一、 初等矩阵
定义3 由单位矩阵E 经过一次初等变换得到的矩阵称为初等矩阵. 单位矩阵的三种初等变换对应着三种初等矩阵： (1)对调两行或对调两列.
把单位阵中的第,i j 两行对调（或第,i j 两列对调），得初等矩阵
行第行
第j i j i E ←←????
?
??
?
??
???
????
?
??=1101111011),(
列
第列
第j i ↑↑
(2) 以数0k ≠乘单位阵的第i 行（或第i 列），得到初等矩阵
(())i k E =1111k i ??
?
? ? ?
← ? ? ?
?
???
第行,
(3) 以k 乘E 的第j 行加到第i 行上或以k 乘E 的第i 列加到第j 列上，得到初等矩阵
(())ij k E =111
1k i i j ↑
↑
?? ?
? ?← ?
?
?← ?
?
???
第行第j 行第列第列
, 即初等矩阵共3个：))(()),((),,(k ij E k i E j i E .
定理3 初等矩阵均可逆，且其逆矩阵也是初等矩阵，并且
1(,)(,)i j i j -=E E ，11
(())(())i k i k
-=E E ，1(())(())ij k ij k -=-E E .
定理4 设A 是一个m n ?矩阵，对A 施行一次初等行变换，相当于在A 的左边乘以相应的m 阶初等矩阵；对A 施行一次初等列变换，相当于在A 的右边乘以相应的n 阶初等矩阵.
定理5 m n ?矩阵A 与B 等价的充分必要条件是存在m 阶可逆矩阵P 及n 阶可逆矩阵Q ，使=PAQ B . 二、利用初等变换求矩阵的秩
定义4 在m n ?矩阵A 中，任取k 行与k 列（1k m ≤≤，1k n ≤≤），位于这些行列交叉处的2
k 个元素，不改变它们在A 中所处的位置次序而得的k 阶行列式，称为矩阵A 的
k 阶子式.
定义5 设在矩阵A 中有一个不等于0的r 阶子式D ，且所有1r +阶子式（如果存在的话）全等于0，那么D 称为矩阵A 的最高阶非零子式，数r 称为矩阵A 的秩，记作()R A .规定零矩阵的秩等于0.
由定义5及行列式的性质可得
若矩阵A 中有某个s 阶子式不为0，则()R s ≥A ；若A 中所有t 阶子式全为0，则
() 例1 求矩阵A 的秩，其中 A =21 032031250004300 000--?? ? - ? ? - ? ?? . 定理6 若~A B ，则()R A =()R B . 例2 求A 的秩 123235471=?? ? ? ??? A 矩阵的秩有以下几个常用的性质： （1）0()min(,)m n R m n ?≤≤A ； （2）T ()=()R R A A ; （3）若~A B ，则()R A =()R B ； （4）若P ，Q 可逆，则()=()R R PAQ A ; （5）max{(),()}()()+()R R R R R ≤≤A B A,B A B ， 特别地，当=B b 为列向量，且≠0b 时，有 ()(,)()+1R R R ≤≤A A b A ； （6）()()+()R R R +≤A B A B ； （7）()min{(),()}R R R ≤AB A B ； （8）若=m n n l ??0A B ，则()+()R R n ≤A B . 例3 设A 为n 阶矩阵，证明(+)+()R R n -≥A E A E . 三、利用初等变换求逆矩阵 对于n 阶矩阵A ，由于A 的n 阶子式只有一个A ，若当0≠A 时，()=R n A ，即A 与E 等价；当A =0时() 定理7 方阵A 可逆的充分必要条件是A ～E . 定理8 方阵A 可逆的充分必要条件是存在有限个初等矩阵12,,,l P P P ，使 12l = A P P P . 由定理7有：(,)~(,)r A E E B ? 1 =-A B . 例4 已知123212,134?? ? ? ??? A = 求1 -A . 四、 利用初等变换求解矩阵方程 设矩阵A 为方阵，若 ()()X E B A r ?→?，则矩阵方程=AX B 的解为=X C . 例5 求解矩阵方程=+AX A X , 其中 220213.010=?? ? ? ??? A 若要求矩阵方程=XA B 的解，则对( )( ) T r T T X E B A ?→?,X 即为方程=XA B 的解. 五、 矩阵分块法 定义1 将矩阵A 用若干条纵线和横线分成许多小矩阵，称为对矩阵A 分块，每一个小矩阵称为A 的子块，以子块为元素形式上的矩阵称为分块矩阵. 定义2 设A 为n 阶方阵，若A 的分块矩阵只有在对角线上有非零子块，其余的子块都为零矩阵，且在对角线上的子块都是方阵，即 A =1 2 s ?? ? ? ? ??? 00 A A A , 其中(1,2,,)i i s = A 都是方阵，那么称A 为分块对角矩阵（准对角阵）. 由行列式的性质有 12s = A A A A ； 六、 分块矩阵的运算 分块矩阵的运算是将每小块看成矩阵的元素，按矩阵的运算进行.要注意的是: 进行加法运算时,分块规则是采用相同的分块法;进行乘法运算时,分块规则是前一个矩阵的列分法与后一个矩阵的行分法相同.转置运算则每小块还要转置. 如 ??????? ? ?=30 0012001032 0121A ?????? ? ? ?=51 030141221 2B 求T A A B , 例2 设 A =12 s ?? ? ? ? ???00 A A A ， B =1 2 s ?? ? ? ? ??? 00 B B B , 所有i A 与所有j B 都是同阶方阵（,1,2,,i j s = ），则 AB =11 22 s s ?? ? ? ? ??? 00 A B A B A B . 由逆矩阵的定义，若(1,2,,)i i s = A 均为可逆矩阵，则1 -A 存在，且有 1 -A =111 2 1s ---?? ? ? ? ? ??? 00 A A A . 例2 设500031021=?? ? ? ??? A ，求1 -A . 作业：)1(22,19,17),4(766P 练习题 一.判断题 1.设A ，B 都是n 阶可逆矩阵，则A +B 也是可逆矩阵并且111()---=A+B A +B .（ ） 2.2 ()()+-=-A E A E A E （ ） 3.()k k k =AB A B ，其中k 为正整数.（ ） 4.2 2 ()()+-=-A B A B A B ( ) 5.T T T T ()=ABC C B A （ ） 6. 若A ，B 为同阶方阵，则有()k k k =AB A B （ ） 7.T T T () +=+A B A B （ ） 8. 若,A B 都是可逆矩阵，那么1 1 1()---+=+A B A B （ ） 9. 设A ，B 都是n 阶对称矩阵，且AB =BA ，则AB 也是对称矩阵.（ ） 10.设A ，B 都是n 阶对称矩阵，则AB +BA 也是对称矩阵.（ ） 11. 设A 为方阵，则T -A A 是反对称矩阵 （ ） 12 .若A 可逆，则1* -=A A （ ） 13. 设A 为n 阶矩阵，则等于()()R R n ++-≥A E A E （ ） 14 若,A B 都是可逆矩阵，那么1 11---?? ??= ? ????? 00A A B B （ ） 15. 设A 为n 阶矩阵，44=A A （ ） 二.选择题 1. 