三角形
3.2图形的全等
【教学目标】
知识与技能
1.理解图形全等的概念和特征。
2.、知道全等三角形的概念及全等三角形的对应元素。
3.知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等。
4.能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边。
过程与方法
通过平移、旋转、翻折等图形基本变换对全等图形进行研究。
情感、态度与价值观
【教学重难点】
重点：能完全重合图形相关性质
难点：利用全等三角形的性质进行简单的推理和计算
【导学过程】
【知识回顾】
此板块分课型，有些课型可以没有，根据实际情况进行
【情景导入】
【新知探究】
探究一、
1.这些图形中有些是完全一样的，如果把它们叠在一起，它们就能重合。你能分别从图中找出这样的图形吗？
2.能够完全重合的两个图形成为图形。
例：观察下面两组图形，它们是不是全等图形？为什么？
探究二、
能够完全重合的两个三角形叫做表示方法:△ABC≌△DEF
例：你能找到图中的对应边和对应角吗？对应边和对应角有什么特征？
解：对应边：和、和、和
对应角：和、和、和
发现对应边，对应角
全等三角形对应边上的高，对应边上的中线也。
练习：
如图, 已知⊿ABC≌⊿ADE.
(1)写出它们的对应边和对应角.
(2)证明: ∠EAC=∠BAD.
解：（1）对应边：和、和、和
对应角：和、和、和
（2）证明：∵⊿ABC≌⊿ADE（）
∴∠EAD=∠CAB （全等三角形相等）
∴∠EAD-∠CAD= -∠CAD （）
∴∠EAC=
【知识梳理】
1.能够完全重合的两个图形成为图形。
2.如果两个图形全等，它们的和一定都相同
3.全等三角形的性质：全等三角形的相等，相等。
【随堂练习】
1.下列说法正确的是（）
A、同一底片的两张相片一定全等；
B、周长相等的两个图形一定全等；
C、全等的两个图形面积一定；
D、以上说法都不对
2.下列图中的两个三角形是全等三角形，请依次说出它们的对应边、对应角。
（1）⊿_______≌⊿________;
对应边:______________________
对应角:______________________
3.如图，⊿ABD≌⊿ACE，你能说明BE=DC吗？
中国书法艺术说课教案
今天我要说课的题目是中国书法艺术，下面我将从教材分析、教学方法、教学过程、课堂评价四个方面对这堂课进行设计。
一、教材分析：
本节课讲的是中国书法艺术主要是为了提高学生对书法基础知识的掌握，让学生开始对书法的入门学习有一定了解。
2017—2018学年度第二学期教学进度任课教师：学科：数学七年级
注意事项： 1、结合学生实际情况，多采取游戏式的教学，务实基础，引导学生乐 于参 与数学学习活动。? 2、培养学生认真地计算能力及习惯，在原有基础上再提高。? 3、培养学生的数学能力，提高解决数学问题的正确率，抓好尖子生。? 4、在课堂教学中，注意多一些有利于孩子理解的问题，应该考虑学生 实际 的思维水平，多照顾中等生以及思维偏慢的学生。? 同底数幂的乘法 教学目标： 知识与技能：使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的 运算性质(或称法则)，进行基本运算。 过程与方法：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽 象的能力。 情感、态度、价值观：提高学生学习数学的兴趣。 教学重点和难点： 幂的运算性质． 教学过程： 一、实例导入： 二、温故： 2.，指出下列各式的底数与指数：
(1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与 -24呢？ 三、知新： 1．利用乘方的意义，提问学生，引出法则 计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义) =10×10×10×10×10(乘法的结合律) =105． 2．引导学生建立幂的运算法则 将上题中的底数改为a，则有 a3·a2＝(aaa)·(aa) ＝aaaaa =a5， 即a3·a2=a5=a3+2． 用字母m，n表示正整数，则有 即a m·a n=a m+n． 3．引导学生剖析法则 (1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？ (4)公式中的底数a可以表示什么
三角形复习教案 教学目标1、理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念； 2、掌握三角形的三边间的关系； 3、会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度。 难点重点1、熟练掌握三角形的三条重要线段； 2、会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度 一、知识点梳理 (1) 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做 三角形. (2) 三角形的分类. ?? ? ??钝角三角形直角三角形 锐角三角形 ?? ? ? ? ? ?) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 (3) 三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. (4) 三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线,三条中线交点叫重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交,顶点和交点间的线段,三个角的角平分线的交点叫内心 ③三角形的高：顶点向对边作垂线,顶点和垂足间的线段.三条高的交点叫垂心(分锐角三角形,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同) （5）三角形具有稳定性 （6）三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于180°. 推论1：直角三角形的两个锐角互补。 推论2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 （7）多边形的外角和恒为360°。 二、典例分析 例1 一个三角形的两边长分别为2和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系） 针对性练习：若一个等腰三角形的周长为17cm ，一边长为3cm ,则它的另一边长是 。 三角形 (按角分) 三角形 (按边分)
