城市表层土壤重金属污染分析
摘要
本文针对城市表层土壤受重金属污染问题进行综合分析。首先运用Matlab软件求解8种主要重金属元素在城区空间分布，土壤受污染主要原因，传播特征以及为今后如何更好研究地质演变问题分别建立了相应的数学模型，并对其求解结果作出了分析。
针对问题1，根据各种污染物浓度在不同区域内分布的随机性，利用空间内插值法，以城市位置为平面“横纵向”，污染物浓度为“竖向”建立三维空间模型，得到这8种重金属元素的空间分布图，直观反映出污染物浓度的等值线，得到污染物浓度的分布规律和各种重金属元素的污染浓度范围区块。然后通过建立污染负荷指数法模型算出各区的)
(PLI为1.0602，
(PLI为2.1573，山区) (PLI值，生活区)
(PLI为1.8336，工业区)
交通区)
(PLI为1.5780；结果表明工业区的污染程度最高(PLI为1.9209，公园绿地区)
为2级强污染，其他区为1级中等污染。
针对问题2，根据问题1中不同功能区重金属的污染程度与附件2的数据，利用Pearson相关性分析和主成分分析法，建立了相关性模型与主成分模型，对应找出各区重金属污染的主要因子，得到该城区的重金属污染主要元素为：u g
、、、，污
Cd C H Pb
染主要原因为冶炼、化物生产等工业废水、污泥，汽车尾气排放。
针对问题3，根据重金属污染物的圆型传播特征，利用物理热力学第二定理，分别建立了一维土壤迁移模型、沉降模型和最优解模型，确定了生活区有3个污染源：分别为样本点20、306、259；工业区的污染源为样本点261 ；山区的污染源为样本点62 ；交通区有2个污染源：分别为样本点245、292 ；公园绿地区的污染源为样本点315 。其结果与重金属元素在该城区的空间分布图作对比，吻合得很好。
针对问题4，通过对问题1,2,3所建模型优缺点的分析，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集城区每年生活、工业等重要污染源的垃圾排放放量、每年的生物降解量、排污企业个数的增减值、PH值、河流所经区域等信息。根据这些信息建立时间序列模型，用此模型预测未来时间段该城区的土壤中重金属含量变化情况，结合问题1,2,3所建模型可以更好地为今后如何使用专业降浓剂保证土壤良好性的用剂量提供参考依据。
关键词：重金属空间分布污染负荷指数主成份分析最优解
一、问题重述
随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。
按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。
现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。
附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。
通过数学建模来完成以下任务：
(1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。
(2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。
(3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。
(4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？
二、问题分析
2.1 问题一的分析
通过对附件1的数据进行处理求出该城区的城区状貌，并对该城区利用三维插值法求出8种主要重金属元素在该城区的空间分布。并对8种金属分别进行查找出各自范围区块。
利用最高污染系数)
(CF分别求出8种重金属的各自污染系数，然后利用污染负荷指数法)
(PLI求出319个地点的重金属污染程度。根据这些地点的污染程度对5个不同区域进去综合评价得出不同区域的污染程度。
2.2 问题二的分析
研究重金属污染的主要原因既为研究重金属污染的主要来源，而同一活动可以产生许多污染物，同一种污染物的来源也不尽相同。因此利用Pearson相关分析和主成份分析方法解析重金属污染的元素和分析土壤重金属污染物的来源和类别。通过对附件2、3的数据进行分析综合运用这些统计分析方法来分析5个不同区域的8种重金属污染物的来源，并对5个不同区域查找相关性比较强的区域。最后综合5个不同区域的来源分析出该城区的重金属污染的主要原因。
2.3 问题三的分析
对于重金属的传播特征形式，利用生物学基础对各种金属在该城区的传播形式进行假设分析出三种传播特征：圆型传播、条型传播、散点传播。结合前两问求出的结果和8种主要金属元素浓度含量的空间分布图分别求出属于圆型传播、条型传播、散点传播的金属元素，由此可对这8种重金属元素综合归类为那种传播特征。 由于污染源在不同区域的位置对各个区域的影响有一个直接影响值，在污染源数目较多的场合下，要确定最优解的模型污染源是很困难的，而且在处理数据时还有考虑该地区的地势情况中的地下金属传播途径的迁移形式和大气中大气降沉形式，则综合考虑该城区的污染源就更困难。因此通过对模型的研究，建立迁移模型、沉降模型对土壤金属流动进行分析，再结合最优解模型找出该城区5个不同区域的污染源。 2.4 问题四的分析
对于前三问建立的模型和结果进行分析查找出所建立的模型对该城区和不同区域的优缺点。
由于该城区的城市布局和降水量，PH 值等不知道，因此需要去完善模型并预测地质的演变，就得收集城区每年生活工业等重要污染源的垃圾排放放量以及每年的生物降解量，降雨量，PH 值，河流所经区域等。通过这些数据建立起各重金属元素与时间有关的时间预测模型，由此可预测出未来时间段内的土壤重金属浓度，即知道该城区地质环境的演变模式。且根据不同功能区的不同安全浓度指标，以及考虑大气压降和地势海拔等因素，制定出未来时间段内如何使用专业降浓剂保证土壤良好性的用剂量，这样，既达保证了经济效益又保护了土壤环境。
三、问题假设
1.该城区城市布局合理；
2.该城区土壤重金属元素来源不受其他城区影响，数据采样都是可靠准确；
3.假设每个样本点都能很好的反映该平方公里的实际情况；
4.污染物的排放瞬时完成，且排放速率恒定；
5.气体的传播服从扩散定律，非稳态；
6.污染物的沉降速率恒定；
四、符号说明
i CF ：元素的最高污染系数； i C ：元素i 的实测含量；
i C 0：元素i 的评价标准，既背景值。 P L I
：污染负荷指数; c :土壤重金属在液相的浓度； s :土壤重金属在固相中的浓度； ij M ：在区域点,i j 重金属浓度；
M ：总重金属的浓度；
t Q ：土壤重某金属在t 年后的含量； t ：预测年限；
n ：评价元素的个数；
z o n e
P L I 为区域污染负荷指数； m 为评价点的个数（采样点的个数）。
五、问题一的解答
5.1空间分布
对附件1的319个随机地点中的）海拔（m m y m x ),(),(做一个三维曲线拟合得该城区的城区状貌。如图1.
1
2
3
x 10
4
0.5
1
1.5
2
x 10
4
-200
-1000100200300
400
图1该城区状貌
由图1可以得到该城区的城区状貌，然后利用附件2的8种金属元素浓度代替海拔()m 就可以得出8种金属元素在该地区的空间分布图如图2所示。
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
020004000600080001000012000140001600018000-15
-10-5051015202530As
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
020004000600080001000012000140001600018000-1500
-1000
-500
500
1000
1500
Cd
0.5
1 1.5
2 2.5x 10
4
02000
4000600080001000012000140001600018000-1000
-800
-600-400-2000200400600800
Cr
0.5
1 1.5
2 2.5x 10
4
02000
4000600080001000012000140001600018000-1000
-50005001000150020002500
Cu
00.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
02000
4000600080001000012000140001600018000
-5000
5000
10000
15000
Hg
0.5
1
1.5
2
2.5x 10
4
02000
40006000
80001000012000
1400016000
18000-100
-50
50
100
Ni
0.5
1 1.5
2 2.5x 10
4
02000
4000600080001000012000140001600018000-1500
-1000-5000500100015002000250030003500
Zn
0.5
1 1.5
2 2.5x 10
4
0200040006000800010000120001400016000180000
100
200
300
400
500
Pb
图2 8种主要金属元素浓度的空间分布
由图2的8种主要金属元素浓度空间分布图可对比出每种元素的浓度高涵盖点区，再结合附件1、2对数据进行处理，则可以得出该种元素的污染浓度范围区域，其具体情况如表1所示。
表1 8种元素的污染浓度范围
元素
区域数 污染浓度范围
As
3 交通区95号；交通区22号和生活区1号地点组合；工业区29号 Cd
4 交通区95号；工业区223号；交通区22号和生活区1号组合；工业区6、8号和交通区的9号组合 Cr 1 生活区20号和交通区22号组合 Cu
1 工业区8号和交通区22号组合
Hg 3 工业区8号和交通区9号组合；交通区182号；交通区257号 Ni
2 交通区22号；山区135号
Pb 2 生活区16、20号和公园绿地区143号组合；工业区6、8号组合 Zn
2
生活区36号；交通区61号
5.2污染程度
污染负荷指数法模型
污染负荷指数法是Tomlinson 等人从事重金属污染水平的分级研究中提出来的一种评价方法。该指数又评价区域所包含的多种重金属成分共同构成，并使用了求积的统计法，通过这种方法能对整个区域各个点位各种重金属进行定量评价，并对各点的污染程度进行分级，能直观反映对环境污染最严重的元素和各种元素对环境污染的贡献程度，以及重金属在时间、空间上的变化趋势，应用比较方便]1[。能避免污染指数加和关系造成的对评价结果歪曲的现象，并能对任意给定的区域进行定量的判断。他也采用研究区土壤背景值为评价标准，因此它能很好的判断土壤的综合人为污染情况。
