角动量算符的本征值方程
在量子力学中，我们知道，角动量算符x L ∧
，y L ∧
，z L ∧
满足本征值方程:
()
(
)()
,1,1,,,x lm l m l m L Y ∧
+-=
+θφθφθφ， (1)
()
()
()
,1,1,, ,y lm l m l m L Y ∧
+-=+θφθφθφ, (2)
()(),,z lm lm L Y mY ∧
=θφθφ. （3）
或取???x y
L L iL ±=±,则 (
)()1?,,lm
lm L Y ±±θ?=θ?, （4）
而
()()()2?,1,lm lm
L Y l l Y θ?=+θ? 这一节, 我们将从SO(3)群的不可约表示出发，来导出这些关系. 由§5.3节(7)式知
()()()()''
12
1
2
?(),, (,, 1, , )
l
l lm m m
lm m l
P R f D R f m m l l l '=-='=--+∑L L ξξξξ, (5)
其中()12,lm f ξξ取形式
()
12,l m l m
lm f +-ξξ=
其性质与球谐函数()φθ,lm Y 相同，这里不妨将其取作球谐函数，这样（5）式变为：
()()'?()(,)(,)l
l lm
lm m m
m l
P R Y D R Y
'
'=-=∑θφθφ (6)
首先考虑绕x 轴转角为0?η→的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符
()0
???1x
i L x
x
P R e i L ?η→-?η=-?η; （7） 由于绕x 轴转动η?角，可视为欧勒角为2π
α-=，ηβ?=，2
π
γ=的转
动，这样由§5.4节(2)式知：
()
()
()()()()()()()∑+='+-'-'--+'-'+-+-=??? ???-m l k k
l m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 0
!!!!!!!!12,,2πηπ ()
m m i
k
m m k
m m l e
-'+-'-'-+?
?
? ??
?-?
?
?
???2
2222sin 2cos π
ηη
亦即
()
()
()
()0
22
1 2l m
k l m m x k m m k
i
m m D R e
+'='-+π
'-?η→-?η??
- ?
??
∑ (8)
在0→?η时，展开式只保留η?的零级与一级项， 则有： 20m m k '-+= 或 21m m k '-+=. (9) (1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于 0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），故0=k 或m m =', 而
()
()1l
mm x D R = (10)
(2)当+21m m k '-=, 或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0, 1k =.
当0=k 时， 1=-'m m ，或1+='m m ，则由(8)式知：
()
()
12)2
l m m x i D R i +?η?
=-?
??
?η
-
(11)
当1=k 时，1-=-'m m ，即1-='m m ，则由（8）式得
()
()
12 )
2
l m m x D R i i -?η?
=?
??
?η
=- (12)
将（7）、（10）、（11
）及（12）式代入（6）式得
()()1
1?(1),,(,)2(,)]
x lm lm lm lm i i L Y Y +-?η-?ηθ?=θ?-θφ+θφ
由此得
()
()()
,1,1?,,,x lm
l m l m L Y +-θ?=θ?+
θ? （13）
与(1)式完全一致.
再考虑饶y 轴转角为0→?η的变换，在该变换下，若不考虑自旋角动量，则函数变换算符为：
()0
???1y i L y y P R e i L ?η→-?η=-?η; （14） 该转动的三个欧勒角分别为0=α，ηβ?=，0=γ，将其代入§5.4节（2）式得
()
()()
=0
2220,,01 cos sin 22l m k
l m m k l m m k
m m k
D +'''+---+?η=-?η?η?
??
?- ?
?
???
?∑
在0→?η时，
()
()()()()()()()()()∑+-''?
?? ???-+-'-'--+'-'+-+-=?k k m m k
l m m k m m k m l k m l k m l m l m l m l D 22!!!!!!!!10,,0ηη （15） 在展开式中，只保留η?的零级与一级项，则有
20m m k '-+= 或 21m m k '-+=.
(1) 当02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-时，由于0≥-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故0=k 或m m ='，则
()
() 1.l
mm y D R = （16）
（2）当12=-'+m m k ，或12+-=-'k m m 时，由于01≥+-=+-'k k m m （阶乘要求），且0≥k ，故10==k k 或.
当0=k 时， 1+='m
m ，与上面同样的讨论知
()
1()2l m m y D R +?η?
=-
??
（17） 当1
=k 时，1-='m m . 与上面同样的讨论知
()1()l m m y D R -=
（18） 将（14）、（16）、（17）及（18）式代入（6
）式得
(
)()()
,1,1?,,,y lm l m l m L Y +-θ?=θ?+
θ? （19）
与(2)式一致.
最后考虑饶z 轴转角为0→?η的变换，在该变换下，若不考虑
自旋角动量，则函数变换算符为：
()0
???1z i L z z P R e i L ?η→-?η=-?η;. （20） 该转动的三个欧勒角分别为0=α，0=β，ηγ?=. 将其代入§5.4节（2）式得
()
()()
20,0,1.
k
l m m k im m m k
D e '-+-?η'?η=-∑
要使上式不等于零，02=+-'k m m ，亦即2m m k '-=-. 另外, 0≥-=+-'k k m m （阶乘要求）
，且0≥k ，故0=k 或m m ='. 又0→?η时，ηη?-≈?-im e im 1，因此
()
()1l
mm z D R im =-?η. （21）
将（20）与（21）式代入（6）式得
()()φθφθ,,?,m
l lm z mY Y L = （22） 与（3）式一致.
这样，由SO （3）群的不可约表示，???x y z
L L L 、及的本征值方程很自然地得到.
由（7）、（14）与（20）式知，绕单位矢量n ?
、转角为0?η→的
无穷小转动算符为：
()?
,1n P R i n L ?η=-?η?v v （23） 令m
α
η=
?，其中m 为一无限大的整数，α为一有限量，则 ?,1n i n L P R m m αα???=- ?
?
?v
v 对于有限转角为α的转动，可以看成是转角为m
α
η=?的m 次连续转动
而成，所以
()()??,lim ,lim 1exp m
m n n m m i n L P R P R i n L m m →∞→∞??αα???α==-=-α? ? ????
?v v v v . (24) 这就是沿任意方向n ?转角为α的转动算符，若假设n ?
的角坐标为()φθ,，
则
()
3
1231
????sin cos sin sin cos i i i n L L L L L =α?=αθ?+θ?+θ=α∑v v
其中
φθααcos sin 1=，φθααsin sin 2=，θααcos 3=. （25） 这样
()()31??,exp exp n i i i P R i n L i L =??
α=-α?=-α
???
∑v v （26） 由此可见，（25）式定义的321,,ααα为正则参数，这一点与三个欧拉角
γβα,,是不同的，我们知道γβα,,不是正则参数.
§5.7 SO(3)群表示直积的分解
SO(3)群的两个不可约表示的直积仍然是SO(3)群的表示. 由§2.9节的讨论知，两个不可约表示的直积一般不再是可约的，它们可按克莱布什-戈登分解方式展开为一系列不可约表示的直和，即
()()12()()()()l
l
l l l
D R D R a D R ⊕?=∑ （1）
其中l α为不可约表示()()l D R 出现的次数，下面我们就来确定这种分解形式.
1. SO(3)群表示的特征标
在讨论SO(3)群表示的特征标之前，我们首先来证明下面的结论：
绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 证：设()αζR 代表绕过o 点的ζo 轴、转角为α的转动，如图1示.
