试卷类型：A
高三年级质量检测
数 学 试 题（理）
2011．11
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知全集{}U 1,2,3,4,5,=集合{}{}A 2,5,B 4,5,==则()u C A B ?等于 A.{}1,2,3,4
B.{}1,3
C.{}2,4,5
D.{}5
2.命题2x R,x x 0?∈-≥的否定
A.2x R,x x 0?∈-≥
B.2x R,x x 0?∈-≥
C.2x R,x x 0?∈-<
D.2x R,x x 0?∈-< 3.已知等差数列{}n a 的n 项和为n S ，且满足32
S S 132
-=，则数列{}n a 的公差是 A.
12
B.1
C.2
D.3
4.已知()lga lgb 0a 1+=>在同一坐标系中，函数x b y a y log x ==与的图象是下图中的
5.已知平面向量,a b
满足3,3,2,a b b a b === 与的夹角为60°，若()
,a mb a -⊥ 则实数
m 的值为
A.1
B.
3
2
C.2
D.3
6.已知函数()y f x =是偶函数，()[]y f x 20,2=-在上是单调减函数，则 A.()()()f 0f 1f 2<-< B.()()()f 1f 0f 2-<< C.()()()f 1f 2f 0-<<
D.()()()f 2f 1f 0<-<
7.由直线1x ,x 22==，曲线1
y x x =及轴所围图形的面积为 A.
154
B.174
C.1ln 22
D.2ln2 8.点P 从（2，0）点出发，沿圆22x y 4+=按逆时针方向运动4
3
π弧长到达Q 点，则点Q 的坐标为
A.(-
B.()
1-
C.(1,-
D.()
9.已知函数()y sin x 0,02π??
=ω+?ω>
的部分图象如图所示，则点()P ,ω?的坐标为 A.2,
6π?? ???
B.2,
3π?? ???
C.1,23π??
???
D.126π??
???
10.设()()x 12
32e
x 2,f x log x 1,x 2.
-?
则不等式()f x 2<的解集为
A.
)+∞ B.(
),1?-∞?? C.(
])
1,2?
+∞
D.(
),11?-∞??
11.()()f x 2sin x m =ω+?+，对任意实数t 都有f t f t ,f 3,888πππ??????
+=-=-
? ? ???????
且则实数m 的值等于
A.—1
B.±5
C.—5或—1
D.5或1
12.在某种新型材料中的研制中，实验人员获得了下列一组实验数据，现准备用下列四个函数中的一个近似地表示这些数据的规律，其中最接近的一个是
A.x
y 2= B .2y log x = C.()2
y x 12
=
- D.y 2.61cos x =
二、填空题：
13.若a 3552,b log ,==则53a 2b
5
-= ▲ .
14.已知()()3s i n c o s c o s s i n ,5α-βα-β-αα=β是第三象限角，则5sin 4π?
?β+= ??
?
▲ .
15.已知直线y kx =是曲线y ln x =的切线，则k = ▲ .
16.设实数数列{}n a 的前n 项和S n 满足()
*
n 1n 1n 122S a S n N ,a ,S 2a ++=∈-成等比数列，则
S 2= ▲ . 三、解答题：
17.（本小题满分12分）
已知函数()()2f x xcox x 2cos x 1x R,0=ωω-ω+∈ω>的周期为.π
（Ⅰ）利用五点作图法作出()y f x =在
[]x 0,∈π一个周期上的图象；
（Ⅱ）当0,2π??θ∈????
时，若()f 1,θ=求θ值
18.（本小题满分12分）
已知等差数列{}n a 为递增数列，满足2315a 5a 5a 25=+-，在等比数列
{}n 324354b ,b a 2,b a 5,b a 13.=+=+=+中
（Ⅰ）求数列{}n b 的通项公式n b ；
（Ⅱ）若数列{}n b 的前n 项和为n S ，求证：数列n 5S 4??
+????
是等比数列.
19.（本小题满分12分）
港口A 北偏东30°方向的C 处有一检查站，港口正东方向的B 处有一轮船，距离检查站为31海里，该轮船从B 处沿正西方向航行20海里后到达D 处观测站，已知观测站与检查站距离21海里，问检查站C 离港口A 有多远？
20.（本小题满分12分）
已知向量()()1,21,.m n λ=-
与
（Ⅰ）若n m
在λ的值； （Ⅱ）命题P ：向量m n
与的夹角为锐角；
命题q ：2=a b ，其中向量()22
2,cos =+-a λλα
()11,sin ,22??
=++∈ ???
b R λλαλα .若“p 或q ”为真命题，
“p 且q ”为假命题，求λ的取值范围.
21.（本小题满分12分）
某厂家拟对一商品举行促销活动，当该商品的售价为x 元时，全年的促销费用为
()()12152x x 4--万元；根据以往的销售经验，实施促销后的年销售量
()2
a
t 12x 8x 4
=-+
-万件，其中4x <<7.5,α为常数.当该商品的售价为6元时，年销售量为49万件.
（Ⅰ）求出a 的值；
（Ⅱ）若每件该商品的成本为4元时，写出厂家销售该商品的年利润y 万元与售价x 元之间的关系；
（Ⅲ）当该商品售价为多少元时，使厂家销售该商品所获年利润最大.
22.已知函数()f x ax xln x =+的图象在点x e =（e 为自然对数的底数）处的切线斜率为3.
（Ⅰ）求实数a 的值； （Ⅱ）若函数()()()
f x 9
g x k x 2x 1=
+-+仅有一个零点，求实数k 的取值范围. （Ⅲ）若()()()f x t x 1t Z -∈>对任意x 1>恒成立，求t 的最大值.