设A,B,C 为n 阶对称矩阵，且ABC =E ，则下面正确的是（ ）. A. ACB =E ； B. CBA =E ； C. BAC =E ； D. BCA =E . 2. 设A,B 为n 阶方矩阵，则222()2=A+B A +AB+B 成立的充分必要条件是（ ）. A A=E ； B 0B =； C AB =BA ； D. A =B . 3. 设121132a b ???? ? ?-???? A=,B=,若矩阵A 与B 可交换， a b ,的值为（ ） A. 5, 4； B. 8, 6； C. 6, 8； D. 4, 5. 4.设A,B 为n 阶方矩阵，A 为对称阵，下列矩阵中为对称阵的有（ ） A. T A BA B. T B +AB C. T A+B A D. T B AB 5. 设A 为五阶方阵，且满足2 =A +A E , 则()R A+E =（ ）. A. 0； B. 3； C. 4； D. 5. 6. 已知???? ? ??=000300420A ，求2010 A （ ） A. 0； B. E ； C. A ； D. 以上都不对 7. 设A 为n 阶可逆矩阵，则等于()*-A =（ ） A. * -A ； B. * A ； C. (1)n *-A ； D. 1(1)n +* -A . 8. 设A 是n 阶方阵，则对称矩阵有（ ）． A. T -A A ； B. T -A A ； C. T -AA A ； D. T A A . 9. 设,A B 都是n 阶方阵，下面结论正确的是（ ）. A. 若,A B 均可逆，则+A B 可逆； B. 若,A B 均可逆，则AB 可逆； C. 若+A B 可逆，则-A B 可逆； D. 若+A B 可逆，则,A B 均可逆. 10. 设m 阶矩阵A 与n 阶矩阵B 都是可逆方阵，?? ??? 0A D =B 则1 -D =（ ）. A. 11--?? ???00A B ； B. 11--?? ???00B A ； C. 11--??- ?-??00A B ； D. 11 --??- ?-??00A B . 11. 若A ，B ，11()--+B A 为同阶可逆方阵，则111 ()---+B A ＝（ ）. A . 1()-+ B B A A ； B . +B A ； C . 1 ()-+B A ； D . 11--+B A . 12. 设A 为4阶纯量矩阵，且16=A ,则A ，1 -A 分别等于 （ ）. A. 14, 4E E ； B. 13,3E E ； C. 1 2,2 E E ； D. ,E E 13. 设A 是4阶矩阵，且()2R =A ，则()R *=A （ ）. A 3； B 2； C 1； D. .0 14. 设,A B 都是n 阶非零矩阵，且0AB =，则,A B 的秩（ ）. A .必有一个等于零 B .都小于n ； C . 一个小于n ，一个等于n ； D . 都等于n . 15. 设矩阵A 的秩()R r =A ，则（ ）． A . A 的1r -阶子式都不为0 ； B . A 至少有一个r 阶子式不为0； C . A 是一个r 阶方阵； D . A 的r 阶子式都不为0． 16. 设T (1,0,1,2), (0,1,0,2)=-=αβ，=A αβ，则()R =A （ ） ． A. 0； B. 1； C. 2； D. 3 17. 设A 是奇数阶反对称矩阵，则A （ ） A . 等于0； B . 等于-1； C . 等于1； D . 无法确定. 18. 若对任意方阵B,C ，由=A B B C （A,B,C 为同阶方阵）能推出=B C , 则A 满足（ ）. A . ≠0A ； B . =0A ； C . 0≠A ； D . 0≠AB . 19. 若A ，B 为同阶方阵，且满足=0AB ，则有（ ）. A .=0A 或=0 B ； B .0=A 或0=B ； C .2 2 2 ()+=+A B A B ； D .A 与B 均可逆 20. 已知?????? ? ??=19 0002000031 0021A ，则4 A =（ ） A. 256； B. 16； C. 32； D. 64. 21. 设52002 10000120 11?? ? ? = ? - ??? A ，则│A │＝（ ）. A. 3； B. 4； C. 5； D. 6. 22. 已知???? ? ??=000300420A ，求2010 A （ ） A. 0； B. E ； C. A ； D. 以上都不对 三. 填空题 1. 设A,B,C 都是n 阶方阵，?? ??? 0A D =B C 则T =DD 2. 设三阶方阵,A B 满足AB A ABA +=6 且??? ?? ??=100020003B 则A = 3. 设1121??? A =，且6=A E ，则11=A 4. 设1112=-?? ??? A ，2 ()223f x x x =-+，则()f =A 5. 设11312101-???? == ? ?-???? A , B ,则矩阵方程2+=B X B A 的解，=X 6. 当,,,a b c d 均为非零时 ，000000000000a b c d ?? ? ?= ? ??? A 可逆，1-A = 7. 已知230011000030 0001?? ?= ? ??? A ，则1 -=A 8. 设A ＝(2 234)diag --，则A = ，1-=A 9. 设1 2468-??= ??? A ，则A ＝ ，T 1 ()-A ＝ 10. 设,A B 均为n 阶方阵，且2,4==-A B ，则12* -?? ??? 00 A B =??????? 11 设(,,)a b c =A ,T =B A A , 则=B 12. 设T T (1,2,3), (1,1,1)==αβ，则T =αβ 13. 设A 为三阶方阵，且||4=A ，则1 |2|-=A 14. 若146025003?? ? ? ??? A=，则T 2AA = 15. 设A ＝52002100121512312811?? ? ? ?- ??? ，则A = 16. 已知10121 0325?? ? = ? ?--?? A ，则*=A 17. 4 32=E 18. 设??= ? ?? A B H C D ，T H = 19. 设A 为四阶可逆方阵，且12-=A ，则1 3()2--=*A A ; 20. 设A 为3阶方矩阵，且2=A ，则132--=* A A E 21. 设A 为3阶方矩阵，且2=A ，把A 按行分块，T 1T 2T 3?? ?= ? ??? A ααα，其中T (1,2,3) J j =,α是A 的第j 行，则行列式T T 31T 2T 123α-ααα= 四 计算题 1. 将1134333541223203 34 21--?? ? -- ? ?-- ? ---?? 化为行最简形，并求出它的秩与一个最高阶非零子式 2. 求解矩阵方程211113210432111-??-?? ?= ? ??? ?-?? X 3. 解矩阵方程2 101101020020101101???? ? ? +=+ ? ? ? ????? X E X 4. 已知100230142?? ? = ? ? -?? A ，（1）设2()2f x x x =-+， 求()f A ；（2）设142021003?? ?= ? ???B ,求解矩阵方程=AX B . 5. 解矩阵方程01010014 31000012 010********-?????? ? ? ? =- ? ? ? ? ? ?