复合函数相关知识

补充：复合函数相关知识

第一、 预备知识：

⑴、函数符号除了用f 表示，还以用其他大写或小写英文字母表示： 例如：132)(,)(,1

2

)(,42)(2-+-==+=

+=x x x u x x A x x h x x g ⑵、函数自变量也可以用其他小写英文字母表示：

例如：w w f v v v f t t g x x g =

-+-=+=+=)(,132)(,43)(,43)(2

⑶、只要定义域相同，对应法则一样，两函数就是同一函数，与函数符号和自变量字母的选择无关： 例如：

为同一函数

和为同一函数和||)()(,43)(,43)(2w w f v v g R t t t g R x x x g ==∈+=∈+=

⑷：一般情况下我们都选择x 为自变量，对于自变量不是x 的一般都要写为x （当然有时候也视情况而定）。

例如：43)(43)(+=+=x x g t t g 往往改写为：

第二、函数概念及其定义域

函数的概念：设是,A B 非空数集，如果按某个确定的对应关系f ，使对于集合A 中的任意一个x ，在集合B 中都有唯一确定的数()f x 和它对应，那么就称:f A B →为集合A 到集合B 的函数，记作：(),y f x x A =∈。其中x 叫自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 的值叫做函数值.

第三、复合函数的定义

一般地：设y =f (u ），u =g (x ），当x 在u =g (x ）的定义域Dg 中变化时，u =g (x ）的值在y =f (u ）的定义域Df 内变化，因此变量x 与y 之间通过变量u 形成的一种函数关系，记为：y =f (u )=f [g (x )]称为复合函数(composite function)，其中x 称为自变量,u 为中间变量,y 为因变量（即函数）。其中)(u f y =叫外层函数，

)(x g u =叫内层函数，简言之：复合函数就是：把一个函数中的自变量替换成另

一个函数所得的新函数.

例如: 2

()35,()1f x x g x x =+=+； 复合函数(())f g x 即把()f x 里面的x 换成()g x ，

22(())3()53(1)538f g x g x x x =+=++=+

))((x g f 与))((x f g 表示不同的复合函数

例1、 设函数53)(,32)(-=+=x x g x x f ，求))(()),((x f g x g f

练习1、已知2)(,3)(2+=+=x x g v v h ，求函数)]([)],([v h g x g h 的解析式。

第四、复合函数及其定义域

⑴、介绍定义域：若函数y =f (u ）的定义域是Df,u =g (x ）的定义域是Dg ,则复合函数

y =f [g (x )]的定义域是 D={x |x ∈Dg ,且g (x ）∈Df}，即：综合考虑各部分的x 的取值范围，

取他们的交集。

问：函数()f x 和函数(5)f x +所表示的定义域是否相同？为什么？（不相同；原因：定义域是求x 的取值范围，这里x 和5x +所属范围相同，导致它们定义域的范围就不同了。）

⑵、介绍复合函数的定义域求法

例2、已知()f x 的定义域为](

3,5-，求函数(32)f x -的定义域； 解：因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即 ∵()f x 的定义域为](

3,5- 3

325x ∴-<-≤

137x -<≤

17

33

x ∴-

<≤ 所以函数(32)f x -的定义域为17,33

??- ???

.

练习2、已知)(x f 的定义域为]30(，

，求)2(2x x f +定义域。

练习3、若函数)(x f 的定义域是[0，1]，求)21(x f -的定义域；

例3、 若函数()x f 23-的定义域为[]2,1-，求函数()x f 的定义域 解:由题意得

23x ∴-≤≤ 639x ∴-≤≤ 42311x ∴-≤+≤ 所以函数()f x 的定义域为：[]4,11-

练习4、若)12(-x f 的定义域是[-1，1]，求函数)(x f 的定义域；

例4、 已知)1(+x f 的定义域为)32[，

-，求()2-x f 的定义域。 解 由)1(+x f 的定义域为)32[，

-得32<≤-x ，故411<+≤-x 即得()x f 定义域为)41

[，-，从而得到421<-≤-x ，所以61<≤x 故得函数()2-x f 的定义域为[)6,1

练习5、已知)3(+x f 定义域是[)5,4-，求)32(-x f 定义域．

（3）：总结求复合函数定义域的方法：

①、已知)(x f 的定义域，求复合函数()][x g f 的定义域

由复合函数的定义我们可知，要构成复合函数，则内层函数的值域必须包含于外层函数的定义域之中，因此可得其方法为：若)(x f 的定义域为()b a x ,∈，求出)]([x g f 中b x g a <<)(的解x 的范围，即为)]([x g f 的定义域。

②、已知复合函数()][x g f 的定义域，求)(x f 的定义域

方法是：若()][x g f 的定义域为()b a x ,∈，则由b x a <<确定)(x g 的范围即为)(x f 的定义域。

③、已知复合函数[()]f g x 的定义域，求[()]f h x 的定义域

结合以上一、二两类定义域的求法，我们可以得到此类解法为：可先由()][x g f 定义域求得

()x f 的定义域，再由()x f 的定义域求得()][x h f 的定义域。

④、已知()f x 的定义域，求四则运算型函数的定义域

若函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的，其定义域为各基本函数定义域的交集，即先求出各个函数的定义域，再求交集。

第五、从复合函数理解求函数值域的方法：

⑴、初级函数：c bx ax y x

k

y b ax y ++==

+=2,,二次函数：反比例函数：一次函数： x y c bx ax y =++=：幂函数，根号函数二次函数：)(2，要求熟悉以上函数的图像和在给定定义域的条件下能求值域。

⑵、对于复合函数的值域：对于函数4342++-+=x x y 可以看作为函数u u f y +==4)(和函数4

25

3)(2

+

+-==x x x g u 的复合函数)]([x g f 在求得函数定义域的前提下，先求)(x g 的值域，然后在以)(x g 的值域为)(u f 的定义域求)(u f 的值域即为)]([x g f 的值域。