首先根据某一点的测量金属含量，进行最高污染系数（CF ）的计算]2[:
i
i i C C
CF 0= （1）
某一点的污染负荷指数（PLI ）为：
n n CF CF CF CF PLI 321??= （2）
某一区域的污染负荷指数（zone PLI ）为：
m m
z o n e P L I P L I P L I P L I P L I 321??= （3）
表2 污染负荷指数与污染程度之间的关系
PLI 值
1< 2~1
3~2 3≥ 污染等级 0 1 2 3 污染程度 无污染 中等污染 强污染 极强污染
通过Matlab 程序可以计算出各个地点的最高污染系数和污染负荷指数（程序见附录1），并结合这些点的数据综合评价得出如表3所示的五个区域的污染负荷指数（zone PLI ）。
表3 五个区域的污染负荷指数（zone PLI ）
生活区 工业区 山区 交通区 公园绿地区
PLI 值 1.8336 2.1573 1.0602 1.9209 1.5780
污染级数
1 2 1 1 1 污染程度 中等污染 强污染 中等污染 中等污染 中等污染
由上表可知该城区内不同区域重金属的污染程度为中等污染的区域有生活区、山区、交通区、公园绿地区。强污染的区域有工业区。
六、问题二的解答
研究土壤重金属污染的主要原因需要调查污染土壤中各种污染物的影响因素。土壤重金属污染影响因素主要指产生重金属污染物的设备、位置、场所等污染源]3[。这些污染源产生的重金属污染有的直接进入土壤，有的则是通过大气和水体再沉降进入土壤，造成城区土壤的重金属污染。按重金属污染物产生的部门，土壤重金属污染源主要分为工业污染源、交通污染源、生活污染源、农药和肥料等。具体来源参见表4中国土壤重金属的主要来源]4[。
表4 中国土壤重金属的主要来源
重金属 来源 As 硫酸、农药、医药、化肥、玻璃等工业废水、废气、农药 Cd 冶炼、电镀、燃料等工业废水、污泥和废气、肥料杂质 Cr 冶炼、电镀、制革、印染等工业废水和污泥 Cu 冶炼、铜制品生产等废水、废渣和污泥，含铜农药 Hg 制烧碱、Hg 化物生产等工业废水和污泥、含Hg 农药、Hg 蒸 Ni 冶炼、电镀、炼油、染料等工业废水和污泥 Pb 颜料、冶炼等工业废水，汽车防爆燃料尾气，农药 Zn 冶炼、镀锌、纺织等工业废水和污泥、废渣，含锌农药
同一区域可以产生许多污染物，同一种污染物的来源也不尽相同。相关分析和主成分分析等常规统计方法常用于污染物源解析中。为了更好地分析土壤重金属污染物的来源和类别，综合运用这些统计分析方法来分析5个不同区域的8种重金属污染物的来源。最后综合5个不同区域的来源分析出该城区的重金属污染的主要因素。 6.1相关分析模型
相关分析就是研究两个或两个以上变量之间相互关系的统计分析方法。在环境研究中常用来定性的分析研究各环境变量之间的相互关系，而变量之间的相互关系用相关系数和相关系数的显著水平来表示]6[。相关分析法有多种，环境研究中最常用的是Pearson 相关分析法。
相关系数矩阵 p p ij r R ?=)(
),2,1,(,1
1
p j i n x
x
r n
k kj
ki ij =-=
∑= （4）
式中：ij ji ij ij r r r r ,,1==是第i 指标与第j 指标的相关系数。
在重金属污染源解析中，当两种重金属含量绝对值最大，表明这两种重金属很可能来自同种污染源。
1).生活区的相关矩阵结果见表表5所示。
表5 生活区Pearson 相关矩阵
从相关性分析结果可以发现，土壤中Cd 与Pb 显著正相关，且相关性较强；其次As 与Ni 、Cu 也到达了显著的正相关。以此类似可作出其他4个区域的Pearson 相关矩阵（见附录2）。 6.2主成份分析模型
多变量研究中，由于变量的个数很多，并且彼此往往存在一定的相关性，因此使观察的数据反映的信息在一定程度上重叠。因子分析则是通过一种降维方法进行简化得到综合指标。综合指标之间既互不相关，又能反映原来的观察指标的信息]5[。
1.计算特征值和特征向量
计算相关系数矩阵，及对应的特征向量120p L λλλ≥≥≥，及对应的特征向量
12,,,p u u u L ，其中12(,,,)T j j j np u u u u L =，由特征向量组成m 个新的指标变量
11112121
21212222
1122n n n n m m m
nm n y u x u x u x y u x u x u x y u x u x u x L L L L L L L L L L L L L L =+++??=+++????=+++? （5）
式中1y 是第一主成分，2y 是第二主成分，L ，m y 是第m 主成分。 2.选择()p p m ≤个主成分，计算综合评价值
A.计算特征值()1,2,,j j m L λ=的信息贡献率和累积贡献率。称
As (ug/g) Cd (ng/g) Cr (ug/g) Cu (ug/g) Hg (ng/g) Ni (ug/g) Pb (ug/g)
相 关
As (ug/g)
Cd (ng/g) 0.381 Cr (ug/g) 0.238 0.349 Cu (ug/g) 0.531 0.499 0.376 Hg (ng/g) 0.293 0.397 0.150 0.198 Ni ug/g)
0.605
0.283 0.527 0.434 0.211 Pb (ug/g) 0.450 0.802 0.416 0.502 0.340 0.300 Zn (ug/g) -0.017
0.346
0.412
0.238
0.242
0.334
0.328
1
(1,2,,)
j
j m
k
k b j m L λλ
==
=∑ （6） 为主成分j y 的信息贡献率；
1
1p
k
k p m
k
k a λλ
===
∑∑ （7）
为主成分12,,,p y y y L 的累积贡献率，当p a 接近于1(0.85,0.90,0.95)p a =）时，
则选择前p 个指标变量12,,,p y y y L 作为p 个主成份，代替原来m 个指标变量，从而可对p 个主成分进行综合分析。
B.计算综合得分：∑==p
j j j y b z 1 （8）
其中：j b 为第j 个主成分的信息贡献率，根据综合得分就可进行评价。由此可分别计算得8个不同区域的特征值和主成份因子；1).生活区的结果如表6所示。
表6 生活区解释的总方差
对生活区域的土壤样品中8中重金属进行主成份分析，提取出3个因子解释了总方差的72.797%，其中因子1解释了总方差的45.199%，因子2解释了总方差的14.165%，因子3解释了总方差的13.432%。表7给出了生活区的成份得分系数矩阵（因子载荷矩阵）
表7 生活区的成份得分系数矩阵（因子载荷矩阵）
As (μg/g) Cd (ng/g) Cr (μg/g) Cu (μg/g) Hg (ng/g) Ni (μg/g) Pb (μg/g) Zn (μg/g)
成分
1 0.06 0.424 -0.09
2 0.112 0.364 -0.169 0.381 0.064 2 -0.284
0.008
0.475
-0.026
-0.068
0.212
0.011 0.609
3
0.454 -0.039 0.17 0.282 -0.087 0.424 0.014 -0.149
因子分析的主要目的是将具有相近的因子载荷的各个变量置于一个公因子之下，变量与某个因子的联系系数绝对值（荷载）越大，则该因子与变量关系越近。根据因子载荷矩阵，主成份1为Cd 、Hg 、Pb 的组合，这说明这几种土壤重金属污染物可能是同一来源或相似来源。主成份2为Cr 、Zn 。主成份3为As 、Cu 、Ni 。主成份1的方差累积贡献率达到45.199%，这可以解释Cd 、Hg 、Pb 为该生活区土壤重金属的主要污染元素。
因子 特征值 方差的的百分率（%）
累积贡献率（%） 1 3.616 45.199 45.199 2 1.133 14.165 59.365 3 1.075 13.432 72.797
通过因子分析结果参照土壤重金属的主要来源，认为该生活区土壤重金属污染物可能来源于生活化物排污，废渣，废水以及汽车尾气。Pearson相关分析和主成份分析结果表明该生活区的Cd、Hg、Pb可能都主要来自同一污染源。
同理结合Pearson相关分析和主成份分析可得出其他另外4个区域的污染源。（表见附录2），表8列出了五个不同区污染源。
表8 五个不同区污染源
功能区主要污染元素重金属污染物可能来源
生活区Cd、Hg、Pb 生活化物排污，废渣，废水以及汽车尾气。
工业区Cr、Cu、Hg 、
Pb
冶炼、电镀、制革、印染、铜制品生产、Hg化
物生产等废水、废渣和污泥
山区As、Cd、Cu、
Hg、Ni、Pb
化肥、肥料杂质，农药，含Cu、Hg农药
交通区Cd、Cu、Hg、Pb、
Zn
燃料污泥和废气，汽车防爆燃料尾气
公园绿地区Cd、Cu、Pb、Zn 污泥，肥料杂质，含Cu、Zn农药
对以上5个不同区域进行综合分析得出区与区之间的相关性也比较大，由主要污染源和污染元素来分析发现工业区与交通区的相关性比较大，则两者可以规划为同一污染区，污染源主要是废气、废水；生活区和山区、公园绿地区的相关性比较大，则三者可规划为同一污染区，污染源主要是化物、农药。
综合分析得出该城区的重金属污染主要元素：Cu、Cd、Hg、Pb。重金属污染物的主要原因是：冶炼、化物生产等工业废水、污泥和废气、肥料杂质，汽车防爆燃料尾气，含Cu、Hg农药。
七、问题三的解答
7.1传播特征分析
对于重金属的传播特征形式，利用生物学基础对各种金属在该城区的传播形式进行假设分析出三种传播特征：圆型传播、条型传播、散点传播。现结合求出的问题一、二结果进行分析得出传播特征情况，特别是结合8种主要金属元素浓度含量的空间分布图可以看出属于圆型传播的金属元素为：As、Cd、Cu、Hg、Pb、Zn；条型传播的金
属元素为：Cr、Ni、As；散点传播的金属元素为：As、Cd；由此可对这8种重金属元素综合归类为圆型传播特征。
7.2 模型研究
由于污染源在不同区域的位置对各个区域的影响有一个直接影响值，在污染源数目较多的场合下，要确定最优解的模型污染源是很困难的，而且在处理数据时还有考虑该地区的地势情况中的地下金属传播途径的迁移形式，而在大气中也通过大气降沉形式给土壤输送金属元素。则综合考虑该城区的污染源就更困难。因此通过对模型的研究，建立迁移模型、沉降模型对土壤金属流动进行分析，再结合最优解模型找出该城区的污染
源。
7.3 模型的建立 1.迁移模型
迁移模型描述由对流和弥散引起的土壤溶质迁移。对于重金属来说，在对流弥散过程中常伴随有较为强烈的吸附或分解过程，且存在作物根系吸收和排出。则此类土壤溶液流态可分为稳态流和非稳态流或瞬态流。由于该城区的流态并未知道，因此我们假设该城区为非稳态流。非稳态迁移模型为：
)()()t z qC C
q D S C z z t t ,,ψθθρθ-?