-?????? X 6. 设52002 10000830 05 2=?? ? ? ? ???A ，B =32 00450000410 06 2?? ? ? ? ??? ，求（1）AB ；（2）1 -B . 7. 设方阵A 满足2 2=0--A A E ，（1）证明A 可逆，并求1 -A ；（2）证明+2A E 可逆，并求1(+2)-A E . 8. 若n 阶方阵A 满足2 =A A ，证明+A E 可逆，并求出1()-+A E . 9. 设5阶方阵1 11110 11110 01110001100001?? ? ? ?= ? ? ??? A ，求||A 的所有代数余子式之和. 10. 设1 00120413?? ?-- ? ???A=，E 是三阶单位阵，求1 (2)(2)---E A E A . 11. 验证线性变换1123 21233 1232235323x y y y x y y y x y y y =++?? =++??=++?存在逆变换，并求出其逆变换.. 线性代数 第二节逆矩阵及其运算 一、逆矩阵的概念和性质五、初等变换求逆矩阵 四、矩阵的初等变换和初等矩阵二、矩阵可逆的条件三、用伴随矩阵法求逆矩阵 线性代数 （或称的逆）；其中为的倒数， a 1 1 a a -=a , 1 1 1aa a a --==在数的运算中，对于数，有 是否存在一个矩阵,. 1 1 AA A A E --==在矩阵的运算中,单位矩阵E 相当于数的乘法运算中 的1， 那么，对于矩阵A ，1 A -使得一、逆矩阵的概念和性质 0a ≠ 线性代数 对于n 阶矩阵A ，如果有一个n 阶矩阵B ,使得 则说矩阵A 是可逆矩阵或非奇异矩阵，并把矩阵B 称为A 的逆矩阵，否则称A 是不可逆矩阵或奇异矩阵。 , AB BA E ==例1设,01011010A B -????== ? ?-???? ,AB BA E ==∴B 是A 的一个逆矩阵。 定义1（可逆矩阵） 线性代数 例1 设,2110A ?? = ? -?? 解 设是A 的逆矩阵,a b B c d ?? = ? ??则2110a b AB c d ????= ???-????1001?? = ? ?? 221001a c b d a b ++?????= ? ?--????求A 的逆矩阵 线性代数 ,,,, 212001a c b d a b +=??+=??? -=??-=?, ,,. 0112a b c d =??=-??? =??=?又因为 ??? ??-01120112-?? ?????? ??-0112=0112-?? ???,1001?? = ??? 所以 .1 0112A --?? = ? ?? A B A B (待定系数法) 知识点总结： 一、矩阵的概念与运算 1、 矩阵1112 132122 23a a a a a a ?? ??? 中的行向量是()111213a a a a =r ，()2122 23b a a a =r ； 2、 如：1112131112111221222321222122,,c c c a a b b A B C c c c a a b b ?? ???? === ? ? ??????? ，那么 11111212111221212222212233,333a b a b a a A B A a b a b a a ++???? +== ? ? ++????， 1111122111121222 111312232111222121122222 21132223a c a c a c a c a c a c AC a c a c a c a c a c a c +++?? = ?+++?? 矩阵加法满足交换律和结合律，即如果,,A B C 是同阶的矩阵，那么有： ,()()A B B A A B C A B C +=+++=++。 同理如果矩阵,A B 是两个同阶矩阵，那么将它们对应位置上的元素相减所得到的矩阵C 叫做矩阵A 与B 的差，记作C A B =-。 实数与矩阵的乘法满足分配律：即()a A B aA aB +=+。 矩阵对乘法满足：()A B C AB AC +=+，()B C A BA CA +=+，()()()a AB aA B A aB == ()()AB C A BC = 3、 矩阵乘法不满足交换率，如111 11 11 122222222.a b c d c d a b a b c d c d a b ????????≠ ??? ??????????? 矩阵乘法能进行的条件是左边的矩阵A 的列数与右边矩阵B 的行数相等，而且矩阵的乘法不满足交换率，不满足消去律。 二、行列式概念及运算 1.用记号 2 2 11b a b a 表示算式1221b a b a -,即 2 2 11b a b a =1221b a b a -,其中 2 2 11b a b a 叫做二阶行列 式;算式1221b a b a -叫做二阶行列式的展开式;其计算结果叫做行列式的值;2121,,,b b a a 都叫做行列式的元素.利用对角线 2 2 11b a b a 可把二阶行式写成它的展开式,这种方法叫做二阶行列式 展开的对角线法则;即在展开时用主对角线元素的乘积减去副对角线元素的乘积. 2.二元一次方程组的解 二元一次方程组???=+=+222 1 11c y b x a c y b x a (其中2121,,,b b a a 不全为零);记 2 211b a b a 叫做方程组的系数 Student’s Name: Student’s ID No.: College Name: The study of Equivalence Relations Abstract According to some relative definitions and properties, to proof that if B can be obtained from A by performing elementary row operations on A, ~ is an equivalence relation, and to find the properties that are shared by all the elements in the same equivalence class. To proof that if B is can be obtained from A by performing elementary operations, Matrix S A ∈ is said to be equivalent to matrix S B ∈, and ~A B means that matrix S A ∈ is similar to S B ∈, if let S be the set of m m ? real matrices. Introduction The equivalence relations are used in the matrix theory in a very wide field. An equivalence relation on a set S divides S into equivalence classes. Equivalence classes are pair-wise disjoint subsets of