2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算
基础巩固强化
一、选择题
1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC →
＋BA →
＝2BP →
，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB →
＋PC →
＝0 D.P A →
＋PB →
＋PC →
＝0
[答案] B
[解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC →
＋BA →
＝2BP →
?P 是AC 的中点，故P A →
＋PC →
＝0.
(理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD →
＝2DB →，CD →
＝rAB →
＋sAC →
，则r ＋s 的值是( )
A.23
B.43 C ．－3 D ．0
[答案] D
[解析] CD →
＝AD →
－AC →
，DB →
＝AB →
－AD →
.
∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB →
－1
2CD →－AC →.
∴3
2
CD →＝AB →－AC →
，
∴CD →＝23AB →－2
3
AC →
.
又CD →＝rAB →＋sAC →
，∴r ＝23，s ＝－2
3，
∴r ＋s ＝0.
2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b
|b |成立的充分条件是( )
A ．a ＝－b
B ．a ∥b
C ．a ＝2b
D ．a ∥b 且|a |＝|b |
[答案] C
[解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念．
因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b
|b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b |
.
[点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b |
.
3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1)
[答案] A
[解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A.
4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC →
2＝16，|AB →
＋AC →
|＝|AB →
－AC →
|，则|AM →
|＝( )
A ．2
B ．4
C ．6
D ．8 [答案] A
[解析] 由|AB →
＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC
→
＝0，
所以AB →⊥AC →
，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM →
|＝2. 5．设OA →
＝e 1，OB →
＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP
PB |＝4，如图所示，则
OP →
＝( )
A.15e 1－25e 2
B.25e 1＋15e 2
C.15e 1＋45e 2
D.25e 1－15e 2 [答案] C
[解析] AP →
＝4PB →，∴AB →
＝AP →
＋PB →
＝5PB →
， OP →
＝OB →
＋BP →
＝OB →
－1
5
AB →
＝OB →
－15(OB →－OA →)＝45OB →＋15OA →＝15e 1＋4
5
e 2.
6．(2013·湖南衡阳八中月考)向量a ＝(1,2)，b ＝(1,1)，且a 与a ＋λb 的夹角为锐角，则λ满足( ) A ．λ<－5
3
B ．λ>－5
3
C ．λ>－5
3且λ≠0
D ．λ<－5
3
且λ≠－5
[答案] C
[解析] 当λ＝0时，a 与a ＋λb 平行，其夹角为0°，∴λ≠0，由a 与a ＋λb 的夹角为锐角，可得a ·(a ＋λb )＝(1,2)·(1＋λ，2＋λ)＝3λ＋5>0，解得λ>－53，综上可得λ的取值范围为λ>－53且λ≠0，
故应选C.
二、填空题
7．(文)已知向量a ＝(3，1)，b ＝(0，－1)，c ＝(k ，3)，若a －2b 与c 共线，则k ＝________. [答案] 1
[解析] a －2b ＝(3，1)－2(0，－1)＝(3，3) ，因为a －2b 与c 平行，所以3×3－3k ＝0， 所以k ＝1.
(理)已知点A (2,3)，C (0,1)，且AB →
＝－2BC →
，则点B 的坐标为________．
[答案] (－2，－1)
[解析] 设点B 的坐标为(x ，y )，则有AB →
＝(x －2，y －3)，BC →
＝(－x,1－y )，因为AB →
＝－2BC →
，
所以?
????
x －2＝2x ，y －3＝－2(1－y )，解得x ＝－2，y ＝－1.
8．(2013·新课标Ⅱ)已知正方形ABCD 的边长为2，E 为CD 的中点，则AE →·BD →
＝________. [答案] 2
[解析] ∵正方形ABCD 中，AB ⊥AD ，∴AB →·AD →
＝0， ∵E 为CD 的中点，∴AE →
＝1
2AB →＋AD →，BD →＝AD →－AB →
，
∴AE →·BD →
＝(1
2AB →＋AD →)·(AD →－AB →)
＝－12|AB →|2＋|AD →|2＝－1
2
×22＋22＝2.
9．(文)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝2，AB →·AC →
＝－1，若AO →
＝x 1AB →
＋x 2AC →
(O 是△ABC 的外心)，则x 1＋x 2的值为________．
[答案]
13
6
[解析] O 为△ABC 的外心，AO →
＝x 1AB →
＋x 2AC →
，AO →·AB →
＝x 1AB →·AB →
＋x 2AC →·AB →
，由向量数量积的几何意义，AO →·AB →
＝1
2
|AB →
|2＝2，∴4x 1－x 2＝2，①
又AO →·AC →＝x 1AB →·AC →＋x 2AC →·AC →
，∴－x 1＋x 2＝1
2，②
联立①②，解得x 1＝56，x 2＝43，∴x 1＋x 2＝13
6
.
(理)(2013·保定调研)已知两点A (1,0)，B (1,1)，O 为坐标原点，点C 在第二象限，且∠AOC ＝135°，设OC →
＝－OA →
＋λOB →
(λ∈R )，则λ的值为________．
[答案] 1
2
[解析] 由∠AOC ＝135°知，点C 在射线y ＝－x (x <0)上，设点C 的坐标为(a ，－a )，a <0，则有(a ，－a )＝(－1＋λ，λ)，得a ＝－1＋λ，－a ＝λ，消掉a 得λ＝12
.
10．(2013·广东中山一模)在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别是CD 和BC 的中点，若AC →
＝λAE →
＋
μAF →
，其中λ，μ∈R ，则λ＋μ＝________.
[答案] 4
3
[解析]
如图，设AB →＝a ，AD →
＝b ， 则AC →＝AB →＋AD →
＝a ＋b ， AF →
＝AB →＋BF →＝a ＋1
2b ，
AE →
＝AD →
＋DE →
＝1
2a ＋b ，
∴AE →
＋AF →
＝32(a ＋b )＝3
2AC →
，
即AC →
＝23AE →
＋2
3AF →
.
∴λ＝μ＝23，λ＋μ＝4
3
.
能力拓展提升
一、选择题
11．(2013·哈尔滨四校统考)在△ABC 中，N 是AC 边一点，且AN →
＝1
2NC →
，P 是BN 上的一点，若
AP →
＝mAB →
＋2
9
AC →
，则实数m 的值为( )
A.19
B.1
3 C ．1 D ．3 [答案] B [解析]
如图，因为AN →
＝12NC →，所以AN →＝13AC →，AP →＝mAB →＋29AC →＝mAB →＋2
3AN →，因为B 、P 、N 三点共线，
所以m ＋2
3
＝1，
所以m ＝1
3
，选B.
