (x )＜16d 2＋2d 恒成立，∴ 76＋d ＜16d 2
＋2d ，即(d ＋7)(d －1)＞0，
∴d ＜－7或d ＞1，即d 的取值范围是(－∞，－7)∪(1，＋∞).
分类讨论思想
利用分类讨论思想解答问题已成为高考中的热点问题，尤其是函数、导数中的解答题，在含参数的问题中，无论是研究单调性，还是极值、最值，一般都需要分类讨论.
已知函数f (x )＝x －ln(x ＋a )的最小值为0，其中a ＞0.
(1)求a 的值；
(2)若对任意的x ∈[0，＋∞)，有f (x )≤kx 2
成立，求实数k 的最小值. 【精彩点拨】 (1)求出函数f (x )的最小值用a 表示解方程可得a 的值；
(2)构造函数g (x )＝f (x )－kx 2
，分类讨论求其在[0，＋∞)的最大值，使其最大值≤0可得k 的取值范围，即得其最小值.
【规范解答】 (1)f (x )的定义域为(－a ，＋∞).f ′(x )＝1－
1x ＋a ＝x ＋a －1
x ＋a
. 由f ′(x )＝0，得x ＝1－a ＞－a .当x 变化时，f ′(x )，f (x )的变化情况如下表：
x (－a,1－a )
1－a (1－a ，＋∞)
f ′(x ) － 0 ＋ f (x )
↘
极小值
↗
因此，f (x a ＝1. (2)当k ≤0时，取x ＝1，有f (1)＝1－ln 2＞0，故k ≤0不合题意. 当k ＞0时，令g (x )＝f (x )－kx 2
，即g (x )＝x －ln(x ＋1)－kx 2
.
g ′(x )＝x x ＋1－2kx ＝－x [2kx －1－2k ]
x ＋1
.
令g ′(x )＝0，得x 1＝0，x 2＝1－2k
2k
＞－1.
①当k ≥12时，1－2k
2k
≤0，g ′(x )＜0在(0，＋∞)上恒成立，
因此g (x )在[0，＋∞)上单调递减.从而对于任意的x ∈[0，＋∞)，总有g (x )≤g (0)＝0，即f (x )≤kx 2
在[0，＋∞)上恒成立.故k ≥12
符合题意.
②当0＜k ＜12时，1－2k 2k ＞0，对于x ∈?
????0，1－2k 2k ，g ′(x )＞0，
故g (x )在? ????0，1－2k 2k 内单调递增，因此当取x 0∈? ??
??0，1－2k 2k 时， g (x 0)＞g (0)＝0，即f (x 0)≤kx 20不成立.故0＜k ＜1
2
不合题意.
综上，k 的最小值为1
2.
[再练一题]
4.(2016·南京高二检测)设函数f (x )＝a e x
＋1
a e x
＋b (a ＞0). (1)求f (x )在[0，＋∞)内的最小值；
(2)设曲线y ＝ f (x )在点(2，f (2))处的切线方程为y ＝3
2x ，求a ，b 的值.
【解】 (1)f ′(x )＝a e x
－
1a e x
， 当f ′(x )＞0，即x ＞－ln a 时，f (x )在(－ln a ，＋∞)上单调递增； 当f ′(x )＜0，即x ＜－ln a 时，f (x )在(－∞，－ln a )上单调递减.
①当0＜a ＜1时，－ln a ＞0，f (x )在(0，－ln a )上单调递减，在(－ln a ，＋∞)上单调递增，从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (－ln a )＝2＋b;
②当a ≥1时，－ln a ≤0，f (x )在[0，＋∞)上单调递增， 从而f (x )在[0，＋∞)上的最小值为f (0)＝a ＋1
a
＋b .
(2)依题意f ′(2)＝a e 2
－
1a e 2＝32，解得a e 2＝2或a e 2
＝－12(舍去)，所以a ＝2e
2，代入原函数可得2＋12＋b ＝3，即b ＝12，故a ＝2e 2，b ＝1
2
.
1.(2015·全国卷Ⅰ)已知函数f (x )＝ax 3
＋x ＋1的图象在点(1，f (1))处的切线过点(2,7)，则a ＝________.
【解析】 先用“导数法”求出切线方程，然后代入点(2,7)求出a 的值. ∵f ′(x )＝3ax 2
＋1， ∴f ′(1)＝3a ＋1. 又f (1)＝a ＋2，
∴切线方程为y －(a ＋2)＝(3a ＋1)(x －1).
∵切线过点(2,7)，∴7－(a ＋2)＝3a ＋1，解得a ＝1. 【答案】 1
2.(2016·天津高考)已知函数f (x )＝(2x ＋1)e x
，f ′(x )为f (x )的导函数，则f ′(0)的值为________.
【导学号：24830093】
【解析】 因为f (x )＝(2x ＋1)e x
，
所以f ′(x )＝2e x ＋(2x ＋1)e x ＝(2x ＋3)e x
， 所以f ′(0)＝3e 0
＝3. 【答案】 3
3.(2016·北京高考)函数f (x )＝
x
x －1
(x ≥2)的最大值为________.
【导学号：24830094】
【解析】 f ′(x )＝
x －1－x x －12＝－1
x －1
2
，
当x ≥2时，f ′(x )＜0，所以f (x )在[2，＋∞)上是减函数，故f (x )max ＝f (2)＝2
2－1
＝2.
【答案】 2
4.(2014·辽宁高考改编)当x ∈[－2,1]时，不等式ax 3－x 2
＋4x ＋3≥0恒成立，则实数
a 的取值范围是________.
【解析】 当x ＝0时，ax 3
－x 2
＋4x ＋3≥0变为3≥0恒成立，即a ∈R .
当x ∈(0,1]时，ax 3
≥x 2
－4x －3，a ≥x 2－4x －3
x 3
，
∴a ≥??????x 2
－4x －3x 3
max . 设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，
φ′(x )＝
2x －4x 3
－x 2
－4x －33x
2
x 6
＝－x 2－8x －9x 4＝－x －9x ＋1x 4
＞0，
∴φ(x )在(0,1]上递增，φ(x )max ＝φ(1)＝－6. ∴a ≥－6.
当x ∈[－2,0)时，a ≤x 2－4x －3
x 3，
∴a ≤????
??x 2
－4x －3x 3
min .
仍设φ(x )＝x 2－4x －3x 3，φ′(x )＝－x －9x ＋1
x
4
. 当x ∈[－2，－1)时，φ′(x )＜0. 当x ∈(－1,0)时，φ′(x )＞0.
∴当x ＝－1时，φ(x )有极小值，即为最小值.
而φ(x )min ＝φ(－1)＝1＋4－3
－1＝－2，∴a ≤－2.
综上可知－6≤a ≤－2. 【答案】 [－6，－2]
5.(2015·重庆高考)已知函数f (x )＝ax 3＋x 2
(a ∈R )在x ＝－43处取得极值.
(1)确定a 的值；
(2)若g (x )＝f (x )e x
，讨论g (x )的单调性. 【解】 (1)对f (x )求导得f ′(x )＝3ax 2
＋2x ， 因为f (x )在x ＝－4
3
处取得极值，
所以f ′? ??
??－43＝0， 即3a ·169＋2·? ????－43＝16a 3－8
3＝0，
解得a ＝1
2
.
(2)由(1)得g (x )＝? ????12x 3＋x 2e x
，
故g ′(x )＝? ????32x 2＋2x e x ＋? ????12x 3＋x 2e x
＝? ??
