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《数系的扩充和复数的概念》导学案

第1课时数系的扩充和复数的概念

1.在问题的情境中了解把实数系扩充到复数系的过程,体会实际需求与数学内部的矛盾(数的运算规则、方程求根)在数系扩充过程中的作用,感受人类理性思维的作用以及数与现实世界的联系.

2.理解复数的基本概念和代数表示,能利用复数的有关概念对复数进行分类.

3.掌握两个复数相等的充要条件.

4.理解复数集和复平面上的点集的一一对应关系,知道实轴、虚轴及各象限内的点所对应的复数的特征;会用复平面内的点和向量来表示复数,体会复数与向量之间的关系.

由于解方程的需要推动了数的发展,为了使类似x+5=3的方程有解,引入了负数;为了使类似5x=3的方程有解,引入了分数;为了使类似x2=3的方程有解,引入了无理数.但引入无理数后,类似x2=-1的方程在实数范围内仍然没解.

问题1:(1)虚数单位i的引进:为了得到方程x2=-1的解,需引入虚数单位i,试给出虚数单

位i的定义?

虚数单位i满足它的平方等于,即i2=.

(2)复数的有关概念.

复数:形如的数叫作复数.

复数集:全体复数所成的集合叫作复数集,用字母C表示.

复数的代数形式:复数通常用字母z表示,把复数表示成a+b i(a,b∈R)的形式,其中a与b 分别叫作复数的与.

两个复数相等的定义:

如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等.这就是说,如果a、b、c、d∈R,那么a+b i=c+d i?a=c,b=d.

问题2:复数z=a+b i(a,b∈R),

当b=0时,复数z是实数;当时,复数z是虚数;

当时,复数z是.

问题3:(1)两个复数相等的充要条件是什么?

两个复数a+b i(a,b∈R)与c+d i(c,d∈R)相等,当且仅当它们的与分别相等,即a+b i=c+d i(a,b,c,d∈R)?=,=.

(2)两复数可不可以比较大小?

当两复数是实数时,两复数可以比较大小;当两复数有一个是虚数时,两复数不能比较大小,只能分析两复数相不相等.

问题4:复数的向量表示方法和向量的模是如何定义的?

因为复平面内的点Z(a,b)与平面向量是一一对应的,所以一个复数z=a+b i与复平面内的向量=也是一一对应的.

(1)我们常将复数z=a+b i说成点或向量,并规定相等的向量表示复数.这是复数的向量表示.

(2)设复数z=a+b i在复平面内对应的点Z(a,b),点Z到原点的距离|OZ|叫作复数z=a+b i 的,记作|z|或|a+b i|.|z|=|a+b i|=.

1.“a=0”是“复数a+b i(a,b∈R)为纯虚数”的().

A.充分不必要条件

B.必要不充分条件

C.充要条件

D.既不充分也不必要条件

2.复数z=-3-10i的实部是().

A.3

B.-3

C.-10i

D.10

3.若复数z1=a+|b|i,z2=c+|d|i(a、b、c、d∈R),则z1=z2的充要条件是.

4.判断下列命题的真假:

(1)-1的平方根只有一个;

(2)i是1的4次方根;

(3)i是方程x6-1=0的根;

(4)方程x3-x2+x-1=0的根只有一个.

对复数概念的理解

已知下列命题:

①复数a+b i一定不是实数;

②两个复数不能比较大小;

③若(x2-4)+(x2+3x+2)i是纯虚数,其中x∈R,则x=±2;

④若复数z=a+b i,则当且仅当b≠0时,z为虚数;

⑤若a+b i=c+d i,则a=c且b=d.

其中真命题的个数是().

A.0B.1C.3D.4

复数概念的应用

z=+(m2+5m+6)i,当实数m为何值时,

(1)z是实数;(2)z是虚数;(3)z是纯虚数?

复数相等与复数的模

(1)已知(2x-1)+i=y-(3-y)i,x,y∈R,求x与y.

(2)设z1=1+sinθ-icosθ,z2=+(cosθ-2)i,若z1=z2,求θ和|z1|.

下列命题中正确的有.

①若z=a+b i(a,b∈R),则当a=0,b≠0时,z为纯虚数;

②若(z1-z2)2+(z2-z3)2=0,则z1=z2=z3;

③若实数a与a i对应,则实数集与纯虚数集一一对应.