12．(文)(2013·山西大学附中)已知△ABC 是边长为2的等边三角形，设点P ，Q 满足AP →
＝λAB →
，AQ →
＝(1－λ)AC →
，λ∈R ，若BQ →·CP →
＝－32
，则λ＝( )
A.1±102
B.3
4 C.1±22
D.12
[答案] D
[解析] BQ →·CP →＝(BA →
＋AQ →)(CA →＋AP →
)＝BA →·CA →
＋BA →·AP →
＋AQ →·CA →
＋AQ →·AP →
＝BA →·CA →
－λBA →·BA →
－(1－λ)CA →·CA →
＋λ(1－λ)BA →·CA →
＝2(－λ2＋λ＋1)－4λ－4(1－λ) ＝－2λ2＋2λ－2＝－32，∴λ＝12
.
(理)(2012·宁夏银川一中二模)已知向量AB →
＝(2，x －1)，CD →
＝(1，－y )(xy >0)，且AB →
∥CD →
，则2
x ＋
1
y
的最小值等于( ) A ．2 B ．4 C ．8 D ．16 [答案] C
[解析] 因为AB →
∥CD →
，所以2(－y )－(x －1)＝0，即x ＋2y ＝1，所以(2x ＋1y )＝(2x ＋1
y )(x ＋2y )＝4＋
4y x ＋x
y
≥4＋24y x ·x y ＝8(当且仅当x ＝12，y ＝1
4时等号成立)．故选C.
13．(文)在△ABC 中，已知D 是AB 边上一点，若AD →＝2DB →，CD →＝1
3CA →＋λCB →
，则λ＝( )
A.23
B.13 C ．－13
D ．－23
[答案] A
[解析] 由于AD →
＝2DB →
，得CD →
＝CA →
＋AD →
＝CA →＋23AB →＝CA →＋23(CB →－CA →)＝13CA →＋2
3CB →，结合CD →＝
13CA →
＋λCB →
，知λ＝2
3
. (理)(2013·保定模拟)如图所示，已知点G 是△ABC 的重心，过G 作直线与AB ，AC 两边分别交于M ，N 两点，且AM →
＝xAB →
，AN →
＝yAC →
，则x ·y x ＋y
的值为( )
A ．3 B.13 C ．2 D.1
2
[分析] 由M 、N 、G 三点共线知，存在实数λ、μ使AG →
＝λAM →＋μAN →
，结合条件AM →
＝xAB →
，AN →
＝yAC →
，可将AG →
用AB →
，AC →
表示，又G 为△ABC 的重心，AG →
用AB →
，AC →
表示的表示式唯一，可求得x ，y 的关系式．
[答案] B
[解析] 法1：由点G 是△ABC 的重心，知GA →
＋GB →
＋GC →
＝0，得－AG →
＋(AB →
－AG →
)＋(AC →
－AG →
)＝0，则AG →
＝1
3(AB →＋AC →)．又M 、N 、G 三点共线(A 不在直线MN 上)，于是存在λ，μ∈R ，使得AG →＝
λAM →＋μAN →(且λ＋μ＝1)，则AG →＝λx AB →＋μy AC →＝1
3
(AB →＋AC →
)，
所以?
????
λ＋μ＝1，λx ＝μy ＝1
3，
于是得1x ＋1y ＝3，所以x ·y x ＋y ＝11x ＋1y
＝13
.
法2：特殊化法，利用等边三角形，过重心作平行于底边BC 的直线，易得x ·y x ＋y ＝1
3.
二、填空题
14．(2012·吉林省延吉市质检)已知：|OA →
|＝1，|OB →
|＝3，OA →·OB →
＝0，点C 在∠AOB 内，且∠AOC ＝30°，设OC →
＝mOA →
＋nOB →
(m ，n ∈R ＋
)，则m n
＝________.
[答案] 3
[解析] 如图，设mOA →
＝OF →
，nOB →
＝OE →
，则OC →
＝OF →
＋OE →
，
∵∠AOC ＝30°，∴|OC →
|·cos30°＝|OF →
|＝m |OA →
|＝m ， |OC →
|·sin30°＝|OE →
|＝n |OB →|＝3n ，
两式相除得：
m 3n ＝|OC →
|cos30°|OC →
|sin30°
＝1tan30°＝3，∴m n ＝3.
15．(2013·浙江余姚中学)在△ABC 所在的平面内有一点P ，满足P A →
＋PB →
＋PC →
＝AB →
，则△PBC
与△ABC 的面积之比是________．
[答案] 2
3
[解析] P A →＋PB →＋PC →＝AB →
?P A →
＋PC →
＋PB →
－AB →
＝0?P A →
＋PC →
＋P A →
＝0
?2P A →＝CP →
，
所以P 是AC 的三等分点，所以△PBC 与△ABC 的面积之比是2
3.
三、解答题
16．(文)已知a ＝(2x －y ＋1，x ＋y －2)，b ＝(2，－2)， (1)当x 、y 为何值时，a 与b 共线？
(2)是否存在实数x 、y ，使得a ⊥b ，且|a |＝|b |？若存在，求出xy 的值；若不存在，说明理由． [解析] (1)∵a 与b 共线， ∴存在非零实数λ使得a ＝λb ，
∴?????
2x －y ＋1＝2λ，
x ＋y －2＝－2λ，???
???
x ＝1
3，y ∈R .
(2)由a ⊥b ?(2x －y ＋1)×2＋(x ＋y －2)×(－2)＝0?x －2y ＋3＝0.① 由|a |＝|b |?(2x －y ＋1)2＋(x ＋y －2)2＝8.②
由①②解得?
????
x ＝－1，y ＝1，或
???
x ＝53
，y ＝73.
∴xy ＝－1或xy ＝35
9
.
(理)已知点O (0,0)、A (1,2)、B (4,5)，向量OP →
＝OA →＋tAB →
.
(1)t 为何值时，点P 在x 轴上？ (2)t 为何值时，点P 在第二象限？
(3)四边形ABPO 能否为平行四边形？若能，求出t 的值；若不能，说明理由． (4)求点P 的轨迹方程．
[解析] ∵OP →
＝OA →
＋tAB →
＝(1,2)＋t (3,3) ＝(1＋3t,2＋3t )，∴P (1＋3t,2＋3t )． (1)∵P 在x 轴上，∴2＋3t ＝0即t ＝－2
3
.
(2)由题意得?
????