??12x 3＋52x 2＋2x e x
＝12
x (x ＋1)(x ＋4)e x
. 令g ′(x )＝0，解得x ＝0或x ＝－1或x ＝－4. 当x <－4时，g ′(x )<0，故g (x )为减函数； 当－4
综上可知，g (x )在(－∞，－4)和(－1,0)内为减函数，在(－4，－1)和(0，＋∞)内为增函数.
章末综合测评(三) 导数及其应用 (时间120分钟，满分160分)
一、填空题(本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在题中横线上.) 1.质点运动规律s ＝t 2
＋3，则在时间(3,3＋Δt )中，质点的平均速度等于________.
【解析】 平均速度为V ＝3＋Δt 2＋3－32
＋3
3＋Δt －3
＝6＋Δt .
【答案】 6＋Δt
2.若f ′(x 0)＝－3，则当h →0时，f x 0＋h －f x 0＋3h
h
趋于常数________.
【解析】
f x 0＋h －f x 0＋3h h ＝4×f x 0＋h －f x 0－3h
4h
.
∵f ′(x 0)＝－3，∴当h →0时，
f x 0＋h －f x 0－3h
4h
趋于－3，故当h →0时，
f x 0＋h －f x 0－3h
h
趋于－12.
【答案】 12
3.(2015·天津高考)已知函数f (x )＝ax ln x ，x ∈(0，＋∞)，其中a 为实数，f ′(x )为f (x )的导函数.若f ′(1)＝3，则a 的值为________.
【解析】 f ′(x )＝a ? ??
??ln x ＋x ·1x ＝a (1＋ln x ).
由于f ′(1)＝a (1＋ln 1)＝a ，又f ′(1)＝3，所以a ＝3. 【答案】 3
4.已知曲线f (x )＝x 2
＋2x －2在点M 处的切线与x 轴平行，则点M 的坐标是________. 【解析】 ∵f ′(x )＝2x ＋2，由f ′(x )＝0得x ＝－1，又f (－1)＝1－2－2＝－3，∴点M 的坐标为(－1，－3).
【答案】 (－1，－3)
5.函数y ＝x e x
在其极值点处的切线方程为__________.
【解析】 由题知y ′＝e x
＋x e x
，令y ′＝0，解得x ＝－1，代入函数解析式可得极值点的坐标为?
????－1，－1e ，又极值点处的切线为平行于x 轴的直线，故方程为y ＝－1e .
【答案】 y ＝－1
e
6.下列结论①(sin x )′＝－cos x ；②? ??
??1x ′＝1x 2；③(log 3x )′＝13ln x ；④(x 2
)′＝1x ；
⑤? ??
??－x e x ′＝x －1e x ，其中正确的有________(填序号).
【解析】 由于(sin x )′＝cos x ，故①错误；由于? ??
??1x ′＝－1x
2，故②错误；
由于(log 3x )′＝1x ln 3，故③错误；由于x 2
＝2x ，故④错误；由于? ??
??－x e x ′＝－e x －x e x
e x 2＝
x －1
e
x
，所以⑤正确.
【答案】 ⑤
7.函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间是________.
【解析】 ∵y ＝x sin x ＋cos x ，∴y ′＝x cos x ，令y ′＝x cos x ＞0，且x ∈(π，3π)，∴cos x ＞0，
且x ∈(π，3π)，∴x ∈?
????3π2
，5π2，
∴函数y ＝x sin x ＋cos x 在(π，3π)内的单调增区间是?
??
??3π2，5π2.
【答案】 ? ??
??3π2，5π2
8.(2016·徐州高二检测)函数f (x )＝12e x
(sin x ＋cos x )在区间上的值域为________.
【解析】 f ′(x )＝12e x (sin x ＋cos x )＋12e x (cos x －sin x )＝e x
cos x ，
当0≤x ≤π2时，f ′(x )≥0，∴f (x )故??????0，π2上单调递增.
∴f (x )的最大值在x ＝π2处取得，f ? ????π2＝12e π
2
，
f (x )的最小值在x ＝0处取得，f (0)＝12
.∴函数值域为?
???
??12，12e π
2
.
【答案】 ????
??12，12e π2 9.若f (x )＝－12x 2
＋b ln(x ＋2)在(－1，＋∞)上是减函数，则b 的取值范围是________.
【解析】 由题意可知f ′(x )＝－x ＋
b
x ＋2
＜0，在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，
即b ＜x (x ＋2)在x ∈(－1，＋∞)上恒成立，由于y ＝x (x ＋2)在(－1，＋∞)上是增函数且y (－1)＝－1，所以b ≤－1.
【答案】 (－∞，－1]
10.如图1，是y ＝f (x )的导函数的图象，现有四种说法： ①f (x )在(－2，－1)上是增函数； ②x ＝－1是f (x )的极小值点； ③f (x )在(－1,2)上是增函数； ④x ＝2是f (x )的极小值点.
以上说法正确的序号是________(填序号).
图1
【解析】 由函数的图象可知：f ′(－2)＜0，f ′(－1)＝0，f (x )在(－2，－1)上是减函数，①不正确；x ＝－1时f ′(1)＝0，函数在(－3，－1)递减，在(－1,2)单调递增，所以x ＝－1是f (x )的极小值点，所以②正确；f (x )在(－1,2)上f ′(x )＞0，所以函数在(－1,2)上是增函数，所以③正确；函数在(－1,2)单调递增，在(2,4)单调递减，所以x ＝2是
f (x )的极大值点，所以④不正确.
【答案】 ②，③
11.已知f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x ＋a ，若f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ＋n 的值为________.
【解析】 ∵f (x )＝x 3
－3x 2
＋2x ＋a ，∴f ′(x )＝3x 2
－6x ＋2，∵f (x )在R 上的极值点分别为m ，n ，则m ，n 为f ′(x )＝0的两个根，根据韦达定理可得，m ＋n ＝－－6
3
＝2，∴m ＋n 的值为2.
【答案】 2
12.若a ＞2，则函数f (x )＝13x 3－ax 2
＋1在区间(0,2)上恰好有________个零点.
【解析】 ∵f ′(x )＝x 2－2ax ＝x (x －2a )，由f ′(x )＝0，得x ＝0或x ＝2a ，又a ＞2，∴2a ＞4.当x ∈(0,2)时，f ′(x )＜0，此时f (x )单调递减，又f (0)＝1，f (2)＝8
3－4a ＋1＝
11
3
－4a ，由a ＞2知f (2)＜0，∴函数f (x )在(0,2)上只有1个零点. 【答案】 1
13.(2016·郴州高二检测)对于R 上可导的任意函数f (x )，若满足(x －1)f ′(x )≥0，则f (0)＋f (2)与2f (1)的大小关系为________.
【解析】 依题意，当x ≥1时，f ′(x )≥0，函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数； 当x ＜1时，f ′(x )≤0，f (x )在(－∞，1)上是减函数，故当x ＝1时，f (x )取得极小值也为最小值，即有f (0)≥f (1)，f (2)≥f (1)，∴f (0)＋f (2)≥2f (1).
【答案】 f (0)＋f (2)≥2f (1)
14.已知函数f (x )＝13x 3＋12
x 2
－2x ＋m 的图象不经过第四象限，则实数m 的取值范围是
________.
【解析】 f ′(x )＝x 2
＋x －2.令f ′(x )＝0，解得x ＝－2或1，则f (x )在(0,1)内单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，∴x ＝1是极小值点.∵f (x )的图象不经过第四象限，即当x ＞0时，f (x )≥0.∴f (1)＝13＋12－2＋m ≥0，∴m ≥7
6
.
【答案】 m ≥7
6
二、解答题(本大题共6小题，共90分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 15.(本小题满分14分)已知函数y ＝ax 3
＋bx 2
，当x ＝1时，有极大值3. (1)求a ，b 的值； (2)求函数y 的极小值.