?????-????=??+?? （9）
式中 C:土壤重金属在液相的浓度，mg/L;θ:土壤含水率，3m /3m ;ρ:土壤干容重，kg/L ；
S:土壤重金属在固相中的浓度，g g /μ；()q D ,θ：弥散系数，s m /2；q ：水流流速，m/s ；
t ：时间 ，s ；z ：土壤深度坐标，m ；()t z ,ψ：由植物根系引起的溶质吸收或排放率，
s L mg ?/
()()t z R K z z t ,+?
??
???????=??φθθ （10） 式中 ()θK ：土壤水力传导率，m/s ；φ：土壤水势，m ；()t z R ,：植物根系吸水函数，s m m ?33/
2.沉降模型
沉降模型描述在风力或降水作用引起的土壤溶质累计。重金属含量的变化方程为
L ij Ar Am ij
Q I I t
M -+=??, （11）
式中 ij M ：在区域点i,j 重金属浓度，2/hm g ；t ：时间，s ；AM I ：区域回归的大气沉降重金属输入通量，()s hm g ?2/；ij Agr I ,：由于农业活动引起的重金属输入通量，()
s hm g ?2/；
L Q ：重金属渗流通量，()
s hm g ?2/。
方程（11）进一步拓展为连续变化的函数
n L m
c A g r Am M k M k I I dt
dM 1
--+= (12)
式中 M ：总重金属的浓度，2/hm g ；c k ：重金属作物吸收率系数，1/a ；L k ：重金属
渗流率系数，1/a ；m 、n ：常数。方程（12）中
z C zC M s t θρ+= （13）
()k
b k
c b z Y k k 01ρ=
（14） n
F w L zK q k 1
1????
?
?=ρ （15）
式中 ： t C ：土壤溶液的重金属浓度，kg m g /；s C ：被土壤吸附的重金属浓度，L mg /；
k Y ：作物产量，()s hm kg ?2/；k b 0、k b 1：回归系数；w q ：达西水流速率，()
s m L ?2/；F K ：
Freundlich 参数，kg L /。
在应用上述方程进行计算时，为了估计方程输出的随机性，把输入参数作为随机变量处理，看作为正态或对数正态分布，给出均值和标准差，例如（12）式Am I 取值为9.021±
3.最优解模型
确定污染源最佳位置的问题，就是要在定的研究区域内寻找一个点位来确定污染源，使得污染源在这一点位上能够保证对于所研究区域内的一组污染源最优。
在一区域内找最优点，即在二维凸边形可行区域内求一点),(y x ，使得在区域内该点到给定的一组点),(i i i b a p 的最小加权距离达到最大，即
1m a x ((,))m i n (,);(,)i n
f x y Wind x y x y s ≤≤=∈ （16）
式中 ：),(y x f 为系统的影响程度，s 是所研究范围内的凸可行区域，n 为s 中现有受影
响对象的数量，),(y x d i 为位于点),(y x 上的污染源与位于),(i i i b a p 上的第i 个受影响对象的欧氏距离，即2
122
))()((),(i i i b y a x y x d -+-=。，i w 代表第i 个受影响的对象与污染源之间的相对不适度的大于零的加权因子。
由(16)式给出的表达式是不易求解的， 但是由于该模型的总体性质， 通过分离两项优化操作就可将方程写成下列的标准数学规化式：
m a x
Z （17） st n i b y a x w Z i i i 3,2,1,)()(22=-+-≤ （18） (,)x y s ∈ （19）
且s b a p i i i ∈),(，s 为凸边形。
这里权重是有限数， 可行空间由在正棱形范围内的锥面z 方向上形成边界 对于标准的数学规划式(17)、(18)，(19)， 应用规化论的算法，根据不同的精度要求，可以确定寻查步长，用试探法进行求解。
由以上三个模型并结合空间分布图进行分块求解，综合附件1可大致确定该城区生活区、工业区、山区、交通区、公园绿地区的污染源分别为下表所示：
表9: 生活区污染源位置
x(m) y(m) 海拔(m)
污染源1 4592 4603 6 污染源2 17981 18449 93 污染源3
16289
10072
43
表10：工业区污染源位置
x(m) y(m) 海拔(m) 污染源1
16440
13232
24
表11：山区污染源位置
x(m) y(m) 海拔(m)
污染源1 14325 8666 23
表12：交通区污染源位置
x(m) y(m) 海拔(m)
污染源1 11563 10298 12
污染源2 17414 15476 97
表:13：公园绿地区污染源位置
x(m) y(m) 海拔(m)
污染源1 6924 5696 7
由上表可知生活区有3个污染源：分别为样本点20、306、259；工业区的污染源为样本点261 ；山区的污染源为样本点62 ；主干道路区有2个污染源：分别为样本点245、292 ；公园绿地区的污染源为样本点315 。
八、问题四的解答
8.1模型的评价
模型优点：
1. 模型是由简单到复杂一步步建立的，增强可读性、理解性，逻辑性强；
2. 在建模过程中将一些给定的数据参数化，使得模型更具一般性，可应用范围广；
3. 通过计算机模拟的方法较好地对近似计算所得结果做出了验证；
4. 问题2中的总体各种金属相关性累计量比较少，分别对5个不同区进行各自相关性分析和主成份分析，到得的效果比较好；
5. 问题3中能比较充分考虑土壤含重金属的迁移、沉降地质变化情况。
模型缺点：
本文在计算过程中只使用了对原始数据进行分析，而原始数据之间的距离比较大，不能很好的拟合出该城区的状貌和计算浓度间的关系。
问题1中的模型适合用于其它方面的等级程度划分，将模型拟合出的浓度函数关系式通过一定的变换，找到更多的数据点，近似优化函数关系，这样会得到的结果比较精确；
问题2中分别对5个不同区进行各自相关性分析和主成份分析，其中得到的交通区结果比较差，因此需要对数据再进行处理才能用。
问题3中的模型适合用于最优选址问题，也可以利用其它更为简便的参数估计方法进行求解，如粒子群算法、遗传算法等。
由于收集到的数据比较单一，没有其他与重金属传播有关的数据，因此在建立模型求解问题时准确性不高且不具有预测的功能。 8.2收集信息
为了更好的研究城市地质环境的演变模式，应收集城区每年生活工业等重要污染源的垃圾排放放量以及每年的生物降解量，排污企业的个数，降雨量，PH 值，河流所经区域等影响因子。 8.3信息分析模型 时间预测模型
由以上收集的信息，要解决分析出城区地质环境的演变模式，即是要了解未来一段时间内土壤中各种重金属污染物的含量及变化趋势，由此便于提前采取措施防止或减轻各种重金属污染所造成的负面影响。于是对城区内土壤中各种重金属污染物的主要来源进行分析，分析出影响这些重金属含量时间变化的主要影响因子，在此基础上建立各种土壤重金属含量的时间预测模型，最后调查分析预测模型中各变量的最可能的变化速率和取值范围并利用这些模型对土壤中各重金属含量进行时间预测。 根据土壤环境容量模型推导出时间预测模型]5[：
()
()K K QK K Q Q t t t --+=1/10 （20）
式中：t Q 为土壤重某金属在t 年后的含量(/)ug g ；0Q 为土壤中某重金属的起始含量(/)ug g ;Q 为每年外界重金属进入土壤的量(/)ug g ；K 为土壤重金属的年残留率；
t 为预测年限。
该模型的特点是不区分各个具体输出项(如重金属随作物带出土壤、重金属在土壤中向下层迁移等)与土壤中重金属含量的数学关系，仅用年残留率K 来计算土壤中重金属的残留与降解。
通过这些数据建立起各重金属元素与时间有关的时间序列模型，预测出未来时间段内的土壤重金属浓度，且根据不同功能区的不同安全浓度指标，以及考虑大气压降和地势海拔等因素，制定出未来时间段内如何使用专业降浓剂保证土壤良好性的用剂量，这样，既达保证了经济效益又保护了土壤环境。
参考文献
[1]. 中国环境检测总站主编, 中国土壤元素背景值[M], 北京: 中国环境科学出版社, 1990;
[2]. 徐争启, 倪师军, 应用污染负荷指数法评价攀枝花地区金沙江水系沉积物中的重金属[J], 四川环境, 2004,23(3):64-67;
[3]. 崔航. 长春市土壤重金属分布规律及土壤环境质量评估[J]. 吉林大学. 2005; [4]. 陈怀满. 中化学物质的行为与环境质量[M],京: 科技出版社, 2002;
[5]. 林艳. 基于地统计学与GIS 的土壤重金属污染评价与预测[J]. 中南大学, 2009; [6]. 吴春发. 复合污染土壤环境安全预测预警研究[D], 浙江大学, 2008; [7]. 隋红建. 土壤重金属迁移模拟研究的现状与展望, 农业工程学报, 2006; [8].庄世坚. 污染源最佳位置的确定. 2011.9.11.
