6.2 一元二次不等式及其解法
一、选择题
1．下列不等式中解集为R 的是( ) A ．－x 2＋2x ＋1≥0 B ．x 2－25x ＋5>0 C ．x 2＋6x ＋10>0 D ．2x 2－3x ＋4<0 2．(2018·郑州质检)不等式f (x )＝ax 2－x －c >0的解集为{x |－2 3．已知(a 2 －1)x 2 －(a －1)x －1＜0的解集是R ，则实数a 的取值范围是( ) A ．a ＜－35或a ＞1 B ．－3 5＜a ＜1 C ．－35＜a ≤1或a ＝－1 D ．－3 5＜a ≤1 4. 若函数f (x )＝|x ＋1|＋|2x ＋a |的最小值为3，则实数a 的值为( ) A ．5或8 B ．－1或5 C ．－1或－4 D ．－4或8 5．设二次函数f (x )＝ax 2 －4x ＋c (x ∈R )的值域为[0，＋∞)，则 1c ＋1 ＋9a ＋9 的最大值为( ) A.3125 B.3833 C.65 D.3126 解析：1．C 2.C 3.D 4.D 5.C 二、填空题 6．若不等式x 2－(a ＋1)x ＋a ≤0的解集是[－4，3]的子集，则a 的取值范围是________． 7．设函数f (x )＝x 2 －1，对任意x ∈??????32，＋∞，f ? ?? ??x m －4m 2f (x )≤f (x －1)＋4f (m )恒成立，则实数m 的取值范围是________． 8．设函数f (x )＝|x －1|＋|x ＋1|，若不等式|a ＋b |－|2a －b |≤|a |·f (x )对任意a 、b ∈R 且a ≠0恒成立，则实数x 的范围是________.导学号74780045 答案：6．[－4，3] 7.? ????－∞，－32∪???? ??32，＋∞ 8.??? ???xx ≤－32或x ≥32 三、解答题 9．求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 解析：∵12x 2－ax ＞a 2， ∴12x 2－ax －a 2＞0， 即(4x ＋a )(3x －a )＞0， 令(4x ＋a )(3x －a )＝0，得x 1＝－a 4，x 2＝a 3. ①a ＞0时，－a 4＜a 3，解集为? ?????xx ＜－a 4，或x ＞a 3； ②a ＝0时，x 2＞0，解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； ③a ＜0时，－a 4＞a 3，解集为???? ??xx ＜a 3，或x ＞－a 4. 综上所述，当a ＞0时，不等式的解集为??? ? ??xx ＜－a 4，或x ＞a 3； 当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R ，且x ≠0}； 当a ＜0时，不等式的解集为???? ??xx ＜a 3，或x ＞－a 4. 10．设二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，函数F (x )＝f (x )－x 的两个零点为m ，n (m ＜n )． (1)若m ＝－1，n ＝2，求不等式F (x )＞0的解集； (2)若a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1 a ，比较f (x )与m 的大小． 解析：(1)由题意知，F (x )＝f (x )－x ＝a (x －m )·(x －n )， 当m ＝－1，n ＝2时，不等式F (x )＞0， 即a (x ＋1)(x －2)＞0. 当a ＞0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |x ＜－1，或x ＞2}； 当a ＜0时，不等式F (x )＞0的解集为{x |－1＜x ＜2}． (2)f (x )－m ＝a (x －m )(x －n )＋x －m ＝(x －m )(ax －an ＋1)， ∵a ＞0，且0＜x ＜m ＜n ＜1 a ，∴x －m ＜0，1－an ＋ax ＞0. ∴f (x )－m ＜0，即f (x )＜m . 11．(2018·浙江台州模拟)已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )，记函数f (x )＝ax 2＋(a －b )x －c . (1)求证：函数y ＝f (x )必有两个不同的零点； (2)若函数y ＝f (x )的两个零点分别为m ，n ，求|m －n |的取值范围； (3)是否存在这样的实数a ，b ，c 及t 使得函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]？若存在，求出t 的值及函数y ＝f (x )的解析式；若不存在，请说明理由． 导学号74780046 解析：(1)证明：由题意知a ＋b ＋c ＝0，且－b 2a >1，a <0且c a >1， ∴ac >0，∴对于函数f (x )＝ax 2＋(a － b )x － c 有Δ＝(a －b )2＋4ac >0， ∴函数y ＝f (x )必有两个不同零点． (2)|m －n |2＝(m ＋n )2 －4mn ＝（b －a ）2 ＋4ac a 2 ＝（－2a －c ）2＋4ac a 2 ＝? ?? ??c a 2＋8×c a ＋4， 由不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为(1，t )可知， 方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个解分别为1和t (t >1)， 由根与系数的关系知c a ＝t ， ∴|m －n |2＝t 2＋8t ＋4，t ∈(1，＋∞)． ∴|m －n |>13，∴|m －n |的取值范围为(13，＋∞)． (3)假设存在满足题意的实数a ，b ，c 及t ， ∵f (x )＝ax 2 ＋(a －b )x －c ＝a ???? ??x 2＋? ????1－b a x －c a ＝a ??????x 2＋? ????1＋ a ＋c a x －c a ＝a []x 2 ＋（2＋t ）x －t (t >1)， ∴f (x )的对称轴为x ＝－1－t 2<－3 2. ∴f (x )在[－2，1]上的最小值为f (1)＝3a ＝－6，则a ＝－2. 