【解】 (1)y ′＝3ax 2
＋2bx ，当x ＝1时，y ′|x ＝1＝3a ＋2b ＝0，y |x ＝1＝a ＋b ＝3，
即?????
3a ＋2b ＝0a ＋b ＝3
，解得：a ＝－6，b ＝9.
(2)由(1)得y ＝－6x 3
＋9x 2
，y ′＝－18x 2
＋18x ，令y ′＝0，得x ＝0，或x ＝1 当x ＞1或x ＜0时，y ′＜0，函数在(－∞，0)，(1，＋∞)内单调递减；当0＜x ＜1时，y ′＞0，函数在(0,1)单调递增.
∴y 极小值＝y |x ＝0＝0.
16.(本小题满分14分)已知函数f (x )＝－x 3
＋3x 2
＋9x ＋a . (1)求f (x )的单调递减区间；
(2)若f (x )在区间[－1,2]上的最大值为20，求它在该区间上的最小值. 【解】 (1)f ′(x )＝－3x 2
＋6x ＋9.令f ′(x )＜0，解得x ＜－1或x ＞3， 所以函数f (x )的单调递减区间为(－∞，－1)，(3，＋∞). (2)f (2)＝－8＋12＋18＋a ＝22＋a .
因为f (x )在区间[－1,2]上f ′(x )＞0，所以f (x )在区间[－1,2]上单调递增， 因此f (2)和f (－1)分别是f (x )在区间[1,2]上的最大值和最小值，于是有22＋a ＝20，解得a ＝－2.故f (x )＝－x 3
＋3x 2＋9x －2，因此f (－1)＝1＋3－9－2＝－7，
即函数f (x )在区间[－1,2]上的最小值为－7.
17.(本小题满分14分)设函数f (x )＝ln x ＋ln(2－x )＋ax (a ＞0). (1)当a ＝1时，求f (x )的单调区间； (2)若f (x )在(0,1]上的最大值为1
2
，求a 的值.
【解】 函数f (x )的定义域为(0,2)，f ′(x )＝1x －1
2－x
＋a .
(1)当a ＝1时，f ′(x )＝－x 2
＋2
x 2－x ，令f ′(x )＝0，得x ＝2或x ＝－2(舍去)
所以f (x )的单调递增区间为(0，2)，单调递减区间为(2，2). (2)当x ∈(0,1]时，f ′(x )＝
2－2x
x 2－x
＋a ＞0，
即f (x )在(0,1]上单调递增，故f (x )在(0,1]上的最大值为f (1)＝a ，因此a ＝1
2.
18.(本小题满分16分)(2016·南京高二检测)一火车锅炉每小时煤的消耗费用与火车行驶速度的立方成正比，已知当速度为20 km/h 时，每小时消耗的煤价值40元，其他费用每小时需400元，火车的最高速度为100 km/h ，火车以何速度行驶才能使从甲城开往乙城的总费用最少？
【解】 设火车的速度为x km/h ，甲、乙两城距离为a km.由题意，令40＝k ·203
，∴
k ＝
1200
， 则总费用f (x )＝(kx 3
＋400)·a x ＝a ? ????kx 2＋400x ＝a ? ????1200x 2＋400x (0＜x ≤100). 由f ′(x )＝ax 3－40 000100x
2
＝0，得x ＝203
5. 当0＜x ＜2035时，f ′(x )＜0，f (x )单调递减；当203
5＜x ≤100时，f ′(x )＞0，f (x )单调递增.
∴当x ＝2035时，f (x )取极小值也是最小值，即速度为203
5 km/h 时，总费用最少. 19.(本小题满分16分)已知a 为实数，函数f (x )＝x (x －a ). (1)求函数f (x )的单调区间；
(2)设g (a )为f (x )在区间[0,2]上的最小值，试写出g (a )的表达式. 【解】 (1)由题意知函数的定义域为[0，＋∞)，f ′(x )＝x ＋
x －a 2x ＝3x －a
2x
(x ＞0) ①若a ≤0，则f ′(x )＞0，故f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；
②若a ＞0，令f ′(x )＝0，得x ＝a 3.当0＜x ＜a 3时，f ′(x )＜0，当x ＞a
3时，f ′(x )
＞0.
故f (x )有单调递减区间? ????0，a 3，单调递增区间? ??
??a
3，＋∞.
由于函数在某一点处没有增减性， 故函数的单调区间的情况为： 若a ≤0，f (x )有单调递增区间[0，＋∞)；
若a ＞0，f (x )有单调递减区间? ????0，a 3，单调递增区间? ??
??a
3，＋∞. (2)①若a ≤0，f (x )在[0,2]上单调递增，所以g (a )＝ f (0)＝0.
②若0＜a ＜6，f (x )在[0，a 3 ]上单调递减，在? ??
??a
3，2上单调递增， 所以g (a )＝f ? ??
??a 3＝－2a 3a
3
.
③若a ≥6，f (x )在[0,2]上单调递减， 所以g (a )＝f (2)＝2(2－a ).
综上所述，g (a )＝?????
0，a ≤0，－2a 3a
3 ，0＜a ＜6，22－a ，a ≥6.
20.(本小题满分16分)(2016·洛阳高二检测)设函数f (x )＝a (x ＋1)2
ln(x ＋1)＋bx (x ＞－1)，曲线y ＝f (x )过点(e －1，e 2
－e ＋1)，且在点(0,0)处的切线方程为y ＝0.
(1)求a ，b 的值；
(2)证明：当x ≥0时，f (x )≥x 2；
(3)若当x ≥0时，f (x )≥mx 2
恒成立，求实数m 的取值范围. 【解】 (1)f ′(x )＝2a (x ＋1)ln(x ＋1)＋a (x ＋1)＋b ，
∵f ′(0)＝a ＋b ＝0，f (e －1)＝a e 2
＋b (e －1)＝a (e 2
－e ＋1)＝e 2
－e ＋1，∴a ＝1，b ＝－1.
(2)f (x )＝(x ＋1)2
ln(x ＋1)－x ，
设g (x )＝(x ＋1)2
ln(x ＋1)－x －x 2
，(x ≥0)，g ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)－x ， (g ′(x ))′＝2ln(x ＋1)＋1＞0，∴g ′(x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g ′(x )≥g ′(0)＝0，∴g (x )在[0，＋∞)上单调递增， ∴g (x )≥g (0)＝0.∴f (x )≥x 2
.
(3)设h (x )＝(x ＋1)2
ln(x ＋1)－x －mx 2
，h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋x －2mx ， 由(2)中知(x ＋1)2
ln(x ＋1)≥x 2
＋x ＝x (x ＋1)， ∴(x ＋1)ln(x ＋1)≥x ， ∴h ′(x )≥3x －2mx ，
①当3－2m ≥0即m ≤3
2时，h ′(x )≥0，∴h (x )在[0，＋∞)单调递增，
∴h (x )≥h (0)＝0，成立.
②当3－2m ＜0即m ＞3
2
时，h ′(x )＝2(x ＋1)ln(x ＋1)＋(1－2m )x ，
h ′′(x )＝2ln(x ＋1)＋3－2m ，
令h ′′(x )＝0，得x 0＝e 2m －3
2
－1＞0，
当x ∈[0，x 0)时，h ′(x )＜h ′(0)＝0，∴h (x )在[0，x 0)上单调递减， ∴h (x )＜h (0)＝0，不成立. 综上，m ≤3
2.