解：要使4342++-+=x x y 有意义，则0432

≥++-x x ，可求得41≤≤-x 即函数的定

义域为：[-1,4]，)(x g 在定义域下的值域为[0,

425],所以以[0,4

25]为定义域的函数)(u f 的值域为[4,

2

13

]。（现在求函数值域的方法大多都可以利用前面的初级函数复合得到的复合函数来解释和求解） 练习1参考答案：

解 因为复合函数中内层函数值域必须包含于外层函数定义域中，即

???≤≤->-+?≤+<13023

20

2320222

x x x x x x x x x ，或

即23-<≤-x 或10≤

故)2(2

x x f +的定义域为[)(]1,02,3 --

专题13幂函数知识点归纳

3 幂函数知识点归纳 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α 系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2 x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如 ()-1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 练习：做出下列函数的图像： 1、1α> ①3 y x =或53y x = ②2y x =或43y x = ③32y x =或74 y x = 2、01α<< ①13y x = ②23y x = ③12 y x = 3、0α< ①2 y x -= ②1 y x -= ③32 y x - = ④43 y x =— 三、 幂函数的性质 y=x

3 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 四、 幂函数类型题归纳 （一） 定义应用： 1、下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21 (1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = 2、若幂函数()y f x = 的图像过点2????? ，则函数()y f x =的解析式为______. 3、已知函数()() 22 1 44m m f x m m x --=--是幂函数，且经过原点，则实数m 的值为__________. 4、已知函数()()2 2 k k f x x k Z -++=∈满足()()23f f <，则k 的值为________ ,函数()f x 的 解析式为__________ 5、设1112,1,,,,1,2,3232a ? ? ∈--- ???? ，已知幂函数()f x x α=是偶函数，且在区间()0,+∞上是减函数，则满足要求的α值的个数是__________. 6、设()y f x =和()y g x =是两个不同的幂函数，集合()(){} |M x f x g x ==，则集合M 中 元素的个数是（ ） （Ａ）1或2或0 (Ｂ) 1或2或3（Ｃ）1或2或3或4 (Ｄ)0或1或2或3 （二） 图像及性质应用 1、 右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则 ,,,a b c d 的大小关系是 （ ） ()A a b c d >>> ()B b a d c >>> d y=x ()C a b d c >>> ()D a d c b >>> 2、如图：幂函数n m y x =（m 、n N ∈，且m 、n 互质）的图象在第一，二象限，且不经过原点，则有 （ ） ()A m 、n 为奇数且 1m n < ()B m 为偶数，n 为奇数，且1m n > ()C m 为偶数，n 为奇数，且1m n < b c

三角函数知识点归纳

第一章：三角函数 §、任意角 1、 正角、负角、零角、象限角的概念. 2、 与角α终边相同的角的集合： {}Z k k ∈+=,2παββ. §、弧度制 1、 把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角. 2、 r l = α. 3、弧长公式：R R n l απ== 180 . 4、扇形面积公式：lR R n S 2 1 3602== π. §、任意角的三角函数 y =α αcos ,sin 1、 设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点()y x P ,，那么： 2、 设点(),A x y 为角α终边上任意一点，那么： （设r = sin y r α= ，cos x r α=，tan y x α=，cot x y α= 3、 αsin ，αcos ，αtan 在四个象限的符号和三角函数线的画法. 正弦线：MP; 余弦线：OM; 正切线：AT 5、 特殊角 . 1、 平方关系：1cos sin 22=+αα. 2、 商数关系：α α αcos sin tan = . 3、 倒数关系：tan cot 1αα= §、三角函数的诱导公式 （概括为“奇变偶不变，符号看象限”Z k ∈） 1、 诱导公式一：、 诱导公式二： ()()().tan 2tan ,cos 2cos ,sin 2sin απααπααπα=+=+=+k k k ()()(). tan tan ,cos cos , sin sin ααπααπααπ=+-=+-=+（其中：Z k ∈）

3、诱导公式三： 4、诱导公式四： ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin αααααα-=-=--=- ()()(). tan tan ,cos cos ,sin sin ααπααπααπ-=--=-=- 5、诱导公式五： 6、诱导公式六： .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ=??? ??-=??? ??- .sin 2cos ,cos 2sin ααπααπ-=?? ? ??+=??? ??+ §、正弦、余弦函数的图象和性质 1、记住正弦、余弦函数图象： 2、能够对照图象讲出正弦、余弦函数的相关性质：定义域、值域、最大最小值、对称轴、对称中 心、奇偶性、单调性、周期性. 3、会用五点法作图. sin y x =在[0,2]x π∈上的五个关键点为： 30010-1202 2 π π ππ（，）（，，）（，，）（，，）（，，）. §、正切函数的图象与性质 1、记住正切函数的图象： 2、记住余切函数的图象： 3、能够对照图象讲出正切函数的相关性质：定义域、值域、对称中心、奇偶性、单调性、周期性. 周期函数定义：对于函数()x f ，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的每一个值时，都有()()，那么函数()x f 就叫做周期函数，非零常数T 叫做这个函数的周期.