要使函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]， 只要f (x )max ＝12即可． ①若－1－t 2≤－2，即t ≥2，f (x )max ＝f (－2)＝12， 则有6t ＝12，∴t ＝2. 此时，a ＝－2，b ＝6，c ＝－4，t ＝2， ∴f (x )＝－2x 2－8x ＋4. ②若－1－t 2>－2， ∴1 ???－1－t 2＝t 2＋8t ＋42＝12. ∴t ＝2或t ＝－10，舍去． 综上所述，当a ＝－2，b ＝6，c ＝－4，t ＝2时， 函数y ＝f (x )在[－2，1]上的值域为[－6，12]， 此时函数的解析式为f (x )＝－2x 2－8x ＋4. 不等式的证明方法 不等式的证明是高中数学的一个难点，证明方法多种多样，近几年高考出现较为形式较为活跃，证明中经常需与函数、数列的知识综合应用，灵活的掌握运用各种方法是学好这部分知识的一个前提，下面我们将证明中常见的几种方法作一列举。 注意ab b a 22 2 ≥+的变式应用。常用2 222b a b a +≥ + (其中+ ∈R b a ,)来解决有关根式不等式的问题。 一、比较法 比较法是证明不等式最基本的方法，有做差比较和作商比较两种基本途径。 1、已知a,b,c 均为正数，求证： a c c b b a c b a ++ +++≥++1 11212121 证明：∵a,b 均为正数， ∴ 0) (4)(44)()(14141)(2 ≥+=+-+++=+-+-b a ab b a ab ab b a a b a b b a b a b a 同理 0)(41 4141)(2 ≥+= +-+-c b bc c b c b c b ，0) (414141)(2 ≥+=+-+-c a ac a c a c a c 三式相加，可得 01 11212121≥+-+-+-++a c c b b a c b a ∴a c c b b a c b a ++ +++≥++111212121 二、综合法 综合法是依据题设条件与基本不等式的性质等，运用不等式的变换，从已知条件推出所要证明的结论。 2、a 、b 、),0(∞+∈c ，1=++c b a ，求证： 31222≥ ++c b a 证：2 222)(1)(3c b a c b a ++=≥++?∴ 2222)()(3c b a c b a ++-++0 )()()(222222222222≥-+-+-=---++=a c c b b a ca bc ab c b a 3、设a 、b 、c 是互不相等的正数，求证：)(4 4 4 c b a abc c b a ++>++ 证 ： ∵ 2 2442b a b a >+ 2 2442c b c b >+ 2 2442a c a c >+∴ 222222444a c c b b a c b a ++>++ ∵ c ab c b b a c b b a 2 2222222222=?>+同理：a bc a c c b 222222>+ b ca b a a c 222222>+ ∴ )(222222c b a abc a c c b b a ++>++ 4、 知a,b,c R ∈，求证: )(22 2 2 2 2 2 c b a a c c b b a ++≥++ ++ + 证明：∵ ) (2 2 2 2 2 2 2 2)(22b a b a b a b a ab ab +≥++≥+∴≥+ 高三数学基础知识专练 不等式 推理与证明 一．填空题(共大题共14小题，每小题5分，共70分) 1、在某报《自测健康状况》的报道中，自测血压结果与相应年龄的统计数据如下表.观察 2、一元二次不等式ax +bx +c ＞0的解集为(α,β)(α>0)，则不等式cx +bx +a ＞0的解集为 __________________. 3、有一段演绎推理是这样的：“直线平行于平面，则平行于平面内所有直线.已知直线 b ?平面α，直线a ?平面α，直线b //平面α，则直线b //直线a ”，这个结论显然是错误的，这是因为________________(填写下面符合题意的一个序号即可). (1)大前提错误 (2)小前提错误 (3)推理形式错误 (4)非以上错误 4、设平面内有n 条直线(n ≥3)，其中有且仅有两条直线互相平行，任意三条直线不过同一点.若用f (n )表示这n 条直线交点的个数，则f (n )= . 5、在等差数列{a n }中，公差为d ，前n 项和为S n ，则有等式d n n na S n 2 )1(1-+=成立.类比上述 性质，相应地在等比数列{b n }中，公比为q ，前n 项和为T n ，则有等式_____成立. 6、下列推理中属于合情合理的序号是_____________. (1)小孩见穿“白大褂”就哭； (2)凡偶数必能被2整除，因为0能被2整除，所以0是偶数； (3)因为光是波，所以光具有衍射性质； (4)鲁班被草划破了手而发明了锯. 7、设?????≥-<=-2 ),1(log 22)(2 21x x x x f x ，则不等式2)(>x f 的解集为____________. 8、若函数13)2(2)(2≥?+++= x a x a x x x f 能用均值定理求最大值，则a 的取值范围是____. 9、设a ＞b ＞c ＞0，且 c a m c b b a -≥ -+-11恒成立，则m 的最大值为___________. 