S . a ~ b if and only if a and b are in the same equivalence class.This paper will introduce some definitions and properties of equivalence relations and proof some discussions. Main Results Answers of Q1 (a) The process of the proof is as following,obviously IA=A,therefore ~ is reflexive;we know B can be obtained from A by performing elementary row operations on A,we assume P is a matrix which denote a series of elementary row operations on A.Then ,we have PA=B,(A~B),and P is inverse,obviously we have A=P -1B,(B~A).So ~ is symmetric.We have another matrix Q which denote a series of elementary row operations on B,and the result is C,so we have QB=C.And we can obtain QB=Q(PA)=QPA=C,so A~C.Therefore,~ is transitive. Hence, ~ is an equivalence relation on S . (b) The properties that are shared by all the elements in the same equivalence class are as followings: firstly,the rank is the same;secondly,the relation of column is not changed;thirdly,two random matrices are row equivalent;fourthly,all of the matrices 第五章 矩阵分析 本章将介绍矩阵微积分的一些内容.包括向量与矩阵序列的收敛性、矩阵的三种导数和矩阵微分与积分的概念，简要介绍向量与矩阵范数的有关知识. §5.1 向量与矩阵的范数 从计算数学的角度看，在研究计算方法的收敛性和稳定性问题时，范数起到了十分重要的作用. 一、向量的范数 定义1 设V 是数域F 上n 维（数组）向量全体的集合，x 是定义在V 上的一个实值函数，如果该函数关系还满足如下条件： 1）非负性 对V 中任何向量x ，恒有0x ≥，并且仅当0=x 时，才有 x =0； 2）齐次性 对V 中任意向量x 及F 中任意常数k ，有;x k kx = 3）三角不等式 对任意V y x ∈,，有 y x y x +≤+， 则称此函数x （有时为强调函数关系而表示为?） 为V 上的一种向量范数. 例1 对n C 中向量()T n x x x x ,,,21 =，定义 2 22212 n x x x x +++= 则2x 为n C 上的一种向量范数[i x 表示复数i x 的模]. 证 首先，2n x C 是上的实值函数，并且满足 1）非负性 当0x ≠时，0x >；当0x =时，0x =； 2）齐次性 对任意k C ∈及n x C ∈，有 22||||||kx k x = =； 3）三角不等式 对任意复向量1212(,, ,),(,, ,)T T n n x x x x y y y y ==，有 222 221122||||||||()n n x y x y x y x y +=++++ ++ 2221122()()()n n x y x y x y ≤++++ ++ 2 21 1 1 ||2||||||n n n i i i i i i i x x y y ====++∑∑∑（由Cauchy-ВуНЯКОВСКИЙ 不等式） 222222 2 22||||2||||||||||||(||||||||),x x y y x y ≤++=+ 因此 222||||||||||||x y x y +≤+ 所以 2||||x 确为n C 上的一种向量范数 例2 对n C [或n R ]上向量12(,,,)T n x x x x =定义 112||||||||||n x x x x =+++， 1max i i n x x ∞ ≤≤=， 则1||||x 及x ∞都是n C [或n R ]上的向量范数，分别称为1-范数和∞-范数. 证 仅对后者进行证明. 1）非负性 当0x ≠时，max 0i i x x ∞ =>，又显然有00∞=； 2）齐次性 对任意向量()T n x x x x ,,,21 =及复数k ， §2.2 矩阵的运算 1.矩阵的加法定义：设有两个n m ?矩阵)(),(ij ij b B a A ==,那么矩阵A 与B 的和记作A +B ,规定为 n m ij ij b a B A ?+=+)( 设矩阵)(),(ij ij a A a A -=-=记,A -称为矩阵A 的负矩阵.显然有 0)(=-+A A . 规定矩阵的减法为)(B A B A -+=-. 2.数与矩阵相乘定义:数λ与矩阵)(ij a A =的乘积记作A λ，规定为n m ij a A ?=)(λλ 由数λ与矩阵A 的每一个元素相乘。 数乘矩阵满足下列运算规律（设B A ,为同型矩阵，μλ,为数）： )(i )()(A A μλλμ= )(ii A A A μλμλ+=+)( )(iii B A B A λλλ+=+)( 3.矩阵与矩阵相乘定义:设)(ij a A =是一个s m ?矩阵,)(ij b B =是一个n s ?矩 那么规定矩阵A 与矩阵B 的乘积是一个n m ?矩阵)(ij c C =,其中),,2,1;,,2,1(,12211n j m i b a b a b a b a c kj s k ik sj is j i j i ij ===+++=∑= 并把此乘积记作AB C =，两矩阵相乘，要求左边距阵的列等于右边矩阵的行，乘积的矩阵的行与左边的行相同，列与右边的列相同。 例3：求矩阵???? ? ??-=???? ??-=043211,012301B A 的乘积BA AB 及. 解 ???? ? ??--=???? ??--=1204638311,50113BA AB 从本例可以看出AB 不一定等于BA ,即矩阵乘法不满足交换律 南京航空航天大学2012级硕士研究生 二、(20分)设三阶矩阵，，. ????? ??--=201034011A ????? ??=300130013B ???? ? ??=3003003a a C (1) 求的行列式因子、不变因子、初等因子及Jordan 标准形； A (2) 利用矩阵的知识，判断矩阵和是否相似，并说明理由. λB C 解答: (1)的行列式因子为;…(3分)A 2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλD D D 不变因子为; …………………(3分)2121)1)(2()(,1)()(--===λλλλλd d d 初等因子为;……………………(2分) 2)1(,2--λλJordan 标准形为. ……………………(2分) 200011001J ?? ?