图1
为简单起见，设ζo 轴在yoz 平面上，上述转动可通过下述步骤进行：
（1） 绕ox 轴转-θ角，故ζo 与oz 轴重合，记该转动为
()1
()x x R R --θ=θ.
（2） 绕oz 轴转α角，记该转动为()αz R .
（3） 再将ζo 绕x 轴转θ角回到原处，该转动为()x R θ. 这样
()()()()1
x z x R R R R -ζα=θαθ （2）
根据类的定义，上式中()αζR 与()αz R 属同一类，由于这里z 轴的选取是任意的，因此我们得到结论：绕通过同一点的任意转轴转动相同角度的操作属于同一类. 所以它们具有相同的特征标. 这样，只要我们知道通过原点o 某一转轴转动某一角度不可约表示的特征标，也就知道了绕通过任意转轴转动相同角度的不可约表示的特征标.
由§5.3节(10)式我们知道，绕z 轴转动φ角的不可约表示为：
()()0,0,l im m m m m
D e -φ
''φ=δ （3） 这样由上面的讨论知，SU （2）群的绕通过原点o 任意轴转过φ角的不可约表示的特征标为：
()
2120
1 1i l l
l
im il ik il l i m l k e k l m e e e e e +φ
-φ-φφ-φφ
=-=-=-χ==-∑∑ 11222
2
1sin 2sin 2
i l i l i
i l e e e
e
??
??-+φ+φ ? ???
??φφ-??+φ ?-??=
=
φ- 2. SO(3)群表示的直积的分解
为了求得(1)式中直积分解的系数，我们来求表示的直积
()()12()()l
l
D R D R ?的特征标.
1212121
2
1211
22
()()
()()
()() ()() l l l l l l l l im im m l m l D R D R D R D R e
e -φ
-φ
=-=-??χ=χ???????=χχ????
=χχ=
∑
∑
()1
2
12122
max
min 12 l l i m m m l m l l l
im l l m l
e
m m m e
-+φ
=-=--φ
==-=
=+∑∑
∑
∑
其中
21min l l l -= 21max l l l +=，而l
im l m l
e
-φ
=-χ=
∑
故
12
1212
()()
()()l l l l l
l l l D R D R +=-??χ?=χ??∑
而由（1）式知：
12()()
()()l l l l l
D R D R a ??χ?=χ??∑
比较以上两式知，
1=l a , 当 121212, 1, , l l l l l l l =++--L L , 0=l a , 其它情况.
这个结果表明，在表示的直积()()12()()l l D R D R ?中，不可约表示()()
l
D R （121212, 1, , l l l l l l l =++--L L ）仅出现一次，即表示的直积有如下分解
()()()
()
121
21
2121()()()()()l
l
l l l l l l
D R D R D
R D R D R ++--?=⊕⊕⊕L L
亦即
()()
()12
1212
()()(). (4)
l l l l l
l l l D R D
R D R +⊕
=+?=
∑
如
131()()()(1)
2
22
()()()()D R D R D R D R ?=⊕.
()()()()()
12321()()()()()D R D R D R D R D R ?=⊕⊕.
§5.8 角动量的耦合与C-G 函数
角动量的耦合是物理学中的一个重要问题，本节将利用前面得到的转动群的不可约表示来讨论角动量的耦合, 求得耦合系数，即C-G 系数.
由前面的讨论我们可以看出，球谐函数()φθ,lm Y 按SO(3)群的不可约表示()()l D R 变换，在一般情况下，考虑到变量r ，函数
()()(),lm l lm r R r Y ψ=θφ也应按SO(3)群的不可约表示()()l
D R 变换，亦
即
()()()
()()?j
j
jm
m m jm m j
P R r D R r '''=-ψ=ψ∑
(1)
其中, , 1, , m m j j j '=--+L L 共12+j 个取值. 这里按习惯将角动
量量子数用符号j 表示，这里的()jm r ψ是2?
j 与z j ?的本征函数，即 ()()()()()
2?1?jm jm z jm jm j r j j r j r m r ?ψ=+ψ??ψ=ψ?? （2）
考虑两个粒子系统，如核外的两个电子，每个电子均在各向同性的中心场中运动，其波函数分别为()111j m r ψ与()222j m r ψ，它们分别按SO(3)群的不可约表示()()l
D R 变换，即
()()()()
()()1
111111
1111
111
1?j j
j m j m m m j m m j r P R r D R r '''=-'ψ=ψ=ψ∑
（3） 其中 11
111, , 1, , m m j j j '=--+L L .
()()()()()()2
222222
2222
222
2?j j
j m j m m m j m m j r P R r D R r '''=-'ψ=ψ=ψ∑
（4） 其中22
222, , 1, , m m j j j '=--+L L .
而
()()()()()111111112111111111?1?j m j m z j m j m j r j j r j r m r ?ψ=+ψ??ψ=ψ??, ()()()()()
222222222222222222?1?j m j m z j m j m j r j j r j r m r ?ψ=+ψ??ψ=ψ??. 两个电子组成的耦合系统的波函数为：
()()()11221122, 1212,j m j m j m j m r r r r ψ=ψψ （5） 在()3SO R ∈的转动变换下，有
()()
()()
()()()()
()()
112211*********
2221
2
, 121212?, j m j m j m j m j j m m j m m m j m m m P R r r r r D R r D R r ''''''ψ''=ψψ=ψψ∑∑
()()()()()()1211222
21222
12, j j j m j m m m m m m m D R D R r r ''''''
??=
?ψψ??∑ （6） 因此，耦合系统的波函数1122, 12(, )j m j m r r ψ按SO(3)群表示的直积()()12()()j
j
D R D R ?变换，
而由§5.7节的讨论知，直积()()12()()j
j
D R D R ?是可约的，因此1122, 12(, )j m j m r r ψ不是按SO(3)群的不可约表示变换，因
此1122, 12(, )j m j m r r ψ不是总角动量2?
j 与z j ?的本征函数. 下面我们来讨论一下，如何由()111j m r ψ与()222j m r ψ来构成总角动
量2?
j 与z j ?的本征函数. 由§5.7节(4)式知，表示的直积可约化成准对角矩阵，
121212()(1)
()()()()()j j j j j j D R D R N R D R --+-??
? ?
= ?
?
???O 1020(7)
其中10与20代表零矩阵元. 这样
()()
()121212
, =, 1, j j m jm j j m m N R D R j j j j j j j j ''''=δ'--++L L ， （8）
这表明存在矩阵C ，使得
()()()()()C R N C R D R D j j 121-=? （9） 因为()R N 与()()()()R D R D j j 2
1
?都是幺正的，所以C 应为幺正矩阵，即
+C C -=. 而(9)式的矩阵元可以写成：
()()()
()()
()()
1211
221,2121
212, , ,
j
j
m m m m j j j j m m j m j m jm jm m m m m j j
D R D R C
N R C ''+''''''''=∑∑
()()()12121222*()
, , (8)
j j
j j
j jm
m m m m jm m m m m
j
C D R C '''''∑∑式 （10） 这里的()1212, j j
jm m m C 是jm 行，21m m 列矩阵，其中
121212, 1, , j j j j j j j =--++L L ，
1111, 1, , m j j j =--+L L ， 2222, 1, , m j j j =--+L L .