10、某实验室需购某种化工原料106千克，现在市场上该原料有两种包装，一种是每袋 35千克，价格为140元；另一种是每袋24千克，价格为120元.在满足需要的条件 下，最少要花费____________元. 11、已知0,0>>b a 且1=+b a ，则)1 )(1(b b a a ++ 的最小值为_______________. 12、设f (x )=x 3+x ,a ,b ,c ∈R 且a +b >0,b +c >0,a +c >0， 则f (a )+f (b )+f (c )的值的符号为____(填“正数” 或“负数). 13、删去正整数数列1,2，3，…中的所有完全平方数，得到一个新数列，则这个数列的第2019项为__________. 14、下面使用类比推理正确的序号是__________. (1)由“（a +b ）c =ac +bc ”类比得到：“()()()a b c a c b c +?=?+?”； (2)由“在f (x )=ax 2+bx (a ≠0)中，若f (x 1)=f (x 2)则有f (x 1+x 2)=0”类比得到“在等差数列{a n }中，S n 为前n 项和，若S p =S q ，则有S p+q =0”； (3)由“平面上的平行四边形的对边相等”类比得到“空间中的平行六面体的对面是 证明不等式的基本方法 导学目标：1.了解证明不等式的基本方法：比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法.2.会用比较法、综合法、分析法、反证法、放缩法证明比较简单的不等式． [自主梳理] 1.三个正数的算术—几何平均不等式：如果a ，b ，c>0，那么_________________________，当且仅当a ＝b ＝c 时等号成立． 2.基本不等式(基本不等式的推广)：对于n 个正数a 1，a 2，…，a n ，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即a 1＋a 2＋…＋a n n ≥n a 1·a 2·…·a n ，当且仅当__________________时等号成立． 3.证明不等式的常用五种方法 (1)比较法：比较法是证明不等式最基本的方法，具体有作差比较和作商比较两种，其基本思想是______与0比较大小或______与1比较大小． (2)综合法：从已知条件出发，利用定义、______、______、性质等，经过一系列的推理、论证而得出命题成立，这种证明方法叫综合法．也叫顺推证法或由因导果法． (3)分析法：从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的________条件，直至所需条件为已知条件或一个明显成立的事实(定义 、公理或已证明的定理、性质等)，从而得出要证的命题成立为止，这种证明方法叫分析法．也叫逆推证法或执果索因法． (4)反证法 ①反证法的定义 先假设要证的命题不成立，以此为出发点，结合已知条件，应用公理、定义、定理、性质等，进行正确的推理，得到和命题的条件(或已证明的定理、性质、明显成立的事实等)矛盾的结论，以说明假设不正确，从而证明原命题成立，我们把它称为反证法． ②反证法的特点 先假设原命题不成立，再在正确的推理下得出矛盾，这个矛盾可以是与已知条件矛盾，或与假设矛盾，或与定义、公理、定理、事实等矛盾． (5)放缩法 ①定义：证明不等式时，通过把不等式中的某些部分的值________或________，简化不等式，从而达到证明的目的，我们把这种方法称为放缩法． ②思路：分析观察证明式的特点，适当放大或缩小是证题关键． 题型一 用比差法与比商法证明不等式 1.设t ＝a ＋2b ，s ＝a ＋b 2＋1，则s 与t 的大小关系是( A ) ≥t >t ≤t 利用放缩法证明数列型不等式压轴题 惠州市华罗庚中学 欧阳勇 摘要：纵观近几年高考数学卷，压轴题很多是数列型不等式，其中通常需要证明数列型不等式，它不但可以考查证明不等式和数列的各种方法，而且还可以综合考查其它多种数学思想方法，充分体现了能力立意的高考命题原则。处理数列型不等式最重要要的方法为放缩法。放缩法的本质是基于最初等的四则运算，利用不等式的传递性，其优点是能迅速地化繁为简，化难为易，达到事半功倍的效果；其难点是变形灵活，技巧性强，放缩尺度很难把握。对大部分学生来说，在面对这类考题时，往往无从下笔．本文以数列型不等式压轴题的证明为例，探究放缩法在其中的应用，希望能抛砖引玉，给在黑暗是摸索的学生带来一盏明灯。 关键词：放缩法、不等式、数列、数列型不等式、压轴题 主体： 一、常用的放缩法在数列型不等式证明中的应用 1、裂项放缩法：放缩法与裂项求和的结合，用放缩法构造裂项求和，用于解决和式 问题。裂项放缩法主要有两种类型： （1）先放缩通项，然后将其裂成某个数列的相邻两项的差，在求和时消去中间的项。 例1设数列{}n a 的前n 项的和1412 2333n n n S a +=-?+，1,2,3, n =。设2n n n T S =， 1,2,3, n =，证明： 1 32 n i i T =< ∑。 证明：易得12(21)(21),3 n n n S +=--1132311()2(21)(21)22121n n n n n n T ++= =-----， 11223 111 31131111 11 ()()221212212121212121 n n i i i n n i i T ++===-=-+-++ ---------∑∑ = 113113()221212 n +-<-- 点评： 此题的关键是将12(21)(21)n n n +--裂项成1 11 2121 n n +---，然后再求和，即可达到目标。 （2）先放缩通项，然后将其裂成(3)n n ≥项之和，然后再结合其余条件进行二次放缩。 