政治常识基本知识点

政治常识基本知识点(转发) [国家制度] 1、国家具有三种属性：⑴阶级性是国家的根本属性；国家是阶级统治的政治权力机关。⑵ 国家具有主权属性；主权是国家存在的最重要因素。⑶国家具有社会属性，国家负有管理社会公共事务的职责。 2、民主与专政的关系：⑴民主与专政是相互区别、相互对立的；民主只适用于统治阶级内 部，专政则适用于被统治阶级。⑵民主与专政是相辅相成，互为前提的。民主是专政的基础，专政是民主的保障。 3、国家性质和国家职能关系：国家性质决定国家职能，国家职能反映国家性质。 4、民主与社会主义的关系：民主是社会主义的本质属性和内在要求，没有民主就没有社会 主义；发展社会主义民主政治，建设社会主义政治文明，是我国全面建设小康社会的重要目标。 5、我国的对内国家职能：对内职能有：⑴政治职能：即依法打击极少数敌对势力和敌对分 子的破坏活动，打击各种犯罪活动，致力于民主政治建设。⑵经济职能：组织经济建设，主要是进行经济调节、市场监管、社会管理和公共服务。⑶文化职能：包括组织思想道德建设和科学文化建设。文化建设，不仅能保证社会主义经济建设的正确发展方向，而且能够为经济建设的发展提供精神动力、智力支持和思想保证。⑷社会公共服务职能：即国家为社会发展创造良好的社会环境和自然环境的职能。 6、我国的对外国家职能：对外职能有：⑴防御外部敌人的侵略和颠覆，捍卫国家的主权 和领土完整。⑵发展国家交流与合作，创造有利于我国发展的国际环境。⑶维护世界和平，促进共同发展，积极发挥我国在国际社会中的作用。 7、国体与政体的关系：国体与政体是内容与形式的关系，国体决定政体，政体反映国体； 政体具有相对独立性，政体受历史条件、阶级力量的对比、传统习惯、国际环境等因素的影响。 8、人民代表大会的性质、职权：⑴性质：人民代表大会是国家权力机关。⑵职权：有立法 权，其中，全国人大及常委会行使国家立法权、决定权，决定全国和各级地方一切重大事务；任免权、监督权，监督宪法和法律的实施，监督“一府两院”工作的权力。⑶与其他国家机 关的关系，国家行政机关、审判机关、检察机关都由人民代表大会产生，对它负责，受它监督。 9、人民代表大会制度是我国的根本政治制度：人民代表大会制度我国根本政治制度，因为 它直接体现我国人民民主专政的国家性质；是建立其他有关国家管理制度的基础。 10、“一国两制”的内容：“一国两制”的前提和基础是“一国”，即一个中国，在国际

幂函数题型归纳

幂函数知识点归纳及题型总结 一、 幂函数定义：对于形如：() x f x α=，其中α为常数.叫做幂函数 定义说明： 1、 定义具有严格性，x α系数必须是1，底数必须是x 2、 α取值是R . 3、 《考试标准》要求掌握α=1、2、3、?、-1五种情况 二、 幂函数的图像 幂函数的图像是由α决定的，可分为五类： 1）1α＞时图像是竖立的抛物线.例如：()2x f x = 2）=1α时图像是一条直线.即() x f x = 3）01α＜＜ 时图像是横卧的抛物线.例如()1 2x f x = 4）=0α时图像是除去（0,1）的一条直线.即() 0x f x =（0x ≠） 5）0α＜时图像是双曲线（可能一支）.例如() -1 x f x = 具备规律: ①在第一象限内x=1的右侧：指数越大，图像相对位置越高（指大图高） ②幂指数互为倒数时，图像关于y=x 对称 ③结合以上规律，要求会做出任意一种幂函数图像 三、幂函数的性质 幂函数的性质要结合图像观察，随着α取值范围的变化，性质有所不同。 1、 定义域、值域与α有关，通常化分数指数 幂为根式求解 2、 奇偶性要结合定义域来讨论 3、 单调性：α＞0时，在（0，+∞）单调递 增：α=0无单调性；α＜0时，在（0，+∞）单调递减 4、 过定点：α＞0时，过（0,0）、（1,1）两

点；α≤0时，过（1,1） 5、 由 ()0 x f x α=＞可知，图像不过第四象限 一、幂函数解析式的求法 1. 利用定义 （1）下列函数是幂函数的是 ______ ①21()y x -= ②22y x = ③21(1)y x -=+ ④0 y x = ⑤1y = （2（3 2 3 1． （1）、函数3 x y =的图像是（ ） （2）右图为幂函数y x α =在第一象限的图像，则,,,a b c d 的大小关系是 （ ）

三角函数知识点归纳

三角函数 一、任意角、弧度制及任意角的三角函数 １．任意角 (1)角的概念的推广 ①按旋转方向不同分为正角、负角、零角． ?? ??? 正角:按逆时针方向旋转形成的角任意角负角:按顺时针方向旋转形成的角零角:不作任何旋转形成的角 ②按终边位置不同分为象限角和轴线角． 角α的顶点与原点重合，角的始边与x 轴的非负半轴重合，终边落在第几象限,则称α为第几象限角. 第一象限角的集合为{} 36036090,k k k αα?<

五年级下册语文文学常识及基础知识汇总

文学常识 （一）古诗 《浪淘沙》 唐刘禹锡 九曲黄河万里沙,浪淘风簸自天涯。 如今直上银河去,同到牵牛织女家。 （二）古文 *天行健,君子以自强不息。《周易》 *有志不在年高,无志空长百岁。《传家宝》 *莫等闲,白了少年头,空悲切！《满江红》 *少年易老学难成,一寸光阴不可轻。《偶成》 *路曼曼其修远兮,吾将上下而求索。《离骚》 *不积跬步,无以至千里；不积小流,无以成江海。《荀子》 （三）对联 地满红花红满地天连碧水碧连天（回文联） 一夜五更,半夜二更有半三秋九月,中秋八月之中（数字联） 翠翠红红,处处莺莺燕燕风风雨雨,年年暮暮朝朝（叠字联） 楼外青山,山外白云,云飞天外池边绿树,树边红雨,雨落溪边（顶针联） （四）关于磨砺意志、艰苦奋斗、尽职尽责、不怕困难的成语。 精卫填海愚公移山含辛茹苦 任劳任怨艰苦卓绝百折不挠 千里迢迢肝胆相照风雨无阻 坚贞不屈赤胆忠心全心全意 鞠躬尽瘁扶危济困赴汤蹈火 冲锋陷阵程门立雪 （五）歇后语 *刘关张桃园三结义——生死之交 *孔明借东风——巧用天时 *关公赴会——单刀直入 *徐庶（shù）进曹营——一言不发 *梁山泊的军师——无（吴） *孙猴子的脸——说变就变 （六）关于描写人物外貌、神态、行动、说话情态的词语 文质彬彬仪表堂堂虎背熊腰 身强力壮神采奕奕满面春风 垂头丧气目瞪口呆健步如飞