附录：
附录1：
1.空间分布程序
clear all
clc
A=xlsread('Book2011');
x=A(:,1);
y=A(:,2);
z=A(:,12);
scatter(x,y,5,z)%散点图
figure
[X,Y,Z]=griddata(x,y,z,linspace(0,28654)',linspace(0,18449),'v4');%插值pcolor(X,Y,Z);
shading interp%伪彩色图
figure,contourf(X,Y,Z) %等高线图
figure,surf(X,Y,Z)%三维曲面
2.不同区域污染程度程序
clear all
clc
C1=xlsread('Book20111生活区');
C2=xlsread('Book20111工业区');
C3=xlsread('Book20111山区区');
C4=xlsread('Book20111交通区');
C5=xlsread('Book20111公园绿地区');
A2=xlsread('Book20112')';
Iplzone_1=1;
for i=1:size(C1,1)
F_1=C1(i,:)./A2;
Ipl=(F_1(1)*F_1(2)*F_1(3)*F_1(4)...
*F_1(5)*F_1(6)*F_1(7)*F_1(8))^(1/8);
Iplzone_1=Iplzone_1*Ipl;
end
Iplzone_1=Iplzone_1^(1/size(C1,1)) %生活区污染负荷指数
Iplzone_2=1;
for i=1:size(C2,1)
F_2=C2(i,:)./A2;
Ipl=(F_2(1)*F_2(2)*F_1(3)*F_2(4)...
*F_2(5)*F_2(6)*F_1(7)*F_2(8))^(1/8);
Iplzone_2=Iplzone_2*Ipl;
end
Iplzone_2=Iplzone_2^(1/size(C2,1)) %工业区污染负荷指数
Iplzone_3=1;
for i=1:size(C3,1)
F_3=C3(i,:)./A2;
Ipl=(F_3(1)*F_3(2)*F_3(3)*F_3(4)...
*F_3(5)*F_3(6)*F_3(7)*F_3(8))^(1/8);
Iplzone_3=Iplzone_3*Ipl;
end
Iplzone_3=Iplzone_3^(1/size(C3,1)) %山区区污染负荷指数Iplzone_4=1;
for i=1:size(C4,1)
F_4=C4(i,:)./A2;
Ipl=(F_4(1)*F_4(2)*F_4(3)*F_4(4)...
*F_4(5)*F_4(6)*F_4(7)*F_4(8))^(1/8);
Iplzone_4=Iplzone_4*Ipl;
end
Iplzone_4=Iplzone_4^(1/size(C4,1)) %交通区污染负荷指数Iplzone_5=1;
for i=1:size(C5,1)
F_5=C5(i,:)./A2;
Ipl=(F_5(1)*F_5(2)*F_5(3)*F_5(4)...
*F_5(5)*F_5(6)*F_5(7)*F_5(8))^(1/8);
Iplzone_5=Iplzone_5*Ipl;
end
Iplzone_5=Iplzone_5^(1/size(C5,1)) %公园区污染负荷指数
附录2
工业区：
工业区的Pearson相关矩阵
As (μg/g)
Cd
(ng/g)
Cr
(μg/g)
Cu
(μg/g)
Hg
(ng/g)
Ni
(μg/g)
Pb
(μg/g)
Zn
(μg/g)
相关As (μg/g) 1.000 0.329 0.380 0.153 0.181 0.690 0.395 0.518 Cd (ng/g) 0.329 1.000 0.541 0.566 0.533 0.489 0.829 0.754 Cr (μg/g)0.380 0.541 1.000 0.920 0.902 0.698 0.675 0.695 Cu(μg/g)0.153 0.566 0.920 1.000 0.983 0.503 0.670 0.622 Hg(ng/g) 0.181 0.533 0.902 0.983 1.000 0.479 0.612 0.590 Ni (μg/g)0.690 0.489 0.698 0.503 0.479 1.000 0.578 0.634 Pb (μg/g)0.395 0.829 0.675 0.670 0.612 0.578 1.000 0.739 Zn (μg/g)0.518 0.754 0.695 0.622 0.590 0.634 0.739 1.000
工业区解释的总方差
工业区的成份得分系数矩阵（因子载荷矩阵）
As (μg/g)
Cd
(ng/g)
Cr
(μg/g)
Cu
(μg/g)
Hg
(ng/g)
Ni
(μg/g)
Pb
(μg/g)
Zn
(μg/g)
成份1 -0.105 0.122 0.218 0.277 0.272 0.028 0.142 0.105
2 0.505 0.145 0.001 -0.154 -0.155 0.34
3 0.1
4 0.221
山区：
山区解释的总方差
山区的成份得分系数矩阵（因子载荷矩阵）
As (μg/g)
Cd
(ng/g)
Cr
(μg/g)
Cu
(μg/g)
Hg
(ng/g)
Ni
(μg/g)
Pb
(μg/g)
Zn
(μg/g)
成份1 0.022 -0.042 0.404 0.072 -0.138 0.415 -0.039 0.24
2 0.202 -0.39 0.046 0.004 -0.166 0.06
3 -0.376 -0.24
3 0.395 0.006 -0.01 0.489 0.425 -0.032 0.033 -0.03
因子特征值方差的的百分率（%）累积贡献率（%）
1 5.254 65.670 65.670
2 1.26
3 15.786 81.455
山区的Pearson相关矩阵
As
(μg/g)
Cd
(ng/g)
Cr
(μg/g)
Cu
(μg/g)
Hg
(ng/g)
Ni
(μg/g)
Pb
(μg/g)
Zn
(μg/g)
相关As (μg/g) 1.000 -0.291 0.113 0.527 0.075 0.078 -0.205 -0.176 Cd (ng/g) -0.291 1.000 0.066 0.090 0.246 0.049 0.766 0.606 Cr (μg/g)0.113 0.066 1.000 0.364 -0.006 0.945 0.107 0.627 Cu (μg/g)0.527 0.090 0.364 1.000 0.505 0.358 0.122 0.252 Hg(ng/g) 0.075 0.246 -0.006 0.505 1.000 -0.045 0.226 0.170 Ni (μg/g)0.078 0.049 0.945 0.358 -0.045 1.000 0.028 0.629 Pb (μg/g)-0.205 0.766 0.107 0.122 0.226 0.028 1.000 0.590 Zn (μg/g)-0.176 0.606 0.627 0.252 .170 0.629 0.590 1.000
因子特征值方差的的百分率（%）累积贡献率（%）
1 3.04
2 38.022 38.022
2 2.036 25.445 63.467
3 1.549 19.362 82.829
交通区：
交通区的Pearson相关矩阵
As (μg/g)
Cd
(ng/g)
Cr
(μg/g)
Cu
(μg/g)
Hg
(ng/g)
Ni
(μg/g)
Pb
(μg/g)
Zn
(μg/g)
相关
As(μg/g) 1.000 -0.012 0.540 0.263 0.384 0.699 0.059 0.149 Cd(ng/g) -0.012 1.000 0.355 0.636 0.457 0.168 0.752 0.726 Cr (μg/g)0.540 0.355 1.000 0.574 0.473 0.689 0.457 0.507 Cu(μg/g)0.263 0.636 0.574 1.000 0.628 0.406 0.793 0.840 Hg(ng/g) 0.384 0.457 0.473 0.628 1.000 0.444 0.585 0.636 Ni (μg/g)0.699 0.168 0.689 0.406 0.444 1.000 0.242 0.387 Pb (μg/g)0.059 0.752 0.457 0.793 0.585 0.242 1.000 0.873 Zn(μg/g)0.149 0.726 0.507 0.840 0.636 0.387 0.873 1.000
交通区解释的总方差
交通区的成份得分系数矩阵（因子载荷矩阵）
As
(μg/g)
Cd
(ng/g)
Cr
(μg/g)
Cu
(μg/g)
Hg
(ng/g)
Ni
(μg/g)
Pb
(μg/g)
Zn
(μg/g)
成
份
1 -0.076 0.246 0.066 0.217 0.146 -0.01
2 0.259 0.245
2 0.41 -0.107 0.284 0.051 0.134 0.378 -0.065 -0.005
公园绿地区：
公园绿地区的Pearson相关矩阵
As (μg/g)
Cd
(ng/g)
Cr
(μg/g)
Cu
(μg/g)
Hg (ng/g)
Ni
(μg/g)
Pb
(μg/g)
Zn
(μg/g)
相关As (μg/g) 1.000 0.358 0.689 0.107 0.176 0.691 0.265 0.285 Cd (ng/g) 0.358 1.000 0.564 0.500 0.054 0.433 0.598 0.712 Cr (μg/g)0.689 0.564 1.000 0.357 0.023 0.739 0.397 0.509 Cu (μg/g)0.107 0.500 0.357 1.000 0.136 0.267 0.756 0.521 Hg(ng/g) 0.176 0.054 0.023 0.136 1.000 -0.048 0.389 0.063 Ni (μg/g)0.691 0.433 0.739 0.267 -0.048 1.000 0.168 0.298 Pb (μg/g)0.265 0.598 0.397 0.756 0.389 0.168 1.000 0.748 Zn (μg/g)0.285 0.712 0.509 0.521 0.063 0.298 0.748 1.000 因子特征值方差的的百分率（%）累积贡献率（%）
1 4.550 56.873 56.873