1、如图1，AB//EF, ∠2=2∠1 (1)证明∠FEC=∠FCE; (2)如图2，M 为AC 上一点，N 为FE 延长线上一点，且∠FNM=∠FMN ，则∠NMC 与∠CFM 有何数量关系，并证明。 图1 图2 2、（1）如图，△ABC, ∠ABC 、∠ACB 的三等分线交于点E 、D ，若∠1=130°，∠2=110°，求∠A 的度数。 B C （2）如图，△ABC,∠ABC 的三等分线分别与∠ACB 的平分线交于点D,E 若 ∠ 1=110 ° ， ∠ 2=130 ° ， 求 ∠ A 的 度 数 。 A B C B C
A C 3、如图，∠ABC+∠ADC=180°，OE 、OF 分别是角平分线，则判断OE 、OF 的位置关系为？ F A B 4、已知∠A=∠C=90°. (1)如图，∠ABC 的平分线与∠ADC 的平分线交于点E ，试问BE 与DE 有何位置关系？说明你的理由。 （2）如图，试问∠ABC 的平分线BE 与∠ADC 的外角平分线DF 有何位置关系？说明你的理由。 （3）如图，若∠ABC 的外角平分线与∠
ADC的外角平分线交于点E，试问BE与DE有何位置关系？说明你的理由。
5．（1）如图，点E 在AC 的延长 线上，∠BAC 与∠DCE 的平分线交于点F ，∠B=60°,∠F=56°,求 ∠BDC 的度数。 A E （2）如图，点E 在CD 的延长线上，∠BAD 与∠ADE 的平分线交于点F ，试问∠F 、∠B 和∠C 之间有何数量关系？为什么？ E A D 6.已知∠ABC 与∠ADC 的平分线交于点E 。 （1）如图，试探究∠E 、∠A 与∠C 之间的数量关系，并说明理由 。 B
9．1认识三角形 第一课时 教学目的 1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念。 2.会将三角形按角分类。 3.理解等腰三角形、等边三角形的概念。 重点、难点 1．重点：三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念。2．难点：三角形的外角。 教学过程 一、引入新课 在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题。 本章我们将学习三角形的基本性质。 二、新授 1．三角形的概念： (1)什么是三角形呢? 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边。如图：AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点。(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC。
A（顶点） 边 B C (2)三角形的内角，外角的概念：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC。 每个三角形有几个内角? 三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻。 与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系? 练习：(1)下图中有几个三角形?并把它们表示出来。 (2)指出△ADC的三个内角、三条边。 学生回答后教师接着问：∠ADC能写成∠D吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么? (3)有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗?AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗? (4)∠BDC是△BCD的什么角?是△ACD的什么角?∠BCD是△ACD 的外角，对吗? (5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角。 2．三角形按角分类。
11.1 三角形的边教案 教学目标：1、理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念； 2、掌握三角形的三边间的关系。 难点重点：熟练掌握三角形的三条重要关系。 一、知识点梳理 (1) 三角形的定义:由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形. (2) 三角形的分类. ?????钝角三角形直角三角形锐角三角形 ???????) (等边三角形等腰三角形不等边三角形 (3) 三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边. 二、典例分析 例1 一个三角形的两边长分别为2 和9,第三边为奇数,则此三角形的周长是多少？（三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系） 针对性练习：若一个等腰三角形的周长为17cm ，一边长为3cm ,则它的另一边长是 。 例2 如图,AD 是ABC ?的中线,DE=2AE.若ABE ABC S cm S △△求,242= 针对性练习： 1、能把一个任意三角形分成面积相等的两个三 角形的线 段是三角形的（ ） A 、角平分线 B 、中线 C 、高 D 、两边中点连线 2、如图2，在ABC ?中，点D 、 E 、 F 分别是BC 、AD 、CE 的中点，且24cm S ABC =△，则BEF S △的值为 。 三角形 (按角分) 三角形 (按边分) 图2