活蹦乱跳大摇大摆点头哈腰 低声细语巧舌如簧娓娓动听 语重心长 （七）名言警句 你若要喜爱你自己的价值,你就得给世界创造价值。——（德国）歌德 让预言的号角奏鸣!哦,西风啊,如果冬天来了,春天还会远吗？——（英国）雪莱 果实的事业是尊贵的,花的事业是甜美的,但还是让我在默默献身的阴影里做叶的事业吧。——（印度）泰戈尔 假如生活欺骗了你,不要心焦,也不要烦恼,阴郁的日子里要心平气和,相 信吧,那快乐的日子就会来到。——（俄国）普希金 （八）古诗文详解 古诗词：《牧童》唐吕岩 草铺横野六七里,笛弄晚风三四声。 归来饱饭黄昏后,不脱蓑衣卧月明。 前一句意思：广阔的原野,绿草如茵；晚风中隐约传来三四牧童声悠扬 的笛声。 全诗意思：青草像被谁铺开在地上一样,方圆六七里都是草地。晚风中 隐约传来三四声牧童悠扬的笛声。牧童放牧归来,在吃饱晚饭后的黄昏 时分。他连蓑衣都没脱,就愉快的躺在草地上看天空中的明月。 《舟过安仁》宋杨万里 一叶渔船两小童,收篙停棹坐船中。 怪生无雨都张伞,不是遮头是使风。 后一句意思：哦,怪不得没下雨他们也张开了伞呢,原来不是为了遮雨,而是想利用伞使风让船前进啊！ 全诗意思：两个儿童坐在一只如扁舟般的小船上,奇怪的是他们在船上 却不用篙和棹。哦,怪不得没下雨他们也张开了伞呢,原来不是为了遮雨,而是想利用伞使风让船前进啊！ 怪生:怪不得（“怪生”除了有“怪不得”的意思,还包含着诗人了解原因后的恍然,也包含着理解了两个童子撑伞行为而由此产生的好笑有趣的心理。“怪生”一词看似平常,作者体味到的趣和童子行为的趣就在其中了。）这首诗浅白如话,充满情趣,展示了无忧无虑的两个小渔童的充满童稚的行为和行为中透出的只有孩童才有的奇思妙想,童言无忌。 《清平乐·村居》宋辛弃疾（这首词反映了朴素、温暖而有风趣的农村生活。） 茅檐低小,溪上青青草。醉里吴音相媚好,白发谁家翁媪？大儿锄豆溪东,中儿正织鸡笼。最喜小儿亡赖,溪头卧剥莲蓬。

高一数学幂函数知识点总结

高一数学幂函数知识点总结 一、一次函数定义与定义式： 自变量x和因变量y有如下关系： y=kx+b 则此时称y是x的一次函数。 特别地，当b=0时，y是x的正比例函数。 即：y=kx(k为常数，k≠0) 二、一次函数的性质： 1.y的变化值与对应的x的变化值成正比例，比值为k 即：y=kx+b(k为任意不为零的实数b取任何实数) 2.当x=0时，b为函数在y轴上的截距。 三、一次函数的图像及性质： 1.作法与图形：通过如下3个步骤 (1)列表; (2)描点; (3)连线，可以作出一次函数的图像——一条直线。因此，作一次函数的图像只需知道2点，并连成直线即可。(通常找函数图像与x轴和y轴的交点) 2.性质：(1)在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式：y=kx+b。(2)一次函数与y轴交点的坐标总是(0，b)，与x轴总是交于(-b/k，0)正比例函数的图像总是过原点。

3.k，b与函数图像所在象限： 当k>0时，直线必通过一、三象限，y随x的增大而增大; 当k<0时，直线必通过二、四象限，y随x的增大而减小。 当b>0时，直线必通过一、二象限; 当b=0时，直线通过原点 当b<0时，直线必通过三、四象限。 特别地，当b=O时，直线通过原点O(0，0)表示的是正比例函数 的图像。 这时，当k>0时，直线只通过一、三象限;当k<0时，直线只通 过二、四象限。 四、确定一次函数的表达式： 已知点A(x1，y1);B(x2，y2)，请确定过点A、B的一次函数的 表达式。 (1)设一次函数的表达式(也叫解析式)为y=kx+b。 (2)因为在一次函数上的任意一点P(x，y)，都满足等式y=kx+b。所以可以列出2个方程：y1=kx1+b……①和y2=kx2+b……② (3)解这个二元一次方程，得到k，b的值。 (4)最后得到一次函数的表达式。 一、高中数学函数的有关概念 1.高中数学函数函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照 某个确定的对应关系f，使对于函数A中的任意一个数x，在函数B 中都有唯一确定的数f(x)和它对应，那么就称f：A→B为从函数A 到函数B的一个函数.记作：y=f(x)，x∈A.其中，x叫做自变量，x 的取值范围A叫做函数的定义域;与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的函数{f(x)|x∈A}叫做函数的值域.