2019-2020年高中数学第三章导数应用章末小结知识整合与阶段检测教学 案北师大版选修2-2 一、导数与函数的单调性 1．若f′(x)>0，则f(x)是增加的；若f′(x)<0，则f(x)是减少的；若f′(x)＝0恒成立，则f(x)为常数函数；若f′(x)的符号不确定，则f(x)不是单调函数．2．若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是增加的，则f′(x)≥0；若函数y＝f(x)在区间(a，b)上是减少的，则f′(x)≤0. 3．利用导数求函数单调区间的步骤： (1)求导数f′(x)； (2)解不等式f′(x)>0或f′(x)<0； (3)写出单调增区间或减区间． 特别注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接． 二、导数与函数的极值和最值 1．极值 当函数f(x)在x0处连续可导时，如果x0附近的左侧f′(x)>0，右侧f′(x)<0，那么f(x0)是极大值；若左侧f′(x)<0，右侧f′(x)>0，那么f(x0)是极小值．2．利用导数求函数极值的一般步骤 (1)确定函数f(x)的定义域； (2)解方程f′(x)＝0的根； (3)检验f′(x)＝0的根的两侧f′(x)的符号． 若左正右负，则f(x)在此根处取得极大值； 若左负右正，则f(x)在此根处取得极小值； 否则，此根不是f(x)的极值点． 3．最值 对于函数y＝f(x)，给定区间[a，b]，若对任意x∈[a，b]，存在x0∈[a，b]，使得f(x0)≥f(x)(f(x0)≤f(x))，则f(x0)为函数在区间[a，b]上的最大(小)值．4．利用导数求函数最值的一般步骤 (1)求f(x)在(a，b)内的极值； (2)将f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值． 5．函数最值与极值的区别与联系
1.1.1 命题 学习目标：1.了解命题的概念．(难点)2.理解命题的构成形式，能将命题改写为“若p ，则q ”的形式．(重点)3.能判断一些简单命题的真假．(难点，易错点) [自 主 预 习·探 新 知] 1．命题的定义与分类 (1)命题的定义：在数学中，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题． (2)命题定义中的两个要点：“可以判断真假”和“陈述句”．我们学习过的定理、推论都是命题． (3)分类 命题? ?? ?? 真命题：判断为真的语句假命题：判断为假的语句 思考1：(1)“x －1＝0”是命题吗？ (2)“命题一定是陈述句，但陈述句不一定是命题”这个说法正确吗？ [提示] (1)“x －1＝0”不是命题，因为它不能判断真假． (2)正确．根据命题的定义，命题一定是陈述句，但陈述句中只有能够判断真假的才是命题． 2．命题的结构 (1)命题的一般形式为“若p ，则q ”．其中p 叫做命题的条件，q 叫做命题的结论． (2)确定命题的条件和结论时，常把命题改写成“若p ，则q ”的形式． 思考2：命题“实数的平方是非负数”的条件与结论分别是什么？ [提示] 条件是“一个数是实数”，结论是：“它的平方是非负数”． [基础自测] 1．思考辨析 (1)一个命题不是真命题就是假命题． ( ) (2)一个命题可以是感叹句． ( ) (3)x >5是命题． ( ) [解析] 根据命题的定义知(1)正确，(2)、(3)错误． [答案] (1)√ (2)× (3)× 2．下列语句是命题的是( ) ①三角形内角和等于180°；②2>3； ③一个数不是正数就是负数；④x >2； ⑤2018央视狗年春晚真精彩啊！ A ．①②③ B ．①③④
几种常见函数的导数 ●教学目标 (一)教学知识点 1.公式1 C ′=0(C 为常数) 2.公式2 (x n )′=nx n －1(n ∈Q ) 3.公式3 (sin x )′=cos x 4.公式4 (cos x )′=－sin x 5.变化率 (二)能力训练要求 1.掌握四个公式，理解公式的证明过程. 2.学会利用公式，求一些函数的导数. 3.理解变化率的概念，解决一些物理上的简单问题. (三)德育渗透目标 1.培养学生的计算能力. 2.培养学生的应用能力. 3.培养学生自学的能力. ●教学重点 四种常见函数的导数C ′=0(C 为常数)，(x n )′=nx n －1(x ∈Q )，(sin x )′=cos x ，(cos x )′=－sin x . ●教学难点 四种常见函数的导数的内容，以及证明的过程，这些公式由导数定义导出的. ●教学方法 建构主义式 让学生自己根据导数的定义来推导公式1、公式2、公式3、公式4，公式2中先证n ∈N *的情况. ●教学过程 Ⅰ.课题导入 ［师］我们上一节课学习了导数的概念，导数的几何意义.我们是用极限来定义函数的导数的，我们这节课来求几种常见函数的导数.以后可以把它们当作直接的结论来用. Ⅱ.讲授新课 ［师］请几位同学上来用导数的定义求函数的导数. 1.y =C (C 是常数)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=C ∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=C －C =0 x y ??=0 y ′=C ′=x y x ??→?0lim =0，∴y ′=0. 2.y =x n (n ∈N *)，求y ′. ［学生板演］解：y =f (x )=x n ∴Δy =f (x +Δx )－f (x )=(x +Δx )n －x n
数学选修1-1复习资料 第一章 知识要点: 1、命题的概念及四种命题的关系 要求：（1）会判断命题的真假；（2）会写出原命题的逆命题、否命题、逆否命题； （3）了解四种命题的关系。 2、充分条件和必要条件 3、逻辑联结词“且”、“或”、“非”。 4、含有一个量词的命题的否定。 5、用反证法证明命题。 一．选择题： 1、下列语句中不是命题．．．． 的是（ ） A 、空集是任何集合的真子集 B 、若整数a 是素数，则a 是奇数 C 、x>2 D 、12>6 2、有下列命题：①2 0ax bx c ++=是一元二次方程；②四条边相等的四边形是正方形；③若,a b R ∈，且ab>0，则a>0且b>0；其中真命题．．．的个数．．为（ ） A ．0 B. 1 C. 2 D. 3 3、一个命题的否命题．．．为真，则这个命题的逆命题．．．（ ） A ．一定为假 B.一定为真 C.可能为假 D. 不能确定 4、命题“方程2 1x =的解是1x =±”，使用逻辑联结词的情况是（ ） A ．使用了逻辑联结词“非” B.使用了逻辑联结词“或” C ．使用了逻辑联结词“且” D.没有使用逻辑联结词 5、“1 4 m =- ”是直线mx+(m+1)y+1=0与直线(m-2)x+3my-2=0相互垂直的（ ） A 、充分不必要条件 B 、必要不充分条件 C 、充要条件 D 、既不充分也不必要 6、p ：三角形全等； q ：三角形面积相等； 则p 是q 的（ ） A ．充要条件 B 、充分不必要条件 C 、必要不充分条件 D 、既不充分也不必要条件 7、设p, q 是两个命题，若p q ∧为真，则（ ） A ．p 真，q 真 B 、p 真，q 假 C 、p 假，q 真 D 、p 假，q 假 8、设p, q 是两个命题，若p q ∨为真，且p ?为真，则（ ） A ．p 不一定是假命题 B 、q 一定是真命题 C 、q 不一定是真命题 D 、p 与q 同为真 9、“用反证法证明命题“如果x