A.2cm 2 B.1cm 2 C.12cm 2 D.14 cm 2 3、ABC ?中,AB=AC.周长为16cm.AC 边上的中线BD 将ABC ?分成周长之差为2cm 的两个三角形.求ABC ?的各边长. 反馈练习： 1、下面四个图形中，线段BE 是⊿ABC 的高的图是（ ） A ． B ． C ． D ． 2．如图所示,在△ABC 中,∠ACB=90°,把△ABC 沿直线AC 翻折180°,使点B 落在点B ′的位置,则线段AC 具有性质( ) A.是边BB ′上的中线 B.是边BB ′上的高 C.是∠BAB ′的角平分线 D.以上三种 3、有下列长度的三条线段,能组成三角形的是( ) A.1cm,2cm,3cm B.1cm,2cm,4cm; C.2cm,3cm,4cm D.2cm,3cm,6cm 4、已知等腰三角形的两边长分别为3和6,则它的周长为( ) A.9 B.12 C.15 D.12或15 5、如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4,则它是( ) A.锐角三角形 B.钝角三角形; C.直角三角形 D.钝角或直角三角形 B C E B A C E B A C E B A C E B ' C B A
三角形 （复习课第2课时） 【理论支持】 根据布卢姆的掌握学习理论：学习者在学习新的知识之前，必须具备一定的基础知识和能力；学习者参与学习的动机和态度。三角形是学生已经具有几何初步知识的基础上的延伸，利于激发学生的探求新知的兴趣和学习热情。三角形的有关概念和性质是在线段和角有关知识基础延续，它又是多边形的有关概念与性质的基础，这些内容为以后学习各种特殊三角形（如等腰三角形、直角三角形）作下铺垫，也是研究其他图形必备的基础知识。 三角形是多边形的一种，因而可以借助三角形建立多边形的有关概念，如多边形的边、内角、外角、内角和都可以由三角形的概念推广而来。三角形是最简单的多边形，因而常常将多边形分解为若干个三角形，利用三角形的性质进一步研究多边形性质。 本章对于学生的几何观念和推理能力的提高和发展起着非常重要的作用。 【教学目标】 知识技能：掌握本章知识结构图理解三角形的内角和定理及推论、三角形的外角及外角和、多边形的内
角和公式及外角和以及平面镶嵌的使用。 数学思考：通过学习三角形的知识以及三角形知识的延 伸，培养和发展学生的逻辑推理能力，以及数 学语言的表达能力。 解决问题：通过学习，提高学生对几何的认识以及怎样去研究几何知识。 情感态度：学会研究问题的方法，进一步发展几何观念，并且认识到数学在实际生活中的广泛运用。 【教学重难点】 1．重点：（1）三角形的内角和定理及三个推论 （2）多边形的内角和公式 2. 难点：三角形、多边形内角和定理的应用 【教学设计】 课前延伸 上节课我们回顾了三角形的定义，三条重要线段，三角形三边之间的关系，三角形的稳定性，这节课我们再来探讨三角形中角的性质以及性质的应用。 课内探究 1.通过上回布置学生自主复习，由学生进行知识展示，教 师作一些提示，可整理得：
2015—2016学年度第二学期教学进度 任课教师：学科：数学年（班）级： 本学期总目标：培养学生良好的学习习惯，提高他们学习数学的热情， 力争取得一个比较优异的学习成绩 教研组长签字： 说明：此表一式两份，一份作为教案附件之一粘贴在教案本上，一份上交教务处。
1.1同底数幂的乘法 教学目标： 知识与技能：使学生在了解同底数幂乘法意义的基础上，掌握幂的运算性质(或称法则)，进行基本运算。 过程与方法：在推导“性质”的过程中，培养学生观察、概括与抽象的能力。 情感、态度、价值观：提高学生学习数学的兴趣。 教学重点和难点： 幂的运算性质． 教学过程： 一、实例导入： 二、温故： 2.，指出下列各式的底数与指数： (1)34；(2)a3；(3)(a+b)2；(4)(-2)3；(5)-23． 其中，(-2)3与-23的含义是否相同？结果是否相等？(-2)4与-24 呢？ 三、知新： 1．利用乘方的意义，提问学生，引出法则 计算103×102． 解：103×102=(10×10×10)×(10×10)(幂的意义) =10×10×10×10×10(乘法的结合律)
=105． 2．引导学生建立幂的运算法则 将上题中的底数改为a，则有 a3·a2＝(aaa)·(aa) ＝aaaaa =a5， 即a3·a2=a5=a3+2． 用字母m，n表示正整数，则有 即a m·a n=a m+n． 3．引导学生剖析法则 (1)等号左边是什么运算？ (2)等号两边的底数有什么关系？ (3)等号两边的指数有什么关系？ (4)公式中的底数a可以表示什么 (5)当三个以上同底数幂相乘时，上述法则是否成立？ 要求学生叙述这个法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加。 注意：强调幂的底数必须相同，相乘时指数才能相加． 四、巩固： 例1计算：
三角形的边 教学目标 1了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形 ； 2理解三角形三边不等的关系，会判断三条线段能否构成一个三角形,并能运用它解决有关的问题. 3.在观察、操作、推理、归纳等探索过程中，发展学生的合情推理能力，逐步养成数学推理的习惯； 4.体会数学与现实生活的联系，增强克服困难的勇气和信心 重点难点 三角形的有关概念和符号表示，三角形三边间的不等关系是重点；用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形是难点。 教学过程 一、情景导入 三角形是一种最常见的几何图形， [投影1-6]如古埃及金字塔，香港中银大厦，交通标志，等等，处处都有三角形的形象。 那么什么叫做三角 形呢？ 二、三角形及有关 概念 不在一条直线上的 三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形。 注意：三条线段必须①不在一条直线上，②首尾顺次相接。 a b c (1)C B A
组成三角形的线段叫做三角形的边，相邻两边所组成的角叫做三角形的内角，简称角，相邻两边的公共端点是三角形的顶点。 三角形ABC 用符号表示为△ABC 。三角形ABC 的顶点C 所对的边AB 可用c 表示,顶点B 所对的边AC 可用b 表示,顶点A 所对的边BC 可用a 表示. 三、三角形三边的不等关系 探究：[投影7]任意画一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗?为什么？ 有两条路线：（1）从B→C ，（2）从B→A→C ；不一样， AB+A C ＞BC ①；因为两点之间线段最短。 同样地有 AC+BC ＞AB ② AB+BC ＞AC ③ 由式子①②③我们可以知道什么？ 三角形的任意两边之和大于第三边. 四、三角形的分类 我们知道，三角形按角可分为锐角三角形、钝角三角形、直角三角形，我们把锐角三角形、钝角三角形统称为斜三角形。 按角分类: 三角形 直角三角形 斜三角形 锐角三角形 ? ?????