2 1.758 21.977 78.850
公园绿地区解释的总方差
公园绿地区的成份得分系数矩阵（因子载荷矩阵）
As (μg/g)
Cd
(ng/g)
Cr
(μg/g)
Cu
(μg/g)
Hg
(ng/g)
Ni
(μg/g)
Pb
(μg/g)
Zn
(μg/g)
成份1 -0.075 0.252 0.066 0.304 -0.016 -0.023 0.307 0.3
2 -0.396 -0.084 -0.325 0.072 -0.015 -0.378 0.054 -0.007
3 0.19 -0.15
4 -0.078 -0.004 0.862 -0.11
5 0.234 -0.12
因子特征值方差的的百分率（%）累积贡献率（%）
1 3.907 48.840 48.840
2 1.615 20.182 69.023
3 1.056 13.202 82.225
华南农业大学期末考试试卷（A 卷） 2012-2013学年第 二 学期 考试科目：数学建模 考试类型：（闭卷）考试 考试时间： 120 分钟 学号 姓名 年级专业 一篮白菜从河岸一边带到河岸对面，由于船的限制，一次只能带 一样东西过河，绝不能在无人看守的情况下将狼和羊放在一起；羊和白菜放在一起，怎样才能将它们安全的带到河对岸去? 建立多步决策模型,将人、狼、羊、白菜分别记为i = 1，2，3，4，当i 在此岸时记x i = 1，否则为0；此岸的状态下用s =（x 1，x 2，x 3，x 4）表示。该问题中决策为乘船方案，记为d = (u 1, u 2, u 3, u 4)，当i 在船上时记u i = 1，否则记u i = 0。 (1) 写出该问题的所有允许状态集合；（3分） (2) 写出该问题的所有允许决策集合；（3分） (3) 写出该问题的状态转移率。（3分） (4) 利用图解法给出渡河方案. （3分） 解：(1) S={(1,1,1,1), (1,1,1,0), (1,1,0,1), (1,0,1,1), (1,0,1,0)} 及他们的5个反状（3分） (2) D = {(1,1,0,0), (1,0,1,0), (1,0,0,1), (1,0,0,0)} （6分） (3) s k+1 = s k + (-1) k d k （9分） (4)方法：人先带羊，然后回来，带狼过河，然后把羊带回来，放下羊，带白菜过去，然后再回来把羊带过去。 ?或: 人先带羊过河，然后自己回来，带白菜过去，放下白菜，带着羊回来，然后放下羊，把狼带过去，最后再回转来，带羊过去。 （12分） 1、 二、(满分12分) 在举重比赛中，运动员在高度和体重方面差别很大，请就下面两种假设，建立一个举重能力和体重之间关系的模型： （1） 假设肌肉的强度和其横截面的面积成比例。6分 （2） 假定体重中有一部分是与成年人的尺寸无关，请给出一个改进模型。6分 解：设体重w （千克）与举重成绩y （千克） （1） 由于肌肉强度(I)与其横截面积(S)成比例，所以 y ?I ?S 设h 为个人身高，又横截面积正比于身高的平方，则S ? h 2 再体重正比于身高的三次方，则w ? h 3 （6分） ( 12分) 14分) 某学校规定，运筹学专业的学生毕业时必须至少学
2016年高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题系泊系统的设计 近浅海观测网的传输节点由浮标系统、系泊系统和水声通讯系统组成（如图1所示）。某型传输节点的浮标系统可简化为底面直径2m、高2m的圆柱体，浮标的质量为1000kg。系泊系统由钢管、钢桶、重物球、电焊锚链和特制的抗拖移锚组成。锚的质量为600kg，锚链选用无档普通链环，近浅海观测网的常用型号及其参数在附表中列出。钢管共4节，每节长度1m，直径为50mm，每节钢管的质量为10kg。要求锚链末端与锚的链接处的切线方向与海床的夹角不超过16度，否则锚会被拖行，致使节点移位丢失。水声通讯系统安装在一个长1m、外径30cm的密封圆柱形钢桶内，设备和钢桶总质量为100kg。钢桶上接第4节钢管，下接电焊锚链。钢桶竖直时，水声通讯设备的工作效果最佳。若钢桶倾斜，则影响设备的工作效果。钢桶的倾斜角度（钢桶与竖直线的夹角）超过5度时，设备的工作效果较差。为了控制钢桶的倾斜角度，钢桶与电焊锚链链接处可悬挂重物球。 图1 传输节点示意图（仅为结构模块示意图，未考虑尺寸比例）
系泊系统的设计问题就是确定锚链的型号、长度和重物球的质量，使得浮标的吃水深度和游动区域及钢桶的倾斜角度尽可能小。 问题1某型传输节点选用II型电焊锚链22.05m，选用的重物球的质量为1200kg。现将该型传输节点布放在水深18m、海床平坦、海水密度为1.025×103kg/m3的海域。若海水静止，分别计算海面风速为12m/s和24m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 问题2在问题1的假设下，计算海面风速为36m/s时钢桶和各节钢管的倾斜角度、锚链形状和浮标的游动区域。请调节重物球的质量，使得钢桶的倾斜角度不超过5度，锚链在锚点与海床的夹角不超过16度。 问题3 由于潮汐等因素的影响，布放海域的实测水深介于16m~20m之间。布放点的海水速度最大可达到1.5m/s、风速最大可达到36m/s。请给出考虑风力、水流力和水深情况下的系泊系统设计，分析不同情况下钢桶、钢管的倾斜角度、锚链形状、浮标的吃水深度和游动区域。 说明近海风荷载可通过近似公式F=0.625×Sv2(N)计算，其中S为物体在风向法平面的投影面积(m2)，v为风速(m/s）。近海水流力可通过近似公式F=374×Sv2(N)计算，其中S为物体在水流速度法平面的投影面积(m2)，v为水流速度(m/s）。
承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则. 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）：A甲2410 所属学校（请填写完整的全名）：山东科技大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 王宗炎 2. 虞鑫栋 3. 宋婉莹 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)：张玉林 日期： 2010 年 9 月13 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 赛区评阅记录（可供赛区评阅时使用）： 评 阅 人 评 分 备 注 全国统一编号（由赛区组委会送交全国前编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
题目储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 本文分别建立了小椭圆型储油罐及实际储油罐的变位识别模型。针对小椭圆型储油罐的变位识别问题，采用积分方法，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式并得到正常的罐容表标定。对于小椭圆型储油罐纵向倾斜变位问题，讨论了其截面是三角形和梯形两种情况，利用积分法给出了纵向倾斜变位问题的计算公式，给出了修正后的罐容表标定值，并与正常标定值进行比较。针对实际大储油罐的变位识别问题，给出无变位时储油量与油位高度的计算公式，根据计算公式得到正常罐容表标定值。对于倾斜变位问题，用积分方法在不同油高下分别计算出球冠部分和中间圆柱体部分的油量，并求和给出大储油罐纵向倾斜变位后的修正公式。然后对储油罐横向偏转角度进行分析，给出横向偏转后实际油面高度与正常时油面高度的关系式。最后结合纵向倾斜角度及横向偏转角度参数公式推导得到罐内储油量与油位高度及两个变位参数间的函数式。结合附件二中所给数据，利用非线性最小二乘法通过遍历搜索算法求出纵向倾斜角度及横向偏转角度值，最后利用附件二中的数据对模型的可靠性进行了检验，检验结果表明模型较为合理。 关键词：积分，数值积分，复化梯度法，非线性最小二乘法，罐容表，标定
2014年数学建模美赛题目原文及翻译 作者：Ternence Zhang 转载注明出处：https://www.doczj.com/doc/0016810807.html,/zhangtengyuan23 MCM原题PDF： https://www.doczj.com/doc/0016810807.html,/detail/zhangty0223/6901271 PROBLEM A: The Keep-Right-Except-To-Pass Rule In countries where driving automobiles on the right is the rule (that is, USA, China and most other countries except for Great Britain, Australia, and some former British colonies), multi-lane freeways often employ a rule that requires drivers to drive in the right-most lane unless they are passing another vehicle, in which case they move one lane to the left, pass, and return to their former travel lane. Build and analyze a mathematical model to analyze the performance of this rule in light and heavy traffic. You may wish to examine tradeoffs between traffic flow and safety, the role of under- or over-posted speed limits (that is, speed limits that are too low or too high), and/or other factors that may not be
2012-2013第一学期《数学建模》选修课试题卷 班级： 姓名： 学号： 成绩：