高三年级质量检测
数学试题参考答案及评分标准（理科）
2011.11
二、填空题： 13.
89 14.
15. 1
e
16.-2 三、解答题：
17.:(1)()2cos 22sin(2)26
2,021
()2si (3n 2)6
f x wx
wx
wx T w w w f x x π
πππ
-=-==>∴=∴=- 解分
分
列表
…………………………………………………………………………………………5分
{}{}2
12232332435
2324218.:(1),5()251025
(5)0
52,(5)(2)(13)100(7)(18)11260(13)(2)0
2,13()n n a a a a a a a a d b b b b a a a d d d d d d d d =+-∴=--=∴==?∴+=+?+∴=-+∴+-=∴+-=∴==- b 3解由已知整理,得分设等差数列的公差为等比数列的公比为q 由不合题意,舍去34
1323311
33111
15552,4
552(252)74
5
(12)
(1)55
4(2)2()
1124455
2944
552
n n n n n n n n
n n n n n n b b b q b b b b b q b b q b q S n N q S S -----*++∴=∴=
===∴=?=?==
?=?--===?-∈--∴+=?+? 分分分
(2)2sin(2)1
6
1
sin(2)620,252,106665
226666
126
2
π
θπθπ
θππθππππθθππ
π
θθ-=∴-=
??
∈??
????
∴-∈-????
∴-=-=∴=
=
分或或分
322222219.512cos 31212022120cos 1cos 7
sin 660,sin sin 60∴==+-?∠=+-???∠∴∠=-∴∠=
∠=?∠=?CDB a CB CD DB CD DB CDB CDB CDB CDB ACD CAD CDB CD 解:依题意,在中,CD=21海里 DB=20海里
BC=31海里分由余弦定理得
分又在中,
由正弦定理得
,sin 242412==
∠∴=∴AC CDB AC C A 21海里
检查站离港口有海里分
()222222
2220:12524(2)11012
1202622cos 2sin cos 2sin 1sin 2sin 2
1sin 122
20.....(1?==∴-=∴=-??>≠
-->≠-?=-=+∴-=+=-+=-+-≤≤∴-≤-≤-+≥∴m n
m P m n q a b
λλλλλλαλα
λλαααα
ααλλλλ 解(1)由已知分若为真则且即且分若为真由得sin -1()()2),129220.....(2)2
222
2
1,22,1,22?∈??∴∴-≤≤??≤≤-+≤???
?
≠-????∴≠-??
≥=-???≤≤???
∈-∞-?--?????
R p q λλλλλλλλλλλλλλ 由(1)得分由(2)得-11且2或且当假真时,得
1或2综上得<<-1>2
<-1-11
…………………………………………. ………………….10分 …………………………………………. ………………….11分
[]2221.2
23(2)(4)12(152)(4)52(4)12(8)12(152)(4)412(4)(8)12(152)(4)2
a
a y x t x x y x x x x x x x x x ∴+
∴==-?---?
?∴=-?-+---??-?
?=-----+ 2解:(1)由已知:当x=6元时t=49万件
49=12(6-8)分分212(4)(7)2(47.5)724(4)(7)36(7)(5)
'0759x x x x x x x y x x =--+<<+--=--=== 2分(3)y'=12(x-4)令得或分列表如下
550
5x y ∴==∴ 最大故当时,当该商品售价为元时厂家销售该商品所获年利润最大12分
22
22.(1)'()ln 1'()3,ln 13
1
5ln 9(2)()2(1)
9
1ln (0)
2(1)19(21)(2)
'()(0)72(1)2(1)
1
'()0,2
2
f x a x f e a e a x x x
g x k
x x x k x x x x g x x x x x x g x x x =++=++=∴=+=+-+=++->+--∴=-=>++=== 由已知得,故即分分令解得或列表如下
………………………………………………………………………………………………6分 由于0x →时，()g x →-∞ x →+∞，()g x →+∞ 要使()g x 仅有一个零点，则必须
4ln 205ln 20
25
ln 204ln 20
25
4ln 2ln 22
5
(,ln 2)(4ln 2,)142
k k k k k k k --????+-??∴>-<+∴∈-∞+?-+∞ 或或分
（3）由()x xln x t x 1x 1+-在>>时恒成立
即x x ln x
t x 1x 1
+-在<
>恒成立
令p ()()x x ln x 2
x x 1x 1
+-=->
3分
4分 8分
P ′()()
2
x ln x 2
x x 1--=
-
令()()h x x ln x 2x 1=--> 当x 1>时，h ′()1x 1x 10x x
-=-
=> ∴()()h x 1,+∞在上单调递增且函数值由负变正…………………………10分 记()()00h x 0x 1,=∈+∞ 则当()0x 1,x ∈ P ′()()
2
x ln x 2
x 0x 1--=
-<函数p （x ）在（1，x 0）上单调递减
当()
0,x x ∈+∞时P ′()()
2
x ln x 2
x 0x 1--=
-> 函数()()0p x x ,+∞在上单调递增
()()()
00min 00x 1ln x p x p x x 1
+∴==
-
又∵()000h x 0x ln x 20=--=即
00ln x x 2∴=-
()()
00min 00x 1x 2P x x x 1
+-∴=
=-……………………………………………………12分
而0x 为h （x ）的零点，由h （x ）在（1，∞）的单调递增且由负变正 验证知()()h 31ln30
h 42ln 40=-=-<>
()0x 3,4∈
而()()t p x 1,+∞在<上恒成立，知
()()00t p x x 3,4,t 3,t z =∈≤∈故由<知
∴t 最大值为3.……………………………………………………………………………14分