北师大版《数学》（七年级下册）知识点总结 第一章：整式的运算 1、同底数幂乘法的运算法则： 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。即：a m ﹒a n =a m+n 。逆用，即：a m+n = a m ﹒a n 。 2、幂的乘方运算法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘。（a m ）n =a mn 。逆用，即：a mn =（a m ）n =（a n ）m 。 3、积的乘方运算法则：积的乘方，等于把积中的每个因式分别乘方，然后把所得的幂相乘。即（ab ）n =a n b n 。逆用，即：a n b n =（ab ）n 。 4、同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，即：a m ÷a n =a m-n （a ≠0）。逆用，即：a m-n = a m ÷a n （a ≠0）。 5、零指数幂：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即：a 0=1（a ≠0）。 6、负指数幂：任何不等于零的数的―p 次幂，等于这个数的p 次幂的倒数，即：1(0)p p a a a -=≠ 7、单项式与单项式相乘 单项式乘法法则：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式。 8、单项式与多项式相乘 单项式与多项式乘法法则：单项式与多项式相乘，就是根据分配率用单项式去乘多项式中的每一项，再把所得的积相加。即：m(a+b+c)=ma+mb+mc 。 （注意）运算时注意积的符号，多项式的每一项都包括它前面的符号。 9、多项式与多项式相乘 多项式与多项式乘法法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加。即：(m+n)(a+b)=ma+mb+na+nb 。 （注意）多项式的每一项都包含它前面的符号，确定积中每一项的符号时应用“同号得正，异号得负”。 10、对于含有同一个字母的一次项系数是1的两个一次二项式相乘时，可以运用下面的公式简化运算：(x+a)(x+b)=x 2 +(a+b)x+ab 。 11、平方差公式（a+b ）(a-b)=a 2-b 2，即：两数和与这两数差的积，等于它们的平方之差。逆用，即：a 2-b 2=（a+b ）(a-b)。 关键找准a 和b 。符号相同的是a 。符号不同的是b 简算118×122=（120-2）（120+2）=1202-22=14400-4=14396
第七章 三角形 【知识回顾】 练习题： 1、①已知三角形两边长分别是2cm 和7cm ，问第三边a 的取值范围是__________ ②已知三角形两边长分别是3和5,问周第的取值范围是___________ ③已知三角形两边长分别是2和8，第三边长是偶数，求第三边长x 的取值范围是________ ④已知三角形两边长分别是7和17，第三边长是奇数，求第三边长y 的取值范围是_______ 2、下列长度的各组线段中，能组成三角形的是 A 、5，6，11 B 、8，8，16 C 、4，5，10 D 、6，9，14 3、已知一个三角形的周长是18cm ，且三边长之比是2:3:4，则三边长分别是______________ 4、若一个等腰三角形两边为3与7，则这个三角形周长为________ 5、四条线段的长分别为5cm ，6cm ，8cm ，13cm 以其中任意三条线段为边可构成_____个三角形 6、在三角形中，已知相邻的外角是内角的2倍，则它的外角为_______，内角为_________ 7、等腰三角形的一个底角为500,则其顶角为______ 8、三角形的三个外角度数之比为2:3:4，则对应内角之比为_________ 9、一个三角形的三个内角度数之比为1:2:3，则这个三角形是________三角形 ?????????????定义:由不在______三条线段______所组 三角形 成的图形表示方法:_________________________三角形两边之和_____第三边三角形三边关系三角形两边之差_____第三边 中线________________三角形的三条重要线段高线________________三角形角平分线____________内角和__三角形的内角和与外角和多边形???? ? ?????????????????????????? ????__________1________外角性质2________外角和____________三角形面积:______________________________ 三角形具有____性,四边形__________性多边形定义_______________________________多边形n 边形内角和为__________多????????????????????????? ? ? ????? ???????? 边形外角和为____从n 边形一个顶点可作出_____条对角线定义:__________________________________能用一图形镶嵌地面的有_________________平面镶嵌能用两种正多边形镶嵌地面的有_____和___________和_______;_______和_____________? ?? ?? ?? ?? ??
1.4全等三角形 教学目标 1．知道什么是全等形、全等三角形及全等三角形的对应元素； 2．知道全等三角形的性质，能用符号正确地表示两个三角形全等； 3．能熟练找出两个全等三角形的对应角、对应边． 教学重点 全等三角形的性质． 教学难点 找全等三角形的对应边、对应角． 教学过程 一、三角形全等的概念 如果我们把两张纸重叠起来，同时得到两个三角形，你能发现这两个三角 形有什么特征吗？ 我们发现：这两个三角形的形状、大小完全一样，我们把这两个图形放在一起，他们能够完全重合，像这样的图形，我们就称为是全等形. 概括全等形的准确定义：能够完全重合的两个图形叫做全等形．能够完全重合的三角形叫做全等三角形. 将△ABC 沿直线BC 平移得△DEF ；将△ABC 沿BC 翻折180°得到△ DBC ；将△ABC 旋转180°得△AED ． 甲 D C A B F E 乙 D C A B 丙 D C A B E C 1 B 1C A B A 1