一、解释下列词语，并举例说明(每小题满分5分，共15分) 1．模型 模型是所研究的系统，过程事物或概念的一种表达形式，也可只根据实验。图样放大或缩小而制成的样品，一般用于展览或实验或铸造机器零件等用的模子。 2．数学模型 当一个数学结构作为某种形式语言（既包括常用符号,函数符号，谓词符号等符号集合）解释时，这个数学结构就称为数学模型。 3．抽象模型 二、简答题（每小题满分8分，共24分） 1．模型的分类 按照模型替代原型的方式，模型可以简单分为形象模型和抽象模型两类. 形象模型：直观模型、物理模型、分子结构模型等; 抽象模型：思维模型、符号模型、数学模型等。 2．数学建模的基本步骤 1.模型准备：首先要了解问题的实际背景，明确建模的目的及要求，收集各种必要的信息。 2.模型假设：为了利用数学方法，通常要对问题作出必要的合理的假设，是，问题的主要特征凸显出来，忽略问题的次要方面。 3.模型构成：根据说做的假设以及事物之间的联系，构造各种量之间的关系，把问题化为数学问题。 4.模型求解：利用已知的数学方法来求上一步所得到的数学问题词时往往还要做进一步的简化。 5.模型分析：对所得到的解答进行分析，特别注意当数据变化时所得到的结果是否稳定。 6.模型检验：分析所得结果的实际意义，与实际情况进行比较看是否符合实际； 7.模型应用：所建立的模型必须在实际中才能产生效益。
3．数学模型的作用 数学模型的根本作用在于它将客观模型比繁为简。化难为易，便于人们采用定量的方法，分析和理解实际问题，正因为如此数学模型在科学发展，科学预见，科学管理，科学决策调控市场乃至个人能高效个工作和生活等众多方面发挥着重要作用。 三、解答题（满分20分） F 题(9n+5, 9n+1) 某金融机构为保证现金充分支付,设立一笔总额$540万的基金,分开放置在位于A城和B城的两个公司,基金在平时可以使用,但每周末结算时必须确保总额仍为$540万.经过相当一段时期业务情况,发现每过一周,各公司的支付基金在流通过程中多数还是留在自己公司内,而A城公司有10％支付基金流动到B城公司，B 城公司则有12％支付基金流动到A城公司.此时,A城公司基金额为$260万,B城公司基金额$280万.按此规律,两公司支付基金数额变化趋势如何?如果金融专家认为每个公司的支付基金不能少于$220万,那么是否在什么时间需要将基金作专门调动来避免这种情形? 解：设此后第K周末结算时，A城公司和B城公司的支付基金数分别是Ak和Bk(单位：万美元)，那么此刻有： Ak+1=0.9Ak+0.12Bk Bk+1=0.1AK+0.88Bk k=0,1……其中，初始条件：A0=260，B0=280 给出了这个问题的数学模型。通过一次迭代，可以求出各周末时Ak和Bk的数值，以下的表列出了1至12周末两公司的基金属（单位：万美元）
2011年全国大学生数学建模B题 交巡警服务平台的设置与调度 题目警车配置及巡逻问题的研究 摘要： 本文研究的是某城区警车配置及巡逻方案的制定问题，建立了求解警车巡逻方案的模型，并在满足D1的条件下给出了巡逻效果最好的方案。 在设计整个区域配置最少巡逻车辆时，本文设计了算法1：先将道路离散化成近似均匀分布的节点，相邻两个节点之间的距离约等于一分钟巡逻路程。由警车的数目m,将全区划分成m个均匀的分区，从每个分区的中心点出发，找到最近的道路节点，作为警车的初始位置，由Floyd算法算出每辆警车3分钟或2分钟行驶路程范围内的节点。考虑区域调整的概率大小和方向不同会影响调整结果，本文利用模拟退火算法构造出迁移几率函数，用迁移方向函数决定分区的调整方向。计算能满足D1的最小车辆数，即为该区应该配置的最小警车数目，用MATLAB计算，得到局部最优解为13辆。 在选取巡逻显著性指标时，本文考虑了两个方面的指标：一是全面性，即所有警车走过的街道节点数占总街道节点数的比例，用两者之比来评价；二是均匀性，即所有警车经过每个节点数的次数偏离平均经过次数的程度，用方差值来大小评价。 问题三：为简化问题，假设所有警车在同一时刻，大致向同一方向巡逻，运动状态分为四种：向左，向右，向上，向下，记录每个时刻，警车经过的节点和能够赶去处理事故的点，最后汇总计算得相应的评价指标。 在考虑巡逻规律隐蔽性要求时，文本将巡逻路线进行随机处理，方向是不确定的，采用算法2进行计算，得出相应巡逻显著指标，当车辆数减少到10辆或巡逻速度变大时，用算法2计算巡逻方案和对应的参数，结果见附录所示。 本文最后还考虑到4个额外因素，给出每个影响因素的解决方案。 关键词：模拟退火算法；Floyd算法；离散化 一问题的重述 110警车在街道上巡逻，既能够对违法犯罪分子起到震慑作用，降低犯罪率，又能够增加市民的安全感，同时也加快了接处警时间，提高了反应时效，为社会和谐提供了有力的保障。 现给出某城市内一区域，其道路数据和地图数据已知，该区域内三个重点部位的坐标分别为：（5112，4806），（9126， 4266），（7434 ，1332）。该区域内共有307个道路交叉口，为简化问题，相邻两个交叉路口之间的道路近似认为是直线，且所有事发现场均在下图的道路上。 该市拟增加一批配备有GPS卫星定位系统及先进通讯设备的110警车。设110警车的平均巡逻速度为20km/h，接警后的平均行驶速度为40km/h。警车配置及巡逻方案要
中国大学生数学建模竞赛： 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，已成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞赛。2018年，来自全国34个省/市/区(包括香港、澳门和台湾)及美国和新加坡的1449所院校/校区、42128个队（本科38573队、专科3555队）、超过12万名大学生报名参加本项竞赛。 赛事设置： 竞赛宗旨 创新意识团队精神重在参与公平竞争。 指导原则 指导原则：扩大受益面，保证公平性，推动教学改革，提高竞赛质量，扩大国际交流，促进科学研究。 规模与数据 全国大学生数学建模竞赛是全国高校规模最大的课外科技活动之一。该竞赛每年9月（一般在上旬某个周末的星期五至下周星期一共3天，72小时）举行，竞赛面向全国大专院校的学生，不分专业（但竞赛分本科、专科两组，本科组竞赛所有大学生均可参加，专科组竞赛只有专科生（包括高职、高专生）可以参加）。同学可以向该校教务部门咨询，如有必要也可直接与全国竞赛组委会或各省（市、自治区）赛区组委会联系。 全国大学生数学建模竞赛创办于1992年，每年一届，成为全国高校规模最大的基础性学科竞赛，也是世界上规模最大的数学建模竞
赛。2014年，来自全国33个省/市/自治区(包括香港和澳门特区)及新加坡、美国的1338所院校、25347个队（其中本科组22233队、专科组3114队）、7万多名大学生报名参加本项竞赛。 比赛时间 2017年比赛时间是9月14号20:00到9月17号24:00，总共76小时，采取通讯方式比赛，比赛地点在各个高校。比赛时间全国统一的，不可以与老师交流，可以在互联网查阅资料。 同学们在比赛期间应该注意安排时间，以免出现时间不够用的情况。 组委名单 注：第五届专家组任期两年（2010-2011）。2011年底任期届满后，组委会对专家组进行了调整，并决定此后不再对外公布专家组成员名单。 第五届组委会成员名单（2010-2013）及下属专家组成员名单 第四届组委会成员名单及下属专家组成员名单 第一、二、三届组委第一、二、三届组委会成员名单及下属专家组成员名单引各赛区组委会各赛区联系方式列表引 [注1] 各赛区联系人请注意：若本赛区联系e-mail地址发生变化，请通知全国组委会进行修改。 [注2] 全国已成立赛区的有28个省、市、自治区，国内尚未成立赛区的区域组成联合赛区，其他（境外参赛学生）组成国际赛区，共30个赛区。
2011年全国大学生数学建模竞赛测试试题(A) 时量：180分钟满分：150分 院系：专业：学号：姓名： 一、选择题（2分/题×10题=20分） 1、Matlab程序设计中清除当前工作区的变量x,y的命令是( c ) A.clc x,y B.clear(x y) C.clear x y D.remove(x,y) 2、关于Matlab程序设计当中变量名和函数名的描述，下述说法正确的是( B ) A.都不区分大小写 B.都区分大小写 C.变量名区分,函数名不区分 D. 变量名区分,函数名不区分 3、MA TLAB软件中，把二维矩阵按一维方式寻址时的寻址访问是按（B）优先的。 A.行 B.列 C.对角线 D.左上角 4、关于矩阵上下拼接和左右拼接的方式中，下列描述是正确的是（ D ） A．上下拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的列数相同； B．左右拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； C．上下拼接的命令为C=[A; B]，要求矩阵A, B的行数相同； D．左右拼接的命令为C=[A, B]，要求矩阵A, B的行数相同。 5、Matlab命令a=[65 72 85 93 87 79 62 73 66 75 70];find(a>=70 & a<80)得到的结果为（C ） A.[72 79 73 75] B.[72 79 73 75 70] C.[2 6 8 10 11] D.[0 1 0 0 0 1 0 1 0 1 1] 6、矩阵(或向量)的范数是用来衡量矩阵(或向量)的（A）的一个量 A.维数大小 B.元素的值的绝对值大小 C.元素的值的整体差异程度 D.所有元素的和 7、计算非齐次线性方程组AX=b的解可转化为计算矩阵X=A-1b，可以用Matlab的命令（A）实现 A.左除命令x=A\b B.左除命令x=A/b C.右除命令x=A\b D.右除命令x=A/b 8、关于Matlab的矩阵命令与数组命令，下列说法正确的是（b） A.矩阵乘A*B是指对应位置元素相乘 B.矩阵乘A.*B是指对应位置元素相乘 C.数组乘A.*B是指对应位置元素相乘 D.数组乘A*B是指对应位置元素相乘 9、生成5行4列，并在区间[1:10]内服从均分布的随机矩阵的命令是（d） A.rand(5,4)*10 B.rand(5,4,1,10) C.rand(5,4)+10 D.rand(5,4)*9+1 10、关于Matlab的M文件的描述中，以下错误的是（ d ） A、Matlab的M 文件有脚本M文件和函数M文件两种； B、Matlab的函数M文件中要求首行必须以function顶格开头；