高中数学三角函数知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x 轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为 {}()360k k Z ααβ? =+∈g x 轴上角：{}()180k k Z αα=∈o g y 轴上角：{}()90180k k Z αα=+∈o o g 3、第一象限角：{}()036090360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 第二象限角：{}()90 360180360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 第三象限角：{}()180360270360k k k Z αα? ?+<<+∈o o g g 第四象限角： {}()270 360360360k k k Z αα??+<<+∈o o g g 4、区分第一象限角、锐角以及小于90o 的角 第一象限角：{}()0360 90360k k k Z αα? ?+<<+∈o g g 锐角： {}090αα<

,2 4 , 0π απ ≤ ≤=k ,2 345, 1παπ≤≤=k 所以 2 α 在第一、三象限 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为1弧度的圆心角，记作1rad . 7、角度与弧度的转化：01745.0180 1≈=?π 815730.571801'?=?≈? = π 9、弧长与面积计算公式 弧长：l R α=?；面积：211 22 S l R R α=?=?，注意：这里的α均为弧度制. 二、任意角的三角函数 1、正弦：sin y r α=；余弦cos x r α=；正切tan y x α= 其中(),x y 为角α终边上任意点坐标，r = 2、三角函数值对应表： 3、三角函数在各象限中的符号

分段函数抽象函数与复合函数

精心整理 2015-2016学年度???学校9月月考卷 分段函数、抽象函数与复合函数 考试范围：xxx；考试时间：100分钟；命题人：xxx 第I卷（选择题） 请点击修改第I卷的文字说明 5．已知函数 3,0, () ln(1),>0. x x f x x x ?≤ =? + ? ,若2 (2)() f x f x ->，则实数x的取值范围是（） A．(,1)(2,) -∞-?+∞B．(,2)(1,) -∞-?+∞C．(1,2) - D．(2,1) -

6．定义一种运算? ??>≤=?b a b b a a b a ,,，令()()t x x x x f -?-+=224（t 为常数），且[]3,3-∈x ， 则使函数()x f 最大值为4的t 值是（） A ．2-或6B ．4或6C ．2-或4D ．4-或4 7．已知? ???+∈+=R x x i R x x x f ,)1(,1)(，则=-))1((i f f （） A.2i - B.1 C.3 D.3i + 8 34x x <，且(f A ．9A ．1 10a 的取A ．(C ．[11．若() 2 2,,0()21,[0,) x x f x x x x ?--∈-∞=?--∈+∞?，x 1＜x 2＜x 3，且f(x 1)=f(x 2)=f(x 3)，则x 1+x 2+x 3的值的范围是（） A ．[1,2) B ．(1,2] C ．(0,1] D ．[2,3) 12．已知函数()2 3,2 x f x x x ≥=-

13．已知函数()() ()?????≤?? ? ??>=0340sin x x x x f x π，则()()1-f f 的值为（） A. 4 3π B.1sin - C.22 D.1- 14．设函数???><=0 ,log 0 ,2)(2x x x x f x ，若存在唯一的x ，满足a a x f f 28))((2+=，则正实数．．． a 的最小值是（） （A 15A.(16a 的个A ．17A ．918A.(191)]1([=g f A.1B.2C.3D.1- 20．已知函数2|log |,02 ()sin(),2104 x x f x x x π <

部编中考 语文 文化常识及答案(Word版)

部编中考语文文化常识及答案（Word版） 一、中考语文专项练习：文化常识 1．下列文学常识、文化常识表述有错误的一项是（） A. 《诗经》是“五经”之一，是我国最早的诗歌总集，按乐曲的性质可以分成风、雅、颂。“风”是各地民歌民谣，“雅”是正统宫廷乐歌，“颂”是祭祀乐歌。 B. 古诗词中的意象往往有特定的含义，如“折柳”代表“惜别”，“归雁”代表“思乡”，“莲花”代表“高洁”，“菊花”代表“隐逸”。 C. 《木兰诗》选自北宋郭茂倩编辑的《乐府诗集》，它是汉朝的一首乐府民歌，塑造了一位代父从军、勇敢无畏、不慕荣利的女英雄形象。 D. 《岳阳楼记》中的“庆历四年春”和《桃花源记》中的“晋太元中”是用了皇帝的年号纪年，而《己亥杂诗》中的“己亥”用的是干支纪年。 【答案】 C 【解析】【分析】C.“它是汉朝的一首乐府民歌”文学常识表述有错误。《木兰诗》是一首北朝民歌，宋郭茂倩《乐府诗集》归入《横吹曲辞·梁鼓角横吹曲》中。这是一首长篇叙事诗。 故答案为：C； 【点评】做好本题需要平时学习中要做有心人，对一些经典名篇的文学常识要整理成册，熟记于心。 2．下列不属于豪放派词人的是（） A. 张孝祥 B. 辛弃疾 C. 苏轼 D. 柳永【答案】 D 【解析】【分析】柳永，原名三变，字景庄，后改名柳永，字耆卿，因排行第七，又称柳七，福建崇安人，北宋著名词人，婉约派代表人物。故选D。 故答案为：D。 【点评】本题考查文学常识。文学常识广义指涵盖文化的各种问题，包括作家、年代、作品、文学中的地理、历史各种典故、故事，也包括一般的人们众所周知的文学习惯。 3．下列文学文化常识表述有误的一项是（） A. 冰心、泰戈尔、普希金都是著名诗人，其代表作分别有《繁星》《吉檀迦利》《自由颂》。 B. 《范进中举》《变色龙》都运用了讽刺笔法，揭露虚伪，鞭挞丑恶。 C. “深思高举洁白清忠，汨罗江上万古悲风”“四面湖山归眼底，万家忧乐到心头”“犹留正气参天地，永剩丹心照古今”分别纪念的是屈原、范仲淹、文天祥。 D. 古诗文中，伛偻、垂髫代指老人，提携、黄发代指小孩，烽火、干戈代指战争。 【答案】 D 【解析】【分析】D.有误。伛偻、黄发代指老人，提携、垂髫代指小孩。 故答案为：D 【点评】本题考查学生文学常识的把握，文学常识正误的判断点是：作者名、称谓、生活