议一议：各图中的两个三角形全等吗？ 不难看出△ABC 和△DEF ，△ABC 和△DBC ，△ABC 和△AED 都是全等三角形.我们把两个三角形全等记作：△ABC ≌△DEF ，△ABC ≌△DBC ，△ABC ≌△AED ． （注意强调书写时对应顶点字母写在对应的位置上） 启示：一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，所以平移、翻折、旋转前后的图形全等，这也是我们通过运动的方法寻求全等的一种策略． 二、三角形全等的性质 甲图中两三角形的对应元素，它们的对应边有什么关系？对应角 呢？引导学生从全等三角形可以完全重合出发找等量关系） 全等三角形的性质：全等三角形的对应边相等、对应角相等． 例1：如图，△OCA ≌△OBD ，C 和B ，A 和D 是对应顶点，?说出这两个三角形中相等的边和角． D C A B O 例2：如图，已知△ABE ≌△ACD ，∠ADE=∠AED ，∠B=∠C ，?指出其他的对应边和对应角． D C A B E 根据位置元素来找：有相等元素，它们就是对应元素，?然后再 依据已知的对应元素找出其余的对应元素．常用方法有： （1）全等三角形对应角所对的边是对应边；两个对应角所夹的边也是对应边． （2）全等三角形对应边所对的角是对应角；两条对应边所夹的角是对应角．
北师大版数学七年级下册知识点总结 第一章 整式的乘除 1、单项式的概念：由数与字母的乘积构成的代数式叫做单项式。单独的一个数或一个字母也是单项式。单项式的数字因数叫做单项式的系数，字母指数和叫单项式的次数。 2、多项式：几个单项式的和叫做多项式。多项式中每个单项式叫多项式的项，次数最高项的次数叫多项式的次数。 3、整式：单项式和多项式统称整式。 注意：凡分母含有字母代数式都不是整式。也不是单项式和多项式。 4、同底数幂的乘法法则：n m n m a a a +=?（n m ,都是正整数） 同底数幂相乘，底数不变，指数相加。注意：底数可以是多项式或单项式。 如：532)()()(b a b a b a +=+?+ 5、幂的乘方法则：mn n m a a =)(（n m ,都是正整数） 幂的乘方，底数不变，指数相乘。如：10253)3(=- 幂的乘方法则可以逆用：即m n n m mn a a a )()(== 如：23326)4()4(4== 6、积的乘方法则：n n n b a ab =)(（n 是正整数） 积的乘方，等于各因数乘方的积。 如：（523)2z y x -=5101555253532)()()2(z y x z y x -=???- 7、同底数幂的除法法则：n m n m a a a -=÷（n m a ,,0≠都是正整数，且)n m φ 同底数幂相除，底数不变，指数相减。如：3334)()()(b a ab ab ab ==÷ 8、零指数和负指数； 10=a ，（ɑ≠0）即任何不等于零的数的零次方等于1。 p p a a 1=-（p a ,0≠是正整数），即一个不等于零的数的p -次方等于这个数的p 次方的倒数。
第9章多边形 9.1.1认识三角形 【教学目标】 知识与能力 1.理解三角形、三角形的边、顶点、内角、外角等概念. 2.会将三角形按角分类. 3.理解等腰三角形、等边三角形的概念.过程与方法 不等式的解集；通过数轴直观表示不等式的解集。体会数形结合的思想，并懂得如何在实际问题中运用它。 情感态度与价值观 通过自主探究体会到不等式与方程的类似与不同之处，感受不等式解法的实际应用，进一步认识到数学是解决实际问题和进行交流的工具。 【教学重点】 三角形内角、外角、等腰三角形、等边三角形等概念. 【教学难点】 三角形的外角. 【教学过程】 一、引入新课 在我们生活中几乎随时可以看见三角形，它简单、有趣，也十分有用，三角形可以帮助我们更好地认识周围世界，可以帮助我们解决很多实际问题. 本章我们将学习三角形的基本性质. 二、新知探究 1．三角形的概念： (1)什么是三角形呢? 三角形是由三条不在同一条直线上的线段首尾顺次连结组成的平面图形，这三条线段就是三角形的边.如图：AB、BC、AC是这个三角形的三边，两边的公共点叫三角形的顶点.(如点A)三角形约顶点用大写字母表示，整个三角形表示为△ABC. (2)三角形的内角，外角的概念：每两条边所组成的角叫做三角形的内角，如∠BAC. 每个三角形有几个内角? 三角形中内角的一边与另一边的反向延长线所组成的角叫做三角形的外角，如下图中∠ACD是∠ABC的一个外角，它与内角∠ACB相邻. B 与△ABC的内角∠ACB相邻的外角有几个?它们之间有什么关系? 练习：(1)下图中有几个三角形?并把它们表示出来.
B C (2)指出△ADC的三个内角、三条边. 学生回答后教师接着问：∠ADC能写成∠D吗?∠ACD能写成∠C吗?为什么? (3)有人说CD是△ACD和△BCD的公共的边，对吗?AD是△ACD和△ABC的公共边，对吗? (4)∠BDC是△BCD的什么角?是△ACD的什么角?∠BCD是△ACD的外角，对吗? (5)请你画出与△BCD的内角∠B相邻的外角. 2．三角形按角分类. 让学生观察以下三个三角形的内角，它们各有什么特点?并用量角器或三角板加以验证. 1 2 3 第一个三角形三个内角都是锐角；第二个三角形有一个内角是直角；第三个三角形有一个内角是钝角. 所有内角都是锐角的三角形叫锐角三角形；有一个内角是直角的三角形叫直角三角形；有一个内角是钝角的三角形叫钝角三角形. 三角形按角分类可分为： 锐角三角形(三个内角都是锐角) 直角三角形(有一个内角是直角) 钝角三角形(有一个内角是钝角) 3．等腰三角形、等边三角形的概念：让学生观察以下三个三角形，它们的边各有什么特点? 1 经过观察，测量可知：第一个三角形的三边互不相等；第二个三角形有两条边相等(AB＝AC)；第三个三角形的三边都相等. (1)等腰三角形：两条边相等的三角形叫等腰三角形. 相等的两边叫做等腰三角形的腰，如上图(2)AB、AC是这个等腰三角形的腰. (2)等边三角形；三条边都相等的三角形叫等边三角形(或正三角形) 问：等边三角形是不是等腰三角形? [等边三角形是特殊的等腰三角形，但等腰三角形不一定都是等边三角形] 三角形按边来分，可分为： 三边都不相等的三角形 只有两边相等的三角形 等边三角形 三、知识梳理 l、三角形的概念，一个三角形有三个顶点，三条边，三个内角，六个外角，和三角形一个内角相邻的外角有2个，它们是对顶角，若一个顶点只取一个外角，那么只有3个外角.