利用变换矩阵C 可将()()121221++j j 个线性无关的波函数1122, 12(, )j m j m r r ψ线性组合成另一组()()121221++j j 个线性无关的函数：
()1212112212
12,,12(, )(, )j j
jm m m jm j m j m m m r r C r r +ψ=
ψ∑ （11）
利用C 变换矩阵的幺正性，即
()()121212121122+,,j j
j j
m m jm jm m m m m m m jm
C C ''''=δδ∑
可得(11)式的逆变换为：
()12112212,12, 12(, )(, )j j
j m j m jm m m jm jm
r r C r r ψ=ψ∑ （12）
不难证明由(11)式表示的函数12(, )jm r r ψ按SO(3)群的不可约表示()()j D R 变换，因为 ()()()1212112212
12
,, 12?(, )? (, )
jm j j
m m jm j m j m m m P R r r C P R r r +ψ=ψ∑
()()()()()12121211221
212121
2, , 12, , (6) (, )j j j j m m jm j m j m m m m m m m m m C D R D R r r +''''''???ψ??
∑
式
()()()()()()1212121
212121
21212,, ,, 12 (12)
(, )
j j j j m m jm
m m m m j m m m m m j j
j m m m j m C D R D R C r r +''''''''''''??????
ψ∑∑
式
()()()(){}
1212, (, )
j j j m j m jm
j m C D R D R C r r +''''''
??=?ψ??∑
()12()
12 (9)
(, )
(8) ()(, )
j m jm
j m j m j m
m jm m N
R r r D R r r '''''''''
ψψ∑∑式式
可见12(, )jm r r ψ按不可约表示()()R D j 变换，因此按（11）式组合得
到的12(, )jm r r ψ是总角动量2?
j 与z j ?的本征函数. (11)式中由1122, 12(, )j m j m r r ψ到12( )jm r r ψ的变换系数()1212, j j
m m jm C +称为克
莱布什-戈登(Clibushi-Gordan)系数或维格纳(Wigner)系数或矢量耦合系数，简称为C-G 函数，通常取该系数为实数，所以
()12121212()
, ,1122==j j j j m m jm jm m m C C j m j m jm + （13）
下面我们来求C-G 系数的具体形式.
设z R 为绕z 轴转角为α的旋转，由§5.3节(10)式知
()()αδim m m m m z j e R D -''=
（14）
用()z
R P ?作用于(11)两端，得 ()()()1212112212
12
, , 12??(, )(, )j j
z jm m m jm z j m j m m m P R r r C P R r r +ψ=ψ∑ （15）
由于
()()()1212
12
?(, )(, ) (14) (, )
j z jm m m z jm m im jm P R r r D R r r e r r '''
-αψ=ψψ∑式
又由(6)式知：
()()()()()()11221211222
21222
, 1212, ?()(, )
z j m j m j j z z j m j m m m m m m m P R r r D R D R r r ''''''
ψ??=
?ψψ??∑ 而 121212121
122121122()()()()
, ()[()()]()() (14)
j j j j z z m m m m m m z m m z i m m m m m m D R D R D R D R e
''''-+α
''?=δδ式
这样
1211221122(), 12
, 12?()(, )=(, )i m m z j m j m j m j m P R r r e r r -+αψψ 故(15)式变为
()
()121212112212
12,12(, )(, )j j
i m m im jm m m jm
j m j m m m e r r C e r r +-+α
-αψ=
ψ∑ （16）
再利用（11）式得
()
1212112212
12,, 12(, )=(, )
j j
im im jm m m jm j m j m m m e r r e C r r +-α-αψψ∑
由于1122,12(, )j m j m r r ψ线性无关，所以
21m m m +=. （17） 这样
()()
2
121212121,,,m m m j j m m j j j m m jm C C +=δ （18）
将其代人(10)式，得
()
()()
()()()()12121212112
21
212121212
(),,,j j j j j j
j j
j m m m m j m m m m m m j m m j j j D R D R C D R C +''''''++=-=
∑
（19） 由§4.4节(10)式知：两不可约表示的矩阵元满足正交性
()()()
()()1211
22*,,,,,j
j
m m m m G
D D W d d d ''αβγαβγαβγαβγ=?
12
1212
1
(,,)m m m m j j j W d d d l ''αβγαβγ
δδδ?
（20）
三个欧勒角的变化范围分别为： 0()2, 0.≤αγ≤π≤β≤π 权重因子(,,)sin W αβγ=β，所以
2
(,,)8W d d d αβγαβγ=π?
（21） 1j l 为表示的维数，对于表示()()R D j 1，1211+=j l j .
用()1
212*()
,j m m m m D R ''++乘（19）式两边并对欧勒角加权积分，利用正交关系(20)得
()()()()()1211221
212*()
,21,,,,,,sin 8j j j m m m m m m m m D D D d d d ''''++αβγαβγαβγβαβγπ
? ()()
12121
212, , 121
j j j j j m m j m m C C j ''=
+ （22）
为了确定()
1212
, j j
j m m C ，在上式中令11j m ='，22j m -='，并由§5.4节（2）（3）与（4）式知：
1212121212121212*()
,12121212222[()()](,,)
(1)11
(cos )(sin ) 22
j j j m m k
k
j m m j j k j j m m k i j j m m D e -+++-+----+-α++γαβγ=-?β-β∑(22)
()
111
111111()(,,)11 (cos )(sin )22j j m i j m m j j m D
e -α+γ
+-αβγ=
β-β （24）
()
()
22
222
222222()
(,,)111 (cos )(sin )22
j m j j m i j m j m j m D
e +---α+γ
-+αβγ=-β-β （25）
将（23）（24）（25）三式代人（22）式并注意()()
()112211, 11j m k
--=-=,
得:
()()()()()()()()()()12
12121212122111122222!2!!!!!18!!!!j j j m m j m m j j j j j j j m j m j m j m ??
++--+--+???π+-+-??
()
()()()22
121212121
1!!!!
k j m R
k j m m k j j j k j j m m k ++-?
++--+----+∑211122+2222211(cos )(sin )sin 22
j j m k j m k
d d d +--+βββαβγ? ()()
12121212, , 121j j j j j j j j m m C C j -=+ （26）
利用积分
()222111!!
(cos )(sin )sin 8221!a b a b d d d a b βββαβγ=π
++? 则
()()()211122222222211112111cos sin sin 822+!!
1!
j j m k j m k
d d d j j m k j m k j j j ++--+??
??
βββαβγ
? ?π??
??
+--+=+++?
代入（26）式得:
()()()()()()()()()()()121
2
12121212121111222221
1!
2!2!!!!!!!!!j j j j j j j m m j m m j j j j j j j m j m j m j m +?
+++??
++--+--+?
??+-+-??
()
()()()()()22
211112121212!!
1!!!!
k j m k
j j m k j m k k j m m k j j j k j j m m k ++++--+-++--+----+∑
()()
1212
1212
, , j j
j j
j j j j m m C C -= (27)
在上式中再令11j m =，22j m -=，得:
()
()(
)()()()
()()()()1211
2
2
12121212121221!1!!! 1!!!j j j j j k
k
j j j j c j j j j j j j j j k k j j j k j j j k -++-=?