= ? ??? (2) 不相似,理由是2阶行列式因子不同; …………………(5分) 0,a = 相似,理由是各阶行列式因子相同. …………………(5分) 0,a ≠共 6 页 第 4 页 三、(20分)已知线性方程组不相容. ?? ???=+=+++=++1,12,1434321421x x x x x x x x x (1) 求系数矩阵的满秩分解； A (2) 求广义逆矩阵； +A (3) 求该线性方程组的极小最小二乘解. 解答:(1) 矩阵,的满秩分解为 ???? ? ??=110021111011A A . …………………(5分)10110111001101A ??????=?????????? (2) . ……………………(10分)51-451-41-52715033A +?? ? ?= ? ??? (3) 方程组的极小最小二乘解为. …………(5分)2214156x ?? ? ?= ? ??? 共 6 页 第 5 页 之13.矩阵行列式（含精析） 一、选择题。 1．已知2010 20082006200426 24222018 16141210 864,+ +++-=Λ则 bc ad d c b a = （ ） A ． 2008 B ．—2008 C ．2010 D ．—2010 二、填空题。 3．圆C ：x 2 +y 2 =1经过伸缩变换 （其中a ，b ∈R ，0＜a ＜2，0＜b ＜2，a 、b 的取值都是随机的．）得到曲线C′，则在已知曲线C′是焦点在x 轴上的椭圆的情形下，C′的离心率 的概率等于_________. 4．将正整数21,2,3,4,,n L （2n ≥）任意排成n 行n 列的数表.对于某一个数表，计算各行和各列中的任意两个数,a b （a b >）的比值a b ，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”.若ij a 表示某个n 行n 列数表中第i 行 第j 列的数（1i n ≤≤，1j n ≤≤） ，且满足(1),(1),ij i j i n i j a i n i j n i j +-- 6．给出30行30列的数表A ：?????? ???? ??1074216 183150117216342720131832721159150201510511713951 Λ ΛΛΛΛΛΛΛΛΛΛ，其特点是 每行每列都构成等差数列，记数表主对角线上的数10743421101，，，，， Λ按顺序构成数列{}n b ，存在正整数)1(t s t s <<、使t s b b b ,,1成等差数列，试写出一组),(t s 的值 7．变换T 1是逆时针旋转2 π 的旋转变换，对应的变换矩阵是M 1；变换T 2对 应的变换矩阵是M 2＝. （1）求点P （2,1）在T 1作用下的点P ′的坐标； （2）求函数y ＝x 2的图象依次在T 1，T 2变换的作用下所得曲线的方程． 8．将边长分别为1、2、3、…、n 、n+1、…（*n ∈N ）的正方形叠放在一起，形成如图所示的图形，由小到大，依次记各阴影部分所在的图形为第1个、第2个、……、第n 个阴影部分图形.设前n 个阴影部分图形的面积的平均值为()f n ．记数列{}n a 满足11a =,()+1(),,n n f n n a f a n ??=???当为奇数当为偶数 （1）求()f n 的表达式； （2）写出23,a a 的值，并求数列{}n a 的通项公式； （3）记()n n b a s s =+∈R ，若不等式211 1 1 00 0n n n n n b b b b b ++++>有解，求s 的取值范围. 逆矩阵的几种求法与解析 矩阵是线性代数的主要内容,很多实际问题用矩阵的思想去解既简单又快捷.逆矩阵又是矩阵理论的很重要的内容, 逆矩阵的求法自然也就成为线性代数研究的主要内容之一.本文将给出几种求逆矩阵的方法. 1.利用定义求逆矩阵 定义: 设A 、B 都是n 阶方阵, 如果存在n 阶方阵B 使得AB= BA = E, 则称A 为可逆矩阵, 而称B 为A 的逆矩阵.下面举例说明这种方法的应用. 例1 求证: 如果方阵A 满足A k= 0, 那么EA 是可逆矩阵, 且 （E-A ）1-= E + A + A 2+…+A 1-K 证明 因为E 与A 可以交换, 所以 (E- A )(E+A + A 2+…+ A 1-K )= E-A K , 因A K = 0 ,于是得 (E-A)（E+A+A 2+…+A 1-K ）=E ， 同理可得（E + A + A 2+…+A 1-K ）(E-A)=E ， 因此E-A 是可逆矩阵,且 (E-A)1-= E + A + A 2+…+A 1-K . 同理可以证明(E+ A)也可逆,且 (E+ A)1-= E -A + A 2+…+（-1）1-K A 1-K . 由此可知, 只要满足A K =0，就可以利用此题求出一类矩阵E ±A 的逆矩阵. 例2 设 A =? ? ?? ? ???? ???0000 30000020 0010,求 E-A 的逆矩阵. 分析 由于A 中有许多元素为零, 考虑A K 是否为零矩阵, 若为零矩阵, 则可以采用例2 的方法求E-A 的逆矩阵. 解 容易验证 A 2 =????????? ???0000000060000200， A 3=? ? ?? ? ? ? ?? ???00000000 00006000 ， A 4=0 而 (E-A)(E+A+ A 2+ A 3)=E,所以 (E-A)1-= E+A+ A 2+ A 3= ? ? ?? ? ???????1000 31006210 6211. 2.初等变换法 求元素为具体数字的矩阵的逆矩阵，常用初等变换法.如果A 可逆，则A 可通过初等变换，化为单位矩阵I ，即存在初等矩阵S P P P ,,21Λ使 （1）s p p p Λ21A=I ，用A 1-右乘上式两端，得： （2） s p p p Λ21I= A 1- 比较（1）（2）两式，可以看到当A 通过初等变换化为单位矩阵的同时，对单位矩阵I 作同样的初等变换，就化为A 的逆矩阵A 1-. 用矩阵表示（A I ）??? →?初等行变换 为（I A 1-），就是求逆矩阵的初等行变换法，它是实际应用中比较简单的一种方法.需要注意的是，在作初等变换时只允许作行初等变换.同样，只用列初等变换也可以求逆矩阵. 例1 求矩阵A 的逆矩阵.已知A=???? ? ?????521310132. 解 [A I]→??????????100521010310001132→???? ? ?????001132010310100521 → ??????????--3/16/16/1100010310100521→???? ??????