幂函数知识点总结与练习题

幂函数 （1）幂函数的定义： 一般地，函数y x α =叫做幂函数，其中x 为自变量，α是常数． ①图象分布：幂函数图象分布在第一、二、三象限，第四象限无图象．幂函数是偶函数时，图象分布在第一、二象限(图象关于y 轴对称)；是奇函数时，图象分布在第一、三象限(图象关于原点对称)；是非奇非偶函数时，图象只分布在第一象限． ②过定点：所有的幂函数在(0,)+∞都有定义，并且图象都通过点(1,1)． ③单调性：如果0α>，则幂函数的图象过原点，并且在[0,)+∞上为增函数．如果0α<，则幂函数的图象在(0,)+∞上为减函数，在第一象限，图象无限接近x 轴与y 轴． ④奇偶性：当α为奇数时，幂函数为奇函数，当α为偶数时，幂函数为偶函数．当q p α= （其中,p q 互质，p 和q Z ∈），若p 为奇数q 为奇数时，则q p y x =是奇函数，若p 为奇数q 为偶数时，则q p y x =是偶函数，若p 为偶数q 为奇数时，则q p y x =是非奇非偶函数． ⑤图象特征：幂函数,(0,)y x x α =∈+∞，当1α>时，若01x <<，其图象在直线y x =下 方，若1x >，其图象在直线y x =上方，当1α<时，若01x <<，其图象在直线y x =上

方，若1x >，其图象在直线y x =下方． 幂函数练习题 一、选择题： 1．下列函数中既是偶函数又是(,)-∞0上是增函数的是 （ ） A ．y x =43 B ．y x =32 C ．y x =-2 D ．y x =-14 2．函数2 -=x y 在区间]2,2 1[上的最大值是 （ ） A ． 4 1 B ．1- C ．4 D ．4- 3．下列所给出的函数中，是幂函数的是 （ ） A ．3 x y -= B ．3 -=x y C ．3 2x y = D ．13 -=x y 4．函数3 4x y =的图象是 （ ） A ． B ． C ． D ． 5．下列命题中正确的是 （ ） A ．当0=α时函数α x y =的图象是一条直线 B ．幂函数的图象都经过（0，0）和（1，1）点 C ．若幂函数αx y =是奇函数，则α x y =是定义域上的增函数 D ．幂函数的图象不可能出现在第四象限 6．函数3 x y =和3 1 x y =图象满足 （ ） A ．关于原点对称 B ．关于x 轴对称 C ．关于y 轴对称 D ．关于直线x y =对称 7． 函数R x x x y ∈=|,|，满足 （ ） A ．是奇函数又是减函数 B ．是偶函数又是增函数 C ．是奇函数又是增函数 D ．是偶函数又是减函数 8．如图1—9所示，幂函数α x y =在第一象限的图象，比较1,,,,,04321αααα的大小（ ） A ．102431<<<<<αααα B ．104321<<<<<αααα 1α 4α 2α

三角函数知识点汇总

1三角函数的概念 【知识网络】 【考点梳理】 考点一、角的概念与推广 1．任意角的概念：正角、负角、零角 2．象限角与轴线角： 与α终边相同的角的集合：},2|{Z k k ∈+=απββ 第一象限角的集合：{|22,}2 k k k Z π βπβπ<<+∈ 第二象限角的集合：{| 22,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 第三象限角的集合：3{|22,}2 k k k Z π βππβπ+<<+∈ 第四象限角的集合：3{| 222,}2 k k k Z π βπβππ+<<+∈ 终边在x 轴上的角的集合：{|,}k k Z ββπ=∈ 终边在y 轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββπ=+∈ 终边在坐标轴上的角的集合：{|,}2 k k Z π ββ=∈ 要点诠释： 要熟悉任意角的概念，要注意角的集合表现形式不是唯一的，终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，还要注意区间角与象限角及轴线角的区别与联系. 三角函数的概念 角的概念的推广、弧度制 正弦、余弦的诱导公式 同角三角函数的基本关系式 任意角的三角函数

考点二、弧度制 1．弧长公式与扇形面积公式： 弧长l r α= ?，扇形面积21 122 S lr r α==扇形（其中r 是圆的半径，α是弧所对圆心角的弧度数）. 2．角度制与弧度制的换算： 180π=o ；18010.017451()57.305718'180 rad rad rad π π = ≈=≈=o o o o ； 要点诠释： 要熟悉弧度制与角度制的互化以及在弧度制下的有关公式. 考点三、任意角的三角函数 1. 定义：在角α上的终边上任取一点(,)P x y ，记r OP ==则sin y r α= , cos x r α=, tan y x α=，cot x y α=，sec r x α=，csc r y α= 2. 三角函数线：如图，单位圆中的有向线段MP ，OM ，AT 分别叫做α的正弦线，余弦线，正切线. 3. 三角函数的定义域：sin y α=，cos y α=的定义域是R α∈；tan y α=，sec y α=的定义域是 {|,}2 k k Z π ααπ≠+ ∈；cot y α=，csc y α=的定义域是{|,}k k Z ααπ≠∈. 4. 三角函数值在各个象限内的符号： 考点四、同角三角函数间的基本关系式 1. 平方关系：2 2 2222sin cos 1;sec 1tan ;csc 1cot α+α=α=+αα=+α. 2. 商数关系：sin cos tan ;cot cos sin α α α= α= α α . 3. 倒数关系：tan cot 1;sin csc 1;cos sec 1α?α=αα=α?α= 要点诠释： ①同角三角函数的基本关系主要用于：（1）已知某一角的三角函数，求其它各三角函数值；（2）证明三角恒等式；（3）化简三角函数式. ②三角变换中要注意“1”的妙用，解决某些问题若用“1”代换，如2 2 1sin cos =α+α， 221sec tan tan 45=α-α==o L ，则可以事半功倍；同时三角变换中还要注意使用“化弦法”、消去法 及方程思想的运用. 考点五、诱导公式 1.2(),,,2k k Z πααπαπα+∈-±-的三角函数值等于α的同名三角函数值，前面加上一个把α看成锐角时原函数值所在象限的符号.