+++-+++--+---+-∑
再利用恒等式
()()()()()()()()()!
!!
2!2!!!!!121211*********j j j j j j j j k j j j k j j j k k j j j j j j k
k
-+-+=-+---+-+++--∑
这样
()()()()()1212
12
()12, 1212212!2!1!!j j j j j j j j C
j j j j j j -??+=??++-+-??
(28) 代入(27) 式得
()
()()()()()()()()()()()12121
2
1212121212,1211112222!!!!!21=1!!!!!j j j m m j j j j j j j j j j m m j m m j C j j j j m j m j m j m ??
+--++-++--+?
??++++-+-??
()
()()()()()22
211112121212+!!
1!!!!
k j m k
j j m k j m k k j m m k j j j k j j m m k +++--+-++--+----+∑
将其代入(18)式, 最后得C-G 系数为:
()
()()()()()()()()()()()1212
1
2
121212,1211112222!!!!!211!!!!!j j jm m m j j j j j j j j j j m j m j C j j j j m j m j m j m ??+--++-+-+=???++++-+-?
?
()
()()()()()22
21111212+!!
1!!!!
k j m k
j j m k j m k k j m k j j j k j j m k +++--+-+--+---+∑. (29)
表1与表2分别给出了112
12, j jm m m C
?? ???与()
1
12
1, j jm m m C 的C-G 系数.
表1 112
12, j jm m m C
?? ???系数
表2 ()
1
12
1, j jm m m C 系数
例如112
12, j jm m m C
??
???, 112j j =+, 2
12=m .
1111
12111222
j j m m C
??
???++，
()()()1
2
111111111111111111111111111!!!!!2222
2222222
2=1111111!!!!!222222j j j j j j j m j m j j j j m j m ????????????++-+-++--++++--+ ?
? ? ? ???
?
?????????
???
????????+++++-+- ? ? ???????????
()
()1
1111
11111111!!221111111!!!!
222222k k
j m k j m k k j m k j j k j m k +??+++--+ ???
-?
?????+++-+-+----+ ? ? ??
?????
∑()()()()()()()()()()()()()()()1
2
1111111111111111111111111112!1!0!1!!2222!!!1!0!1!!!1! 0!1!1!1!1!0!!!j j m j m j j j m j m j m j m j m j m j m j m j m j m ??++-+=?
??++-??
??
++-+-+-+??
++--+-??
()()12
11111111121j m j m j m j ??++=--+-+?? ???+??=
=
摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光5[-。 学等领域]13 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 取自然平衡位置为坐标原点，并选原点为势能零点，则一维谐振子势V可表成
一维谐振子的本征值问题 姜罗罗 赣南师范学院物理与电子信息科学系物理学专业2000级（2）班 摘要：一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac算子代数解法和Schr?dinger波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研究前沿课题之一。最后从Dirac算子代数中求解出a?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a?与升算符+a?、光子数n与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 关键词：量子力学、一维谐振子、Heisenberg矩阵力学、算子代数解法、Schr?dinger波动力学、一维半壁谐振子势阱（垒）、相干态、压缩态。 在量子力学中谐振子不仅是说明量子力学基本原理和方法的一个很好的例子，而且任何体系在平衡位置附近的小振动，例如:分子的振动，原子核辐射场及其他玻色场的振动等，在选择恰当的坐标后，常常可以分解为若干彼此独立的一维谐振子振动]1[.1925年Heisenberg发现矩阵力学，1926年Schr?dinger创立波动力学，同时，Dirac创立在数学上更为一般的理论.可包括矩阵及波动两种形式]2[.一维谐振子的能力本征值问题，在历史上首先为Heisenberg的矩阵力学解决，后来用算子代数的方法给出了极漂亮的解，一
般的教材只给定了波动力学的解法]3[.自1963年，Glauber ]4[等人提出谐振子相干态以后，相干态和压缩态以其特有的最小不确定性和超完备性备受人们的关注，被广泛应用于量子光学等领域]135[-。 一维谐振子的本征值问题属于定态问题。本文首先给出了一维谐振子本征值问题的Heisenberg 矩阵力学解法，Dirac 算子代数解法和Schr ?dinger 波动力学解法。在此基础上，给出了一维半壁谐振子势阱（垒）问题的解法。然后讨论了相干态和压缩态，它们是非经典量子效应，在超标准量子极限的高精度光学测量、超低噪光通信及量子通信领域有着广泛的应用前景，是物理学研 究前沿课题之一。最后从Dirac 算子代数中求解出a ?的本征态即谐振子的相干态，并由降算符a ?与升算符+a ?、光子数n 与相位φ的最小不确定关系得出相干态和压缩态。 1.矩阵力学解法 V 可 表成 2 2 1kx V x = （１） k 为刻画简谐作用力强度的参数.设谐振子质量为μ，令 μ ωk = （２） 它是经典谐振子的自然频率，则一维谐振子的Hamilton 量可表为 图１．一维谐振子势 222?2 12??x p H μωμ+= (3) 在能量H ?表象中，由于
第六章 自旋和角动量 一、填空 1. ______实验是发现电子具有自旋的最早的实验之一.为了解释该实验，____和____提出了电子具有自旋角动量的说法. 2. 在),?(x 2σσ 的共同表象中，算符z y x σσσ、、对应的矩阵分别是_____、_____和_____. 二、概念与名词解释 1. 电子自旋 2. 泡利矩阵 3. 无耦合表象，耦合表象 4. 塞曼效应，正常塞曼效应和反常塞曼效应 三、计算 1. 求自旋角动量算符在(cos α, cos β, cos γ)方向的投影S n =S x cos α+S y cos β+S z cos γ的本征值和相应的本征矢. 在其两个本征态上，求S z 的取值概率及平均值. 2. 求下列状态中算符)S L J (J ,J z 2 +=的本征值： {} {}). ,()Y (S (4)),()Y (S ),()Y (S 231/ (3)),()Y (S ),()Y (S 231/ (2)) ,()Y (S (1)1- 1z 1/2- 41- 1z 1/2 10z 1/2- 311z 1/2- 10z 1/2211z 1/21?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ+?θχ=ψ?θχ=ψ 3. 对自旋态.)S ()S ( ,01)(S 2y 2x 21/2?????? ? ??=χ求 4. 一个由两个自旋为1/2的非全同粒子组成的体系. 已知粒子1处在S 1z =1/2的本征态，粒子2处在S 2x =1/2的本征态，取?＝1，求体系
总自旋S 2的可能值及相应的概率，并求体系处于单态的概率. 5. 考虑三个自旋为1／2的非全同粒子组成的体系. 体系的哈密顿量是 , S )S S B(S S A H 32121 ?++?=A 、B 为实常数，试找出体系的守恒量，并确定体系的能级和简并度(取?＝1为单位). 6. 设氢原子处于状态 ,)/2,((r)Y R 3-)/2,((r)Y R )r (10211121??? ? ???θ?θ=ψ 求轨道角动量z 分量 和自旋z 分量的平均值，进而求出总磁矩c /S e -c /2L -e μμ=μ 的z 分量的平均值. 7. 设总角动量算符为J ? ，记算符J 2与J z 的共同本征函数为|jm>，当j=1时： (1) 写出J 2、J x 的矩阵表示，并求出其共同本征矢|1m x >x ； (2) 若体系处于状态 ,2]/1-111[+=ψ求同时测J 2与J x 的取值概率； (3) 在|ψ>状态上，测量J z 得?时，体系处于什么状态上；在|ψ>状态上，计算J y 的平均值. 8. 在激发的氦原子中，若两个电子分别处于p 态和s 态，求出其总轨道角动量的可能取值. 9. 用柱坐标系，取磁场方向沿z 轴方向，矢势A φ=B ρ/2，A ρ=A z =0，求均匀磁场中带电粒子的本征能量. 10. 自旋为1/2的粒子，在均匀磁场中运动，磁场的绝对值不变，但各个分量随时间变化，满足B x =Bsin θcos ωt ，B y =Bsin θsin ωt ，B z ＝Bcos θ.设t=0时自旋在磁场方向上的分量等于1/2，求在时刻t 粒子跃迁到自旋在磁场方向上的分量等于-1/2的态中的概率. 11. 带电粒子在均匀磁场和三维谐振子势场U(r)=m e ω02r 2/2中运动，