1＋3t <0，2＋3t >0.∴－23 3. (3)∵AB →＝(3,3)，OP → ＝(1＋3t,2＋3t )． 若四边形ABPO 为平行四边形，则AB → ＝OP → ， ∴? ???? 1＋3t ＝3，2＋3t ＝3.而上述方程组无解， ∴四边形ABPO 不可能为平行四边形． (4)∵OP → ＝(1＋3t,2＋3t )， 设OP → ＝(x ，y )，则? ???? x ＝1＋3t ，y ＝2＋3t . ∴x －y ＋1＝0为所求点P 的轨迹方程． 考纲要求 1．了解向量的实际背景． 2．理解平面向量的概念，理解两个向量相等的含义． 3．理解向量的几何表示． 4．掌握向量加法、减法的运算，并理解其几何意义． 5．掌握向量数乘的运算及其意义，理解两个向量共线的含义． 6．了解向量线性运算的性质及其几何意义． 补充说明 1．向量共线的应用中注意事项 (1)向量共线的充要条件中，只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法和方程思想的运用． (2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得到三点共线． (3)若a 与b 不共线且λa ＝μb ，则λ＝μ＝0. (4)设OA → ＝λOB → ＋μOC → (λ，μ为实数)，若A ，B ，C 三点共线，则λ＋μ＝1. 2．“数形结合”思想 数形结合是求解向量问题的基本方法．向量加法、减法的几何意义，充分体现了数形结合思想． 3．方程思想在向量中的应用 在向量的平行与垂直、向量的共线、向量的长度与夹角等问题中，常常要依据条件列方程求解．利用共线条件和平面向量基本定理，是应用的难点． 备选习题 1．设平面内有四边形ABCD 和点O ，若OA → ＝a ，OB →＝b ，OC →＝c ，OD → ＝d ，且a ＋c ＝b ＋d ，则 四边形ABCD 为( ) A ．菱形 B ．梯形 C ．矩形 D ．平行四边形 [答案] D [解析] 解法一：设AC 的中点为G ，则OB → ＋OD →＝b ＋d ＝a ＋c ＝OA →＋OC →＝2OG → ，∴G 为BD 的中点，∴四边形ABCD 的两对角线互相平分，∴四边形ABCD 为平行四边形． 解法二：AB → ＝OB → －OA → ＝b －a ， CD → ＝OD → －OC →＝d －c ＝－(b －a )＝－AB → ， ∴AB 綊CD ，∴四边形ABCD 为平行四边形． 2．在四边形ABCD 中，AB → ＝a ＋2b ，BC →＝－4a －b ，CD → ＝－5a －3b ，其中a 、b 不共线，则四 边形ABCD 为( ) A ．梯形 B ．平行四边形 C ．菱形 D ．矩形 [答案] A [解析] 由已知得AD → ＝AB → ＋BC → ＋CD → ＝－8a －2b ，故AD → ＝2BC → ，由共线向量知识知AD ∥BC ，且|AD |＝2|BC |，故四边形ABCD 为梯形，所以选A. 3．已知向量a 、b 不共线，若向量a ＋λb 与b ＋λa 的方向相反，则λ＝________. [答案] －1 [解析] 由条件知存在负数μ，a ＋λb ＝μ(b ＋λa )， ∴(1－λμ)a ＋(λ－μ)b ＝0， ∵a 与b 不共线，∴????? 1－λμ＝0，λ－μ＝0.∴? ???? λ2 ＝1， λ＝μ. ∵μ<0，∴λ＝－1. 平面向量的概念与线性运算知识点 一.平面向量的有关概念 １．向量：既有大小，又有方向的量． ２．数量：只有大小，没有方向的量． ３．有向线段的三要素：起点、方向、长度． ４．零向量：长度为0的向量． ５．单位向量：长度等于1个单位的向量． ６．平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量．零向量与任一向量平行． 注：任一组平平行向量都可以平移到同一直线上 ７．相等向量：长度相等且方向相同的向量． ８．相反向量：长度相等且方向相反的向量 二．向量的表示法 １．字母表示法：如：a ，AB 等 ２．几何表示法：用一条有向线段表示向量 ３．代数表示法：在平面直角坐标系中，设向量OA 的起点Ｏ是坐标原点，终点坐标是（x ，y ），则（x ，y ）称为OA 的坐标，记作：OA ＝（x ，y ） 三．向量的运算 １．向量加法运算： ⑴三角形法则的特点：首尾相连． ⑵平行四边形法则的特点：共起点． ⑶三角形不等式：a b a b a b -≤+≤+． ⑷运算性质：①交换律：a b b a +=+；②结合律：()()a b c a b c ++=++； ③00a a a +=+=． b a C B A a b C C -=A -AB =B ⑸坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y +=++． ２．向量减法运算： ⑴三角形法则的特点：共起点，连终点，方向指向被减向量． ⑵坐标运算：设()11,a x y =，()22,b x y =，则()1212,a b x x y y -=--． 设A 、B 两点的坐标分别为()11,x y ，()22,x y ，则()1212,x x y y AB =--． ３．向量数乘运算： ⑴实数λ与向量a 的积是一个向量的运算叫做向量的数乘，记作a λ． ①a a λλ=； ②当0λ>时，a λ的方向与a 的方向相同；当0λ<时，a λ的方向与a 的方向相反；当0λ=时，0a λ=． ⑵运算律：①()()a a λμλμ=；②()a a a λμλμ+=+；③()a b a b λλλ+=+． ⑶坐标运算：设(),a x y =，则()(),,a x y x y λλλλ==． ４．向量共线定理： 向量()0a a ≠与b 共线，当且仅当有唯一一个实数λ，使b a λ=． 设()11,a x y =，()22,b x y =，其中0b ≠，则当且仅当12210x y x y -=时，向量a 、() 0b b ≠共线． 四．跟踪训练 １．=++++（ ） A ． B ．0 C ． D ． ２．给出命题 （1）零向量的长度为零，方向是任意的.（2）若a ，b 都是单位向量，则a ＝b . （3）向量AB 与向量BA 相等.（4）若非零向量AB 与CD 是共线向量，则A ，B ，C ，D 四点共线. 以上命题中，正确命题序号是 A.（1） B.（2） C.（1）和（3） D.（1）和（4） ３．在四边形ABCD 中，如果0AB CD =，AB DC =，那么四边形ABCD 的形状是 A.矩形 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 ４．如图，在△ABC 中，AD 、BE 、CF 分别是BC 、CA 、AB 上的中线，它们交于点 G ，则下列各等式中不正确的是 高考数学三角函数与平面向量复习 三角函数、平面向量是高中数学两个有机结合的部分，它们既是高考必考内容又是十分有用的解题工具. 学好这部分内容，除了要较好的把握知识体系之外，更要把握有关题型、易错点. 一、三角函数问题 1．三角函数的图像和性质 （1）具体要求： ①了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与角度的互化； ②借助单位圆理解任意角三角函数（正弦、余弦、正切）的定义； ③借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式（2π ±α，π±α的正弦、余弦、正切），能画出 y=sinx ，y=cosx ，y=tanx 图像，了解三角函数的周期性； ④借助图像理解正弦函数、余弦函数在[0,2π]，正切函数在（-2π,2π ）上的性质（如单调性、最大 和最小值、图象与轴交点等）； ⑤理解同角三角函数的基本关系式： sin 2x+cos 2 x=1，x x cos sin =tanx. ⑥结合具体实例，了解y=Asin(ωx+?)