例2 已知数列{}n a 和{}n b 满足112,1(1)n n n a a a a +=-=-，1n n b a =-，数列{}n b 的 全品高考复习方案数学(理科) RJA 第六单元不等式、推理与证明 1.编写意图 (1)重视不等式本身的知识、方法的讲解和练习力度,以基本的选题和细致全面的讲解进行组织,使学生掌握好不等式本身的重要知识和方法,为不等式的应用打下良好的基础. (2)二元一次不等式(组)所表示的平面区域和简单的线性规划问题,是高考重点考查的两个知识点,我们不把探究点设置为简单的线性规划问题,而是设置为目标函数的最值(这样可以涵盖线性规划和非线性规划),含有参数的平面区域以及生活中的优化问题,这样在该讲就覆盖了高考考查的基本问题. (3)对于合情推理,主要在于训练学生的归纳能力,重点在一些常见知识点上展开. 2.教学建议 (1)在各讲的复习中首先要注意基础性,这是第一位的复习目标.由于各讲的选题偏重基础,大多数例题、变式题学生都可以独立完成,在基础性复习的探究点上要发挥教师的引导作用,教师引导学生独立思考完成这些探究点,并给予适度的指导和点评. (2)要重视实际应用问题的分析过程、建模过程.应用问题的难点是数学建模,本单元涉及了较多的应用题,在这些探究点上教师的主要任务就是指导学生如何通过设置变量把实际问题翻译成数学问题,重视解题的过程. (3)不等式在高考数学各个部分的应用,要循序渐进地解决,在本单元中涉及不等式的综合运用时,我们的选题都很基础,在这样的探究点上不要试图一步到位,不等式的综合运用是整个一轮复习的系统任务,在本单元只涉及基本的应用,不要拔高. (4)推理与证明是培养学生良好思维习惯,学习和运用数学思想方法,形成数学能力的重要一环.要站在数学思想方法的高度,对多年来所学习的数学知识和数学方法进行较为系统的梳理和提升.务必使学生对数学发现与数学证明方法有一个较为全面的认识. 3.课时安排 本单元共7讲,一个小题必刷卷(九),建议每讲1个课时完成,小题必刷卷1个课时完成,本单元建议用8个课时完成复习任务. 第33讲不等关系与不等式 考试说明了解现实世界和日常生活中存在着大量的不等关系,了解不等式(组)的实际背景. 考情分析 考点考查方向考例考查热度 不等式的性 比较数、式的大小2017全国卷Ⅰ11 ★☆☆质 不等式性质 求参数的值、范围★☆☆的应用 真题再现 ■[2017-2013]课标全国真题再现 [2017·全国卷Ⅰ]设x,y,z为正数,且2x=3y=5z,则() 高等数学中不等式的证明方法 摘要：各种不等式就是各种形式的数量和变量之间的相互比较关系或制约关系，因此， 不等式很自然地成为分析数学与离散数学诸分支学科中极为重要的工具，而且早已成为 专门的研究对象。高等数学中存在大量的不等式证明，本文主要介绍不等式证明的几种 方法，运用四种通法，利用导数研究函数的单调性，极值或最值以及积分中值定理来解 决不等式证明的问题。我们可以通过这些方法解决有关的问题，培养我们的创新精神， 创新思维，使一些较难的题目简单化、方便化。 关键词：高等数学；不等式；极值；单调性；积分中值定理 Abstract: A variety of inequality is the various forms of high-volume and variable comparison between the relationship or constraints. Therefore, Inequality is natural to be a very important tool in Analysis of discrete mathematics and various bran（https://www.doczj.com/doc/0d5902403.html, 毕业论文参考网原创论文）ches of mathematics .It has been a special study.Today there are a large number of inequalities in higher mathematics .This paper introduces the following methods about Proof of Inequality ,such as the using of several general methods, researching monotone function by derivative, using extreme or the most value and Integral Mean Value Theorem . We can resolve the problems identified through these methods. It can bring up our innovative spirit and thinking and some difficult topics may be more easy and Convenient , Keyword: Higher Mathematics; Inequality; Extreme value Monotonicity; Integral Mean Value Theorem 文章来自：全刊杂志赏析网(https://www.doczj.com/doc/0d5902403.html,) 原文地址： https://www.doczj.com/doc/0d5902403.html,/article/16be7113-df3a-4524-a9c3-4ba707524e72.htm 【摘要】不等式证明是高等数学学习中的一个重要内容，通过解答考研数学中出现的 不等式试题，对一些常用的不等式证明方法进行总结。 【关键词】不等式；中值定理；泰勒公式；辅助函数；柯西 施瓦茨；凹凸性 在高等数学的学习过程当中，一个重点和难点就是不等式的证明，大多数学生在遇到不 等式证明问题不知到如何下手，实际上在许多不等式问题都存在一题多解，针对不等式的证 明，以考研试题为例，总结了几种证明不等式的方法，即中值定理法、辅助函数法、泰勒公 数列型不等式的证明 数列型不等式问题在近年逐渐成为高考热点，数列型不等式问题常被设置为高考压轴题，能力要求较高。