第五章思考题 1．简述定态微扰论的基本思想。 解答：量子力学体系的哈密顿算符∧H 不是时间的显函数时，通过求解定态薛定谔方程，讨论定态波函数。除少数特例外，定态薛定谔方程一般很难严格求解。求解定态薛定谔方程 ψψE H =∧时，若可以把不显函时间的∧H 分为大、小两部分∧ ∧∧'+=H H H )0( ||||)0(∧∧'>>H H ，其中 )0() 0() 0()0(n n n E H ψψ=∧，即∧)0(H 的本征值)0(n E 和本征函数 )0(n ψ是可以精确求解的，或已有确定的结果。 满足上述条件的基础上，常引入一个很小参数λ（10<<λ），将微扰写成 ∧ 'H λ，以逐步近似的精神求解薛定谔方程。将能级和波函数以λ的幂级数展开 ???+++=+++= )2(2)1()0()2(2)1()0(n n n n n n n n E E E E ψλλψψψλλ ) 0(n E 与)0(n ψ称为零级近似能量和零级近似波函数，是未受微扰时∧)0(H 的本征能量和本征函数，也是我们求解微扰问题的必备基本条件，后面各项按λ的幂次称为一级修正、二级修正、…。 2．非简并定态微扰论的适用条件是什么？ 解答：非简并定态微扰论的适用条件为||||)0()0(m n m n E E H -<<'，一是要求 微扰本身应很小，二是要求能级间隔||)0()0(m n E E -较大。 3．证明：非简并定态微扰中，基态能量的二级修正永为负值。
解答：能量的二级修正)0()0(2) 2(||m n nm m n E E H E -''=∑，若)0(n E 为基态能量，当然其数值为最小，因而在求和中n m ≠的任一项0)0()0(<-m n E E ，故)2(n E 永为负值。 4．简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是什么？什么条件下，简 并能级情况可用非简并态微扰处理？ 解答：简并态微扰与非简并态微扰的主要区别是零级近似能量给定后，对应的零级近似波函数一般说来是不能完全确定的。对于f 度简 并能级,)0(k E 如选择的f 个独立的)0(αψk 已使H '对角化，即 αβαββαδψψH H k k '>='<)0()0(||， 此时αααH E k '=)1(，对应的零级近似波函数为)0(αψk ，虽然能级)0(k E 是简并的，仍可用非简并定态微扰论处理一级近似问题。 5．量子跃迁问题与定态微扰在研究目标和处理方法上有何不同? 解答：定态微扰和量子跃迁是量子力学中两个不同类型的问题，在研究目标和处理方法上都不一样。定态微扰处理定态问题，考虑加入微扰后如何求出体系总哈密顿量的本征值和本征函数的修正项，其出发点是定态薛定谔方程。量子跃迁是考虑体系在微扰作用下，波函数随时间的变化问题，是依据含时薛定谔方程),(),(t x H t t x i ψψ=?? 具体计算量子态之间的跃迁几率问题。一般说来，这两类问题都需要运用近似方法求解。 6．非简并态微扰为什么不适用于所谓近简并情况？
32动量算符和角动量算符 ?3.2 动量算符和角动量算符 一(动量算符。 ,,,,,,1. 动量算符的本征值方程:，三个分量方程是 (3.2.1) ，，，，,,r,p,rppi ,,,,,,，，，，， ,r,p,r,,,x,，,pxpi,x ,,,,,, ， (3.2.2) ,,,y,，,，，，，,r,p,rpypi,y ,,,,,,，，，，， ,r,p,r,,,z,，,pzpi,z 通解是 i,,p,r,,,，C是归一化常数。 (3.2.3) ，，,r,Cep 2.动量本征函数的归一化。 i,,,，，,,，，p,px，p,py，，， p,pz，,，,，,，,xxyyzz2,,,,,，，，，,r,rd,,Cedxdydzp p,,,,,,,,,,,, i,ppx，，,，,xx,,，，edx2,,,pp,,因为，所以有 xx,,, ，,2,3,,,,,,,,,,,,,rrd,C2p,pp,pp,p,，，，，，，，，，，，，ppxxyyzz,,, 2,,3,，，，，,C2,,p,p, 3,,,2,，，如果取，，，则,r归一化为函数。 C,2,, Y p ，,,,,,, ,,,,,,;rrd,p,p，，，，，，pp,,, i,,p,rA A 1,(3.2.4) ,,,，，r,ep3 O X 2，，2,, (3.2.5) Z 3.箱归一化 i,,p,r,,,,A，，,r,Ce在A(L/2,y,z)和(-L/2,y,z)点, 的值应相同。即 p 11ii,,,,,pL，py，pzpL，py，pz,,,,xyzxyz,2,2,,,,Ce,Ce i，，pLx,e,1 pxL,2n,n所以，是正负整数或零。 xx, 2,n,xp,,n,0,,1,？ (3.2.6) xxL 2,n,y (3.2.7) p,,n,0,,1,？yyL 2,n,zp,,n,0,,1,？ (3.2.8) zzL 当L时，的本征值就变为连续谱。 p,p,p,,xyz i,,p,r1,,,，，,r,e (3.2.9) p32L
4．3多项式方法求特征值问题 4.3.1 F-L 方法求多项式系数 我们知道，求n 阶方阵A 的特征值就是求代数方程 0||)(=-=I A λλ? （4.3.1） 的根。)(λ?称为A 的特征多项式。上式展开为 n n n n p p p ++++=--.....)(2211λλλλ? （4.3.2） 其中n p p p ,...,21为多项式)(λ?的系数。 从理论上讲，求A 的特征值可分为两步： 第一步 直接展开行列式|I A λ-|求出多项式)(λ?； 第二步 求代数方程0)(=x ?的根，即特征值。 《 对于低阶矩阵，这种方法是可行的。但对于高阶矩阵，计算量则很大，这种方法是不适用的。这里我们介绍用F-L （Faddeev-Leverrier ）方法求特征方程（4.3.2）中多项式)(λ?的系数。由于代数方程求根问题在第2章中已经介绍，所以本节中解决特征值问题的关键是确定矩阵A 的特征多项式)(λ?，所以称这种方法为多项式方法求特征值问题。 记矩阵A=n n ij a ?)(的对角线元素之和为 nn a a a trA +++=...2211 （4.3.3） 利用递归的概念定义以下n 个矩阵:),....,2,1(n k B k = ???????????????-=-=-=-==----),(................),(...............),(),(,11112231121I p B A B I p B A B I p B A B I p B A B A B n n n k k k n n k k trB n p trB k p trB p trB p trB p 11312133221 1===== （4.3.4） 可以证明,(4.3.4)式中,,...,2,1,n k p k =即是所求A 的特征多项式)(λ?的各系数。用（）式求矩阵的特征多项式系数的方法称为F-L 方法。相应特征方程为： 0).....()1(2211=-------n n n n n p p p λλλ （4.3.5） 而且可证矩阵A 的逆矩阵可表示为 )(1111I p B p A n n n ----= (4.3.6) ? 例1 求矩阵 ??????????=324202423A
（以一维情况为例：注意算符的表示形式和矩阵元形式） ∫∫+++∞ ∞?=?=?εεδδ00)()()()()(000 x x x f dx x x x f dx x x x f * ** ()()()(),()(1)() n n n x x x x δδδδ′′?=??=?*** 注意上两式中的积分符号 在坐标表象：坐标算符：x; 动量算符: i x ???= （微分形式） ()()'"??|||||'"'()'")(x x x x x dx x x x x x dx x x x x x x x x x δδδ′′′′′′=<>=<><=?>=??∫∫ ① （将方框内部分视为函数()f x ，利用*式） ()'"?()()"'"()"'x x p x i x x x x d x x x d i x d δδδ????????∫? ?=?=?== ② （利用** 式） ()d i x d x x δ=′′′′??=（利用*** 式）（同曾谨言书的结果） 动量表象：坐标算符：x i p ??= （微分形式） ; 动量算符: p ()()'"?()'(()"')""p p d i p p p dp d x dp p p i p d p δδδ=?=???∫== ③ （利用**式） ()p p d i p d δ′′=?′′ = （利用*** 式）（同曾谨言书的结果） ()()'"??()'""("')p p p dp p p p p p p p p δδδ=???=?∫ ④ （将方框内部分视为函数()f x ，利用*式） ()())'"("""(")(')?(""'p p p p p p i p p p dp d i p dp d i p p dp L z y y z y z z y p p x ???????=???=∫δδδ===