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωx+?)的图 像，观察参数A ，ω，?对函数图像变化的影响； ⑦会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型. (2)题型示例：这里的问题主要是三角函数的图像和性质及其应用，与向量进行综合命题是近年来的发展趋势. 例1.已知函数f (x)= Asin(ωx+?)( A >0,ω>0,∣?∣<2π )的图像在y 轴上的截距为1，它在y 轴右侧的第一个最大值点和最小值点分别为(x 0,2),( x 0+3π,-2). （1）求f (x)的解析式； （2）用五点作图法画出函数f (x)在长度为一个闭区间上的简图； （3）写出函数f (x)的单调区间； 考点1 平面向量的概念及其线性运算 1．平面向量a ＝(1，2)，b ＝(4，2)，c ＝m a ＋b (m ∈R )，且c 与a 的夹角等于c 与b 的夹 角，则m ＝( ) A ．－2 B ．－1 C ． 1 D ．2 2． 在下列向量组中，能够把向量a ＝(3，2)表示出来的是( ) A ．e 1＝(0，0)，e 2＝(1，2) B ．e 1＝(－1，2)，e 2＝(5，－2) C ．e 1＝(3，5)，e 2＝(6，10) D ．e 1＝(2，－3)，e 2＝(－2，3) 考点2 平面向量基本定理及向量坐标运算 3．已知向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，且(2a －3b )⊥c ，则实数k ＝( ) A ．－92 B ．0 C ．3 D.152 4．设0<θ<π2，向量a ＝(sin 2θ，cos θ)，b ＝(cos θ，1)，若a ∥b ，则tan θ＝________． 考点3 平面向量的数量积及应用 5．已知向量a ，b 满足|a |＝1，b ＝(2，1)，且λa ＋b ＝0(λ∈R )，则|λ|＝___． 6．设向量a ＝(3，3)，b ＝(1，－1)．若(a ＋λb )⊥(a －λb )，则实数λ＝___． 7．已知单位向量e 1与e 2的夹角为α，且cos α＝13，向量a ＝3e 1－2e 2与b ＝3e 1－e 2的 夹角为β，则cos β＝________． 8．若向量a ，b 满足：＝1，(a ＋b )⊥a ，(＋b )⊥b ，则|＝______． 9．设向量a ，b 满足|a ＋b |＝10，|a －b |＝6，则＝______． 10．在△ABC 中，已知AB →·AC →＝tan A ，当A ＝π6 时，△ABC 的面积为______． 考点4 单元综合 11．在平面直角坐标系中，O 为原点，A (－1，0)，B (0，3)，C (3，0)，动点D 满足 |CD →|＝1，则|OA →＋OB →＋OD →|的最大值是________． 练习： 1.已知A ，B ，C 是圆O 上的三点，若1()2 AO AB AC =+，则AB 与AC 的夹角为 . 向量的概念及线性运算 编制人：马兰主审人: 朱礼强 一、新课引入 1. 老鼠以10 m/s的速度向东跑，猫以50 m/s的速度向西追，猫能否追上老鼠？ 分析：老鼠逃窜的路线、猫追逐的路线实际上都是有方向、有长短的量. 2. 问题：质量、力、速度这三个物理量有什么区别？ 质量只有大小；力、速度既有大小，又有方向. 二、概念建构 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算 3.共线向量定理 向量a (a ≠0)与b 共线的充要条件是存在唯一一个实数λ，使得b ＝λa ． 三、例题选讲 【例1】（1）已知下列结论： ① 若a ∥b ，b ∥c ，则a ∥c ； ① 非零向量a 与b 同向是a =b 的必要不充分条件； ① 四边形ABCD 是平行四边形的充要条件是=； ① λ，μ为实数，若λa = μb ，则a 与b 共线. 其中正确的序号为 . （2）设,a b 都是非零向量，下列四个条件中，使 =a b a b 成立的充分条件是( ) A .|a |=|b |且a ∥b B .a =-b C .a ∥b D .a =2b 【解题导引】（1）利用共线向量定理及向量相等的概念逐一判断. （2）利用单位向量与向量相等的概念求解. 【规范解答】（1）对于①，当b =0时，条件满足但结论不成立； 对于①，因为向量a 与b 都是非零向量，所以该命题是正确的； 对于①，四边形是大前提，当AB DC =u u u r u u u r 时，即AB∥DC ，且AB=DC ，所以四边形ABCD 是平行四边形，反之，若四边形ABCD 是平行四边形，则AB DC =u u u r u u u r ， 所以①正确； 对于①，当λ=μ=0时，a 与b 可为任意向量，不一定共线，所以①不正确. 答案：①①. （2）选D .由a a 表示与a 同向的单位向量，表示与b 同向的单位向量，故只要a 与b 同向即可，观察可知D 满足题意. 【变式】 1. 本例（2）①中，若b ≠0，该结论是否正确? 【解析】若b ≠0，又a ①b ，b ①c ，所以a ①c 显然成立，故该结论正确. 2. 若本例（2）①中的实数λ，μ满足λ2+μ2 ≠ 0，该结论是否正确? 【解析】由λ2+μ2 ≠ 0知实数λ，μ 中至少有一个不为0. (①)若λ≠0，μ=0，则λa =0·b =0.因为λ≠0，所以a =0，又0与任何向量共线， 所以结论正确. (①)同理，若λ=0，μ≠0，结论也正确； (①)若λ≠0，μ≠0，由λa = μb 得a =μ λ b ，由共线向量定理知结论正确. 综上所述，该结论正确. 【易错警示】解答本例题（1）有两点容易出错. （1） 不清楚 ,a b a b 表示何种向量，不知道a a 是a 方向上的单位向量. （2） 求解时易忽视两向量是同向还是反向，是共线还是相等. 【规律方法】把握向量有关概念的关键点 （1）定义：方向和长度. （2）非零共线向量：方向相同或相反，长度没有限制. （3）相等向量：方向相同且长度相等. （4）单位向量：方向没有限制，但长度都是一个单位长度. （5）零向量：方向没有限制，长度是0，规定零向量与任何向量共线. 【变式训练】设a 0为单位向量，下列命题中： 向量 1、在△ABC 中，AB =AC ，D 、E 分别是AB 、AC 的中点,则（ ） A 、A B u u u r 与A C u u u r 共线 B 、DE u u u r 与CB u u u r 共线C 、1sin A D θ-u u u r 与A E u u u r 相等 D 、AD u u u r 与BD u u u r 相等 2、下列命题正确的是（ ） A 、向量A B u u u r 与BA u u u r 是两平行向量 B 、若a r 、b r 都是单位向量,则a r =b r C 、若AB u u u r =DC u u u r ,则A 、B 、C 、 D 四点构成平行四边形 D 、两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同 3、在下列结论中，正确的结论为（ ） (1)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的必要不充分条件；(2)a r ∥b r 且|a r |=|b r |是a r =b r 的既不充分也不必要条件；(3)a r 与b r 方向相同且|a r |=|b r |是a r =b r 的充要条件；(4)a r 与b r 方向相反或|a r |≠|b r |是a r ≠b r 的充分不必要条件A 、(1)(3) B 、(2)(4) C 、(3)(4) D 、(1)(3)(4) 4、把平行于某一直线的一切向量归结到共同的始点,则终点所构成的图形是 ；若这些向量为单位向量,则终点构成的图形是 。 