复数z=log2(x2-3x-3)+ilog2(x-3),当x为何实数时:

(1)z∈R;

(2)z为虚数;

(3)z为纯虚数?

关于a的方程是a2-a tanθ-2-(a+1)i=0,若方程有实数根,求锐角θ和实数根.

1.设集合C={复数},A={实数},B={纯虚数},若全集S=C,则下列结论中正确的是().

A.A∪B=C

B.?S A=B

C.A∩(?S B)=?

D.B∩(?S A)=B

2.如果复数z=(a2-3a+2)+(a-1)i为纯虚数,则实数a的值为().

A.1或2

B.1

C.2

D.不存在

3.已知复数z=3-2i,则|z|=.

4.实数m为何值时,复数z=(m2-8m+15)+(m2+3m-28)i在复平面内对应的点:(1)位于第四象限;(2)在x轴的负半轴上?

(2013年·上海卷)设m∈R,m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,其中i是虚数单位,则m=.

考题变式(我来改编):

第三章数系的扩充与复数的引入

第1课时数系的扩充和复数的概念

知识体系梳理

问题1:(1)-1-1(2)a+b i(a,b∈R)实部虚部

问题2:b≠0纯虚数

问题3:(1)实部虚部a c b d

问题4:(a,b)(1)同一个(2)模

基础学习交流

1.B a=0时,a+b i(a,b∈R)可能为纯虚数,也可能为0;a+b i为纯虚数时,a=0.所以答案为B.

2.B复数z=-3-10i的实部是-

3.a=c且b2=d2(或写成a=c且|b|=|d|)z1=z2,则它们的实部与虚部分别相等,即a=c且|b|=|d|.

4.解:(1)∵(-i)2=i2=-1,∴-i也是-1的平方根,故(1)为假命题.

(2)∵i2=-1,∴i4=i2·i2=(-1)2=1,故(2)为真命题.

(3)i6-1=i2·i2·i2-1=(-1)3-1=-2≠0,故(3)为假命题.

(4)由x3-x2+x-1=0得(x2+1)(x-1)=0,则x2=-1或x=1,即x=±i或x=1都是方程x3-x2+x-1=0的根,故(4)为假命题.

重点难点探究

探究一:【解析】①是假命题,因为当a∈R且b=0时,a+b i是实数.②是假命题,因为两个

复数都是实数时,可以比较大小.③是假命题,因为由纯虚数的条件得解得

x=2.④是假命题,因为没有强调a,b∈R.⑤是假命题,因为没有强调,a,b,c,d∈R这一重要条件,故选A.

【答案】A

【小结】对于概念的理解注意一些小细节,比如a+b i中要求a∈R,b∈R.

探究二:【解析】(1)若z是实数,则得m=-2.

(2)若z是虚数,则得m≠-2且m≠-3且m∈R.

(3)若z是纯虚数,则得m=3.

【小结】①本题考查复数集的分类,给出的是复数的标准代数形式即z=a+b i(a,b∈R),若不然,应先将其化为标准形式,再根据满足的条件去解;②解题中应时刻注意使式子有意义.

探究三:【解析】(1)根据复数相等的充要条件,得方程组解得

(2)由已知,得故

解得θ=2kπ(k∈Z),

此时z1=1-i,|z1|==.

【小结】复数问题实数化是解决复数相等问题最基本的也是最重要的思想方法,转化过程主要依据复数相等的充要条件.基本思路是:

①等式两边整理为a+b i(a,b∈R)的形式;

②由复数相等的充要条件可以得到由两个实数等式所组成的方程组;

③解方程组,求出相应的参数.

思维拓展应用

应用一:①①正确.

②错误,只有当z1,z2,z3∈R时才成立;若z1=1,z2=0,z3=i也满足题意.

③错误,若a=0,则0·i=0不再是纯虚数.

应用二:解:(1)因为一个复数是实数的充要条件是虚部为零,

所以有

由②得x=4,经验证满足①.

所以当x=4时,z∈R.

(2)因为一个复数是虚数的充要条件是虚部非零,

所以有解得

即4.

所以当4时,z为虚数.

(3)因为一个复数是纯虚数时其实部为零且虚部不为0,

所以有解得方程无解,所以复数z不可能是纯虚数.

应用三:解:设实数根是a,则a2-a tanθ-2-(a+1)i=0,

∵a,tanθ∈R,∴

∴a=-1且tanθ=1,又0<θ<,∴θ=,a=-1.