-----3/16/16/110012/32/10103/46/136/1001 Solution Key to Some Exercises in Chapter 3 #5. Determine the kernel and range of each of the following linear transformations on 2P (a) (())'()p x xp x σ= (b) (())()'()p x p x p x σ=- (c) (())(0)(1)p x p x p σ=+ Solution (a) Let ()p x ax b =+. (())p x ax σ=. (())0p x σ= if and only if 0ax = if and only if 0a =. Thus, ker(){|}b b R σ=∈ The range of σis 2()P σ={|}ax a R ∈ (b) Let ()p x ax b =+. (())p x ax b a σ=+-. (())0p x σ= if and only if 0ax b a +-= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P ax b a a b R +-∈= (c) Let ()p x ax b =+. (())p x bx a b σ=++. (())0p x σ= if and only if 0bx a b ++= if and only if 0a =and 0b =. Thus, ker(){0}σ= The range of σis 2()P σ=2{|,}P bx a b a b R ++∈= 备注: 映射的核以及映射的像都是集合,应该以集合的记号来表达或者用文字来叙述. #7. Let be the linear mapping that maps 2P into 2R defined by 10()(())(0)p x dx p x p σ?? ?= ??? ? Find a matrix A such that ()x A ασαββ??+= ??? . Solution 1(1)1σ??= ??? 1/2()0x σ?? = ??? 11/211/2()101 0x ασαβαββ????????+=+= ? ? ??????????? Hence, 11/210A ??= ??? #10. Let σ be the transformation on 3P defined by (())'()"()p x xp x p x σ=+ a) Find the matrix A representing σ with respect to 2[1,,]x x b) Find the matrix B representing σ with respect to 2[1,,1]x x + c) Find the matrix S such that 1B S AS -= d) If 2012()(1)p x a a x a x =+++, calculate (())n p x σ. Solution (a) (1)0σ= 第五章 特征值的估计及对称矩阵的极性 本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论， 即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵（一般是Hermite 矩阵）特征值的 极小极大原理，其次也涉及到一些特征值 和奇异值的扰动问题,最后简要地介绍矩阵 直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解 方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的 理论研究与实际应用当中都有着相当重要 的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理5.1 设A=(a rs )∈R n×n ,令 M=||2 1 max ,1sr rs n s r a a -≤≤ λ若表示A 任一特征值，则λ的虚部Im(λ) 满足不等式 2 ) 1(|)Im(|-≤n n M λ |Im(λ)|≤||A -A T ||2 / 2 |Im(λ)|≤||A -A T ||1 ?/2. 证明：设x+i ?y 为对应于λ的A 的特征向量， 则 A(x+i ?y)=(α+β?i)(x+i ?y) 其中λ=α+β?i.显然x,y 为实向量，且x,y 为 线性无关的 向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B=??? ? ??-αββα 。 从而(x,y)T A(x,y)=(x,y)T (x,y)B 展开有 ???? ??Ay y Ax y Ay x Ax x T T T T =α????? ??y y y x y x x x T T T T + β???? ? ? ?--x y y y x x y x T T T T (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 α(x T x +y T y )=x T Ax +y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： β(x T x +y T y )=x T (A -A T )y 1). 记B=A -A T ,则 |x T By|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 从而 |β|≤||x||2 ?||B||2?||y||2 /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 利用ab /(a 2+b 2)≤1/2 可得 |β|≤||B||2 /2. 2). 由于|x T By|≤||Bx||1 ?||y||∞≤||B||1?||x||1 ?||y||∞ 从而 |β|≤||B||1 ?||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) 易证明 ||x||1 ?||y||∞ /((||x ||2)2 +(||y ||2)2) /2. (显然，不妨假设(||x ||2)2 +(||y ||2)2=1, 设||y ||∞=t =cos(α), 则y 必为t ? e j 的形式（为什么？）， 从而极值转化为求解如下最大值问题： max ||x||1, 满足约束(||x ||2)2=1-t 2 这样有均值不等式||x||1 x ||2 = -t 2)1/2, 从而我们需要求解t (1-t 2)1/2的最大值，设t =cos(α) 可得t (1-t 2)1/2的最大值为1/2. 从而得证。) 因此 |β|≤||B||1 3). 由于b ii =0, i =1,2,…,n , b ij = -b ji , 因此 |x T By|2=| 1 1()n ij i j j i i j i b x y x y -=>??-∑∑|2 ≤(2M )2 2 1||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ (利用(a 1+a 2+…+a n )2≤ n ((a 1)2+(a 2)2+…+(a n )2) ≤(2M )2 (n (n -1)/2) 21||n i j j i i j i x y x y =>??- ??? ∑∑ 1) 一组基为q = .维数为3. 