1. 2.1充分条件与必要条件 教学目标：正确理解充分条件、必要条件的概念；通过对充分条件和必要条件的概念理解和运用，培养学生逻辑思维能力和良好的思维品质。 教学重点：理解充分条件和必要条件的概念. 教学难点：理解必要条件的概念. 教学过程： 一、复习准备： 写出下列命题的逆命题、否命题及逆否命题，并判断它们的真假： （1）若0ab =，则0a =； （2）若0a >时，则函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. 二、讲授新课： 1. 认识“?”与“”： ①在上面两个命题中，命题（1）为假命题，命题（2）为真命题. 也就是说，命题（1）中由“0ab =”不能得到“0a =”，即0ab =0a =；而命题（2）中由“0a >”可以得到“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”，即0a >?函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加. ②练习：教材P10 第1题 2. 教学充分条件和必要条件： ①若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件. 上述命题（2）中“0a >”是“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”的充分条件，而“函数y ax b =+的值随x 的值的增加而增加”则是“0a >”的必要条件. ②例1：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的p 是q 的充分条件？ （1）若1x >，则33x -<-； （2）若1x =，则2320x x -+=； （3）若()3x f x =- ，则()f x 为减函数； （4）若x 为无理数，则2x 为无理数. （5）若12//l l ，则12k k =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则p 是q 的充分条件 解：（1）（2）（3）p 是q 的充分条件。 点评：判断p 是不是q 的充分条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ③变式练习：P10页 第2题 ④例2：下列“若p ，则q ”形式的命题中，哪些命题中的q 是p 的必要条件？ （1）若0a =，则0ab =； （2）若两个三角形的面积相等，则这两个三角形全等； （3）若a b >，则ac bc >； （4）若x y =，则22x y =. （学生自练→个别回答→教师点评） 解析: 若p q ?，则q 是p 的必要条件。 解：（1）（4）q 是p 的必要条件。 点评：判断q 是不是p 的必要条件，可根据若p 则q 的真假进行。 ⑤变式练习：P10页 第3题 ⑥例3：判断下列命题的真假： （1）“x 是6的倍数”是“x 是2的倍数”的充分条件；（2）“5x <”是“3x <”的必要条件. （学生自练→个别回答→学生点评）
导数题型分类解析（中等难度） 一、变化率与导数 函数)(0x f y =在x 0到x 0+x ?之间的平均变化率，即)('0x f =0 lim →?x x y ??=0lim →?x x x f x x f Δ)()Δ(00-+，表示函数)(0x f y =在x 0点的斜率。注意增量的意义。 例1：若函数()y f x =在区间(,)a b 内可导，且0(,)x a b ∈则000 ()() lim h f x h f x h h →+-- 的值为（ ） A ．'0()f x B ．'02()f x C ．' 02()f x - D ．0 例2：若' 0()3f x =-，则000()(3) lim h f x h f x h h →+--=（ ） A.3- B ．6- C ．9- D ．12- 例3：求0lim →h h x f h x f ) ()(020-+ 二、“隐函数”的求值 将)('0x f 当作一个常数对)(0x f 进行求导，代入0x 进行求值。 例1：已知()()232 f x x x f '+=，则()='2f 例2：已知函数()x x f x f sin cos 4+?? ? ??'=π，则??? ??4πf 的值为 . 例3：已知函数)(x f 在R 上满足88)2(2)(2 -+--=x x x f x f ，则曲线)(x f y =在点))1(,1(f 处的切线方程为（ ） A. 12-=x y B. x y = C. 23-=x y D. 32+-=x y 三、导数的物理应用 如果物体运动的规律是s=s （t ），那么该物体在时刻t 的瞬间速度v=s ′（t ）。 如果物体运动的速度随时间的变化的规律是v=v （t ），则该物体在时刻t 的加速度a=v′（t ）。 例1：一个物体的运动方程为2 1t t s +-=其中s 的单位是米，t 的单位是秒，求物体在3秒末的瞬时速度。 例2：汽车经过启动、加速行驶、匀速行驶、减速行驶之后停车，若把这一过程中汽车的行驶路程s 看作时间t 的函数，其图像可能是（ ） 四、基本导数的求导公式 A ． B ． C ． D ．
1.1.1 命题 [学习目标] 1.了解命题的概念.2.会判断命题的真假，能够把命题化为“若p，则q”的形式. 知识点一命题的定义 (1)用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题. (2)判断为真的语句叫做真命题. (3)判断为假的语句叫做假命题. [思考](1)“x>5”是命题吗？ (2)陈述句一定是命题吗？ [答案](1)“x>5”不是命题，因为它不能判断真假. (2)陈述句不一定是命题，因为不知真假，只有可以判断真假的陈述句才叫做命题.
知识点二命题的结构 从构成来看，所有的命题都由条件和结论两部分构成.在数学中，命题常写成“若p，则q”的形式.通常，我们把这种形式的命题中的p叫做命题的条件，q叫做命题的结论. 题型一命题的判断 例1(1)下列语句为命题的是() A.x－1＝0 B.2＋3＝8 C.你会说英语吗？ D.这是一棵大树 (2)下列语句为命题的有________. ①一个数不是正数就是负数； ②梯形是不是平面图形呢？ ③22 015是一个很大的数； ④4是集合{2,3,4}的元素； ⑤作△ABC≌△A′B′C′. [答案](1)B(2)①④ [解析](1)A中x不确定，x－1＝0的真假无法判断；B中2＋3＝8是命题，且是假命题；C不是陈述句，故不是命题；D中“大”的标准不确定，无法判断真假. (2)①是陈述句，且能判断真假；②不是陈述句；③不能断定真假；④是陈述句且能判断真假；⑤不是陈述句. 反思与感悟并不是所有的语句都是命题，只有能判断真假的陈述句才是命题.命题首先是“陈述句”，其他语句如疑问句、祈使句、感叹句等一般都不是命题；其次是“能判断真假”，不能判断真假的陈述句不是命题，如“x≥2”、“小高的个子很高”等都不能判断真假，故
导数专题 经典例题剖析 考点一：求导公式。 例1. ()f x '是3 1()213 f x x x = ++的导函数，则(1)f '-的值是 。 解析：()2'2 +=x x f ，所以()3211'=+=-f 答案：3 考点二：导数的几何意义。 例 2. 已知函数()y f x =的图象在点(1 (1))M f ，处的切线方程是1 22 y x =+，则(1)(1)f f '+= 。 解析：因为21= k ，所以()2 1 1'=f ，由切线过点(1 (1))M f ，，可得点M 的纵坐标为25，所以()2 5 1=f ，所以()()31'1=+f f 答案：3 例3.曲线32 242y x x x =--+在点(1 3)-，处的切线方程是 。 解析：443'2 --=x x y ，∴点(1 3)-，处切线的斜率为5443-=--=k ，所以设切线方程为b x y +-=5，将点(13)-，带入切线方程可得2=b ，所以，过曲线上点(13)-，处的切线方程为：025=-+y x 答案：025=-+y x 点评：以上两小题均是对导数的几何意义的考查。 考点三：导数的几何意义的应用。 例4.已知曲线C ：x x x y 232 3 +-=，直线kx y l =:，且直线l 与曲线C 相切于点 ()00,y x 00≠x ，求直线l 的方程及切点坐标。