因其仍然是不等式问题，可用处理不等式的方法：基本不等式法；比较法；放缩法，函数单调性法等都是常用的方法；但数列型不等式与自然数有关，因而还有一种行之有效的方法：数学归纳法。 1、重要不等式法 若数列不等式形如下式，可用均值不等式法求证。 （1）),(222R b a ab b a ∈≥+; （2） ),(2 +∈≥+R b a ab b a （3） ),,,(2121321+∈???????????≥+??????+++R x x x x x x n n x x x x n n n n 2、比较法 比较法是证明不等式的基本方法，可以作差比较也可以作商比较，是一种易于掌握的方法。 3、放缩法 常用的放缩结论： ①、 ,111)1(11)1(11112k k k k k k k k k --=-<<+=+-其中（2≥k ） ②、 ;)12)(12(1)12(12+->-n n n ;)12)(32(1)12(12--<-n n n ) 22(21 )12(12+<+n n n ③、 1 211 2-+< < ++k k k k k 用放缩法解题的途径一般有两条，一是先求和再放缩，二是先放缩再求和。 （1）、先求和再放缩 一般先分析数列的通项公式，如果此数列的前n 项和能直接求和或通过变形后可以求和，则采用先求和再放缩的方法证明不等式。数列求和的方法较多，我们在数列求和的专题中有具体的讲解，主要用的有公式法、裂项法、倒序相加法、分组求和法等方法。 例1、已知函数)(x f 对任意实数q p ,都满足)()()(q f p f q p f ?=+，且3 1 )1(=f ， （1）当+∈N n 时，求)(n f 的表达式；（2）设))((+∈=N n n nf a n ，n T 是其前n 项和，试证明4 3 课时跟踪训练(三十八) [基础巩固] 一、选择题 1．观察下面关于循环小数化分数的等式：0.3·＝39＝13，0.1· 8·＝1899＝211，0.3· 5· 2·＝352999，0.0005· 9·＝11000×5999＝5999000，据此推测循环小数0.23·可化成分数( ) A.2390 B.9923 C.815 D.730 [解析] 0.23·＝0.2＋0.1×0.3·＝15＋110×39＝730. 选D. [答案] D 2．已知数列{a n }为11，21，12，31，22，13，41，32，23，14，…，依它的前10项的规 律，则a 99＋a 100的值为( ) A.3724 B.76 C.1115 D.715 [解析] 由给出的数列{a n }的前10项得出规律，此数列中，分子与分母的和等于2的有1项，等于3的有2项，等于4的有3项，…，等于n 的有n －1项，且分母由1逐渐增大到n －1，分子由n －1逐渐减小到1(n ≥2)，当n ＝14时即分子与分母的和为14时，数列到91项，当n ＝15即分子与分母的和为15时，数列 到104项，所以a 99与a 100是分子与分母和为15中的第8项与第9项，分别为78， 69，∴a 99＋a 100＝78＋69＝3724，选A. [答案] A 3．观察下列各式：55＝3125,56＝15625,57＝78125，…，则52018的末四位数字为( ) A ．3125 B ．5625 C ．0625 D ．8125 [解析]∵55＝3125,56＝15625,57＝78125， 58＝390625,59＝1953125，…，∴最后四位应为每四个循环，2018＝4×504＋2，∴52018最后四位应为5625. [答案] B 4．(2017·安徽合肥一中模拟)《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术．得诀自诩无所阻，额上坟起终不悟．”在这里，我们称形 如以下形式的等式具有“穿墙术”：22 3＝2 2 3，3 3 8＝3 3 8，4 4 15＝4 4 15， 55 24＝5 5 24，…，则按照以上规律，若9 9 n＝9 9 n具有“穿墙术”，则n＝ () A．25 B．48 C．63 D．80 [解析]由22 3＝2 2 3，3 3 8＝3 3 8，4 4 15＝4 4 15，5 5 24＝5 5 24，…， 可得若99 n＝9 9 n具有“穿墙术”，则n＝9 2－1＝80，故选D. [答案] D 5．(2017·湖北宜昌一中、龙泉中学联考)老师带甲、乙、丙、丁四名学生去参加自主招生考试，考试结束后老师向四名学生了解考试情况，四名学生回答如下：甲说：“我们四人都没考好”；乙说：“我们四人中有人考得好”；丙说：“乙和丁至少有一人没考好”；丁说：“我没考好”．结果，四名学生中有两人说对了，则四名学生中说对了的两人是() A．甲丙B．乙丁 C．丙丁D．乙丙 [解析]如果甲对，则丙、丁都对，与题意不符，故甲错，乙对；如果丙错，则丁错，因此只能是丙对，丁错，故选D. [答案] D 6．如图所示，面积为S的平面凸四边形的第i条边的边长记为a i(i＝1,2,3,4)， 此四边形内任一点P到第i条边的距离记为h i(i＝1,2,3,4)，若a1 1＝ a2 2＝ a3 3＝ a4 4＝k， 证明不等式的13种方法 咸阳师范学院基础教育课程研究中心安振平 不等式证明无论在高考、竞赛，还是其它类型的考试里，出现频率都是比较高，证明难度也是比较大的.因此，有必要总结证明不等式的基本方法，为读者提供学习时的参考资料.笔者选题的标准是题目优美、简明，其证明方法基本并兼顾巧妙. 1．排序方法 对问题的里的变量不妨排出大小顺序，有时便于获得不等式的证明. 例1已知,,0a b c ≥，且1a b c ++=，求证： ()22229 1. a b c abc +++≥2．增量方法 在变量之间增设一个增量，通过增量换元的方法，便于问题的变形和处理.