5、已知|AB u u u r |=1，|AC u u u r |=2，若∠BAC =60°，则|BC uuu r |= 。 6、在四边形ABCD 中, AB u u u r =DC u u u r ，且|AB u u u r |=|AD u u u r |，则四边形ABCD 是 。 7、设在平面上给定了一个四边形ABCD ，点K 、L 、M 、N 分别是AB 、BC 、CD 、DA 的中点，求证：KL u u u r =NM u u u u r 。 8、某人从A 点出发向西走了200m 到达B 点,然后改变方向向西偏北60°走了450m 到达C 点，最后又改变方向，向东走了200m 到达D 点。 (1)作出向量AB u u u r 、BC uuu r 、CD uuu r (1 cm 表示200 m )。 (2)求DA u u u r 的模。 T ={PQ uuu r 、 9、如图,已知四边形ABCD 是矩形,设点集M ={A 、B 、C 、D }，求集合 Q ∈M ,且P 、Q 不重合}。 向量的加法 1、下列四式不能化简为AD 的是 （ ） A 、（A B +CD ）+B C B 、（A D +MB ）+（BC +CM ） C 、MB +-A D BM D 、OC OA -+CD 2、M 是△ABC 的重心，则下列各向量中与AB 共线的是 （ ） 第9题图 6. （2010浙江杭州调研）设a 、b 是两个不共线向量, AB = 2a + pb , BC = a + b , CD = a — 2b , 第四单元 平面向量 4.1 平面向量的概念及线性运算 、选择题 1.在厶 ABC 中，AB = c , AC = b ,若点 D 满足 BD = 2DC ，则 AD =( ) 2 1 A ?3b + 3c 5 2 B ?3c — 3b C.2b -3c 3 3 1 2 D ?1b + 3c …AD = AB + BD = c + 3( b — c) = §b + 3c 答案：A 2. （2010广东中山调研）已知a 、b 是两个不共线的向量，AB =入a b, AC = a +讥入 此R ）, 那么 A 、B 、C 三点共线的充要条, 件是 ( ) A . ?+尸 2 B .入一 (i= 1 C . 入=—1 D . 入=1 解析 由 AB =入 a b, AC = a + 3 b 人 卩€ R ）及 A 、B 、 C 三点共线得AB = tAC (t € R), 入=t 所以 入 t+ b^ t(a + ub ta +1 3, 「所以 1 ，即入 =1. 1 = t 3 答案 :D 3. （2009 ?东）设P 是厶ABC 所在平面内的一点， BC + BA = 2BP ，则（ ） A . PA + PB = 0 C . PB + PC =0 B . P C + PA = 0 D . PA + PB + PC = 0 V ----------- 」 解析：如上图，根据向量加法的几何意义 Be + B A = 2B P ? P 是AC 的中点, 故 PA + PC = 0. 答案：B 4.已知平面内有一点 P 及一个△ ABC ，若PA + PB + PC = AB ，则（ ） A .点P 在厶ABC 外部 B .点P 在线段 AB 上 C .点P 在线段BC 上 D .点P 在线段AC 上 解析：?/ PA + PB + PC = AB , ??? PA + PB + PC = PB — PA ??? PC = — 2PA.A 2PA = CP ，?点 P 在线段 AC 上. 答案：D 、填空题 5. （2009宁夏银川模拟）若AB = 3% CD = — 5e i ,且AD 与CB 的模相等，则四边形 ABCD 是 解析：?/ AB = — 3CD , ??? AB // CD ，且 |AB|M |CD|. 5 答案：等腰梯形 解析: D C =AC — AB = b- c , B D = 2BC = 2(b — c), 高考数学平面向量专题卷（附答案） 一、单选题（共10题；共20分） 1.已知向量，则＝（） A. B. C. 4 D. 5 2.若向量，，若，则 A. B. 12 C. D. 3 3.已知平面向量，，且，则＝（） A. B. C. D. 4.已知平面向量、，满足，若，则向量、的夹角为（） A. B. C. D. 5.在中，的中点为，的中点为，则（） A. B. C. D. 6.已知平面向量不共线，且，，记与的夹角是，则最大时， （） A. B. C. D. 7.在中，，AD是BC边上的高，则等于（） A. 0 B. C. 2 D. 1 8.已知，则的取值范围是（） A. [0，1] B. C. [1，2] D. [0，2] 9.已知向量，的夹角为，且，则的最小值为（） A. B. C. 5 D. 10.已知椭圆：上的三点，，，斜率为负数的直线与轴交于，若原点是的重心，且与的面积之比为，则直线的斜率为（） A. B. C. D. 二、填空题（共8题；共8分） 11.在平面直角坐标系xOy中，已知A（0，﹣1），B（﹣3，﹣4）两点，若点C在∠AOB的平分线上，且 ，则点C的坐标是________． 12.已知单位圆上两点满足，点是单位圆上的动点，且，则 的取值范围为________． 13.已知正方形的边长为1，，，，则________. 14.在平面直角坐标系中，设是函数（）的图象上任意一点，过点向直线 和轴作垂线，垂足分别是，，则________． 15.已知为锐角三角形，满足，外接圆的圆心为，半径为1，则的取值范围是________. 16.设是边长为的正六边形的边上的任意一点，长度为的线段是该正六边形外接圆的一条动弦，则的取值范围为________. 17.设的外接圆的圆心为，半径为2，且满足，则 的最小值为________. 18.如图，在中，，点，分别为的中点，若，，则 ________. 三、解答题（共6题；共60分） 19.的内角，，所对的边分别为，，．向量与平行．（Ⅰ）求； （Ⅱ）若，求的面积． 20.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），已知点，点是曲线上任意一点，点为的中点，以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系. 2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算 基础巩固强化 一、选择题 1．(文)(2014·南通中学月考)设P 是△ABC 所在平面内的一点，BC → ＋BA → ＝2BP → ，则( ) A.P A →＋PB →＝0 B.PC →＋P A →＝0 C.PB → ＋PC → ＝0 D.P A → ＋PB → ＋PC → ＝0 [答案] B [解析] 如图，根据向量加法的几何意义，BC → ＋BA → ＝2BP → ?P 是AC 的中点，故P A → ＋PC → ＝0. (理)已知△ABC 中，点D 在BC 边上，且CD → ＝2DB →，CD → ＝rAB → ＋sAC → ，则r ＋s 的值是( ) A.23 B.43 C ．－3 D ．