解析：Θ直线过原点，则()000 ≠= x x y k 。由点()00,y x 在曲线C 上，则02 030023x x x y +-=，∴ 2302 00 0+-=x x x y 。又263'2+-=x x y ，∴ 在() 00,y x 处曲线C 的切线斜率为()263'02 00+-==x x x f k ，∴ 2632302 0020+-=+-x x x x ， 整理得：03200=-x x ，解得：2 3 0=x 或00=x （舍），此时，830- =y ，41-=k 。所以，直线l 的方程为x y 4 1 -=，切点坐标是?? ? ??-83,23。 答案：直线l 的方程为x y 41- =，切点坐标是?? ? ??-83,23 点评：本小题考查导数几何意义的应用。解决此类问题时应注意“切点既在曲线上又在切线上”这个条件的应用。函数在某点可导是相应曲线上过该点存在切线的充分条件，而不是必要条件。 考点四：函数的单调性。 例5.已知()132 3 +-+=x x ax x f 在R 上是减函数，求a 的取值范围。 解析：函数()x f 的导数为()163'2 -+=x ax x f 。对于R x ∈都有()0'
高中数学选修1-1知识点总结 1、命题：用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句. 真命题：判断为真的语句.假命题：判断为假的语句. 2、“若p ，则q ”形式的命题中的p 称为命题的条件，q 称为命题的结论. 3、原命题：“若p ，则q ” 逆命题： “若q ，则p ” 否命题：“若p ?，则q ?” 逆否命题：“若q ?，则p ?” 4、四种命题的真假性之间的关系： （1）两个命题互为逆否命题，它们有相同的真假性； （2）两个命题为互逆命题或互否命题，它们的真假性没有关系． 5、若p q ?，则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件． 若p q ?，则p 是q 的充要条件（充分必要条件）． 利用集合间的包含关系： 例如：若B A ?，则A 是B 的充分条件或B 是A 的必要条件；若A=B ，则A 是B 的充要条件； 6、逻辑联结词：⑴且(and) ：命题形式p q ∧；⑵或（or ）：命题形式p q ∨； ⑶非（not ）：命题形式p ?. 7、⑴全称量词——“所有的”、“任意一个”等，用“ 全称命题p ：)(,x p M x ∈?； 全称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?。 ⑵存在量词——“存在一个”、“至少有一个”等，用“?”表示；
特称命题p ：)(,x p M x ∈?； 特称命题p 的否定?p ：)(,x p M x ?∈?； 第二章 圆锥曲线 1、平面内与两个定点1 F ， 2 F 的距离之和等于常数（大于 12 F F ）的点的轨迹称为 椭圆． 即：|)|2(,2||||2121F F a a MF MF >=+。 这两个定点称为椭圆的焦点，两焦点的距离称为椭圆的焦距． 2、椭圆的几何性质：
高中数学导数章节知识点总结 考点1:与导数定义式有关的求值问题 1:已知 等于 A. 1 B. C. 3 D. 1.已知 ，则 的值是______ ． 考点2:导数的四则运算问题 1:下列求导运算正确的是 A. B. C. D. 2:已知函数，为 的导函数，则 的值为______． 考点3:复合函数的导数计算问题 1:设 ，则 A. B. C. D. 2:函数的导函数 ______ 考点4:含)('a f 的导数计算问题 1:已知定义在R 上的函数 ，则 A. B. C. D. 2:设函数满足，则 ______． 考点5:求在某点处的切线方程问题 1:曲线在点处的切线方程为 A. B. C. D. 2:曲线在处的切线方程为_________________． 考点6:求过某点的切线方程问题 1:已知直线过原点且与曲线相切，则直线斜率 A. B. C. D. 2:若直线过点)1,0(-且与曲线x y ln =相切，则直线方程为：
考点7:根据相切求参数值问题 1:已知直线与曲线相切，则a 的值为 A. 1 B. 2 C. D. 2:若曲线在点处的切线平行于x 轴，则 ________． 考点8:求切线斜率或倾斜角范围问题 1:点P 在曲线3 2)(3 +-=x x x f 上移动，设P 点处的切线的倾斜角为α，则α的取值范围是 （ ） A. ?? ????2,0π B. ),4 3[)2,0[πππY C.),43[ ππ D. ]4 3,2(π π 2:在曲线的所有切线中，斜率最小的切线方程为_______ 考点9:求曲线上点到直线距离的最值问题 1:已知P 为曲线x y C ln :=上的动点，则P 到直线03:=+-y x l 距离的最小值为（ ） A. 2 B. 22 C.2 D. 3 考点10:求具体函数的单调区间问题 1：函数x e x x f )1()(+=的单调递增区间是 A. ),2[+∞- B. ),1[+∞- C. D. 2:函数x x x f ln )(=的单调减区间为 考点11：已知单调性，求参数范围问题 1:已知函数 在区间 上是增函数，则实数m 的取值范围为 A. B. C. D. 2:若函数在区间上单调递增，则实数a 的取值范围是______． 考点12：解抽象不等式问题 1:已知函数是函数 的导函数， ，对任意实数都有，则不等 式 的解集为 A. B. C. D. 2:函数的定义域为R ，且 ， ，则不等式 的解集为______ ． 考点13：求具体函数的极值问题 1:函数 ，则 A. 为函数的极大值点 B. 为函数的极小值点 C. 为函数 的极大值点 D. 为函数 的极小值点
《导数的概念及几何意义》教学设计 教材内容分析 本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（ A 版）数学选修2－2第一章第一节的《变化率与导数》，《导数的概念及几何意义》是在学习了函数平均变化率以后，过渡到瞬时变化率，从而得出导数的概念，再从平均变化率的几何意义，迁移至瞬时变化率即导数的几何意义。 导数是微积分的核心概念之一，是从生产技术和自然科学的需要中产生的，它深刻揭示了函数变化的本质，其思想方法和基本理论在在天文、物理、工程技术中有着广泛的应用，而且在日常生活及经济领域也日渐显示出其重要的功能。 在中学数学中，导数具有相当重要的地位和作用。 从横向看，导数在现行高中教材体系中处于一种特殊的地位。它是众多知识的交汇点，是解决函数、不等式、数列、几何等多章节相关问题的重要工具， 它以更高的观点和更简捷的方法对中学数学的许多问题起到以简驭繁的处理。 从纵向看，导数是函数一章学习的延续和深化，也是对极限知识的发展， 同时为后继研究导数的几何意义及应用打下必备的基础， 具有承前启后的重要作用。 