3) 南京航空航天大学双语矩阵论期中考试参考答案(有些答案可能有问题) Q1 1解矩阵A 的特征多项式为 A-2 3 -4 4I-A| =-4 2+6 -8 =A 2(/l-4) -6 7 A-8 所以矩阵A 的特征值为4 =0(二重)和/^=4. 人?2 3 由于(4-2,3)=1,所以D| (人)二1.又 彳 人+6=“2+4人=?(人) 4-2 3 、=7人+4=代(人)故(们3),代3))=1 ?其余的二阶子式(还有7个)都包含因子4, -6 7 所以 D? 3)=1 .最后 det (A (/L))=42(人.4),所以 D 3(A)=/l 2 (2-4). 因此矩阵A 的不变因子为d, (2) = d 2(2) = l, d 3 (2) = r (2-4). 矩阵A 的初等因子为人2, 2-4. 2解矩阵B 与矩阵C 是相似的.矩阵B 和矩阵C 的行列式因子相同且分别为9 3)=1 , D 2(/i)=A 2-/l-2 .根据定理：两矩阵相似的充分必要条件是他们有相同的行列式因子. 所以矩阵B 与矩阵c 相似. Q2 2)设k 是数域p 中任意数，a, 0, /是v 中任意元素.明显满足下而四项. (") = (",a) ； (a+月,/) = (",/) + (”,刃；(ka,/3) = k(a,/3) ； (a,a)>0, 当且仅当Q = 0时(a,a) = ().所以(。,/?)是线性空间V 上的内积. 利 用Gram-Schmidt 正交化方法，可以依次求出 ,p 2 =%-(％'5)与= 层=%-(％,弟与一(％,弓)役= 1.2.10矩阵的迹 函数trace 格式b=trace (A) %返回矩阵A的迹，即A的对角线元素之和。 1.2.11矩阵和向量的范数 命令向量的范数 函数norm 格式n = norm(X) %X为向量，求欧几里德范数，即。 n = norm(X,inf) %求-范数，即。 n = norm(X,1) %求1-范数，即。 n = norm(X,-inf) %求向量X的元素的绝对值的最小值，即。 n = norm(X, p) %求p-范数，即，所以norm(X,2) = norm(X)。 命令矩阵的范数 函数norm 格式n = norm(A) %A为矩阵，求欧几里德范数，等于A的最大奇异值。 n = norm(A,1) %求A的列范数，等于A的列向量的1-范数的最大值。 n = norm(A,2) %求A的欧几里德范数，和norm(A)相同。 n = norm(A,inf) %求行范数，等于A的行向量的1-范数的最大值 即：max(sum(abs(A')))。 n = norm(A, 'fro' ) %求矩阵A的Frobenius范数， 即sqrt(sum(diag(A'*A)))，不能用矩阵p-范数的定义来求。 命令范数的估计值 函数normest 格式nrm = normest(A) %矩阵A的2-范数(欧几里德范数)的估计值，相对误差小于 106。 nrm = normest(A,tol) %tol为指定相对误差 [nrm,count] = normest(…) %count给出计算估计值的迭代次数 1.2.12条件数 命令矩阵的条件数 函数cond 格式c = cond(X) %求X的2-范数的条件数，即X的最大奇异值和最小奇异值的商。 c = cond(X,p) %求p-范数的条件数，p的值可以是1、2、inf或者’fro’。 说明线性方程组AX=b的条件数是一个大于或者等于1的实数，用来衡量关于数据中的扰动，也就是A/或b对解X的灵敏度。一个差条件的方程组的条件数很大。条件数的定义为： 命令1-范数的条件数估计 函数condest 格式c = condest (A) %方阵A的1-范数的条件数的下界估值。 [c,v] = condest (A) %v为向量，满足，即norm(A*v,1) =norm(A,1)*norm(v,1)/c。 [c,v] = condest (A,t) %求上面的c和v，同时显示出关于计算的步骤信息。如果t=1，则计算的 每步都显示出来；如果t=-1，则给出商c/rcond(A)。 命令矩阵可逆的条件数估值 函数rcond 格式c = rcond(A) %对于差条件矩阵A来说，给出一个接近于0的数；对于好条件矩阵A， 则给出一个接近于1的数。 命令特征值的条件数 函数condeig 矩阵方程 ,,AX B XA B ==AXB C =矩阵方程为 其中A,B 均为可逆矩阵.1, AX B X A B -=?=1 XA B X BA -=?=11 AXB C X A CB --=?=矩阵方程的解为： 例1 解矩阵方程 ：.100110111,121011322???? ? ??=????? ??--=B A ()(). 2,1B XA B AX ==().11 1B A X AX A --==：解()223100110010121001A E ?? ?=- ? ?-? ????? ? ??--→100121001322010011 136147.159--?? ?=-- ? ?-??(), ,211--==BA XAA B XA 132211.164--?? ?= ? ?-??100143010153001164--?? ?→→-- ? ?-? ? 1143111153011164001X A B ---???? ???==-- ??? ???-???? 1111143011153001164X BA ---???? ???==-- ??? ???-???? ????? ? ?=+=-714121,61A BA A BA A 且o o .B 求A BA BA A 61=--()1 6A E BA A -?-=()1 6A E B E -?-=()1 1 6.B A E --?=-解: ,满足关系设三阶矩阵B A 例2 11000100017000400026-??????????????? ??-????? ??=16000300016-???? ? ??=????? ??=610003100016.100020006????? ? ?=()116B A E --=- 求逆矩阵的若干方法和举例 苏红杏 广西民院计信学院00数本（二）班 [摘 要] 本文详细给出了求逆矩阵的若干方法并给出相应的例子，以供学习有关矩阵方面 的读者参考。 [关键词] 逆矩阵 初等矩阵 伴随矩阵 对角矩阵 矩阵分块 多项式等 引 言 在我们学习《高等代数》时，求一个矩阵的逆矩阵是一个令人十分头痛的问题。但是，在研究矩阵及在以后学习有关数学知识时，求逆矩阵又是一个必不可缺少的知识点。为此，我介绍下面几种求逆矩阵的方法，供大家参考。 定义: n 阶矩阵A 为可逆，如果存在n 阶矩阵B ，使得E BA AB ==，这里E 是n 阶单位矩阵，此时，B 就称为A 的逆矩阵，记为1-A ，即：1-=A B 方法 一. 初等变换法（加边法） 我们知道，n 阶矩阵A 为可逆的充分必要条件是它能表示成一系列初等矩阵的乘积A=m Q Q Q 21， 从而推出可逆矩阵可以经过一系列初等行变换化成单位矩阵。即，必有一系列初等矩阵 m Q Q Q 21使 E A Q Q Q m m =-11 （1） 则1-A =E A Q Q Q m m =-11 （2） 把A ，E 这两个n 阶矩阵凑在一起，做成一个n*2n 阶矩阵（A ，E ），按矩阵的分块乘法，（1）（2）可以合并写成 11Q Q Q m m -（A ，E ）=（11Q Q Q m m -，A ，E Q Q Q m m 11 -）=（E ，1-A ） （3） 这样就可以求出矩阵A 的逆矩阵1-A 。 