0 [答案] D [解析] CD → ＝AD → －AC → ，DB → ＝AB → －AD → . ∴CD →＝AB →－DB →－AC →＝AB → －1 2CD →－AC →. ∴3 2 CD →＝AB →－AC → ， ∴CD →＝23AB →－2 3 AC → . 又CD →＝rAB →＋sAC → ，∴r ＝23，s ＝－2 3， ∴r ＋s ＝0. 2．(2012·四川理，7)设a 、b 都是非零向量，下列四个条件中，使a |a |＝b |b |成立的充分条件是( ) A ．a ＝－b B ．a ∥b C ．a ＝2b D ．a ∥b 且|a |＝|b | [答案] C [解析] 本小题考查共线向量、单位向量、向量的模等基本概念． 因a |a |表示与a 同向的单位向量，b |b |表示与b 同向的单位向量，要使a |a |＝b |b |成立，则必须a 与b 同向共线，所以由a ＝2b 可得出a |a |＝b |b | . [点评] a ＝－b 时，a 与b 方向相反；a ∥b 时，a 与b 方向相同或相反．因此A 、B 、D 都不能推出a |a |＝b |b | . 3．(2013·长春调研)已知向量a ＝(2,1)，b ＝(x ，－2)，若a ∥b ，则a ＋b 等于( ) A ．(－2，－1) B ．(2,1) C ．(3，－1) D ．(－3,1) [答案] A [解析] 由a ∥b 可得2×(－2)－1×x ＝0，故x ＝－4，所以a ＋b ＝(－2，－1)，故选A. 4．(2013·辽宁五校联考)设点M 是线段BC 的中点，点A 在直线BC 外，BC → 2＝16，|AB → ＋AC → |＝|AB → －AC → |，则|AM → |＝( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8 [答案] A [解析] 由|AB → ＋AC →|＝|AB →－AC →|两边平方得AB →2＋AC →2＋2AB →·AC →＝AB →2＋AC →2－2AB →·AC →，即AB →·AC → ＝0， 所以AB →⊥AC → ，∴AM 为Rt △ABC 斜边BC 上的中线，又由BC →2＝16得|BC →|＝4，所以|AM → |＝2. 5．设OA → ＝e 1，OB → ＝e 2，若e 1与e 2不共线，且点P 在线段AB 上，|AP PB |＝4，如图所示，则 OP → ＝( ) 高考数学平面向量试题汇编 已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么 （ Ａ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r （辽宁3） 若向量a 与b 不共线，0≠g a b ，且?? ??? g g a a c =a -b a b ，则向量a 与c 的夹角为（ D ） A ．0 B ． π6 C ． π3 D ． π2 （辽宁6） 若函数()y f x =的图象按向量a 平移后，得到函数(1)2y f x =+-的图象，则向量a =（ A ） A ．(12)--， B ．(12)-， C ．(12)-， D ．(12)， （宁夏，海南4） 已知平面向量(11) (11)==-，，，a b ，则向量13 22 -=a b （ Ｄ ） Ａ．(21)--， Ｂ．(21)-， Ｃ．(10)-， Ｄ．(12)， （福建4） 对于向量，，a b c 和实数λ，下列命题中真命题是（ B ） A ．若=0g a b ，则0a =或0b = B ．若λ0a =，则0λ=或=0a C ．若2 2 =a b ，则=a b 或-a =b D ．若g g a b =a c ，则b =c （湖北2） 将π2cos 36x y ??=+ ???的图象按向量π24?? =-- ??? ，a 平移，则平移后所得图象的解析式为 （ Ａ ） Ａ．π2cos 234x y ?? =+- ??? Ｂ．π2cos 234x y ?? =-+ ??? Ｃ．π2cos 2312x y ?? =-- ??? Ｄ．π2cos 2312x y ?? =++ ??? （湖北文9） 设(43)=，a ， a 在 b 上的投影为2 ，b 在x 轴上的投影为2，且||14≤b ，则b 为（ Ｂ ） A ．(214)， B ．227? ?- ???， C ．227??- ??? ， D ．(28)， （湖南4） 设，a b 是非零向量，若函数()()()f x x x =+-g a b a b 的图象是一条直线，则必有（ A ） A ．⊥a b B ．∥a b C ．||||=a b D ．||||≠a b （湖南文2） 若O E F ，，是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是（ B ） A ．EF OF OE =+u u u r u u u r u u u r B ．EF OF OE =-u u u r u u u r u u u r C ．EF OF OE =-+u u u r u u u r u u u r D ．EF OF O E =--u u u r u u u r u u u r （四川7） 设A ｛a ,1｝，B ｛2，b ｝，C ｛4,5｝，为坐标平面上三点，O 为坐标原点，若方向 在与→ →→OC OB OA 上的投影相同，则a 与b 满足的关系式为 （ A ） (A)354=-b a (B)345=-b a (C)1454=+b a (D)1445=+b a （天津10） 设两个向量22 (2cos )λλα=+-，a 和sin 2 m m α? ?=+ ?? ? ，b ，其中m λα，，为实数．若2=a b ，则 m λ 的取值范围是（ Ａ ） Ａ．[-6，1] Ｂ．[48]， Ｃ．（-6，1] Ｄ．[-1，6] （浙江7） 平面向量的线性运算 一、选择题 1．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式①｜a ｜＞｜b ｜；②a ∥b ； ③｜a ｜＞0；④｜b ｜=±1；⑤a =b ，其中正确的有（ ） A ．①④⑤ B ．③ C ．①②③⑤ D ．②③⑤ 2. O 是ABC ?所在平面内一点，D 为BC 边上中点，02=++OC OB OA ,则（） A ．OD AO = B ．OD AO 2= C ．OD AO 3= D ．OD AO =2 3．把平面上所有单位向量归结到共同的始点，那么这些向量的终点所构成的图形是（ ） A ．一条线段 B ．一个圆面 C ．圆上的一群弧立点 D ．一个圆 4．向量（AB +MB ）+（BO +BC ）+OM 化简后等于（ ） A ． BC B ． AB C ． AC D ．AM 5．在四边形ABCD 中，AC =AB +AD ，则（ ） A ．ABCD 是矩形 B ．ABCD 是菱形 C ．ABC D 是正方形 D ．ABCD 是平行四边形 6．已知正方形ABCD 的边长为1，AB =a ,AC =c , BC =b ,则｜a +b +c ｜为（ ） A ．0 B ．3 C ． 2 D ．22 7．如图，正六边形ABCDEF 中，BA uur ＋CD u u u r ＋EF uuu r ＝( ) A ．0 B.BE uu u r C.AD uuu r D.CF u u u r 8．如果两非零向量a 、b 满足：｜a ｜＞｜b ｜,那么a 与b 反向,则（ ） A ．｜a +b ｜=｜a ｜-｜b ｜ B ．｜a -b ｜=｜a ｜-｜b ｜ C ．｜a -b ｜=｜b ｜-｜a ｜ D ．｜a +b ｜=｜a ｜+｜b ｜ 二、填空题 平面向量的概念及线性运算知识点： 1．