学生学情分析 学生在高一年级的物理课程中已经学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度， 再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型， 并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的． 而在第一课时平均变化率的学习中，课本给出了一个思考，观察函数 )(x f y 的图像，平均变化x y 表示什么？这个思考为研究导数的几何意义埋下 了伏笔。因此，在将瞬时变化率定义为导数之后， 立即让学生继续探索导数的几何意义，学生会对导数的几何意义有更为深刻的认识。 教学目标 1、知识与技能目标会从数值逼近、几何直观感知，解析式抽象三个角度认识导数的含义，应用导数的定义求简单函数在某点处的导数， 掌握求导数的基本步骤，初步学会求解 简单函数在一点处的切线方程。 2、过程与方法目标 通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力，通过问题的探究体会逼近、类比、以及用已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。 3、情感态度与价值观
导数及其应用-(章末测试带答案)
2 选修1-1《第三章 导数及其应用》质量评估 一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．曲线y ＝12x 2－2x 在点? ????1，－32处的切线的倾 斜角为( )． A ．－135° B ．45° C ．－45° D ．135° 2．下列求导运算正确的是( )． A.? ????x ＋3x ′＝1＋3 x 2 B ．(log 2x )′＝ 1x ln 2 C ．(3x )′＝3x log 3e D ．(x 2 cos x )′＝ －2x sin x 3．函数y ＝x 4－2x 2 ＋5的单调减区间为( )．
A．(－∞，－1)及(0，1) B．(－1，0)及(1，＋∞) C．(－1，1) D．(－∞，－1)及(1，＋∞) 4．函数y＝1＋3x－x3有( )． A．极小值－1，极大值1 B．极小值－2，极大值3 C．极小值－2，极大值2 D．极小值－1，极大值3 5．函数f(x)＝ x2 x－1 ( )． A．在(0，2)上单调递减 B．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递增 C．在(0，2)上单调递增 D．在(－∞，0)和(2，＋∞)上单调递减 6．函数y＝x4－4x＋3在区间[－2，3]上的最 3
小值为( )． A．72 B．36 C．12 D．0 7．已知f(x)＝x3＋ax2＋(a＋6)x＋1有极大值 和极小值，则a的取值范围为( )． A．－1＜a＜2 B．－3＜a＜6 C．a＜－1或a＞2 D．a＜－3或a＞ 6 8．已知f(x)的导函数f′(x)图象如右图所示，那么f(x)的图象最有可能是图中的( )． 4
双曲线及其标准方程导学案 【学习要求】 1．了解双曲线的定义，几何图形和标准方程的推导过程. 2．掌握双曲线的标准方程. 3．会利用双曲线的定义和标准方程解决简单的问题. 【学法指导】 本节课的学习要运用类比的方法，在与椭圆的联系与区别中建立双曲线的定义及标准方程. 【知识要点】 1．双曲线的定义 把平面内与两个定点F 1，F 2的距离的 等于常数(小于|F 1F 2|)的点的轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做 ， 叫做双曲线的焦距. 2 探究点一 双曲线的定义 问题1 取一条拉链，拉开它的一部分，在拉开的两边上各选择一点，分别固定在点F 1，F 2上，把笔尖放在点M 处，拉开闭拢拉链，笔尖经过的点可画出一条曲线，思考曲线满足什么条件？ 问题2 双曲线的定义中强调平面内动点到两定点的距离差的绝对值为常数，若没有绝对值，则动点的轨迹是什么？ 问题3 双曲线的定义中，为什么要限制到两定点距离之差的绝对值为常数2a,2a <|F 1F 2|? 问题4 已知点P (x ，y )的坐标满足下列条件，试判断下列各条件下点P 的轨迹是什么图形？ （1） 6)5()5(2222=+--++y x y x ； （2）6)4()4(2 222=+--++y x y x （3）方程x ＝3y 2 －1所表示的曲线是( ) A ．双曲线 B ．椭圆 C ．双曲线的一部分 D ．椭圆的一部分 探究点二 双曲线的标准方程 问题1 类比椭圆的标准方程推导过程，思考怎样求双曲线的标准方程？ 问题2 两种形式的标准方程怎样进行区别？能否统一？ 问题3 如图，类比椭圆中a ，b ，c 的意义，你能在y 轴上找一点B ，使|OB |＝b 吗？ 例1 （1）已知双曲线的焦点在y 轴上，并且双曲线过点(3，－42)和???? 94，5，求双曲线的标准方程； （2）求与双曲线x 216－y 2 4＝1有公共焦点，且过点(32，2)的双曲线方程. 跟踪训练1 （1）过点(1,1)且b a ＝2的双曲线的标准方程是 ( ) A ．12 122 =-y x B ．y 212－x 2＝1 C ．x 2 －y 212＝1 D ．x 212－y 2＝1或y 2 12 －x 2＝1 （2）若双曲线以椭圆x 216＋y 2 9＝1的两个顶点为焦点，且经过椭圆的两个焦点，则双曲线的标准方程为_______ 探究点三 与双曲线定义有关的应用问题 例2 已知双曲线的方程是x 216－y 2 8＝1，点P 在双曲线上，且到其中一个焦点F 1的距离为10，点N 是PF 1的 中点，求|ON |的大小(O 为坐标原点). 跟踪训练2 如图，从双曲线x 23－y 2 5＝1的左焦点F 引圆x 2＋y 2＝3的切线FP 交双曲线右支于点P ， T 为切 点，M 为线段FP 的中点，O 为坐标原点，则|MO |－|MT |等于( ) A ． 3 B ． 5 C ．5－ 3 D ．5＋ 3 例3 已知A ，B 两地相距800 m ，在A 地听到炮弹爆炸声比在B 地晚2 s ，且声速为340 m/s ，求炮弹爆炸点的轨迹方程. 跟踪训练3 2008年5月12日，四川汶川发生里氏8.0级地震，为了援救灾民，某部队在如图所示的P 处空降了一批救灾药品，今要把这批药品沿道路PA 、PB 送到矩形灾民区ABCD 中去，已知PA ＝100 km ，PB ＝150 km ，BC ＝60 km ，∠APB ＝60°，试在灾民区中确定一条界线，使位于界线一侧的点沿道路PA 送药较近，而另一侧的点沿道路PB 送药较近，请说明这一界线是一条什么曲线？并求出其方程. 【当堂检测】 1．已知A (0，－5)、B (0,5)，|PA |－|PB |＝2a ，当a ＝3或5时，P 点的轨迹为 ( ) A ．双曲线或一条直线 B ．双曲线或两条直线 C ．双曲线一支或一条直线 D ．双曲线一支或一条射线 2．若k >1，则关于x ，y 的方程(1－k )x 2＋y 2＝k 2－1所表示的曲线是 ( ) A ．焦点在x 轴上的椭圆 B ．焦点在y 轴上的椭圆 C ．焦点在y 轴上的双曲线 D ．焦点在x 轴上的双曲线 3．双曲线x 216－y 2 9 ＝1上一点P 到点(5,0)的距离为15，那么该点到(－5,0)的距离为 ( ) A ．7 B ．23 C ．5或25 D ．7或23 4．已知动圆M 与圆C 1：(x ＋4)2＋y 2＝2外切，与圆C 2：(x －4)2＋y 2＝2内切，求动圆圆心的轨迹方程. 【课堂小结】 1．双曲线定义中||PF 1|－|PF 2||＝2a (2a <|F 1F 2|)不要漏了绝对值符号，当2a ＝|F 1F 2|时表示两条射线.