周期函数,复合函数,分段函数的精讲与练习(快速提高解函数题的能力)

周期函数 通俗定义 对于函数y=f（x），如果存在一个不为零的常数T，使得当x取定义域内的每一个值时，f（x+T）=f（x）都成立，那么就把函数y=f（x）叫做周期函数，不为零的常数T叫做这个函数的周期。事实上，任何一个常数kT （k∈Z且k≠0）都是它的周期。 严格定义 设f(x）是定义在数集M上的函数，如果存在非零常数T具有性质：f （x+T）=f（x）； 则称f（x）是数集M上的周期函数，常数T称为f（x）的一个周期。如果在所有正周期中有一个最小的，则称它是函数f（x）的最小正周期。 由定义可得：周期函数f（x）的周期T是与x无关的非零常数，且周期函数不一定有最小正周期。 正弦函数图象 编辑本段周期函数性质 ⑴若T（≠0）是f(X）的周期，则-T也是f(X）的周期。 ⑵若T（≠0）是f(X）的周期，则nT（n为任意非零整数）也是f(X）的周期。 ⑶若T1与T2都是f(X）的周期，则T1±T2也是f(X）的周期。 ⑷若f(X）有最小正周期T*，那么f(X）的任何正周期T一定是T*的正整数倍。 ⑸若T1、T2是f(X）的两个周期，且是无理数，则f(X）不存在最小正周期 ⑹若T1、T2是f(X）的两个周期，且T1/T2是无理数，则f(X）不存在最小正周期。 ⑺周期函数f(X）的定义域M必定是至少一方无界的集合。 编辑本段判定 定理1 若f(X）是在集M上以T*为最小正周期的周期函数则K f(X)+C（K≠0）和1/ f(X）分别是集M和集{X/ f(X) ≠0，X }上的以T*为最小正周期的周期函数。[1] 证：

∵T*是f(X）的周期，∴对有X±T* 且f(X+T*)= f(X），∴K f(X)+C=K f(X+T*)+C， ∴K f(X)+C也是M上以T*为周期的周期函数。 假设T* 不是Kf(X)+C的最小正周期，则必存在T’（00）也都是周期函数。 例2 f(n)=Sinn是周期函数，n=g(x)=ax+b(a≠0）是非周期函数， f(g(x))=Sin(ax+b)是周期函数（中学数学中已证）。 例3 f(n)=cosn是周期函数，n=g(x)= （非周期函数）而f(g(x))=cos 是非周期函数。

《郑伯克段于鄢》相关知识、常识

一、《郑伯克段于鄢》相关知识、常识 1．《春秋》是古代中国的儒家典籍，被列为“五经”之一。《春秋》是鲁国的编年史，据传是由孔子修订的。书中用于记事的语言极为简练，然而几乎每个句子都暗含褒贬之意，被后人称为“春秋笔法”。由于《春秋》的记事过于简略，因而后来出现了很多对《春秋》所记载的历史进行详细记录的“传”，较为有名的是被称为“春秋三传”的《左传》、《公羊传》和《谷梁传》。 2．左丘明-左丘明（约前502—约前422）姓左，名丘明（一说姓丘，名明，因其父任左史官，故称左丘明）。春秋末期鲁国都君庄（今山东省肥城市石横镇东衡鱼村）人。春秋末期史学家、文学家、思想家、散文家、军事家。与孔子同时或者比孔子年龄略长些。曾任鲁国史官，为解析《春秋》而作《左传》（又称《左氏春秋》），又作《国语》，作《国语》时已双目失明，由于史料详实，文笔生动，引起了古今中外学者的爱好和研讨。两书记录了不少西周、春秋的重要史事，保存了具有很高价值的原始资料。被誉为“文宗史圣”、“经臣史祖”，孔子、司马迁均尊左丘明为“君子”。历代帝王多有敕封：唐封经师；宋封瑕丘伯和中都伯；明封先儒和先贤。 左丘明是中国传统史学的创始人。史学界推左丘明为中国史学的开山鼻祖。被誉为“百家文字之宗、万世古文之祖”。左丘明的思想是儒家思想，在当时较多地反映了人民的利益和要求。 3．四书又称为四子书，是指《论语》（孔子弟子作）、《孟子》（孟子弟子作）、《大学》（孔子弟子曾参作）、《中庸》（孔子孙子子思作）。 五经是《诗经--诗》、《尚书--书》、《礼记--礼》、《周易--易》和《春秋》。 在战国时原有“六经”的说法，《诗》、《书》、《礼》、《易》、《春秋》、《乐》。 六经中的《乐经》很早就亡佚了，《汉书·艺文志》中已无此书的记载。 五经中的《仪礼》唐朝时改为《礼记》，沿用至今。 4．春秋时期，指的是从公元前770年到公元前476年，基本上是东周的前半期这一段时间夏朝（约前21世纪—约前16世纪[1-3]）商朝又称殷、殷商[注1]（约前17世纪—约前11世纪周朝是中国历史上继商朝之后的朝代。周朝分为“西周”（前11世纪中期－前771年）与“东周”（前770年－前256年）两个时期。西周由周武王姬发创建，定都镐京（宗周）；公元前770年（周平王元年），平王东迁，定都雒邑（成周），此后周朝的这段时期称为东周。其中东周时期又称“春秋战国”，分为“春秋”及“战国”两部分。周朝是中国第三个也是最后一个世袭奴隶制王朝，其后秦汉开始成为具有从中央到地方的统一政府的大一统国家。周王朝存在的时间从约前11世纪至前256年，共传30代37王，共计存在约为791年。其中西周是中国第三个也是最後一个世袭奴隶制王朝，其後秦汉开始成为具有从中央到地方的统一政府的大一统国家。史书常将西周和东周合称为两周。春秋（前770-前476）战国（前475-前221）。一般史学界以三家分晋、田氏代齐为春秋战国分界线。 《左传》是先秦史传散文的顶峰之作，它记述史实，刻画形象，以极为高超的表现技巧把中国叙事文推向成熟，开《战国策》、《史记》等史传散文之先河。《国语》以记言为主，其言辞典雅、精练，并通过人物语言描绘情节和人物形象，文学成就虽略逊于《左传》，也为后世所推崇。论语》、《墨子》和韵散结合的《老子》。《论语》是孔子门人对孔子言行的记录，是先秦礼乐德治思想最集中的体现，表达了孔子对现实热切的关怀，它所昭示的儒家思想成为中国传统文化的基石。《论语》文约旨博，言简意赅，极有韵味。《墨子》站在小生产者的立场，倡导一种平等简朴、和平、宗教型的社会生活方式。《墨子》发展了文章