向量的有关概念 2.向量的线性运算 3.向量共线的判定定理 a是一个非零向量，若存在一个实数λ，使得b＝λa，则向量b与非零向量a共线． 选择题： 给出下列命题：①零向量的长度为零，方向是任意的；②若a，b都是单位向量，则a＝b；③向量AB→与BA→相等．则所有正确命题的序号是( ) A．①B．③C．①③D．①② 解析根据零向量的定义可知①正确；根据单位向量的定义可知，单位向量的模相等，但方向不一定相同，故两个单位向量不一定相等，故②错误；向量AB→与BA→互为相反向量，故③错误． →；③OA→＋OB→＋BO→＋CO→；④AB→－AC→＋BD→已知下列各式：①AB→＋BC→＋CA→；②AB→＋MB→＋BO→＋OM －CD→，其中结果为零向量的个数为( ) A．1 B．2 C．3 D．4 解析由题知结果为零向量的是①④，故选B. 设a0为单位向量，①若a为平面的某个向量，则a＝|a|a0；②若a与a0平行，则a＝|a|a0；③若a 与a0平行且|a|＝1，则a＝a0.上述命题中，假命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 解析向量是既有大小又有方向的量，a与|a|a0的模相同，但方向不一定相同，故①是假命题；若a 与a0平行，则a与a0的方向有两种情况：一是同向，二是反向，反向时a＝－|a|a0，故②③也是假命题．综上所述，假命题的个数是3. 设a0，b0分别是与a，b同向的单位向量，则下列结论中正确的是( ) A．a0＝b0B．a0·b0＝1 C．|a0|＋|b0|＝2 D．|a0＋b0|＝2 解析∵是单位向量，∴|a0|＝1，|b0|＝1 设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论中正确的是( ) A．a与λa的方向相反B．a与λ2a的方向相同C．|－λa|≥|a| D．|－λa|≥|λ|·a 解析对于A，当λ＞0时，a与λa的方向相同，当λ＜0时，a与λa的方向相反，B正确；对于C，|－λa|＝|－λ||a|，由于|－λ|的大小不确定，故|－λa|与|a|的大小关系不确定；对于D，|λ|a是向量，而|－λa|表示长度，两者不能比较大小． 设a、b是两个非零向量( ) A．若|a＋b|＝|a|－|b|，则a⊥b B．若a⊥b，则|a＋b|＝|a|－|b| C．若|a＋b|＝|a|－|b|，则存在实数λ，使得b＝λa D．若存在实数λ，使得b＝λa，则|a＋b|＝|a|－|b| 解析对于A，可得cos〈a，b〉＝－1，∴a⊥b不成立；对于B，满足a⊥b时|a＋b|＝|a|－|b| 平面向量 一、向量的相关概念 1、向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别。向量常用有向线段来表示，注意不能说向量就是有向线段（向量可以平移）。如已知A （1,2），B （4,2），则把向量AB u u u r 按向量a r ＝（－1,3）平移后得到的向量是_____（3,0） 2、向量的表示方法：用有向线段来表示向量. 起点在前，终点在后。有向线段的长度表示向量的大小，用_____箭头所指的方向____表示向量的方向.用字母a ，b ，…或用AB ，BC ，…表示 （1） 模：向量的长度叫向量的模，记作|a |或|AB |. （2）零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，注意零向量的方向是任意的； （3）单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB u u u r 共线的单位向量是|| AB AB ±u u u r u u u r )； （4）相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性。 （5）平行向量（也叫共线向量）：方向相同或相反的非零向量a 、b 叫做平行向量，记作：a ∥b ，规定零向量和任何向量平行。提醒：①相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等；②两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线, 但两条直线平行不包含两条直线重合；③平行向量无传递性！（因为有0r )；④三点A B C 、、共线? AB AC u u u r u u u r 、共线； （6）相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量。a 的相反向量是－a 。零向量的相反向量时零向量。 二、向量的线性运算 1.向量的加法： （1）定义：求两个向量和的运算，叫做向量的加法. 如图，已知向量a ，b ，在平面内任取一点A ，作AB =u u u r a ，BC =u u u r b ，则向量AC 叫做a 与b 的和，记作a+b ，即 a+b AB BC AC =+=u u u r u u u r u u u r 。AB BC CD DE AE +++=u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 特殊情况：a b a b a+b b a a+ b (1)平行四边形法则三角形法则 C B D C B A 对于零向量与任一向量a ，有 a 00+=+ a = a （2）法则：____三角形法则_______，_____平行四边形法则______ （3）运算律：____ a +b =b +a ；_______，____（a +b ）+c =a +（b +c ）._______ 当a 、b 不共线时， 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题．【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0u u u r u u u r u u u r ，那么（ ） Ａ．AO OD =u u u r u u u r Ｂ．2AO OD =u u u r u u u r Ｃ．3AO OD =u u u r u u u r Ｄ．2AO OD =u u u r u u u r 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0,u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD Y 中，,,3AB a AD b AN NC ===u u u r r u u u r r u u u r u u u r ，M 为BC 的中点，则MN =u u u u r ______.（用a b r r 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+u u u r u u u r u u u r u u u r r r 由得，12 AM a b =+u u u u r r r ， 所以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+u u u u r r r r r r r . 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量 =CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 2 1-- （C ） BA BC 2 1- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a r =71,,22b ? ?