初中数学三角形教案 知识梳理及应用： 知识点1 三角形的边、角关系 ①三角形任何两边之和 第三边；②三角形任何两边之差 第三边；③三角形三个内角的和等于 ；④三角形三个外角的和等于 ；⑤三角形一个外角等于 ；⑥三角形一个外角 任何一个和它不相邻的内角。 知识点2 三角形的主要线段和外心、内心 ①三角形的角平分线、中线、高②三角形三边的垂直平分线交于一点，这个点叫做三角形的 ，三角形的 到各顶点的距离相等③三角形的三条角平分线交于一点，这个点叫 做三角形的 ，三角形的 到三边的距离相等是三角形的内切圆的 三角形 是三角形三边中线的交点。这点到顶点的距离是它到对边中点距离的 ④连结三角形两边中点的线段叫做三角形的 三角形的中位线 于第三边且等于第三边的 。 知识点3 等腰三角形 等腰三角形的判定：① 的三角形是等腰三角形② 的三角形是等腰三角形③ 的三角形是等边三角形④ 的三角形是等边三角形⑤ 的等腰三角形是等边三角形。 等腰三角形的性质： ①等边对 ；②等腰三角形的顶角 、 、 互相重合；③等腰三角形是 图形，底边的 是它的对称轴；④等边三角形的 都等于60°。 知识点4 直角三角形 直角三角形的识别：①有一个角等于 的三角形是直角三角形；②有两个角 的三角形是直角三角形；③ 的逆定理。 直角三角形的性质： ①直角三角形的两个锐角 ；②直角三角形斜边上的中线等于 ；③ 定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。 知识点5 全等三角形 判定： 、 、 、 知识点6 相似三角形 判定： 、 、 、 知识点7 锐角三角函数与解直角三角形 1.一副三角板示叠放在一起,则图中∠α的度数是（ ） ???????=??? ?? 相似比平方面积比等于相似比周长比对应高的比对应边的比相似三角形的性质? ? ? ? ? ????? ??方位角坡度视角常用术语直角三角形——转化问题
三角形 【考点一：三角形的边】 【基础知识】 1、由________________________三条线段__________________所组成的图形叫做三角形． 2、如图所示，顶点是A、B、C的三角形，记作___________． 其中，顶点A所对的边______还可用______表示；顶点B所对的边______还可用______表示； 顶点C所对的边______还可用______表示． 3、由“两点之间的所有连线中，线段最短”这一性质可以得到三角形的三边关系： ______________________________． 由它还可推出：三角形任意两边之差______________________． 4、对于△ABC，若a≥b，则a＋b______c同时a－b______c；又可写成______＜c＜______． 5、若一个三角形的两边长分别为4cm和5cm，则第三边x的长度的取值范围是_______________， 其中x可以取的整数值为__________________． 【综合运用】 1．已知：如图，试回答下列问题： (1)图中有______个三角形，它们分别是______________________________________. (2)以线段AD为公共边的三角形是_________________________________________. (3)线段CE所在的三角形是______，CE边所对的角是________________________． (4)△ABC、△ACD、△ADE这三个三角形的面积之比等于______∶______∶______． 2．选择题： (1)下列各组线段能组成一个三角形的是( )． (A)3cm，3cm，6cm(B)2cm，3cm，6cm (C)5cm，8cm，12cm(D)4cm，7cm，11cm
三角形复习教案 教学目标 1、理解并掌握三角形及三角形的重要线段的概念； 2、掌握三角形的三边间的关系； 3、会利用三角形的内角和定理及外角公式计算角度。 难点重点 1、熟练掌握三角形的三条重要线段； 2、会灵活运用内角和定理及外角公式计算角度 一、知识点梳理 (1) 三角形的定义 : 由不在同一条直线上的三条线段 首尾顺次相接 所组成的图形叫做三角 形 . (2) 三角形的分类 . 锐角三角形 不等边三角形 三角形 三角形 直角三角形 (按角分 ) (按边分 ) 钝角三角形 等腰三角形 (等边三角形 ) (3) 三角形的三边关系： 三角形任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边 . (4) 三角形的重要线段 ①三角形的中线：顶点与对边中点的连线 ,三条中线交点叫 重心 ②三角形的角平分线：内角平分线与对边相交 ,顶点和交点间的线段 ,三个角的角平分线 的交点叫 内心 ③三角形的高： 顶点向对边作垂线 ,顶点和垂足间的线段 .三条高的交点叫 垂心 (分锐角三 角形 ,钝角三角形和直角三角形的交点的位置不同 ) （ 5）三角形具有稳定性 （ 6）三角形的内角和定理及性质 定理：三角形的内角和等于 180° . 推论 1：直角三角形的两个锐角互补。 推论 2：三角形的一个外角等于不相邻的两个内角的和。 推论 3：三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角。 （ 7）多边形的外角和恒为 360°。二、典例分析 例 1 一个三角形的两边长分别为 2 和 9,第三边为奇数 ,则此三角形的周长是多少（ 三边关系：判定能否成三角形；求线段的取值范围；证明线段的不等关系） 针对性练习：若一个等腰三角形的周长为 17cm ，一边长为 3cm , 则它的另一边长 是 。