基础智能检测

1.D

2.C由a2-3a+2=0和a-1≠0,得a=2.

3.|z|==.

4.解:(1)由已知得

∴∴-7

∴当m∈(-7,3)时,z对应的点在第四象限.

(2)由已知得

解得m=4,

即m=4时,z对应的点在x轴的负半轴上.

全新视角拓展

-2∵m2+m-2+(m2-1)i是纯虚数,

∴∴m=-2.

思维导图构建

a+b i(a,b∈R)a=0

高中物理5.5向心加速度、5.6向心力习题课导学案新人教版必修2

高中物理 5.5 向心加速度、5.6 向心力习题课导学案新人教版必修2 【学习目标】 1．进一步掌握向心力、向心加速度的有关知识，理解向心力、向心加速度的概念。 2．熟练应用向心力、向心加速度的有关公式分析和计算有关问题【学习重点】理解向心力、向心加速度的概念并会运用它们解决实际问题。【学习难点】应用向心力、向心加速度的有关公式分析和计算有关问题。【学习过程】【自主学习】 1．什么是向心力、向心加速度？（1）做圆周运动的物体受到的始终指向的合力，叫做向心力。注意:向心力是根据力的作用效果命名的，不是一种新的性质的力。向心力的作用效果：只改变运动物体的速度方向，不改变速度大小。（2）做圆周运动物体的沿半径指向的加速度，叫做向心加速度。 2．向心加速度和向心力的大小怎样计算？（1）、向心加速度公式：ａ＝＝＝ (2)、向心力公式：F＝＝＝ 3．圆周运动中向心力的分析 (1)匀速圆周运动：物体做匀速圆周运动时受到的外力的合力就是向心力，向心力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心，这是物体做匀速圆周运动的条件． (2)变速圆周运动：在变速圆周运动中，合外力不仅大小随时间改变，其方向也不沿半径指向圆心．合外力沿半径方向的分力(或所有外力沿半径方向的分力的矢量和)提供向心力，使物体产生向心加速度，改变速度的方向．合外力沿轨道切线方向的分力，使物体产生切向加速度，改变速度的大小． 4、应用牛顿第二定律解决圆周运动问题的一般步骤： ①确定研究对象，确定圆周运动的轨道平面和圆心位置，从而确定向心力的方向； ②选定向心力的方向为正方向 ③受力分析（不要把向心力作为一种按性质命名的力进行分析） ④由牛顿第二定律列方程 ⑤求解并说明结果的物理意义。【典型例题剖析】例题1：如图所示，长0.40m的细绳，一端拴一质量为0.2kg的小球，在光滑水平面上绕绳的另一端做匀速圆周运动，若运动的角速度为5.0rad/s，求绳对小球需施多大拉力？【变式训练】如图所示，半径为R的半球形碗内，有一个具有一定质量的物体A， A与碗壁间的摩擦不计．当碗绕竖直轴OO’匀速转动时，物体A在离碗底高为h 处紧贴着碗随碗一起匀速转动而不发生相对滑动，求碗转动的角速度．例题2、如图所示，用同样材料做成的A、B、c三个物体放在匀速转动的水平转台上随转台一起绕竖直轴转动．已知三物体质量间的关系m a=2m b=3m c，转动半径之间的关系是r C=2r A=2r B，那么以下说法中错误的是：( ) A．物体A受到的摩擦力最大 B．物体B受到的摩擦力最小 C．物体C的向心加速度最大 D．转台转速加快时，物体B最先开始滑动