例2设,,a b c R + ∈，试证：2222 a b c a b c a b b c c a ++++≥+++.3．齐次化法 利用题设条件，或者其它变形手段，把原不等式转换为齐次不等式. 例3设,,0,1x y z x y z ≥++=，求证： 2222222221.16 x y y z z x x y z +++≤4．切线方法 通过研究函数在特殊点处的切线，利用切线段代替曲线段，来建立局部不等式.例4已知正数,,x y z 满足3x y z ++=，求证： 323235 x y +≤++.. 5．调整方法 局部固定，逐步调整，探究多元最值，便能获得不等式的证明. 例5已知,,a b c 为非负实数，且1a b c ++=，求证：13.4 ab bc ca abc ++-≤ 6．抽屉原理 在桌上有3个苹果，要把这3个苹果放到2个抽屉里，无论怎样放，我们会发现至少会有一个抽屉里面放2个苹果.这一简单的现象，就是人们所说的“抽屉原理”.巧用抽屉原理，证明某些不等式，能起到比较神奇的效果. 例6（《数学通报》2010年9期1872题）证明：在任意13个实数中，一定能找到两个实数,x y ，使得0.3.10.3x y x ->+7．坐标方法 构造点坐标，应用解析几何的知识和方法证明不等式. 例7已知a b c R ∈、、，a 、b 不全为零，求证： ()()()22 22222 22.a b ac a b bc a b c a b +++++≥+++8．复数方法 构造复数，应用复数模的性质，可以快速证明一些无理不等式. 例8（数学问题1613，2006，5）设,,,0,a b c R λ+ ∈≥求证：9．向量方法 构造向量，把不等式的证明纳入到向量的知识系统当中去. 例9已知正数,,a b c 满足1a b c ++=，求证： 4 ≤. 10．放缩方法 不等式的证明，关键在于恒等变形过程中的有效放大、或者缩小技巧,放和缩应当恰到好处. 例10已知数列{}n a 中，首项132 a = ，且对任意*1,n n N >∈，均有 11n n a a +=++()211332.42 n n n a -+< 数列型不等式证明的常用方法 一． 放缩法 数列型不等式证明是前见年高考中的一个热点，在多 省试题中常常作为压轴题出现。放缩法是数列不等式证明的 一个重要方法，它具有很强的技巧性的特点，学生往往无从 下手，下面总结放缩法证明的一些常用技巧， 例如 归一技巧、 抓大放小技巧、回头追溯技巧、利用函数性质技巧 ，仅供参 考 . 1 归一技巧 归一技巧，指的是将不容易求和的和式中的所有项或 若干项全部转化为 同一项 ，或是将和式的通项中的一部分转 化为 同一个式子 （或数值），既达到放缩的目的，使新的和 式容易求和 . 归一技巧有 整体归一、分段归一。 例如 1 1 1 1 设 n 是正整数，求证 n 1 n 2 1． 2 2n 1 1 1 【证明】 n 1 n 2 L 2n 1 1 1 1 1 . 2n 2n 2n 2n 2 14444244443 个 1 n 2n 1 1 L 1 另外： n 1 n 2 2n 1 1 1 1 n n n n 1 . 144424443 n 个 1 n 1 1 【说明】在这个证明中，第一次我们把 n 1 、 n 2 、 1 1 L 2n 这些含 n 的式子都 “归一” 为 2n ，此时式子同时变小， 1 1 L 1 1 顺利把不易求和的 n 1 n 2 2n 变成了 n 个 2n 的 和，既将式子缩小，同时也使缩小后的式子非常容易求和， 这就是 “归一” 所达到的效果。 而不等式右边的证明也类似 . 1.1 整体归一 放缩法中，如果通过将所有项转化为同一项而达到放缩目的的，称之为“整体归一” . 例 1. 数列 a n 的各项均为正数， S n 为其前 n 项和，对于任 意 n N * ，总有 a n , S n ,a n 2 成等差数列 . ( Ⅰ ) 求数列 a n 的通项公式； ( Ⅱ ) 设数列 b n 的前 n 项和为 T n ，且 b n ln n x ，求证:对 2 a n 任意实数 x 1, e （ e 是常数， e ＝ ）和任意正整数 n ， 总有 T n 2 ； （Ⅰ）解：由已知：对于 n N * ，总有 2S n a n a n 2 ①成立 ∴ 2S n 1 a n 1 a n 1 2 （n ≥ 2 ）② ① -- ②得 2a n a n a n 2 a n 1 a n 1 2 ∴ a n a n 1 a n a n 1 a n a n 1 ∵ a n , a n 1 均为正数， ∴ a n a n 1 1 （n ≥ 2） ∴数列 a n 是公差为 1 的等差数列 第六章不等式推理与证明 (时间120分钟，满分150分) 、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的) 1 .不等式(x + 1) x — 1> 0的解集是 A . {x|x > 1} 解析：■/ x — 1> 0, /? x > 1. 同时 x + 1> 0,即卩 x > — 1.二 x > 1. 答案：B 2 .下列命题中的真命题是 答案: x w 0 x 2> 1，从而得 x > 1 或 x W — 1. 答案：D 2x + 1 4 .若集合 A = {x||2x — 1|v 3}, B = {x| v 0}，贝V A Q B 是 3 — x 1 A . {x|— 1 v x v — 2或 2v x v 3} B . {x|2v x v 3} 1 1 C . {x|—v x v 2} D . {x|— 1v x v — ^} 解析：T I2X — 1|v 3, ??? — 3v 2x — 1v 3.A — 1v x v 2. 2x + 1 又v 0, (2x + 1)(x — 3) > 0, 3 — x … 1 1 …x > 3 或 x v — 2* - - A Q B = {x| — 1 v x v — 2). {x|x > 1} C . {x|x > 1 或 x =— 1} {x|x >— 1 或 x = 1} A 门. .