量子体系本征值问题的解法 关键词：本征值；分析解法；矩阵解法；代数解法；线性谐振子 摘要：处理量子体系的本征值和本征态是量子理论的中心问题，对其求解方法进行研究具有一定的实际意义。本文对量子体系本征值问题的求解进行归纳与总结。对于处理本征值问题的常见方法（解析法、矩阵法），给出例证说明。另外，基于代数的方法，采用升降算符处理一维线性谐振子的本征值和本征态，进而推广到利用升降算符处理二维以及三维线性谐振子问题，得到二维以及三维线性谐振子的本征值；进一步基于代数方法对角动量的本征值问题进行研究。 Solution methods of the eigenvalues for Quantum System Keywords:Eigenvalue; Analytical method; Matrix method; Algebraic method; Linear harmonic oscillator Abstract:Solving eigenvalues and eigenfunctions for the quantum systems is mainly contents in the quantum theory. There are a lot of processing methods such as analytical method, matrix method and factorization method, and so on. In this paper, several kinds of different methods on solving eigenvalues for the quantum systems are given and compared, and further summarized. Furthermore, on the basis of algebraic solution, the expanding resolutions were obtained for one-dimensional linear harmonic oscillator, the two-dimensional linear harmonic oscillator, three-dimensional linear harmonic oscillator, and even n-dimensional linear harmonic oscillator. Moreover, the eigenvalues and eigenstates of the angular momentum were shown by algebraic solution. . 引言
§4.3 动量算符和角动量算符 重点： 动量算符和角动量算符本征值及本征函数的特征 （一）动量算符 动量算符是 （4.3-1）动量的三个投影算符是 （4.3-2） 动量算符的本征值方程为 （4.3-3） 式中P是动量算符的本征值，是属于这个本征值的本征函数，（4.3-3）式的三个发量的本征值方程为 （4.3-4）
它们的解是 （4.3-5） ，可使得动量本征函数归一化为函数。即取 取归一化常数 （4.3-6） 得出（4.3-7）（二）角动量算符 角动量算符 分量式 （4.3-8） 角动量平方算符 （4.3-9） （4.3-11） 的本征值方程为
（4.3-12） 把球极坐标中的表达式（4.3-11）代入（4.3-12）得 （4.3-13） 式中是算符的属于本征值的本征函数。（4.3-13）式正是氢原子 的角量方程（3.4-7），要使波函数 在变化的整个区域内都是有限的，必 须有 （4.3-14） 因此的本征值 （4.3-15） 相应的本征函数 （4.3-16） 本征值方程 （4.3-17） 角动量z分量的本征值方程为 （4.3-18）
容易求得的本征函数和本征值分别为 （4.3-19） （4.3-20） 因为 ，所以也是的本征函数，满足本征值方程 （1）和的本征值都是量子化的（分立值）。的取值由角量子数l唯一地决 定，即的取值由磁量子数m唯一地决定，即 是角动量分量的本征值，所以 ，由于 （的本征值的开方），但是整数，因此。 和有共同的本征函数。我们知道，在一个力学量的本征态下 （2） 测量该力学量，其结果必然是相应的本征值，既然 是和的共同本征态， 态中，和同时有确定的测量值，分别为和。 所在 能够同时满足算符的本征 同理，波函数 态中，都同时有确定值。 值方程，即它是这三个算符的共同本征态，因此在
最新文件---------------- 仅供参考--------------------已改成-----------word文本 --------------------- 方便更改 赠人玫瑰，手留余香。 §6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ= ψ I. (6. 42)
2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有 ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+,
(满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为 线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄 米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有
)?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律， 即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义
A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米 算符，除非这两个厄米算符可对 易。具体而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有
§6 - 3 厄米算符的对易关系 一算符的一般运算规则和对易式 1 、算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ= ψ I. (6. 42) 2 ) 算符A?和B?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有
ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++,
(满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数ψ，有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45)
问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算
符，除非这两个厄米算符可对易。具体 而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当0]?,?[=B A 或B A A B ????=时，才有 B A B A ??)??(=+, 这时两个厄米算符A ?与B ?的积B A ??才是厄米算符。 ● 对易式满足下列恒等式： ]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A ±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A +=,
微分方程的本征值问题 电子科技大学 物理电子学院 喻志远2009-11-12 Equation 0222=+f k dx f d 的边界是 10≤≤x Boundary Condition: f (0) =0, f (1)=0 General Solution: f (x) = Acoskx+Bsinkx From boundary Condition A=0, k=n π，所以最小本征值为π 由差分公式： 022211=++?+?i i i i f k h f f f 2 21120 k h where f f f i i i ?==?+?+?αα 当网格点取为3，如左图： 有矩阵方程： 010*******=???? ????????????????????f f f ααα 由对应的行列式为零 ( ) 0)2(2=?αα222k h ?=α解出 k=3.0615, 5.6569, 7.391，为方程的本征值，f1,f2,f3 为本征向量。 本征向量定义：设L 是数域K 上的线性空间X 中的线性变换，如果对于λ∈K 存在一个非零向量ξ，使得L(ξ)=λξ,则称λ为L 的一个本征值或特征值，ξ为L 的属于λ的本征向量或特征向量。 设A 是数域K 上的n 阶方阵，λ是一个复数，则 A I ?λ 称为A 的特征矩阵，其中I 是单位矩阵，行列式0)det(=?A I λ，为特征方程，其根为A 的特征值。
将网格点由3逐步扩大到9， 用MatLab计算可以得到如下的数据： 网格数=网格点数+1 最小本征值 4 3.0615 5 3.0902 6 3.1055 7 3.1153 8 3.1257 9 3.1287 注：网格点数与矩阵的阶数相等。 可以绘出以下曲线 可以看出当矩阵的阶数增加，本征值与理论值之间的误差逐渐减小。其中兰色线为数据拟合后得到的数据。 Origin 曲线拟合 [2009-11-12 09:56 "/Graph1" (2455147)] Polynomial Regression for Data1_B: Y = A + B1*X + B2*X^2 + B3*X^3 + B4*X^4 + B5*X^5 Parameter Value Error ------------------------------------------------------------ A 3.2805 0 B1 -0.37498 0 B2 0.1723 0
§6 - 3 厄米算符的对 易关系 一 算符的一般运算规则和对易式 1 、 算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψψ=I . (6. 42) 2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数ψ,都有 ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+
对于任意的波函数ψ，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符. ● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ??