北师大七年级数学下册各单元知识点汇总 第一章整式运算 单项式 式 多项式 同底数幂的乘法 幂的乘方 积的乘方 同底数幂的除法 零指数幂 负指数幂 整式的加减 单项式与单项式相乘 单项式与多项式相乘 整式的乘法多项式与多项式相乘 整式运算平方差公式 完全平方公式 单项式除以单项式 整式的除法 多项式除以单项式 知识点（一）公式应用 1 、n m n m a a a+ = ? (m,n都是正整数）如= ? -2 3b b________。 拓展运用n m n m a a a? = +如已知m a=2, n a=8,求n m a+。解：___________________. 已知m a=2, n a=8,求n m a+ 2.解：_____________________. 2 、mn n m a a= ) ( (m,n都是正整数）如= -4 3 6 2) ( ) (2a a_________________。 拓展应用m n n m mn a a a) ( ) (= =。若2 = n a，则= n a2__________。 3、n n n b a ab= ) ((n是正整数) 拓展运用n n n ab b a) ( =。 4、n m n m a a a- = ÷(a不为0，m,n都为正整数，且m大于n)。 拓展应用n m n m a a a÷ = -如若9 = m a，3 = n a，则= -n m a_____________。 5、)0 (1 0≠ =a a；0 ( 1 ≠ = -a a a p p，是正整数)。如 8 1 )2 ( 1 )2 ( 3 3- = - = --
三角形【知识梳理】 三角形 1、三角形基础知识 三边关系 边角关系 2、三角形的分类 3、等腰三角形 4、三角形的全等 5、三角形的相似 6、直角三角形与锐角三角函数 【知识重温】 1、三角形的概念及相关： 表示：三线：（高线、中线、角平分线） 中位线： 2、三角形基本性质： ①三边关系： a： b： ②内角和定理：三角形三个内角之和为180°. 推论：直角三角形两锐角。 ③外角性质：三角形一外角= 。 ④稳定性： 3、三角形的分类： 按角分类：按边分类： 4、等腰三角形的性质 性质1：等边?等角 性质2：等腰三角形?三线合一 【能力训练】 1、（07浙江义乌）如图，在△ABC中，点D、E分别是边AB、 AC的中点，已知DE=6cm，则BC=_____cm. 2、（07年娄底市）如图，在Rt△ABC中，∠C＝40o， AC∥BD，则∠ABD＝__________。 B C A - 1 -
- 2 - 3、如图（5）BC ⊥ED 于点M ，∠A=27°，∠D=20°，则∠B= °，∠ACB= ° 4、已知三角形三边长为3，4，则第三边为 ，若该边为偶数有 个。 5、等腰三角形的两边长分别为4和9，则第三边长为 ． 6、（08重庆）已知一等腰三角形两内角之比为1∶4，则其顶角的度数为（ ） A ）200 B ）1200 C ）200或1200 D ）360 7、等腰△ABC 中，AB=AC ，∠B=60°，则∠A ＝_____ 8、 07年长沙） △ABC 中，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，当BC=10cm 时，DE= cm 。 9、现有2cm 、4cm 、4cm 、8cm 长的四根木棒，任意选取三根组成一个三角形，那么可以组成三角形的个数为（ ）.A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 10、如图，ABC ?中，∠C=90°，∠ABC=60°，BD 平分∠ABC ，若AD=6，则CD= 。 11、如图，在△ABC 中, AB=AC,点D 是BC 边的中点，DE ⊥AB ，DF ⊥AC ，垂足分别为E 、F ． 求证：DE=DF ． 12、如图，已知,36,AB AC A AB =∠=?的中垂线MN 交AC 于点D ，交AB 于点M ，有下面4个结论： ①射线BD 是ABC ∠的角平分线； ②BCD ?是等腰三角形； ③ABC ?∽BCD ?； ④AM D ?≌BCD ?。 （1）判断其中正确的结论是哪几个？ （2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明。 13、化简求值：4()(2)(2)x y x x y x y -++-，其中1 22 x y = =-，
第1页 共3页 7.1.1 三角形的边 教学目标 1.认识三角形,了解三角形的意义,认识三角形的边、内角、顶点，能用符号语言表示三角形. 2.经历度量三角形边长的实践活动中,理解三角形三边不等的关系. 3.懂得判断三条线段可否构成一个三角形的方法,并能运用它解决有关的问题. 4.帮助学生树立几何知识源于客观实际,用客观实际的观念,激发学生学习的兴趣. 重点、难点 重点: 1.对三角形有关概念的了解,能用符号语言表示三条形. 2.能从图中识别三角形. 3.通过度量三角形的边长的实践活动,从中理解三角形三边间的不等关系. 难点: 1.在具体的图形中不重复,且不遗漏地识别所有三角形. 2.用三角形三边不等关系判定三条线段可否组成三角形. 教学过程 一、看一看 1.投影:图形见章前P68-69图. 学生活动:(1)交流在日常生活中所看到的三角形. (2)选派代表说明三角形的存在于我们的生活之中. 2.板书:在黑板上老师画出以下几个图形. (1)教师引导学生观察上图:区别三条线段是否存在首尾顺序相接所组成的.图(1)三条线段AC 、CB 、AB 是否首尾顺序相接.(是) (2)观察发现,以上的图,哪些是三角形? (3)描述三角形的特点: (1)C B A (2)C B A (3)E D C B A (4)E D B A (5)D C B A