右 C .若 a > b , c > d ,贝U ac > bd a > b ,贝U a 2 > b 2 解析: 由 a >|b|,可得 a >|b|>0? 2 2 B .若 |a|> b ,则 a > b D .若 a > |b|,贝U a 2> b 2 a 2> b 2. x 2, x w 0 3 .已知函数 f(x) = 2x — 1, x >0 若f(x)> 1，则x 的取值范围是 A . ( — m,— 1] B . [1 ,+m ) C . ( — m, 0] U [1,+m ) ( — m, — 1] U [1 ,+m ) 解析：将原不等式转化为: x > 0 检测 用放缩法证明不等式的方法与技巧 一．常用公式 1．)1(11)1(12-<<+k k k k k 2．12 112-+<<++k k k k k 3．22k k ≥()4≥k 4．1232k k ???????≥(2≥k ) 5． ?? ????--≤！！（！k k k 1)11211（待学） 6．b a b a +≤+ （待学） 二．放缩技巧 所谓放缩的技巧：即欲证A B ≤，欲寻找一个（或多个）中间变量C ，使A C B ≤≤， 由A 到C 叫做“放”，由B 到C 叫做“缩”. 常用的放缩技巧 （1）若0,,t a t a a t a >+>-< （2） < > 11> ，n >= （3）21111111 (1)1(1)(1)1n n n n n n n n n n - =<<=->++-- （4 ）= <=<= （5）若,,a b m R + ∈，则,a a a a m b b m b b +>< + （6）21111111 112!3!!222 n n -+++???+<+++???+ （7）22211111111 11(1)()()232231n n n +++???+<+-+-+???+--（因为211(1)n n n < -） （7）1111111112321111n n n n n n n n n +++???+≤++???+=<+++++++ 或11111111123222222 n n n n n n n n n +++???+≥++???+==+++ （8 ）1+???+>???+== 三．常见题型 （一）．先求和再放缩: 1．设1111 2612 (1) n S n n = ++++ +，求证：1n S < 2．设1n b n = （n N * ∈），数列2{}n n b b +的前n 项和为n T ，求证：34n T < （二）．先放缩再求和: 3．证明不等式：111 12112123 123n ++++ 放缩法证明数列不等式 主要放缩技能： 1.211111111(1)(n 1)1n n n n n n n n -=<<=-++-- 2221144112()141(21)(21)21214 n n n n n n n <===--+--+- ==>= ==<= =<= == =< = = 5.121122211(21)(21)(22)(21)(21)2121n n n n n n n n n n ---<==-------- 6. 111 22(1)11(1)2(1)22(1)2n n n n n n n n n n n n n +++++-==-+?+??+? 例1.设函数2*2()1x x n y n N x -+=∈+的最小值为n a ，最大值为n b ， 且n c =（1）求n c ；（2）证明： 4444123111174n c c c c ++++ < 例2.证明：1611780<+ +< 例3.已知正项数列{}n a 的前n 项的和为n s ，且12n n n a s a + =，*n N ∈； （1）求证：数列{} 2n s 是等差数列； （2）解关于数列n 的不等式：11()48n n n a s s n ++?+>- （3）记312311112,n n n n b s T b b b b ==++++，证明：312n T << 例4.已知数列{}n a 满足：n a n ?????? 是公差为1的等差数列，且121n n n a a n ++=+； （1） 求n a ；（2 12n na +++< 例5.在数列{}n a 中，已知1112,2n n n n a a a a a ++==-； （1）求n a ；（2）证明：112233(1)(1)(1)(1)3n n a a a a a a a a -+-+-++-< 例6.数列{}n a 满足：11122,1()22 n n n n n a a a n a ++==++； （1）设2n n n b a =，求n b ；（2）记11(1)n n c n n a +=+，求证：12351162 n c c c c ≤++++< 课时达标 第36讲-不等式、推理与证明 一、选择题 1．用反证法证明命题：“若a ＋b ＋c 为偶数，则自然数a ，b ，c 恰有一个偶数”时正确的反设为( ) A ．自然数a ，b ，c 都是奇数 B ．自然数a ，b ，c 都是偶数 C ．自然数a ，b ，c 中至少有两个偶数 D ．自然数a ，b ，c 中都是奇数或至少有两个偶数 D 解析 “自然数a ，b ，c 中恰有一个偶数”的否定是“自然数a ，b ，c 都是奇数或至少有两个偶数”．故选D. 2．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“设 a >b >c ，且a ＋b ＋c ＝0，求证b 2－ac <3a ”索的因应是( ) A ．a －b >0 B ．a －c >0 C ．(a －b )(a －c )>0 D ．(a －b )(a －c )<0 C 解析 b 2－a c ＜3a ?b 2－ac ＜3a 2?(a ＋c )2－ac ＜3a 2?a 2＋2ac ＋c 2－ac －3a 2＜0 ?