对于任意的波函数ψ，有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符？ 研究两个算符作用是否与次序有关？ 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若]?,?[B A ≠ 0，则称算符A ?与B ?不对易。
● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。具体 而言，若A A ??=+，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当0]?,?[=B A 或B A A B ????=时，才有 B A B A ??)??(=+, 这时两个厄米算符A ?与B ?的积B A ??才是厄米算符。 ● 对易式满足下列恒等式： ]?,?[]?,?[]??,?[C A B A C B A ±=±, ]?,?[??]?,?[]??,?[C A B C B A C B A +=, (6. 48) ]?,?[??]?,?[]?,??[C B A B C A C B A +=.
第九章 力学量本征值问题的代数解法 本征值问题的解法: 分析解法，代数解法 §9.1 一维谐振子的Schr?dinger 因式分解法 升、降算符 一、Hamilton 量的代数表示 一维谐振子的Hamilton 量可表为 2 22 2 121x p H μωμ + = 采用自然单位（1===ωμ ）， （此时能量以ω 为单位，长度以μω/ 为单位，动量以ωμ 为单位） 则 2 2 2 121x p H + = 而基本对易式是[]i p x =,。 令)(2 1ip x a +=，)(2 1ip x a -= + 其逆为)(2 1a a x += + ，)(2 a a i p -= + 。 利用上述对易式，容易证明(请课后证明) 1],[=+ a a 将两类算符的关系式)(2 1a a x += + ，)(2 a a i p -= + 代入一维谐振子的Hamilton 量2 2 2 12 1x p H + =，有 ??? ??+=??? ? ?+=+ 21?21N a a H 上式就是Hamilton 量的因式分解法，其中a a N +=?。 由于N N ??=+，而且在任何量子态ψ下 0),(),(≥==+ ψψψψa a a a N
所以N ?为正定厄米算符 二、Hamilton 量的本征值 下面证明，若N ?的本征值为n ， ,2,1,0=n ，则H 的本征值n E 为（自然单位，ω ） ??? ? ? +=21n E n ， ,2,1,0=n 证明：设|n >为N ?的本征态( n 为正实数)，即 n n n N =? 利用1],[=+a a 及a a N +=?容易算出 ++=a a N ],?[，a a N -=],?[ 因此n a n a N -=],?[。 但上式 左边n na n a N n N a n a N -=-=??? 由此可得n a n n a N )1(?-=。 这说明，>n a |也是N ?的本征态，相应本征值为)1(-n 。 如此类推，从N ?的本征态>n |出发，逐次用a 运算，可得出N ?的一系列本征态 >n |，>n a |，>n a |2 ，… 相应的本征值为 n ，1-n ，2-n ，… 因为N ?为正定厄米算子，其本征值为非负实数。 若设最小本征值为0n ，相应的本征态为0n ，则 00=n a 此时 0000?n n a a n N ===+ 即0n 是N ?的本征值为0的本征态，或00 =n 。此态记为>0|，又称为真空态，亦即谐振子的最低能态(基态)，对应的能量本征值 ( 加上自然单位)为2/ω 。
厄米算符的对易关系 Document serial number【UU89WT-UU98YT-UU8CB-UUUT-UUT108】
§6 - 3 厄米算符的对易关系 一 算符的一般运算规则和对易式 1 、 算符之和与积 1 ) 单位算符I 对于任意的波函数，有 ψ ψ=I . (6. 42) 2 ) 算符A ?和B ?相等 如果对于任意的波函数?,都有ψψB A ??=, 则有 B A ??=. (6. 43) 3 ) 算符A ?与B ?之和B A ??+ 对于任意的波函数?，有 ψψψB A B A ??)??(+=+. (6. 44) 显然： A B B A ????+=+, (满足交换律) C B A C B A ?)??()??(?++=++, (满 足结合律) 可证: ● 两个线性算符之和仍为线性算符.