09级数模试题 1. 把四只脚的连线呈长方形的椅子往不平的地面上一放，通常只有三只脚着地，放不稳，然后稍微挪动几次，就可以使四只脚同时着地，放稳了。试作合理的假设并建立数学模型说明这个现象。 （15分） 解：对于此题，如果不用任何假设很难证明，结果很可能是否定的。 因此对这个问题我们假设 ： （1）地面为连续曲面 （2）长方形桌的四条腿长度相同 （3）相对于地面的弯曲程度而言，方桌的腿是足够长的 （4）方桌的腿只要有一点接触地面就算着地。 那么，总可以让桌子的三条腿是同时接触到地面。 现在，我们来证明：如果上述假设条件成立，那么答案是肯定的。以长方桌的中心为坐标原点作直角 坐标系如图所示，方桌的四条腿分别在A 、B 、C 、D 处，A 、B,C 、D 的初始位置在与x 轴平行，再假设有一条在x 轴上的线ab,则ab 也与A 、B ，C 、D 平行。当方桌绕中心0旋转时，对角线 ab 与x 轴的夹角记为θ。 容易看出，当四条腿尚未全部着地时，腿到地面的距离是不确定的。为消除这一不确定性，令 ()f θ为A 、B 离地距离之和， ()g θ为C 、D 离地距离之和，它们的值由θ唯一确定。由假设（1）， ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数。又由假设（3），三条腿总能同时着地， 故 ()f θ()g θ=0必成立（?θ ）。 不妨设 (0)0f =,(0)0g >g （若(0)g 也为 0，则初始时刻已四条腿着地，不必再旋转），于是问题归 结为： 已知 ()f θ,()g θ均为θ 的连续函数， (0)0f =,(0)0g >且对任意θ 有 00()()0f g θθ=，求证存 在某一0θ，使00()()0f g θθ=。 证明：当θ=π时，AB 与CD 互换位置，故()0f π>，()0g π=。作()()()h f g θθ θ=-，显然，() h θ也是θ的连续函数，(0)(0)(0)0h f g =-<而()()()0h f g πππ=->，由连续函数的取零值定 理，存在0θ，0 0θπ<<，使得0()0h θ=，即00()()f g θθ=。又由于00()()0f g θθ=，故必有 00()()0f g θθ==，证毕。 2.学校共1000名学生，235人住在A 宿舍，333人住在B 宿舍，432人住在C 宿舍。学生 们要组织一个10人的委员会，试用合理的方法分配各宿舍的委员数。（15分） 解：按各宿舍人数占总人数的比列分配各宿舍的委员数。设：A 宿舍的委员数为x 人，B 宿舍的委员数为y 人，C 宿舍的委员数为z 人。计算出人数小数点后面的小数部分最大的整数进1，其余取整数部分。 则
2006高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 （请先阅读“对论文格式的统一要求”） A题:出版社的资源配置 出版社的资源主要包括人力资源、生产资源、资金和管理资源等，它们都捆绑在书号上，经过各个部门的运作，形成成本（策划成本、编辑成本、生产成本、库存成本、销售成本、财务与管理成本等）和利润。 某个以教材类出版物为主的出版社，总社领导每年需要针对分社提交的生产计划申请书、人力资源情况以及市场信息分析，将总量一定的书号数合理地分配给各个分社，使出版的教材产生最好的经济效益。事实上，由于各个分社提交的需求书号总量远大于总社的书号总量，因此总社一般以增加强势产品支持力度的原则优化资源配置。资源配置完成后，各个分社（分社以学科划分）根据分配到的书号数量，再重新对学科所属每个课程作出出版计划，付诸实施。 资源配置是总社每年进行的重要决策，直接关系到出版社的当年经济效益和长远发展战略。由于市场信息（主要是需求与竞争力）通常是不完全的，企业自身的数据收集和积累也不足，这种情况下的决策问题在我国企业中是普遍存在的。 本题附录中给出了该出版社所掌握的一些数据资料，请你们根据这些数据资料，利用数学建模的方法，在信息不足的条件下，提出以量化分析为基础的资源（书号）配置方法，给出一个明确的分配方案，向出版社提供有益的建议。 [附录] 附件1：问卷调查表； 附件2：问卷调查数据（五年）； 附件3：各课程计划及实际销售数据表（5年）； 附件4：各课程计划申请或实际获得的书号数列表（6年）； 附件5：9个分社人力资源细目。
出版社的资源优化配置 摘要 本文针对出版社资源分配问题，在满足利润最大化的追求目标的前提下，以量化分析为基础，对出版社的资源进行优化合理的分配。 首先，对题目给出的海量数据进行分析，提取有用的信息，以学科为基本单位，从市场满意度，市场占有率和经济效益三项指标来综合考虑总的效益。根据盈利和销售额的同一性，预测出06年的实际销售额。利用层次分析法，确定了三项指标的权重，将所得数据归一化得到最后的分社的综合排名。 其次，根据出版社人力资源的限制，考虑到每年有限的工作能力问题，求的各分社的工作能力的最小值。而对于各分社计划销量过多与实际销量，为了资源的有效利用，降低申请书号的浪费，又对申请书号进行了校正，得到校正后的有效书号。最后应用贪心算法对06年实际分配到的书号做出了分配。
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目（请先阅读“全国大学生数学建模竞赛论文格式规范”） A题城市表层土壤重金属污染分析 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……、5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0~10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自然区取样，将其作为该城区表层土壤中元素的背景值。 附件1列出了采样点的位置、海拔高度及其所属功能区等信息，附件2列出了8种主要重金属元素在采样点处的浓度，附件3列出了8种主要重金属元素的背景值。 现要求你们通过数学建模来完成以下任务： (1) 给出8种主要重金属元素在该城区的空间分布，并分析该城区内不同区域重金属的污染程度。 (2) 通过数据分析，说明重金属污染的主要原因。 (3) 分析重金属污染物的传播特征，由此建立模型，确定污染源的位置。 (4) 分析你所建立模型的优缺点，为更好地研究城市地质环境的演变模式，还应收集什么信息？有了这些信息，如何建立模型解决问题？ 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868 2.257986581664868
1998年全国大学生数学建模竞赛题目 B题灾情巡视路线 下图为某县的乡（镇）、村公路网示意图，公路边的数字为该路段的公里数。 今年夏天该县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各乡（镇）、村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 (1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 (2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时，汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组；给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 (3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。(4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳巡视路线的影响。 ?
灾情巡视路线模型 摘要 本文将求最佳巡视路线间题转化为图论中求最佳推销员回路（哈米尔顿回路）的问题,并用近似算法去寻求近似最优解。对赋权图中的路径分组问题定义了均衡度用以衡量分组的均衡性。对问题1和问题2先定出几个分的准则进行初步分组,并用近似算法求每一组的近似最佳推销员回路,再根据均衡度进行微调,得到较优的均衡分组和每组的近似最佳推销员回路。对问题1，运用求任意两点间最短路的Floyd算法,得出总路程较短且各组尽可能均衡的路线,各组的巡视路程分别为公里,公里,公里,总路程公里。对问题2,证明了应至少分为4组,并求出了分为4组时各组的较优巡视路线,各组的巡视时间分别为小时,小时,小时,小时。对问题3,求出完成巡视的最短时间为小时,并用较为合理的分组的准则,分成22个组对问题4，研究了在不影响分组的均衡条件下, T,t,V的允许变化范围,并得出了这三个变量的关系式,并由此对分三个组的情况进行了具体讨论。 关键词：最佳推销员回路问题哈米尔顿回路赋权图近似算法均衡度 一、问题重述 1998年夏天某县遭受水灾。为考察灾情、组织自救，县领导决定，带领有关部门负责人到全县各17个乡（镇）、35个村巡视。巡视路线指从县政府所在地出发，走遍各乡（镇）、村，又回到县政府所在地的路线。 (1) 若分三组（路）巡视，试设计总路程最短且各组尽可能均衡的巡视路线。 (2) 假定巡视人员在各乡（镇）停留时间T=2小时，在各村停留时间t=1小时， 汽车行驶速度V=35公里/小时。要在24小时内完成巡视，至少应分几组； 给出这种分组下你认为最佳的巡视路线。 (3) 在上述关于T , t和V的假定下，如果巡视人员足够多，完成巡视的最短时 间是多少；给出在这种最短时间完成巡视的要求下，你认为最佳的巡视路线。 (4) 若巡视组数已定(如三组），要求尽快完成巡视，讨论T，t和V改变对最佳 巡视路线的影响。 二、问题分析 本题给出了某县的公路网络图，要求的是在不同的条件下，灾情巡视的最分组方案和路线.将每个乡（镇）或村看作一个图的顶点，各乡镇、村之间的公路看作此图对应顶点间的边，各条公路的长度（或行驶时间）看作对应边上的权，所给公路网就转化为加权网络图，问题就转化图论中一类称之为旅行售货员问题，即在给定的加权网络图中寻找从给定点O出发，行遍所有顶点至少一次再回
2008年数学建模竞赛题目(A题)
2008高教社杯全国大学生数学建模竞赛题目 A题数码相机定位 数码相机定位在交通监管（电子警察）等方面有广泛的应用。所谓数码相机定位是指用数码相机摄制物体的相片确定物体表面某些特征点的位置。最常用的定位方法是双目定位，即用两部相机来定位。对物体上一个特征点，用两部固定于不同位置的相机摄得物体的像，分别获得该点在两部相机像平面上的坐标。只要知道两部相机精确的相对位置，就可用几何的方法得到该特征点在固定一部相机的坐标系中的坐标，即确定了特征点的位置。于是对双目定位，精确地确定两部相机的相对位置就是关键，这一过程称为系统标定。 标定的一种做法是：在一块平板上画若干个点，同时用这两部相机照相，分别得到这些点在它们像平面上的像点，利用这两组像点的几何关系就可以得到这两部相机的相对位置。然而，无论在物平面或像平面上我们都无法直接得到没有几何尺寸的“点”。实际的做法是在物平面上画若干个圆（称为靶标），它们的圆心就是几何的点了。而它们的像一般会变形，如图1所示，所以必须从靶标上的这些圆的像中把圆心的像精确地找到，标定就可实现。
图 1 靶标上圆的像 有人设计靶标如下，取1个边长为100mm的正方形，分别以四个顶点（对应为A、C、D、E）为圆心，12mm为半径作圆。以AC 边上距离A点30mm处的B为圆心，12mm为半径作圆，如图2所示。