例 1 . 设A= ??? ? ? ??-012411210 求1-A 。 解：由（3）式初等行变换逐步得到： ????? ??-100012010411001210→ ????? ??-100012001210010411 →??? ?? ??----123200124010112001→ ? ????? ? ?----21123100124010112001 第五章特征值的估计及对称矩阵的极性本章主要讨论数值代数中的三个特殊理论，即 特征值的估计 广义特征值问题 实对称矩阵(一般是Hermite矩阵)特征值的极小极大原理，其次也涉及到一些特征值和奇异值的扰动问题，最后简要地介绍矩阵直积的一些性质及其在线性矩阵方程求解方面的应用。这几方面的内容，在矩阵的理论研究与实际应用当中都有着相当重要的作用。 5.1特征值的估计 一、特征值的界 首先给出直接估计矩阵特征值模的上界的 一些方法 定理 5.1 设A=(a rs) R n X1,令 1 , , M= ma彷总a sr| 若表示A任一特征值，则的虚部Im() 满足不等式 |Im( )| M n(n21) |Im( )| ||A A T||2 / 2 |Im( )| ||A A T||1n /2. 证明：设x+i y为对应于的A的特征向量, 则A(x+i y)=( + i)(x+i y) 其中=+ i.显然x,y为实向量，且x,y为线性无关的向量。 经整理A(x,y)=(x,y)B, 其中B= 从而(x,y) T A(x,y)=(x,y) T(x,y)B 展开有 i 1 j i T T X y X X T T y y y X (求等式两边矩阵的对角元之和，可得 (x T x+y T y)=x T Ax+y T Ay (1) 等式两边矩阵的左上角单元减去右下角单元 可得： (x T x+y T y)=x T (A A T )y 1) . 记 B=A A T ,则 |x T By| ||x||2||B||2||y||2 从而 1 1 1凶|2 ||B||2||y||2 /((||x||2)2 +(||y|2)2) 利用 ab/(a 2+b 2) 1/2 可得 | | ||B||2 /2. 2) . 由于 |x T By| ||B X ||I ||y|| ||B||i ||X ||I ||y|| 从而 | | ||B||i ||x||i ||y|| /((||X |2)2 +(||y||2)2) 易证明 ||x||i ||y|| /((||X ||2)2 +(||y||2) 2) n /2. (显然，不妨假设(||X ||2)2 +(||y||2)2=1, 设HyH =t=cos ()，则y 必为t e 的形式(为什么？) 从 而极值转化为求解如下最大值问题： max ||X ||1,满足约束(||X ||2)2=1 t 2 这样有均值不等式 ||x|h i n ||X ||2= 、、n (1 t 2)1/2, 从而我们需要求解t(1 t 2)1/2的最大值，设t=cos() 可得 t(1 t 2)1/2的最大值为1/2.从而得证。) 因此 11 ||B||1 . n /2. 3) . 由于 b ii =0, i =1,2,…,n, b ij = b ji , n 1 因此 x T By|2=| b ij (X y j X j y i )|2 i 1 j i 2 n (2M)2 |xy j X j Y i | i 1 j i (利用(a 1+a 2+…+a n )2 n((a 1)2+(a 2)2+ …+(a n )2) n (2M)2(n(n 1)/2) | X y j X j yj 2 X T A X y T Ax X T Ay y T Ay T T X X X y T T X y y y 一、判断题 1设???? ???? ??=30 041 003A ，则3 1004000 3T A ?? ?? =? ????? （ ）T 2 若,2 O A =则O A = （ ） F 3若O AB =，则O BA = （ ）F 4任何方阵都唯一存在逆矩阵 （ ）F 7任意两个数字行列式可以比较大小 （ ） T 8只有同阶行列式才可以进行相加 （ ） F 9齐次线性方程组必有零解 ( ) T 10 n 阶齐次线性方程组有唯一零解的条件是系数矩阵A 可 逆 ( ) T 11 矩阵乘法不满足消去率，即AC=BC ，一般不能推出A=B （ ） T 12 设A 、B 为同阶方阵，则()k k k B A AB = （ ） F 13 任意两个矩阵相乘均不可交换 ( ) F 14 设矩阵A 与B ，若满足AB=BA ，称A 与B 为可交换矩阵 （ ）T 16设矩阵A 与B ，则()' ' ' B A B A +=+ （ ） T 17设矩阵A 与B ，则()' '' B A AB = （ ） F 20 任何可逆矩阵的逆矩阵唯一存在 （ ） T 21 方阵A 可逆的充要条件是行列式0≠A （ ） T 22 若A 为可逆矩阵，则( ) A A =--1 1 （ ） T 23若A 为可 逆 矩 阵，则 ()() 1 ''11 ,---=A A A 且也 是 可逆矩阵 （ ） T 24若A 为可逆矩阵，k 为一个非零常数，则()1 1 1 ---=A k kA kA 也是可逆矩阵，且 （ ）T 25若A 为可逆矩阵，且AB=AC ，则B=C （ ） T 26若A 、B 为同阶可逆矩阵，则AB 也是可逆矩阵，且 ()1 1 1 ---=B A AB （ ）F 32 行列式转置，其值不变 （ ）T 33 行列式两行（或列）互换，其值不变 （ ） F 34 行列式两行（或列）相同，其值为零 （ ） T 35 行列式某两行（或列）成比例，其值为零 （ ） T 36行列式某行（或列）的k 倍加到另一行（或列）上，其值不变 （ ）T 37 设A ，B 都是n 阶方阵，则B A AB = （ ）T 40 对 齐次 线性 方 程组 =AX ，若 ()则方程组有非零解 未知数个数),(n A r < （ ）T 二、填空题 2 ?? ? ???--??????+??????1013201004321= ?? ????-6405 4 ?? ? ? ??---???? ? ?????-01 2321132132 = 5 8 ??? ?? ??????? ??-127075321134= ???? ? ??49635 9 ()??? ? ? ??1233,2,1= []10 12=???? ? ?????---1 12 1 011 322 15 矩阵 A=?? ? ? ??-23 1 021的转置矩阵是 ???? ? ?????-203211 17 已知矩阵,25 3011 ,13 1 201???? ? ?????--=?? ?? ??-=B A 则() ' AB = 11 45 8??? ?-?? 46矩阵??? ? ? ??? ??=76 5 4 6363 2121A 的行简化阶梯矩阵为 20 4 31(1 23)5 70r ?? ?? -?????? = 3 36 054321 9 07 = -132 38 10 9600853 07421 = 1802-2逆矩阵及其运算
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