= ???r ?? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ?? ?- ??53,5 4 (B) ?? ?- ??53,5 4或?? ? ??-53,54 （C ）?? ?- ??31,3 22 （D ）?? ?- ??31,3 22或?? ? ? ?- 31,3 22 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问题. 解：设所求平面向量为,c r 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????r 4或-时5 另一方面,当222274134312525,,cos ,. 55271432255a c c a c a c ?? ?+?- ?????? =-=== ????????????+++- ? ? ? ?????????r r r r r r r 时 平面向量练习题 一、选择题 1、若向量a = (1,1), b = (1,－1), c =(－1,2),则 c 等于( ) A 、21 a +23b B 、21a 23 b C 、23a 2 1 b D 、2 3 a + 21b 2、已知，A （2，3），B （－4，5），则与AB 共线的单位向量是 （ ） A 、)10 10 ,10103( e B 、)10 10 ,10103()1010,10103( 或e C 、)2,6( e D 、)2,6()2,6(或 e 3、已知b a b a k b a 3),2,3(),2,1( 与垂直时k 值为 （ ） A 、17 B 、18 C 、19 D 、20 4、已知向量OP =(2，1)，OA =(1，7)，OB =(5，1)，设X 是直线OP 上的一点(O 为坐标原点)，那么XB XA 的最小值是 ( ) A 、-16 B 、-8 C 、0 D 、4 5、若向量)1,2(),2,1( n m 分别是直线ax+(b －a)y －a=0和ax+4by+b=0的方向向量，则 a, b 的值分别可以是 （ ） A 、 －1 ，2 B 、 －2 ，1 C 、 1 ，2 D 、 2，1 6、若向量a =(cos ,sin )，b =(cos ,sin )，则a 与b 一定满足 （ ） A 、a 与b 的夹角等于 － B 、(a ＋b )⊥(a －b ) C 、a ∥b D 、a ⊥b 7、设j i ,分别是x 轴，y 轴正方向上的单位向量，j i OP sin 3cos 3 ，i OQ ),2 ,0( 。若用来表示OP 与OQ 的夹角，则等于 （ ） A 、 B 、 2 C 、 2 D 、 8、设 20 ，已知两个向量 sin ,cos 1 OP ， cos 2,sin 22 OP ，则向量21P P 长度的最大值是（ ） A 、2 B 、3 C 、23 D 、 二、填空题 9、已知点A(2，0)，B(4，0)，动点P 在抛物线y 2＝－4x 运动，则使BP AP 取得最小值的点P 的坐标 20高考数学平面向量 的解题技巧 -CAL-FENGHAI-(2020YEAR-YICAI)_JINGBIAN 第二讲平面向量的解题技巧 【命题趋向】 由2007年高考题分析可知： 1．这部分内容高考中所占分数一般在10分左右． 2．题目类型为一个选择或填空题，一个与其他知识综合的解答题． 3．考查内容以向量的概念、运算、数量积和模的运算为主． 【考点透视】 “平面向量”是高中新课程新增加的内容之一，高考每年都考，题型主要有选择题、填空题，也可以与其他知识相结合在解答题中出现，试题多以低、中档题为主． 透析高考试题，知命题热点为： 1．向量的概念，几何表示，向量的加法、减法，实数与向量的积． 2．平面向量的坐标运算，平面向量的数量积及其几何意义． 3．两非零向量平行、垂直的充要条件． 4．图形平移、线段的定比分点坐标公式． 5．由于向量具有“数”与“形”双重身份，加之向量的工具性作用，向量经常与数列、三角、解析几何、立体几何等知识相结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、夹角、垂直与平行等问题以及圆锥曲线中的典型问题等． 6．利用化归思想处理共线、平行、垂直问题向向量的坐标运算方面转化，向量模的运算转化为向量的运算等；利用数形结合思想将几何问题代数化，通过代数运算解决几何问题． 【例题解析】 1. 向量的概念，向量的基本运算 (1)理解向量的概念，掌握向量的几何意义，了解共线向量的概念. (2)掌握向量的加法和减法. (3)掌握实数与向量的积，理解两个向量共线的充要条件. (4)了解平面向量的基本定理，理解平面向量的坐标的概念，掌握平面向量的坐标运算. (5)掌握平面向量的数量积及其几何意义,了解用平面向量的数量积可以处理有关长度、角度和垂直的问题,掌握向量垂直的条件. (6)掌握平面两点间的距离公式. 例1（2007年北京卷理）已知O 是ABC △所在平面内一点，D 为BC 边中点，且 2OA OB OC ++=0，那么（ ） Ａ．AO OD = Ｂ．2AO OD = Ｃ．3AO OD = Ｄ．2AO OD = 命题意图:本题考查能够结合图形进行向量计算的能力． 解： 22()(,22.OA OB OC OA DB OD DC OD DB DC OA OD AO OD ∴∴++=++++=-+==)=0,0, 故选A ． 例2．（2006年安徽卷）在ABCD 中，,,3AB a AD b AN NC ===，M 为BC 的中点，则MN =______.（用a b 、表示） 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法,以及实数与向量的积. 解：343A =3()AN NC AN C a b ==+由得，12 AM a b =+，所 以,3111()()4 2 4 4 MN a b a b a b =+-+=-+. 例3．（2006年广东卷）如图1所示，D 是△ABC 的边AB 上的中点，则向量=CD ( ) （A ）BA BC 2 1+- （B ） BA BC 21-- （C ） BA BC 21- （D ）BA BC 2 1+ 命题意图: 本题主要考查向量的加法和减法运算能力. 解：BA BC BD CB CD 2 1+-=+=，故选A. 例4． ( 2006年重庆卷)与向量a =71,,22b ? ?= ??? ? ? ? ??27,21的夹解相等，且模为1的向量是 ( ) (A) ???- ??53,54 (B) ???- ??53,54或?? ? ??-53,54 （C ）???- ??31,322 （D ）???- ??31,322或??? ? ?-31,322 命题意图: 本题主要考查平面向量的坐标运算和用平面向量处理有关角度的问 题. 解：设所求平面向量为,c 由433,,, 1. 555c c ???? =-= ? ?????4或-时5平面向量的概念与线性运算知识点
高考数学三角函数与平面向量复习精选
2019高考数学真题汇编平面向量
向量的概念及线性运算
高中数学平面向量复习题及答案
41平面向量的概念及线性运算
高考数学平面向量专题卷(附答案)
2015届高考数学一轮总复习 5-1平面向量的概念与线性运算
高考数学平面向量试题汇编
(完整版)平面向量的线性运算测试题
平面向量的概念与线性运算
平面向量的基本概念及线性运算知识点
20高考数学平面向量的解题技巧
(完整版)高一数学必修4平面向量练习题及答案(完整版)
20高考数学平面向量的解题技巧
相关主题
文本预览