图3 靶标的像 请你们： （1）建立数学模型和算法以确定靶标上圆的圆心在该相机像平面的像坐标, 这里坐标系原点取在该相机的焦点，x-y平面平行于像平面； （2）对由图2、图3分别给出的靶标及其像，计算靶标上圆的圆心在像平面上的像坐标, 该相机的像距（即焦点到像平面的距离）是1577个像素单位(1毫米约为3.78个像素单位)，相机分辨率为1024×786； （3）设计一种方法检验你们的模型，并对方法的精度和稳定性进行讨论；
城市学院2010-2011学年第二学期《数学建模》课程 考试试题（开卷） 年级：09级 专业：机械1班 学号：20940501115 姓名：李明泽 1． 游泳队员分配问题 某游泳队拟选用 甲，乙，丙，丁四名游泳队员组成一个4*100m 混合泳接力队，参加今年的锦标赛。他们的100m 自由泳，蛙泳，蝶泳，仰泳的成绩如下表所示。问 甲，乙，丙，丁 四名队员各自游什么姿势，才最有可能取得最好成绩。 请建立数学模型，并写出用Lingo 软件的求解程序。 解：引入0-1变量Xij ，若选择队员i 参加泳姿j 的比赛，记Xij=1，否则记Xij=0根据组成接力队的要求，Xij 应该满足两个约束条件： 第一， 每人最多且只能入选4种泳姿之一，即对于i=1234；应有Xij=1； 第二， 每种泳姿必须有一人且只能有一人入选，即对于j=1234；应有Xij=1 当队员i 入选泳姿j 是，CijXij 表示他的成绩，否则CijXij=0。于是接力赛成绩可表示为Z=∑∑==414 1j i CijXij ，这就是改问题的目标函数。 综上，这个问题的0-1规划模型可写作 Min Z= Z=∑∑==4141j i CijXij ；S ．t ．∑=41j Xjy =1,i=1,2,3,4; ∑=41 i Xjy =1,i=1,2,3,4 将题目给数据代入这一模型，并输入LIGDO ： Min =56*x11+74*x12+61*x13+63*x14 +63*x21+69*x22+65*x23+71*x24 +57*x31+77*x32+63*x33+67*x34 +55*x41+76*x42+62*x43+62*x44; x11+x12+x13+x14=1; x21+x22+x23+x24=1; x31+x32+x33+x34=1; x41+x42+x43+x44=1; x11+x21+x31+x41=1; x12+x22+x32+x42=1; x13+x23+x33+x43=1;
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 承诺书 我们仔细阅读了中国大学生数学建模竞赛的竞赛规则。 我们完全明白，在竞赛开始后参赛队员不能以任何方式（包括电话、电子邮件、网上咨询等）与队外的任何人（包括指导教师）研究、讨论与赛题有关的问题。 我们知道，抄袭别人的成果是违反竞赛规则的, 如果引用别人的成果或其他公开的资料（包括网上查到的资料），必须按照规定的参考文献的表述方式在正文引用处和参考文献中明确列出。 我们郑重承诺，严格遵守竞赛规则，以保证竞赛的公正、公平性。如有违反竞赛规则的行为，我们将受到严肃处理。 我们参赛选择的题号是（从A/B/C/D中选择一项填写）： A 我们的参赛报名号为（如果赛区设置报名号的话）： 所属学校（请填写完整的全名）：河南科技大学 参赛队员(打印并签名) ：1. 2. 3. 指导教师或指导教师组负责人(打印并签名)： 日期： 2011 年 9 月 12 日赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）：
2011高教社杯全国大学生数学建模竞赛 编号专用页 赛区评阅编号（由赛区组委会评阅前进行编号）： 全国评阅编号（由全国组委会评阅前进行编号）：
城市表层土壤重金属污染分析 摘要 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。城市工业、经济的发展，污水排放和汽车尾气排放等均能引起城市表层土壤重金属污染。而重金属污染对城市环境和人类健康造成了严重的威胁，因此对城市表层土壤重金属污染的研究具有重大意义。 对于问题1，先用MATLAB软件对所给数据进行处理，插值拟合得出8种主要重金属元素在该城区的空间分布图；再用内梅罗综合污染指数评价法建立模型进行求解。首先用EXCEL对数据进行分析，得出各区的8种重金属的平均浓度；然后结合MATLAB软件求出各 各种元素之间及其与海拔之间的相关系数矩阵和相关度；然后结合第一问给出的空间分布图和区域散点图，参照主要重金属含量土壤单项污染的指数，分析得出各重金属污染的主要原因主要来自工业区、主干道路区和生活区。 对于问题3，由上述问题的分析可以认为重金属的分布是连续的，物质的扩散从高浓度向低浓度进行。在模型一数据处理基础上建立遍历搜索模型，结合MATLAB软件求出重金属空间分布中的极值点即可能的污染源，得出极值点后再结合《国家土壤环境质量标准》通过MATLAB软件对极值点进行筛选，得出8种重金属元素的主要污染源。 对于问题4，对所建立的模型进行分析，找出了各个模型的优缺点。然后分析影响城市地质演化模型的因素，为更好地研究城市地质环境的演变模式，从动态和多元的角度出发，还应搜集采样点的长期动态数据和岩石、土壤、大气、水和生物等因素的相关信息，分别建立动态动态传播模型和城市地质环境的综合评价预测模型。 关键词：梅罗综合污染指数评价法污染等级相关矩阵遍历搜索模型污染源 一、问题重述 随着城市经济的快速发展和城市人口的不断增加，人类活动对城市环境质量的影响日显突出。对城市土壤地质环境异常的查证，以及如何应用查证获得的海量数据资料开展城市环境质量评价，研究人类活动影响下城市地质环境的演变模式，日益成为人们关注的焦点。 按照功能划分，城区一般可分为生活区、工业区、山区、主干道路区及公园绿地区等，分别记为1类区、2类区、……5类区，不同的区域环境受人类活动影响的程度不同。 现对某城市城区土壤地质环境进行调查。为此，将所考察的城区划分为间距1公里左右的网格子区域，按照每平方公里1个采样点对表层土（0-10 厘米深度）进行取样、编号，并用GPS记录采样点的位置。应用专门仪器测试分析，获得了每个样本所含的多种化学元素的浓度数据。另一方面，按照2公里的间距在那些远离人群及工业活动的自
数学建模模拟试题及答案 一、填空题（每题５分，共2０分) 1． 若,, x z z y ∝∝则y 与x 的函数关系是. 2. 在超级市场的收银台有两条队伍可选择,队1有1m 个顾客,每人都买了1n 件商品,队2有2m 个顾客，每人都买了2n 件商品,假设每个人付款需p 秒，而扫描每件商品需t 秒，则加入较快队1的条件是. 3. 马尔萨斯与罗捷斯蒂克两个人口增长模型的主要区别是假设了 4. 在研究猪的身长与体重关系时,我们通过与已知其相关性质的的弹性梁作 的方法建立了模型. 二、分析判断题（每小题15分,满分３０分） 1. 要为一所大学编制全校性选修课程表，有哪些因素应予以考虑?试至少列出５种． 2. 一起交通事故发生3个小时后，警方测得司机血液中酒精的含量是 ),ml /mg (100/56 又过两个小时，含量降为),ml /mg (100/40试判断,当事故发生时，司 机是否违反了酒精含量的规定（不超过8０／100)ml /mg (． （提示：不妨设开始时刻为)(,0t C t =表示t 时刻血液中酒精的浓度,则依平衡原理，在时间间隔],[t t t ?+内酒精浓度的改变量为 t t kC t C t t C ?-=-?+)()()( 其中0>k 为比例常数,负号则表示了浓度随时间的推移是递减的.) 三、计算题(每题2５分,满分５0分） 1. 一个毛纺厂使用羊毛、兔毛和某种纤维生产甲、乙两种混纺毛料,生产一个单位产品甲需要的三种原料依次为3、２、８个单位,产值为580元；生产一个单位产品乙需要的三种原料依次为2、３、5个单位,产值为680元，三种原料在计划期内的供给量依次为90、30和８0单位．试建立线性规划模型以求一个生产方案，使得总产值达到最大,并由此回答: （1） 最优生产方案是否具有可选择余地？若有请至少给出两个，否则说明理由. （2） 原材料的利用情况.
储油罐的变位识别与罐容表标定 摘要 加油站都有若干个储存燃油的地下储油罐，需要采用流量计和油位计来测 量进/出油量与罐内油位高度等数据，通过预先标定的罐容表（即罐内油位高度与储油量的对应关系）进行实时计算，以得到罐内油位高度和储油量的变化情况。但是许多储油罐在使用一段时间后，由于地基变形等原因，使罐体的位置会发生纵向倾斜和横向偏转等变化，从而导致罐容表发生改变。需要定期对罐容表进行重新标定。在求解过程中，我们对于罐体无变位、罐体产生纵向变位、罐体在水平和纵向都产生变位三种情况，利用解析几何的方式计算出体积与变位参数之间的关系，同时应用契比雪夫多项式对体积值进行近似多项式展开用以对标高和出油量的关系进行拟合表示，得到较为满意的效果。 第一问、(1)针对无变位情况，我们计算得到椭圆油罐容积表达式为： abl v b h v b h v b h V ??????-+---+=arcsin )(12 2' π椭，利用契比雪夫多项式方法在提高拟合精 度的前提下用5阶多项式拟合处标高和容量之间的函数关系；(2)对于纵向变位的情况，当椭圆型罐体发生变位纵向变位角度O =1.4α时,我们利用体积等效思想，讲上述罐内不规则油量容积的计算转为(1)中规则油容进行计算，利用附件 (1)中数据利用最小二乘拟合方法算出油位高度的真实值，继而利用拟合多项式： 408.5976 -H 395.774852.5322H -13.2498H 1.1361H - 0.0320H 2345++=椭变V 进行间隔为1cm 的此罐容表进行标定，得出的表标定值如下： 1cm 2cm 3cm 4cm ??? 118cm 119cm 120cm 0L 0L 0L 0L ??? 4017.26L 4050.08L 4082.80L 第二问、(1)利用第一问中等体积的思想，我们同样可以对纵向倾斜角度α和横向倾斜角度β时进行数学模型的建立。(2)在模型的建立过程中得到一个关于浮游子高度H 和偏转角α、β以及等效高度h 之间的一个表达式，从而利用 最小二乘拟合确定变位参数α、β。(3)利用已给数据求得表达式： ααηtan 2tan 10++-=+h R z ， 继而再次利用拟合拟合多项式得出间隔为10cm 值： 10cm 20cm 30cm ??? 280cm 290cm 300cm 1352.17 2223.85 3082.13 ??? 60303.88 60690.98 61807.31 利用附表（2）中的数据进而进行模型正确性与可靠性的检验。 关键词：储油罐 罐容表 变位 契比雪夫公式 等效高度 最小二乘拟合