● 两个厄米算符之和仍为厄米算符。 4 ) 算符A ?与B ?之积B A ?? 对于任意的波函数?，有 )?(?)??(ψψB A B A =. (6. 45) 问题：两个厄米算符之积是不是厄米算符 研究两个算符作用是否与次序有关 2、 对易式及其满足的恒等式 算符之积一般并不满足交换律，即 0????≠-A B B A . ● 对易式的定义 A B B A B A ????]?,?[-≡. (6. 46) 若0]?,?[=B A ，则称算符A ?与B ?对易； 若 ]?,?[B A ? 0，则称算符A ?与B ?不对易。 ● 两个厄米算符之积一般并不是厄米算符，除非这两个厄米算符可对易。 具体而言，若A A ??=+ ，B B ??=+，则有 A B A B B A ????)??(==+++, (6. 47) 只有当 0]?,?[=B A 或B A A B ????=时，才有
第三章 形式理论 本章主要内容概要： 1. 力学量算符与其本征函数 量子力学中力学量（可观测量）用厄米算符表示，厄米算符满足 () * *??()()()()f x Qg x dx Qf x g x dx =? ? 或者用狄拉克符号，??f Qg Qf g =，其中(),()f x g x 为任意满足平方可积条件的函数（在x →±∞，(),()f x g x 为零）。 厄米算符具有实本征值的本征函数（系），具有不同本征值的本征函数相互正交，若本征值为分离谱，本征函数可归一化，是物理上可实现的态。若本征值为连续谱，本征函数可归一化为δ函数，这种本征函数不是物理上可实现的态，但是它们的叠加可以是物理上可实现的态。 一组相互对易的厄米算符有共同的本征函数系。而两个不对易的厄米算符没有共同的本 征函数系，它们称为不相容力学量。对任意态测量不相容力学量??,Q F ，不可能同时得到确定值，它们的标准差满足不确定原理 2 2 21??,2Q F Q F i σσ?? ??≥ ????? 2. 广义统计诠释 设力学量?Q 具有分离谱的正交归一本征函数系{}()n f x 本征值为{}n q ，即 ()*?()(), ()(), ,1,2,3,...n n n m n mn Qf x q f x f x f x dx m n δ===? 或 ?, n n n m n mn Q f q f f f δ== 这个本征函数系是完备的，即1n n n f f =∑ （恒等算符，封闭型），任意一个波函数可以 用这个本征函数系展开 (,)(),n n n x t c f x ψ=∑ 或n n n n n n f f c f ψ=ψ=∑∑ 展开系数为 * ()()(,)n n n c t f f x x t dx =ψ= ψ? 若(,)x t ψ是归一化的，n c 也是归一化的， 2 1n n c =∑。广义统计诠释指出，对(,)x t ψ态 测量力学量Q ，得到的可能结果必是Q 本征值中的一个，得到n q 几率为2 n c 。对系综测量力学量Q （具有大量相同ψ态系综中的每一个ψ进行测量）所得的平均值（期待值）为 2 n n n Q q c = ∑ 这与用*?Q Q dx =ψψ? 计算方法等价。 如果力学量?Q 具有连续谱的本征函数系 '*'?()(), ()()(), q q q q Qf x qf x f x f x dx q q δ==-? 任意一个波函数可以用这个本征函数系展开为
输运方程本征值 无外源时，输运方程可以写成 0'1(,)(,')(;',') (,',',)'' t E v t E f E E E t dE d φφφφ∞Ω?=????Σ?+Σ→→∫∫?r r r ??r ?? （1） (,,,)E t φφ=r ?其中 简记为 1(,) '''''t E f d dE v t φφφφ?=????Σ+Σ?∫∫?r ? （2） 注意：积分中的f 是广义指示函数（或转移函数），散射源和裂变源 都包括在内。 把与时间无关的线性算符记为L ，则无外源输运方程（２） 可以简记为 1v t φφ?=?L （3） 分离变量，令 (,,,)(,,) ()E t E T t φ?=r ?r ? ， 代入（2），并用(,,) ()E T t ?r ?除两边，得到： {} ''''' T v f d dE T T ?????????Σ+ΣΩ=∫∫? 左边是时间的函数，右边是位置，能量，方向的函数，两者怎能相等？只有两者都等于一个常数时才可能．故 {} ''''' T v f d dE T T ???λ? ?????Σ+ΣΩ==∫∫? 这就把原方程分离成了两个方程 T T λ?= （4） ） v λ ??=L (5a) （4）的解是 0 t T T e λ= (6)
其中的λ是方程（5）的本征值。这样我们就把求解与时间 有关输运方程的问题转化为求解定态方程（5）的本征值与 本征函数问题。 容易看出，方程（5）与定态输运方程的差别是其总截面 Σ增加了v λ；当0λ=时，两者没有差别。当0λ>时， 相当于俘获截面增大（因为积分号中的散射与裂变截面未 变，只能是俘获截面增大）。物理上是相应于一个超临界 系统，为了使其变成稳态，可以人为地加大其俘获截面。 由于这虚拟俘获 v λ符合1v 律，必然会造成能谱的吸收硬 化（算出的能谱比实际能谱硬），这是λ本征值的特点。 也可以采用k 本征值，此时方程为 ' 111'''' ()''''4 t s f v t f dE d E dE d k ????χν?π ?+??+Σ?=Σ+Σ∫∫∫∫??? （上式中将散射源和裂变源和分开写出，是因为要对裂 变源进行人为调整） 采用k 本征值，超临界时候，k >1,人为压低了裂变，使得 能谱变软 (算出的能谱比实际能谱软)。 除了λ本征值和k 本征值之外，常用的还有γ本征值。关于各种本征值 与相应的本征函数的讨论，可参考杜书华《输运问题的计算机模拟》一书的 第三章。 注：许多文献中把本文中的λ特征值称为α本征值。
第九章多体问题 迄今为止，我们的讨论墓本土局限于单拉子体系。本章将把讨论推广到多拉子休系。自然界实际存在的体来一般都是多杜子体来。因此童子力学多体问题的研究不仅有巨夭的理论意义，而且有极大的实际价值。 但是，应该指出，量子力学的多体问题远比单休问题复杂。这不仅因为，当拉子之问具有相互作用时，多拉子体系的薛定译方程一般无法求解，通常只能借助各种近似方法，按体来的各种不同性质以及和实比较时要求的绮确度，求近似解。而且还因为，多杜子体系，特All 是全同拉子休余，还具有新的单拉子休系所没有的特性。而这些特性又要求发展一些断的处理方法，比方二次量子化方法，等等。 另外还要指出，本章的内容不同于量子统计物理学。本章只限于讨论温度为零的情况，只讨论真空平均值或者纯量子态的平均值，不涉及系综平均值，不涉及温度。 本章将先讨论全同拉子的一般特性，然后讨论两个确单的多拉子休来一一氮分子和氮原子的问题，介绍海特(Heitler 卜伦敦(London)理论，托马斯(Thomas )-费米f Fermi)方法。再进一步讨论研究全同拉子体系最重要的表象一一杠子数表象，介绍二次量子化方法。以及自洽场理论，哈特利(Hart ree)一福克(Fock)近似，巴T (Bardeen)-库柏(Cooper)--许瑞弗(Schriffer )超导理论，玻戈留博夫(Bogoiiubov)-华拉ti (Valatin )u,v 正则变换方法，这是非微扰理论中最重要的方法之一。另外，还将介绍超流理论和近似二次量子化方法。本章的许多理论和方法、即使现在，仍然在许多领域中有重要的实月价值。 9.1全同粒子的性质 我们称质量、电荷、自旋、同位旋以及其他所有内案固有属性完全相同的粒子为全同杜子。例如所有的电子是全同粒子，所有质子是全同粒子，但质子和电子不是全同粒子。 全同粒子的最重要的特点是:在同样的物理条件下，它们的行为完全相同。因而用一个全同粒子代换另一个粒子，不引起物理状态的变化。 在经典力学中，即使是全同粒子，也总是可以区分的。因为我们总可以从粒子运动的不同轨道来区分不同的粒子。在量子力学中，由于波粒二象性，和每个粒子相联系的总有一个波。随着时间的变化，波在传播过程中总会出现重叠。在两个波重叠在一起的区域，无法区分哪个是第一个粒子的波，哪个是第二个粒子的波。也就是说，无法区分哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。因此，全同粒子在量子力学中是不可区分的。我们不能说哪个是第一个粒子，哪个是第二个粒子。全同粒子的不可区分性，在量子力学中称为全同性原理。 从全同性原理出发，可以推知.由全同粒子组成的体系具有下述性质: (1)全同粒子体系的哈密顿算符具有交换对称性。 讨论一个由N 个全同粒子组成的体系，第i 个粒子的全部变量用i q 表示，i q 包括坐标、 自旋等等，体系的哈密顿算符是),,,,,,,,(?1t q q q q H n j i ，由于全同粒子不可区分性，将两个粒子 i 和]互换，体系的哈密顿算符保持不变: ),,,,,,,,(1t q q q q H n j i =),,,,,,,,(1t q q q q H n i j (9. 1 .1) (9.1.1)式表示哈密顿算符具有交换不变性。全同粒子体系的薛定愕方程是 =??t t q q q q i n j i ) ,,,,,,(1 ? ),,,,,,,,(1t q q q q H n j i ),,,,,,,,(1t q q q q n j i ? （9.1.2）