初三化学专题复习导学案化学方程式

第五单元化学方程式复习导学案可能用到的相对原子质量：Fe-56 O-16 S-32 Ca-40 C-12 K-39 Mn-55 Cl-35.5 【复习目标】: 1.认识质量守恒定律，能说明常见化学反应中的质量关系；能从微观角度认识在一切化学反应中，反应前后原子的种类和原子的数目没有增减。 2.理解化学方程式的涵义，了解书写化学方程式要遵守的原则。能正确书写化学方程式。 3、掌握有关反应物、生成物质量的计算；掌握化学计算的解题格式，锻炼化学计算题的解题能力；通过有关化学反应的计算，能从定量的角度理解化学反应。【知识梳理】：一、质量守恒定律 1、质量守恒定律的内容：。理解时应该注意以下几点：（1）质量守恒定律适用于变化；（2）一切化学反应都遵循。 2、质量守恒定律的微观解释：化学反应的过程，就是的过程。在化学反应中，反应前后原子的没有改变，没有增减，也没有改变。二、化学方程式： 1．化学方程式表示的意义：①质的意义 ②量的意义：通过相对分子质量的计算，可知 2．书写化学方程式遵守的原则：；。3．正确书写化学方程式的步骤。一“写”：根据事实，左边写反应物，右边写生成物，反应物或生成物不止一种时用“+”连接，反应物和生成物之间用“—”连接。二“配”：在化学式前配上适当的化学计量数（并使之成最简整数比），使反应物和生成物中各元素的种类和原子个数都相等（遵守质量守恒定律），切不可改动化学式中的数字．．．．．．．．．．．．！一般用最小公倍数法或观察法。三“改”：将短线改成等号。四“注”：即注明反应发生的条件。五“标”：气体用“↑”，液体中生成固体用“↓”，但当．．．．．．．．．．．．．．．反应物和生成物中均有气体或固体时，不须标出！．．．．．．．．． 2．利用化学方程式的简单计算（1）计算的依据：（2）计算的步骤：①“设”②“写” ③“找”找出之间的质量关系④“列” ⑤“求”⑥“答”。典型例题分析及点拨：【例题1】根据所给信息书写化学方程式：（1）黑火药是我国古代四大发明之一，它是由硝石（KNO3）、木炭、硫粉组成，点燃后生成硫化钾、二氧化碳和一种气体单质，并产生猛烈地爆炸威力。反应的化学方程式：点拨：根据题中提供的信息，分析出反应物、生成物、反应的条件，然后在等号的上面标出反应条件。根据质量守恒定律可知，黑火药爆炸后的已知产物中少了氮元素，故而产生

7.微积分基本定理练习题

7、微积分基本定理一、选择题 1.??0 1(x 2 ＋2x )d x 等于( ) A.13 B.23 C ．1 D.43 2．∫2π π(sin x －cos x )d x 等于( ) A ．－3 B ．－2 C ．－1 D ．0 3．自由落体的速率v ＝gt ，则落体从t ＝0到t ＝t 0所走的路程为( ) A.13gt 20 B ．gt 2 0 C.12gt 20 D.16gt 20 4．曲线y ＝cos x ? ????0≤x ≤3π2与坐标轴所围图形的面积是( ) A ．4 B ．2 C.5 2 D ．3 5．如图，阴影部分的面积是( ) A ．2 3 B ．2－ 3 C.323 D.35 3 6.??0 3|x 2－4|d x ＝( ) A.213 B.223 C.233 D.25 3 7．??241 x d x 等于( ) A ．－2ln2 B ．2ln2 C ．－ln2 D ．ln2 8．若??1a ? ?? ??2x ＋1x d x ＝3＋ln2，则a 等于( ) A ．6 B ．4 C ．3 D ．2 9．(2010·山东理，7)由曲线y ＝x 2 ，y ＝x 3 围成的封闭图形面积为( ) A.112 B.14 C.13 D.7 12 10．设f (x )＝??? ?? x 2 0≤x <12－x 1

11．从如图所示的长方形区域内任取一个点M (x ，y )，则点M 取自阴影部分的概率为________． 12．一物体沿直线以v ＝1＋t m/s 的速度运动，该物体运动开始后10s 内所经过的路程是________． 13．求曲线y ＝sin x 与直线x ＝－π2，x ＝5 4π，y ＝0所围图形的面积为________． 14．若a ＝??02x 2 d x ，b ＝??02x 3 d x ，c ＝??0 2sin x d x ，则a 、b 、c 大小关系是________．三、解答题 15．求下列定积分： ①??0 2(3x 2＋4x 3 )d x ； ② sin 2 x 2 d x . 17．求直线y ＝2x ＋3与抛物线y ＝x 2 所围成的图形的面积． 18．(1)已知f (a )＝??0 1(2ax 2 －a 2 x )d x ，求f (a )的最大值； (2)已知f (x )＝ax 2 ＋bx ＋c (a ≠0)，且f (－1)＝2，f ′(0)＝0，??0 1f (x )d x ＝－2，求a ，b ，c 的值． DBCDCCDDAC 11. 13 12. 23(1132－1) 13.4－2 2 [解析] 所求面积为＝1＋2＋? ?? ?? 1－22＝4－22. 14.[答案] c