－2a 2＋ac ＋c 2＜0?2a 2－ac －c 2＞0?(a －c )(2a ＋c )＞0?(a －c )(a －b )＞0. 3．(2019·焦作一中月考)若a ，b ∈R ，则下面四个式子中恒成立的是( ) A ．lg(1＋a 2)＞0 B ．a 2＋b 2≥2(a －b －1) C ．a 2＋3ab ＞2b 2 D.a b ＜a ＋1b ＋1 B 解析 在B 项中，因为a 2＋b 2－2(a －b －1)＝(a 2－2a ＋1)＋(b 2＋2b ＋1)＝(a －1)2＋(b ＋1)2≥0，所以a 2＋b 2≥2(a －b －1)恒成立． 4．设f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减，若x 1＋x 2＞0，则f (x 1)＋f (x 2)的值( ) A ．恒为负值 B ．恒等于零 C ．恒为正值 D ．无法确定正负 A 解析 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且当x ≥0时，f (x )单调递减可知f (x )是R 上的单调递减函数，由x 1＋x 2＞0可知x 1＞－x 2，f (x 1)＜f (－x 2)＝－f (x 2)，则f (x 1)＋f (x 2)＜0. 证明不等式的几种常用方法 证明不等式除了教材中介绍的三种常用方法，即比较法、综合法和分析法外，在不等式证明中，不仅要用比较法、综合法和分析法，根据有些不等式的结构，恰当地运用反证法、换元法或放缩法还可以化难为易．下面几种方法在证明不等式时也经常使用． 一、反证法 如果从正面直接证明，有些问题确实相当困难，容易陷入多个元素的重围之中，而难以自拔，此时可考虑用间接法予以证明，反证法就是间接法的一种．这就是最“没办法”的时候往往又“最有办法”，所谓的“正难则反”就是这个道理． 反证法是利用互为逆否的命题具有等价性来进行证明的，在使用反证法时，必须在假设中罗列出各种与原命题相异的结论，缺少任何一种可能，则反证法都是不完全的． 用反证法证题的实质就是从否定结论入手，经过一系列的逻辑推理，导出矛盾，从而说明原结论正确．例如要证明不等式A＞B，先假设A≤B，然后根据题设及不等式的性质，推出矛盾，从而否定假设，即A≤B不成立，而肯定A＞B成立．对于要证明的结论中含有“至多”、“至少”、“均是”、“不都”、“任何”、“唯一”等特征字眼的不等式，若正面难以找到解题的突破口，可转换视角，用反证法往往立见奇效． 例1 设a、b、c、d均为正数，求证：下列三个不等式：①a＋b＜c＋d； ②(a＋b)(c＋d)＜ab＋cd；③(a＋b)cd＜ab(c＋d)中至少有一个不正确． 反证法：假设不等式①、②、③都成立，因为a、b、c、d都是正数，所以 不等式①与不等式②相乘，得：(a ＋b)2＜ab ＋cd ，④ 由不等式③得(a ＋b)cd ＜ab(c ＋d)≤( 2 b a +)2 ·(c ＋d)， ∵a ＋b ＞0，∴4cd ＜(a ＋b)(c ＋d)， 综合不等式②，得4cd ＜ab ＋cd ， ∴3cd ＜ab ，即cd ＜31 ab ． 由不等式④，得(a ＋b)2＜ab ＋cd ＜ 34ab ，即a 2＋b 2＜－3 2 ab ，显然矛盾． ∴不等式①、②、③中至少有一个不正确． 例2 已知a ＋b ＋c ＞0，ab ＋bc ＋ca ＞0，abc ＞0，求证：a ＞0，b ＞0， c ＞0． 证明：反证法 由abc ＞0知a ≠0，假设a ＜0，则bc ＜0， 又∵a ＋b ＋c ＞0，∴b ＋c ＞－a ＞0，即a(b ＋c)＜0， 从而ab ＋bc ＋ca = a(b ＋c)＋bc ＜0，与已知矛盾． ∴假设不成立，从而a ＞0， 同理可证b ＞0，c ＞0． 例3 若p ＞0，q ＞0，p 3＋q 3= 2，求证：p ＋q ≤2． 证明：反证法 假设p ＋q ＞2，则(p ＋q)3＞8，即p 3＋q 3＋3pq (p ＋q)＞8， ∵p 3＋q 3= 2，∴pq (p ＋q)＞2． 故pq (p ＋q)＞2 = p 3＋q 3= (p ＋q)( p 2－pq ＋q 2)， 又p ＞0，q ＞0 ? p ＋q ＞0， ∴pq ＞p 2－pq ＋q 2，即(p －q)2 ＜0，矛盾． 函数与导数解答题之数列型不等式证明 例1.已知函数()()ln 3f x a x ax a R =--∈ (1)讨论函数)(x f 的单调性; (2)证明:*1111ln(1)()23n n N n + +++>+∈ (3)证明:()*ln 2ln 3ln 4ln 5ln 12,2345n n n N n n ???<≥∈ (4)证明:()*22222ln 2ln 3ln 4ln 5ln 112,23452n n n n n N n n +????? 例3．已知函数()x f x e ax a =--（其中,a R e ∈是自然对数的底数， 2.71828e =…）. （1）当a e =时，求函数()f x 的极值；（II ）当01a ≤≤时，求证()0f x ≥； （2）求证：对任意正整数n ，都有2111111222n e ??????+ +???+< ??? ???????. 例4.设函数()ln 1f x x px （1）求函数()f x 的极值点； （2）当p ＞0时，若对任意的x ＞0，恒有0)(≤x f ，求p 的取值范围； （3）证明：).2,()1(212ln 33ln 22ln 2222222≥∈+--<+++n N n n n n n n 例5.已知函数()ln 1f x x x =-+? (1)求()f x 的最大值; (2)证明不等式:()*121n n n n e n N n n n e ??????+++<∈ ? ? ?-???? ??高中不等式的证明方法
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