第2页 共3页 板书:“不在一直线上三条线段首尾顺次相接组成的图形叫做三角形”. 教师提问:上述对三角形的描述中你认为有几个部分要引起重视. 学生回答: a.不在一直线上的三条线段. b.首尾顺次相接. 二、读一读 指导学生阅读课本P71,第一部分至思考,一段课文,并回答以下问题: (1)什么叫三角形? (2)三角形有几条边?有几个内角?有几个顶点? (3)三角形ABC 用符号表示________. (4)三角形ABC 的边AB 、AC 和BC 可用小写字母分别表示为________. 三角形有三条边,三个内角,三个顶点.组成三角形的线段叫做三角形的边;相邻两边所组成的角叫做三角形的内角; 相邻两边的公共端点是三角形的顶点, 三角形ABC 用符号表示为△ABC,三角形ABC 的三边,AB 可用边AB 的所对的角C 的小写字母c 表示,AC 可用b 表示,BC 可用a 表示. 三、做一做 画出一个△ABC,假设有一只小虫要从B 点出发,沿三角形的边爬到C,它有几种路线可以选择?各条路线的长一样吗? 同学们在画图计算的过程中,展示议论,并指定回答以上问题: (1)小虫从B 出发沿三角形的边爬到C 有如下几条路线. a.从B→C b.从B→A→C (2)从B 沿边BC 到C 的路线长为BC 的长. 从B 沿边BA 到A,从A 沿边C 到C 的路线长为BA+AC. 经过测量可以说BA+AC>BC,可以说这两条路线的长是不一样的. 四、议一议 1.在用一个三角形中,任意两边之和与第三边有什么关系? 2.在同一个三角形中,任意两边之差与第三边有什么关系? 3.三角形三边有怎样的不等关系? 通过动手实验同学们可以得到哪些结论? 三角形的任意两边之和大于第三边;任意两边之差小于第三边. 五、想一想 三角形按边分可以,分成几类?按角分呢? (1)三角形按边分类如下: 三角形 不等三角形 等腰三角形 底和腰不等的等腰三角形 等边三角形 (2)三角形按角分类如下: 三角形 直角三角形 ????????????
《认识三角形》教案 教学目标 1.了解三角形的概念； 2.认识三角形，会用字母表示三角形； 3．掌握三角形的内角和规律及其应用. 4．培养分析、归纳问题和逻辑推理能力，激发学生的创造思维和探索精神. 教学重难点 1．理解三角形的概念，会画任意三角形. 2．经历探索新知识的过程，提高动手操作能力、观察能力和归纳总结能力. 教学过程 一、情境创设 举出一些生活中常见的某些三角形. 二、探索归纳 1、三角形的定义： 由3条不在同一直线上的线段，首尾依次相接组成的图形称为三角形.如图就是一个三角形. 2、三角形的各组成部分 边：组成三角形的三条线段. 如下图所示：线段AB、AC、BC就是三角形的三条边. 顶点：三角形任意两边的交点. 如上图所示：点A、B、C均为三角形的顶点. 通常情况下，我们用三角形的三个顶点加以一个“△”来表示一个三角形，在表示三角形时，三个字母之间并无顺序关系，如上图中，此三角形可以表示为△ABC，或△ACB或△BAC等等. 内角：三角形两边所夹的角，称为三角形的内角，简称角.三角形的内角和为180°，例如△ABC中，∠A，∠B，∠C都是三角形的内角，边BC称为∠A所对的边，或顶点A 所对的边，因此边BC也可以表示为a，那么边AB，AC呢？ 3、三角形的分类
(1)按角分： ? ? ? ? ? 为钝角的三角形 钝角三角形：有一个角 为直角的三角形 直角三角形：有一个角 是锐角的三角形 锐角三角形：三个角都 三角形 (2)按边分： : : ? ? ? ? ? ? ? ? 不等边三角形三边都不相等的三角形 三角形普通等腰三角形 等腰三角形有两条边相等的三角形 等边三角形例1：如课本第3页图1-7，在△ABC中，∠B=3∠A，∠C=5∠A，求∠A，∠B，∠C的度数. 例2、如第3页图1-10，在△ABC中，D为BD上的一点，∠ADB=90°，∠1=∠B.若按角分类，△ABC是什么形状的三角形？为什么？ 4、下面同学们来画一个锐角三角形，一个钝角三角形，一个直角三角形.然后根据下列问题来做一做. 分别量出下面三个三角形的三边长度，并填入空格内： (1) (2) (3) 图5－7 (1)a=___________，b=___________，c=___________ (2)a=___________，b=___________，c=___________ (3)a=___________，b=___________，c=___________ 计算每个三角形的任意两边之差，并与第三边比较，你能得到什么结论？ (学生画、量、计算)这三个三角形的三边中，每两边的差都小于第三边. 通过计算，我们得到了： 三角形任意两边之差小于第三边. 这样我们又得到了三角形的三边之间的关系： 三角形任意两边之差小于第三边. 这个关系实际上可以由“三角形任意两边之和大于第三边”推导而来.所以，任意三角形都满足：“任意两边之和大于第三边”，或者：“任意两边之差小于第三边”，二者相互制约. ［例3］有两根长度分别为5cm和8cm的木棒，用长度为2cm的木棒与它们能摆成三角形吗？为什么？长度为13cm的木棒呢？ 5、在一张薄纸上任意画一个三角形，你能设法画出它的内角的平分线吗？