高考数学知识点：幂函数知识点_知识点总结

高考数学知识点：幂函数知识点_知识点总结 定义： 形如y=x^a(a为常数)的函数，即以底数为自变量幂为因变量，指数为常量的函数称为幂函数。定义域和值域： 当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下：如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数；如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根[据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。当x为不同的数值时，幂函数的值域的不同情况如下：在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。而只有a为正数，0才进入函数的值域 性质： 对于a的取值为非零有理数，有必要分成几种情况来讨论各自的特性： 首先我们知道如果a=p/q，q和p都是整数，则x^(p/q)=q次根号(x的p次方)，如果q是奇数，函数的定义域是R，如果q是偶数，函数的定义域是[0，+∞)。当指数n是负整数时，设a=-k，则x=1/(x^k)，显然x≠0，函数的定义域是(-∞，0)∪(0，+∞).因此可以看到x所受到的限制来源于两点，一是有可能作为分母而不能是0，一是有可能在偶数次的根号下而不能为负数，那么我们就可以知道： 排除了为0与负数两种可能，即对于x>0，则a可以是任意实数； 排除了为0这种可能，即对于x0的所有实数，q不能是偶数； 排除了为负数这种可能，即对于x为大于且等于0的所有实数，a就不能是负数。 总结起来，就可以得到当a为不同的数值时，幂函数的定义域的不同情况如下： 如果a为任意实数，则函数的定义域为大于0的所有实数； 如果a为负数，则x肯定不能为0，不过这时函数的定义域还必须根据q的奇偶性来确定，即如果同时q为偶数，则x不能小于0，这时函数的定义域为大于0的所有实数；如果同时q为奇数，则函数的定义域为不等于0的所有实数。 在x大于0时，函数的值域总是大于0的实数。 在x小于0时，则只有同时q为奇数，函数的值域为非零的实数。 而只有a为正数，0才进入函数的值域。 由于x大于0是对a的任意取值都有意义的，因此下面给出幂函数在第一象限的各自情况.可以看到： (1)所有的图形都通过(1，1)这点。 (2)当a大于0时，幂函数为单调递增的，而a小于0时，幂函数为单调递减函数。 (3)当a大于1时，幂函数图形下凹；当a小于1大于0时，幂函数图形上凸。 (4)当a小于0时，a越小，图形倾斜程度越大。 (5)a大于0，函数过(0，0)；a小于0，函数不过(0，0)点。 (6)显然幂函数无界。

必修4--三角函数所有知识点归纳总结

《三角函数》 【知识网络】 应用 弧长公式同角三角函数诱导应用计算与化简 的基本关系式公式证明恒等式 应用 任意角的概念角度制与任意角的三角函数的应用已知三角函 图像和性质数值求角 弧度制三角函数 和角公式应用 倍角公式 应用 差角公式 应用 一、任意角的概念与弧度制 1、将沿x轴正向的射线，围绕原点旋转所形成的图形称作角. 逆时针旋转为正角，顺时针旋转为负角，不旋转为零角 2、同终边的角可表示为k 360 k Z x 轴上角：k 180 k Z y 轴上角：90k 180k Z 3、第一象限角：0 k 36090k 360 k Z 第二象限角：90k 360180k 360k Z 第三象限角：180k 360270k 360k Z 第四象限角：270k 360360k 360k Z 4、区分第一象限角、锐角以及小于90 的角 第一象限角：0 k 36090 k 360 k Z 锐角：090小于90的角：90

5、若 为第二象限角，那么 为第几象限角？ 2 2k 2k k 2 k 2 4 2 k 0, 4 , k 1, 5 3 , 2 4 2 所以 在第一、三象限 2 6、弧度制：弧长等于半径时，所对的圆心角为 1弧度的圆心角，记作 1rad . 7、角度与弧度的转化： 1 0.01745 1 180 57.30 57 18 180 8、角度与弧度对应表： 角度 0 30 45 60 90 120 135 150 180 360 弧度 2 3 5 2 6 4 3 2 3 4 6 9、弧长与面积计算公式 弧长： l R ；面积： S 1 l R 1 R 2 ，注意：这里的 均为弧度制 . 2 2 二、任意角的三角函数 P (x, y) 1、正弦： sin y x y ；余弦 cos ；正切 tan x r r r 其中 x, y 为角 终边上任意点坐标， r x 2 y 2 . 2、三角函数值对应表： 度 30 45 60 90 120 135 150 180 270 360 弧度 2 3 5 3 2 6 4 3 2 3 4 6 2 sin 1 2 3 1 3 2 1 0 1 2 2 2 2 2 2 cos 3 2 1 0 1 2 3 0 1 2 1 1 2 2 2 2 2 tan 3 1 3 无 3 1 3 0 无 3 3 3、三角函数在各象限中的符号