2021年高中数学选修本(理科)复合函数的导数(1) 教学目的： 1.理解掌握复合函数的求导法则. 2.能够结合已学过的法则、公式，进行一些复合函数的求导 3.培养学生善于观察事物，善于发现规律，认识规律，掌握规律，利用规律． 教学重点：复合函数的求导法则的概念与应用 教学难点：复合函数的求导法则的导入与理解 授课类型：新授课 课时安排：1课时 教 具：多媒体、实物投影仪 内容分析： 复合函数的导数是导数的重点，也是导数的难点. 要弄清每一步的求导是哪个变量对哪个变量的求导.求导时对哪个变量求导要写明，可以通过具体的例子，让学生对求导法则有一个直观的了解 教学过程： 一、复习引入： 1. 常见函数的导数公式： ；；； 2.法则1 )()()]()(['''x v x u x v x u ±=±． 法则2 [()()]'()()()'()u x v x u x v x u x v x '=+, 法则3 ' 2''(0)u u v uv v v v -??=≠ ??? 二、讲解新课： 1.复合函数: 由几个函数复合而成的函数，叫复合函数．由函数与复合而成的函数一般形式是，其中u 称为中间变量． 2.求函数的导数的两种方法与思路： 方法一：22[(32)](9124)1812x y x x x x '''=-=-+=-； 方法二：将函数看作是函数和函数复合函数，并分别求对应变量的导数如下： ， 两个导数相乘，得 232(32)31812u x y u u x x ''==-=-， 从而有 对于一般的复合函数，结论也成立，以后我们求y ′x 时，就可以转化为求y u ′和u ′x 的
新课程标准数学选修1—1第一章课后习题解答 第一章常用逻辑用语 1.1命题及其关系 练习（P4） 1、略? 2、（1）真；⑵假；（3）真；（4）真. 3、（1）若一个三角形是等腰三角形，则这个三角形两边上的中线相等.这是真命题. （2）若一个函数是偶函数，则这个函数的图象关于y轴对称.这是真命题. （3）若两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行.这是假命题. 练习（P6） 1、逆命题：若一个整数能被5整除，则这个整数的末位数字是0.这是假命题. 否命题：若一个整数的末位数字不是0,则这个整数不能被5整除.这是假命题. 逆否命题：若一个整数不能被5整除，则这个整数的末位数字不是0.这是真命题. 2、逆命题：若一个三角形有两个角相等，则这个三角形有两条边相等.这是真命题. 否命题：若一个三角形有两条边不相等，这个三角形有两个角也不相等.这是真命题. 逆否命题：若一个三角形有两个角不相等，则这个三角形有两条边也不相等?这是真命题. 3、逆命题：图象关于原点对称的函数是奇函数.这是真命题. 否命题：不是奇函数的函数的图象不关于原点对称?这是真命题. 逆否命题：图象不关于原点对称的函数不是奇函数?这是真命题. 练习（P8） 证明：若a -b = 1，则a2「b2? 2a「4b「3 =（a b）a -b ）2（b - ）b -2 =a b 2- 2D -3 =a「b _1 = 0 所以，原命题的逆否命题是真命题，从而原命题也是真命题. 习题1.1 A组（P8） 1、（1）是；（2）是；（3）不是；（4）不是. 2、（1）逆命题：若两个整数a与b的和a b是偶数，则a,b都是偶数?这是假命题. 否命题：若两个整数a,b不都是偶数，则a b不是偶数.这是假命题. 逆否命题：若两个整数a与b的和a b不是偶数，则a,b不都是偶数.这是真命题. （2）逆命题：若方程x2，x-m=0有实数根，则m?0.这是假命题. 否命题：若m乞0，贝y方程X2? x-m =0没有实数根?这是假命题. 逆否命题：若方程x2，x-m=0没有实数根，则m^0.这是真命题. 3、（1 ）命题可以改写成：若一个点在线段的垂直平分线上，则这个点到线段的两个端点的 距离相等. 逆命题：若一个点到线段的两个端点的距离相等，则这个点在线段的垂直平分线上. 这是真命题.
第三章 章末总结 知识点一 导数与曲线的切线 利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1) ① 又y 1＝f (x 1) ② 由①②求出x 1，y 1的值． 即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程． 例1 已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．知识点二 导数与函数的单调性 利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为： (1)求导数f ′(x )； (2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0； (3)确定并指出函数的单调增区间、减区间． 特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2 求下列函数的单调区间： (1)f (x )＝＋sin x ； x 2(2)f (x )＝x (x －a )2.
知识点三 导数与函数的极值、最值 利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用． 1．应用导数求函数极值的一般步骤： (1)确定函数f (x )的定义域； (2)解方程f ′(x )＝0的根； (3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号． 若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值； 若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值； 否则，此根不是f (x )的极值点． 2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤： (1)求f (x )在(a ，b )内的极值； (2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值； 特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)． 例3 设0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意． 例4 已知函数f (x )＝x 2＋ (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调a x 递增的，求a 的取值范围． 例5 已知f (x )＝x 3－x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x ) §1.2 充分条件与必要条件 学习目标 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的定义.2.会求某些简单问题成立的充分条件、必要条件、充要条件.3.能够利用命题之间的关系判定充要关系或进行充要条件的证明． 知识点一充分条件与必要条件 命题真假“若p，则q”是真命题“若p，则q”是假命题 推出关系p?q p?q 条件关系 p是q的充分条件 q是p的必要条件p不是q的充分条件q不是p的必要条件 知识点二充要条件 如果既有p?q，又有q?p，就记作p?q.此时，我们说，p是q的充分必要条件，简称充要条件． 特别提醒：命题按条件和结论的充分性、必要性可分为四类 (1)充分必要条件(充要条件)，即p?q且q?p； (2)充分不必要条件，即p?q且q?p； (3)必要不充分条件，即p?q且q?p； (4)既不充分也不必要条件，即p?q且q?p. 1．若p是q的充分条件，则p是唯一的．(×) 2．“若p，则q”是真命题，而“若q，则p”是假命题，则p是q的充分不必要条件．(√) 3．q不是p的必要条件时，“p?q”成立．(√) 4．若p是q的充分不必要条件，则綈p是綈q的必要不充分条件．(√) 一、充分、必要、充要条件的判断 例1指出下列各题中，p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选出一个作答)． (1)在△ABC中，p：A>B，q：BC>AC； (2)对非空集合A，B，p：x∈A∪B，q：x∈B； (3)在△ABC中，p：sin A>sin B，q：tan A>tan B； (4)已知x，y∈R，p：(x－1)2＋(y－2)2＝0，q：(x－1)(y－2)＝0. 解(1)在△ABC中，显然有A>B?BC>AC，所以p是q的充要条件． (2)显然x∈A∪B?x∈B，但x∈B?x∈A∪B，所以p是q的必要不充分条件． (3)取A＝120°，B＝30°，p?q，又取A＝30°，B＝120°，q?p，所以p是q的既不充分也不必要条件． (4)p?q且q?p，所以p是q的充分不必要条件． 反思感悟充分、必要、充要条件的判断方法 (1)定义法 若p?q，q?p，则p是q的充分不必要条件； 若p?q，q?p，则p是q的必要不充分条件； 若p?q，q?p，则p是q的充要条件； 若p?q，q?p，则p是q的既不充分也不必要条件． (2)集合法 对于集合A＝{x|x满足条件p}，B＝{x|x满足条件q}，具体情况如下： 若A?B，则p是q的充分条件； 若A?B，则p是q的必要条件； 若A＝B，则p是q的充要条件； 若A B，则p是q的充分不必要条件； 若A B，则p是q的必要不充分条件． 跟踪训练1指出下列各题中p是q的什么条件(在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”中选一个作答)． (1)p：x－3＝0，q：(x－2)(x－3)＝0； (2)p：两个三角形相似，q：两个三角形全等； (3)p：a>b，q：a＋c>b＋c； (4)p：a>b，q：ac>bc. 解(1)x－3＝0?(x－2)(x－3)＝0，但(x－2)(x－3)＝0?x－3＝0，故p是q的充分不必要条件． 第三章 导数及其应用 1 一、变化率与导数 2 ()()()()()()()() 000000000000000 10,0lim lim lim . x x x x x y f x x x x x y y x x x x x y x x f x x f x y x x y x x f x y f x x f x f x x ?→?→=?→==??≠??+???→=+?-?=??=+?-=?＇＇＇、定义：设在处取得一个增量. 函数值也得到一个增量称 为从到的平均变化率.若当时时，有极限存在，则称此极限值为函数在处的瞬时变化率，记为，也称为函 数在处的导数，记作或, 即 3 4 ()0y f x x x ==说明：导数即为函数在处的瞬时变化率. 5 6 7 ()()00. PT x f x P PT f x k ?→=＇2、几何意义:时，Q 沿图像无限趋近于点时，切线的斜率.即 8 9 ()()()()003==lim lim . x x f x x f x y y f x y f x y x x ?→?→+?-?==??＇＇＇＇、导函数（简称为导数）称为导函数，记作，即 10 二、常见函数的导数公式 11 1若()f x c =(c 为常数)，则()0f x '=； 12 2 若()f x x α=,则1()f x x αα-'=; 13 3 若()sin f x x =,则()cos f x x '= 14 4 若()cos f x x =,则()sin f x x '=-; 15 5 若()x f x a =,则()ln x f x a a '= 16 6 若()x f x e =,则()x f x e '= 17人教版高中数学选修1-1导学案第一章 §1.2 充分条件与必要条件
最新高中数学选修1-1《导数及其应用》知识点讲义
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